Intervalos Reais

Profº Ildálio Aguiar de Souza Santos

Intervalos

No conjunto dos números reais destacaremos alguns subconjuntos importantes, determinados por desigualdades, na qual determinamos de intervalos

IntervalosDados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:

Intervalos

Intervalos

Intervalos

Intervalos

Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8, incluindo o 5 e o 8, constituem o intervalo fechado:

Por exemplo, pense nos números 5 e 8.

Se excluirmos o 5 e 8, chamados extremos do intervalo, teremos um intervalo aberto:

Considerando ainda os intervalos mistos:

IntervalosOutros exemplos:

]5, +∞[

] - ∞, 8[

Operações com intervalos

Intersecção de Intervalos

Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos, fazer a sua intersecção.

A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, um conjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.

Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemos alguns exemplos:

Intersecção de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Exemplo 1

Consideremos os intervalos 3, 2A 1, 4B

Vamos determinar A B

e

começando por fazer a sua representação gráfica

A partir desta representação é possível observar que os elementos comuns estão entre . 1 2e

E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à intersecção?

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Intersecção de Intervalos

Neste caso, podemos ver que nem o nem o pertencem, já que

1 B 2 AEntão, 1, 2A B

e

21

Intersecção de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

- 2

Não existem elementos comuns aos dois intervalos.

A intersecção é assim um conjunto vazio C D ou

Sejam

Exemplo 2

Façamos a sua representação gráfica afim de determinar

4, 2C 1,D

C D

e

Intersecção de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

Exemplo 3

Dados os intervalos 1,

2E

1, 3

2F e

encontremos a sua intersecção.A representação gráfica é

Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o

1 1 1,

2 2 2E F

1

2

Logo,

Exemplo 4

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5

Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.

 A representação gráfica é

; 0, 5G 0, 5; 3H

Intersecção de Intervalos

Agora não existem elementos que pertençam simultaneamente aos dois intervalos já que o pertence a mas não pertence a .

Assim,

0, 5 GH

0, 5; 0, 5G H ou

Exemplo 5

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5

Neste caso temos ,

Logo,

Assim,

H B

Intersecção de Intervalos

Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.

 A representação gráfica é

0, 5; 3H 1, 4B

B H H

0,5;3B H

Reunião de Intervalos

A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B.

Isto significa que para que um dado elemento pertença ao conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos.Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados.

Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:

Reunião de IntervalosExemplo 1

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Consideremos os intervalos

Comecemos por fazer a representação gráfica de e .

2 1, 4, BA

A

e

B

, 4A B Assim,

Reunião de IntervalosExemplo 2

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

AC

,A C

Neste caso verificamos que, unindo os elementos de com os de obtemos todos os elementos de R .

Portanto:

Consideremos os intervalos

Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação gráfica, de e .

, 2,2 CA

A C

e

Reunião de IntervalosExemplo 3

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

2, 3, 0C D

A intersecção dos intervalos e é o conjunto vazio.

Não nos é possível representar esta reunião sob a forma de um único intervalo.

C D

Consideremos os intervalos

A representação gráfica destes dois intervalos é.

3 02, ,DC e

Reunião de IntervalosExemplo 4

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Atendendo a que temos que a reunião éD A

, 2A D

Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio conjunto . A

Consideremos os intervalos

No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de com .

2 3, 0, DA

AD

e

Diferença de Intervalos

Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos, fazer a sua diferença.

A diferença de dois intervalos, A e B, é por definição, um conjunto constituído pelos elementos de A que não estão em B.

Para melhor perceber a diferença de intervalos estudemos alguns exemplos:

Diferença de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Exemplo 1

A partir desta representação é possível observar que os elementos que sobraram estão entre -3 e -1 .

Consideremos os intervalos 3, 2A 1, 4B

Vamos determinar A B

e

começando por fazer a sua representação gráfica

A - B

E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à diferença?

Diferença de Intervalos

Neste caso, podemos ver que o -1 pertence e o -3 não pertence, já que

1 B e