Adição e Subtração de Ângulos

Denominamos por ângulo a abertura formada por duas semirretas que possuem a mesma origem.

A unidade usual de ângulo é o grau (representado por º), por exemplo: 25º: lê-se vinte e cinco graus. 32º: lê-se trinta e dois graus. 120º: lê-se cento e vinte graus. 90º: lê-se noventa graus. O grau possui dois submúltiplos: o minuto (representado por ’) e o segundo (representado por ”). Observe: 32’: lê-se trinta e dois minutos. 81’: lê-se oitenta e um minutos. 15”: lê-se quinze segundos. 45”: lê-se quarenta e cinco segundos. Temos que 1º (um grau) corresponde a 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) corresponde a 60” (sessenta segundos). Por exemplo, observe as transformações a seguir: 2º em minutos: 2 * 60 = 120’ 12’ em segundos: 12 * 60 = 720” 3600’’ em minutos: 3600 : 60 = 60’ 90000” em graus: 90000 : 60 = 1500’ e 1500 : 60 = 25º Observação: Tabela de conversões

Adição Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é:

O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma outra forma. Acompanhe a demonstração: No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 1’ + 6”. Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”.

Subtração Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é:

Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda completando o que está menor. Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado a 32” resultando em 92”.

Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto:

O resultado da subtração é igual a 26º 57’ 52”.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola

Ângulos

Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”. Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos). O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).

Classificação de ângulos Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: Agudo: ângulo com medida menor que 90º. Reto: ângulo com medida igual a 90º. Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

agudo reto obtuso raso Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g Congruentes Ângulos colaterais externos: a e h, b e g Suplementares Ângulos colaterais internos: e e d, c e f Suplementares Ângulos alternos externos: a e g, b e h Congruentes Ângulos alternos internos: d e f, c e e Congruentes

Angulos Complementares, Angulos Suplementares e Angulos Adjacentes

Podemos determinar ângulo como a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem que recebem o nome de lados do ângulo e a origem é denominada vértice. Observe:

Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, um é complemento do outro.

Na ilustração temos que: α + β = 90º ou α = 90º – β e ainda β = 90º – α Ângulos suplementares são dois ângulos que somados são iguais a 180º, um é suplemento do outro.

Na ilustração temos que: α + β = 180º ou α = 180º – β e ainda β = 180º – α Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum. Observe a ilustração:

Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB em comum, mas suas regiões determinadas não possuem pontos em comum. Os ângulos AÔC e AÔB não são adjacentes, embora possuam um lado em comum, suas regiões determinadas possuem pontos em comum. A região AÔB pertence à região AÔC. Ângulos adjacentes e suplementares

De acordo com a ilustração acima, os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB e suas áreas determinadas não possuem duplicidade de pontos. São suplementares, pois a soma dos ângulos α e β totalizam 180º.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola

Ângulos no Círculo

Definimos como círculo a região limitada por uma circunferência de raio r e de diâmetro 2r. Elementos de um círculo ou circunferência Dada uma região circular, podemos ter: raio, diâmetro, corda, centro, arcos. Veja a figura:

segmento de reta AB: corda (segmento que parte de um ponto ao outro da circunferência) segmento de reta DF: diâmetro (corda que passa pelo centro do círculo) segmento de reta OF e OD: raio (segmento de reta que liga o centro a um ponto da circunferência) Ângulo centralde um círculo É o ângulo que tem o seu vértice localizado no centro da região circular. Observe na figura que AÔB é um ângulo central, sendo o arco AB correspondente ao ângulo.

Ângulo inscrito O ângulo é inscrito quando o seu vértice está localizado em qualquer ponto da circunferência e seus lados sejam considerados cordas da circunferência.

Relação entre ângulo central e ângulo inscrito Ao analisarmos uma circunferência e constatarmos que o ângulo central e o ângulo inscrito possuem o mesmo arco, podemos dizer que o valor do ângulo central é o dobro do valor do ângulo inscrito.

Exemplo 1 – Qual o valor do ângulo central indicado por x na figura: x = 2*42º x = 84º

Aplicações do Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é uma importante ferramenta utilizada na Matemática, principalmente na área da Geometria. Esse teorema é atribuído ao filósofo grego Pitágoras de Samos, fundador da ilustre escola pitagórica, voltada para os estudos matemáticos relacionados à natureza. Ele procurava explicar tudo através dos números. O Teorema de Pitágoras é atribuído ao triângulo retângulo, onde ele relaciona os catetos e a hipotenusa através da seguinte lei de formação: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

O teorema proposto por Pitágoras está presente em diversas situações cotidianas. Vamos através de exemplos demonstrar algumas aplicações. Exemplo 1

Uma escada apoiada em uma parede tem sua base distante cerca de 6 metros da parede. Sabendo que a parede mede cerca de 8 metros, determine o comprimento da escada.

x²=8²+6² x²=64+36 x²=100 √x²=√100 x=10 A escada possui 10 metros de comprimento.

