Intervalos Reais
Profº Ildálio Aguiar de Souza Santos
Intervalos
No conjunto dos números reais destacaremos alguns subconjuntos importantes, determinados por desigualdades, na qual determinamos de intervalos
IntervalosDados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:
Intervalos
Intervalos
Intervalos
Intervalos
Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8, incluindo o 5 e o 8, constituem o intervalo fechado:
Por exemplo, pense nos números 5 e 8.
Se excluirmos o 5 e 8, chamados extremos do intervalo, teremos um intervalo aberto:
Considerando ainda os intervalos mistos:
IntervalosOutros exemplos:
]5, +∞[
] - ∞, 8[
Operações com intervalos
Intersecção de Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos, fazer a sua intersecção.
A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, um conjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.
Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemos alguns exemplos:
Intersecção de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Exemplo 1
Consideremos os intervalos 3, 2A 1, 4B
Vamos determinar A B
e
começando por fazer a sua representação gráfica
A partir desta representação é possível observar que os elementos comuns estão entre . 1 2e
E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à intersecção?
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Intersecção de Intervalos
Neste caso, podemos ver que nem o nem o pertencem, já que
1 B 2 AEntão, 1, 2A B
e
21
Intersecção de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
- 2
Não existem elementos comuns aos dois intervalos.
A intersecção é assim um conjunto vazio C D ou
Sejam
Exemplo 2
Façamos a sua representação gráfica afim de determinar
4, 2C 1,D
C D
e
Intersecção de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
Exemplo 3
Dados os intervalos 1,
2E
1, 3
2F e
encontremos a sua intersecção.A representação gráfica é
Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o
1 1 1,
2 2 2E F
1
2
Logo,
Exemplo 4
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5
Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
; 0, 5G 0, 5; 3H
Intersecção de Intervalos
Agora não existem elementos que pertençam simultaneamente aos dois intervalos já que o pertence a mas não pertence a .
Assim,
0, 5 GH
0, 5; 0, 5G H ou
Exemplo 5
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5
Neste caso temos ,
Logo,
Assim,
H B
Intersecção de Intervalos
Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
0, 5; 3H 1, 4B
B H H
0,5;3B H
Reunião de Intervalos
A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Isto significa que para que um dado elemento pertença ao conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos.Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados.
Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:
Reunião de IntervalosExemplo 1
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Consideremos os intervalos
Comecemos por fazer a representação gráfica de e .
2 1, 4, BA
A
e
B
, 4A B Assim,
Reunião de IntervalosExemplo 2
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
AC
,A C
Neste caso verificamos que, unindo os elementos de com os de obtemos todos os elementos de R .
Portanto:
Consideremos os intervalos
Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação gráfica, de e .
, 2,2 CA
A C
e
Reunião de IntervalosExemplo 3
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
2, 3, 0C D
A intersecção dos intervalos e é o conjunto vazio.
Não nos é possível representar esta reunião sob a forma de um único intervalo.
C D
Consideremos os intervalos
A representação gráfica destes dois intervalos é.
3 02, ,DC e
Reunião de IntervalosExemplo 4
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Atendendo a que temos que a reunião éD A
, 2A D
Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio conjunto . A
Consideremos os intervalos
No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de com .
2 3, 0, DA
AD
e
Diferença de Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos, fazer a sua diferença.
A diferença de dois intervalos, A e B, é por definição, um conjunto constituído pelos elementos de A que não estão em B.
Para melhor perceber a diferença de intervalos estudemos alguns exemplos:
Diferença de Intervalos
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Exemplo 1
A partir desta representação é possível observar que os elementos que sobraram estão entre -3 e -1 .
Consideremos os intervalos 3, 2A 1, 4B
Vamos determinar A B
e
começando por fazer a sua representação gráfica
A - B
E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à diferença?
Diferença de Intervalos
Neste caso, podemos ver que o -1 pertence e o -3 não pertence, já que
1 B e