Conjuntos Numéricos

Colégio Ideia

Professor: Francisco Carlos

1º Ano do Ensino Médio

Os conjuntos numéricos estão diretamente associados ao desenvolvimento científico da historia da humanidade. Com o tempo, novos conjuntos tiveram que ser criados para resolver os problemas que gradativamente surgindo na historia do homem.

Quando comparamos uma grandeza e uma unidade obtemos um número. Se a grandeza é discreta, a comparação é uma contagem e o resultado, um número natural. Se a grandeza é continua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real.

Conjuntos Numéricos

I. Exemplos.: 1. Sobe para 15 o número de homicídios em Jequié nesses

três primeiros meses. 2. A maior velocidade média já alcançada por um carro de

Fórmula 1, foi alcançada pelo piloto brasileiro Rubens Barrichello, nos treinos para o GP de Monza de 2004. A velocidade alcançada foi de 260,395 km/h.

Números NaturaisDeus criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Leopold Kronecker (matemático alemão)

Entre os primeiros problemas matemáticos da raça humana estavam os problemas de contagem. Como contar (e administrar ) o número de animais?.

(Associava um animal a cada pedra)

Chama-se conjunto dos números naturais (N) o conjunto formado pelos números 0, 1,2, 3... .

Características:1. Qualquer número natural possui um único sucessor. temos ;2. Sequências e subconjuntos dos números naturais; (Polêmica)3. Todo numero natural pode associado a um ponto na reta numérica; 4. O zero é o único número natural que não possui antecessor;

Cálculo significa pedra

Propriedades

[A.1] Associativa da (+)

[A.2] Comutativa da (+)

[A.3] Elemento Neutro da (+)

[A.f] Fechamento da ()

As propriedades da matemática precisam ser

estudadas com o objetivo de facilitar o cálculo.

Sejam são validas as seguintes propriedades:

[M.1] Associativa da ()

[M.2] Comutativa da ()

[M.3] Elemento Neutro da ()

[M.f] Fechamento da ()

[D] Distributiva da multiplicação relativamente a adição:

Reflexão:

Números Inteiros Os número inteiros (simbolizado por Z de Zahl - número em alemão) representam uma outra evolução na matemática. Como trabalhar com conceitos como dividas e prejuízos? Como representar as temperaturas a baixo de zero? Tais questões só são possíveis dentro do campo dos inteiros.

Subconjuntos de (Não negativos) (Não positivos) (Inteiros não nulos)

Caracteristicas dos 1. Todo numero natural pode associado a um ponto na reta numérica;

2. Há uma relação de simetria em relação ao zero. (Oposto & Módulo)

Ainda temos:

ℕ⊂ℤ

Operações em • Em são definidas também as operações de adição e

multiplicação que apresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1], [M.2], [M.3] e [D], a propriedade:

[A.4] simétrico ou oposto para a adição existe tal que

Devido a esta propriedade, podemos definir em a operação de subtração, estabelecendo que

Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro. Daí a necessidade de ampliar .

Exercitando...

Números Racionais

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escrito na forma da razão com e , que indicamos por:

• Subconjuntos de

ℕ⊂ℤ⊂ℚ

Também o conjunto apresenta alguns subconjuntos notáveis:

• A reta numérica dos racionais

Multiplicação e Divisão por 10, 100, 1000...

Na prática, para multiplicar um número na forma decimal por 10, 100, 1000, ... ou vice-versa, deslocamos a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, ... casas decimais.

Na prática, para dividir um número na forma decimal por 10, 100, 1000, ..., deslocamos a vírgulapara a esquerda, respectivamente, uma, duas, três, ... casas decimais.

Operações em • No conjunto são definidas três operações: a adição: a subtração: a multiplicação: • E em temos: a divisão:

Números Racionais na forma decimal

𝑎𝑏

Dizima Periódica

Simples Composta

Decimal Exato

• Dizima Periódica SimplesÉ quando analisamos a parte decimal (parte depois da vírgula) e observamos que antes do período não aparece nenhum número diferente dele. Veja os exemplos:

a) 0,4444... b) C) -1,333...

Equação x método prático

Mas 0,999... = 1 !?

• Dizima Periódica CompostaÉ quando analisamos a parte decimal (parte depois da vírgula) e observamos que antes do período aparece um número que é diferente dele. Veja os exemplos: a) 4,27777 b) 0,25323232... C) -1,

Equação Método Prático

Exercitando.....1º) (PUC – MG) O valor exato de é:

a) b) c) d) e) 1

2º) (UFPE) Seja com inteiros primos entre si, a fração geratriz da dizima periódica Indique a soma dos algarismos de

b) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

3º) (Cesgranrio – RJ) Se é a fração irredutível equivalente à dizima periódica 0,3232..., então vale:

Observações

1. Entre dois números racionais diferentes, sempre existe outro número racional.

2. Mas mesmo possuindo uma infinidade de números racionais entre dois números consecutivos ainda não completamos a reta numérica.