Exemplo 2 Um terreno retangular possui as seguintes medidas: 20 metros de comprimento e 30 metros de largura. Determine a medida da diagonal desse terreno.

A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, consistindo na hipotenusa deles. Portanto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da diagonal. Veja:

d²=30²+20² d²=900+400 d²=1300 √d²=√1300 d=36metros(aproximadamente)

Exemplo 3 Dois navios, A e B, partem de um ponto O e seguem em direção perpendicular um ao outro. O navio A segue a uma velocidade constante de 12 metros por segundo e o navio B mantém uma velocidade constante de 18 metros por segundo. Determine a distância em linha reta entre eles após 15 segundos. Navio A Após 15 segundos ele está a 180 metros do ponto O, pois 12 * 15 = 180. Navio B Nessa situação, a distância será de 270 metros do ponto O, pois 18 * 15 = 270. D²=180²+270² D²=32400+72900 D²=105300 √D²=√105300 D=324,50 Após 15 segundos, a distância entre os navios em linha reta será de 324,50 metros.

Aplicações do Teorema de Tales

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que “retas paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes proporcionais”. Através de exercícios de uma generalização, onde as retas r, s, x são paralelas e as retas t e w são as transversais. Veja:

Pelo Teorema temos que

Exemplo 1 Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado condomínio, o medidas nas divisas de certos lotes residenciais. Ele precisa nas informações da planta. Observe o desenho detalhado da situação:

Com base na planta devemos calcularperpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz a relação de Tales, então podemos utilizar o Teorema.

Exemplo 2Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricistda rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.

Obs.: os fios da rede central são paralelos.

Aplicações do Teorema de Tales

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que “retas paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes

aplicados compreenderemos o Teorema. Podemos demonstrar o Teorema através de uma generalização, onde as retas r, s, x são paralelas e as retas t e w são as transversais. Veja:

Pelo Teorema temos que

Exemplo 1

Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado condomínio, o engenheiro constatou a ausência de algumas medidas nas divisas de certos lotes residenciais. Ele precisa calcular essas medidas do seu próprio escritório, com base nas informações da planta. Observe o desenho detalhado da situação:

calcular os lados x e y dos lotes. Veja que as laterais dos lotes 1, 2 e 3 são perpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz a relação de Tales, então podemos utilizar o Teorema.

Exemplo 2Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.

Obs.: os fios da rede central são paralelos.

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que “retas paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes

aplicados compreenderemos o Teorema. Podemos demonstrar o Teorema através de uma generalização, onde as retas r, s, x são paralelas e as retas t e w são as transversais. Veja:

Pelo Teorema temos que

Exemplo 1

constatou a ausência de algumas calcular essas medidas do seu próprio escritório, com base

nas informações da planta. Observe o desenho detalhado da situação:

os lados x e y dos lotes. Veja que as laterais dos lotes 1, 2 e 3 são perpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz a relação de Tales, então podemos utilizar o Teorema.

Exemplo 2 a observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios

da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.

Obs.: os fios da rede central são paralelos.

Aplicando o Teorema de Tales, temos:

Área de qualquer triângulo

A área de um triângulo é calculada utilizando as dimensões da base e altura do triângulo através da fórmula , mas essa fórmula somente é aplicada nos triângulos em que se conhece a medida da altura. Para o cálculo da área de um triângulo qualquer podemos utilizar outras fórmulas. Área de um triângulo com base o semiperímetro – Fórmula de Heron de Alexandria A fórmula de Heron deve ser usada nas situações em que se conhece o valor dos três lados do triângulo. Dado o triângulo ABC de lados a, b e c:

A área de um triângulo qualquer pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula:

Onde os valores de a, b, c correspondem aos lados do triângulo e o valor de p é o valor do semiperímetro (soma de todos os lados de um triângulo dividido por dois):

Área do triângulo utilizando o seno de um dos seus ângulos. Dado o triângulo ABC de lados a, b, c:

Observando o ângulo A podemos calcular a sua área através do seno de A, veja:

Se levarmos em consideração o ângulo C, o cálculo da área será feito através da seguinte fórmula:

Se levarmos em consideração o ângulo B, o cálculo da área será feito através da seguinte fórmula:

O conhecimento das várias formas de calcular a área de um triângulo é de extrema importância nas avaliações de classificação, pois o estudante ao aplicar tais definições exclui alguns cálculos complexos, os quais podem levar algum tempo para se chegar a uma solução concreta.

