Teoria dasprohmhiItdades

/t

Considêremos os seguintes experimentos:. aquecimento da água contida em uma panela;. oueda livíe de um colpo

Conhecidas ce{as condiçóes, podemos preveí a tempeÍaturâ em que aágua êntrará êmebulicão ê a velocidade com que o corpo atingirá o solo*-

ô" "io"ii.*ioièuios

rdsuttados poderÌisêr previstos. isto é. podem ser dêterminedosantes da süa rêâlizacáo, óão denominados experlm€nios determiníslicos'

Considêremos também os experimentos:. lancamento dê uma moeda e lêitura da fìguÍa da face voltada parâ cima:. lanóâmento de um dâdo comum e leitura do número voltado para cima;. nas;imento dê uma criança;. sorteio de uma ca a do bâralho

Se êsses expeíimentos torem repet idos várias vêzes, nas mesmas condições, não podê_

remos prêver o seu rêsultado

Exoerimentos quê, ao serem realizados repetidasvêzês, nas mesmas condiÇões apresen-r.r..-r"ãurt"aài uàiì"oos, não sêndo possivel. portânto aprêvisão lógica dos resuìtados sãodenominâdos expeÍimenlos aleatóÍios.

Um expeíimento aleatódo apresenta as sêguintes caíacierísticas fundamentais:

. oodê reoetir-se várias vezes nas mêsmas condições:

. ê conhecido o conjunto de todos os resullados pos9íveis;

. náo se oode preveí qual o rêsultado

Os exoerimentos aleatórios estão sulêitos à lei do acasoComo não oodemos prever o resultadq procuraremos descobrií as posaibilidades dêocoF

rência dê cada expêrimento aleatóíioÀ teoriada oiobabilidade estuda a forma de estabeleceí âs possibilidades de ocorrência

de cada expeíìmênto aleatório

21Cì

INTRODUCAO

ELEMENTOS

. Espaço amostÍal - éo conjuntodê todos os resullados possíveis de um experimentoalêatório. Indicaremos o espaço amostíal poÍ lJ.

. Evonto é qualquer subconjunto do espaço amostral.Velamos alguns êxêmplos.

19 êx€mplo: Determinaí o espaço amostral nos seguintes expêrimentos.a) Joga-se uma moêdâ e lê.se a figura da face voltada para cima.b) Joga-se um dado comum e lê"se o númêro voltâdo para cima. ,. Ic) Jogam-seduâs moedasdiferentes e lêem-se as figurasdas facês voltâdâs pa-

ra cima.

Resoluçâo: a) U = lcara, coroaìb) u = [1, 2, 3,4, 5, 6,]c) U = [(cara, caía) (câra, coroa) (coroa, coroa) (coroa, caía)ì

29 exemplo: Sêjâ uma urna conlendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermêlhas. Dessa urna são reti-íadas, sucessivamentê, 3 trolas. Calcularexplicitando os êlementos dos sêguin-tes êventos.a) As três bolas têm a mêsma cor.b) Duas dâs bolas sáo oretas.c) As trés bolas são vermelhas.d) O número de bolâs pretas é igual ao número de bolas vermelhas.

Resolução: 12 bola

ï

2? bola oota39

O espaço amostral será:

u = (ppp), (ppv), {pvp), (pvv), (vpp), (vpv), (wp), (vvv)lBespostas: â) [(PPP), (WV)]; b) [(PPV), (PVP), (vpp)]; c) l{WV)l;d) ó.

PPP

P VPPV VPVPWPVWV

2 ConsideÍe o experìme o: lançamento de doisdados, um blarco e outÍo verde, e observaçâoda face superior. Determine:

a) o espaço amostÊI.b) o evento: ocorÍência de números ignah nos

dois lados.c) o evento: ocorÍência de números cuja soma

seja 5.

t :

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Dêo espaçoamosrmldos segujntesexperimm-los:

a) Iançamenro simuiLâneode rrès moedâ' Fa-ça:C = cam, K = corca;

b) lançamento sìmulúneo de um dado e u mamo€dâi

c) distÍibuição dos 4 filhos de uma fâmília,quanto ao sexo. por ordem de nalcimenro,

211

TIPOS DE EVENTOS

Considere o oxperimenlo aleatóíio: lançamento de um dado comum e observação do nú-mero voltado Dara cima.

O espaço amostral será: U = [1,2, 3,4, 5,6].. Evonto cealo: é o píóprio espâço âmostral.

