MA11 - Números e Funções Reais 2011

7/25/2019 MA11 - Números e Funções Reais 2011

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MA 11 - Unidade 1

Conjuntos

Semana de 04/04 a 10/04

Recomendacoes gerais

Em muitos casos, livros didaticos de matematica introduzem determinados assuntos (tipicamente,

funcoes) com uma linguagem fortemente baseada em conjuntos, que e subitamente abandonada em

seguida. Tais inconsistencias de linguagem podem atrapalhar consideravelmente a aprendizagem.

Assim, e fundamental para o professor saber adequar a linguagem e a notacao de conjuntos para o

nıvel em que esta ensinando, evitando imprecisoes, por um lado, e exageros de formalismo, por outro.

O objetivo desta unidade e introduzir a linguagem basica de conjuntos, sem se aprofundar dema-

siadamente na teoria de conjuntos. Para quem quiser se aprofundar mais nessa teoria, recomendamos

a leitura de [2]. Para o professor, e fundamental o conhecimento da linguagem de conjuntos, uma

vez que esta forma a base comum a todos os campos da matematica atual. Este conhecimento e

importante, mesmo para que se saiba adequar o grau de formalismo da linguagem de conjuntos a cada

serie da educacao basica. Por exemplo, mesmo para usar com seguranca em sala de aula o “abuso de

notacao”r∩s = P , quando se fala do ponto de intersecao entre duas retas (ver p. 4), e preciso ter claro

por que a versao rigorosamente correta seria r ∩ s = {P }. Para isto, deve-se lidar confortavelmente

com as relacoes entre conjuntos e entre elementos e conjuntos (leia as Recomendacoes 4 e 5, p. 6-8).Ao estudar esta unidade, procure prestar particular atencao em como a linguagem de conjuntos

pode facilitar a expressao do raciocınio dedutivo matematico. Por exemplo, mostrar que um conjunto

esta contido em outro equivale a mostrar que a propriedade que define o primeiro implica na propriedade

que define o segundo (P ⇒ Q); e aplicar a propriedade anti-simetrica para demonstrar a igualdade

entre conjuntos equivale a demonstrar a equivalencia entre as condicoes que os definem (P ⇔ Q).

Neste sentido, leia com atencao os comentarios que comecam no final da p. 6 e vao ate a p. 8.

Ao ler os exemplos das pp. 7-8 da Unidade 1, procure refletir sobre os passos comumente feitos

na manipulacao de expressoes algebricas, particularmente na resolucao de equacoes. Alguns destes

correspondem a equivalencias logicas, e outros, apenas a implicacoes cuja recıproca nao e verdadeira.

Esta discussao continuara nas pp. 10-11. A clareza dessas questoes e fundamental para o ensino da

simbologia algebrica no fim do Ensino Fundamental e no Ensino Medio.

Ao ler a Recomendacao 7 (pp. 8-9), reflita detidamente sobre o que significa formular uma definicao

matematica. A observacao feita sobre a nao necessidade de escrever o termo “se e somente se”no enun-

ciado de uma definicao se deve ao fato de toda definicao matematica ser uma equivalencia logica. Isto e,

quando enunciamos uma definicao matematica, estamos atribuindo um nome aos objetos matematicos

que gozam de certas propriedades – o que significa que serao chamados pelo nome escolhido todos os

objetos com essas propriedades, e nenhum alem destes.



E de fundamental importancia a compreensao da observacao feita na p. 12. Os termos “necessario”e

“suficiente”em matematica tem significados especıficos, que podem diferir da forma como os enten-

demos em linguagem cotidiana. Isto pode se constituir em um obstaculo para a aprendizagem. Em

uma implicacao logica P ⇒ Q , dizemos que a condicao P e suficiente para a condicao Q, ou, de

forma equivalente, que a condicao Q e necessaria para a condicao P . A contra-positiva ∼ Q ⇒∼ P

pode ajudar a entender o significado do termo “necessario”: se Q nao ocorre, entao certamente P

nao ocorrera (embora Q possa ocorrer sem que P ocorra). Para entender melhor, procure pensar emsituacoes familiares. Por exemplo, quando dizemos que n ∈ N ⇒ n ∈ Z, estamos afirmando que n ser

natural e suficiente para que n seja inteiro, ou equivalentemente, que n ser inteiro e necess´ ario para

que n seja natural (embora n possa ser inteiro sem ser natural).

Voltando a pensar sobre a relacao entre a linguagem de conjuntos e a expressao do raciocınio

dedutivo matematico, leia com atencao a secao 3. O Complementar de um Conjunto (pp. 13

a 16). A nocao de complementar esta ligada a ideia logica de negacao , e ao Princıpio do Terceiro

Excluıdo (ver p. 13), que esta na base de toda a logica matematica. Essas ideias sao fundamentais nas

demonstracoes por contra-positiva e por absurdo. Para entender melhor essas ideias, procure pensar

em exemplos familiares (veja a Recomendacao 8, p. 14).

Ao ler a Secao 4. Reuniao e Intersecao (pp. 17 a 22), certifique-se de entender os significados

matematicos dos conectivos “e” e “ou”. Como ocorre com os termos “necessario”e “suficiente”, o

uso em linguagem corrente difere de seu significado matematico. Neste sentido, a anedota narrada na

p. 16 pode ser esclarecedora.

Em matematica, ha muitas situacoes em que o uso de certos termos em linguagem corrente pode

dificultar a compreensao de seu significado matematico. De fato, os nomes escolhidos para os conceitos

matematicos sao, em geral, inspirados em linguagem corrente, mas e preciso “esquecer”seu significado

em linguagem corrente para entender corretamente seu significado matematico. Isso ocorre mesmocom nocoes extremamente elementares, como o proprio termo “igual”, como se discute na Secao 5.

Comentario sobre a Nocao de Igualdade (pp. 21 a 22).

Na ultima secao da unidade, 6. Recomendacoes Finais (pp. 2 a 24), voce vera que nem sempre,

ao longo da historia da matematica, a linguagem de conjuntos foi usada, como e hoje. De fato, esta

e uma mudanca recente, que foi determinante para muitos progressos posteriores. Para saber mais

sobre o desenvolvimento historico da Teoria dos Conjuntos, veja [1]. Aproveite tambem essa secao

para refletir mais sobre a adequacao da linguagem de conjuntos a cada nıvel de ensino de matematica.

Exercıcios recomendados

Recomendamos que voce resolva, prioritariamente, os Exercıcios 1, 2, 3, 6 ate 11, 15 ate 18. Os

Exercıcios 1, 2, 3, 15 ate 18 visam rever a linguagem basica de conjuntos. Os Exercıcios 6 ate 11 tem

fortes relacoes com topicos importantes da matematica do Ensino Medio.



Para saber mais

Abaixo indicamos algumas referencias de estudos futuros para aqueles que se interessarem em se

aprofundar nos temas tratados nesta aula. Esses aprofundamentos nao sao prioritarios e nao serao

cobrados nas avaliacoes unificadas.

[1] Eves, H. Introducao a Hist oria da Matematica

[2] Halmos, P. Teoria Ingenua dos Conjuntos

[3] Lima, E.L. Curso de Analise , vol. 1



A

a

a

A

a

A

a ∈ A

a /∈ A

a

A



x

P

y

C

x ∈ A

y ∈ B

A

P

B

C

P

x

C y

y2 − 3y + 2 = 0.

A = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .} e B = {1, 2}.

x P y

C

x ∈ A

y ∈ B

x ∈ A

y ∈ B

x

P

y

C



(A ∪ B) (A ∩ B)

(A

⊂ B)

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) e A ⊂ A ∪ B,

x

P

A

{. . .}

A

A

A

2n; n ∈ Z



∅

∅ = {x; x = x}

∅

x

x

x

x /∈ ∅

X

X

x

x ∈ X

x

x

x

x

x

∅ = {∅} ∅ ∅ ∈

{∅

}

∅

x

x

r

s

P

P

r∩s

P

r∩s

P

A

B

A

B

A

B

A



B

A

B

A

⊂ B

T

P

T ⊂ P

A ⊂ B

A

B

A ⊂ B

A

B

a

a ∈ A

a /∈ B

A

B

A ⊂ B 2 ∈ A

2 /∈ B

B ⊂ A 3 ∈ B

3 /∈ A

A

A ⊂ A

A

A

∅ ⊂ A

A ∅

⊂ A

x

x ∈ ∅

x /∈ A

x ∈ ∅

∅ ⊂ A

A

B

A ⊂ B

A = ∅

A = B

A B C

A ⊂ A

A ⊂ B

B ⊂ A

A = B

A ⊂ B

B ⊂ C

A ⊂ C



A B

A ⊂ B

B ⊂ A

A

B

B

A

A

B

H

A

M

H ⊂ A A ⊂ M

H ⊂ M

a A a ∈ A

a

⊂ A

a ⊂ A

{a} ∈ A

r

Π

r ⊂ Π

r

Π



r ∈ Π

r Π

Π

P

Q

U

A

U

P

B

U

Q

P

Q

P ⇒ Q

A ⊂ B

U

P

Q

P ⇒ Q

A

B

A

⊂ B

x2 + x − 1 = 0 ⇒ x3 − 2x + 1 = 0.

x2 + x − 1 = 0

x

3

− 2x + 1 = 0.

P ⇒ Q

P

Q

P

Q

P

Q

Q

P

P

Q

x

x



Q ⇒ P P ⇒ Q

x = 1

x3 − 2x + 1 = 0

x2 + x − 1 = 0.

P ⇒ Q

Q ⇒ P

Q ⇔ P

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

x y z

Q

z 2 = x2 + y2.

P ⇔ Q

x2

+ x − 1 = 0 ⇒ x3

− 2x + 1 = 0



⇒

⇒

∴ ⇒

n > 1

1 n

P

Q

a > b c

a2

= b2

+ c2



P

Q

P ⇒ Q

P

P ⇒ Q

x2 − x − 2 = 0

x

x2 − x − 2 = 0

P

. . . . . . x2 − x − 2 = 0

Q

. . . . . . (x − 2)(x + 1) = 0

R

. . . . . . x = 2

x = −1



S

. . . . . . x ∈ {2, −1}

P,Q,R

S

x

P ⇒ Q ⇒ R ⇒ S,

x

P

Q

P

⇒ S

x2 − x − 2 = 0

x ∈ {2, −1}.

x2 − x − 2 = 0

2

−1

{2,

−1

}

S ⇒ R ⇒ ⇒ P

S ⇒ P

P ⇔ S

2 −1

x2 − x − 2 = 0.

x2 + 1 = 0

P,Q,R

S



x

P

x2 + 1 = 0

P x2 + 1 = 0 x2 − 1

Q

x4 − 1 = 0

R

x4 = 1

S

x ∈ {−1, 1}

P ⇒ Q ⇒ R ⇒ S

P ⇒ S

x2

+ 1 = 0 {−1, 1}

x2 + 1 = 0

P ⇒ Q



Q

Q

P

P

U

U

U

U

U

U

U

U

A

U

A

Ac

U

A

A

x U x

∈ A

x /∈ A

x ∈ U

x ∈ A

x /∈ A

x ∈ A

x /∈ A



A ⊂ U

(Ac)c = A

A ⊂ B Bc ⊂ Ac

⇒

A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac.

A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac.

P

Q

A

B

A

U

P

B

U

Q

Ac

Bc

P

P

Q

Q

x

P

x

P

Q

P

⇒ Q Q

⇒ P

P ⇒ Q P Q

Q ⇒ P

Q

P

U

R

x

P

P

R

R ⇒ P

P

⇒ R



x

x

x

x

Q ⇒ P

P ⇒ Q

P ⇒ Q

Q ⇒ P

Π r s P

x

s

r

Q

x

Π s

P

P

Π s

r

Q

Q

Π

s



P ⇒ Q

s

x

r

s x

Q ⇒ P

Q ⇒ P P ⇒ Q P ⇒ Q

s x

A

s

r

x

r



U

U c = ∅ ∅

c = U

P ⇒ Q

P ⇒ Q

P

Q

P

Q

P

Q

P ⇒ Q

P

⇒ Q



A

A∪B

A

A ∩ B

A

B

x ∈ A

x ∈ B

x ∈ A ∪ B

x ∈ A ∩ B

x ∈ A ∪ B

x ∈ A

x ∈ B

x ∈ A ∩ B

x ∈ A x ∈ B

A∪B

A∩B

A

P

B

Q

A ∪ B

P

Q

A ∩ B

P Q

x

P

x2 − 3x + 2 = 0.

x

Q

x2

− 5x + 6 = 0.



P

A = {1, 2}

Q

B =

{2, 3

}

x2 − 3x + 2 = 0

x2 − 5x + 6 = 0

x ∈ {1, 2, 3}

x2 − 3x + 2 = 0

x2 − 5x + 6 = 0

x ∈ {2}

x = 2

A ∪ B = {1, 2, 3} A ∩ B = {2}

P

Q

P

Q

A = {x ∈ Z; x > 10}



B =

{x

∈ Z; x < 20

}

A ∪ B = Z

A

B

x

x ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).



∪

∩

⊂

A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.

A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C

A ∩ C ⊂ B ∩ C

C

A

B

U

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

a = b

a

b

a

b

A B a = b

α

β

ABC

ABC



a

b

a = b

a = a

a = b

b = a

a = b

b = c

a = c

a = b c = b

a = c

a

c

b



{∅} = {{∅}} ∅ = {∅}



r

α

P

P

r

α

r

s

→ →

→

→



P 1 P 2 Q1 Q2

U

P 1

P 2

U

P 1 P 2

Q1 Q2

P 1 ⇒ Q1

P 2 ⇒ Q2 Q1 ⇒ P 1

Q2 ⇒ P 2

X 1, X 2, Y 1, Y 2

U

X 1∪ X 2 = U

Y 1 ∩ Y 2 = ∅

X 1 ⊂ Y 1 X 2 ⊂ Y 2

X 1 = Y 1

X 2 = Y 2

n

n

n = 8

P 1 ⇒ Q1

P 2 ⇒ Q2

Q1 ⇒ P 1

Q2 ⇒ P 2



√ x + 2 = 2

√ x + 3 = x

m > 0

√ x + m = x

x = 1 ⇔ x2 − 2x + 1 = 0

⇔ x2 − 2 · 1 + 1 = 0

⇔ x2 − 1 = 0

⇔ x = ±1.

x = 1 ⇔ x = ±1.

x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0

11x 11 × 2 = 22

x3 − 6x2 + 16 x = 1

x = 3

x

P (x)

x

P (x)

P (x)

x

A

x



U

P (x)

•

x

x2 =

−1

•

n

n2 > n

• x x > 1 x2 < 1

• x

n

n > x

• n x

n > x

F

M

C

P



x2 + x − 1 = 0 ⇒ x3 − 2x + 1 = 0



x

y

k

x + 4y = 13k ⇔ 4x + 3y =

13(4k

−y) 4x + 3y

x + 4y

x y

X ,Y ,Z

X ∩ Y = 1 ∪ 2

(X c

∪ Y )c

(X c

∪ Y ) ∪ Z c

(X c ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z c) (X ∪ Y )c ∩ Z

(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z ) ∪ (Y ∩ Z )

X

∪(Y

∩Z )c = X

∪Y c

∪Z c

A

B

C

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C

A − B = {x|x ∈ A

x /

∈ B

}

A − (B − C ) = (A − B) − C

A

P (A)



A

f : A → P (A)

f X = {x ∈A : x /∈ f (x)}



MA 11 - Unidade 2

Numeros Cardinais

Semana de 04/04 a 10/04


Nesta aula, sera tratado o conceito de numero cardinal (isto e, numero de elementos de um con-

junto), considerando os casos de conjuntos finitos e de conjuntos infinitos. Para que este conceito seja

bem entendido, e preciso que esteja clara a ideia de funcao, especialmente de funcao bijetiva.

Sendo assim, para prosseguir nesta aula, tenha certeza de ter compreendido bem as ideias iniciais

sobre funcoes, discutidas na Secao 1. Funcoes (pp. 1 a 6 da Unidade 2). Varias dessas ideias temrelacoes importantes com o ensino de funcoes no Ensino Medio.

Em primeiro lugar, observamos que uma funcao e definida por tres elementos fundamentais:

domınio, contradomınio e lei de correspondencia (ver pp. 1-3). Assim, duas funcoes sao iguais se

e somente se possuem mesmo domınio, mesmo contradomınio e mesma lei de correspondencia. Por

exemplo, as funcoes f : R → R, f (x) = x2 e g : R → [ 0,+∞[, g(x) = x2 sao diferentes, tanto

que a segunda e sobrejetiva e a primeira nao! Alem disso, mesmo nos casos em que o domınio e o

contradomınio sao conjuntos numericos (o que pode nao ocorrer), a lei de correspondencia pode nao

admitir uma expressao algebrica (leia com atencao os Exemplos 1 e 2, pp. 3-4 e a Recomendacao 3,

p. 5). Entretanto, em aulas e livros didaticos do Ensino Medio, costuma haver grande enfase nas ex-pressoes algebricas para funcoes. Nao e recomendavel adotar-se abordagens excessivamente abstratas

no Ensino Medio, porem a reducao do conceito de funcao a ideia de formula algebrica pode limitar

gravemente a aprendizagem dos estudantes. Uma consequencia comum e a confusao entre as ideias

de funcao e equacao – ambas tendem a ser concebidas simplesmente como “formulas”. Neste sentido,

leia com atencao as Recomendacoes 1 e 2 (pp. 2-3). Para evitar tal confusao, a relacao entre funcao

e equacao (veja p. 5) pode ser explorada: deve-se enfatizar para os alunos o fato de que resolver uma

equacao nada mais e do que encontrar os valores do domınio de uma funcao cujas imagens sao iguais

a um valor fixo dado. A abordagem grafica pode ajudar muito nesse ponto.

Muitos livros apresentam exercıcios do tipo “determine o domınio”e “determine a imagem”de uma

funcao dada. No entanto, os exercıcios do segundo tipo sao matematicamente corretos (ver p. 5),

mas os primeiros nao (veja Recomendacao 2, p. 3). Como ja foi observado, o domınio e parte da

definicao de uma funcao. Assim, se a funcao e conhecida, nao faz sentido pedir que seu domınio

seja determinado. A formulacao mais correta seria: “determine o maior subconjunto X ⊂ R tal que

seja possıvel definir uma funcao com uma lei de correspondencia dada”(Recomendacao 2, p. 3). Em

sala de aula, pode-se tambem explorar a ideia de encontrar diferentes subconjuntos de R tais que seja

possıvel definir diferentes funcoes com uma mesma lei de correspondencia. Isto pode ajudar os alunos

a entender que o domınio de uma funcao nao pode ser determinado a posteriori, mas ser escolhido



quando a funcao e definida (desde que seja compatıvel com o contradomınio e a lei de

correspondencia, e claro).

Em seguida, certifique-se de entender bem as definicoes de funcao injetiva, sobrejetiva (p. 4) e

bijetiva (p. 6). Esta ultima e a base para a ideia de numero cardinal (Secao 2. A Nocao de Numero

Cardinal, pp. 6-11). Leia com atencao a subsecao A palavra “numero”no dicionario (p. 8).

Observe que numero cardinal e uma nocao abstrata que corresponde a uma propriedade comum a

todos os conjuntos que podem ser postos em correspondencia um a um com um conjunto dado. Nestalinha, em 1883 o matematico alemao Georg Cantor conceituou o numero cardinal da seguinte forma:

“Se abstraımos a natureza dos elementos e a ordem em que eles sao dados, obtemos o numero cardinal

do conjunto.”(para saber mais, veja [2]).

A ideia de verificar se dois conjuntos possuem o mesmo numero de elementos por meio do estabele-

cimento de uma correspondencia um a um (isto e, uma funcao bijetiva) entre eles e bastante intuitiva

e primitiva. De fato, esta ideia e historicamente anterior ao proprio conceito de numero (para saber

mais, veja [2]). Alem disso, se X e Y sao conjuntos finitos e existe uma injecao f : X → Y , entao

o numero cardinal de X e menor do que ou igual ao de Y . Analogamente, se existe uma sobrejecao

f : X → Y , entao o numero cardinal de X e maior do que ou igual ao de Y . Estas propriedades estao

relacionadas com o chamado princıpio das casas dos pombos (ver Exemplos 13 e 14, pp. 11-12). A

Secao 3. Conjuntos Finitos, (pp. 10-12) fala sobre as propriedades basicas de numeros cardinais de

conjuntos finitos. Para saber mais sobre essas propriedades, veja [4]. Para saber mais sobre por que a

suposicao da existencia de um conjunto que contenha todos os conjuntos conduz a um paradoxo, veja

[3]. A ideia de correspondencia um a um e bastante intuitiva e conduz a resultados esperados para

conjuntos finitos, mas pode levar a surpresas no caso de conjuntos infinitos.

Passe entao a Secao 4. Sobre Conjuntos Infinitos (pp. 13-15). Para comecar, uma importante

propriedade que caracteriza os conjuntos infinitos (isto e, e equivalente a sua definicao) e a seguinte:um conjunto e infinito se e somente admite uma bijec˜ ao com um subconjunto pr´ oprio (isto e, diferente

de vazio e do proprio conjunto). Isto significa dizer que todo conjunto infinito possui o mesmo numero

cardinal que uma parte propria sua – ou, a grosso modo, e do mesmo “tamanho”que um “pedaco”seu.

Esta surpreendente propriedade e ilustrada pelos Exemplos 7, 8 e 9 (pp. 6-8). Os dois primeiros

foram apontados por Galileu Galilei, como “paradoxos do infinito”, em sua celebre obra Discorsi e

Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze (para saber mais, veja [2]). Reflita sobre

esses exemplos e procure pensar em outros – as diversas areas da matematica sao ricas em exemplos

de conjuntos infinitos.

A natureza pouco intuitiva de conjuntos infinitos torna o ensino deste topico particularmente de-

licado. Muitos alunos tendem a conceber equivocadamente a nocao de infinito como “um numero

muito grande”(veja a Recomendacao 4, p. 15). O numero 10100 (chamado googol), por exemplo,

pode ser considerado “muito grande”, mas um conjunto com 10100 elementos nao pode ser posto em

correspondencia biunıvoca com um conjunto com 10100 − 1 elementos. Por outro lado, o conjunto

N dos numeros naturais pode ser posto em correspondencia biunıvoca com N \ {1}, como ilustra a

metafora do Grande Hotel Cantor (veja a subsecao Fantasia Matematica, pp. 14-15), proposta pelo

matematico David Hilbert (para saber mais, veja [2]). Por muito tempo, a ideia de infinito nao foi aceita

como um conceito legitimamente matematico. Georg Cantor teve um papel decisivo na formalizacao

matematica de diversas propriedades dos conjuntos infinitos. Dentre estas, destaca-se a prova de que



nenhum conjunto pode ser posto em correspondencia biunıvoca com o conjunto de suas partes P (X )

(para saber mais, veja [1]). Uma consequencia direta deste importante Teorema e o surpreendente fato

de que nem todos os conjuntos infinitos podem ser postos em correspondencia biunıvoca – portanto,

n˜ ao existe apenas uma classe de conjuntos infinitos, e sim infinitas classes de conjuntos (para saber

mais, veja [4]). O trabalho de Cantor marcou a Matematica de tal forma que foi descrito por Hilbert

por meio do comentario: “Ninguem nos expulsara do paraıso que Cantor criou para n´ os ”.


As ideias discutidas acima devem ser suficientes para resolver, sem obstaculos, os exercıcios pro-

postos (pp. 15-18). Recomendamos que voce resolva os Exercıcios de 1 a 8.

Os Exercıcios 1 a 5 tratam de propriedades de funcoes injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Como base

nos Exercıcios 2 e 3, voce podera concluir que, para que exista a inversa de uma funcao, e necessario

e suficiente que esta seja injetiva e sobrejetiva. Observe tambem que, dada f : X → Y , a existencia

de uma funcao h1 : Y → X tal que h1 ◦ f = I dX (que e equivalente a injetividade) e a existencia de

uma funcao h2 : Y → X tal que f ◦h2 = I dY (que e equivalente a sobrejetividade) nao sao condicoes

equivalentes entre si. Procure pensar em exemplos de funcoes injetivas e sobrejetivas e verifique que

essas propriedades sao satisfeitas.

Os Exercıcios 6 e 8 sao problemas importantes de contagem que podem ser resolvidos por argumento

de inducao. O Exercıcio 7 apresenta uma falha sutil em um argumento de inducao.

Para saber mais

Abaixo, indicamos algumas referencias de estudo futuro para aqueles que se interessarem em se



[1] Aigner, M. & Ziegler, G.M. Proofs from the Book


[3] Halmos, P. Teoria Ingenua dos Conjuntos




X

Y

f : X → Y

X

Y

x ∈ X

y = f (x) ∈ Y



X

Y

f

x ∈ X

f (x) ∈ Y

x

f f x ∈ X

x → f (x)

f

x

f (x)

f : X → X

f (x) = x

x ∈ X

f : X → Y

c ∈ Y

f (x) = c

x ∈ X

f (x)

x ∈ X

f

f

x ∈ X

f (x)

f

sen : R → R log : R

+

→ R

sen x log x

x

x2 − 5x + 6

p :R

→R



p(x) = x2 − 5x + 6

x ∈ R

ex

exp(x) = ex

exp : R → R

x → f (x)

f

X

Y

f (x) = 1/x

X ⊂ R

f (x) = 1/x

f : X → R

f : X → Y

g :

X → Y

X = X

Y = Y

f (x) = g(x)

x ∈ X

X

Π R

t ∈ X

f (t) =

t

f : X → R



S

Π ∆

AB ∈ S g(AB) g : S → ∆

n

n + 1 s : N → N s(n) = n + 1

f : X → Y

X

f

Y

f

x = x

X ⇒ f (x) = f (x)

f (x) = f (x) ⇒ x = x.

f : X → Y

y ∈ Y

x ∈ X

f (x) = y

A ⊂ X

f : X → Y

f (A) ⊂ Y

f (x)

x ∈ A

f : X → Y

f (X ) =



Y

f (X ) X

f

f

f

g

∆

s

2

f : X → Y

b ∈ Y

f (X )

f (x) = b

x ∈ X

f f (x) = y

x ∈ X

y ∈ Y

f : X → Y

X

Y

x →

f (x) f (x)

x

f (x)

x

f

X

f (x)

x ∈ X

x ∈ X

f (x)

Y



f : N → N

n ∈ N

p = f (n)

p2 + 3 = n

p = f (n)

n

p2 + 3

N

X

Y

x ∈ X

f (x) = t

t

x

f : X → Y

x > 0

x

f : X → Y

X

Y

X = {1, 2, 3, 4, 5}

Y = {2, 4, 6, 8, 10}

f : X →

Y

f (n) = 2n

f (1) = 2 f (2) = 4

f (3) = 6 f (4) = 8

f (5) = 10



P

P = {2, 4, 6, . . . , 2n , . . .}.

f : N → P

f (n) =

2n

n ∈ N

P

N

Y

X

Y

P

Y

f : X → Y

x ∈ X

f (x)

P x

Y

X = C − {P }

P

Y

P



f : X → Y

x ∈ X, f (x) =

P x

Y

X

Y

f : X → Y

X, Y

X = {1}

Y = {1, 2}

f : X → Y

X

Y

X

Y

f : X → Y

X Y



X

X



n ∈ N I n

n

I 1 = {1}, I 2 = {1, 2}, I 3 = {1, 2, 3}

k

I

n

1 k n

X

X

X

n

f : I n → X

n

X

X

f : I n → X

X

f (1) = x1, f (2) = x2,...,f (n) = x

n

X = {x1, x2, . . . , xn}

n

I n

n

n

∅

∅

X

X

n ∈ N

f : I

n → X

X = I 5 f : X → Y

Y

Y

N

f : I

n → N n

k = f (1) + f (2) + · · · + f (n) x ∈ I n

f (x) < k

x ∈ I n

f (x) = k



X

n(X )

f : I

m → X

g : I n → X

m = n

Y

X

n(Y )

n(X ) n(Y ) = n(X )

Y = X

X Y X ∪ Y n(X ∪ Y ) =n(X ) + n(Y ) − n(X ∩ Y )

X

Y

n(X ) > n(Y )

f : X → Y

g : Y → X

m > n

m

n

m



X =

{3, 33,..., 33...3} m

X

m

Y = {1, 2,...,m − 1}

f : X → Y

x ∈ X

f (x) x

m

X

Y

x1 < x2

X

f (x1) = f (x2) x1

x2 m

x2 − x1

m

x1

p

x2 p + q

x2 − x1

q

p

n

(n 2)

n

0, 1, . . . , n − 1

n

n − 1

n

n − 1



N

R

X

P (X ) X

f : X → X

X f

X

f : N → N

n ∈ N

f (n)

n

f

b ∈ N

n

f (n) = b

f : N

→ N

g : N

→ N



h : N → N ϕ : N → N

f (n) = n + 1,g(n) = n + 30,

h(n) = 2n e

ϕ(n) = 3n

n

n + 1

n

n + 30



n 2n

n

3n

3n + 2

3n + 1

136 × 2256

n

n < n + 1

f : X → Y

f

B ⊂ Y

f −1(B) = {x ∈ X ; f (x) ∈ B}

f −1

(f (A)) ⊃ A

A ⊂ X

f (f −1

(B)) ⊂ B



B ⊂ Y

f

f −1(f (A)) = A

A ⊂ X

f

f (f −1(B)) = B B ⊂ Y

f : X → Y

g : Y → X

g(f (x)) = x

x ∈ X

f : X → Y

h : Y → X

f (h(y)) = y

y ∈ Y

f : X → Y

g, h : Y → X

g(f (x)) = x

x ∈ X

f (h(y)) = y

y ∈ Y

g = h

f : N → N

n ∈ N

f (x) = n

x ∈ N

2a · b

a, b ∈ N b

X

n

n!

f : X → X

X

n (n 1)

X

n =



1 X

X

n

n + 1

{a1, a2, . . . , an, an+1}

{a1, a2, . . . , an}

n

a1, a2, . . . , a

n {a2, . . . , an

, an+1}

an

an+1

a1, a2, . . . , an

an

an+1

{a1, a2, . . . , an, an+1}

n

2n

n (n 2)

2n−3

n

T 1, T 2, . . . , T n, . . .