Exemplo 1

Exemplo 2

Área de um Polígono Regular

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Ao decompormos esse polígono notamos várias regiões triangulares, então se o polígono for decomposto em n triângulos basta calcularmos sua área e multiplicarmos pelo número de triângulos.

Obs.: O número de lados da figura é igual ao número de triângulos que compõem a figura. No pentágono inscrito abaixo podemos notar que a altura de cada triângulo que o compõe corresponde ao apótema do polígono, podemos substituir a altura h pelo apótema a, na expressão que calcula a área de cada triângulo:

Para calcular a área total basta multiplicarmos a expressão da área de cada triângulo pelo perímetro do polígono e dividir por dois como demonstra a expressão final:

Vamos calcular a área de um pentágono regular, onde cada lado mede 4m. Já vimos que o pentágono é formado por cinco triângulos e vale lembrarmos que em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é sempre igual a 360º. Para calcularmos o apótema deste triângulo devemos recorrer à relação trigonométrica tangente. Veja que o apótema divide a base em duas partes iguais.

A área total de um pentágono cujo lado mede 4 metros é de 27,5 m2.

Área de um Triângulo Eqüilátero

O triângulo é considerado o polígono mais simples da geometria plana e o mais importante, levando em consideração as características de seu formato. Estruturas de sustentação são construídas no formato triangular, em razão da segurança obtida.

Observe a utilização de triângulos

na sustentação de telhados.

Por ser um polígono, o triângulo possui perímetro (soma das medidas dos lados) e área. No caso dos triângulos, a áre

é medida através da metade do produto da base pela altura, de acordo com a fórmula: , com b medida da base e h medida da altura. Existem três modelos de triângulos quanto à medida dos seus lados:

Escaleno: os lados possuem medidas diferentes. Isósceles: possui dois de seus lados com medidas iguais. Equilátero: possui todos os lados com mesma medida.

Nosso trabalho enfatizará a área de um triângulo equilátero. Observe o triângulo de vértices A, B e C com lados medindo a e altura h.

Nesse caso não sabemos a medida da altura, que deverá ser calculada através do Teorema de Pitágoras. Veja:

De acordo com a medida da altura h calculada, determinaremos a área do triângulo equilátero com base na seguinte fórmula:

Veja que a expressão determinada calcula a área de qualquer triângulo equilátero com base na medida de seu lado.

Exemplo 1

Determine a medida da área de uma região triangular equilátera, com lados medindo 12 metros de comprimento.

A região triangular possui área medindo 36

Exemplo 2

Qual a medida da lateral de um triângulo equilátero que possui área total medindo 100

Área de uma Região Plana

Algumas regiões planas se assemelham a polígonos conhecidos como triângulo, quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio, pentágono, hexágono, entre outros, onde cada um possui uma fórmula específica para determinar a área de sua superfície. Mas apela Matemática, são as formas irregulares. Nesse caso, precisamos tentar decompor a figura em partes conhecidas, calculando individualmente a área de cada uma, as quais serão somadas constituindo a área total da região. Observe a área de uma região irregular:

Decomposição da área em figuras conhecidas:

A área da região é constituída de um retângulo, um triângulo e um trapézio. Agora basta determinarmos as áreas de cada figura. Área 1 O retângulo referente a área 1 possui as seguintes dimensões:

A região triangular possui área medindo 36√3 metros.

Qual a medida da lateral de um triângulo equilátero que possui área total medindo 100√3 cm²?

Área de uma Região Plana

Algumas regiões planas se assemelham a polígonos conhecidos como triângulo, quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio, pentágono, hexágono, entre outros, onde cada um possui uma fórmula específica para determinar a área de sua superfície. Mas algumas regiões possuem formatos não definidos

, são as formas irregulares. Nesse caso, precisamos tentar decompor a figura em partes vidualmente a área de cada uma, as quais serão somadas constituindo a área

total da região. Observe a área de uma região irregular:

Decomposição da área em figuras conhecidas:

A área da região é constituída de um retângulo, um triângulo e um trapézio. Agora basta determinarmos as áreas de cada figura.

Área 1 –

O retângulo referente a área 1 possui as seguintes dimensões:

Algumas regiões planas se assemelham a polígonos conhecidos como triângulo, quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio, pentágono, hexágono, entre outros, onde cada um possui uma fórmula

lgumas regiões possuem formatos não definidos , são as formas irregulares. Nesse caso, precisamos tentar decompor a figura em partes

vidualmente a área de cada uma, as quais serão somadas constituindo a área

A área da região é constituída de um retângulo, um triângulo e um trapézio. Agora basta determinarmos as áreas de cada figura.