Ex€mplo: evento A * ocoríência de um número menor que 8A = [1, 2,3,4, 5,6]

r. ËÌrgnto impossiÌrol: é o subconjunto vazio do espaço amostral.Exomplo: êvento B - ocoÍôncia de um número maior quo 10

. Evênio unlão: é â íeunião de dois eventos.Exgnplos: evento A - ocoírência de um número ímpar + E = Í1, 3, 5l

evento B + oconência de um número pâr primo 3 B = Í21evento A U B - oòorrênciâ de um número impaí ou de uà;úmero parprÍmor A u B = 11,2,3,5l

. Ewnto int€Ísocção: é a intersecção de dois evenlos.Exemplos: evento A - ocoÍrência dê um número par + A = Í2, 4, 6l

êvento B - ocorrência dê um número múltiplo de 4 + B = Í4ìevento An B' ocoríência de um número paÍe múlt iplo dê 4 : An B = [4]

. Evenlos muluamgnle oxclusivos: sáo aquêles quê têm conjuntos disiuntos.Exemplo€: evento D r ocorrência de número par + D = [2,4, 6]

evênto E J ocorrência de número ímpar -

E = [1,3, 5l

. Evenlos complementares: são dois evênlos A e à tais que:AUA = u (o êvênto união é o próprio espâço amostrat)AnA = ó (o evento intersecção é o coniunto vazio)

Exgmpfos: evênto A + ocorrência dê número pat -

A = í2,4,61evento à - ocorréncia de númêro ímpar - A = i1, 3, 5íObserve que: A Uà = U = J1,2,3, 4, 5,61

AnA = ó

, . ,

I Em tüna cafia há 5 Dâp€leÍâ! numeÍadas de Ia 5. Retiram-sê düas delâs ao acaso e calcula-sea soma dos númeÍos escritos.Determine os eventos:

a) obter uma soma par e múltipla de 3.b) obter uma soma ímpar ou mútipla de 3.c) obter uma soma múltipla de 7.

2 ConsideÍe o latrçammro de dois dados, umltÍanco e um verúelho.Dados + os e\,€trtosA: sair 5 no dado brarco eB: sair 5 no dado vermelhqcaÌcule:

A)AUB

h

b)AnB c)A

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

Se, num fônômeno aleatóriq o número dê êlêmêntosdo espaço amostralé n(Uleo núme.rodeelementosdoeventoAén(A),entâoaprobabil idadedeocoríeroov€ntoAéonumeroP(A) tal que:

P(A) =

Estadefinição óválida, quandooespaço amostralU íoreqüipÍobabilísiico, istoé, qulndotodos os êlêmentos de U tiverem a mesma orobabilidadê.

Nolas:1?)P(ó) = 0êP(U) = 1.23) Como 0 < n(A) < n(U), tem-se:o < P(A) < 1.33) É comum íepresentarmos as probabilidades em porcentagem. Foí êxemplq em vez

de dizermos P(A) = +,

podêmos dizêr P(A) = 5O%.

Vejamos alguns exemplos.í9 gxemplo: No lançamenlo de um dado, detêrminar a probabilidade de se obter:

a) o número 2; c) um número múlt iplo de 3.b) um númêío paí;

Pesolução: O espaço amosr.ial é U = 11,2,3,4, 5,6j, portanto n(U) = 6.a) ocorrência do número 2:

A = 12Ì portanto n(A) = 1n/Âì

PíA)=# = ^

= 0J666 ou p(A) = 16,66%. ntu) ob) ocorência de número par:

B = [2, 4,6j, portanto n(B) = 3

","' - IÍ91 - 3 - 1 -rrt]r = n{Uj = a = z = o.souP(B) = 500/0

c) ocoÍência de número múltiplo de 3:C = 13,61, porlanto n(C) = 2

p,cr - i lÇI -2 -1rrur = ììÚi 0.3333 ou p(O = 33.3goa

Resposlas: â) 16,66% b) 50% c) 33,33%

29 ex€mplo: De um baralho com 52 cartas tiíam-sè, sucessivamente, sem reposiçãq duas car-tâs. Dolerminar a probabilidade dos evêntos:a) as duas carlas são'tâmas";b) as duas cartas sâo dê'buíos':

Resoluçáo: a) Cálculo do número de olemôntos do ospaço amostral:1: possibi l idadê 29 possibi l idade

52 ã1 -

n(U) = 52 51 = 2652

Cálculo do número dê elemenlos do evênto A: duas damas.Têmos 4 damas; poítantoì Aa,2 = 4 3 = 12'+ n(A) = 12

n(A) 12 1nA'= n(u) = zesz = zzt

213

b)Cálculo do número de elemenlos do evenloTemos 13 canas de ouÍos, portanto A13,2 =

n{B) 156 13 1n(u) 26F2 221 - 17

. 1 . . I' ' -- .-- '-- - ' 22't - ' 17

B: duas caítâs de ouíos.13. 12 = 156

ÍEXERCTCIOS DE APRENDIZAGEM

I No Lançamenro de um dado. derermine a pro-babilidade de se obteÍ:a) o número Lb) um número pÍimo.c) um número divisivel por 2.d) um número menoÍ que 5.e) um número maior que 6.

2 No hnçarnento simultâneo de dois dados, irmbranco e um vermelho. determinea probabili-dade dos seguintes eveúos:a) os númercs são iguais;b) a soma dos números é igual a 9.