MA 11 - Unidade 3

A Reta Real

Semana de 11/04 a 17/04


Nesta unidade, comecaremos a estudar o conjunto dos numeros reais. Este e, sem duvida, um

dos pontos cuja abordagem no Ensino Medio envolve maiores dificuldades, que estao relacionadas

com as caracterısticas especıficas do conjunto dos reais. Em geral, na educacao basica, a motivacao

para a introducao de cada um dos conjuntos numericos se baseia nas limitacoes algebricas do conjunto

anterior. Isto e, a motivacao para a construcao de Z se baseia na impossibilidade de inverter a operacao

de adicao em N e, de forma analoga, a motivacao para a construcao de Q se baseia na impossibilidade de

inverter a operacao de multiplicacao em Z. A introducao dos numeros inteiros e dos numeros racionais

sao e ainda ilustrada por aplicacoes “concretas”: tipicamente, problemas envolvendo saldos bancarios,

ou variacoes de temperatura, para os inteiros; e divisoes de grandezas (apresentadas em problemas

numericos ou geometricos) que fornecem resultados nao inteiros. Ate mesmo a introducao de C tem

como base a impossibilidade de determinar raızes reais para qualquer polinomio com coeficientes reais.

No entanto, quando se trata da construcao de R, o problema se torna particularmente complicado.

Em primeiro lugar, a construcao da expansao de Q para R nao e um salto puramente algebrico, pois en-

volve alguma nocao de convergencia. Alem disso, dificilmente se encontrarao aplicacoes “concretas”ou“do dia-a-dia”que justifiquem a necessidade dessa expansao. As medicoes empıricas de segmentos, por

exemplo, sao totalmente resolvidas por numeros racionais, enquanto que os numeros reais atendem

ao problema te´ orico da proporcao de grandezas de mesma especie , isto e, a construcao de uma teoria

consistente de medida. Por exemplo, ao medir a diagonal d do quadrado unitario com uma regua

graduada, encontraremos alguma aproximacao decimal finita para√

2. Ao aplicarmos o Teorema de

Pitagoras para determinar a medida d (ou, de forma mais geral, a razao entre a diagonal e o lado de

um quadrado qualquer), concluiremos que ela e tal que d2 = 2, mas e necessario ainda mostrar que

nao existe um numero racional que satisfaca essa condicao. A maneira mais acessıvel de mostrar esse

fato no Ensino Medio envolve um argumento de absurdo com base na decomposicao em fatores primosdo numerador e do denominador da fracao (ver p. 4 da Unidade 3). Alem disso, mesmo se conside-

rarmos todas as raızes de equacoes polinomiais com coeficientes inteiros (como d2 = 2), chamados

numeros algebricos, nao obteremos todos os numeros reais – aqueles que nao satisfazem esta condicao

sao chamados transcendentes . O exemplo mais conhecido de numero transcendente e sem duvida o

numero π. Na educacao basica, definimos π como a razao entre o perımetro e o diametro de uma

circunferencia. Entretanto, as tecnicas necessarias para as demonstracoes de que π nao e racional e

nao e algebrico extrapolam em muito a matematica do Ensino Medio (para saber mais, veja [2]).

Para desviar das dificuldades discutidas acima, os livros didaticos do ensino fundamental e do medio

em geral adotam abordagens em ciclo vicioso (baseadas na representacao decimal ou em problemas



geometricos): os irracionais sao apresentados “como aqueles numeros que nao sao racionais”e os reais,

como “os numeros que sao racionais ou irracionais”. Ou seja, a introducao dos numeros reais parte da

pressuposicao da existencia dos proprios numeros reais. Esse modelo de abordagem apresenta problemas

nao so do ponto de vista matematico, pois e logicamente inconsistente, como tambem do ponto de

vista pedagogico, pois a necessidade de “criar novos numeros”alem dos racionais fica oculta. De fato,

nao e razoavel esperar que, ao final do Ensino Medio, o aluno entenda toda a complexidade teorica

da construcao do conjunto dos numeros reais. Entretanto, isto nao justifica desviar completamentede tais dificuldades. Para os estudantes do Ensino Medio, mais do que as complexidades teoricas de

sua construcao, talvez seja importante compreender os problemas matematicos que dao origem aos

numeros reais.

Sendo assim, para planejar adequadamente a abordagem dos numeros reais no Ensino Medio, e

fundamental que o professor conheca tais problemas, que remontam a ideia de grandezas incomen-

suraveis, na Escola Pitagorica. Portanto, leia com atencao a Secao 1. Segmentos Comensuraveis

e Incomensuraveis (pp. 2 a 5). Os filosofos pitagoricos acreditavam que os numeros naturais expli-

cariam todos os fenomenos da natureza – crenca expressa pelo lema: Tudo e N umero . Assim, qualquer

grupo finito de grandezas geometricas poderia ser expresso como multiplos inteiros de uma unidade

comum convenientemente escolhida. Equivalentemente, qualquer razao entre grandezas geometricas

poderia ser expressa como razoes entre numeros naturais. As grandezas com esta propriedade sao

chamadas comensuraveis (literalmente, que podem ser medidas juntas). A descoberta da existencia de

grandezas incomensuraveis (como o lado e a diagonal do quadrado, ou o perımetro e o diametro do

cırculo) provocou uma grande revolucao na matematica grega. Para saber mais sobre a problema das

grandezas incomensuraveis na matematica grega, veja [1].

Na matematica contemporanea, existem formas equivalentes de construir o conjunto dos numeros

reais (axioma do supremo, sequencias de Cauchy, cortes de Dedekind), de forma a caracteriza-lo comocorpo ordenado completo (ver p. 9). Ao ler a Secao 2. A Reta Real, certifique-se de entender

bem o que isto significa (para saber mais, veja [3]). O termo corpo refere-se a estrutura algebrica

dos numeros reais: as operacoes de adicao e multiplicacao e suas propriedades. O corpo ordenado

refere-se a existencia de relacao de ordem nos reais compatıvel com as operacoes, isto e, que satisfaz a

propriedade de monotonicidade: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀ x, y, z ∈ R e x ≤ y , z > 0 ⇒ x · z ≤ y · z

∀ x, y, z ∈ R. Finalmente, temos a importante propriedade de completeza dos reais, que diz respeito

ao fato da reta real nao ter “buracos”(falando grosso modo). Observe que o conjunto Q tambem

satisfaz todas as propriedades das operacoes e da ordem; portanto, Q tambem e um corpo ordenado.

E a propriedade de completeza que diferencia o conjunto R do conjunto Q. Do ponto de vista intuitivo,a diferenca entre as propriedades de completeza e densidade pode parecer sutil, pois podemos ter a

impressao de que a densidade e suficiente para preencher completamente a reta. No entanto, do ponto

de vista matematico, esta diferenca e crucial. A completeza dos reais e essencial para a construcao de

toda a teoria de analise real, inclusive a construcao das principais classes de funcoes reais, que veremos

mais adiante neste curso.



Para saber mais

Abaixo, indicamos algumas referencias de estudos futuros para aqueles que se interessarem em se




[2] Figueiredo, D.G. N´ umeros Irracionais e Transcendentes






AB

u

u

n − 1

AB n AB

n

u

u

n

AB

AB

AB

n

AB

AB

w

n

u

m

AB

w

u

AB

w

AB

u

w 1/n

AB

m 1/n

m/n

{2, 3, 4, 5, . . .

}

m/n

AB

u

m/n

2/3



7/10 1/3 + 1/5 +

1/6

AB CD

EF

n

AB

m

CD



u

n

AB m

AC

ABCD

AB AC m/n

AB

(m/n)2 = 12 + 12

m2/n2 = 2 m2 = 2n2

m2

2n2



√ 2

O

A

O

OA

OA

O

A



O

O

X

OA

OA

n

OX

X

n

−n

X

X

Z

X

OX

Z = N ∪ {0} ∪ (−N)

−N

X

OX

OA

w

n

OA

m

OX

X

m/n

−m/n

X

OA

OX

n = 1

X

Z



Q

X

OX

OA N ⊂ Z ⊂ Q

m/n

m ∈ Z n ∈ N

X

OX

OA

x

x

X

x

X

X

x

OX

X

x

R

OA R

X

OX

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

N, Q

R

Z

R

R



x + y

x < y

x, y ∈ R

X

Y

x

y

x

y

x < y

X

Y

X Y O A x+y

Y

XY

OY

xy

x

y

x > 0

y > 0 xy



R

R

R

N

R

R

x < y

R

n

√ a

ax

a > 0 x

∈ R

R

Q

R





MA 11 - Unidade 4

Representacao Decimal dos Reais

Semana de 11/04 a 17/04


Na escola, lidamos frequentemente com numeros racionais representados na forma decimal. De

fato, este tipo de representacao se aplica ao conjunto dos reais como um todo. Sao sempre ensinados

alguns fatos importantes sobre este conteudo, tais como: toda fracao pode ser representada como um

decimal finito ou uma dızima periodica; e, reciprocamente, toda dızima periodica pode ser representada

na forma de fracao. Uma consequencia imediata deste fato e que um numero e racional se, e somente

se, sua representacao decimal e finita ou periodica. O objetivo da Unidade 4 e refletir um pouco sobre

algumas questoes relacionadas, que em geral tem merecido pouca enfase.

Em primeiro lugar, como observado na p. 2 da Unidade 4, escrever um numero real positivo em

representacao decimal significa expressa-lo como uma soma cujas parcelas sao produtos de algarismos

entre 0 e 9 por potencias de 10, de expoentes inteiros, positivos e negativos. Esta e a generalizacao

da representacao decimal para numeros naturais, em que aparecem apenas expoentes positivos. En-

tretanto, quando se tratam de numeros reais, as somas podem ter uma quantidade infinita de parcelas

com expoentes negativos. Assim, um numero real positivo a se escreve na forma

a = a0 + a110−1

+ a210−2

+ · · · , (1)

sendo a0 um numero natural e os ai, i > 0, algarismos entre 0 e 9.

Neste caso, nao se tratam mais de simples somas no sentido algebrico, que teriam necessariamente

que ser finitas, mas sim, de somas infinitas, o que e representado pelo sımbolo de reticencias (ver p.

3). Isto e, tratam-se de series .

Mas, o que e uma serie? Bem, uma serie e apenas uma soma formal com infinitas parcelas

S = x0 + x1 + x2 + · · ·

+ xn + · · ·

.

Dizemos que a serie S converge quando a sequencia de suas somas parciais

S 0 = x0, S 1 = x0 + x1, S 2 = x0 + x1 + x2, . . . , S n = x0 + x1 + · · · + xn, · · ·

for convergente (para saber mais, veja [1]. O fato, que se assume tacitamente, de que as series como

em (1) sao sempre convergentes – o que equivale a dizer que o conjunto dos numeros reais e completo.

Portanto, ao fazermos operacoes com dızimas periodicas para obter fracoes geratrizes, estamos na

verdade efetuando operacoes com limites – que so sao legıtimas porque sabemos de antemao que as

series envolvidas sao convergentes.



E fundamental compreender bem a igualdade 1 = 0, 9999 . . . (p. 4), que e fonte de muitas duvidas.

Muitos estudantes concebem esta igualdade como nao exata, ou como uma aproximacao. Talvez estas

concepcoes estejam relacionadas com certa confusao entre os termos de uma sequencia e seu limite.

Nao e incomum ouvirmos comentarios do tipo “o limite da sequencia tende a x”. O limite de uma

sequencia e um numero fixo, portanto, nao pode tender a lugar algum! O correto e dizer que “o limite

da sequencia e igual a x”, ou entao que “a sequencia tende a x”. Neste caso, os termos da sequencia

se aproximam indefinidamente de seu limite. No caso da igualdade 1 = 0, 9999 . . ., observamos que osımbolo 0, 9999 . . . representa o limite da sequencia cujos termos sao x1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999,

e assim por diante. Mostramos facilmente que esta sequencia tende a 1 (ver p. 4). Assim, podemos

dizer que os termos x1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999, . . . se aproximam de 1, mas o limite 0, 9999 . . .

e igual a 1!

Nas pp. 5 a 9, sao discutidos os procedimentos de conversao entre fracoes e representacoes decimais.

Para converter dızimas periodicas em fracoes, usamos o procedimento que envolve multiplicacoes por

potencias de 10 e adicoes (pp. 5-7). Como ja comentamos, esse procedimento envolve operacoes com

limites. Reciprocamente, para converter fracoes em representacoes decimais, empregamos divisoes

sucessivas. Como ha uma quantidade finita de restos possıveis e, a partir da primeira vez que um

resto se repetir todos os algarismos do quociente se repetirao, obtemos necessariamente uma dızima

periodica. Em particular, se aparecer um resto 0, temos um decimal finito. Ao ler essas paginas,

observe que tais procedimentos, se devidamente organizados, constituem-se em provas matematicas

para o fato de que um numero real e racional se, e somente se, sua representacao decimal e finita ou

periodica.

Nas pp. 8-9, leia com atencao os comentarios sobre a correspondencia biunıvoca entre os numeros

reais e as expressoes decimais, descartando-se aquelas que terminam com uma sequencia infinita de

algarismos 9

.Leia com atencao a subsecao Uma descoberta de George Cantor (pp. 10-11). A prova de que R

nao e enumeravel, argumento conhecido como Diagonal de Cantor , tambem se baseia na representacao

decimal (ou binaria) para os numeros reais (para saber mais, veja [1]). Como Q e enumeravel, uma

consequencia direta deste fato e que o conjunto dos numeros irracionais tambem e nao enumeravel.

Assim, em um certo sentido, existem muito mais numeros irracionais do que racionais. Este fato e

surpreendente e pode parecer anti-intuitivo, pois na escola, em geral, os alunos tem muito mais contato

com exemplos diversos de racionais do que de irracionais. No entanto, se pensarmos mais uma vez

na representacao decimal, como os racionais sao dızimas periodicas e os irracionais, nao, poderemos

verificar, de um ponto de vista intuitivo, o seguinte: se pudessemos formar uma expressao decimalinfinita, sorteando ao acaso dıgito por dıgito de 0 a 9, a probabilidade de obtermos um irracional e

muito maior que a de obtermos um racional. Isto seria como jogarmos um dado (honesto) infinitamente

e esperar que os dıgitos obtidos aleatoriamente se repetissem em um mesmo padrao para sempre! De

fato, a probabilidade de obtermos um numero racional com este processo e igual a zero.




Os exercıcios 1 a 5 propostos na Unidade 4 envolvem topicos sobre numeros reais habitualmente

tratados na escola, mas com os quais os estudantes costumam ter algumas dificuldades. Por exemplo, o

exercıcio 1 envolve um processo simples de aproximacao que pode ser feito em sala de aula, com ajuda

de uma calculadora de bolso. Este processo de aproximacao pode ser prolongado indefinidamente e pode

ser usado para construirmos as expressoes decimais dos numeros irracionais que admitem representacao

por meio de radicais. Estas expressoes decimais, mesmo nos casos simples como√

2 e√

3, sao, em

geral, dadas nos livros didaticos sem qualquer justificativa. O exercıcio 5 explora um erro muito comum:

a confusao entre um expressao decimal ter um padrao de regularidade qualquer e ter um padrao de

repeticao, o que e uma situacao muito mais particular.

Para saber mais

Abaixo, indicamos uma referencia para estudos futuros, para aqueles que se interessarem em se

aprofundar nos temas tratados nesta aula. Esses aprofundamentos nao sao prioritarios e nao seraocobrados nas avaliacoes unificadas.




α = a0, a1a1 . . . an . . . ,

a0

0 a1, a2, . . . , an, . . .

0 an 9 n ∈ N

an

n

α

a0

α



α = 13, 42800 . . . , β = 25, 1212 . . . e π = 3, 14159265 . . .

α

β

π

56

π

α

(∗) α = a0 + a1

10 +

a2

102 + · · · +

an

10n+ · · ·

α

α

α

α

αn = a0 + a1

10 + · · · +

an

10n. (n = 0, 1, 2, . . .).

α

αn

1

10n

= 10−n.



a0

α a1

a0 + a1

10 α

a2

a0 + a1

10 +

a2

102 α,

α0 α1 α2 · · · αn · · ·

α

0 α−αn 10−n

n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .

α

αn

n

α = a0, a1a2, . . . , an000 . . .

α = a0 + a1

10 + · · · +

an

10n



13, 42800 . . . = 13 + 4

10

+ 2

100

+ 8

1000

= 13428

1000

.

α = a0, a1a2 . . . an . . .

α = 0, 999 . . . = 910

+ 9100

+ 91000

+ · · ·

α = 1

α

α1 = 0, 9 α2 = 0, 99

α3 = 0, 999 1−α1 = 0, 1 1−α2 = 0, 01

1 − α3 = 0, 001 1 − αn = 10−n

n

1 − αn

αn = 0, 99 . . . 99 1

1

1 = 0, 999 . . .

0, 999 . . .

0, 9, 0, 99, 0, 999

1

0, 999 . . . = 9

10 +

9

100 +

9

10n+ · · · = 1

0, 111 . . . = 1

10 +

1

100 + · · · +

1

10n

+ · · · = 1

9.



a

0, a a a . . . = a10

+ a100

+ · · · + a10n

+ · · · = a9

.

0, 777 . . . = 7

9.

9

10 +

9

100 =

99

100 ,

9

1000 +

9

10000 =

99

10000 , etc.,

1 = 9

10 +

9

102

+ 9

103 +

9

104

+ · · ·

= 99

100 +

99

1002 + · · ·

= 99 1

100

+ 1

1002

+ · · ·

,

1

100 +

1

1002 +

1

1003 + · · · =

1

99.

0, 3737 . . . = 37

100

+ 37

1002

+ 37

1003

+ · · ·

= 37 1

100 +

1

1002 + · · ·

= 37

99.

α = 0, a1a2 . . .

a1a2 . . . a p

p



0, 777 . . . 0, 373737 . . .

0, 521521521 . . . = 521

999.

α = 0, 35172172 . . .

100α = 35, 172172 . . . = 35172

999 =

35 × 999 + 172

999 =

= 35(1000 − 1) + 172

999 =

35000 + 172 − 35

999 =

35172 − 35

999

α = 35172 − 35

99900 .



p/q

p

q

p

14

27 = 0, 518518 . . .

140 |27

050 0, 518

230

140

0, 1, 2, . . .

. . . , q − 1 q



p/q

α

a0, a1a2 . . . an . . .

a0+a1·10−1

+a2·10−2

+· · ·+an·10−n

+· · · = α

α > 0

a

a0 0

α

a1 a0 +

a1

10 α

a2 a0 +

a1

10 +

a2

100 α;

π = 3, 14159265...

3 < π < 4, 3, 1 < π < 3, 2, 3, 14 < π < 3, 15

→

0 an 8

a0, a1 . . . an999 . . . e a0, a1 . . . (an + 1)000 . . .



3, 275999 . . . = 3, 276000 . . .

0, 999 . . . = 1, 000 . . .

α = a0, a1a2 . . .

β = b0, b1b2 . . .

α + β

α − β

α · β α/β

β = 0)

n ∈ N

αn = a0, a1 . . . an

β n = b0, b1 . . . bn

αn + β n αn − β n

αn · β n αn/β n

n



N

R

f : N → R

N

R

N R n ∈ N

n R

N

R

f : N→ R

y

f (N

f (n) = y

n ∈ N

y

n

n

f (n)

n =

1, 2, 3,...

y = f (n) n ∈ N

y /∈ f (N)

N

R

Q

Qc

R = Q ∪ Qc

Q R Qc



[0, 1n

]

m/n

m

n

0, 123456789101112131415 . . .



MA 11 - Unidade 5

Atividade Especial

Semana de 18/04 a 24/04


Esta Unidade e dedicada a reflexao por meio de uma lista de exercıcios – de certa forma, desafiadores

– sobre os conceitos estudados ate o presente momento. O primeiro exercıcio tem por objetivo mostrar

que nao se podem manipular somas infinitas, chamadas series , como se fossem meras somas finitas,

pois, ao fazer isto, somos facilmente conduzidos a paradoxos. Esses paradoxos – em particular o

paradoxo do binˆ omio , que sera apresentado no roteiro da Unidade 16 de MA12 – foram explicados por

Gauss, o primeiro matematico a perceber que era necessario introduzir a nocao de convergencia deseries para manipular tais somas.

O segundo exercıcio esta relacionado com a nocao de limite de sequencias, objetos que tambem

nao podem ser tratados com a algebra ordinaria sem que sua convergencia seja verificada a priori.

No caso das expansoes decimais dos numeros reais, e em particular dos numeros racionais, sabemos a

priori que as series sao convergentes (isto e, vale o axioma da completeza dos numeros reais, que foi

assumido tacitamente na Unidade 3) e, por isso, as operacoes que fazemos para achar geratrizes de

dızimas periodicas sao legıtimas.

O Exercıcio 3 propoe uma outra prova da incomensurabilidade do lado e da diagonal do quadrado,

de sabor mais geometrico do que a prova aritmetica do texto e, certamente, mais dentro do espırito

da geometria a epoca de Euclides.

O Exercıcio 4 nos ensina que nem todo corpo pode ser ordenado e que apenas munir um corpo de

uma relacao de ordem nao o faz automaticamente ser um corpo ordenado. De fato, ao contrario do

corpo dos numeros reais, o corpo dos numeros complexos nao pode ser ordenado por uma relacao de

ordem compatıvel com a sua estrutura de corpo.

O Exercıcio 5 pede para demonstrar a validez da regra (geralmente decorada) que permite achar a

geratriz de uma dızima periodica composta. Esta e uma boa aplicacao do uso da formula do limite de

uma soma de uma PG que se sabe ser a priori convergente.O Exercıcio 6 trata do calculo numerico aproximado de numeros irracionais que se expressam como

raızes de numeros inteiros positivos. Calculo numerico (isto e, a determinacao de valores numericos

de expressoes ou de solucoes de equacoes por meio de aproximacoes cujos erros sao de alguma forma

controlados) e um assunto por si so muito importante, pois, na vida real, tudo e aproximado.

O Exercıcio 8, ao propor o estudo de sistemas de numeracao diferentes do usual, tem por objetivo

mostrar que certas caracterısticas da representacao dos numeros sao independentes da base escolhida

(isto e, sao intrınsecas, pois sao propriedades do proprio numero e nao apenas da representacao),

enquanto outras dependem da escolha da base (isto e, sao extrınsecas, pois sao apenas caracterısticas

da representacao).



Finalmente, o Exercıcio 9, um resultado de Cantor, vai nos mostrar que os numeros irracionais trans-

cendentes (por exemplo, π e e) sao (muito) mais numerosos do que os numeros irracionais algebricos –

algo certamente inesperado. Lembre-se que encontram-se incluıdos no conjunto dos numeros algebricos

todos aqueles que admitem expressao por meio de radicais. Voce poderia citar mais algum numero

irracional transcendente?.



+∞

n=1

(

−1)n



sn =

nk=1

(−1)k

a1 = 2

an+1 = 12 (a2

n + 1), ∀n ≥ 1

(an)

(an)

x = lim an+1 = lim an

an+1 = 1

2 (a2

n + 1) ⇒ lim an+1 = 1

2

(lim an)2 + 1

⇒x =

1

2 (x2 + 1) ⇒ x2 − 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1

lim an = 1



lim an = 1

ABCD a

d

a

d

u

E

AC

AE

a ECFG EC

u

ECFG

u

z 1 = a1 +

i b1 z 2 = a2 + i b2

z 1 ≤ z 2

a1 < a2 a1 = a2

b1 < b2



R

C

C

3√

3

10 √ 2

√ 3

√ 5

3√

2

3√

3

3√

5

10

β ∈ N β ≥ 2 α ∈ R

β

α = a0 ++∞n=1

an β −n

a0 ∈ N ∪ {0}

an

0

β − 1



β

β

a0 = 0 an = β − 1 ∀n ∈ N

p

q

q

2 5

A

A

n ∈ N

P n

n

P n

Zn+1

Z[x]

p ∈ Z[x] R p

p

A =

p∈Z[x]

R p



A



MA 11 - Unidade 6

Desigualdades, Intervalos e Valor Absoluto

Semana de 25/04 a 01/05


Nesta secao, trataremos das principais nocoes que dependem da relacao de ordem do corpo dos

numeros reais: desigualdades , intervalos e valor absoluto . Estas nocoes estao relacionadas com alguns

topicos sobre os quais os alunos do ensino fundamental e do ensino medio, em geral, tem grandes

dificuldades: resolucao de inequacoes, funcoes e equacoes modulares. Para que possamos ajuda-los

a sanar tais dificuldades, a reflexao sobre alguns aspectos teoricos relacionados com essas ideias e

essencial.