Retângulo

Sua área é calculada multiplicando o comprimento pela largura: A=24*12 A=288m² Área 2 – Triângulo

A área de uma região triangular é calculada através da metade da multiplicação da base pela altura. A=(10*12)/2 A=120/2 A=60m²

Área 3 – Trapézio

A área de um trapézio é dada pela seguinte expressão: , onde: B:base,maior b:base,menor h:altura Então:

A área total da região é dada pelo somatório das áreas das regiões 1, 2 e 3: Área,total=288m²+60m²+88m² Área,total=436m² Qualquer região irregular pode ser decomposta em figuras mais simples, porém, em algumas situações, o cálculo pode ficar um pouco mais complexo. Para tais situações, a área da região é determinada através de integrais (conteúdo relacionado ao ensino superior ).

Área de uma Região Triangular

A área de uma região triangular é dada pela seguinte fórmula:

h = medida da altura b = medida da base Podemos escrever: a área de uma região triangular é dada pela metade do medida da altura correspondente. Exemplo 1

Nem sempre podemos usar a fórmula citada anteriormente, pois em algumas situações a base ou a altura não são dadas, tendo então que recorrer à Fórmula de Heron. Dado um triângulo de lados a, b e c temos: Onde p é o valor do semiperímetro.

Exemplo 2

Há outra forma de calcular a área de um triângulo, quando do ângulo formado por eles, a área da região será calculada da seguinte forma

Exemplo 3

Podemos escrever: a área de uma região triangular é dada pela metade do produto da medida base pela medida da altura correspondente.

Nem sempre podemos usar a fórmula citada anteriormente, pois em algumas situações a base ou a altura não são dadas, tendo então que recorrer à Fórmula de Heron. Dado um triângulo de lados a, b e c temos:

do semiperímetro.

a área de um triângulo, quando conhecemos as medidas de dois de seus lados e a medida

do ângulo formado por eles, a área da região será calculada da seguinte forma

da medida base pela

Nem sempre podemos usar a fórmula citada anteriormente, pois em algumas situações a base ou a altura

as medidas de dois de seus lados e a medida

Cálculo de Áreas Especiais

A Geometria está presente nas situações envolvendo medidas de comprimento, área e volume. Ela é considerada um ramo específico da Matemática. Vamos focar nosso estudo no cálculo de áreas de figuras irregulares. Toda figura regular possui uma expressão matemática responsável pelo cálculo de sua área, mas nos casos em que a figura possui um formato irregular, o cálculo da área de sua superfície ocorre de uma maneira especial. Observe a figura a seguir, ela representa a superfície de uma região irregular:

Para calcularmos a sua área devemos transpor a figura sobre um papel quadriculado, da seguinte forma:

1º passo: contar o número de quadrados inteiros que preenchem o interior da figura. A área por falta da figura é de 43 quadrados (figura A). 2º passo: contar o número de quadrados inteiros que cobrem toda a figura. A área por excesso da região é de 80 quadrados (figura B). Para determinarmos a área aproximada da figura, que está entre 43 e 80, utilizamos uma média aritmética da quantidade de quadriculados encontrados: Área aproximada

A unidade de área utilizada será a da figura no tamanho original. Nesse caso, a área da figura dada se encontra em m², então, cada quadriculado representa 1 m². Portanto, a área da região irregular é de aproximadamente 61,5 m². Exemplo 2 Determine a área da região irregular destacada, utilizando o quadriculado como unidade de área.

A área por falta da região irregular dada constitui a quantidade de quadriculados inteiros no seu interior, que corresponde a 4 quadrados. A área por excesso da região constitui na quantidade de quadriculados que cobrem a figura, correspondendo a 15 quadrados. Determinaremos a área da figura através da média aritmética entre 4 e 15.

A área da figura é de aproximadamente 9,5 unidades de área.