3 Vocè fa.z paíe de um grupo de lopessoaq, pamtrês das quais seftio dìíribuidos prêmios iguais.Calcúe a probabiÍdade de que iocê seja um dospremiados.

4 Jogando-se dois dados, qual a probabilidade deque asomado5 pontosobridos seja menor que

5 íVune<p) Um baraiho de l2 canas rem 4 ases.Retiram.se dua5 caías uma após outra, Quala probabiÌidade de que a segunda seja um á.sabendo-se que a pÍimeiÍa é um ás?

ó De um baralho de J2 cartastim-se ao acaso uma. das caÌlas. Derermine a probabilidade de que

a) uma damrLtr) uma dama de paus.c) uma carta de ouros.

7 Com os dígitos l, 4, 7, 8 e 9 sâo formadosnúmeros de tlês algaÍismos distintos. Um delesé escolhido ao acaso. Qual a probabiÌidade deele seÍ ímpaÌ?

E Uma caixa contém 9 biìhetes numemdos de Ia 9. Se 3 destes bilhet6 são tirèdos juìtos, quala probabiüdade de ser paÍ a soma dos números?

214

9 Uma sacola conrém 5 bolas brancas e l0 bolasprctas. Se 3 bolas são timdas ao acasq qual aprobabilìdade de sairem toda.da mesma cor?

| 0 Um grupo de seis amigos (4, & C, D E e F) pre-Lende realizar um passeioem um barcoonde5óhá 3 lueares. É fetto um sorteio para serem es-colhidos os três aújgos que ocüparão o barco.Calcule:a) a probabilidade de que A s€ja escolhido e B

não o seja,b) aprobabi l idadedeAeBseremescolhidos.

ll Considere as 24 peÍmulações, sem repetiçãqque podemos formar com os algarismos l. 2.I e 5. Uma delas é escolhida ao acaso, Deter-mine:a) a pmbabilidade de esse número seÌ p:ü.b) a probabiüdade de esse número ser impaÍ.c) a pÍobabilidade de esse número ser maior

que 3 000.

12 No lançamento de dois dados ìguais, qual a pÍo,babilidade de a soma dos pontos ser 8 e um dosdados apresentaÍ 6 pontos?

| 3 Oito casais paÍticipam de uma Íeunião. Esco-lhendo duâs pessoas aleatoÍiamente, determt-íe a probabilidade de que:a) sejaÍn marido e mulher.b) uÌna sej a do sexo masculino e a outÉ do fe-

mìnino.

l4 (Furesr-SP) Uma urnaconrém 3 bolas: uma \€r-dg uma azul e uma branca. Tira-se uma bolaao acaso. regist ra-se a cor e coloca-se a bola deroha na urna. Repele-se essa experiência maisduas vezes. Qual a prcbabilidade de serem re-gistradâs tÌ€s cores distintas?

PROBABILIDADE DA UNIÁO DE DOIS EVENTOS

Sendo A e B evêntos do mesmo êspaço amostral U, têm.se que:

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB)

Demonstraçâo: Sejam os coniuntos A, B e U:

t

Sabêmos que: niA U B) = n(4 + n(B) n (An B)dividindo-sepor n(U) vem:n(AUB) _ n(A) n(B) n(AnB)

nili) - ãiÚt -ì(ut - n(u)P(AUB) = P(A) + P{B) P(AnB)

Conclusão: A probabilidade do êvento A ou Bé igualà somadâs probabilidadesdos êven-tos A e B, diminuída da probabil idade do evento A n B.

Observação: SeAnB = d= P(AnB) = P(d) = 0, obtemos

@rrr = rr^ii arrExemplo: Qual é a probabilidade de se jogaí um dado e se obter o númeío 3 ou um número

ímpar?

Feso/ú/Çáo; O espaço amostral é U = 11, 2,3, 4, 5, 6l -

n(U) = 6

í ocoÍência do número 3 e A = [3] ... n(A) = 1Os evêntos são: I

I ocorrência de número ímpar -

B = Í1, 3, 5l . . . n(B) = 3

B) = 50%

: ,<l-.-' '\- /3ì ' É . ,a {y ' : " /

AnB = Ís l . . n(AnB) = 1P{AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB)

P(AUB)=i(U141-.ill .ffiPP(AUB)=+

-+ -* =f =]ouerru

. Ouìro métodoO êvento ocorrência de número 3 ou número ímpar é:A = 11,3,51 - n(A) = 3

Logo,P(A)= j& =

Besposta: 50Yo

, ,, .l-.;.-'rl.'..li.'.-i .;''1.1-

215

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

| (i È,r -sr) J ogarìoo-se oor3 dados, quat a probâ-bilidade de que a soma dos pontos obtidos sejâ4ou5?

2 Uma urnaconrém 8 botas veÍmelha5 sete bÍân-cas e cinco azús, Châmândo V, B e A, respec -üvamenle, aos acontecimentos 'sair bola veÌ-meÌha", "brèncs" e "azÌrl" na retirada de umabola, câìcule:

a) P(v), P(B) e P(A).b) P(v u B), P(A U B) e P(A U v).

