SERVIO PBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERALDO PAR CAMPUS UNIVERSITRIO DE TUCURUI CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CLCULO 1 PROFESSOR: Manoel Santos

CAPTULO 1

NMEROS REAIS

Resumo terico e lista de exerccios Introduo: A partir do sculo VIII, os rabes introduziram na Europa o sistema conhecido como sistema de numerao indo- arbico, com 10 smbolos, sofreu alguma modificaes no decorrer do tempo, somente no sculo XIV os smbolos adquiriram o formato que temos hoje.

Nmeros Naturais: Os nmeros naturais so aqueles que utilizamos para fazer contagem de nmero de pessoas, nmero de cidades, pginas de um livro, etc. Representao: IN

IN = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Nmeros Inteiros: Para cada nmero pertencente ao conjunto dos naturais, temos um nmero correspondente negativo, chamados nmeros opostos. Por exemplo: O oposto de 5 5; o oposto de 10 10 e assim por diante. Por tanto temos como conjunto dos nmeros inteiros todos os nmeros positivos, no caso os naturais, seus opostos e o zero. Representao:

* +

Nmeros Racionais: Nmero racional aquele que pode ser escrito da forma:

Representao:

Exemplo: 5

2,

4

1,

3

2

A operao que a cada par de nmeros racionais associa a sua soma denomina-se adio , e a que associa o produto denomina-se multiplicao. Sejam r e s dois racionais dizemos que r estritamente menor que s (ou que s estritamente maior que r) e escrevemos ( respectivamente ) se existe um racional t estritamente positivo tal que A notao ( L-se: r menor ou igual a s ou simplesmente r menor que s) usada para indicar a afirmao A notao ( L-se: r maior ou igual a s ou simplesmente r maior que s) usada para indicar a afirmao r positivo equivale dizer que . Se dizemos que r negativo.

Nmeros Reais:

O conjunto dos nmeros reais ser indicado por IR. , isto , todo nmero racional um nmero real. Os nmeros reais que no so racionais denominam-se irracionais INTERVALOS: INTERVALO ABERTO: intevalo aberto de extremidades a e b denotado por ]a,b[ definido por :

( ) * +

INTERVALO FECHADO: intevalo fechado de extremidades a e b denotado por [a,b] definido por :

, - * +

INTERVALO SEMI-ABERTO: FECHADO EM a E ABERTO EM b: intevalo fechado de extremidades a e b denotado por [a,b[ definido por :

, ) * +

INTERVALO SEMI-ABERTO: ABERTO EM a E FECHADO EM b: intevalo fechado de extremidades a e b denotado por ]a,b] definido por : - - * +

Os quarto intervalos assim definidos so ditos limitados.

Ao introduzir os smbolos , (l-se: menos infinito e mais infinito), definimos os intervalos ilimitados:

( )

, ) * +

( ) * +

1. Dados os conjuntos: A = [ 2 ; 5 ] e B = [ 4; 7]. Calcule:

a) b) c) d)

2. Dados os conjuntos: A = [ - 1 ; 3 [ e B = ] 0; 6]. Calcule: a) b) c) d)

3. Dados os conjuntos: A = [ - 4 ; 3 [, B = ] 1 ; 5 ] e C = ] - 6 ; 1]. Calcule:

a) b) c) d) ( )

4. Dados os conjuntos: A = [ 3 ; 8 ], B = [4 ; 8[ e C = ] 4 ; 9]. Calcule: a)

b) c) d) ( )

5. (FGV-SP)Sejam os intervalos ]2,0]],1,] BA e

]1,1[C . O intervalo BAC : a) ]1,1] b) ]1,1[ c) ]1,0[

d) ]1,0] e) ]1,]

DESIGUALDADE A representao geomtrica dos nmeros reais sugere que estes podem ser ordenados . Utilizando os smbolos usuais para maior, maior ou igual, menor, menor ou igual ( ), podemos ver, por exemplo que se , ento, . No eixo coordenado temos que a est esquerda de b, para todo , temos:

