Teoria das Probabilidades - UEL - Universidade Estadual de

IntroducaoConceitos Basicos

Definicao de ProbabilidadeExercıcios

Teoria das Probabilidades

Lucas Santana da [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

Universidade Estadual de Londrina

09 de maio de 2018Londrina

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Introducao

Conceitos probabilısticos sao necessarios para se estudar fenomenosaleatorios, isto e, situacoes em que os resultados possıveis saoconhecidos, mas nao se pode saber a priori qual deles ocorrera.

Em particular, a distribuicao de frequencias e um instrumentoimportante para avaliar a variabilidade das observacoes de umfenomeno aleatorio.

Assim, podemos criar um modelo teorico que reproduza de ma-neira razoavel a distribuicao de frequencias. Tais modelos saochamados modelos probabilısticos.

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Experimento AleatorioEspaco AmostralEvento

Experimento Aleatorio

Definicao

E um processo de coleta de dados relativo a um fenomeno que acusavariabilidade em seus resultados, mesmo que as condicoes iniciaissejam sempre as mesmas.

Exemplo 1

a) o lancamento de uma moeda;

b) lancar tres moedas justas e observar as faces voltadas pracima;

c) lancar um dado e observar a face voltada para cima;

d) resultado de um exame de gravidez;

e) 20 animais sao submetidos a um tratamento de certa doencae observa-se ao final o numero de animais curados.

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Espaco Amostral

Quando se tem um experimento aleatorio, nao se pode prevercom certeza o resultado. Pode-se, no entanto, descrever todosos possıveis resultados deste experimento.

Definicao

O conjunto de todos os resultados possıveis de um experimentoaleatorio e chamado de espaco amostral. Vamos representa-lo porΩ.

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Exemplo 2

Encontre o espaco amostral dos exemplos a seguir:

a) o lancamento de uma moeda:

b) lancar tres moedas justas e observar as faces voltadas pracima;

c) lancar um dado e observar a face voltada para cima;

d) resultado de um exame de gravidez;

e) 20 animais sao submetidos a um tratamento de certa doencae observa-se ao final o numero de animais curados.

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Evento

Definicao

E qualquer subconjunto do espaco amostral. Os eventos sao geral-mente representados por letras maiusculas, como A,B,C , . . ..

Dentre os eventos a considerar, deve-se incluir o proprio espacoamostral, Ω, que denominamos evento certo e o conjuntovazio, ∅, que denominamos evento impossıvel.

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Exemplo 3

a) No lancamento de um dado, temos os seguintes eventos:

A: ser sorteado o numero 2;

B: ser sorteado um numero par;

C: ser sorteado numero primo.

b) Um experimento foi conduzido com a finalidade de se conhecera eficiencia de um tratamento na cura de certa doenca. Paratanto, tres animais foram tratados com a referida droga. Oespaco amostral e dado porΩ = CCC ,CCC c ,CC cC ,C cCC ,CC cC c ,C cCC c ,C cC cC ,C cC cC c,em que C e cura e C c e nao cura. Temos os seguintes eventos:

A: obter duas curas; B: todos serem curados.C: obter pelo menos duas curas; D: obter quatro curas;

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Operacoes com Eventos

Em muitos problemas de probabilidade interessam-nos eventosque podem ser expressos em termos de dois ou mais eventos,formando unioes, intersecoes e complementos.

Os espacos amostrais e os eventos, especialmente as relacoesentre os eventos, costumam ser ilustrados por diagramas deVenn.

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Uniao de eventos

O evento uniao de A e B equivale a ocorrencia de A, ou de B, ouambos. Contem os elementos do espaco amostral que estao em pelomenos um dos dois conjuntos. Diz-se “ocorre A ou B”.

Figura 1: Diagrama de Venn

Notacao: A ∪ B

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Interseccao de eventos

A interseccao de dois eventos A e B e o evento que consiste de todosos elementos contidos simultaneamente em A e em B. Contem todosos pontos comuns a A e B.