3 Rerirando-te uma caÌta de um baralho de 52cartas, qual a prcbabilidade de ocorÍer um rcrou uma carta de espadas?

4 Uma uma conlém l0 bolas numeradas de I a30. ReÌirando-se u ma bola ao aca;o. qual a pro-babilidade de que seu númerc sejâ:a) par?b) impaÍ?

c) par e menor que 15?d) múltiplo de 4 ou 5?

5 Uma uma contém zl0 caíòes, numerados de Ia 40, Se rel irarmos ao acâso um canâo dessa ur-na" qual a probabilidade de o número escÍitono caí?io ser um mütiplo de4 ou múdplode 3?

ó N uma escola funcionâm dois cursot um de de-seúo publicitáÌio e outÌo de deseúo aÌtístico,perfazendo um total de 90 \agas. No final daúscrìçâq havia ó0 alunos inscri@s pam des€-úo pubücilirio e 50 para desenho aÍrisricq sen-do que algüns optaÍam pelos 2 curcos.Delermjng escolheDdo ao acaso I aluno do cur-so, qual â probabiüdade de ele ser: ;a) aluno de desenho publicitário.b) aluno de desenho ardsticoc) aluno somente de desenho pübliciúriod) aÌuno de desenlìo aÌtístico ou desenho

publicitíio.e) aluno de desmbo aÍLi$ico e desenho

publicit/írio.

7 Um número inteiro é escolhido ao acaso den-lre os números (1, 2. J, . . .. 60). Calcüle a pro-babilidade de:a) o número ser múltiplo de 4.b) o númeÍo ser primoc) o númeÍo seÍ diüsível por 2 ou por 5.

8 Escolheodo ao acaso uma das letms da palavraPROBABILIDADE, responda:a) Qual a Fobabilidâde de ter €scolhido um B?b) Qual a probabilidade de |f,Í €scollÌjdo um A

ou um D?

evonto complementaÍ

r

Demonstração:Sejam os conjuntos:

A+Ã=U 3 n(A)+ n(A)= n(U)n(A n(A)ãiut - ï(ütP(A) + P(A) =

nru)= ã(ut1

PROBABILIDADE DO EVENÏO COMPLEMENTAR

Sêjâm A e A dois eventos de um espaço amostral LJ; sendo à ode A, temos:

216

Exgmplo: Consideremos um conjuntodê 10Írutas, das quais 3 eslão estíagadas. Escolhen-do-se aleatoriamente 2 frutas dêssê conjunto, determinaí a píobabilidade de quê:a) ambas nâo estêlam êstragadas.b) pelo menos uma esteja estragada.

Resolução: al . Cálculo do número de maneiEs pelas quais duâs Írutas podemser escolhidas.

I tn ln(U) = lãÌ = ,"=- =ffi = 45maneiras

. Cálculo do número dê manêiras pelas quais duas frutas podemserescolhidas. . t

"(A = {1Ì =4 =' ;?; ,ut = 2rmaneiras

n(A) 21 7=75 = =it

b) Ã é o evento: pelo mênos uma fruta está estragada.

P(A) t P(A) =1=15 +P(A)=1

P(a) =1 É -P(A)=Ë

r

Fésposlas.'^ ,7ot 15 -, 15

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

I Considereo lançament o de dois dadol. DeteÍ

a) a probabilidade de se obter um total de 7

b) a probabilidade de nâo se obter um totaÌ de

. ? pontos,

2 Seja A o evento: rerimda de uma caÍla de pausdelm bamlho de 52 cartas. Calcule P(A) eP(A).

3 considere dois aconte(imenÌos A e B de umamesma experiência aleatória. Sabendo que

P{A) = +. PlBr = -

ePíAUB) = -

calcule:â) P(A n B)

b) P(A)

4 Considerco lançamenrode um dado equiljbÍado. Calcule a probabilidade de:a) sair um mütiplo de 3.b) não sair múltiplo de 3.

5 De um lole de 14 peças. da5 quaic 5 .âo delei-tuosas, escolhemos 2, aleaÌoriamenre DeLermj

a.) a probabilidadede queambas 5ejam defei-

b) aprcbabiLidadedequeambas nàosqjaJn de-lèituosas.

c) a prcbabilidade de que uma seja defeituosa

ó Uma urna conrém I bolas branca' e 4 prelá".Tiramos, sucessiÌâmente, 2 bolas. Determine âpÍobabìÌidade de:a) as bolas tercm a mesma cor.b) as bolas tercm cores diferentes.

217

EXPERIMENToS NÃo EQÜ I PRovÁvr|s

Considerô a roleta indicada na figura.