Na secao 1. Desigualdades, preste bastante atencao nas propriedades (P1) e (P2), que definem

o conjunto R+, dos numeros reais positivos (p. 2). O estabelecimento de um conjunto com essas

propriedades e uma das formas de dizer que R e um corpo ordenado , isto e, um corpo munido com

uma relacao de ordem compatıvel com as operacoes algebricas, como foi observado na Unidade 3 (veja

tambem o exercıcio 4 da Unidade 5). Certifique-se de compreender as demonstracoes das propriedades

basicas da relacao de ordem que se seguem (pp. 2-4) – como observado na p. 4. Sao elas que garantem

a validez das ferramentas empregadas para resolver inequacoes em R.

Outra observacao importante diz respeito ao sinal “menos” (−). E comum que os estudantes,especialmente no ensino fundamental, tendam a considerar que qualquer sımbolo precedido do sinal de

menos representa necessariamente um numero negativo. Assim, e importante frisar que este sinal pode

ter o significado de um operador que, a cada numero real x, associa seu simetrico, isto e, seu inverso

em relacao a operacao de adicao: o unico numero real −x tal que x + (−x) = 0.

Na comeco da secao 1. Intervalos, observe que uma caracterizacao comum aos nove tipos

diferentes de intervalos dados (p. 6) e a seguinte: x, y ∈ I , x < z < y ⇒ z ∈ I . Isto e, um

intervalo pode ser caracterizado como um subconjunto I ⊂ R tal que todo numero localizado entre

dois elementos de I e tambem um elemento de I . Assim, um intervalo e um subconjunto de R que

nao tem “buracos”, ou, em termos matematicos, um subconjunto conexo de R.

E de fundamental importancia a observacao quanto ao fato do sımbolo ∞ (empregado na notacao

de intervalos infinitos) nao representar um numero real (p. 6). Ao contrario, este sımbolo representa

o fato de nao existir nenhum numero real que seja cota superior ou inferior (conforme o caso) para o

intervalo em questao, isto e, o fato deste nao ser limitado superiormente ou inferiormente (conforme o

caso). Esta discussao pode ser empregada para ajudar os alunos a superarem a ideia conceitualmente

incorreta de infinito como “um numero muito grande” (ja comentada no Roteiro 2).

Como observado nas pp. 6-7, a ideia de intervalo tambem nos permite discutir a importante pro-

priedade de densidade dos numeros racionais e irracionais. E comum encontrarmos em livros didaticos



comentarios do tipo: entre dois n´ umeros reais quaisquer, existe um n´ umero racional e um n´ umero irra-

cional . E consequencia imediata desta propriedade o fato de que, entre dois numeros reais quaisquer,

existem infinitos numeros racionais e infinitos numeros irracionais. No entanto, esta conclusao nem

sempre e imediata para os alunos. Assim, vale a pena frisar de forma mais contundente a distribuicao

de numeros racionais e irracionais na reta real.

Leia com bastante atencao a Recomendacao na p. 7. Como ja observamos no Roteiro 3, em livros

didaticos do ensino fundamental e medio, os numeros reais sao quase sempre apresentados por meio deconstrucoes em que se pressupoe a existencia do proprio objeto que esta sendo construıdo. Estas cons-

trucoes sao nao so matematicamente inconsistentes, como tambem pedagogicamente inapropriadas.

O conceito de modulo, abordado na secao 3. Valor Absoluto, envolve comumente dificuldades

de compreensao por parte dos alunos, especialmente quando o problema exige separar em casos uma

expressao algebrica envolvendo modulos (veja os comentarios sobre exercıcios recomendados , a seguir).

Assim, e importante ter clara a equivalencia entre as duas definicoes de valor absoluto dadas na p. 8,

bem como sua interpretacao como distˆ ancia ate a origem, que se generaliza na interpretacao de |x−y|

como distancia entre coordenadas.

Finalmente, leia com atencao a secao 4. Sequencias e Progressoes, e certifique-se de entender

a definicao de sequencia como funcao com domınio em N.


O exercıcio 2 aponta um erro comum na resolucao de inequacoes por alunos no ensino medio. Muitos

erros em equacoes e inequacoes, especialmente naquelas que envolvem modulos, estao associados ao

emprego indevido das definicoes e propriedades discutidas nesta Unidade. Tambem e bastante comum

desenvolver uma expressao modular do tipo |x−3| fazendo |x−3| = x−3 se x ≥ 0 ou |x−3| = −x−3

se x < 0. Ao resolver os exercıcios propostos, procure refletir sobre que estrategias voce adotaria para

ajudar seus alunos a entender e superar esses e outros erros comuns. No caso das equa coes e inequacoes

envolvendo modulo, a interpretacao geometrica pode contribuir muito, como propoe o exercıcio 4.

Procure pensar com cuidado nas interpretacoes geometricas tambem ao resolver os exercıcios 3 e 5. O

exercıcio 6 discute um aspecto importante das aproximacoes decimais, pouco explorado na escola.



Para saber mais

Abaixo, indicamos uma referencia de estudos futuros para aqueles que se interessarem em se apro-

fundar nos temas tratados nesta aula. Esses aprofundamentos nao sao prioritarios e nao serao cobrados

nas avaliacoes unificadas.




x < y

x

x > 0

R

+



R+ =

{x

∈R; x > 0

}.

x

x

x = 0 −x

−x

x

−x

−x + x = 0

−x

x

x < 0

x < y

y − x

x < y

y > x

x, y ∈ R

x < y

x = y

y < x

x < y y < z x < z

x < y

z

∈ R

x + z < y + z

x < y

z

xz < yz

y − x

x < y

x = y

y < x

x < y



y < z

y − x

z − y

z − x

(y

−x) + (z

−y)

x < z

x < y

x < y

y −x

y −x = (y + z )− (x + z )

x + z < y + z

x < y

x < y

x + x < y + y

x < y

x < y

x

y

x + x < y + x

y + x < y + y

x + x < y + y

x < y

z

y − x > 0

z > 0

(y − x)z > 0

yz − xz > 0

xz < yz

x,y,x, y x < y x < y

xx < yy

x < y

x

x < y

y

xx < yx

yx < yy

xx < yy



x

x

y

y

x y x < y y > 0

x = 0

x2 > 0

x > 0

x2 > 0 −x > 0

(−x)(−x) > 0

(−x)(−x) = x2

x2 > 0

0 < x < y 0 < 1/y < 1/x

1

x = x · ( 1

x)2

x < y

1/xy

x/xy < y/xy 1/y < 1/x

x < y

z

xz > yz

y −x

−z

(y − x)(−z ) > 0 xz − yz > 0

xz > yz

x < c

x > c

x y

y < x

x y

x < y

x = y

3 3 5 7



x < y

x

y

x < y

y

x

x = a0, a1 . . . an . . . e y = b0, b1 . . . bn . . .

x < y

x < y

a0 < b0

a0 = b0

a1 < b1

a0 = b0 a1 = b1

a2 < b2

x < y

a0 < b0

k > 0

a0 = b0 a1 = b1

ak−1 = bk−1

ak < bk

x 0 < y

x < y

x

y

x < y

−y

−x

x < y

d = y − x

x < y

d

y = x + d

x < y



a

b

a b

R

[a, b] = {x ∈ R; a x b}, (−∞, b] = {x ∈ R; x b},

(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R; x < b},

[a, b) =

{x

∈R; a x < b

}, [a, +

∞) =

{x

∈R; a x

},

(a, b] = {x ∈ R; a < x b}, (a, +∞) = {x ∈ R; a < x},

(−∞, +∞) = R

a, b

[a, b] (a, b) [a, b)

(a, b]

(−∞, b]

b

a = b

[a, b]

]a, b[ (a, b) [a, b[

+

∞

−∞

N, Z

Q

R



R

a < b

a

b

R



x

|x|

|x| =

x, x 0

−x, x < 0.

|x| = max{x, −x},

x

x

−x

x = 0 x = −x = |x| = 0

|x − 3| = x − 3 x 3 |x − 3| = 3 − x

x < 3

| |

|x| =

√ x2

√

a 0

√ a

a

x y

X

Y

R

|x − y|

X

Y



|x − y|

x y

|x − 2| = 3

x

x = 5

x

x = −1

|x − a| <

> 0

x

a

x

a − a + {x ∈ R; |x − a| < }

(a − , a + )

|x|

x

−x



N

N R

(x1, x2, . . . , xn, . . .)

(xn)n∈N (xn)

1 → x1, 2 → x2, . . . , n → xn, . . .

n

xn

n

x1, x2, . . . , xn, . . .

xn+1 = xn + r

r

(xn)

r

xn+1 − xn = r

n ∈ N

(xn)

x2 = x1 + r, x3 = x2 + r = x1 + 2r, x4 = x1 + 3r , . . .

xn+1 = x1 + nr

n ∈ N

(xn)

m < n ⇒ xm < xn.

m < n ⇒ xn < xm



x1, x1, x1, . . .

I n =

{1, 2, . . . , n

}

(x1, x2, . . . , xn)

n

(x1, x2)

n

(x1, . . . , xn) x2 − x1 = x3 − x2 = · · · = xn − xn−1 = r

x1, x2, . . . , xn, . . .

xn+1 = xn · r

r

x2 = x1 · r, x3 = x2 · r = x1 · r2, . . . ,

xn+1 = xn · r

(1 − r)(1 + r + · · · + rn−1) = 1 − rn

1, r , r2, . . . , rn

1 + r

+ r2

+ · · · + rn

=

1

−rn−1

1 − r r

= 1

x1, x2, . . . , xn r = 1

x1 + x2 + . . . + xn = x1(1 + r + · · · + rn−1) = x1

1 − rn−1

1 − r =

x1 − xnr

1 − r



A = [−1, 3), B = [1, 4], C = [2, 3), D =(1, 2]

E = (0, 2] ((A − B) − (C ∩ D)) − E

5x + 3

2x + 1 > 2 ⇒ 5x + 3 > 4x + 2 ⇒ x > −1

2x2 + x

x2 + 1 < 2 ⇒ 2x2 + x < 2x2 + 2 ⇒ x < 2

a, b, c, d > 0

a

b <

c

d

a

b <

a + c

b + d <

c

d.

a

b

c

d

|x − 1| = 4

|x + 1| < 2



|x − 1| < |x − 5|

|x

−2

|+

|x + 4

| = 8

|x − 2| + |x + 4| = 1

a

b

a + b

2

2<

a2 + b2

2 .

x

y

1, 4587 < x < 1, 4588 0, 1134 < y < 0, 1135

x y

xy

x/y



MA 11 - Unidade 7

Graficos e Funcao Afim

Semana de 25/04 a 01/05


A partir desta unidade, passaremos a tratar das principais classes de fun coes reais abordadas na

escola: polinomiais, exponenciais, logarıtmicas, trigonometricas. Nesta unidade, trataremos das ideias

basicas necessarias para o estudo de graficos de funcoes reais (produto cartesiano, pares ordenados,

etc.) e introduziremos o estudo de funcoes polinomiais do primeiro grau.

Ao ler a secao 0. Produto Cartesiano, observe a diferenca conceitual entre par ordenado e conjunto com dois elementos (p. 2) – daı a razao do termo ordenado . Observe tambem os diferentes

exemplos de produtos cartesianos (pp. 2-4), diferentes do R2, que e o mais explorado na escola basica

e que sera estudado em maiores detalhes na secao seguinte. Como comentado na p. 5, qualquer

subconjunto do produto cartesiano X × Y pode ser visto como o grafico de uma relacao binaria R

entre os conjuntos X e Y . As condicoes (G1 e G2) para que um subconjunto de X × Y seja grafico

de funcao sao dadas na p. 4. Essas condicoes serao interpretadas para o caso particular do R2 na p.

11.

A secao 1. O Plano Numerico R2 trata especificamente deste produto cartesiano, que e o mais

importante para a educacao basica. A correspondencia biunıvoca f : Π → R2

(p. 7) estabelece oprincıpio fundamental da localizacao de pontos no plano por meio de pares ordenados de numeros reais,

chamados de coordenadas cartesianas (abscissa e ordenada): cada ponto P ∈ Π e representado por um

unico par ordenado (x, y) ∈ R2 e, reciprocamente, cada par ordenado (x, y) ∈ R

2 representa um unico

ponto P ∈ Π. Este princıpio fundamental e base da localizacao sem ambiguidades de pontos no plano

cartesiano e, portanto, a sua compreensao adequada e condicao indispensavel para a continuidade dos

estudos de diversos topicos de matematica: equacoes, funcoes, geometria analıtica, algebra vetorial

e, futuramente, calculo diferencial e integral. Para ajuda-los a entender bem esta ideia, voce podera

empregar uma comparacao com outros exemplos de sistemas de localizacao sem ambiguidades, tais

como o sistema de latitudes e longitudes no mapa do planeta ou os assentos em um cinema ou teatro,em geral identificados por numeros e letras. Este princıpio fundamental, por meio do qual identificamos

pontos do plano com suas coordenadas, permite ainda que identifiquemos conjuntos de pontos do plano

por meio de condic˜ oes algebricas entre duas coordenadas (de forma geral, igualdades, desigualdades,

ou sistemas de igualdades e desigualdades). Embora este fato possa parecer bastante basico, pode

ser fonte de dificuldades para os alunos. Nao e incomum que eles memorizem certos procedimentos

especıficos para esboco de tipos de graficos de funcoes e outras curvas (tais como retas, parabolas ou

cırculos), sem entender no entanto que a curva esbocada corresponde ao conjunto dos pontos do plano

cujas coordenadas satisfazem a condicao algebrica dada. Assim, este ponto merece enfase especial na

abordagem. Ainda na secao 1, certifique-se de entender bem a deducao da equacao do cırculo (pp.



9-10). Esta decorre da formula para distancia entre dois pontos no plano, que, por sua vez, e uma

aplicacao direta do Teorema de Pitagoras.

Na secao 2. A Funcao Afim, comecamos a estudar esta classe de funcoes reais, que sao as

mais simples e estao entre as mais importantes em matematica. Em Calculo Diferencial, as funcoes

lineares sao empregadas para aproximar funcoes quaisquer e, por meio dessas aproximacoes, descobrir

propriedades qualitativas das funcoes que seriam difıceis de ser obtidas diretamente. Esta e uma tecnica

mais geral, presente em muitas areas mais avancadas da matematica: aproximacoes de objetos naolineares por objetos lineares fornecem informacoes qualitativas importantes dos objetos nao lineares.

Tenha certeza de entender bem a prova de que o grafico de toda funcao f : R → R na forma

f (x) = a x + b, com a, b ∈ R, e uma reta (pp. 14-15). Embora esta demonstracao nao seja difıcil, ela

e muitas vezes ignorada nos livros didaticos, e este fato e apresentado como dado. Note que este fato

nao e parte da definicao de funcao afim, e sim, um teorema, que, como tal, deve ser demonstrado.

Preste bastante atencao tambem no significado do coeficiente angular a e sua interpretacao geometrica.


Os exercıcios propostos nesta Unidade apresentam diversas aplicacoes de funcoes afins, em situacoes

cotidianas, em outras areas e na propria matematica. Alem desses, sugerimos que voce resolva os

exercıcios a seguir.

1. Esboce os seguintes subconjuntos de R2.

(a) D = {(x, y) ∈ R2 | x y = 0}

(b) D = {(x, y) ∈ R2 | x y > 0}

(c) D =

(x, y) ∈ R2 | x ≥ −3 ou y < 3

2

(d) D = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1 e |y| < 3}

(e) D = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1 ou x2 + y2 < 4}

(f) D = {(x, y) ∈ R2

| x > 2 e x2

+ y2

≤ 1}

(g) D = {(x, y) ∈ R2 | 2x − y = 1 e |x| ≤ 1}

(h) D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1 e (x − 1)2 + y2 ≤ 1}

(i) D = {(x, y) ∈ R2 | x < y e x2 + y2 ≥ 1}

2. Note que as definicoes de funcao crescente, decrescente, nao-decrescente e nao-crescente enun-

ciadas na p. 14 sao gerais, isto e, se aplicam a quaisquer funcoes f : X ⊂ R → R (e nao

somente as funcoes afins). No caso de uma funcao nao ser monotona no domınio como um

todo, podemos ainda enunciar definicoes analogas para restricoes a subconjuntos do domınio.



Por exemplo:

Seja A ⊂ X . Dizemos que f e crescente em A se x1, x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

De acordo com a definicao enunciada acima, determine se as afirmacoes abaixo sao verdadeiras

ou falsas. Justifique suas respostas.

(a) Se f e crescente em X , entao f e crescente em A ∀A ⊂ X .

(b) Se f e crescente em A ⊂ X e em B ⊂ X , entao f e crescente em A ∩ B.

(c) Se f e crescente em A ⊂ X e em B ⊂ X , entao f e crescente em A ∪ B.

Para saber mais







f : X → R

X ⊂ R

f (x) x ∈ X



p = (x, y)

x

p

y

p

p = (x, y)

q = (u, v)

x = u

y = v

(x, x)

p = (x, y)

{x, y}

{x, y} = {y, x} (x, y) = (y, x)

x = y

X × Y

X

Y

X × Y (x, y)

x

X

y

Y

X × Y = {(x, y); x ∈ X, y ∈ Y }.

X = {x1, . . . , xm}

Y = {y1, . . . , y p}

m

p

X × Y

mp

n(X × Y ) =

n(X ) · n(Y )

X × Y

(x1, y1)(x1, y2) . . . (x1, y p)

(x2, y1)(x2, y2) . . . (x2, y p)

(xm, y1)(xm, y2) . . . (xm, y p)



p

m

AB CD

AB × CD

AB

CD

(x, y) ∈ AB × CD

P

AB

CD

x

y

γ

×AB

γ

AB



AB

γ

(x, y) γ × AB

P

γ

x

AB

y

f : X → Y

G(f )

X ×Y

(x, y)

x

X

y = f (x)

G(f ) = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f (x)} = {(x, f (x)); x ∈ X }.

G ⊂ X × Y

f : X → Y

G

x ∈ X

(x, y) ∈ G

x

p = (x, y)

p = (x, y) G

x

y = y

p = p



x

∈ X

y

∈ Y

(x, y) ∈ G

X × Y

R

X

Y

x ∈ X y ∈ Y x y R

xRy

x < y

x ∈ R

y ∈ R

y − x > 0 R R

D P

r

Π D

P

r||Π

r Π

f : X → Y

x ∈ X

y ∈ Y

y = f (x)

xf y

y = f (x)

R X Y

G(R)

X × Y (x, y)

xRy

G(R) = {(x, y) ∈ X × Y ; xRy}



f : X → Y

X

× Y

f : X → Y

X ×Y

X × Y

X

Y

R2

R2 = R× R

(x, y) R

2

P

Π

x

y



OX

OY

O

P ∈ Π

P

x

P

OX

P

y

P

OY (x, y)

P

OX Y

OX

OY

x 0

y 0 x 0

y 0

x 0 y 0 x 0 y 0

f : Π → R

2

P Π

f (P ) = (x, y)

OX Y



R2

Π

Π R2

R2

P = (x, y)

P = (x, y)

Q = (u, v)

P

Q

S = (u, y)

P

S

P S

OX

QS

OY



P Q

P QS

|x

−u

|

|y

−v

|

d(P, Q)2 = (x − u)2 + (y − v)2,

d(P, Q) =

(x − u)2 + (y − v)2.

P = (x, y)

O = (0, 0)

x2 + y2.

C

A = (a, b)

r > 0

P = (x, y)

C

d(A, P ) = r

C = {(x, y); (x − a)2 + (y − b)2 = r2}.

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

A = (a, b) r



D

A

r

P = (x, y) A

r

D = {(x, y); (x − a)2 + (y − b)2 r2}.

f : X → R

R2

(x, f (x)) x

X



G

f : [−1, 1] → R

f (x) = √ 1 − x2

,

C + = (0, 0)

y 0

(x, y) ∈ G ⇔ −1 x 1 e y =√

1 − x2

⇔ −1 x 1, y 0 e y2 = 1

−x2

⇔ y 0 e x2 + y2 = 1

⇔ (x, y) ∈ C +.

X ⊂ R

G ⊂ R2



f : X → R

X

G

c = 0

G

(x, y)

R

2

xy = c

G = {(x, y) ∈ R2; xy = c}.

G

G

c > 0

c < 0 x = 0

x

G

(x, c/x) G

f : R − {0} → R

f (x) = c/x



f : R → R

a, b ∈ R f (x) = ax + b

x ∈ R

f : R → R

f (x) = x

x ∈ R

f : R → R

f (x) = x + b

f (x) = ax

f (x) = b

f : R → R

a

b

b

x = 0

b = f (0) f

a

f (x1)

f (x2)

f

x1

x2

f (x1) = ax1 + b

f (x2) = ax2 + b,

f (x2) − f (x1) = a(x2 − x1),

a = f (x2) − f (x1)

x2 − x1

.

x

x + h ∈ R

h = 0

a = [f (x + h) − f (x)]/h

f

x

x + h



f : X → R

X ⊂ R

x1 < x2

⇒ f (x1) < f (x2);

x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2);

x1 < x2 ⇒ f (x1) f (x2);

x1 < x2 ⇒ f (x1) f (x2).

f

f

f

f

f

a

a

a = 0

f : x → ax + b

x

b

a

G

f : x → ax + b

P 1 = (x1, ax1 + b),

P 2 = (x2, ax2 + b)



P 3 = (x3, ax3 + b)

d(P 1, P 2)

d(P 2, P 3) d(P 1, P 3)

x1

x2 x3

x1 < x2 < x3

d(P 1, P 2) =

(x2

−x1)2 + a2(x2

−x1)2

= (x2 − x1)√

1 + a2,

d(P 2, P 3) = (x3 − x2)√

1 + a2

d(P 1, P 3) = (x3 − x1)√

1 + a2

d(P 1, P 3) = d(P 1, P 2) + d(P 2, P 3).

b

f : x → ax + b

OY

a

a

OX a

a > 0

f

a < 0

f : X → Y

f (x)

x ∈ X



f : R → R

f (x1) f (x2) f : R → R

x1 = x2

f

f : R → R

f (x1) = y1

f (x2) = y2 x1 = x2

a b

f (x) = ax + b

x ∈ R

ax1 + b = y1

ax2 + b = y2,

a

b

a = y2 − y1

x2 − x1

, b = x2y1 − x1y2

x2 − x1

.



x1 = x2

x2

−x1

(x1, y1), (x2, y2) ∈ R x1 = x2

f : R → R

f (x1) = y1

f (x2) = y2

OY

r

P 1 =

(x1, y1) P 2 = (x2, y2)

r

r

x1 = x2

f : R → R

f (x1) = y1 f (x2) = y2

f

P 1

P 2 r

f (x) = ax + b

y = ax + b

r

r

f

f (x) = ax + b

a = y2 − y1x2 − x1

,

(x1, y1)

(x2, y2)

r

f

r

OX

r

(x1, y1) (x2, y2)



y = y1 + y2 − y1

x2 − x1

(x

−x1)

y = y2 + y2 − y1x2 − x1

(x − x2).

(x1, y1)

x

y

y1

x

−x1

x

y2 − y1x2 − x1

.

(x2, y2)

(x0, y0) a

y = y0 + a(x−

x0).

f

f (x) = ax + b

a

f

f

x

f (x)



a

= 0

f (x) = ax + b



N

◦N ◦C

N

n



D

N

C

H

X

Y

X

Y

a1, a2, . . . , an

f (1), f (2), . . .

. . . , f (n)



ai

f

OX

x = i − 1

2 x = i + 1

2

S = a1+a2+· · ·+an

f

OX

x = 1

2

x = n + 1

2

S = a1+an

2 n



MA 11 - Unidade 8

Funcao Linear

Semana de 02/05 a 08/05


Em continuidade a Unidade anterior, agora passaremos a aprofundar nosso estudo sobre func˜ oes

lineares e func˜ oes afins . Na secao 1. A Funcao Linear (pp. 1-8), funcoes lineares sao apresentadas

como modelos matematicos para proporcionalidade (p. 1). Por incrıvel que possa parecer, esta ligacao

basica entre dois conceitos matematicos tao importantes e, na maior parte das vezes, negligenciada nos

livros didaticos. O estudo de proporcionalidade e as funcoes lineares sao, em geral, tratados em capıtulos

separados, ate mesmo em anos distintos, sem que nenhuma relacao seja explicitamente apontada.

Como ocorre em muitas outras situacoes, a abordagem da nocao de proporcionalidade representa

uma importante oportunidade para estabelecer relacoes entre diferentes campos da matematica, como

aritmetica, geometria e funcoes. A compreensao inadequada da nocao de proporcionalidade pode levar

a sua generalizacao indevida pelos alunos, considerando uma proporcionalidade qualquer situacao em

que o crescimento da primeira implica no crescimento da segunda. Por exemplo, nao e incomum a

afirmacao de que “a area de um quadrado e proporcional ao seu lado”. E verdade que, quanto maior

for o lado de um quadrado, maior sera a sua area; porem, isto nao significa que estas grandezas sejam

proporcionais. De fato, se x ∈ R

+

representa o lado de um quadrado, a area nao pode ser expressapor uma funcao f : R+ → R+ na forma f (x) = a x, com a ∈ R.

Procure refletir sobre esta questao ao estudar a primeira secao da Unidade. Na p. 2, observe como a

definicao de proporcao enunciada estabelece uma relacao de dependencia funcional entre as grandezas.

Certifique-se de entender bem as provas de que toda funcao com a propriedade de proporcionalidade

direta e da forma f (x) = a x, e de que toda funcao com a propriedade de proporcionalidade inversa e da

forma f (x) = a

x (em que a = f (1), em ambos os casos). Na demonstracao do Teorema Fundamental

da Proporcionalidade (pp. 4-5), atente para a importancia da hipotese de monotonicidade para a

generalizacao do argumento no caso em que x e um numero irracional.

Na secao 2. Caracterizacao da Funcao Afim (pp. 8-13), tambem sao discutidos alguns aspectosimportantes e pouco explorados na escola. Em geral, funcoes afins sao abordadas simplesmente com

base na sua expressao algebrica y = ax + b, mas pouca enfase e dada a caracterizacao fundamental de

funcoes afins como aquelas em que acrescimos iguais na variavel independente implicam em acrescimos

iguais na variavel dependente (pp. 8-11). Esta caracterizacao permite que os alunos compreendam

mais claramente o comportamento qualitativo desta classe de funcoes. Alem disso, e muito importante

a relacao entre funcoes afins e progressoes aritmeticas, discutida nas pp. 11-13. Este e mais um

exemplo de conceitos que apresentam relacoes fundamentais entre si, mas que sao apresentados de

forma estanque nos livros didaticos.



Na secao 3. Funcoes Poligonais, e apresentada uma classe de exemplos de funcoes que, embora

acessıveis, sao pouco exploradas no Ensino Medio.