Classificação dos Polígonos

Polígono é uma figura fechada formada por segmentos de retas, que constituem os lados da figura. O encontro dos segmentos formam os vértices, os ângulos internos e os ângulos externos. Outro elemento pertencente ao polígono é a diagonal, que une dois vértices por meio de um segmento de reta interno à figura. O triângulo é o único polígono que não possui diagonal. A nomenclatura de um polígono depende do número de lados da figura. Veja: 3,lados-triângulo,ou,trilátero 4,lados-quadrângulo,ou,quadrilátero 5,lados-pentágono,ou,pentalátero 6,lados-hexagonal,ou,hexalátero 7,lados-heptágono,ou,heptalátero 8,lados-octógono,ou,octolátero 9,lados-eneágono,ou,enealátero 10,lados-decágono,ou,decalátero 11,lados-undecágono,ou,undecalátero 12,lados-dodecágono,ou,dodecalátero 13,lados-tridecágono 14,lados-tetradecágono 15,lados-pentadecágono,ou,pentadecalátero 20,lados-icoságono,ou,icosalátero Além de classificar um polígono pelo seu número de lados, podemos também classificá-lo conforme a congruência de seus lados e ângulos internos. Quando o polígono tem todos os lados e ângulos internos congruentes, eles recebem o nome de polígono regular. Quando o polígono não tem nem lados e nem ângulos congruentes, recebe o nome de irregular. Para que um polígono seja regular ele tem que ser: equilátero, ter todos os lados congruentes e ser ao mesmo tempo equiângulo, ter os ângulos congruentes. Na construção de um polígono é preciso utilizar um transferidor para medir os ângulos corretamente e uma régua para medir os lados corretamente. No polígono a seguir temos:

Vértices: A, B, C, D e E Lados: AB, BC, CD, DE e EF Ângulos internos: a1, b1, c1, d1, e1. Ângulos externos: A, B, C, D, E, F Diagonais: AD, AC, EB, EC, DB

Conversão de Medidas de Superfície

Medidas de áreas

As medidas de superfície estão diretamente ligadas ao nosso cotidiano, ao comprar um lote, pintar uma parede, ladrilhar um piso ou azulejar uma parede, o primeiro fato que precisamos saber é a medida da área das superfícies. Pelo SI (Sistema Internacional de Medidas), a unidade padrão usada para expressar uma medida de área é o metro quadrado (m²). A área de uma superfície é calculada através do produto entre o comprimento e a largura. Os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado (m²) são: Múltiplos: quilômetro quadrado (km²), hectômetro quadrado (hm²), decâmetro quadrado (dam²). Submúltiplos: decímetro quadrado (dm²), centímetro quadrado (cm²), milímetro quadrado (mm²). As unidades de medidas de superfície podem aparecer em qualquer uma das unidades citadas, de modo que podem ser transformadas de uma unidade para outra. Isso deverá ocorrer com base na tabela de transformações demonstradas a seguir:

Transformando,2m²,em,cm²=2x10x100=20000cm² Transformando,1km²,em,m²=1x100x100x100=1000000m² Transformando,3hm²,em,dm²=3x100x100x100=3000000dm² Transformando,4km²,em,mm²=4x100x100x100x100x100x100=4000000000000mm² Transformando,4m²,em,dam²=4:100=0,04dam² Transformando,100cm²,em,m²=100:100:100=0,01m² Transformando , 35 000 000m² em km² = 35 000 000 : 100 : 100 : 100 = 35km²

Medidas Agrárias As medidas agrárias estão relacionadas às áreas de terras e a unidade padrão é o hectare, que corresponde a 10 000 m². O alqueire também é muito utilizado, mas sua medida varia de acordo com cada estado, observe:

Geometria do táxi

A geometria do Táxi ou geometria pombalina é uma das várias geometrias não euclidianas. A geometria Euclidiana consegue descrever inúmeras situações reais. Porém, ela não consegue responder algumas questões. Por exemplo: Qual é a menor distância entre sua casa e o trabalho? Na visão Euclidiana, a menor distância entre dois pontos é uma reta. Mas, muito provavelmente, a distância entre sua casa e o trabalho não descreve uma trajetória retilínea. Na geometria táxi, a menor distância entre dois pontos de um plano não é a linha reta. A distância não é medida como o voo de um pássaro, mas como a viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical e horizontalmente em uma quadra ou malha urbana, que convenientemente pode ser associada ao plano euclidiano. Vamos considerar que desejamos sair do ponto P com destino ao ponto Q percorrendo a menor distância. Nessa situação, as linhas horizontais e verticais são ruas e cada quadrilátero formado na malha representa uma quadra ou quarteirão. Veja a figura:

Para a geometria Euclidiana, a menor distância entre os pontos P e Q é a reta vermelha representada na figura. Na realidade isso seria impossível, pois o táxi teria de passar dentro das quadras. Já na geometria do táxi, a menor distância seria dada pelos trajetos descritos pelos segmentos em azul e laranja. Veja o interessante dessa geometria: Considere que cada lado do quarteirão tenha medida unitária, ou seja, cada lado mede 1. Dessa forma, a distância entre os pontos P e Q, segundo o trajeto azul, é 12. Segundo o trajeto laranja também é 12. Agora, vamos supor que o táxi venha fazer o trajeto descrito em verde na figura abaixo:

Lembrando que cada lado do quarteirão mede 1, a distância entre P e Q, nesse caso, também é 12. De maneira geral, a distância entre dois pontos P(x1 , y1) e Q(x2 , y2) do plano, na geometria do táxi é dada por: DPQ = |X1 – X2| + |Y1 – Y2|

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Definição

É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.