Ít

_ Observ€ queo espaço amoslrât é U = 11, 2, 3l e que os eventos etementarês i.1 l, I2l e [3 Ìnão são eqüiprovávois, isto ê não têm â mesma chance de ocorrênciâ. oois:

. a área do número 1 corresponde à quarta parte do círculo:

. a árêa do número 2 correspondê à quarta partê do círculo:

. a área do número 3 corresponde à metade do cí1culoDo exposto. temos:

e61 = f, e14 = f, " e1s1 =lsto é: P(3) = 2 P\11 = 2 p(2)

Fortanlq essêêxperimentoé ditonãoeqülprovável, pois os evêntos elemêntares do êspa-ço amostral não apresêntam a mesma probabilidadê de ocorrência.

ExoÍÌrplo: Numa moêdaviciada, a probâbilidadedeocoÍrercara num lânçamento é iguat aqua.tro vêzes a probabilidadedê ocorrer coroa. Calculâra probabiiidade de oãorrercaranum lânçamênto dessa moêda.

Re6olução: Sejam os êventos:

A: ocoÍêr'bara'B: ocorrer 'boroa'com P(A) = 4P(B)

Como os eventos são exclusivos. temos:

P(A) + P(B) =.1i4P(B) + P(B) = 1

Substituindo-sê vem:

P(A)+P(B)=13P(A)

ou P(B) = 20%

ou P(A) = 80%

5P(B) = 1prer = J

1

4

Besposta: úVo

218

P(A)

r\

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Observe a roieta da figura.

a) Qual a probâbit ìdade de \ajr o número l?b) Quat a probabilidade de saiÍ o número 7?c) Qual a probâbilidade de se obter um número

paÌÌ E um número ímpar?

2 Três carros, A, BeC, paflicipam de umâ corri-da- A rem duas veze5 nÌâis probabilidadesdega-nhaÍ que I e B rem Ìrès !eze. ríÌaìsprobabitida-des de ganhar que C. Derermine as probabiìidades de vitória de cadâ cârro.

3 l,ança-se um dado viciado, de forma que cadanúmero paÌ \aì o triplo de veTes que cada nú-

â) Quaìa probabi l idâde de ocorrer um núme.Ío impaÍ? E um númeÍo pâr?

b) Qual a probabilidade de se obteÍ número

c) Qual a probabilidade de que saia um núÌÌfromúltiplo de 2 ou de 3? -: I

4 TÌês corredoÍ€s, A, B e C, participam de umacompetição A€ Btêm amesmaprobabilidadede rencere cada um rem quarro \e/e5 mais pro-babilidades de !encer do que C. Calcule PíAì.P(B) e P(c).

MULTIPLI DE PROBABILIDADES

Em análise combinatória, vimos o princípÌo Íundamêntal da contagem; em probabilida-de, há uma rêgra análoga, denominâda regra do produto.Enunciado:

Se um acontecimento é composto porvários eventos sucessivos ê indepêndêntes, de talmodo quê:

o píimêiro evento é A e a sua probabilidade é pj,o segundoêventoé B e a suâ probabil idade é p2,o terceiro evento é C e a sua píobabilidado é p3.

o k-ésimoevenÌoé Ke asua

então a probabilidade de que os êventos A, B, C, ...,

probabilidadê é pk,

K ocoríam nessa oídem é:

219

v-

Vejamos âlguns exemplos.

19 exemplo: ljma moeda é lançada 4 vezes Qualâ probâbilidade de que apareça coroanâs quatro vezes?

R6olução: U = lcarâ, coroaj11

19lançamênto -pr=-- 39 lançamênto -p3=á

29 lançamento -

p, = ] 49 lançamento

- pa =

]

Portanto:p=pi p2 p3 "=+ + + +=+

Flesposta: E

29 €xemplo: Retirando-se duas cartas ao acasq sem reposição, dê um baralho de 52 caí-tas, qual â probabilidade dê ser a primêira de paus e a segunda de copas?

11 1Resoluçào: cartadepaus p,= ;; = -;

carta de copas ' P, = 5ï

13P-P1Pz-451-204

Besposta: ìõt

39 exemDlo: Considerem-se duas caixas, I e ll. Na caixa I há 4 bolas pretas ê 6 bolas azuis' e_ na caixa ll há I bolas pretâs ê 2 bolas azuis Escolhê-sê ao acaso uma caixa €,em seguida, dela se tìrâ uma bolâ. Oual a probabilidade de que estâ bola seja:a) preta? bl azull

Resolução: P{obabilidade de escolna Para cada caixa - }

_ 1 4/10 prêta(4) 'i i, = #Èsquema: i z r-=--

6/10- a2ul(6) - ; n- =ão

ì--.._,, --_919,-'- 0,",u ,u, - à ío- = aoz " ---tìO-.--.-..---azur(2) .+ + =:,

a) â bola escolhida é Preta:1aa

È tô ==fr =t

b) a bola escolhida é azul:A'R'

ã+fr=T=Ê

Fespostas; a1f " b)+

220

Í

I

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Retirando-se duas cartas ao aaaso. com reposi-pão. de um baralho com 52 caia$ qual a proba-bilidade de ser a pÍimeira de ouros e a segundade espadas?