Dentre os exercıcios propostos para esta Unidade, recomendamos que voce resolva prioritariamente

os seguintes. No ensino de funcoes, os problemas sao, em geral, resolvidos por meio de processos

puramente algebricos, e representacoes graficas tem pouca enfase. Por isso, recomendamos que voce

resolva o exercıcio 9 com base no grafico dado, sem obter a formula algebrica da funcao f . Repre-

sentacoes graficas tambem podem ajudar a resolver os exercıcios 10, 12, 13 e 14. Ao resolver o exercıcio

11, procure refletir sobre erros comuns cometidos pelos alunos ao resolver este tipo de inequa cao. O

exercıcio 22 explora a relacao fundamental entre funcoes afins e progressoes aritmeticas. O exercıcio

25 pode ajudar a compreender melhor esta relacao. Alem dos indicados acima, os exercıcios 1 a 8 e 15

a 19 apresentam aplicacoes a situacoes concretas. Destes, recomendamos que resolva prioritariamente

os exercıcios 7, 8, 15, 16, 17 e 18.

Para saber mais







f (x) = ax



f : R → R

c

x

f (cx) = c·f (x)

f (cx) = f (x)/c

c = 0

x

y

f : R → R

y = f (x)

f (cx) = c · f (x) c x

a = f (1)

f (c) = f (c · 1) = c · f (1) = ca

f (c) = ac

c ∈ R

f (x) = ax

x ∈ R

f

y

x a

y = ax

x

f : R∗ → R∗ R∗ = R − {0})

f (cx) = f (x)/c

c, x ∈ R∗



x ∈ R∗

f (x) = a/x

a

f (1)

y = ax

a

x

y = ax

a

ABC

X

AB

Y

AC

XY

BC

y

AY

x

AX

a = y/x

a = sen B/ sen C



y = f (x)

y = f (x) y/x = y/x

x → y x → y

y/x = y/x

x → y

f (cx) = cf (x)

c

x

c

c

c

f (nx) = nf (x)

x ∈ R

n

f

f : R → R

f (nx) = nf (x)

n ∈ Z

x ∈ R

a = f (1)

f (x) = ax

x ∈ R

f (x + y) = f (x) + f (y)

x, y ∈R

(1) ⇒ (2) (2) ⇒ (3)

(3) ⇒ (1) (1) ⇒ (2)

r = m/n

f (rx) = rf (x)

x ∈ R

n · f (rx) = f (nrx) = f (mx) = m · f (x),



f (rx) = m

n

f (x) = r · f (x).

a = f (1)

f (0) = f (0 · 0) = 0 · f (0) = 0

f

a = f (1) > f (0) = 0

a

f (r) = f (r · 1) = r · f (1) = r · a = ar

r ∈ Q

f (x) = ax

x ∈ R

x

f (x) = ax

f (x) < ax f (x) > ax

f (x)

a < x.

r

f (x)

a

< r < x.

f (x) < ar < ax

f (x) < f (r) < ax

f

r < x

f (r) < f (x)

(1) ⇒ (2)

(2) ⇒ (3) (3) ⇒ (1)

f : R+ → R+

R+ = {x ∈ R; x > 0}

(1+) f (nx) = n · f (x) n ∈ N

x ∈ R+.

(2+) a = f (1)

f (x) = ax

x ∈ R+

(3+

) f (x + y) = f (x) + f (y)

x, y ∈ R



(1+) (2+) (3+)

F : R → R

F (0) = 0 F (x) = f (x)

F (−x) = −f (x) x > 0

(1+) (2+) (3+) f

F

f

a = f (1) > 0 f

a < 0

f : R → R

f

f

f (nx) = nf (x)

x ∈ R n ∈ Z

f : R+

→ R

+

n ∈ N

x

f (x)

f

x

f (nx) = nf (x)

n ∈ N

x

x = nx

n

x

f (x)

x

a

x

f (x) = ax



a

x

x

f (x)

a

x

f

x

a

nx

n

a

x

f (nx) = nf (x)

f (x) = A · x

A = f (1)

a

A = a

A = a · U

U = 1

A = a

a

x

ax

f

f

f (r) = ar

r

f (x) = ax

x



f

x

rn f

f (x) = lim f (rn) = lim arn = ax

f

f (x) = ax + b

x

f (x)

b

a



. . . 36, 37, 38, . . .

h

h

x

f (x)

f (x) = ax + b

a

b

y1 = f (x1)

y2 = f (x2)

x1 x2

x1 = x2

y1 = f (x1)

y2 = f (x2)

x1 = 20, x2 = 28

f (x1) = 32, f (x2) = 42

a = (y1 − y2)/(x1 − x2) b = y1 − ax1

f (x) = 5x + 28

4 ,



f : R → R

f (x + h) − f (x) = ϕ(h)

h

x

f

f

ϕ : R → R

ϕ(0) = 0 h k ∈ R

ϕ(h + k) = f (x + h + k) − f (x)

= f ((x + k) + h) − f (x + k) + f (x + k) − f (x)

= ϕ(h) + ϕ(k).

a =ϕ(1)

ϕ(h) = a · h

h ∈ R

f (x + h) − f (x) = ah

f (0) b

f (h) = ah + b

f (x) = ax + b

x ∈ R

f (x) = ax +b

f (x + h) − f (x) = ah

x

f (x + h) − f (x) x

x

f (x)

f (x)

x



t

f (t)

f

f (t + h) − f (t)

h

f (t)

h

t

f

f (t) = at + b

a = f (t + 1) − f (t)

b = f (0)

f (t)

t

f

f : R → R

f (x+y) = f (x)+f (y)

x, y ∈ R

f

f (x) = ax

x1, x2, . . . , xi, . . .

h = xi+1 − xi



i

h = x2 − x1 = x3 − x2 = · · · = xi+1 − xi = · · · .

f : R → R

f (x) = ax + b

x1, x2, . . . , xi, . . .

yi =

f (xi), i = 1, 2, . . .

yi+1 − yi = (axi+1 + b) − (axi + b) = a(xi+1 − xi) = ah.

R

(1, y1), (2, y2), . . . , (i, yi), . . .

1, 2, . . . , i , . . .

y1, y2, . . . , yi, . . .

f : R → R

x1, x2, . . . , xi, . . .

y1 = f (x1), y2 = f (x2), . . . , yi = f (xi), . . .

f

g : R → R

g(x) = f (x) − f (0)

g(0) = 0

g

x ∈ R

−x, 0, x

g(−x), 0, g(x)

g(−x) = −g(x)

x ∈ R

n ∈ N

0, x, 2x , . . . , n x



g : 0, g(x), g(2x), . . . , g(nx)

g(x) g(nx) =

n · g(x) n

−n ∈ N

g(nx) = −g(−nx) = −(−n · g(x)) = n · g(x) g(nx) =

ng(x) n ∈ Z

x ∈ R

g

g(x) = ax

f (0) = b

f (x) = g(x) + f (0) = ax + b

x ∈ R

f : R → R

t0 < t1 < · · · < tn x t0

x tn

[ti−1, ti] f

f i

f i(ti) = f i−1(ti−1)

f : R → R

f : R → R

f (x) = |x|

f (x) = |x − c| c ∈ R

f (x) = |αx + β |



g(x) = |x − α| + |x − β |.





A

B

B

A

A

B

A B

A

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

f

g



g(x) = f (x) − 1

g(x) = f (x − 1)

g(x) = f (−x)

g(x) = 2f (x)

g(x) = f (2x)

g(x) = |f (x)|

g(x) = f (|x|)

g(x) = max{f (x), 0}

x

2x + 3 − (x − 1) < x + 1

2x + 3 − (x − 1) < x + 5

min{x + 1; 5 − x} > 2x − 3

min{x + 1; 5 − x} < 2x

min{2x − 1; 6 − x} = x

2|x + 1| − |1 − x| x + 2

(2x + 3)(1 − x) = (2x + 3)(x − 2)



|x + 1 − |x − 1|| 2x − 1

1

2x + 1 <

1

1 − x.

f : R → R

f (x) =

max{x − 1, 10 − 2x}

f (x) = min{4 − x; x + 1}

f (x) = |x + 1| − |x − 1|

(x, y)

|x| + |y| = 1

|x − y| = 1



y

x

y = ax − p

a

p

x

a

p



y = b(x − q ) q

b

q

x



n

n

|x − 2| = ax + b

a

b

f : [a, b] → R

f

[a, c] [d, b]

D

f (x) = α

2[(d − c) + |x − c| + |x − d|],

x ∈ [a, b]

α = D

d − c

[a, b]



[a, b]

f (x) = A + α1|x − a1| + α2|x − a2| + · · · + αn|x − an|,

x ∈ [a, b] a1, a2, . . . , an

a1, a2, . . . , an, . . .

b1, b2, . . . , bn, . . .



f : R → R

f (a1) = b1, f (a2) = b2, . . . , f (an) = bn, . . .

A

B

B

A

B

B

A

f : R → R

f (x) = 2x x

f (x) = 3x x

f (nx) = nf (x)

n ∈ Z

x ∈ R

f

f : R → R

f (x) = 3x+ (2πx)

x ∈ R

x, x + 1, x + 2, . . . f



Roteiro em construção

Este roteiro será substituído pelo roteiro real antes da entrada da semana no ar.



f : R → R

a

b

c

a = 0

f (x) = ax2 + bx + c

x ∈ R

a

b

c

f

ax2 + bx + c = ax2 + bx + c

x ∈ R

a = a

b = b

c = c

ax2 + bx + c = ax2 + bx + c

x ∈ R

x = 0

c = c

c c

ax2 + bx = ax2 + bx

x ∈ R

x = 0

x

ax + b =



ax + b

x = 0 x = 1

x = −1

a + b = a + b

−a + b =

−a + b

a = b

a = b

aX 2 + bX + c

a,b,c ∈ R

a = 0

X 2

XX

aX 2 + bX + c

aX 2 + bX + c

a = a

b = b

c = c

(a,b,c)

x → ax2 + bx + c

→

X 3 − 3X + 2

X 2

−2X + 1

X 4 + X 3 − X 2 + X − 2

X 3

−X 2 + X

−1

f : R − {1} → R

x = 1

x3 − 3x + 2

x2 − 2x + 1 =

x4 + x3 − x2 + x − 2

x3 − x2 + x − 1 = x + 2.



f (x) = ax2 + bx + c

f (x)

x

a = a

b = b

c = c

ax2 + bx + c = ax2 + bx + c

x ∈ R

x

f (x) = ax2 + bx + c g(x) = ax2 + bx + c

f (x1) = g(x1)

f (x2) = g(x2) f (x3) =

g(x3) x1

x2 x3

α =

a − a

β = b − b

γ = c − c

α = β = γ = 0

f (x1)−g(x1) = 0 f (x2)−g(x2) = 0 f (x3)−g(x3) = 0

(S )

αx21 + βx1 + γ = 0

αx22 + βx2 + γ = 0

αx23 + βx3 + γ = 0

α(x2

2 − x2

1) + β (x2 − x1) = 0

α(x2

3 − x2

1) + β (x3 − x1) = 0



x2−x1 = 0

x3−x1 = 0

x2

−x1

x3

−x1

α(x1 + x2) + β = 0

α(x1 + x3) + β = 0

α(x3 − x2) = 0

x3 − x2 = 0

α = 0

β = 0

γ = 0

x1, x2, x3

x

α ,β ,γ

α = β = γ = 0

y1, y2, y3 a

b

c

ax2

1 + bx1 + c = y1

ax2

2 + bx2 + c = y2

ax2

3 + bx3 + c = y3.



a

b

c

x

y

z

x1 x2 x3 x21 x2

2 x23

a

a = 1

x3 − x2

y3 − y1x3 − x1

− y2 − y1x2 − x1

.

x1

x2 x3

y1 y2

y3

a b c

f (x) = ax2 + bx + c

f (x1) = y1

f (x2) = y2 f (x3) = y3

f (x) = ax2 + bx + c

a = 0

a

a

y3 − y1

x3 − x1

= y2 − y1

x2 − x1

.

A = (x1, y1)

B = (x2, y2) C =

(x3, y3) R2

AC

AB

A B C



x1

x2 x3

y1 y2

y3

A = (x1, y1)

B = (x2, y2) C = (x3, y3)

R

2

f (x) = ax2 + bx + c f (x1) = y1 f (x2) = y2 f (x3) = y3

A = (x1, y1)

B = (x2, y2) C = (x3, y3)

R2

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

3 × 3



(x2

−x3)(y3

−y1)

−(x3

−x1)(y2

−y1) = 0

(∗) y3 − y1

x3 − x1

= y2 − y1x2 − x1

.

AB

AC

x1 = x2

x1 = x3

x1 = x2 x1 = x3

A B C

A

B

C

A

B

C



s

p

s

p

x2 − sx + p = 0.

x

s − x

p = x(s − x) = sx − x2,

x2 − sx + p = 0.

α

α2−sα + p = 0

β = s − α

β 2 − sβ + p = (s − α)2 − s(s − α) + p =

= s2 − 2sα + α2 − s2 + sα + p =

= α2 − sα + p = 0.

x2−sx+ p = 0



x = s

2 +

s

2

2 − p s − x =

s

2 − s

2

2 − p

x2

−sx + p = 0.

α

β

α β

α

β

s2

= α+β

2

d = β − (s/2) = (s/2) − α

α = (s/2) − d

β = (s/2) + d

d

p = αβ =s

2 − d

s

2 + d

=s

2

2− d2,

d2 =s

2

2− p

d =

s

2

2− p.

α = s2 − d = s

2 −

s2

2 − p

β = s

2 + d =

s

2 +

s

2

2− p.

s

p



(s/2)2 < p

p

ax2 + bx + c = a

x2 + b

ax +

c

a

.

(x+ b

2a)2



ax2

+ bx + c = a

x2

+ 2 · b

2a · x +

b2

4a2 − b2

4a2 +

c

a

ax2 + bx + c = a

x + b

2a

2+

4ac − b2

4a2

.

ax2 +

bx + c = 0 a = 0

ax2 + bx + c = 0 ⇔ (x + b

2a)2 +

4ac − b2

4a2 = 0

⇔ (x + b

2a)2 =

b2 − 4ac

4a2

⇔ x + b

2a = ±√

b2

−4ac

2a

⇔ x = −b ± √

b2 − 4ac

2a .

∆ = b2 − 4ac

0 ∆ < 0

x + (b/2a)



∆ =

b2

−4ac

ax2 + bx + c = 0

α = (−b −√

∆)/2a

β = (−b +

√ ∆)/2a,

α < β

s = −b/a

p = (b2 − ∆)/4a2 = 4ac/4a2 = c/a.

−b/2a

α

β

−b/2a

∆ = 0

−b/2a

a > 0

f (x) = ax2 + bx + c = a

x + b

2a

2+

4ac − b2

4a2

x

0

x +

b

2a

2

x = −b/2a

f (x)

a > 0

f (x) = ax2

+ bx + c



f (

−b/2a) = c

−(b2/4a).

a < 0

f (−b/2a) f (x)

x ∈ R

a > 0, f (x) = ax2+bx+c

a < 0, f (x)

f (x) = ax2+bx+c x = x

f (x) = f (x)

f (x) = f (x)

x +

b

2a

2=

x + b

2a

2.

x = x

x + b

2a = −

x +

b

2a

,

x + x

2 = − b

2a.

f (x) = ax2+bx+c

f (x) = f (x)

x

= x

x

x

−b/2a

s

x, y

x+y = s



xy

x + y = s

y = s

−x

x

x(s − x) = −x2 + sx

x = s/2 y = s − x = s/2

F

d

F

d

F

d



f (x) = x2

F = (0, 1/4)

y = −1/4

(x, x2)

f (x) = x2

F = (0, 1/4)

x2 + (x2 − 1/4)2.

(x, x2) y =

−1/4

x2 + 1/4

x2 + (x2 − 1/4)2 = (x2 + 1/4)2,

x ∈ R



a = 0

f (x) = ax2

F = (0, 1/4a)

y = −1/4a

x ∈ R

x2 +

ax2 − 1

4a

2=

ax2 + 1

4a

2,

P = (x,ax2) f (x) = ax2 F = (0, 1/4a)

P

y = −1/4a



a > 0

a < 0 y = ax2

a = 0

m ∈ R

f (x) = a(x − m)2

F = (m, 1/4a) y = −1/4a

x

∈R

(x − m)2 +

a(x − m)2 − 1

4a

2=

a(x − m)2 + 1

4a

2

f (x) = a(x − m)2

g(x) = ax2

(x, y) →(x + m, y)

x = 0 x = m



a,m,k ∈ R

a = 0

f (x) = a(x

− m)2 + k

F = (m, k + 14a

y = k − 14a

f (x) = a(x −

m)2+k

g(x) = a(x−m)2

(x, y) → (x, y + k) OX

y = k

y = −1/4a

y = k − 1

4a

f (x) = ax2 + bx + c

y = 4ac − b2 − 1

4a

F = − b

2a, 4ac

−b2 + 1

4a.



a > 0

a < 0

ax2 + bx + c

ax2 + bx + c = a(x − m)2 + k,

m = −b/2a k = (4ac − b2)/4a.

f (x) = ax2 + bx + c

x =

−b/2a

f (x) a > 0

a < 0 x = −b/2a

(x, f (x))

f (x)

f (x) = ax2 + bx + c

f (x) = f (x) x x

−b/2a

x + x = −b/a

x = −b/2a

f

f (x) = ax2

+ bx + c



α

β

OX

ax2 + bx + c = 0.

[α, β ]

OX

OX

α < x < β

f (x) a

x < α

x > β

f (x)

a

(x, y) → (x + m, y)

f : R → R

g : R → R



g(x) = f (x − m) x ∈ R

(x, f (x)) f

(x + m, f (x))

x = x + m

x = x − m

(x, f (x)) f

(x, f (x−m)) =

(x, g(x)) g

(x, y) → (x, y + k)

f : R → R

h : R → R h(x) =

f (x) + k

x ∈ R

(x, f (x))

f

(x, f (x) + k) = (x, g(x))

g



f (x) = ax

2

+ bx + c.

m = −b/2a

(x, y) → (x − m, y)

OY

g(x) = f (x − m) = f

x − b2a

= a

x − b

2a

2+ b

x − b

2a

+ c

= ax2 + k,

k = 4ac − b2

4a .

(x, y) → (x, y − k)



O = (0, 0)

h(x) = g(x) − k = ax2 + k − k.

h(x) = ax2

f (x) = ax2 + bx + c

h(x) = ax2

ϕ(x) = −ax2 + bx + c

Ψ(x) = −ax2

(x, y) → (x, −y)

Ψ(x) = −ax2

h(x) = ax2



a =

±a

f (x) = ax2 + bx + c

ϕ(x) =

ax2 + bx + c

a = a

a = −a

OX

f (x) = ax2 + bx + c ϕ(x) = ax2 + bx + c

b, b

c, c

c

b

f

ϕ

a

= ±a



f (x) = ax2 + bx+ c

ϕ(x) = ax2 + bx+ c

a = ±a

f (x) = ax2

ϕ(x) = ax2

a > 0 a > 0

a < a

ax2 < ax2

a > a

ax2 > ax2) x ∈ R



a

b

c

f (x) = ax2 + bx + c

f (x) = a(x − m)2 + k

f (x) = x2 − 8x + 23

f (x) = 8x − 2x2

y = ax2

a

f (x) = 2x2



f (x) = x2 − 4x + 3

[1, 4]

[6, 10]

f (x) = ax2 + bx + c

a > 0

f x1 + x2

2

<

f (x1) + f (x2)

2 .

0 < α < 1

f (αx1 + (1−

α)x2) < αf (x1) + (1−

α)f (x2).



a

b

c

y = ax2+bx+c

T (n) n

T (n) = an2 + bn.



MA 11 - Unidade 10

Funcao Quadratica

Semana de 09/05 a 15/05


Em continuidade a Unidade anterior, sao propostos agora alguns aprofundamentos e aplicacoes do

estudo das propriedades das parabolas e das funcoes quadraticas.

Na secao 1. Uma Propriedade Notavel da Parabola (pp. 1-8), estabelecemos uma importante

propriedade geometrica dessas curvas (p. 7): A tangente a parabola num ponto P faz angulos iguais

com a paralela ao eixo e com a reta que une o foco F a esse ponto . Como observado no inıcioda secao (pp. 1-2), esta propriedade e amplamente aplicada a construcao de diversos equipamentos

tecnologicos. Certifique-se de entender claramente todos os conceitos e teoremas necessarios para a

demonstracao dessa propriedade: as definicoes de angulo entre uma curva e uma reta e de reta tangente

a uma parabola em um ponto P (p. 3); a caracterizacao das retas tangentes ao grafico de uma funcao

quadratica (p. 4); e a caracterizacao de retas perpendiculares por meio de seus coeficientes angulares

(p. 6).

Na secao 2. O Movimento Uniformemente Variado (pp. 8-11), estudamos a aplicacao das

funcoes quadraticas para descrever este tipo particular de movimento, em que a acelera cao e constante.

Como a aceleracao e a taxa de variacao da velocidade, isto significa que, neste tipo de movimento,a velocidade pode nao ser constante, mas cresce ou decresce com uma taxa constante. Observe que

esta e uma caracterıstica muito particular, que permite que este tipo de movimento seja modelado

por funcoes quadraticas e, portanto, completamente descrito por meio de metodos algebricos simples.

Assim, nossos conhecimentos sobre funcoes quadraticas nos permitem obter todas as informacoes sobre

o movimento no caso uniformemente variado. Para estudar a cinematica no caso de movimentos mais

gerais, sao necessarios metodos do Calculo Infinitesimal.

Na secao 2. Caracterizacao das Funcoes Quadraticas (pp. 12-18), estudamos uma propriedade

interessante e pouco conhecida das funcoes quadraticas: toda funcao quadratica f : R→ R transforma

progressoes aritmeticas ordinarias em progressoes aritmeticas de segunda ordem e, reciprocamente, uma

funcao contınua f : R → R que transforma toda progressao aritmetica ordinaria em uma progressao

aritmetica de segunda ordem deve ser, necessariamente, uma funcao quadratica. Portanto, esta e uma

propriedade satisfeita por todas as funcoes quadraticas, e por nenhuma outra funcao real contınua se

nao as quadraticas; por isso, podemos dizer que essa propriedade caracteriza as funcoes quadraticas.

A primeira implicacao desta caracterizacao e de verificacao mais imediata; porem, a prova de sua

recıproca e um pouco delicada. Assim, leia com atencao a demonstracao das pp. 17-18. Em particular,

observe que a hipotese de continuidade e fundamental nesta demonstracao (p. 18).




Os exercıcios propostos nesta secao exploram outras aplicacoes e interpretacoes de funcoes quadraticas.

Alem destes, propomos os seguintes exercıcios extras.

1. Nesta secao, reta tangente a uma parabola em um ponto P e definida como uma reta satisfazendo

duas condicoes: (i) tem em comum com a parabola esse unico ponto P ; (ii) e tal que todos os

demais pontos da parabola estao do mesmo lado dessa reta.

(a) Para que a reta tangente a parabola em P fique bem definida, seria suficiente exigirmos

apenas a condicao (i)? Ou a condicao (ii) e de fato necessaria? Justifique sua resposta.(b) Esta definicao poderia ser generalizada diretamente para outros tipos de curvas planas,

como por exemplo graficos de funcoes f : R→ R? Justifique sua resposta.

2. Na secao 2, duas propriedades necessarias para a demonstracao da caracterizacao de funcoes

quadraticas sao admitidas: (i) toda funcao quadratica e contınua; (ii) se duas funcoes contınuas

f, g : R → R coincidem para todos os numeros racionais, entao elas coincidem para todos os

numeros reais. Como voce justificaria a validade destas propriedades?

3. Voce consegue ver alguma relacao entre a aplicacao das funcoes quadraticas a fısica feita na secao2, e a caracterizacao de funcoes quadraticas por meio de progressoes aritmeticas estabelecida na

secao 3? Justifique sua resposta.

Para saber mais













f (x) = ax2 + bx + c

P = (x0, y0)

y0 = ax20 + bx0 + c

2ax0 + b

x0

a > 0

x = x0

(x, y)

y = ax2 + bx + c (x, y0 + (2ax0 + b)(x − x0))

x

a > 0

x = x0 ⇒ ax2 + bx + c > ax2

0 + bx0 + c + (2ax0 + b)(x − x0).



x =x0

⇓

ax2 + bx + c − [ax2

0 + bx0 + c + (2ax0 + b)(x − x0)] =

= a(x−x0)2 > 0

2ax0 + b

(x0, y0) y0 = f (x0)

f

a > 0

a < 0

f (x) = ax2 + bx + c,

P = (x, y) 2ax + b

F Q

F

Q

P

d

P

x

−b/2a

2ax+b =

0 P

F Q

P



F Q

Q

F

F = (m, k + 1

4a)

Q = (x, k − 1

4a)

m = −b/2a k =

F Q

k − 1

4a − (k + 1

4a)

x − m =

−1

2a(x − m) =

−1

2a(x + b

2a)

= − 1

2ax + b·

F Q

T T

P

y = ax + b

y = ax + b

a = 0

a = 0

a = −1/a

y = ax y = ax

x = 1 (1, a)

(1, a)

(0, 0), (1, a) (1, a)



a

a

a

a

a

1 = −aa

a = −1/a

a = −1/a

y = bx

y = ax

b = −1/a

b = a

y = ax

y = bx

y = ax

P

F

Q

P

F P = P Q

F P Q

F Q

F P T

T P Q

A P T = F P T

= α



t

f (t)

f

(∗) f (t) = 1

2at2 + bt + c.

a

b



t = 0

c

f

f (t + h) − f (t)

h =

t t + h

f

t

t + h

at + b + ah

2

h at + b

v(t) = at + b

t

t = 0

v(0) = b

b

a = [v(t+h)−v(t)]/h

t

h

a

v

a

t > −b/a

v

a

t < −b/a

a

g

−6 5m/seg

−2m/seg2

f (t) = −t2 + 5t − 6

f

t = −5/(−2) = 2, 5seg



v(t) = 0

v(t) = −2t + 5

t = 2, 5seg

OY

v = (v1, v2)

v1

OX

P = (x, y)

t

x = v1t.



=

−g

OY

P

OY

−g

v2

t

y

P = (x, y)

y = −1

2gt2 + v2t

y = 0

t = 0

v1 = 0

t

x = v1t = 0 P = (0, y)

y = −

1

2gt2

+ v2t.

v1 = 0

x = v1t

t = x/v1

t

y

y = ax2 + bx

a = −g/2v21

b = v2/v1







ϕ : R → R

ϕ

f

g : R →

R

f (r) = g(r)

r

f (x) = g(x) x

y1, y2, y3, y4, . . .

d1 = y2 − y1, d2 = y3 − y2, d3 = y4 − y3, . . .

1, 4, 9, 16, 25, . . .

f (x) = x2

1, 2, 3, 4, 5, . . .

f (1) f (2)

f (3) f (4)

f (5) . . .

f : R → R

x1, x2, x3, x4, . . .

y1 = f (x1), y2 =

f (x2), y3 = f (x3), y4 = f (x4), . . .

f : R → R

f (x) = ax2 + bx + c

x1, x2, . . . , xn, . . .



r

xn = x1 + (n − 1)r

xn = an + b

a = r

b = x1 − r

f (x) = ax + b

x1 = f (1), x2 = f (2), . . . , xn = f (n), . . .

y1, y2, . . . , yn, . . .

a,b,c

yn = an2 + bn + c

n ∈ N

f (x) = ax2 + bx + c

yn = f (n) n ∈ N

f

y2 − y1, y3 − y2, . . . , yn+1 − yn, . . .

d = y2 − y1

r

yn+1 − yn = d + (n − 1)r,

n = 1, 2, 3, · · ·

yn+1 = (yn+1 − yn) + (yn − yn−1) + . . . + (y3 − y2) + y1;

= [d + (n − 1)r] + [d + (n − 2)r] + . . . + [d + r] + d + y1;

= nd + n(n − 1)

2 + y1,

n ∈ N

n = 0



yn = (n − 1)d + (n − 1)(n − 2)2 r + y1;

= r

2n2 + (d −

3r

2 )n + r − d + y1;

= an2 + bn + c,

n ∈ N

a = r/2 b = d − 3r/2

c = r − d + y1

3, 7, 13, 21, 31, 43, . . .