Exemplos:

3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos.

É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:

x = 2, veja:

3x – 4 = 2

3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2

y = 1, veja:

3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1

Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente

- Equação do 1º grau

Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma:

ax + b = 0

Onde, tem-se:

a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)

Observe:

4x + 10 = 1

a = 4

b = 10 >> constantes (4,10)

3x – 6 = 0

a = 3

b = 6 >> constantes (3,6)

Exemplo de fixação:

x + 2 = 6 »

Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4, pois, 4 + 2 = 6.

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores:

ax + b = 0 » ax = - b

x = -b/a

Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.

Exemplo:

x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4

2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2

* Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.

Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.

Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:

a) Determine o valor do X:

4x – 12 = 8

4x = 8 + 12

4x = 20

x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}

b) Qual o valor da incógnita x:

2 – 3.(2-4x) = 8

2 – 6 + 12x = 8

12x = 8 - 2 + 6

12x = 6 + 6

x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}

Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:

x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4

2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)

Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a solução verdadeira da questão.

Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.

Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.

* Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)

Observe:

a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:

x = -b/a

S = {-b/a}

a ≠ 0 >> b = 0, temos:

x = 0/a

S = {0}

Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)

b ≠ 0 >> x = -b/0

V = {0}

Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.

Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:

b = 0 >> 0x = 0 >> V = R

Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.

* Incógnita com valor negativo

Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número negativo (-).

Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.

Veja alguns exemplos:

a) 4x – 2 = 6x + 8

Reduzindo os termos:

4x – 6x = 8 + 2

-2x = 10

Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se os termos da equação por (-1).

Assim, temos aos valores:

-2x = 10 .(-1)

2x = - 10

Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.

x = -10/2 >> x = -5

Como o valor de x = -5, então V = {-5}

Observação:

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:

Observe:

2x + 4 = 8

Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".

Veja o que acontece:

2x + 4 - 4 = 8 - 4

2x = 4

x = 2

V={2}

mdc

A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos dos problemas e sentenças

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor comum (MDC) o maior número que é divisor de todos eles.

Entenda por divisor, um número natural não nulo, que ao dividir um outro número natural, produz uma divisão com resto igual a zero, isto é, produz uma divisão exata.

Com este sentido, o conjunto dos números formados pelos divisores de um número natural qualquer é um conjunto finito.

Caso o número 1 seja o único divisor comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números deste conjunto são primos entre si.

Divisores de um Número Natural e o seu MDC

Analisemos os números naturais 108, 135 e 63. Seus divisores são respectivamente:

• { 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 } • { 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 } • { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }

De todos os divisores que cada um dos números possui, o número 9 é o maior deles que é comum a todos os três.

Temos então que:

MDC(108, 135, 63) = 9

Como descobrir o MDC de um conjunto de números?

Um método prático para se determinar o MDC de um grupo de números naturais é a fatoração.

Para podermos comparar o resultado obtido pelo método acima e o obtido pela fatoração, vamos utilizar de novo os números 108, 135 e 63 como exemplo.

Da fatoração deles nós temos que:

• 108 = 33 . 4 • 135 = 33 . 5 • 63 = 32 . 7

O MDC(108, 135, 63) é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.

No caso apenas o fator 3 é comum a todos eles, mas tomemos o 32, pois é o que possui o menor expoente.

Logo:

MDC(108, 135, 63) = 32 = 9

Calculando o MDC entre dois números pelo método das divisões sucessivas

Este método consiste em se dividir o maior número pelo menor. Se a divisão for exata, então o número menor será o MDC entre os dois números. Se não for, então o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passará a ser o novo divisor.

Se desta vez a divisão for exata, então o divisor atual será o MDC, se não for, repete-se o processo, o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passa a ser o novo divisor e assim vai até que a divisão seja exata, neste momento o divisor atual será o máximo divisor comum entre os dois números.

Para a exemplificar vamos utilizar os números naturais 80 e 288:

Dividindo 288, que é o maior deles, por 88, teremos 48 como resto da divisão, então devemos continuar o processo.

Agora dividiremos 80 pelo resto 48 e como novo resto iremos obter 32, como a divisão ainda não foi exata, continuamos o processo.