Qual o valor de d?

Números IrracionaisExistem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Por exemplo, o numeral decimal 0,1010010001... (em que o número de algarismos “0” intercalados entre os algarismos 1 vai crescendo) é não periódico. Ele representa um número não racional. Ele representa um número irracional. E estes números não podem ser representados através de uma razão entre dois inteiros e, exatamente por isso, formam um conjunto a parte. Os irracionais possuem uma parte decimal não periódica. Exemplos:

Obs.: Qualquer raiz não exata é um número irracional.

Un regalo de Dios (A razão Aurea e a historia)

Imaginação e a Matemática• De quantas maneiras você pode dividir o segmento

abaixo?

Há muitas formas mais apenas uma posição que o ponto M pode ocupar e dividir o segmento em dois pontos proporcionais tal que:

𝑎 𝑏

DemonstraçõesSegundo o dicionário temos:

Prove que

1. Suponhamos que a fração irredutível seja tal que ;

2. é par é par;

3. Fazendo com , temos: é par é par, mas isso é um absurdo, pois pela hipótese são primos entre si, ou seja,

Números Reais

I

Desigualdade em R

Uma vez definida essa relação de ordem dos números reais , dizemos que eles estão ordenados.

O que significa ?

!???????

Números Complexos

Tudo começou quando o matemático Geronimo Cardano, publica o seguinte problema:

“Dividir o numero 10 em duas partes, de modo que seu produto seja 40”.

Mas eles não conheciam estes números e estes eram chamados de números: sem significado, místicos, imaginários, complexos. E Cardano ficou por ai, não dando significado a estas expressões, pondo de lado a “tortura mental” envolvida, mas, teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até por que neste tempo os números negativos eram evitados.

• A partir disso é possível derrubar a ideia errada de os números complexos surgiram com as equações de 2º grau. Informação esta que muitos livros didáticos traz como verdade. Só com Rafael Bombelli que volta-se a discutir sobre esses números aplicado a fórmula de Cardano para resolução de equações de 3º grau do tipo .

Contudo, apenas em 1801 quando Friederich Gauss (1777-1855) utiliza o símbolo , criado por Euler e, após seu uso, esse símbolo se tornou amplamente aceito. Em 1831, Gauss fez um estudo sobre representação geométrica dos números complexos e em 1832 introduziu a expressão número complexo. Contudo, o maior desenvolvimento dos números complexos se dá em outras áreas.E assim todo número da forma será e escrito como onde De forma geral, um número complexo é um número que pode ser escrito na forma:.

Parte real x Parte Imaginaria

Gauss e uma representação geométricaOs números reais estão

associados a pontos de uma reta, já os números complexos estão associados a pontos do

plano cartesiano. E em virtude disso não podemos comparar números complexos, podemos

apenas localizá-los.

Operações com números complexos

• AdiçãoDados os números complexos e então , com .

• SubtraçãoDados os números complexos e então , com .

• MultiplicaçãoDados os números complexos e então , com .

• Conjugado de um número complexoSeja então o conjugado de será o numero complexo .

• Divisão O quociente entre dois números complexos, com é dado por.

As potências de

Intervalos Reais

Obs.: Como intervalos são subconjuntos de é possível fazer as operações de intersecção, união, diferença e complementar com eles.

Exercitando....

Nota: A classificação do zero como um número natural é polêmica.

Classificaremos o zero como Natural por três motivos:

1. É a classificação mais utilizada nos vestibulares e concursos públicos

2. Ser o elemento neutro da Adição no conjunto dos naturais

3. Em teoria dos conjuntos já estudamos que o Vazio esta contido em

qualquer conjunto. O zero estaria associado ao conjunto vazio dentro do

conjunto dos naturais.

Geratriz da dizima periódica composta

Referências BibliográficasLivrosDante, Luiz Roberto. Projeto Voaz Matemática. 1. ed – São Paulo; Ática.Giovanni, José Ruy. Matemática: uma nova abordagem – nova edição, vol 1 – São Paulo: FTD, 2010.Iezzi, Gelson [et.al]. Matemática: vol único – 4. ed – São Paulo: Atual.

Siteshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_recordes_da_F%C3%B3rmula_1 www.youtube.com/watch?v=FL6WQG6Z5tQ www.juniormascote.com.br/2013/03/13/assassinato-em-jequie-e-apuarema/ www.monalisa.revelado.com.br/2008/07/retngulo-aureo.htmlwww.matematicamuitofacil.com/dizimasperiodicas.html