7− 3, 13−7, 21−13, 31−21, 43−

31, . . . 4, 6, 8, 10, 12, . . .

r = 2

d = 4

n

yn = an2 + bn + c

a = r/2 = 1 b = d−3r/2 = 4−3 = 1

c = r−d + y1 = 2−4 +3 = 1

n

3, 7, 13, 21, . . .

yn = n2 + n + 1

xn+1 − xn = 0

x1, x1, x1, . . .

r

y2 − y1, y3 − y2, . . .

a = r/2 = 0 f (x) = ax2 + bx + c yn = f (n)

f (x) = bx + c





ax2

+ bx

(a

p2

)x2

+ (b

p)x

x = n ∈ N

a = a p2

b = b p

a = a/p2

b = b/p

n

p

g(n

p) = an2 + bn

= a p2

n2 + b p

n

= an

p

2

+ bn

p

·

g(x)

ax2 + bx

g(r) = ar2 + br

r = n/p

g(x) = ax2 + bx

x

−1,−2,−3, . . . g(x) =

ax2+bx

x 0 f (0) = c

f (x) = g(x)+c

f (x) = ax2 + bx + c

x ∈ R



Rn

n

n

Rn

n

Rn

n



x1, x2, . . . , xn

x

d(x) = (x − x1)2 + (x − x2)2 + · · · + (x − xn)2.

d(x)

x = x1 + x2 + · · · + xn

n .

e(x) = |x − x1| + |x − x2| + · · · + |x − xn|

e(x)

x

x1, x2, . . . , xn







MA 11 - Unidade 11

Funcao Quadratica

Semana de 09/05 a 15/05


Nesta Unidade, faremos apenas exercıcios de revisao sobre os conteudos de funcoes quadraticas

estudados nas duas Unidades anteriores. A maior parte dos exercıcios (1 a 7, 12 a 14, 17 a 22) aborda

problemas de maximos e mınimos e outras situacoes concretas que podem ser resolvidos por meio

de funcoes quadraticas. Os exercıcios de 8 a 11 envolvem a articulacao de representacoes graficas e

algebricas para funcoes quadraticas. Os exercıcios 15 e 16 envolvem a interpretacao grafica da funcao

raız quadrada a partir do grafico de funcoes quadraticas. O exercıcio 23 apresenta uma importante

caracterizacao das funcoes quadraticas. Em particular, recomendamos especial atencao para a relacao

entre esta caracterizacao e aquela apresentada na secao 3 da Unidade anterior. Finalmente, o exercıcio

24 trata de outras importantes propriedades geometricas dos graficos de funcoes quadraticas.

Para saber mais

Abaixo, indicamos algumas referencias de estudos futuros para aqueles que se interessarem em seaprofundar nos temas tratados nesta aula. Esses aprofundamentos nao sao prioritarios e nao serao







x

x

21n− n2

n

f (x) = |x2| − |x|+ 1;

f (x) = |x2 − x|.

(x, y)

x2 − 5x + 6 = 0;

y = x2 − 5x + 6.

x4 + x2 − 20 > 0

a

b

c

f (x) = ax2 + bx + c

f (0) f (1)

f (2)



a

f : [0, +

∞) →

R

f (x) = √ x

√ x + m = x

m > 0

−1

4 < m 0

m = −1/4

m < −1/4

A

B

A

B

A

A





MA 11 - Unidade 12

Funcoes Polinomiais

Semana de 23/05 a 29/05


Dando prosseguimento as ultimas unidades, daremos continuidade ao estudo de algumas ideias

sobre funcoes afins e quadraticas, enfocando agora funcoes polinomiais em geral.

Um primeiro resultado importante, apresentado na secao 1. Funcoes Polinomiais vs Polinomios

(pp. 1-5), e o fato de que um n´ umero real α e raiz de uma funcao polinomial p : R → R se, e

somente se, x − α e fator de p(x) (p. 2). Este resultado, que relaciona raızes com fatoracao, fornece

uma ferramenta importante – e muito utilizada – para determinar raızes: se conseguimos determinar,

de alguma maneira (seja por algum metodo algebrico ou por inspecao) uma raız de um polinomio p,

podemos fatorar p em polinomios de grau menor, o que pode facilitar a tarefa de encontrar outras

raızes. Decorre tambem deste resultado o fato de que um polinomio de grau n com coeficientes reais

tem, no maximo, n raızes. Do ponto de vista do ensino, essas propriedades tem grande importancia.

De forma geral, na abordagem de polinomios no ensino basico, certas tecnicas particulares tem recebido

muito mais enfase que aspectos mais conceituais e qualitativos, como a aplicacao da fatoracao para a

determinacao de raızes e a analise de sinais, o que possibilita o estudo de graficos em casos simples

(veja exercıcio extra 1, a seguir).Ainda na secao 1, observe o comentario sobre a relacao entre funcoes polinomiais e polinomios (pp.

3-5), ja discutida na Roteiro 09 (p. 1 e exercıcio extra 1). Para entender a necessidade desse comentario,

e importante lembrar que, a princıpio, funcoes polinomiais e polinomios sao objetos matematicos de

naturezas diferentes. Funcoes polinomiais sao, antes de mais nada, func˜ oes , portanto a igualdade entre

funcoes polinomiais (com mesmos domınio e contradomınio) e determinada pela igualdade de seus

valores em cada elemento do domınio . Por outro lado, polinomios sao express˜ oes formais e, portanto,

sua igualdade e determinada pela igualdade de seus coeficientes . E claro que um polinomio nao pode

gerar duas funcoes polinomiais diferentes. No caso de R, vale a recıproca: uma funcao polinomial nao

pode ser gerada por polinomios diferentes (fato que pode nao ser verdadeiro em outros corpos – verexercıcio extra 1 do Roteiro 09). Assim, ha uma correspondencia biunıvoca entre funcoes polinomiais

reais e polinomios reais e nao ha necessidade de fazer essa distincao.

A secao 2. Determinando um Polinomio a parir de seus Valores (pp. 5-7) tambem trata

de um fato ja abordado na Unidade 09 para o caso particular de funcoes quadraticas: dados n + 1

n´ umeros reais x0, . . . , xn, dois a dois distintos, e n + 1 n´ umeros reais y0, . . . , yn, quaisquer, existe um

´ unico polinˆ omio p, de grau ≤ n, tal que p(xk) = yk, ∀ k = 0, . . . , n. A unicidade de tal polinomio

decorre do fato de que um polinomio de grau n so pode ter no maximo n raızes. Para a existencia, sao

apresentados dois argumentos. O primeiro deles se baseia na analise das solucoes de um sistema linear

(p. 6). Nesse sistema, observe que os numeros x0, . . . , xn e y0, . . . , yn sao conhecidos e os coeficientes



a0, . . . , an sao as incognitas.

Na secao 3. Graficos de Polinomios (pp. 7-11), sao apresentados alguns fatos importantes

envolvendo o comportamento assintotico de funcoes polinomiais (pp. 7-9), isto e, seu comportamento

quando x tende a ±∞. Essencialmente, podemos dizer que o comportamento assintotico de uma

funcao polinomial e determinado pelo seu termo de maior grau, pois para |x| suficientemente grande

os demais termos tornam-se desprezıveis (veja exercıcio extra 4, a seguir). Para resolver esse exercıcio,

voce devera usar o fato de que limx→+∞

xn = +∞.

Ainda na secao 3, e apresentado o metodo de Newton (pp. 10-11), que e um metodo numerico

para calculo de raızes, isto e, um metodo de calculo de valores aproximados de raızes. Para o ensino

medio, o metodo de Newton pode nao ser adequado, pois envolve o conceito de derivada. Entretanto,

o calculo aproximado de raızes de polinomios pode ser desenvolvido por meio de metodos mais simples.

Por exemplo, o metodo da bissecao e acessıvel ao ensino medio, com a ajuda de uma calculadora de

bolso simples, como descrevemos a seguir. Se encontramos dois numeros x1 e x2 tais que p(x1) e p(x2)

possuem sinais distintos, digamos p(x1) < 0 e p(x2) > 0, podemos ter certeza de que existe (pelo

menos) uma raiz de p

no intervalo ]x1, x2

[. Tomamos entao um numero qualquer x3

nesse intervalo.Se p(x3) = 0, temos a sorte de ter encontrado nossa raiz. Se p(x3) > 0, existe (pelo menos) uma raiz

no intervalo ]x1, x3[. Se p(x3) < 0, existe (pelo menos) uma raiz no intervalo ]x3, x2[. Podemos assim

continuar o processo indefinidamente. O calculo aproximado de raızes e importante e acessıvel para

aprofundar a ideia de raiz no ensino medio, complementando e ampliando os metodos convencionais,

que muitas vezes sao memorizados sem compreensao adequada.


Recomendamos que voce resolva atentamente todos os exercıcios desta secao, que envolvem ideias

fundamentais sobre funcoes polinomiais. Os exercıcios 1 e 2 tratam do algoritmo da divisao de

polinomios, que e uma ferramenta importante para a fatoracao quando encontramos uma raiz. Os

exercıcios 3 e 4 abordam o conceito de multiplicidade. Os exercıcios 8 e 9 envolvem calculo aproxi-

mado de raızes.

Alem destes, propomos os seguintes exercıcios extras.

1. Para cada um dos ıtens a seguir, use a fatoracao do polinomio p dado para responder as seguintes

questoes. (i) Determine todas as raızes reais de p. (ii) Determine os intervalos em que p(x) > 0

e aqueles em que p(x) < 0. (iii) Qual e o numero de pontos de maximo local e de mınimo local

que p possui? Justifique sua resposta. (iv) E possıvel ter certeza do numero exato de pontos

de maximo local e de mınimo local, e da localizacao exata desses pontos, apenas com base na

analise algebrica da fatoracao dos polinomios? Justifique sua resposta.

(a) p(x) = x3 − 4 x



(b) p(x) = x3 + x2 − x − 1

(c) p(x) = x4 − 2 x2

(d) p(x) = x4 − 1

2. Na secao 2, prova-se que, dados n + 1 pontos no plano, com abscissas duas a duas distintas,

existe uma unica funcao polinomial, com grau ≤ n, cujo grafico contem esses pontos (p. 5).

Explique por que so podemos concluir que essa funcao polinomial tem grau ≤ n, e nao grau = n.

3. Na secao 2, e apresentada uma justificativa para a atribuicao do grau do polinomio identicamente

nulo como sendo −∞ (p. 7). Explique por que essa atribuicao e conveniente. Por que nao seria

conveniente atribuir +∞ a esse grau, por exemplo?

4. Observe que todo polinomio p(x) = anxn + · · · + a1x + a0, com an = 0, pode ser escrito na

forma:

p(x) = xn

an +

an−1

x + · · · +

a1

xn−1 +

a0

xn

Assim, p se escreve na forma: p(x) = xn

(an + g(x)), em que lim|x|→+∞ g(x) = 0.

Use esta expressao para provar os seguintes fatos (afirmados nas pp. 7-8):

(a) Se o grau de n e par, entao, ∃ M > 0 tal que p(x) tem o mesmo sinal de an, ∀ x com

|x| ≥ M .

(b) Se o grau de n e ımpar, entao, ∃ M > 0 tal que p(x) tem o mesmo sinal de an, ∀ x > M

e o sinal oposto de an, ∀ x < −M .

(c) limx→+∞

p(x) = limx→+∞

anxn e limx→−∞

p(x) = limx→−∞

anxn. Em particular, os limites no infinito

de qualquer funcao polinomial sao infinitos.

5. Considere os polinomios dados na questao 1 acima. Se voce usar um programa computacional

para esbocar os graficos desses polinomios e ampliar a janela de visualizacao, para valores grandes

das variaveis x e y, que aspecto voce espera que os graficos adquiram? Este aspecto depende

do comportamento dos polinomios, para valores “pequenos” de x?

Para saber mais

Abaixo, indicamos uma referencia para estudo futuro, para aqueles que se interessarem em se








p

x

α

p(x) − p(α) = an(xn − αn) + an−1(xn−1 − αn−1) + · · · + a1(x − α).

x−α

x ∈ R

p(x) − p(α) = (x − α)q (x),

q

p

n

q

n − 1

α

p

p(α) = 0

p(x) = (x − α)q (x) x ∈ R

α

p

p(x)

x

−α

α1, . . . , αk

p

x ∈ R

p(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αk)q (x),

q

n − k

p

n

n

n

p

p(x) = 0 x ∈ R p

p

n

p

p(x) = anx

n

+ · · · + a1x + a0.



an, an−1, . . . , a1, a0

0xn + 0xn−1 + · · · + 0x + 0.

= 0

p

q

p(x) = anxn + · · · + a1x + a0

q (x) = bnxn + · · · + b1x + b0,

n

an = 0

bn = 0

p(x) = q (x)

x ∈ R

p

q

d = p − q

d(x) = p(x) − q (x) = 0

x ∈ R

x ∈ R

d(x) = (an − bn)xn + · · · + (a1 − b1)x + (a0 − b0).

an − bn = 0, . . . , a1 − b1 = 0, a0 − b0 = 0

an = bn, . . . , a1 = b1, a0 = b0.

p

q

p(x) =

q (x)

x ∈ R



p(X ) = anX n + an−1X n−1 + · · · + a1X + a0,

(a0, a1, . . . , an) X

X i

X ·X · · ·X

i

p(X )

X i ·

X j = X i+ j

p(X ) = anX n + · · · + a1X + a0

q (X ) = bnX n + · · · + b1X + b0

a0 = b0, a1 = b1, . . . , an = bn

p(X ) = anX n + · · · + a1X + a0

p : R → R

p(x) = anxn + · · · + a1x + a0 x ∈ R

→



p

p

p

p(x)

x

n n + 1

n + 1

n + 1

n + 1 x0, x1, . . . , xn

y0, y1, . . . , yn

p

n

p(x0) = y0, p(x1) = y1, . . . , p(xn) = yn.

p q n

n + 1

p− q

n + 1

p − q = 0 p = q

p

n

n + 1

n = 2



n + 1

n + 1 a1, . . . , an

anxn0 + · · · + a1x0 + a0 = y0

anxn1 + · · · + a1x1 + a0 = y1

anxnn + · · · + a1xn + a0 = yn.

x0, x1, . . . , xn

n + 1

i<j

(xi − x j)

n

n + 1 x0, x1, . . . , xn

y0, y1, . . . , yn

n = 1

n = 2

n = 1 :

p(x) = y0x − x1

x0 − x1

+ y1x − x0

x1 − x0

.

n = 2 :

p(x) = y0(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2) + y1

(x − x0)(x − x2)(x1 − x0)(x1 − x2))

+

+ y2(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1).

p(x) =n

i=1

yi ·

k=i

x − xk

xi

−xk

.



p(x)

p(x0) =

y0, p(x1) = y1, . . . , p(xn) = yn n

n

x0 = −1 x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2

x4 = 3 4

−7 1 5 11 25

p(x) = x3

−2x2 + 5x + 1,

n+1

n

−∞

0 = −∞

p(x) = anxn + · · · + a1x + a0

a = 0

n

|x|

p(x)

an

x < 0

x > 0 |x|



n

p(x)

an

x

an

an

n

n

|x|

| p(x)|

p

q

x

| p(x)| > |q (x)|

| p(x)|

|q (x)|

|x|





p(b)

4

x1, x2, . . . , xn, . . .

p(x1), p(x2), . . . , p(xn), . . .

p(x) = 0

x1

x1, x2, . . . , xn, . . .

xn+1 = xn − p(xn)

p(xn),

p

xn

a

x2 − a = 0 x1

x1, x2, . . . , xn, . . .

√ a

xn+1 = 1

2

xn +

a

xn

.

p(x)

p(x) = anxn + · · · + a0

p

(x) = nanx

n−1

+ (n − 1)an−1x

n−2

+ · · · + a1.



p(x) = 0 p(x) = x5 − 5x2 + 1

p(x) = 5x4 − 10x

p(1) = −3

p(2) = 13

p

x0 = 2

x1

= x0 −

p(x0)

p(x0) = 2 − 13

60 = 1,

783.

x2 = x1 − p(x1)

p(x1) = 1, 783 − 3, 124

32, 703 = 1, 687.

x3 = x2 − p(x2)

p(x2) = 1, 687 − 0, 434

23, 627 = 1, 667.

p(1, 668)

p(0) > 0 p(1) < 0

p(x) = x5 − 5x2 + 1

P (x)

p(x)

P (x)

p(x)





x0 = 3

xn−1 = 1

2

xn + 5

xn

√ 5

√ 2

1, 4142 < 2 < 1, 4152.

3√

a

3√

2





extensao de Q para R envolve necessariamente alguma ideia de continuidade ou convergencia, o que

torna este passo conceitualmente mais delicado.


Como reflexoes iniciais, propomos os seguintes exercıcios extras.

1. Como voce explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a0 = 1? E que a−n = 1

an?

2. Como voce explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a1

2 =√

a ? E que am

n = m

√ an =

( m

√ a)

n

?

Para saber mais

Abaixo, indicamos uma referencia para estudos futuros para aqueles que se interessarem em se






f : R → R

f (x + h) − f (x)

f

x

x + h h x

x f (x) = ax + b

f (x+h)−f (x) = ah

f

f (x + h)− f (x)

x

f

x

f (x)

f (x)



x

c0

c(t)

t

c(t)

t

t < t

c(t + h) − c(t)

h

t

c(t + h) − c(t)

h

t

c(t)

c(t)

c(t)

t

c(t + h) − c(t)

h

t

c(t + h) − c(t)

c(t)

h

c(t + h)− c(t) c(t)

c(t + h)− c(t) = ϕ · c(t) ϕ = ϕ(h)

h

ϕ(h) = [c(t +

h)− c(t)]/c(t) t

[c(t + h)− c(t)]/c(t) = [c(t + h)/c(t)]−1

c(t + h)/c(t)

t

c(t1 + h)/c(t1) = 2

c(t2 + h)/c(t2) = 2

t2 h

h



c(t) [c(t +

h)− c(t)]/c(t) h

t

c(t) = c0 · at

109



m = m(t)

t m

t

[m(t +

h)−m(t)]/m(t) h

h

t

m(t)

m : R → R

[m(t + h)−m(t)]/m(t) h

m(t + h)/m(t)

t

h

m(t) = b.at

0 < a < 1

a

n ∈ N

an

a

n

n

a

n = 1 a1 = a

an

a1 = a

an+1 = a · an

m, n ∈ N

am

· an

= am+n





c ∈ R

n ∈ N

an > c

a = 1 + d, c > 0

an > 1 + nd

n > (c − 1)/d

1 + nd > c

an > c

a = 1, 000001

a, a2, a3, . . .

a

1014

(1, 000001)n >

n > 21

(an)

limn→∞

an = ∞

an

n

a > 1

0 < a < 1

a, a2, a3, . . .

c > 0

n ∈ N

an < c

0 < a < 1 b = 1/a

b > 1

n ∈ N



bn > 1/c

1

an > 1

c

an < c

limn→∞ an = 0 0 < a < 1

limn→∞ an = 0 an n

an

n ∈ Z

am·an = am+n

a0

a0

·a1

= a0+1

a0

·a = a

a0 = 1

n ∈ N

a−n · an = a−n+n = a0 = 1 a−n =

1

an

a > 0

am · an = am+n

a0 = 1 a−n = 1/an

n ∈ N

f : Z→ R

f (n) = an

n ∈ Z

f (m + n) = f (m)− f (n),

a > 1 0 < a < 1

a > 1

n ∈ N a−n < 1 < an

0 < a < 1 an < 1 < a−n

−n < 0 < n

a0 = 1

am · an = am+n

(am)n = amn

n ∈ Z

ar

r = m/n

m ∈ Z

n ∈ N



ar · as = ar+s

r = m/n

(ar)n = ar · ar · . . . · ar = ar+r+···+r = arn = am.

ar

n

am

n√

am

n

am.

ar

r = m/n

m ∈ Z n ∈ N

am/n = n√ am.

m/n = mp/np

p ∈ N

n√

m = np√

amp

ar

· as

= ar+s

r, s ∈ Q

f : Q → R+

f (r) = ar

a > 1 0 < a < 1

f : Q → R+

f (r) = a

a > 0

ar r

Q

f (Q) R+

a = 10

r = m/n

10m/n =

11 10m = 11n m

n ∈ N

m ∈ N, 10m

m







MA 11 - Unidade 14

Funcao Exponencial

Semana de 30/05 a 05/06


Nesta Unidade, continuamos o estudo de funcoes exponenciais, iniciado na unidade anterior, onde

foi apresentada a definicao da exponenciacao apenas para expoentes racionais. Na secao 1. A Funcao

Exponencial (pp. 1-6), e discutida a sua extensao para expoentes reais, necessaria para que possamos

definir a funcao exponencial com domınio em R. Fazer essa extensao significa que, para a > 0 fixado,

devemos definir uma funcao f , com domınio em R, que satisfaca as propriedades fundamentais 1, 2 e

3, enunciadas na p. 1, para todo x ∈ R.

Em primeiro lugar, observamos que tal funcao sera estritamente positiva (p. 2). Portanto, pode-

remos definir f : R → R+. Alem disso, para r ∈ Q, a funcao coincidira com a exponenciacao ar, ja

definida (p. 2). Por outro lado, fixado a > 1 (o caso 0 < a < 1 e analogo), gracas a monotonicidade

da exponencial em Q, temos que, dado x irracional, existe um unico numero real y com a seguinte

propriedade:

r < x < s, x, y ∈ Q ⇒ ar < y < as

De fato, se existissem dois numeros reais distintos A < B com esta propriedade, concluirıamos que

ar < A < B ∀ r ∈ Q, r < x, e que A < B < as ∀ s ∈ Q, s > x. Isto e, nao existiria nenhuma potencia

ar, com r ∈ Q no intervalo [A, B], contradizendo o lema da secao anterior. Portanto, definimos o

unico numero real y com a propriedade acima como sendo o valor da fun cao f em x. Assim, fica bem

definida a funcao f que satisfaz as propriedades 1, 2 e 3. A partir daı, podemos estabelecer as outras

propriedades importantes da funcao exponencial f : R → R+ (pp. 3-5): continuidade, injetividade,

sobrejetividade, limites em ±∞.

Com relacao ao grafico da funcao exponencial (pp. 5-6), recomendamos particular atencao a

comparacao entre funcoes exponenciais e polinomiais: o crescimento exponencial, quando a > 1,supera o de qualquer polinˆ omio . No Ensino Medio, graficos de funcoes exponenciais sao muitas vezes

tracados de forma displicente, como se fossem arcos de parabola. Entretanto, e importante observar

que o crescimento exponencial e qualitativamente bastante diferente do crescimento polinomial. Para

entender bem esta diferenca qualitativa, releia a discussao sobre variacao da funcao exponencial na

unidade anterior: o crescimento exponencial se caracteriza pelo fato de que a variacao da variavel

dependente e proporcional ao seu proprio valor.

Na secao 2. Caracterizacao da Funcao Exponencial (p. 6-9), sao demonstradas duas formas

de caracterizar este tipo de funcao. A primeira diz respeito a suas propriedades algebricas, e segunda

envolve a ideia de variacao. Ao ler essas demonstracoes, preste atencao a importancia da hipotese







f : R → R

1) f (x + y) = f (x)

·f (y)

f

0

x0 ∈ R

f (x0) = 0 x ∈ R

f (x) = f (x0 + (x − x0)) = f (x0) · f (x − x0) = 0 · f (x − x0) = 0,

f

f : R

→ R

f (x) > 0

x ∈ R

f (x) = f x

2 +

x

2

= f

x

2

· f

x

2

=

f x

2

2> 0.

1)

f

R R+ R+

f

f : R→ R 1) 2)

n ∈ N

f (n) = f (1 + 1 + · · · + 1) = f (1) · f (1) · ... · f (1) = a · a · ... · a = an.

1)

r = m/n

n ∈ N

f (r) = ar = n

√ am

f (r) = ar f : Q→ R+ f (r +s) =

f (r) · f (s) r

s ∈ Q

f (1) = a.

3)

a > 1 0 < a < 1

f (x) = ax

x

a > 1

ax



r < x < s,

r, s ∈ Q ⇒ ar < ax < as.

ax

ax

r < x, r ∈ Q

as

x <

s, s ∈ Q

A < B

A B

r < x < s, r, s ∈ Q ⇒ ar < A < B < as

[A, B] a

x

ax

ar

r

x

as

s

x

ax

x ∈ R

f : R → R+

f (x) = ax

R+

f (r) = ar

a > 1

ax

x > 0 0 < a < 1 ax

x < 0

x0 ∈ R

|ax − ax0|

x

x0

ax

x

x0

ax0

limx→x0 ax

= ax0



x = x0 + h

x

− x0 = h

|ax

− ax0

| = ax0

|ah

− 1

|

h

ax0

ax0|ah − 1|

limx→x0 |ax − ax0 | = 0 limx→x0 ax = ax0

f : R → R+, f (x) = ax, a = 1

b > 0

x ∈ R

ax = b

a

n ∈ N

arn

rn ∈ Q

(b − 1

n, b + 1

n)

|b − arn| < 1/n limx→x0 arn = b

a > 1

arn

ar1 < ar2 < · · · < arn < · · · < b.

s ∈ Q

b < as

ax

r1 < r2, · · · , rn < · · · < s.

rn

s

R rn

x

limx→x0 rn = x

ax = limx→x0 arn = b

a

f : R → R+

f (x) = ax

R

R+

a > 1

0 < a < 1

f (x + y) = f (x) · f (y).



x → ax

a > 1

x > y ⇒ ax > ay

x < y ⇒ ax < ay,

x = y ⇒ ax = ay

limx→+∞

ax = +∞ a > 1,

limx→+∞

ax = 0 0 < a < 1,

limx→−∞

ax = 0 a > 1

limx→−∞

ax = +∞ 0 < a < 1.

f (x) = a

x

a > 1

0 < a < 1

a > 1

x

y = ax





f : R→ R+

f (nx) = f (x)n

n ∈ Z x ∈ R

f (x) = ax

x ∈ R

a = f (1)

f (x + y) = f (x) · f (y)

x, y ∈ R

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)

(1) ⇒ (2)

(1) r = m/n

m ∈ Z

n ∈ N

f (rx) = f (x)r nr = m

f (rx)n

= f (nrx) = f (mx) = f (x) m,



f (rx) = f (x)m/n = f (x)r

f (1) = a

f (r) = f (r

·1) = f (1)r = ar

r ∈ Q (1) ⇒ (2)

f

1 =

f (0) < f (1) = a

x ∈ R

f (x) = ax

f (x) < ax

f (x) > ax

r

f (x) < ar < ax

f (x) < f (r) < ax

f

f (x) < f (r)

x < r

ar < ax

r < x.