2 Num recipienle adequado esLào colocadas 7 bolas. sendo 3 pÍelâs e 4 bÍancas. Retiraidodo Íecipiente a.leatoria$ente uma bola e Íepondo-ano m€smq após anotada a sua cor, e repetindoessa opemçào majs duas ve7es. calcu le a proba-bilidade de qu€ as tÍês bolas retimdar sejambmncas.

3 Umamoedaélançada 5 vezes. Qual a probabi-lidade de que apaaeça cam nas cinco vezes?

4 Qual é a probabilidadede umcasal ter 4 filhose todos do s€xo feminino?

5 Relirando-se líes caÍras ao acaso. com reposi-çào, de um bâÍalho com 52 €âías, qual a pÍo-babilidade de ser â primeira de paus, a segrmdade ouros e a teÌceiÍa de espadas?

ó Tim-se ao acaso uma carra de u m baralho. Quala probabilidade de a carta ser üm Íei de copast

7 No Ìançamento de um dado e uma moeda, quala probabilidade de obtermos cam e núLÌneromaior que 3?

8 Sabe-se quq nurn grupo de 30 p€ssoas que tra-balham numa fazerÌda de criação de gado, 12são aÌfabetizadas. Se um pesqúsador escolherJ delas ao acaso. u ma após a outÍâ, qual a pío-babilidadq Ia) de todas serem alfabetizadas?b) de todas serem analfabetas?

9 Considereduas sacolas, Ae B. Na sacola A, !e-mos 5 bolas bÍaÌìcas e 15 verdes, e na sacola Btemos ? bolas brancas e 13 verdes, Se escolher-mos, ao acaso, uma sacola e, em seguida, reti-ÉÍmos uma bol4 qual a pÍobabilidade de queesta boÌa seja:a) branca? b) verde?

| 0 L m grupo de l0 pessoaÁ apregmla a composi-ção: m itâlianos e 10 portugueses;15 homens e 15 mulhercs;5 casados e 25 solteims.Detemine a probabiüdade de que uma pessoaescolhida ao acâso seja uÍn homeÌn casado eportuguês.

Í

Sejam A e B dois eventos do um espaço amostral LJ, com P(B) I 0.Denomina-se probabilidadedeAcondicionadaa B a probabilidade de ocoÍência do evento

A, sabendose qu€ vai ocorrer ou já ocorreu o evento B.A Drobabilidade condicional é dêÍinida Dor:

PROMBILIDADE CONDICIONAL

P(AnB) = i(mql e P(B)

Substituindo ern O temos:

P(A/B) = n(q-EâlEI

sê P(A/B) = P(A), o evento A é dito Indop€ndgnte de B e, nosse casq tom-s€:

oMâs

n(B)= "iút

P(ô = r$ÊEt *

221

Ex€mplo:

Resolução:

Besposta: 1

n(N4nD = 5

n(l\4) = 45

P(F/M) = il!:J{I

Numâ classê com 60 alunos, 40 estudam só Matemática, 10 êstudam só Fisica eSestudam Matemáticae Física. Deteíminara oíobâbilidadede um aluno oueestu-da l\4atemálíca estudar tâmbém FÍsica.

5

t

51=7í =g

rEXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Atâbelaaseguirmostra a distribüçâo de I 000estudantes de uma universidâde classificadossegundo a área de concentação de seus currí-culos e o ano em qu€ estão matricì. ados.

Considere também os eventos:X: o estudante esú no 1! ou 29 ano.Y o estudante está no 39 ou 49 arÌo.

Selecionando um estudante ao acaso eÍÌtre osI 000 consideHdos, calcule:a) P(E), P(B) e P(H).b) P(29 ano e E), P(49 ano e B).c) P(x e B), P(Y e E).d) P(E ou B), P(B ou H).e) P(E/49 ano) e P(39 anolB).

2 Jogando-se um dado € sabendo-se que ocoffeuum núLrnero maiorque4, qual aprobabiiidadede ser um número par?

3 ípUCC-Spl Lança-se um paÍ de dados nâo vi-ciados. Se a soma, nos dois dados. é 8. calcìrl€a probabilidade de ocorrer a face 5 eÌn um deles.

õela uma expeíéncla rêa zaoa com n têntativas independentes e com dois resultadospossíveis em cada têntativa: sucêsso ou ííacasso (íalha).

Sejapaprobabil idaqêdeocoírênciadoêvêntoE(sucêsso)eq=1-paprobabit idadede ocorrência do evenlo E ífracassoì.

A probabilidade dê obtermos r vêzês o resullado desejâdo é dada por:

Essa êxprêssão é conhecida como lei binomial das probabilidado$. Só pode ser aplicadaa êxpêriências aieâtóriâs com as sêguintes características:

'1:) A expeíiênciâ é repetidâ um númeÍo n de vezês, nas mesmas condiÇões.2:) Após cada êxpêíiência ocoÍrê evênto E (sucesso) ou evênto E (fracásso).3:) p é constantê em todas as n êrpeíiênciâs.4i) As experiências são independenles uma da outra.

