Introdução à Teoria das Probabilidades

No nosso dia-a-dia é frequente ouvirmos e dizermos expressões tais como “improvável”, “por sorte” ou “por acaso” que deixam bem claro que, em muitos acontecimentos das nossas vidas, não nos é possível saber, antecipadamente, qual o seu desfecho.

Incapazes de controlar o acaso, conseguimos, contudo, ter a noção da probabilidade de uma situação ocorrer ou não:

embora nunca possamos com segurança dizer “Amanhã vai chover”, sabemos que a probabilidade de isso acontecer é maior no

Inverno do que no Verão;

é certo que ouviremos falar Inglês se formos a Inglaterra, enquanto que em Portugal isso será improvável, mas não impossível;

é mais provável encontrar um atleta num ginásio do que numa discoteca.

A imprevisibilidade aparece, irremediavelmente, associada aos chamados “jogos de azar”:

ao lançar um dado, com as faces numeradas de 1 a 6, não sabemos

qual ficará voltada para cima;ao tirarmos uma carta de um baralho não sabemos qual delas nos sairá;

não nos é possível saber previamente quais os números sorteados no

totoloto ou na lotaria (com grande pena nossa!).

Blaise PascalMatemático Francês (1623-1662)

Foi exactamente a partir dos “jogos de azar” que no século XVII surge um ramo da Matemática, que mais tarde se viria a chamar a Teoria das ProbabilidadesTeoria das Probabilidades.

Pierre FermatMatemático Francês

(1601-1665)

Segundo historiadores, o Cavaleiro De Méré, conhecido por ser um jogador inveterado, colocou algumas dúvidas sobre jogos a dois matemáticos, Blaise Pascal e Pierre Fermat. Estes, na tentativa de dar uma resposta ao jogador, debruçaram-se sobre o assunto, sendo, desta forma, dado o primeiro passo para o nascimento desta teoria.

As probabilidades surgem, assim, como forma de quantificar o grau de incerteza de um determinado acontecimento.

Embora o seu nascimento esteja ligado ao jogo, as Probabilidades têm, nos nossos dias, aplicações em muitas outras ciências, nomeadamente, na Economia, na Psicologia, na Medicina e até na Física e na Química. Uma área onde a Teoria das Probabilidades é muito utilizada é a dos seguros. Hoje, quando fazemos um contrato com uma companhia de seguros (seja esse contrato um seguro de vida, um seguro de incêndios, um seguro automóvel ou qualquer outro), o “prémio” a pagar à companhia foi determinado em função da maior ou menor probabilidade de se verificar um acidente. Por exemplo, num seguro automóvel, o “prémio” que se paga:

é mais caro para carros com mais de 5 anos, já que a probabilidade de se ter um desastre com um carro já com algum desgaste é maior do que com um carro novo;

é mais caro se o condutor tiver carta de condução há menos de dois anos (a sua inexperiência torna maior a probabilidade do acidente).

Há até companhias de seguros que fazem descontos para as mulheres condutoras!...

EXPERIÊNCIAS ALEATÓRIAS E DETERMINISTAS

Consideremos as seguintes experiências:

1.ª- “Deitar uma moeda num copo com água e verificar o que acontece.”2.ª- “Lançar uma moeda ao ar e verificar se sai cara ou coroa.”3.ª- “Tirar duas cartas à sorte de um baralho de 40 que foi previamente baralhado.”4.ª- “Deixar de regar um feijoeiro e verificar o que acontece.”

Será que em todas estas experiências conseguimos prever o resultado?

No caso da 1.ª experiência e da 4.ª, sabe-se à partida que a moedaafunda-se e que a planta morre, caso não seja regada. Assim é possível prever o resultado antes de realizarmos as experiências.

No caso da 2.ª e 3.ª experiências, não conseguimos prever o resultado, para saber o que vai acontecer, tem-se mesmo, que realizar as experiências.

Experiências deterministas ou causaisExperiências deterministas ou causais – são todas as experiências em que é possível saber o resultado final, antes de as realizarmos. Só têm um resultado possível.

Experiências aleatórias ou casuaisExperiências aleatórias ou casuais – são todas as experiências em que não é possível saber qual o resultado final, antes de as realizarmos. Podem dar lugar a vários resultados.

Conclusão:Conclusão:

A palavra aleatória deriva da palavra latina alea que significa sorte, azar, risco ou acaso.

«Alea jacta est.»- a sorte está lançada.

Para o estudo da teoria dasPara o estudo da teoria das probabilidades só as experiências probabilidades só as experiências Aleatórias interessam, aquelas Aleatórias interessam, aquelas que dependem do acaso.que dependem do acaso.

Experiências

• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar

• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm

À partida não sabemos o resultado

À partida já conhecemos o resultado

Termos e conceitos

Conjunto de Resultados ou Espaço AmostralConsideremos a experiência seguinte.

“No lançamento de um dado perfeito com as faces numeradas de 1 a 6, ver qual a face que fica voltada para cima.”

À partida já sabemos quais as opções que podemos obter – faces: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Então, 6,5,4,3,2,1 é o conjunto de resultados ou o espaço amostral desta experiência.