(1) ⇒ (2)

(2) ⇒ (3) (3) ⇒ (1)

f

(1) ⇒ (2) x

x = limn→∞ rn = rn, rn ∈ Q f

f (x) = limn→∞

f (rn) = limn→∞

arn = ax.

g : R→ R

g(x) = bax

x

∈R

a

b

a > 1 g 0 < a < 1 g

g : R→ R

x, h ∈ R

g(x + h) − g(x)

g(x) = ah − 1

g(x + h)

g(x) = ah

h

x



g : R

→ R+

x, h ∈ R

[g(x + h)− g(x)]/g(x) h

x

b = g(0) a = g(1)/g(0)

g(x) = bax

x ∈ R

ϕ(h) = g(x+h)/g(x)

x

g(x) f (x) = g(x)/b

b = g(0)

f

f (x + h)/f (x)

x

f (0) = 1

x = 0

ϕ(h) = f (x + h)/f (x) ϕ(h) = f (h)

h ∈ R

f

f (x + h) = f (x) · f (h)

f (x + y) = f (x) · f (y)

x, y ∈ R

f (x) = ax

g(x) = bf (x) = bax






Propomos os seguintes exercıcios extra.

1. Na p. 3, definimos a funcao inversa de f : X → Y como uma funcao g : Y → X satisfazendo

duas condicoes: g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y . Em outras palavras, g ◦ f = I X

e f ◦ g = I Y . E importante observar que essas condicoes sao independente , isto e, uma nao

implica na outra. Por isso, e necessario exigir ambas na definicao de funcao inversa. O objetivo

deste exercıcio e construir exemplos que justifiquem essa necessidade.

(a) De um exemplo de uma funcao f : X → Y sobrejetiva que nao seja injetiva. Verifique que

existe uma funcao g : Y → X tal que f ◦ g = I Y . Esta funcao e a funcao inversa de f ?

Justifique a sua resposta.

(b) De um exemplo de uma funcao f : X → Y injetiva que n˜ ao seja sobrejetiva. Verifique que

existe uma funcao g : Y → X tal que g ◦ f = I X . Esta funcao e a funcao inversa de f ?

Justifique a sua resposta.

2. Na p. 3, mostramos que: f (g(y)) = y ∀x ∈ X implica na sobrejetividade de f ; e g(f (x)) = x

∀x ∈ X implica na injetividade de f . Na verdade, estas sao condicoes equivalentes a sobreje-

tividade e a injetividade, respectivamente. Complete essas provas:

(a) Mostre que existe uma g : Y → X tal que f ◦ g = I Y se, e somente se f e sobrejetiva.

Podemos garantir que esta funcao e a funcao inversa de f ? Justifique a sua resposta.

(b) Mostre que existe uma g : Y → X tal que g ◦ f = I X se, e somente se f e injetiva.

Podemos garantir que esta funcao e a funcao inversa de f ? Justifique a sua resposta.

3. Mostre que a funcao inversa e unicamente determinada por f .

4. Na p. 5, afirmamos que, se f : I → R e uma funcao contınua, definida em um intervalo I ⊂ R,

entao f e injetiva se, e somente se, e monotona crescente ou decrescente.

(a) Suponha agora que desconsideremos a hipotese de continuidade, isto e, tomemos f : I ⊂

R → R uma funcao qualquer, definida em um intervalo I ⊂ R. Ainda podemos afirmar que

f ser monotona crescente ou decrescente implica em f ser injetiva? E que f ser injetiva

implica em f ser monotona crescente ou decrescente? Justifique suas respostas.

(b) Suponha agora que desconsideremos a hipotese de que o domınio de f e um intervalo, isto

e, tomemos f : D ⊂ R → R uma funcao contınua, definida em um subconjunto D ⊂ R

qualquer. Ainda podemos afirmar que f ser monotona crescente ou decrescente implica em

f ser injetiva? E que f ser injetiva implica em f ser monotona crescente ou decrescente?

Justifique suas respostas.







x1 + nh

f (xn+1) = f (x1) · An

A = ah

x1 = 0

f (x1) = b f (xn+1) = b

·An

c0

t

c(t) = c0 ·at 0, h, 2h, 3h , . . .

c(0) = c0

c(h) = c0A

c(2h) = c0 ·A2

c(3h) = c0 ·A3

, . . .

A = ah

h

c0, c0 · A, c0 ·A2, c0 · A3, . . . .

f : R → R

x1, x2, . . . , xn, . . . y1, y2, . . . , yn, . . . , yn =

f (xn) b = f (0) a = f (1)/f (0) f (x) = bax

x ∈ R

b = f (0)

g : R → R+

g(x) = f (x)/b

g(0) = 1 x ∈ R

x, 0,−x

g(x), 1, g(−x)



g(−x)

g(−x) = 1/g(x) n ∈ N

x

∈R 0, x, 2x, . . . ,nx

1, g(x), g(2x), . . . , g(nx)

g(x) (n + 1)

g(nx) = g(x)n

−n g(−nx) = 1/g(nx) = 1/g(x)n =

g(x)−n g(nx) = g(x)n

n ∈ Z x ∈ R

a = g(1) =

f (1)/f (0) g(x) = ax

f (x) = bax

x ∈ R

g : Y → X

f : X → Y

g(f (x)) = x

f (g(y)) = y

x ∈ X

y ∈ Y

g

f

f

g

g

f

g(y) = x

f (x) = y

g(f (x)) = x x ∈ X f

f (x1) = f (x2) ⇒ g(f (x1)) = g(f (x2)) ⇒ x1 = x2.

f (g(y)) = y

y

∈ Y

f y ∈ Y

x = g(y) ∈ X

f (x) = y

f : X → Y

f

X

Y

f : X → Y

X

Y

f

g : Y → X

g

f

y ∈ Y



x ∈ X

f (x) = y

f

x

g(y) = x

g : Y

→ X

y ∈ Y x ∈ X f (x) = y

g(f (x)) = x f (g(y)) = y

x ∈ X

y ∈ Y

[0,+∞) = {x ∈ R;x 0} f :

R → [0,+∞) g : [0,+∞) → R

f (x) = x2

g(y) =√

y

f (g(y)) = y

y 0 g(f (x))

x

x 0

x ∈ R g(f (x)) = −x

g

f

ϕ :[0,+∞) → R

f

f

f

[0,+∞)

F : [0,+∞) → [0,+∞)

F (x) = x2

F

G : [0,+∞) →

[0,+∞) G(y) =

√ y

G(F (x)) = G(x2

) = √ x2

= x

F (G(y)) = F (√ y) = (

√ y)2 = y

x 0

y 0

n ∈ N

x → xn

[0,+

∞)

y → n√ y

n

x → xn

R G : R→ R

G(y) = n

√ y

g : Y → X

f : X → Y

g = f −1.

f : I → R

I ⊂ R





f : X → Y

G

f −1

G

f

∆ ⊂ R2

(x, y) ∈ G⇔ y = f (x) ⇔ x = f −1(y) ⇔ (y, x) ∈ G.

f

180◦

∆ f −1

f : X → Y

g : Y → X

g(f (x)) = x

x

∈X

f (g(y)) =

y y ∈ Y g = f −1 x

y ∈ Y

x ∈ X

f (x) = y

f (g(y)) = f (g(f (x))) = f (x) = y.







(a) a altura media, em centımetros, de uma planta dessa especie aos 3 anos de vida;

(b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura media de 1, 6m.

6. (UERJ/2008) Admita que, em um determinado lago, a cada 40cm de profundidade, a intensidade

de luz e reduzida em 20%, de acordo com a equacao I = I 0 0, 8k/40, onde I e a intensidade da

luz em uma profundidade h, em centımetros, e I 0 e a intensidade na superfıcie. Um nadador

verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P , e de 32% daquelaobservada na superfıcie. Determine um valor aproximado para a profundidade do ponto P .

7. O acidente do reator nuclear de Chernobyl, URSS, em 1986, lancou na atmosfera grande quan-

tidade do isotopo radioativo estroncio-90, cuja meia-vida e de vinte e oito anos. Supondo ser

este isotopo a unica contaminacao radioativa e sabendo que o local podera ser considerado se-

guro quando a quantidade de estroncio-90 se reduzir, por desintegracao, a 116

da quantidade

inicialmente presente, em que ano o local podera ser habitado novamente?

8. Os graficos a seguir foram desenhados por um programa de computador, em eixos xy com

escalas logarıtmicas decimais. Isto e, se xy e o sistema de coordenadas cartesianas convencional,entao x = log10 x e y = log10 y. A janela grafica e 0, 1 ≤ x ≤ 10 e 0, 1 ≤ y ≤ 10.

(a) O grafico acima, a esquerda, representa a famılia de curvas y = k x, em que k ∈ N varia

de 1 a 10. Explique por que as curvas tem este aspecto.

(b) O grafico acima, a direita, representa a famılia de curvas y = xk, em que k ∈ N varia de 1

a 10. Explique por que as curvas tem este aspecto.

(c) Observe que os intervalos escolhidos para ambos os eixos nessa escala come cam em 0, 1.

Como voce justificaria essa escolha? Faria sentido comecar os eixos em 0?

(d) Nesses eixos, cada unidade linear corresponde a uma multiplicacao por 10. Explique estaafirmacao.

9. Em algumas situacoes, para expressar certas grandezas, e mais conveniente empregar as chamadas

escalas logarıtmicas do que as escalas lineares convencionais. Este e o caso, por exemplo, da

escala Richter de terremotos. Na escala Richter, a intensidade I de um terremoto, expressa em

graus, e definida da seguinte forma:

I = 2

3

log10E

E 0



Em que E representa a energia liberada pelo terremoto, medida em kWh, e E 0 = 10−3kWh.

(a) Qual e a energia liberada por um terremoto de 3 graus na escala Richeter? E por um

terremoto de 9 graus?

(b) Qual e a relacao entre a energia liberada por um terremoto de grau k e a energia liberada

por um terremoto de grau k + 1 na escala Richter?

(c) Por que voce acha que o uso de uma escala logarıtmica e conveniente, no caso da medicao

de intensidade de terremotos?

(d) Pesquise outros exemplos de situacoes em que o uso de escalas logarıtmicas e mais conve-

niente.

Para saber mais

Abaixo, indicamos algumas referencias de leituras futuras para aqueles que se interessarem em se





[3] Lima, E.L. Logaritmos



a = 1

f : R → R

+

f (x) = ax

R R+

a > 1 0 < a < 1

f (x + y) = f (x) · f (n).



f

a

loga : R+ → R,

x

loga x

x

a

aloga x = x

loga(ax) = x.

loga x a

x

y = loga x ⇔ ay = x.

au · av = au+v

loga

(xy) = loga x + log

a y

x

y

u = loga x

v = loga y

au = x

av = y

xy = au · av = au+v,

loga(xy) = u + v = loga x + loga y.





y = loga x

y =

logb x a > 1 0 < b < 1

c

d

loga x = c·

log2 x

logb x = d·

log1/2 x

x > 0

u = loga x

v = log2 x

au = x

2v = x

c = loga 2

ac = 2

x = au = 2v = (ac)v = acv

u = cv

loga x = c · log2 x

x > 0

c

loga 2

loga x = loga b · logb x

a

b

loga b > 0 a, b

loga b < 0



loga : R+ → R

y = loga x

a > 1

limx→+∞

loga x = +∞

limx→0

loga x = −∞.

loga x

x

A > 0 loga x < −A

x

loga x

+∞ x → +∞

M > 0 loga x > M ⇔ x > aM

log10 x

x

y = ax

y = loga x

R2



R+ →

R

f : R+ → R

f (ax) = x

x ∈ R f (y) = loga y

y ∈ R+

x → ax

R R+

a > 0

f : R+ →

R

f (xy) = f (x) + f (y)

x, y ∈ R+

a > 0

f (x) = loga x

x ∈ R

+

f



f (1) = f (1 · 1) = f (1) + f (1)

f (1) = 0 a ∈ R

f (a) = 1

f

f (a) = 1 > 0 =

f (1) a > 1

m ∈ N

f (am) = f (a · a · . . . · a)

= f (a) + f (a) + · · · + f (a)

= 1 + 1 + · · · + 1 = m,

0 = f (1) = f (am · a−m)

= f (am) + f (a−m) = m + f (a−m),

f (a−m) = −m

r = m/n

m ∈ Z

n ∈ N

rn = m

m = f (am) = f (arn) = f ((ar)n) = n · f (ar)

f (ar) = m

n = r

x ∈ R

r, s

r < x < s ⇒ ar < ax < as ⇒ f (ar) < f (ax) < f (as) ⇒ r < f (ax) < s.

r

x

f (ax)

s

x

f (ax) f (ax) = x x ∈ R

f (y) = loga y

y > 0

g : R+ → R

g(xy) = g(x) + g(y),



g(1) = 0 1 < 2

g(2) = b > 0

f : R+ → R f (x) =

g(x)/b f (2) = 1

f (x) = log2 x

x > 0

x > 0

x = 2f (x) = 2g(x)/b = (21/b)g(x) = ag(x),

a = 21/b

loga

ag(x) = x g(x) = loga x



MA 11 - Unidade 17

Logaritmos Naturais

Semana de 06/06 a 12/06


Nos cursos superiores, principalmente nas disciplinas de Calculo, lidamos bastante com o numero

e e com as funcoes logaritmo e exponencial com esta base. Entretanto, esses conceitos sao pouco

explorados no Ensino Medio. Mesmo assim, devido ao seu papel central na teoria de exponenciais e

logaritmos, o conhecimento desses conceitos e importante para o professor de Matematica. Por isso,

nesta Unidade e na proxima, vamos rever algumas das principais ideias sobre logaritmos e exponenciais

de base e.

Nesta Unidade, construiremos a funcao logaritmo natural com base na area determinada por uma

hiperbole (pp. 1-6). Em seguida, mostraremos que o numero e, base desse logaritmo, coincide com o

limite de certa sequencia (pp. 7-10).

Em primeiro lugar, consideramos a funcao f : R+ → R definida por f (x) = AREA H x1 , isto e, a

funcao que a cada x > 0 associa a area (orientada) determinada entre a hiperbole x y = 1 e o eixo

horizontal, entre 1 e x. Mostramos que esta funcao satisfaz a propriedade algebrica:

f (xy) = f (x) + f (y)

Portanto, gracas a caracterizacao demonstrada na Unidade anterior, temos certeza de que esta e

uma funcao logarıtmica, que chamaremos de logaritmo natural e denotaremos por ln. Isto e, existe

algum numero real, que chamaremos de e, tal que:

f (x) = loge x = ln x

Esta sera para nos a definicao do numero e. Em particular, decorre daı que f (e) = 1; portanto

e e o numero tal que a area da regiao limitada entre a hiperbole x y = 1 e o eixo horizontal, para

1 ≤ x ≤ e, e igual a 1.

Resta entender melhor que numero e este. Podemos mostrar que e e um numero irracional e, alem

disso, transcendente. Isto significa que e nao e raiz de nenhum polinomio com coeficientes inteiros – em

particular, o numero e nao admite representacao por meio de radicais. No entanto, essas demonstracoes

fogem ao escopo deste curso (para saber mais, veja [2]).

Nesta Unidade, mostramos que o numero e, definido como a base do logaritmo natural, coincide

com o limite:

limn→+∞

1 +

1

n

n



Em particular, esta sequencia nos fornece aproximacoes racionais para o numero e. A demonstracao

deste fato baseia-se na observacoes de propriedades geometricas da area sob a hiperbole. A partir daı,

obtemos ainda outros limites importantes:

limx→0

(1 + x)1

x = e limn→+∞

1 +

α

n

n

= eα ∀α ∈ R


Propomos o seguinte exercıcio extra.

1. Use o limite limn→+∞

1 + 1

n

n

= e para obter aproximacoes sucessivas para o numero e.

2. As aproximacoes para o numero e sugeridas no exercıcio anterior podem ser feitas com ajuda de

uma planilha eletronica.

(a) Preencha a coluna A da planilha com a sequencia crescente dos numeros naturais ate 10.

Em seguida, escreva nas primeiras celulas das colunas B e C, respectivamente, =1+1/A1

e =B1∧A1. Arraste essas celulas ao longo das colunas, ate o final das celulas preenchidas

na coluna A. De que numero os valores encontrados na coluna C estao se aproximando?

Justifique sua resposta.

(b) Podemos repetir a experiencia do item anterior, aumentando a velocidade de convergencia.

Para isto, repita a numeracao da coluna A, e escreva nas primeiras celulas das colunas B, C

e D, respectivamente: =10∧A1, =1+1/B1 e =C1∧B1. Arraste essas celulas ao longo

das colunas, ate o final das celulas preenchidas na coluna A. De que numero os valores

encontrados na coluna C estao se aproximando? Agora, estenda a numeracao da coluna A

ate 20 e arraste as demais coluna ate essa posicao. O comportamento dos numeros que

aparecem na coluna D e o esperado? Explique o ocorrido.



Para saber mais

Abaixo, indicamos algumas referencias de pesquisas futuras para aqueles que se interessarem em

se aprofundar nos temas tratados nesta aula. Esses aprofundamentos nao sao prioritarios e nao serao



[2] Figueiredo, D.G. N´ umeros Irracionais e Transcedentes





k > 0

T = T k : R2 → R2

(x, y) ∈ R2

T (x, y) = (kx,y/k) (x, y) k

k

X

b



a

T

X = T (X )

kb

a/k

X X = T (X )

T

F

F =

T (F ) F

k

1/k

F F

F

F

F

T

F

T −1

F

T (x, y) =

(2x,y/2

T



H = {(x, 1/x); x > 0}

xy = 1 H

h : R+ → R

h(x) = 1/x

a, b ∈ R

+

H ba (x, y)

x

a

b

0 y 1/x

H ba x = a

x = b

H

T = T k : R2 → R

2

H ba H bkak



T

k > 0

H ba H bkak

−

a < b

b < a

a = b

H ba,

0

H ba

H ba

H ba a < b

H ba −

H ba b < a

H aa

a < b < c

H ba

H cb H ca

H ba − H ab

H ba

H cb H ca

a b c, a c b, b a c, b

c a, c a b c b a



f : R+ → R

x > 0

f (x) = H x1

ln x

ln x

−



f (x) > 0 ⇔ x > 1;f (x) < 0 ⇔ 0 < x < 1;

f (1) = 0;

f

x, y ∈ R

+

f (xy) H xy1 H x1 H xyx

H xyx

H y1 f (xy)

H x1

H y1

f (xy) = f (x) + f (y).

e

f (x) = loge x

x ∈ R

+

ln x loge x ln x

x



e

H e1 = 1

e

e = 2, 718281828459

e

e

(1 + 1

n)n

n

(1 + 1

n)n

n ∈ N

n

e

H

e

1 = 1



x

1

1+x

H 1+x1

x

x > 0

x

1 + x < ln (1 + x) < x.

x

1

1 + x <

ln (1 + x)

x < 1.

x = 1

n

n

n + 1 < ln

1 +

1

n

n

< 1,

e n

n+1 <

1 + 1

n

n

< e,

n ∈ N

n

nn+1

e

n

n+1

e

limn→∞

1 + 1

nn

= e.



e = lim

n→∞(l + 1

n)n

(∗) 1

1 + x <

ln (1 + x)

x < 1,

x > 0 −1 < x < 0

−x > 0 1 + x > 0

ln(1 + x)

−x

H 11+x

1/(1 + x)

−x < − ln(1 + x) < − x

1 + x

.

−x

(∗∗) 1 < ln (1 + x)

x <

1

1 + x.

1

1 + x < ln(1 + x)

1

x < 1 1 < ln(1 + x)1

x < 1

1 + x,

e 1

1+x < (1 + x)1

x < e

e < (1 + x)1

x < e 1

1+x ,

x > 0

−1 < x < 0

(∗ ∗ ∗) limx→0

(1 + x)1

x = e



(1+x)1

x

e

x x

> 0 < 0

(1+x)1

x

e

x

x = α

n

1

x = n

α

x → 0

n → ∞

limn→∞

1 + α

n

n = lim

n→∞

(1 + α

n)α

n

α = lim

x→0

(1 + x)

1x

α = eα

eα = limn→∞

1 +

α

n

n

,

α ∈ R

1

e = lim

n→∞

1 −

1

n

n

.



MA 11 - Unidades 18 e 19

Funcao Exponencial na Base e

Semana de 13/06 a 19/06


Na Unidade anterior, iniciamos os estudos sobre o numero e e as funcoes logaritmo e exponencial

com esta base, definindo o numero e como a base do logaritmo natural, e provando que:

limn→+∞

1 +

1

n

n

= e , limn→+∞

1 +

x

n

n

= ex ∀x ∈ R

Nesta Unidade, damos continuidade a estes estudos. Comecamos observando um exemplo em que

o numero e (ou as exponenciais de base e) aparece em um problema de juros (pp. 1-3). Considere uma

aplicacao financeira que rende juros α em certo perıodo de tempo (por exemplo, um ano). Suponha

que esta aplicacao seja de tal forma que, cada vez que o investidor faz uma retirada antes do final do

perıodo, ele recebe uma fracao da quantia que receberia ao final do perıodo, proporcional ao tempo de

aplicacao (como se a aplicacao rendesse juros simples dentro do perıodo). Neste caso, quanto mais o

investidor resgata e re-aplica imediatamente a quantia retirada, maior sera o total acumulado ao final

do perıodo (pois juros simples rendem mais que juros compostos para perıodos da aplicacao menores

que 1, como mostra o exercıcio 1). Entretanto, o valor acumulado nao aumenta indefinidamente – arazao entre este valor e o investimento inicial se aproxima e e limitado superiormente por eα. Podemos

dizer que eα corresponde a taxa de juros compostos continuamente acumulados, em uma situacao

limite (se fosse possıvel resgatar e re-aplicar a cada instante).

Na segunda parte da Unidade, mostramos que a derivada de uma funcao exponencial e proporcional

a propria funcao (pp. 4-7). Esta propriedade e responsavel pela grande importancia da funcao expo-

nencial para a modelagem de fenomenos em que a taxa de crescimento de uma grandeza e proporcional

ao seu proprio valor. Ha muitos exemplos de fenomenos com esta propriedade, na fısica e em outras

ciencias.




Propomos os seguintes exercıcios extras.

1. Considere uma aplicacao que rende juros α > 0 em uma unidade tempo T = 1 (por exemplo,

um mes, um ano, etc.). Isto e, se uma quantia c0 e investida nesta aplicacao pelo perıodo T ,

entao o valor resgatado sera c = c0(1 + α). Suponha que um investidor resgate a quantia c0 em

um tempo t < T .

(a) Qual sera o valor resgatado se a aplicacao rende juros simples para t < T ?

(b) Qual sera o valor resgatado se a aplicacao rende juros compostos para t < T ?

(c) Em qual das duas opcoes acima o investidor resgatara um valor maior?

(d) A conclusao do item anterior tambem e valida para t > T ?

2. Nesta secao, provamos que a derivada de uma funcao exponencial e proporcional ao valor da

propria funcao. Voce acha que a recıproca desta afirmacao e verdadeira? Isto e, e verdade que

se a derivada de uma funcao e proporcional ao proprio valor da funcao, entao esta e uma funcao

exponencial? Que ferramentas matematicas sao necessarias para responder esta pergunta?

Nos proximos exercıcios ofereceremos um esboco da prova da irracionalidade do numero e. A

prova so nao estara completa, pois admitiremos no exercıcio 3 alguns fatos, sem prova, que

podem ser demonstrados em um primeiro curso de Calculo Diferencial e Integral.

3. A funcao exponencial possui uma representacao em series de potencias

ex = 1 + x + x2

2! + · · · +

xn

n! + · · · ,

onde a serie da direita converge para ex, para todo numero real x. Esta e a chamada serie de

Taylor da funcao ex. Em particular,

e = 1 + 1 + 1

2!

+ · · · + 1

n!

+ · · · .

Para explicarmos esta afirmacao, considere a sequencia de polinomios:

S n(x) = 1 + x + x2

2! + · · · +

xn

n!.

O que se prova e que S n(x) aproxima ex, com erro estimado pela formula:

0 < ex − S n(x) = rn+1(x)

(n + 1)! <

exxn+1

(n + 1)!, para todo x > 0.

Existe uma formula que estima o erro quando x < 0, mas que nao vem ao caso escrever.



Como 0 < e < 3, deduzimos, para x = 1, que 0 < rn(1) < 3, ja que

0 < rn(1)

n! <

e

(n)! <

3

(n)!.

Calcule, com o auxılio de uma calculadora, um valor aproximado de e com erro menor do que

10−4.

4. Prova da irracionalidade de e.

Suponha por absurdo que e = p

q . Escreva esta fracao na forma m

n, onde m = 3 p e n = 3q (o

contrario de tomar uma fracao reduzida). Aproximando e = e1 por S n−1(1), com o valor de n

acima (=3q), podemos escrever

m

n = e = 1 + 1 +

1

2! + · · · +

1

(n − 1)! +

rn(1)

n! ,

onde 0 < rn(1) < 3. Explicitando o valor de rn(1), obtemos que

rn(1) = n!m

n − n!

1 + 1 +

1

2! + · · · +

1

(n − 1)!

e um numero inteiro, diferenca de dois numeros inteiros. O primeiro numero e multiplo de m e

o segundo e multiplo de n. Portanto, rn(1) e um inteiro multiplo de 3, o que e uma contradicao

com o fato de 0 < rn(1) < 3.

5. Com extamente a mesma ideia, mostre que e2 e irracional. Este argumento pode ser generalizado

para mostrar que er, com r um numero natural, e irracional.

Observacao: E valida a seguinte generalizacao do ultimo fato acima estabelecido:

Para todo polinˆ omio P (x), nao constante, com coeficientes n´ umeros racionais, o n´ umero P (e)

e irracional.

Esta afirmacao e equivalente ao fato de e ser um numero transcendente, o que se constitui num

teorema cuja demonstracao esta bem alem do material exposto neste curso.

Para saber mais

Abaixo, indicamos algumas referencias de pesquisas futuras, para aqueles que se interessarem em




[2] Figueiredo, D.G. N´ umeros Irracionais e Transcendentes





e

e

e

H e1

(1 + 1n)n n

x → ex

e

ex = limn→∞(1 + x

n)n

y = ex

H

y

1

x



f (x) = beαx

e

c0

k

α = k/100

1 + α

c0(1 + α)

c0 · α

c0(1+ α

2)

c0(1+α)

c0(1+ α2

)2

(1 + α2

)2 > 1 + α

(1 + α12

)12

α = k/100

(1+ α2

)2 < (1+ α12

)12

n

c0 · limn→∞

1 +

α

n

n

= c0 · eα.

n ∈ N



e

α > 0

1 + αn

n

<

1 + αn + 1n+1

(1 + αn

)n

eα

t > 0

c0 t

α

t

c0(1 + αt) [0, t]

n

n

t

c0(1 + αtn )n n

c(t) = c0eαt = c0 · limn→∞

1 +

αt

n

n

c0

t

α = k/100

100%

e

f (t) = c · eαt

f (t) = c · at

a = eα

α = ln a

b

f (t) = c · bβt

β = α

ln b.

f (t) = c·

2βt

β = α/ ln 2



f (x) =

b · eαx e

b = f (0)

α

f

f

x, x + h

f (x + h) − f (x)h

.