222

DISTRIBUICAO BINOMIAL

Seja uma experiência rêalizada com n têntativas independentes e com dois

. pn- ''= ( l )n

"Ì

Vejamos alguns exemPlos.

19 exemplo: Um dado é lançado 6 vezes Calcu lar a protìabilidade de ocorÍer um 3 ou um 4duas vezes.

Rêsolução: Quando lançamos um dado podêmos obter6 resultados possivêisl 1,2'3,4,5ou 6.A probabilidade de ocoríer um 3 ou um 4 em cada lançâmento é

o=-? = )A probabil idade de não ocoírer um 3 ou um 4 é q = 1 5

= ã Onúmerg

desucessosér = 2, logo:

e=(i)oa' ="=(?)( t f (ã[D- q

^, ,D - 1,qrol"' - 243 -- - --',-- '

Resposta: P = 32,92o

29 ex€mplo: Um iogador de xadrez tem + de probâbilidade de vitória quando joga Na reali-

zação de cinco partidas, dlterminar a probabilidade de esse iogadoí vencer:

a) duas Partidâs;b) mais que a metade das Partidas

Resolução:

e=(l)o 'c" ' -P=e=ffouP=34,56%

/e\ '

b) O jogadoí vencê mais da mêtade dâs partidas sê vêncêr,3, 4 ou 5 partidas' logo:

P61.1 = P16nc",:1 + P1u"n"",+1 i Pp"no"rs1

o* = (:) (3)' (3)' . (;) (Ê)' (S) . íe\o\51

P."=10 + * *u ;F +e"o,=ik, i# *& -

- ,

a) f n=5| ^_ 2

Dados: ln-51o=,-o=i-+ =+I\ t=z

(r) (É)'

(3)+1.

(3)'32

3125

+ËouP=s1,7a%

Respostas: a)34,56oh bJ 31,74%

223

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Uma moeda é lançada 4 vezes. DeteÍmine a pÍo.babiÌidade de ocorrerem:

a) duas coÍoas, b) três caras.

2 Um dado é lançado 5 vezes. Calcuìe a pÍobabilidade de ocorrer:a) o número I duas v€zes.b) o número 3 quatro vezes.c) o número 4 ou o número 5 cinco vezes.

3 A pÍobabil ida.le de se escolher uma peça de fei-

tuosa em uma roja e de ; . ( arcure a proba

bi l idade de que ao seescolheí4 peças,I delassejam defeituosas.

4 Uma prora do ripo múripla escolha contém l0testes, com 5 altemativas cada um. Somente

ma aÌemaÍ iva é corÍet a para caú teÍe Quala probabilidade de um alunq'thutandd osd€ztestes, acertar metade das rcspostâs?

5 O casal Deolindo e Etvira queÍ ter 6 filhos. Derermine â probabilidade de esses lìlbg serem:â) 4 homens e duas mulheÍesrb) 6 homens.

Ó Calcule a probabilidade de que uma familiacom 4 filhos Lenha no máximo 3 homms, su-pondo que a píobabiüdade de que nasça urÍ.. lnomem è

--

.

r

332 Considere o lançamento de um dado perfei,to. Calcule a probâbilidade de se obteÍ:â) ìim número impa.r.b) um númem primo impar.

333 Mauá'SP) I-ançam-se dois dados com facesnumeÍadas de I a 6. CalcuÌe a probabilidadede que a soma obtìda seja 10.

334 (Mauá-SPt rançando simulLaneamenre doìsdados, cujâs faces são Íumeradas de I a 6,qual a probabilidade de:a) serem obtidos númercs cujo produto seja

ímpar?b) serem obtidos númeÍos cujo produto seja

paf?

335 €uvest-SP) Sorteian-se dois números natu-rais ao âcasq entre 101 e I 000, inclusive, comreposição Calcule a probabilidade de que oalgarismo das unidades do produto dos nú-meros soÍteados não seja zero,

33ó Numjogo de "sueca'', as 40 cartas de um ba-Íalho (10 Ee cada naipe) são distribuidas, l0pam cada um dos quatÍo jógadorcs.a) Qual a probabilidade de um jogadoÍ rec€-

beÍ dez cartas ale copas?b) Qual a probabilidade de um jogadoÍ Í€ce-

ber seis cartas de copas e quatro de paus?

337 (Mauá-SP) Uma uÍna contém zÍObolas bran-cas, 25 bolâs prctas e 15 vermelhas, todas demesmo formato e indistinguir€is pelo tato Re-timndo uma boÌa âo acaso, deúermine a pro-bâbilidade de que ela seja preta ou vermelha.

224

338 Numa caixa estao 8 peças com pequenos de-feitos, 12 com graüdes defeitos e 15 perfeitas.Uma peça é ÍetiÌada ao acaso Qual a proba-bilidade de que esta seja perfeita ou tenha pe-quenos defeitos?