Dividiremos então 48 por 32, cujo resto é 16, o que nos obriga a continuar o processo.

Desta vez dividiremos 32 por 16. Agora a divisão é exata, então o MDC(80, 288) = 16.

Note que por este método só é possível o cálculo do MDC entre dois números. Se você precisar calcular o máximo divisor comum dentre três ou mais números, o ideal é apurar o MDC entre os dois menores e depois ir calculando o máximo divisor entre o MDC atual e o próximo número na ordem ascendente até terminar. Por exemplo, o MDC(24, 80, 242) deve ser calculado assim:

Primeiro calcule MDC(24, 80) que é igual a 8, finalmente calcule MDC(8, 242) que é igual a 2.

Para melhor fixação destes conceitos, faça os cálculos por este método e confira o resultado.

Exemplos de MDC

Qual é o MDC(15, 75, 105)?

Fatorando os três números temos:

• 15 = 3 . 5 • 75 = 3 . 52 • 105 = 3 . 5 . 7

Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 15, quanto para o número 75 e para o 105, mas o consideramos uma única vez. De forma análoga agimos em relação ao fator 5.

MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15

Portanto:

O MDC(15, 75, 105) é igual 15

Qual é o MDC(100, 150, 200, 250)?

Da Fatoração dos quatro números temos:

• 100 = 22 . 52 • 150 = 2 . 3 . 52 • 200 = 23 . 52 • 250 = 2 . 53

Os fatores 2 e 5 são comuns aos quatros números. O menor expoente do 2 é 1 e do 5 é 2. Assim:

MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 52 = 50

Logo:

O MDC(100, 150, 200, 250) é igual a 50

Qual é o MDC(25, 16)?

A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:

• 25 = 52 • 16 = 24

Não há fatores comuns, já que 25 e 16 são primos entre si, então:

MDC(25, 16) = 1

Portanto:

O MDC(25, 16) é o número 1.

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.

Os múltiplos de um número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como o resto da divisão. Por exemplo, 0, 6 e 12 são todos múltiplos de 6, pois qualquer um deles pode dividido por 6 em uma divisão exata. Neste caso o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste número por um outro número natural.

Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.

Múltiplos de um Número Natural e o seu MMC

Tomemos por exemplo os números naturais 6, 8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente:

• { 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... } • { 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... } • { 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }

Podemos notar que com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos comum a todos eles.

Temos então que:

MMC(6, 8, 12) = 24

Como descobrir o MMC de um conjunto de números?

Um prático método para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a decomposição em fatores primos.

Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.

Da fatoração destes três números temos:

• 6 = 2 . 3 • 8 = 23 • 12 = 22 . 3

O MMC(6, 8, 12) é o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes.

O fator 2 é comum a todos eles, mas tomemos o 23, pois é o que possui o maior expoente.

O fator 3 não é comum ao número 8, mas independente disto também deve ser considerado e como nos dois casos onde ele é múltiplo, o expoente é 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.

Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 6, quanto para o números 12, mas o consideramos apenas uma vez.

Logo:

MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24

Propriedade do MMC e do MDC

Sejam a e b dois ou mais números naturais não nulos temos que MMC(a, b) . MDC(a, b) = a . b.

Observe que esta propriedade e válida apenas para o MMC/MDC entre exatamente dois números, para três números ou mais esta propriedade não se verifica.

Exemplos de MMC

Qual é o MMC(15, 25, 40)?

Fatorando os três números temos:

• 15 = 3 . 5 • 25 = 52 • 40 = 23 . 5

Para uma melhor identificação, os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes foram marcados em vermelho.

MMC(15, 25, 40) = 23 . 3 . 52 = 600

Portanto:

O MMC(15, 25, 40) é igual 600

Qual é o MMC(250, 225, 294, 245)?Da Fatoração dos quatro números temos:

• 250 = 2 . 53 • 225 = 32 . 52 • 294 = 2 . 3 . 72 • 245 = 5 . 72

MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 32 . 53 . 72 = 110250

Logo:

O MMC(250, 225, 294, 245) é igual a 110250

Qual é o MMC(27, 81)?

A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:

• 27 = 33 • 81 = 34

MMC(27, 81) = 34 = 81

Portanto:

O MMC(27, 81) é o próprio número 81.

Se o MDC(27, 72) = 9, qual é o MMC(27, 72)?

Segundo a propriedade do MMC e do MDC

Logo:

O MMC(27, 72) é igual a 216.

frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um uma razão entre dois onde é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

Exemplo:

Se o MDC(27, 72) = 9, qual é o MMC(27, 72)?

propriedade do MMC e do MDC temos que :

O MMC(27, 72) é igual a 216.