Exemplos: resolva a inequao: 5x + 3 < 2x + 7

Conjunto soluo: {

}

INEQUAO DO PRODUTO: Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) < 0 e f(x).g(x) = 0 , so denominadas inequaes produto. Vejamos por exemplo, como determinamos o conjunto soluo S da inequao ( ) ( ) De acordo com a regra de sinais do produto de nmeros reais, um nmero soluo da inequao ( ) ( ) se, somente se, ( ) e ( ), no nulos, tem o mesmo sinal. Assim so possveis dois casos: 1 ( ) ( ) Se so, respectivamente, os conjuntos solues dessas inequaes, ento o conjunto soluo do sistema. 2 ( ) ( ) Se so, respectivamente, os conjuntos solues dessas inequaes, ento o conjunto soluo do sistema. Da concluimos que o conjunto soluo da inequao do produto ( ) ( ) :

( ) ( ) Raciocnio anlogo seria feito para a inequao ( ) ( ) Exemplos: resolva a inequao (x + 2) . (2x 1) > 0

Conjunto soluo: {

}

Um outro modo de soluo:

Exemplo 2: Resolva a inequao; ( ) ( ) ( )

Conjunto soluo: {

}

Exerccios de aplicao: a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( )

d) ( ) ( ) ( )

INEQUAO DO QUOCIENTE: Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

So denominadas inequaes do quociente. Considerando as regras de sinais do produto e do quociente de nmeros reais so anlogas, podemos ento, construir o quadro-quociente de modo anlogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de uma frao no pode ser nulo Exemplo:

Resolver a inequao:

Lembrando que :

Conjunto soluo: {

}

Exerccios de aplicao;

a)

b)

Exerccios de aplicao: 6. Seja a um nmero inteiro. Prove que:

i) Se a for mpar, ento tambm ser mpar;

ii) Se for par, a tambm ser par; ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNO: Seja a funo , definida por y = f(x), analisarmos o sinal da

funo verificarmos para que valores de x temos f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0. Resolver este problema significa estudar o sinal da funo y = f(x) para cada x pertencente ao seu domnio: Exemplo: estudar o sinal da funo y = f(x) do grfico abaixo:

Observemos, inicialmente , que o que nos interessa o comportamento da curva y = f(x) em relao ao eixo x, no importando a posio com relao ao eixo y:

Concluso: ( )

( )

( )

7. Estudar o sinal das funo representadas nos grficos abaixo:

a)

b)

c)

8. Resolva a inequao:

a) R: {

}

b) R:

c) R:

d) R:

e) R:

f) R:

g) R:

h) R: [4;8]

i)

R: ( ) (

)

j)

9. Resolva a inequao:

a)

R:

b)

R:

c)

R:

d)

R:

e)

R:

f) ( )( ) R:

g) ( )( ) R:

h)

10. Estude o sinal da expresso:

a)

b)

c) d)

e)

f) ( )( )

g)

h)

i) ( )( )

j) ( )

k) ( ) 11. Estude o sinal da expresso , onde e b so dois reais

dados;

Identidades:

1 . ( ) ( ) 2 . ( ) ( ) 3. ( ) ( ) 4. ( ) ( ) 5. ( ) ( )

6. ( ) ( ) 7. ( ) ( ) IDENTIDADES:

1. ( ) ( )

2. (

) (

)

3. (

) (

)

12. Simplifique:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

POLINMIOS Generalizando, se o polinmio

( )

admite n razes , podemos decomp-lo em fatores do primeiro grau da seguinte forma:

( )

( )( ) ( )

Exemplo 1:

Fatorar o polinmio ( )

Resoluo: Fazendo , obtemos as razes r1 = 5 e r2 = 2.

Logo: ( )( ). Exemplo 2:

Fatorar o polinmio , sabendo que suas razes so

Resoluo: ( )( )( )( )( )

13. Fatore o polinmio do 2 grau dado:

a) R: (x 1 )(x 2) b) R: (x + 1 )(x 2) c) R: (x 1 )2 d) R: (x 3 )2 e) R: (2x 3 )(2x 3) f) R: x(2x 5 )

14. A afirmao:

para todo x real,

( )

falsa ou verdadeira? Justifique; Soluo:

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS:

Clculo vol 1, UERJ, Mauricio Vilches, Maria Correa Fundamentos da matemtica elementar, volume 1, gelson iezzi, carlos \murakami, 3 edio Guidorizzi, Hamilton Luiz; Um curso de Clculo, Vol. 1; 5 ed Leithold Louis, O clculo com Geometria Analtica, vol.1 3 ed.