Modulo 1 - Números Reais e Intervalos

Módulo 1 – Números Reais e Intervalos

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IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília Engenharia e Ciência da Computação Cálculo 1


A maior parte das quantidades variáveis que estudamos, tais como comprimento, área, volume, posição, tempo, velocidade, etc., é medida por meio dos números reais. Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais.

O conjunto dos números reais contém diversos subconjuntos que devemos saber: • Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros

positivos ou naturais. Sabemos que esse conceito originalmente estava ligado ao ato de contar. Temos então o conjunto

N = {1, 2, 3, ...}

• Os números –1, -2, -3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto

dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} OBS: Lembre-se que, Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} – Inteiros sem o zero (0) Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} – Inteiros não negativos Z- = {..., -3, -2, -1, 0} – Inteiros não positivos Z*

+ = {1, 2, 3, ...} – Inteiros positivos

• Os números da forma m/n, n ≠ 0, m, n ∈Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. O surgimento desses números está associado a noção de medir. Denotamos:

Q = {x | x = m/n, m, n ∈Z, n ≠ 0}

• Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma m/n,

n ≠ 0, m, n ∈Z. Estes números formam o conjunto dos números irracionais, que denotaremos por

Q’ = { 2 , 3 , π , e, ...}

OBS: -Números racionais podem ter representação decimal exata ou periódica. -Números irracionais não tem representação decimal exata ou periódica.


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• Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por

R = Q ∪ Q’

Para representar o conjunto dos números reais usamos um sistema de coordenadas

chamado reta real. Sejam a reta r e o ponto O chamado de origem, conforme abaixo:

r - + -1 O 2

À direita de O representamos os números positivos e à esquerda os negativos. Existe

uma correspondência 1-1 entre os pontos da reta e os números reais. Uma propriedade importante dos números reais é que eles são ordenados.

Exercício 1: Trace uma reta e marque os seguintes números reais:

a) –2 b) 1/2 c) 4,3 d) –1/3 e) 2 f) π Definição: Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos: (i) a < b ⇔ b – a é positivo; (ii) a > b ⇔ a – b é positivo. Os símbolos = (menor ou igual que) e = (maior ou igual que) são definidos: (i) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b; (ii) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b.

Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESIGUALDADES.

OBS: Geometricamente, a < b se, e somente se, a está à esquerda de b na reta real.

a b

origem

1 unidade


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Propriedades: Sejam a, b, c, d ∈R. (i) Se a > b e b > c, então a > c. (ii) Se a > b e c > 0, então ac > bc. (iii) Se a > b e c < 0, então ac < bc. (iv) Se a > b, então a + c > b + c, ∀ c∈R. (v) Se a > b e c > d, então a + c > b + d. (vi) Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd. INTERVALOS

Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue: Notação de Intervalo Notação de

Conjuntos Representação

Gráfica Intervalo Aberto (a, b) {x | a < x < b} ( )

a b Intervalo Fechado [a, b] {x | a ≤ x ≤ b} [ ]

a b Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda

(a, b] ou ]a, b] {x | a < x ≤ b} ( ] a b

Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda

[a, b) ou [a, b[ {x | a ≤ x < b} [ ) a b

(a, ∞ ) ou ]a, ∞ [ {x | x > a} ( a

[a, ∞ ) ou [a, ∞ [ {x | x ≥ a} [ a

(- ∞ , b) ou ]- ∞ , b[ {x | x < b} ) b

(- ∞ , b] ou ]- ∞ , b] {x | x ≤ b} ] b

Intervalos Infinitos

(- ∞ , ∞ ) ou ]- ∞ , ∞ [ R

Exercício 2: Complete a tabela abaixo:

Notação de Intervalo Notação de Conjuntos Representação Gráfica

{x | -3 ≤ x < -1}

(- ∞ , -2]

{x | 2 ≤ x ≤ 9/2}


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Notação de Intervalo Notação de Conjuntos Representação Gráfica

(0, 2) ∪ [3, 5)

[4 , ∞ [

(-2, 6)

{x | x ≥ 5 }

{x | x < π }

[-1/2, 7/8)

O conjunto de todos os números reais que satisfazem a desigualdade é chamado de

Conjunto Solução da desigualdade. Exemplo 1: Resolver a desigualdade:

2x – 3 < 5

2x < 8

x < 4

S = (- ∞ , 4) Representação na reta real da solução: ) 4

Exercício 3: Resolver as desigualdades e representar a solução na reta real: a) 3x – 4 ≥ 14 b) 1 – 4x < 3x c) 4x + 8 ≤ 30 d) 0 > 3 – 6x e) 3x – 7 > 4x + 5 f) (x/2) + (x/3) ≤ 1 Exemplo 2: Resolver a desigualdade:

-3 ≤ 5 – 2x ≤ 7

-8 ≤ – 2x ≤ 2

4 ≥ x ≥ – 1

S = [-1, 4] Representação na reta real da solução: ( ) -1 4

Soma 3 em ambos os lados

Dividimos por 2 em ambos os lados

Conjunto solução

Subtraimos 5

Dividimos por – 2 e invertemos a desigualdade, pois –2 < 0

Conjunto solução


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Exercício 4: Resolver as desigualdades e representar a solução na reta real: a) – 4 < 2x –3 < 4 b) 0 ≤ 3 – x ≤ 3x +10 c) 3 < 5x ≤ 2x + 9 d) 2 ≤ 2 – 4x < 18 Exemplo 3: Resolver a desigualdade:

x2 < x + 6

x2 – x – 6 < 0

(x – 3) (x + 2) < 0

-2 3 + | – | + S = ]-2, 3[ Representação na reta real da solução: ( ) -2 3

Exercício 5: Resolver as desigualdades e representar a solução na reta real: a) x > (1/x) b) x2 ≤ 4 – 3x c) x2 + x – 1 ≤ 5 d) x4 – x ≤ 0 e) (x-1) (x+2) (x-3) (x2+x+1) < 0 f) (x+1)2 (x-1)3 (x2 – 9x + 14) > 0 Respostas

Exercício 3: a) [ )∞,6 b)

∞,

71 c)

∞−

211

,

d)

∞,

21 e) ( )12,−∞− f)

∞−

56

,

Exercício 4: a) 1 7

,2 2

−

b)

− 3,

47

c) 3

,35

d) ( ]0,4−

Exercício 5: a) ( ) ( )∞∪− ,10,1 b) [ ]1,4−

c) [ ]2,3− d) [ ]1,0 e) ( ) ( )3,12, ∪−∞− f) ( ) ( )∞∪ ,72,1

Fatoramos o polinômio. Lembre-se que 3 e –2 são as raízes da equação x2 – x – 6 = 0

Testamos o sinal do polinômio nos intervalos (- ∞ , - 2), (- 2 , 3) e (3, ∞ )

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