Esta experiência tem 6 resultados possíveis ou 6 casos possíveis.

Definição:

Conjunto de resultados ou espaço amostral – é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Representa-se por E, S ou .

.

6,5,4,3,2,1 SEEXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

S = {Vitória, Empate, Derrota }

EXPERIÊNCIA 3: Tirar uma bola de Totoloto

E = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

EXPERIÊNCIA 4: Lançamento de um rapa

= {rapa, tira, deixa ,põe}

R

Com o espaço amostral, podem formar-se acontecimentos.

Acontecimentos que se podem formar com a experiência do lançamento do dado. 

AcontecimentosAcontecimentos

Por exemplo:

A: «Sair face 6.»

B: «Sair face 3 e face 4.»

C: «Sair face com um número ímpar.»

D: «Sair face com um número menor que cinco.»

E: «Sair um divisor de 6.»

F: «Sair face com um número ímpar ou par.»

Quantos casos há para cada Quantos casos há para cada um dos acontecimentos?um dos acontecimentos?

A= 6 1 caso

B= 0 casos0 casos

Então, podemos concluir que:

Acontecimento – é qualquer subconjunto do espaço amostral (conjunto de resultados) de uma experiência aleatória.

Dá exemplo de um acontecimento na realização da seguinte experiência aleatória:

“Extracção de uma bola de um saco, que contém: 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 azuis.”

CLASSIFICAÇÃO DOS ACONTECIMENTOSCLASSIFICAÇÃO DOS ACONTECIMENTOSTendo em conta os 6 acontecimentos anteriores, relativos à experiência“Lançamento de um dada perfeito”, podemos dizer que:

A: «Sair face 6.»

B: «Sair face 3 e face 4.»

C: «Sair face com um número ímpar.»

A= 6

B=

•O acontecimento A é um acontecimento elementar pouco provável.

•O acontecimento B é um acontecimento impossível.

C= 5,3,1•O acontecimento C é um acontecimento composto e provável.

D: «Sair face com um número menor que cinco.»

F: «Sair face com um número ímpar ou par.»

•O acontecimentos D e E são acontecimentos compostos e muito prováveis.

E: «Sair um divisor de 6.»

•O acontecimento F é um acontecimento certo.

4,3,2,1D 6,3,2,1E

6,5,4,3,2,1F

Conclusões:Conclusões:

Os acontecimentos podem ser

Elementares

Compostos

sImpossívei

Pr

Certo

prováveisMuito

ováveis

prováveisPouco

Possíveis

ntosAcontecime

Efectuar todos os exercícios das páginas 10 e 11 do manual

adoptado.

Individualmente

ACONTECIMENTOS EQUIPROVÁVEIS

O cálculo de probabilidades procura medir até que ponto se pode esperar que ocorra um acontecimento.

Consideremos a seguinte experiência:

“No lançamento de um dado perfeito (ou equilibrado) anotar a face que fica voltada para cima.”

Observação:

“Dado perfeito ou equilibrado”, significa que o dado não tem nenhum “vício” que faça com que alguma face saia mais frequentemente do que as outras. Se o dado for equilibrado ou perfeito então a probabilidade de sair cada uma das faces é igual. Isto é,

654321 facePfacePfacePfacePfacePfaceP

Dois acontecimentos que têm a mesma probabilidade de ocorrerem, dizem-se acontecimentos equiprováveis.

Definição:

Como calcular a probabilidade de um acontecimento?

Lei de LAPLACE

1749 - 1827

Consideremos os acontecimentos relativos à experiência do lançamento de um dado perfeito.

A:”sair face 5.” B:”sair face par.” C:”sair face maior ou igual a 3.”

Antes de calcularmos a probabilidade destes acontecimentos, temos de conhecer duas situações:

6,5,4,3,2,1 O número de casos possíveis, 6.

1.ª

2.ªA outra situação, são os chamados casos favoráveis, que variam de acordo com cada acontecimento.

A:”sair face 5.” 5A

Neste caso, só existe 1 caso favorável à ocorrência do acontecimento.

%176

1AP

B:”sair face par.”

C:”sair face maior ou igual a 3.”

%502

1

6

3BP

%673

2

6

4CP

possíveiscasosdeNúmero

favoráveiscasosdeNúmeroAP

Definição:

Se os acontecimentos elementares são equiprováveisequiprováveis e em número finito,pode-se calcular a probabilidade de um acontecimento A usando uma fórmula que tem o nome de Lei de Laplace.

A probabilidade de um acontecimento A, P(A), é igual ao quociente entre O número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis.

A probabilidade de um acontecimento é um número que pode apresentar-se sob a forma de fracção, de percentagem ou de um numeral com vírgula.

Exercício:

Um “rapa” tem 4 faces - rapa, R; tira, T; põe, P; deixa, D, todas com a mesma probabilidade de saírem num lançamento.Ao lançar o “rapa”, qual a probabilidade de:

4

1"" RsairP

4

3"" RsairnãoP

2

1

4

2"" TouRsairP

a) sair R?

b) Não sair R?

c) Sair R ou T?

Efectuar os exercícios das páginas 15,16 e 17 do manual

adoptado.