339 I-ança-se uma moeda t€s vezes consêcutivaje anotam-se ordenadsmente os rcsútados ob-tidos. Responda:a) Qual a probabilidade de se obter tÌ€s caras?b) QuaI a probabilidade de se obteÍ tÍês câ-

Ías ou três coroas?c) Qual a probabilidade de se obteÍ uma só

caÍa?d) QualaprobabilidadedeseobteÌ nomáxi-

mo duas coroas?

3/O RetiÍamos 4 boÌas de uma caira contendo 3boÌas amarelas, 4 bolas vermeÌhas e 5 bolaspríâs. Determine:

a) a prcbabilidade de que pelo menos umadas 4 bolas ÍetiÍadas seja amaÌela.

b) a probabilidade de que úerüurÌra dâs 4 tìo-las rctimdas seja amarela.

341 Na retirada de uma carta de um baralho de 52- cartas, consideÍe os acontecimentos:

A: sair uma cartâ de orÌros;B: sair uma figuÍa.

Calcule:a). P(A U B)b) P(A n B)

c) P(A U B)

Num determinado aro, l0oopacientes sofren-do de câncer fomm intemados num hospiÌal.O tipo de câncer e a idade de cada paciente sãoindicados na tab€la acima.

Escolhendo aleatodamente üm pacienle den-trc esses miÌ, responda.a) Qual a probabiÌidade de ele ter cânceÍ ós-

seo?b) Qual a probabiìidade de ele ter câncer

estomacal e pertencer à faixa eííria mtÍe10 e 30 anos?

c) Qual a probabilidade de ele ter cânceÍ estomacal ou pulmonar?

d) Qual â probabilidade de ele ter câncer ós-seo oü estorÌracal e pertenceÍ à faixa etfuiaentÍe 30 e 50 ânos?

343 o dado indicado na figüratem inscritos rÌas faces osnúmeÍosdela6.

Sabêse que, num laìçamento, a probâbilida-de de fi caÍ \olLada paÌa cjma uÍna das fac€s ediÊtamente proporcional ao número nela ins-crito Calcule â pmbabilidade de:a) saiÍ o número 4.b) saiÍ um múltiplo de 3.

344 No lançamanto de uma mo€da e um dado,qual a probabilidade d€ obtermos corca e umnúmero menor que 3?

345 Uma uma contem 5 bolas pÌetaq 2 bolas azu$. e 6 bolas bnncas. Qual é a pÍobabilidade de

retirarmos uma preta q sem Íeposição desta,uma azul?

34ó euc-sP) ciÍa-se o ponreiro (v€ja a figura)e anola-seo número queeleaponta ao pamr.Repete-se a operação. Qual a probabilidadede que a soma dos dois Ìrúmeros obtidos sejâ

347 Na gaveta de um aÍmário há 2 chaves tipo Ae uma de tipo B. Noutra gaveta há um cAdeado que é aberto pelas châves do tipo A eã quesão abertas pelas chaves do tipo B. Uma pes,soa escolhe, ao acasq uma chave da primeragaveta e um cadeado da segunda gaveta. Quala probabilidade de o cadeâdo ser aberto pelachave escolhida?

348 (Vunesp) Tem-se um Iot€ d€ 6 peças defeituo-sas. Quer-se acrescenaâr a esse loÌe b peças per-feìtas, de modo quq retjrândo, ao acaso e semreposição, duas peças do novo lore, a probabilidade de serem ambas defeituosas seja menoÍ que 10q0. Calcül€ o menor \ãlor possíielde b.

349 Ao darem um sinal, David e Ramos dev€m €s-crever üma vogal ao acaso Ache a probabili-dade de que:

a) a vogal escrita por ambos seja i..b) escrevam os dois a mesma vogal,

350 A probabilidade de um atìrador acerrar um

al lo e ;- . Quaìa probabi l idâdequeete Lem

de, em 7 tiÍos, ac€rtar 3?

351 sâbe se que irnr! róc,r icn cirLirsìca é bcmsucôdidâ cm 958 dos casos.a) Se a opcração Íorrealizada l0vezes inrÌe-

pendentemenie, quâl é â pÍobâbitidade deque 8 scjanì bem sucedidâs?

b) Se a operação lbr.eal izada t00vezesrn-dependenreìnenre. qurl é r píìbrbitidadede que pelo ìnenos 95 seir ì Ìn bem srcedi-

352 Ounçsp-SP) Numa certa comunidade 52q0dos habitântes sâo mulh€rcs e, destas, ?,4q0são canhotaj. Dos homeÍÌs, 2,5 qo sâo cânho-tos. CaÌculâr as pÍobabilidades segì.rintes:

a) a d€ que um indiüduo dessa comunidade,seÌecionado ao acasq seja canìoto.

b) ade que um Íecém-nascido nessacomuni-dade do sexo mascul;no. seja canhoro.

Í

5?

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