Ca

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1

1

Unidade 1 - Introduo ao

Controle de Processos Aula 05.05.2014

by

LC

OL

, 2014

a) Reviso de Aspectos Matemticos a.1) lgebra Linear a.2) Linearizao a.3) Outros aspectos a.4) Transformada de Laplace

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2

Ex.: C23= (-1)(2+3)M23=-M23=4

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3

Menores principais

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4

Ento:

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5

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6

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7

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8

Quando no indicada, refere-se a pseudo-inversa esquerda.

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Resoluo de Sistemas Lineares:

Ou a) Mtodo da Substituio b) Mtodo da Adio c) Mtodo de Cramer

Axi a matriz A modificada Substituindo-se a coluna i pelo vetor b.

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Linearizao

Princpio da Superposio O princpio da superposio estabelece que a resposta de um

sistema (sada) aplicao simultnea (soma) de duas perturbaes (entradas) igual soma das respostas do

sistema s duas perturbaes introduzidas separadamente. Sistemas No Lineares Um sistema no linear se o princpio da superposio no se

aplicar a ele.

Sistema u1 y1

Sistema u2 y2

Sistema u=u1+u2 y

Linear: y=y1+y2

No Linear:yy1+y2

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Uma operao normal pode ser em torno do ponto de equilbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do ponto de equilbrio.

Se o sistema for operar em torno de um ponto de equilbrio e os sinais envolvidos forem pequenos, possvel aproximar o sistema no linear por um sistema linear.

O sistema linear ser equivalente ao sistema no linear dentro de um determinado conjunto limitado de operaes.

Uma forma de linearizao desenvolver a funo no linear em uma srie de Taylor em torno do ponto de operao e reter somente o termo linear.

Por desconsiderar termos de ordem elevada da expanso da srie de Taylor, esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos, ou seja, as variveis devem se desviar apenas ligeiramente das condies de operao.

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Linearizao

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Linearizao

Esta equao fornece um modelo matemtico linear para um sistema no linear, prximo

do ponto de operao

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Linearizao

Expandindo em srie de Taylor em torno do ponto normal de

operao

Considere o sistema no linear cuja sada y uma funo de

duas entradas, x1 e x2, ento:

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Aplicao:

Linearize a equao no linear

Calcular o valor de z para x=5 e y=10.

Use o ponto de linearizao (6 e 11).

Modelo Linearizado

z linearizado=49 z exato=50 2% de erro

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Linearizao

Linearizado

No linear

ponto

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Aplicao 2

Linearize a equao no linear

Linearizado

No linear

glin=- 432 + 108x

x

g(x)

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Ento:

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potncia

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Valor Absoluto ou Mdulo de um nmero complexo

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Teorema de Euler

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Reviso: Funes Complexas

Variveis Complexas

Funes Complexas

Funo complexa analtica numa dada regio G(s) e todas as suas derivadas existirem nessa regio

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Transformada de Laplace

Transformada Inversa de Laplace

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Operador Linear a e b constantes

Transformada de Laplace de Algumas funes

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s+a >0

Pois,

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Detalhando

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Pode ser utilizada para expressar funes para domnio positivo. Ex.:

equivalente a:

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41

Analogamente:

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F(s) estvel

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O uso de tabelas de transformadas frequente para operacionalizar transformadas de Laplace. Em geral busca-se expressar a funo cuja transformada desejada utilizando-se propriedades e transformadas tabeladas.

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49

Transformada Inversa- Expanso em Fraes Parciais

Deve-se escrever a funo F(s) como uma funo de dois polinmios em s:

)(

)()(

sA

sBsF

Deve-se tambm fazer com que a maior potncia de s em B(s) seja menor que a maior potncia de s em A(s). Caso contrrio, deve-se dividir B(s) por A(s)

)(

)()()( 1

sA

sBsCsF

)()(1

tfsFL

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50

- Finalmente, reescreve-se a funo F(s) como uma soma de termos menores:

)(...)()()( 21 sFsFsFsF n

Cuja transformada inversa ser:

)(...)()()( 21 tftftftf n

Tem-se duas situaes para F(s). a) Ela pode ter razes distintas no denominador b) Ela ter razes mltiplas de ordem n no denominador.

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-(a) Caso com razes distintas:

))....().((

))....().(.(

)(

)()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsk

sA

sBsF

Para m < n. Deve-se reescrever F(s) como:

)(....

)()()(

)()(

2

2

1

1

n

n

ps

a

ps

a

ps

a

sA

sBsF

Em que as constantes a1, a2, ..., an so chamadas de resduos de cada raiz.

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- O valor de cada resduo dado por:

kps

kksA

sBpsa

)(

)().(

Ex.: Expanda Y(s) em fraes parciais

i) Grau do denominador vs numerador: Ok!

ii) Fatoraes denominador: Razes

distintas

Expanso de Heaviside

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Mutiplicando-se

por (s+1)

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Determinando 2

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55

Assim:

Ca

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-(b) Caso com razes mltiplas Seja a raiz mltipla (b) com multiplicidade r

Multiplica-se por

i) O valor de r pode ser avaliado diretamente.

ii) Os outros valores podem ser determinados por sucessiva

diferenciaes de Q(s) em relao a s.

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Exemplo

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Razes complexas

e

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Ex.:

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OK

Racionalizao

Pois,...

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Pois

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Mas,

e,

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Teorema da integral de convoluo

Ex.: Determine f(t) usando o Teorema de Convoluo

G(s) H(s)

g(t)=t g()=

h(t)=t exp(-t) h(t-)= (t-)exp(t- )

Uso na Transformada de Laplace inversa:

operador

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Simplificando,

Obs.:

O mesmo resultado seria obtido com a segunda forma da

convoluo.

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Resoluo de EDOs com Transformada de Laplace

Problema original em t

Problema original em s

Soluo em t

Soluo em s

Soluo em t

Soluo em s

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