(x, f (x)) (x + h, f (x + h))

f

f (x) = beαx

f (x + h) − f (x)

h = beαxeαh − 1

h = f (x) ·

eαh − 1

n .

f

x

[f (x + h)−

f (x)]/h

h



e

f

x

f (x)

[f (x + h)− f (x)]/h

h

f (x)

f

x

f (x)

f

x

f (x) > 0

f (x + h) > f (x)

h

f (x) < 0

f (x + h) < f (x)

h

f (x)

f

x

f (x) = beαx

α · f (x)

x

α



c(t) = c0 ·

eαt t0

h [c(t0 + h) −

c(t0)]/h ∼= α · c(t0) c(t0 + h) − c(t0) = c(t0) · αh

f (x) = b · eαx

limh→0

eh − 1

h = 1.

H e

h

1

h

(eh − 1)/eh

eh − 1

eh−

1eh

< h < eh − 1.

h > 0



e

eh − 1

1

eh < h

eh − 1 < 1, h > 0.

h → 0

eh

limh→0[h/(eh − 1)] = 1

limh→0

eh − 1

h = 1.

h → 0

limh→0

ex+h− ex

h = ex lim

h→0

eh − 1

h = ex

limh→0

eα(x+h)− ex

h = eαx lim

h→0

eαh − 1

h = α · eαx · lim

h→0

eαh − 1

αh

k = αh h → 0 ⇔ k → 0

limh→0

eα(x+h)− ex

h = α · eαx · lim

h→0

ek − 1

k = α · eαx.

f (x) = eαx

f (x) = α ·f (x)

f (x) f

α

f (x) = b · eαx



MA11 - Unidade 20

Atividade Especial

Semana de 20/06 a 26/06

Reservamos esta semana para propor uma revisão geral dos conceitos

estudados até agora neste curso. Desta forma, você terá a oportunidadede esclarecer eventuais dúvidas e refazer os exercícios mais importantes.



2 Unidade 20

Nas Unidades 1 e 2, enfocamos os conceitos básicos relacionados com

conjuntos e funções. Ao rever essas ideias, certifique-se de enten-

der claramente os significados precisos dos termos usados na linguagem

matemática formal. Reveja as formulações, em termos desta linguagem

formal, das operações e relações entre conjuntos (reunião, interseção,

inclusão) e dos conceitos fundamentais de funções (injetividade, sobreje-

tividade, funções inversas). Ao rever os exercícios dessas unidades, re-

flita sobre a importância de cada um dessas ideias para o Ensino Médio

e as adaptações necessárias da linguagem matemática formal associada.

Reveja também o conceito de conjunto infinito e as diferenças entre aspropriedades de conjuntos finitos e de conjuntos infinitos. Em particular,

atente para o fato de que o conceito de infinito não pode ser interpretado

com “um número muito grande”.

As Unidades 3 a 6 tratam do conceito de número real e suas pro-

priedades fundamentais. Reveja cuidadosamente a distribuição dos nú-

meros racionais e dos números irracionais na reta real. Recapitule tam-

bém a estrutura da representação decimal dos números reais, com especial

atenção para o fato de que um número é racional se, e somente se, ad-mite representação decimal periódica, e nos processos de conversão entre

representações na forma de fração e decimal. De forma geral, reflita so-

bre as diferenças conceituais entre a construção do conjunto dos números

reais (isto é, a extensão de Q para R) e as construções dos conjuntos

numéricos anteriores, bem como sobre as consequentes dificuldades para



Atividade Especial 3

a introdução dos conceitos de número irracional e de número real na

Educação Básica. Discuta com seus colegas as abordagem pedagógicas

adequadas para introduzir esses conceitos no Ensino Fundamental e no

Ensino Médio, com base nas questões discutidas nessas unidades.

As Unidades 7 a 8 tratam de gráficos de funções reais e de funções

afins. Antes de mais nada, é importante chamar atenção para a estru-

tura do sistema cartesiano: os pontos no plano são identificados por

meio de suas coordenadas. Este sistema de identificação não apresenta

ambiguidades, isto é, estabelece uma bijeção entre os pontos no plano e

os pares ordenados de números reais. Consequentemente, conjuntos no

plano podem ser identificados por meio de relações algébricas entre suas

coordenadas, que podem ser igualdades, desigualdades, ou sistemas de

igualdades ou desigualdades. Em particular, este é o princípio básico da

construção de gráficos cartesianos de funções reais de variável real. Re-

flita sobre atividades e estratégias pedagógicas com o objetivo de deixar

essas ideias claras para os alunos no Ensino Fundamental e no Ensino

Médio.

Com relação às funções afins, sugerimos que você reveja a caracteri-zação com base na ideia de variação. As funções afins são aquelas tais

que uma variação dada na variável independente corresponde à mesma

variação na variável dependente, isto é, a variação da variável depen-

dente depende apenas da variação da variável independente, e não de

seus valores. Esta ideia é importante e pouco explorada na Educação



4 Unidade 20

Básica.

Nas Unidades 9 a 11, foram abordadas as funções quadráticas.

Uma propriedade particularmente importante dessas funções é o fato de

que podem ser escritas na chamada forma canônica :

f (x) = a (x− x0)2 + y0, onde x0 = −

b

2 a e y0 =

4 a c− b2

4 a .

Daí decorre grande parte das propriedades das funções quadráticas estu-

dadas no Ensino Médio: determinação das raízes, máximos e mínimos,

eixo de simetria vertical. Reveja também as propriedades geométricas

das funções quadráticas e sua importante aplicação ao movimento uni-

formemente variado.

Na Unidade 12, são generalizadas algumas das propriedades estu-

dadas anteriormente para funções polinomiais de grau superior. Uma

importante propriedade sobre a fatoração de polinômios , que é muito

usada no Ensino Médio para determinar raízes, é o fato de que um número

real α é raiz de uma função polinomial p : R → R se, e somente se, o

binômio x−α é fator de p(x). Reveja também, com atenção, as discussões

sobre a determinação de um polinômio a parir de certo número de valo-res dados, e sobre gráficos, em particular o comportamento assintótico de

funções polinomiais.

Finalmente, nas Unidades 14 a 19, estudamos as funções exponen-

ciais e logarítmicas. Em primeiro lugar, recomendamos que você reveja

com atenção a construção da função exponencial , particularmente as di-



Atividade Especial 5

ficuldades conceituais na extensão de expoentes racionais para reais. Ob-

serve a importância das propriedades de densidade estudadas no começo

deste curso para esta construção. Reveja também a definição da função

logarítmica como inversa da exponencial. Recapitule ainda as caracteri-

zações dadas para essas funções. Essas caracterizações estão fortemente

ligadas com as taxas de variações das funções exponenciais e logarít-

micas, e com suas relações com ordens de grandeza e com progressões

aritméticas e geométricas. Essas propriedades são importantes e pouco

exploradas no Ensino Médio.



MA 11 - Unidades 21

Funcoes Trigonometricas

Semana de 27/06 a 03/07


Nesta unidade, comecamos a preparar o estudo de funcoes trigonometricas e que sera desenvolvido

nas unidades seguintes. De forma similar ao que ocorre no caso dos logaritmos, trigonometria e certa-

mente um dos topicos cuja abordagem no Ensino Medio e mais artificialmente mistificada. Em primeiro

lugar, observamos que, em geral, a abordagem de trigonometria em livros didaticos e fortemente calcada

por uma quantidade excessiva de formulas (em muitos casos redundantes) e procedimentos memoriza-

dos, apresentados com interpretacao geometrica insuficiente.

Um segundo problema esta relacionado com os dois contextos matematicos fundamentais em que

a trigonometria e desenvolvida: a trigonometria no triangulo retangulo e a trigonometria no chamado

cırculo trigonometrico . No triangulo retangulo, o seno e o cosseno de um angulo agudo sao definidos

como razoes entre comprimentos de lados. Portanto, neste contexto, falamos de seno e cosseno de

angulos , definidos como razoes trigonometricas. No contexto do cırculo trigonometrico, tomamos

como referencia um cırculo unitario C , com centro na origem de um sistema de eixos cartesianos e

consideramos os angulos centrais que possuem um dos lados no eixo horizontal e o outro definido por

um segmento OB, em que B e um ponto sobre a circunferencia. Se B esta no primeiro quadrante,os angulos determinados sao agudos e tudo ocorre como no contexto das razoes trigonometricas no

triangulo retangulo. Como as hipotenusas dos triangulos medem uma unidade, o seno e o cosseno

corresponderao as medidas das suas projecoes sobre os eixos cartesianos. Existe uma correspondencia

entre os angulos centrais e os arcos correspondentes determinados por este angulos. Portanto, podemos

pensar que o seno e o cosseno dependem apenas do comprimento desses arcos – por isso, o radiano

aparece como um unidade natural no contexto das funcoes trigonometrica. Agora, podemos mover

livremente o ponto B sobre a circunferencia, obtendo angulos obtusos, dando mais de uma volta

completa no cırculo e andando no sentido negativo (horario). Desta forma, os conceitos inicialmente

construıdos, tendo o triangulo retangulo como referencia, sao estendidos e, assim, passamos a tratar deseno e cosseno de n´ umeros reais . Isto nos possibilita definir as func˜ oes trigonometricas , com domınio

em R. O problema e que esses dois contextos sao tratados de forma completamente estanque, sem

que as relacoes entre eles sejam explicitadas e devidamente esclarecidas. Isto pode ate mesmo causar

nos alunos a impressao de que, quando falamos de seno e cosseno no triangulo retangulo, ou no

cırculo trigonometrico, ou nas funcoes trigonometricas, estamos nos referindo a conceitos matematicos

inteiramente desconectados, que talvez “por acaso” tenham o mesmo nome.

Na Introducao da Unidade (pp. 1-6), tratamos da construcao das razoes trigonometricas no

triangulo retangulo. Antes de mais nada, e importante observar a importancia do conceito de seme-

lhanca para a boa definicao das razoes trigonometricas no triangulo retangulo (pp. 3-4). De fato, se



dois triangulos retangulos possuem um angulo agudo em comum, entao estes serao necessariamente

triangulos semelhantes. Portanto, as razoes entre seus lados correspondentes serao iguais. Isto nos

garante que o seno e o cosseno fiquem bem definidos , isto e, que seus valores dependam apenas do

angulo , e nao do triangulo retangulo escolhido. De forma geral, ao ler esta secao, procure atentar para

o fato de que todas as relacoes entre razoes trigonometricas sao na verdade expressoes algebricas de

propriedades geometricas envolvendo os triangulos retangulos, seus lados e angulos. Por exemplo, o

fato de que o seno de um angulo e igual ao cosseno de seu complementar e uma consequencia direta daLei Angular de Tales e das proprias definicoes das razoes trigonometricas. Chamar atencao para essas

interpretacoes geometricas, dando significado as relacoes algebricas, deve ser uma atitude permanente

no ensino de trigonometria na Educacao Basica. Ainda nesta secao, sao brevemente discutidos alguns

aspectos das origens historicas da trigonometria (pp. 1-2). Para saber mais, veja [1] ou [2].

Na secao 2. A Funcao de Euler e a Medida de Angulos (pp. 6-13), discutimos a construcao

do cırculo trigonometrico, por meio da funcao de Euler E : R → C , que enrola a reta no cırculo

a partir do ponto (1, 0) = E (0). Observe como o radiano surge naturalmente neste contexto como

uma unidade de medida linear de comprimento de arco (p. 9). Como ja observamos, o seno e o

cosseno sao representados geometricamente pelas projecoes do raio do cırculo nos eixos coordenados.

A partir daı, suas principais propriedades apresentam representacoes geometricas simples no cırculo

trigonometrico, como ilustramos na p. 13. O cırculo trigonometrico sera a base para a construcao das

funcoes trigonometricas, que sera feita na unidade a seguir.

Para saber mais




[1] Carmo, M.P.; Morgado, A.C., Wagner, E. & Pitombeira, J.B. Trigonometria e N´ umeros Com-

plexos





c

α

r

c = 2r sen(α/2)



cos A

A

cos x

x

cos : R → R

a cos nx + b sen nx







a2 = b2 + c2,

ABC AB = c, AC = b BC = a

(cos B)2 + (sen B)2 = c2

a2 +

b2

a2 =

b2 + c2

a2 =

a2

a2 = 1.

cos2 B

sen2 B (cos B)2 (sen B)2

cos2 B + sen2 B = 1



A1B1

AB

AB

A1B1 A1B1 = AB · cos α

α

AB

cos2 α + sen2 α = 1

α

cos α sen α

R

2

C

C =



{(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1}

(x, y) ∈ C

−1 x 1

−1 y 1

cos : R → R sen : R → R

t

t

E : R → C

t

E (t) = (x, y)

• E (0) = (1, 0)



• t > 0

C

(1, 0) t

(1, 0) (0, 1)

C

E (t)

• t < 0

E (t)

C

|t

| (1, 0)

C

E : R→ C

C

0 ∈ R

(1, 0)

∈ C

t

E (t)

C



C 2π

t

2π E (t)

C

t ∈ R E (t + 2π) = E (t)

k ∈ Z

E (t + 2kπ) = E (t)

t ∈ R

t < t

R E (t) = E (t)

s

t

t

E (s)

C

E (t)

k

E (t) = E (t)

2kπ

t = t + 2kπ

E (s)

s

R

E (t) = E (t)

t = t + 2kπ

k

∈Z

t > t

k

∈N

t < t

k < 0

A = (1, 0) O = (0, 0) t ∈ R

B = E (t) A OB

t



•

B = E (t) t < 0

• A OB

2π

B = E (t) B = E (t + 2kπ)

k ∈ Z

1−2π

B = E (t)

B = E (t − 2π)

A = (1, 0) B

|t|

|t − 2π|

•

A OB

C

r

/r



•

A OB

2a/r2

a

AOB

r

a

AOB

n

n ∈ N

AOB

n

AOB

a

: a = c ·

c

c

r

a = πr2

= 2πr

πr2 = c · 2πr

c = r

2

a

AOB

a = r/2

r =

2a

r2.



/r

A OB

2a/r2

a

AOB

r

G : R → C

G(0) = (1, 0)

s > 0 G(s)

(1, 0)

C

2π

360s

s < 0

G(s)

C

G : R→ C

E

G(t) = E ( 2π

360t)

t ∈ R

G(t) = G(t)

t = t + 360k

k ∈ Z

A = (1, 0)

O = (0, 0) B = G(s)

A OB

s graus

A OB

B = G(1)

2π/360

1/360

1◦ 1

2π 360

2π

360◦

1 = (360

2π )◦ ∼= 57, 3

.

180◦ = π 90◦ = π

2

E (t) = (x, y)

E (t +

π) = (−x,−y) E (t + π

2) = (−y, x)

E (−t) = (x,−y) E (π

2 − t) =

(y, x) E (π

−t) = (

−x, y).



E :

R→ C



MA 11 - Unidades 22


Semana de 27/06 a 03/07


Dando continuidade ao estudo da trigonometria no cırculo, iniciado na unidade anterior, discutire-

mos agora as definicoes das funcoes trigonometricas. Logo no inıcio da unidade (p. 1), sen t e cos t,

para t ∈ R qualquer, sao definidas com a abscissa e a ordenada de E (t), o ponto imagem de t pela

funcao de Euler (que “enrola” a reta real ao longo do cırculo). Portanto, seno e cosseno ficam definidas

como funcoes de R em R. Daı decorrem diretamente as principais propriedades destas funcoes, tais

como: a relacao fundamental sen 2x + cos2 x = 1, a periodicidade, o fato de que seno e uma funcao

ımpar e cosseno e uma funcao par, bem como as relacoes enunciadas na p. 3. O aspecto dos graficos

de seno e cosseno, esbocados na p. 3, tambem podem ser entendidos com base na analise do cırculo

trigonometrico. Nunca e demais lembrar que e de fundamental importancia enfatizar as interpretac˜ oes

geometricas dessas relac˜ oes e propriedades no cırculo trigonometrico , bem como construı-las como

generalizacao de propriedades previamente estabelecidas no contexto da trigonometria do triˆ angulo

retangulo .

O exemplo da p. 2 mostra que ser periodica e ser par ou ımpar sao propriedades que nao estao

associadas de forma geral, embora sejam compartilhadas pelas funcoes trigonometricas. Isto e, umafuncao pode ser periodica sem ser par ou ımpar, assim como pode ser par ou ımpar sem ser periodica.

E de se ressaltar ainda que, como observado na p. 5, a funcao arco tangente estabelece uma

correspondencia biunıvoca entre um intervalo aberto e limitado e a o conjunto dos reais. Decorre

daı o fato (que pode ser anti-intuitivo) de que qualquer conjunto intervalo limitado possui a mesma

cardinalidade da reta.




Propomos os seguintes exercıcios extras:

1. Na figura ao lado, os segmentos AD e OD representam,

respectivamente, tan x e sec x.

(a) Justifique a afirmacao acima.

(b) Qual e a interpretacao dos sinais de tan x e sec x na

figura ao lado?

(c) Faca uma figura analoga para representar cotan x e

cosec x, justificando a sua construcao.

2. A figura abaixo representa o grafico da funcao f 1 : R→ R, f 1(x) = x sen x, tracado no intervalo

[−20 π, 20 π ], juntamente com as retas y = x e y = −x.

(a) Explique por que o grafico de f 1 fica limitado entre

essas retas e indique todos os pontos em que o grafico

toca as retas.

(b) Considere a seguinte afirmacao: Os maximos e mıni-

mos locais da funcao f 1 ocorrem nos mesmos valores

de x que os da funcao seno. Esta afirmacao e ver-

dadeira? Justifique sua resposta.

(c) Como voce esperaria visualizar o grafico da funcao

f 2 : R → R, definida por f 2(x) = x2 sen x? Justi-

fique sua resposta.

3. Considere as g1, g2, g3 : R→ R definidas abaixo:

g1(x) =

sen

1

x

se x = 0

0 se x = 0

g2(x) =

x sen

1

x

se x = 0

0 se x = 0

g3(x) =

x2 sen

1

x

se x = 0

0 se x = 0

(a) Esboce os graficos de g1, g2 e g3.

(b) Mostre que, ∀ α ∈ [0, 1] existe uma sequencia (xn)n∈N tal que lim xn = 0 e lim g1(xn) = α.

Conclua que g1 e descontınua em x = 0.



(c) As funcoes g2 e g3 sao contınuas em x = 0? Justifique sua resposta.

(d) Mostre que o limite abaixo existe e determine seu valor:

limh→0

g2(h)

h

Conclua que em g2 e diferenciavel em x = 0.

4. Considere as funcoes u, v : R→ R definidas por u(x) = sen(10x) e v(x) = 10 senx.

(a) Esboce os graficos de u e de v.

(b) As funcoes u e v sao periodicas?

5. A figura abaixo representa o grafico da funcao w : R+ → R dada por w(x) = sen (log x),

tracado em um programa de computador para 0 < x < 10.

(a) Nesta figura, voce pode visualizar uma raiz real de w . Esta e a menor raiz da funcao? Caso

nao seja, encontre uma janela grafica em que seja possıvel visualizar uma raiz de w menorque aquela que voce enxerga na tela acima.

(b) Determine, se possıvel, a menor raiz positiva de w.

(c) Voce conseguiria encontrar uma janela grafica na qual seja possıvel visualizar, simultanea-

mente, duas raızes de w?

6. Considere a funcao f : R → R definida por f (x) = sen(a x) + sen(b x), em que a e b sao

constantes reais.

(a) Mostre que, se a e b sao racionais, entao f e periodica.

Sugestao: mostre que o perıodo de sen(a x) e 2 π

a .

(b) A recıproca da afirmacao do item anterior e verdadeira? Justifique sua resposta.



Para saber mais

Abaixo, indicamos algumas referencias para estudos futuros para aqueles que se interessarem em




plexos




cos : R → R sen : R → R

t ∈ R

E (t) = (cos t, sen t).

x = cos t

y = sen t

E (t)

t ∈ R

cos2

t + sen2

t = 1.



f : R → R

T = 0

f (t + T ) = f (t) t ∈ R

f (t+kT ) = f (t) t ∈ R k ∈ Z

T > 0 f (t + T ) = f (t)

t ∈ R

f

2π

f : R → R

f (−t) = f (t) t ∈ R

f (−t) = −f (t)

t ∈ R

f

f : R → R

f (k) = 0 k ∈ Z

f (k + α) = α 0 α < 1

k ∈ Z

f

g : R → R

g(t) = tn

n ∈ N

n

n

t ∈ R

E (t) = (cos t, sen t)

E (−t) = E (cos(−t), sen(−t)).



E (t) = (x, y)

E (−t) = (x,−y) cos(−t) = cos t

sen(−t) =

− sen t t ∈ R

t ∈ R

cos(t + π) = − cos t, sen(t + π) = − sen t,

cos(t + π

2

) = − sen t, sen(t + π

2

) = cos t,

cos(π

2 − t) = sen t, sen(

π

2 − t) = cos t,

cos(π − t) = − cos t, sen(t + π) = sen t.

y = cos x

y = sen x



t

sen t = 0, cos t = 0,

sen t = 1, cos t = 1,

sen t = −1, cos t = −1,

sen t = cos t,

sen t = 1

2 , cos t = 1

2

x = sen x/ cos x

x = cos x/ sen x

sec x = 1/ cos x

x = 1/ sen x

x =

sen x/ cos x

π/2 cos x = 0

x =

(2k + 1) π

2 = k + π

2

k ∈ Z

x →

x

(kπ − π

2, kπ + π

2)

k ∈ Z

(−π

2, π2

)

x →

x



π

R

R

π

π (x + π) =

x

x

(−π

2, π2

)

: (−π

2, π2

) → R

: R →

(−π

2, π2

) R

(−π

2, π2

)



P = (x, y)

R2

x = 0

α

−−→OX

OP

y

x =

α.

P

y = ax +b

a

α

−−→OX

x1 = x2

y1 = ax1 + b, y2 = ax2 + b,

a = y2 − y1x2 − x1

= α.



MA 11 - Unidades 23


Semana de 04/07 a 10/07


Nesta Unidade, estabelecemos as conhecidas formulas para seno e cosseno da soma de dois arcos.

Um roteiro mais detalhado para a demonstracao da p. 2 e proposto no exercıcio 1 e uma prova

alternativa e proposta no exercıcio 2, a seguir. Uma aplicacao importante dessas formulas e a formula

para a transformacao de rotacao no plano (p. 4).

Outra aplicacao apresentada e a parametrizacao racional da circunferencia unitaria (pp. 5-6). Paraentender bem a construcao dessa parametrizacao, observe que a identidade enunciada no comeco da

p. 5:

1 − x2

1 + x2

2

+

2 x

1 + x2

2

= 1

e de verificacao direta. Daı decorre que

1−x2

1+x2

2

e 2 x

1+x2

2correspondem as coordenadas de algum

ponto pertencente ao cırculo unitario. Portanto, para cada x ∈ R existe um angulo β tal que cos β =

1−x

2

1+x2

2

e sen β = 2 x

1+x2

2. Por outro lado, existe um unico angulo α, −π

2 < α < π

2 tal que tan α = x.

Podemos mostrar por meio de argumento algebrico que β = 2 α (ver exercıcio 3, a seguir). Finalmente,

o argumento da p. 6 explica uma interpretacao geometrica para esta parametrizacao.



1. Na p. 2 desta Unidade, e apresentada uma demonstracao para as formulas de cosseno e seno

da soma de dois arcos. Nessa demonstracao, sao dados os angulos α e β os pontos A sao

B determinados por construcao : primeiro, determinamos B como o (unico) ponto tal que

CB⊥ OB ; em seguida, determinamos A como o ponto tal que ABC e um triangulo retangulo

em A. Diretamente das definicoes de cosseno e seno, segue que: OA = cos(α+β ); OB = cos β ;

BC = sen β . Neste exercıcio, propomos que voce complete os detalhes dos demais passos que

levam a prova das duas formulas.



(a) Justifique por que podemos afirmar que C = α.

(b) Qual e a razao entre as medidas de AB e BC ? Justifique sua resposta.

(c) Conclua que AB = sen α · sen β .

(d) Qual e a razao entre as medidas de AC e BC ? Justifique sua resposta.

(e) Use o item anterior e a semelhanca dos triangulos A BC e OBB para concluir que OB =

cos α · cos β .

2. Considere dois angulos α e β , 0 < α, β < π

2. Na figura abaixo, vemos o cırculo unitario. Os

pontos A, B, C e D sao tais que α = AOB, β = BOC = AOD.

(a) Escreva as coordenadas de A, B, C e D.

(b) Qual e a relacao entre os triangulos AOC e BOD?

(c) Determine AC , em funcao das coordenadas de A e C .

(d) Determine BD, em funcao das coordenadas de B e D.

(e) Use os ıtens anteriores para obter a formula para

cos(α + β ).

3. (a) Mostre que:

1 − tan2 α

1 − tan2 α = cos2 α − sen 2α

2 tan α

1 − tan2 α = 2 sen α cos α

(b) Explique por que, a partir daı, podemos concluir que, se α e β sao tais que:

1 − tan2 α

1 − tan2 α = cos β

2 tan α

1 − tan2 α = sen β

entao β = 2 α (como afirmado na p. 5 desta Unidade).

4. Obtenha formulas para tan(α + β ) e para sec(α + β ), em funcao de tan α e tan β .

5. Use as formulas de seno e cosseno da soma para determinar os senos e cossenos dos seguintes

angulos (medidos em radianos): π

8 ,

π

12 ,

3 π

8 ,

5 π

12 .



Para saber mais





plexos




cos(α + β ) sen(α + β )

cos α cos β

sen α sen β



CB

⊥ OB

OA = cos(α + β ),

OB = cos β,

BC = sen β,

AB = AB = sen α · senβ

OB = cos α · cos β.

OA = OB − AB = cos α · cos β − sen α · sen β.

cos(α + β ) = cos α · cos β − sen α · sen β.

−β

β

cos(−

β ) = cos β



sen(−β ) = − sen β

cos(α − β ) = cos α · cos β + sen α · sen β.

sen(π

2 + t) = cos t

cos(π

2 + t) = − sen t,

cos(α + β )

sen(α + β ) = − cosπ

2 + α + β

= − cosπ

2 + α

cos β + sen

π

2 + α

sen β,

sen(α + β ) = sen α · cos β + sen β · cos α.

sen(α − β ) = sen α · cos β − sen β · cos α.

cos2α = cos2 α − sen2 α sen2α = 2 sen α · cos α.

A = (x, y)

A = (x, y) θ

R2



α

OX

OA

r = OA

r = OA

x = r · cos α, y = r · sen α, x = r · cos(α + θ), y = r · sen(α + θ).

x = r cos α · cos θ − r sen α · sen θ = x cos θ − y sen θ,

y = r cos α · sen θ + r sen α · cos θ = x sen θ + y cos θ.

θ

T : R2

→ R2

T (x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ).

cos α sen α

α

2

C



x

1 − x2

1 + x2

2

+ 2x

1 + x2

2

= 1.

x ∈ R

C

β

x

α ∈ (−π

2, π

2)

α

β

1 −

2α

1 +

2α = cos β

2 α

1 +

2α = sen β

β = 2α

cos2α sen2α

α

sen α/ cos α

1 −

2α

1 +

2α = cos 2α

2 α

1 +

2α = sen 2α.

cos α =

1 −

2 α

2

1 +

2α

2, sen α =

2

α

2

1 +

2 α

2.