Notacao: A ∩ B

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Sub-Conjuntos

Diz-se: “B e sub-conjunto de A” ou “B implica em A”.


Notacao: B ⊂ A⇒

B ∪ A = A,B ∩ A = B.

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Eventos Disjuntos

Dois eventos A e B, dizem-se disjuntos ou mutuamente exclusivos,quando a ocorrencia de um deles impossibilita a ocorrencia dooutro. Os dois eventos nao tem elementos em comum.


Notacao: A ∩ B = ∅

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Complemento

E o evento que consiste de todos os elementos do espaco amostralque nao estao contidos em A, ou seja, e a negacao de A.


Notacao: Ac ⇒

Ac ∪ A = Ω,Ac ∩ A = ∅.

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Exemplo 4

Em um lancamento de um dado, considere os seguintes eventos:A: sair uma face par; B: sair uma face maior que 3; C: sair a face 1.Calcule:

a) sair uma face par e maior que 3.

b) sair uma face par e face 1.

c) sair uma face par ou maior que 3.

d) sair uma face par ou face 1.

e) nao sair face par;

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Definicao classicaDefinicao frequentista

Definicao classica

Definicao classica

O conceito classico ou “a priori”surgiu no seculo XVII a partir dosjogos de azar e define a probabilidade de o evento A ocorrer comosendo:

P(A) =numero de resultados favoraveis a A

numero de resultados possıveis=

n(A)

n(Ω)

Esse conceito aplica-se somente quando todos os resultadospossıveis sao igualmente provaveis.

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Exemplo 5

No lancamento de um dado honesto, qual e a probabilidade de oresultado ser um numero:

a) ımpar?

b) Menor que 3?

c) primo?

d) Maior que 6?

e) entre 1 e 6?

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Introducao

Mas como podemos calcular as probabilidades “a priori”nasseguintes situacoes:

Uma pessoa que fuma um pacote de cigarros por dia desenvolvercancer;

Ocorrer uma geada no proximo inverno;

Sair cara em uma moeda desonesta;

Eficacia de um certo metodo de inseminacao;

Aumento da producao do leite devido ao uso de uma determi-nada racao.

E importante notar que a definicao classica exige que os resul-tados tenham todos a mesma probabilidade de ocorrencia.

Se os resultados nao tem a mesma probabilidade, deve-se apelarpara a estimativa pela frequencia relativa.

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Definicao frequentista

Suponhamos que realizamos um experimento n vezes ( n grande)e destas o evento A ocorre exatamente nA < n vezes, entao afrequencia relativa de vezes que ocorreu o evento A, “nA/n”, e aestimacao da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja,

P(A) = fA =nAn

Essa estimacao da probabilidade por frequencia relativa de umevento A, e proxima da verdadeira probabilidade do evento A,quando n tende ao infinito.

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Exemplo 6

a) Considere dez lancamentos de uma moeda desonesta comseguintes resultados:

Cara Coroa Coroa Coroa CaraCoroa Coroa Cara Coroa Coroa

Calcular a probabilidade de A = resultado obtido e cara.

b) Considere dez lancamentos de uma moeda honesta comseguintes resultados

Cara Coroa Coroa Coroa CaraCara Cara Cara Coroa Coroa

Calcular a probabilidade de A = resultado obtido e coroa.

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Exercıcios

Exercıcio 1

Um casal pretende ter filhos. Admitindo probabilidades iguais paraambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a ter tres filhosdo mesmo sexo? Pelo menos duas mulheres?

Exercıcio 2

A eficiencia de um tratamento na cura de certa doenca e de 70%.Para tanto, tres animais foram tratados com a referida droga.Calcule a probabilidade de:

a) obter duas curas;

b) todos serem curados.

c) obter pelo menos duas curas;

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Exercıcio 3

Os registros indicam que 84 de 120 vacas que receberam um certotipo de inseminacao artificial ficaram prenhas. Calcule aprobabilidade de uma vaca ficar prenha com esse tipo deinseminacao.

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