B = (cos α, sen α)

A P B

α = A OB

tan α

2

P B

P = (−1, 0)

P

α

2 (−π/2, +π/2)

π

2

B = (cos α, sen α)

P

x → 1 − x2

1 + x2

, 2x

1 + x2

C

x ∈ Q



MA 11 - Unidades 24

Triangulos

Semana de 04/07 a 10/07


Concluindo o estudo de trigonometria e funcoes trigonometricas, nesta unidade estabelecemos a

Lei dos Cossenos (pp. 1-3) e a Lei dos Senos (pp. 1-4). Ambas as leis correspondem a relacoes

envolvendo lados e angulos de um triangulo qualquer. A Lei dos Cossenos pode ser considerada como

uma generalizacao do Teorema de Pitagoras para triangulos nao necessariamente retangulos. A Lei

dos Senos estabelece uma proporcionalidade entre os lados de um triangulo e os senos de seus angulos

opostos. Essas leis nos permitem determinar todos os elementos (lados e angulos de um triangulo) em

situacoes em que sao conhecidos alguns destes, como mostramos nas pp 5-7.



1. No problema proposto nas pp. 5-7, sao apresentadas algumas situacoes em que o fato de serem

conhecidos alguns elementos de um triangulo dado permite-nos determinar todos os demais, por

meio da aplicacao da Lei dos Cossenos ou da Lei dos Senos. Voce observa alguma analogia entre

essas situacoes e os assim chamados “casos de congruencia de triangulos”? Essa analogia nao

e casual. Cada um dos casos de congruencia de triangulos estabelece um conjunto de condicoes

mınimas suficientes para um triangulo fique determinado, isto e, condicoes que garantam que

nao possa existir outro triangulo satisfazendo essas mesmas condicoes que nao seja congruente

ao triangulo dado. De forma analoga, em cada uma das situacoes do problema das pp. 5-7 sao

dadas condicoes suficientes para o que o triangulo dado fique (unicamente) determinado.

Na mesma linha desse problema, considere um triangulo ABC , com lados a, b e c e vertices

respectivamente opostos A, B e C .

(a) Se sao dados o lado a e o angulo A, voce espera ser capaz de determinar os demais elementos

do triangulo por meio da Lei dos Cossenos e/ou da Lei dos Senos? Justifique sua resposta.

(b) Se sao dados os lados a, b e c (satisfazendo as condicoes de existencia de triangulos) e

o angulo A (com uma medida qualquer), voce espera ser capaz de determinar os demais

elementos do triangulo por meio da Lei dos Cossenos e/ou da Lei dos Senos? Justifique

sua resposta.



Para saber mais





plexos




ABC a,b,c BC AC

AB

h = AP

A

BC

P BC



x = BP = c ·cos B

ABP

AP C

c2 = h2 + x2,

b2 = h2 + (a − x)2 = h2 + x2 + a2− 2ax

= h2 + x2 + a2− 2ac · cos

B.

b2 = a2 + c2 − 2ac · cos B.

x = BP = c · cos(π −

B) = −c · cos B

cos B < 0 −c · cos B

AP B AP C

c2 = h2 + x2,

b2 = h2 + (a + x)2 = h2 + x2 + a2 + 2ax

= h2 + x2 + a2− 2ac · cos B.

b2

= a2

+ c2−

2ac ·

cos B.



B

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos

C.

h = c · sen B = b · sen C,

b

sen B=

c

sen C

.

h = b · sen C

h = c · sen(π − B) = c · sen B,

b

sen B = c

sen C .

B

AC

a

sen A = c

sen C .



asen A = b

sen B = csen C

.

a/ sen

A

ABC

OP

BC

OBC

C OB

2 A

C OP = A

a

2 = r sen A

a

sen A = 2r =

ABC



ABC a,b,c

A,B,C

a,b,c

a

2

= b

2

+ c

2−

2bc cos A,

cos A = b2 + c2 − a2

2bc

A

B

C

A +

B +

C = 2

a b c

c < a + b

a, b

C

c

c =

a2 + b2 − 2ab cos C,

A, B

c



C

A + B + C = 2

a

a/ sen

A = c/ sen

C

a = c· sen A/ sen C a, c B

A

B

A + B < 2

a, b

a > b A

A > B

B

a

sen A = b

sen B sen B = b

a sen A.

b < a

b

a sen A

B

b

a sen

A

C

A + B + C = 2 a, b C

ABC

A + B < 2

C

a > b A < 2

ABC

BC = a



AC = b

A

AC

b

AX

C

AX

A C

a

b < a

A

AX

B



A Coordenacao Nacional de Material Didatico informa

que as Atividades de Revisao previstas nesta unidade

estao sob os cuidados de sua Coordenacao Local.

Cordiais saudacoes.

Coordenacao de Material Didatico

1



PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011

Questao 1.

Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de agua potavel

permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de agua por dia (e e o que os tripulantes fazem). Apos 12 dias de viagem,

o barco encontra 3 naufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:

(1.0) (a) Quantos litros de agua por dia caberao agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?

(1.0) (b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de agua cada um, em quantos dias, no maximo,

sera necessario encontrar uma ilha onde haja agua?

UMA RESPOSTA

Uma solucao concisa e a seguinte:

(a) O numero de pessoas aumentou em 10

7 . Portanto a agua disponıvel para cada um deve ser 7

10 do que era antes(3,5 litros), isto e, 49

20 = 2, 45 litros.

(b) As 7 pessoas teriam agua pelos 30 dias restantes, mas agora ha 10

7 vezes o numero anterior de pessoas. Isso reduz

os dias a 7

10 · 30 = 21.

Outra forma de pensar e a seguinte. Primeiro calcula-se a quantidade Q de agua que resta apos 12 dias. Como

restam 30 dias de viagem, com 7 pessoas consumindo 3,5 litros por dia, s ao Q = 30×7×3, 5 litros (como a quantidade

de agua e justa para os 42 dias e os primeiros 12 dias transcorreram como previsto, conclui-se que o que resta para

os outros 30 dias tambem e justo).

(a) Esse total deve ser consumido nos mesmos 30 dias, mas agora por 10 pessoas. Entao o consumo diario de cada

um e Q dividido por 30 × 10, que da 7

10 × 3, 5 = 2, 45 litros.

(b) Se todos consumirem 3,5 litros por dia, a cada dia transcorrido apos o decimo segundo dia serao consumidos 35

litros. Portanto, apos n dias restarao Q − 35n litros. Queremos saber o maior n tal que Q − 35n ≥ 0, isto e, o maior

n que seja menor ou igual a Q

35. Mas Q

35 = 30 × 7

10 = 21, entao em 21 dias (exatamente) se esgotara o reservatorio

de agua.

1



PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011

Questao 2.

(1.0) (a) Quais sao os valores de y para os quais existe uma funcao quadratica f : R → R tal que f (1) = 3, f (2) = 5 e

f (3) = y?

(1.0) (b) Tome y = 9 e determine a funcao quadratica correspondente. Justifique seus argumentos.

UMA RESPOSTA

(a) Para que exista uma funcao quadratica f : R → R tal que f (1) = 3, f (2) = 5 e f (3) = y e necessario e suficiente

que os pontos (1, 3), (2, 5) e (3, y) nao sejam colineares, isto e, que 5−3

2−1 = y−5

3−2, ou seja, que y − 5 = 2, ou ainda,

y = 7.

(b) Para obter os coeficientes a, b, c da funcao f (x) = ax2 + bx + c, deve-se resolver o sistema (nas incognitas a, b, c)

a + b + c = 3

4a + 2b + c = 5

9a + 3b + c = 9

Isto e feito de modo simples: basta subtrair a primeira equacao das duas seguintes. Tem-se 3a + b = 2

8a + 2b = 6

Por subtracao (segunda menos duas vezes a primeira), ficamos com 2a = 2, de onde sai imediatamente a = 1.

Substituindo esse valor em 3a + b = 2, obtemos b = −1, e voltando a equacao a + b + c = 3 obtemos c = 3. Portantox2 − x + 3 e a funcao quadratica procurada.

Coment´ ario: Ha diversas outras formas de se resolver o problema. Por exemplo: tome primeiro a funcao g(x) = 1+2x,

que e a funcao afim tal que g(1) = 3 e g(2) = 5. Observe que f (x) = g(x) + a(x − 1)(x − 2) e uma funcao quadratica

que assume os mesmos valores que g nos pontos x = 1 e x = 2. Entao basta achar a que faca f (3) = y. Ora,

f (3) = 1 + 2 · 3 + a(3 − 1)(3 − 2) = 7 + 2a .

Entao 7 + 2a = y e, portanto, a = y−7

2 . Por conseguinte,

f (x) = 1 + 2x + y − 72

(x − 1)(x − 2)

responde o problema para qualquer y. Em particular, para y = 9,

f (x) = 1 + 2x + (x − 1)(x − 2) = x2 − x + 3 .

2



PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011

Questao 3.

(1.0) (a) Seja f : A → B uma funcao. De as definicoes de f (X ) e f −1(Y ), para X ⊂ A e Y ⊂ B . Se f : R → R e dada

por f (x) = 2x2 + 3x + 4, determine os conjuntos f (R) e f −1(3).

(1.0) (b) Seja f : A → B uma funcao. Prove que f (X ∪ Y ) = f (X ) ∪ f (Y ), quaisquer que sejam X, Y ⊂ A. De umexemplo em que f (X ∩ Y ) = f (X ) ∩ f (Y ).

UMA RESPOSTA

(a) Definicao da imagem de um subconjunto X de A:

f (X ) = {y ∈ B ; f (x) = y para algum x ∈ X } .

Definicao da pre-imagem de um subconjunto Y de B :

f −1(Y ) = {x ∈ A; f (x) ∈ Y } .

Agora consideremos a funcao f : R → R tal que f (x) = 2x2 + 3x + 4. Como o coeficiente de x2 e positivo, a funcao

quadratica assume seu valor mınimo f (−3

4) = 23

8 para x = − b

2a = −3

4. Assim, f (x) ≥ 23

8 para todo x ∈ R, ou seja,

f (R) ⊂ [238

, +∞). Alem disso, para todo y ≥ 23

8 , a equacao f (x) = y, ou seja, 2x2 + 3x + 4 = y, que equivale a

2x2 + 3x + 4 −y = 0, tem discriminante ∆ = 9 − 32+8y ≥ −23 + 23 = 0, logo existe(m) valor(es) de x com f (x) = y.

Assim f (R) = [ 238

, +∞).

f −1(3) e o conjunto dos pontos x tais que f (x) = 3, isto e, tais que 2x2 + 3x + 4 = 3. Entao e o conjunto das solucoes

de 2x2 + 3x + 1 = 0, que e igual a {−1, −1

2}.

Coment´ ario: f −1(3) e um abuso de linguagem amplamente aceito para designar f −1({3}).

(b) z ∈ f (X ∪ Y ) se, e somente se, existe w ∈ X ∪ Y tal que f (w) = z, que por sua vez ocorre se, e somente se, existe

x ∈ X tal que f (x) = z ou existe y ∈ Y tal que f (y) = z , que ocorre se, e somente se, z ∈ f (X ) ou z ∈ f (Y ), que

ocorre se, e somente se, z ∈ f (X ) ∪ f (Y ).

Tome f : R →

R com f (x) = x2, X = [−

1, 0] e Y = [0, 1]. Neste caso, X ∩

Y = {

0}

e f (X ) = f (Y ) = [0, 1]. Logo

f (X ∩ Y ) = {f (0)} = {0} e f (X ) ∩ f (Y ) = [0, 1].

3



PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011

Questao 4.

(0.5) (a) Se r = 0 e um numero racional, prove que r√

2 e irracional.

(0.5) (b) Dado qualquer numero real > 0, prove que existe um numero irracional α tal que 0 < α < .

(1.0) (c) Mostre que todo intervalo [a, b], com a < b, contem algum numero irracional.

UMA RESPOSTA

(a) Se r√

2 e racional, entao r√

2 = p

q, para p, q ∈ Z, q = 0. Como r = 0, podemos dividir por r para obter

√ 2 = p

rq,

de que resulta√

2 racional, contradicao.

(b) Escolha n um numero natural maior do que√ 2

. Entao α =

√ 2

n e positivo, irracional (pelo item (a)) e

α =√ 2n

<√ 2√ 2/

= .

(c) Se a ou b for irracional, nao ha o que provar. Se a for racional, subtraindo a de todos os numeros do intervalo

[a, b], ficamos com o intervalo [0, b − a]. Tomando igual a b − a no item (b), obtemos o irracional α menor do que

b − a e maior do que zero. Entao a + α e irracional (se nao fosse, entao α seria a soma de dois racionais e, portanto,

um racional, contradizendo (b)) e pertence ao intervalo [a, b].

4



PROFMAT – P1 – MA 11 – 2011

Questao 5.

Sejam m e n numeros naturais primos entre si.

(1.0) (a) Mostre que mn

e equivalente a uma fracao decimal (isto e, com denominador potencia de 10) se, e somente se,

n nao tem fatores primos diferentes de 2 ou 5.

(1.0) (b) Mostre que se n tem outros fatores primos alem de 2 ou 5 entao a expansao decimal e infinita e, a partir de

um certo ponto, periodica.

UMA RESPOSTA

(a) Sendo m e n primos entre si, uma fracao equivalente a mn

deve ter a forma mp

np (obtida multiplicando-se m e n

pelo mesmo numero natural p).

Os fatores primos de uma potencia de 10 sao 2 e 5. Se mpnp

e fracao decimal para algum p entao np = 10r. Logo,

np so admite fatores primos iguais a 2 ou 5, e, portanto, n tambem.Reciprocamente, se n possui apenas fatores primos iguais a 2 ou 5, ent ao podemos multiplicar n por p de forma

que o resultado seja uma p otencia de 10 ( p pode ser ou uma potencia de 2 ou uma potencia de 5). Com esse p, mp

np

e uma fracao decimal.

(b) Usando o processo tradicional da divisao continuada para transformar mn

em fracao decimal, como ha fatores

de n diferentes de 2 ou 5, em nenhuma etapa o resto da divisao e zero, logo a expansao nunca termina, ou seja, e

infinita. Alem disso, os diferentes restos (diferentes de zero) que ocorrem sao todos menores do que n, portanto o

numero deles e no maximo n − 1. Assim, algum resto deve repetir-se e, a partir daı, o processo se repete: os restos

se sucedem na mesma ordem anterior e, portanto, os quocientes tambem, o que fornece a periodicidade (observe que

o perıodo tem, no maximo, n − 1 numeros).

5



PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011

Questao 1.

Calcule as seguintes expressoes:

(1,0) (a) logn

logn

n

n

n

√ n

(1,0) (b) xloga/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos e fixada arbitrariamente.

UMA SOLUC AO

(a) Como n

n

n

√ n = n1/n3 , temos

lognn

n

n

√ n =

1

n3 = n−3 ,

logo o valor da expressao dada e

−3.

(b) Tomando logaritmo na base b que foi fixada, temos

log

xloga/ log x

= log a

log x · log x = log a .

Como a funcao log e injetiva, segue-se que

xloga/ log x = a .

1



PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011

Questao 2.

(Como caracterizar a funcao exponencial a partir da funcao logaritmo.) Seja f : R → R uma funcao crescente, tal

que f (x + y) = f (x) · f (y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirmacoes:

(1,0) (a) f (x) > 0 para todo x ∈ R e f (1) > 1.

(1,0) (b) Pondo a = f (1) a funcao g : R → R definida por g(x) = loga f (x) e linear. (Use o Teorema Fundamental da

Proporcionalidade.)

(0,5) (c) Para todo x ∈ R, g (x) = x, onde g e a funcao definida no item (b).

(0,5) (d) f (x) = ax para todo x ∈ R.

UMA SOLUC AO

O objetivo desta questao e mostrar que e possıvel caracterizar a funcao exponencial a partir da funcao logaritmo,

sem usar argumentos geometricos, como esta no livro no caso de logaritmos naturais.

(a) Sendo crescente, f nao e identicamente nula. Daı resulta que f (x) = 0 para todo x ∈ R, pois se existisse x0 ∈ R

com f (x0) = 0 terıamos, para qualquer x ∈ R,

f (x) = f (x0 + (x − x0)) = f (x0) · f (x − x0) = 0

e f seria identicamente nula.

Em seguida, notamos que

f (x) = f (x

2

+ x

2

) = f (x

2

)

·f (

x

2

) = [f (x

2

)]2 > 0

para todo x ∈ R.

Vamos mostrar que f (0) = 1. Como f (0) = f (0+0) = f (0) ·f (0), entao f (0) e solucao positiva da equacao x = x2.

Como essa equacao so tem 1 como solucao positiva, a igualdade esta demonstrada.

Finalmente, como f e crescente, f (1) > f (0) = 1.

(b) O Teorema Fundamental da Proporcionalidade diz que se g : R→ R e crescente e satisfaz g (x + y) = g(x) + g(y)

para quaisquer x, y ∈ R, entao g e linear, isto e, g (x) = cx, com c > 0. No nosso caso, temos

g(x + y) = loga f (x + y) = loga[f (x) · f (y)] = loga f (x) + loga f (y) = g(x) + g(y) ,

para quaisquer x, y ∈ R.

(c) Temos g(1) = loga f (1) = loga a = 1, portanto g(x) = x para todo x ∈ R.

(d) Como acabamos de ver, loga f (x) = x, para todo x ∈ R. Como loga ax = x e a funcao loga e injetiva, segue-se

que f (x) = ax.

2



PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011

Questao 3.

(1,0) (a) Usando as formulas para cos(x + y) e sen(x + y), prove que

tg(x − y) = tg(x

) − tg(y

)1 + tg(x) · tg(y)

(desde que tg(x − y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).

(1,5) (b) Levando em conta que um angulo e maximo num certo intervalo quando sua tangente e maxima, use a formula

acima para resolver o seguinte problema:

Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversario ao longo de uma

reta paralela a lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam

a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador ve a meta sob angulo maximo quando sua

distancia x ao fundo do campo e igual a√

ab.

ab

x

UMA SOLUC AO

(a) A manipulacao e direta:

tg(x − y) = sen(x − y)

cos(x − y) =

sen(x) · cos(y) − sen(y) · cos(x)

cos(x) · cos(y) + sen(x) · sen(y) .

Dividindo o numerador e o denominador por cos(x) · cos(y) (se tg(x) e tg(y) estao definidas, cos(x) e cos(y) sao nao

nulos), vem

tg(x − y) =sen(x)cos(x) − sen(y)

cos(y)

1 + sen(x)cos(x)

· sen(y)cos(y)

= tg(x) − tg(y)

1 + tg(x) · tg(y) .

(b) Em cada instante, o jogador ve a meta sob o angulo α = α2−α1, onde α1 e α2 sao os angulos entre sua trajetoria

e as retas que o ligam aos postes da meta. Temos

tg(α) = tg(α2) − tg(α1)

1 + tg(α1) · tg(α2) .

3



Se x e a distancia do jogador ao fundo do campo, temos tg(α1) = ax e tg(α2) = b

x , logo

tg(α) =bx − a

x

1 + abx2

= b − a

x + abx

.

Como o numerador b − a e constante, tg(α) e maxima quando o denominador for mınimo. Ou seja, e preciso achar

x que minimiza a expressao x + abx .

Como a media aritmetica e sempre maior do que ou igual a media geometrica, entao 12(x + ab

x ) ≥

x · abx =√

ab,

ou seja, o denominador e sempre maior do que ou igual a a 2√ ab. A igualdade vale se e somente se os dois termosda media sao iguais, isto e, quando x =

√ ab. Portanto x + ab

x atinge seu menor valor quando x =√

ab.

Obs. E possıvel resolver a questao (b) com outros argumentos. Sejam A e B os extremos da meta, que distam a

e b da linha do jogador, respectivamente (veja figura abaixo, a esquerda). Para cada posicao P do jogador, existe

um unico cırculo que passa por A, B e P . O centro desse cırculo, O, esta na mediatriz dos pontos A e B (pois

AOB e triangulo isosceles), estando, portanto, a b+a2

de distancia da linha do jogador. Os segmentos OA e OB tem

comprimento igual ao raio do cırculo, digamos r, cujo valor depende de P .

Pelo Teorema do Angulo Inscrito, A OB = 2A P B. Assim, A P B e maximo quando A OB e maximo. E A OB e

maximo quando a distancia OA = OB = r e mınima. Mas o menor r possıvel e aquele tal que o cırculo de centro

sobre a mediatriz de A e B e raio r tangencia a linha do jogador. Nessa situacao, OP e perpendicular a linha do

jogador e r = b+a2 (ver figura abaixo, a direita).

O valor de x, neste caso, e a altura do triangulo AOB com relacao a base AB (ou seja, o comprimento da apotema

da corda AB). Esse valor sai do Teorema de Pitagoras aplicado ao triangulo AOQ, em que Q e o ponto medio de

AB. Ou seja,

x2 +

b − a

2

2

= r2 =

a + b

2

2

.

Dessa equacao resulta a solucao x =√

ab.

xP

A

BO

α

2α

xP

A

BO

α

2α

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PROFMAT – AV2 – MA 11 – 2011

Questao 4.

(1,0) (a) 24h apos sua administracao, a quantidade de uma droga no sangue reduz-se a 10% da inicial. Que percentagem

resta 12h apos a administracao? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga

no sangue e exponencial.

(1,0) (b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?

(0,5) (c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual e a quantidade

presente no organismo apos 24h da primeira dose?

UMA SOLUC AO

(a) Sendo exponencial, a quantidade de droga no organismo obedece a lei c0at, onde a e um numero entre 0 e 1, c0 e

a dose inicial (obtida da expressao para t = 0) e t e medido, por exemplo, em horas. Apos 24h a quantidade se reduz

a 110 da inicial, isto e,

c0a24 = c0

10 .

Portanto a24 = 110

. Daı segue que a12 = 1√ 10

, e que

c0a12 = c0√

10.

Entao a quantidade de droga apos 12h e a quantidade inicial dividida por√

10.

(b) Para saber o tempo necessario para a reducao da quantidade de droga a metade (isto e, a meia-vida da droga no

organismo), basta achar t que cumpra at = 12

. Como a24 = 110

implica

a24s =

1

10

s

a resposta e t = 24s, onde s e tal que 10−s = 2−1. Daı segue que s = log10 2 e que t = 24 log10 2.

(c) A quantidade logo apos a primeira dose e c0. Apos 12h ela decai para c0√ 10

. Uma nova administracao a eleva para

c0 + c010

= c0(1 + 1√ 10

). Apos mais 12h essa quantidade e dividida por√

10, passando a ser

c0

1√

10+

1

10

,

logo, com c0 = 10 mg, restarao, apos 24h da primeira dose,

(1 +√

10) mg.

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PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011

Questao 1.

(1,0) (a) Prove isto: Se um numero natural nao e o quadrado de um outro numero natural, sua raiz quadrada e irracional.

(1,0) (b) Mostre que√

2 +√

5 e irracional.

UMA SOLUC AO

(a) Seja n ∈ N. Se p

q ∈ Q e tal que

p

q

2= n, entao p2 = nq 2. Como os fatores primos de p2 e q 2 aparecem todos com

expoente par, o mesmo deve ocorrer com os fatores primos de n. Entao n e o quadrado de algum numero natural.

(b) Se√

2 +√

5 fosse racional entao seu quadrado

q = (√ 2 + √ 5)2

= 2 + 2√ 10 + 5 = 7 + 2√ 10

tambem seria. Mas aı q−7

2 =

√ 10 tambem seria racional, o que nao e possıvel, pois 10 nao e o quadrado de um

numero natural.

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PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011

Questao 2.

(2,0) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu

choque com a agua no fundo do poco decorreram S segundos. Calcular a profundidade do poco. Dar a resposta

em funcao da aceleracao g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a formula s = g

2t2 do espaco percorrido

no tempo t

por um corpo em queda livre que partiu do repouso.

DUAS SOLUC OES

Uma solucao. O tempo S = t1 + t2 e a soma do tempo t1 que a pedra levou para chegar ao fundo mais o tempo t2

que o som levou para vir ate o nıvel da borda. Chamando de x a profundidade do poco, temos x = g

2t21 e, por outro

lado, x = vt2 = v(S − t1). Logog

2t21 = v(S − t1)

ou

gt21 + 2vt1 − 2vS = 0 ,

que e uma equacao quadratica na incognita t1. As solucoes desta equacao sao

−2v +

4v2 + 8gvS

2g ,

−2v −

4v2 + 8gvS

2g .

A segunda e negativa e neste problema nao faz sentido. A primeira e positiva, porque

4v2 + 8gvS >√

4v2 = 2v.

Entao, dividindo por 2 o numerador e o denominador da fra cao,

t1 = −v +

v2 + 2gvS

g ,

logo

x = vt2 = v(S − t1) = S v + v

2

g − vg

v2 + 2gvS .

Outra solucao. A solucao e essencialmente determinada por aquilo que escolhemos como incognita (t1, t2 ou x).

Se equacionarmos diretamente em x iremos pelo seguinte caminho. Observe que t1 =

2x

g e t2 = x

v. Entao, de

t1 + t2 = S resulta uma equacao em x:x

v +

2g−1√

x − S = 0 .

Definamos y =√

x. Entao precisamos achar solucoes positivas de

v−1y2 +

2g−1y − S = 0 .

A unica solucao positiva dessa equacao quadratica e

y = −

2g−1 +

2g−1 + 4Sv−1

2v−1 .

Entao

x = y2 = v2

4

2

g +

2

g +

4S

v

− 2

4

g2 +

8S

vg

,

que equivale a expressao obtida na primeira solucao.

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PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011

Questao 3.

(2,0) Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distancia d = AB em direcao a base inacessıvel de um poste

CD, nota-se (com o auxılio de um teodolito) que os angulos C AD e C BD medem, respectivamente, α e β

radianos. Qual e a altura do poste CD?

A B C

D

dα β

UMA SOLUC AO

Temos CD = AC tg α = BC tg β . Como AC = BC + d, vem (BC + d)tg α = BC tg β , e daı

BC = d · tg α

tg α − tg β

eCD = BC tg β = d · tg α tg β

tg α − tg β ,

que e a resposta para a pergunta.

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PROFMAT – AV3 – MA 11 – 2011

Questao 4.

(2,0) Um reservatorio contem uma mistura de agua com sal (uma salmoura), que se mantem homogenea gracas a

um misturador. Num certo momento, sao abertas duas torneiras, com igual capacidade. Uma despeja agua no

reservatorio e a outra escoa. Apos 8 horas de funcionamento, verifica-se que a quantidade de sal na salmoura

reduziu-se a 80% do que era antes que as torneiras fossem abertas. Que percentagem do sal inicial permanecera

na salmoura apos 24h de abertura das torneiras?

UMA SOLUC AO

Seja M 0 a massa de sal existente no inıcio da operacao. Decorrido o tempo t, essa massa sera M (t) = M 0at, onde

a e uma constante (0 < a < 1). Isto se justifica porque, sendo a salmoura da torneira de saıda uma amostra da

salmoura do tanque, supostamente homogenea, a quantidade de sal que sai por unidade de tempo e proporcional aquantidade de sal no tanque, e isto e o princıpio que rege o decaimento exponencial.

No entanto, a constante a nao precisa ser calculada para se resolver o problema. O enunciado nos diz (supondo o

tempo t medido em horas) que M (8) = M 0a8 = 0, 8M 0, logo a8 = 0, 8. Apos 24 horas, a quantidade de sal e M 0a24.

Ora, a24 = (a8)3 = 0, 83 = 0, 512. Portanto a resposta e 51, 2%, isto e, pouco mais que a metade.

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Documents

MA11 - Números e Funções Reais 2011