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é entre dois inteiros, geralmente escrita na forma

é um número inteiro diferente de Zero.

adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da

(ou, vulgarmente, fração) é , geralmente escrita na forma

adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

+ =

Dois números racionais

O conjunto de todos os números racionais é

Cada número racional pode ser escrito de diversas por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números raciona

[editar] Definições

De modo simples, pode

representada de modo genérico como dividido em partes iguais. Neste caso, numerador, enquanto

Por exemplo, a fração igual a pois x =

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números raciona

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número,

representada de modo genérico como designa este número partes iguais. Neste caso, corresponde ao

numerador, enquanto corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração designa o quociente de

A divisão é a operação inversa da multiplicação.

são iguais apenas se ad = bc.

formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

se dizer que uma fração de um número,

designa este número corresponde ao

por Ela é

A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por

= { / = com

[editar] Decimais

[editar] Decimais exatos

=

=

[editar] Decimais periódicos

= (a)

= (b)

Os decimais periódicdízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada períod

[editar] Geratriz de dízima periódica

[editar] Dízima simples

A fração geratriz é obtida usandocomo denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por

com e }

Decimais exatos

Decimais periódicos

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o períodocomo denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por

os são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete

se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves

[editar] Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte nãoseguida do período menos a parte nãoum número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante

=> +

[editar] Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333..número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x =

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

A fração geratriz terá como numerador a parte nãoseguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos

seguido de tantos zeros quantos são os algarismos periódica (ante-período).

= + = =

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x =

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821...,

99900*x = 3804014 , portanto

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, periódica, e denominador

um número formado de tantos noves quanto são os algarismos seguido de tantos zeros quantos são os algarismos

. (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos

x = 23,333... -

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período

3807,821821821...,

x = , que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que se

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821

5. A fração será, portanto,

[editar] Tipos de frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:

• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:

• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:

• aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração.

Ex.: • irredutível: o numerador e o denominador são

permitindo simplificação. Ex.: • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo.

Ex.:

, que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821

fração será, portanto, .

Tipos de frações

numerador é menor que o denominador. Ex.:

: o numerador é maior que o denominador. Ex.:

: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:

: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: : aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração.

: o numerador e o denominador são primos entre si, não

permitindo simplificação. Ex.: numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de

la ao número

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima,

rá 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

: o numerador é maior que o denominador. Ex.:

: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:

: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração.

entre si, não

numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo.

• egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:

• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:

• composta: fração cujo numerador e denominador são frações:• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros

naturais (a0,a1,a2,aQuando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode racional ou irracional.

[editar] Operações

[editar] Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadoentre si. Ex.:

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, consideraque este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíEsta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

Costuma ser mais prático simplificar multiplicação:

: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:

: o denominador é uma potência de 10. Ex.:

: fração cujo numerador e denominador são frações:: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros

a3,...,ak,...) da seguinte maneira Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode racional ou irracional.

Multiplicação

se os numeradores entre si e os denominado

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, consideraque este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíEsta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a

: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:

: fração cujo numerador e denominador são frações: : fração constituída a partir de uma sequência de inteiros

Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser

se os numeradores entre si e os denominadores

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

de efetuar a

[editar] Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

÷

Primeiramente invertetem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

Que se resolve como mostrado acima.

[editar] Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicandorespectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem

∴∴∴∴

Sendo iguais os denominadores, podeos numeradores:

O denominador comum é mantido:

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma

Que se resolve como mostrado acima.

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre

o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem

∴∴∴∴

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre

O denominador comum é mantido:

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre

divisor da segunda fração. Com isto, se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre

o MMC, este será dividido por cada um dos se o resultado desta divisão pelo

respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

se efetuar a adição entre

[editar] Subtração

A subtração é feita seguindo

[editar] Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a

Efetuando-se primeiramente a divisão obtémresultado:

[editar] Radiciação

A radiciação de uma fração épassos da potenciação.

[editar] Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

[editar] Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Para tanto basta dividientre eles, obtendoproporção da original, é do tipo irredutível:

ubtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comumentre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

se os mesmos passos da adição.

ou a divisão:

se o mesmo

se os mesmos

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e

los pelo máximo divisor comum (MDC) se uma fração que, além de manter a

[editar] Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

?

O MMC entre 5 e 7 é 35.

∴∴∴∴

Uma vez igualados os denomidores,podeentre as frações:

< ∴ <

A comparação entre frações com denominadores diversos valese do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

e [editar] Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo vice-versa.

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominadorquociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Para fazer o caminho inverso, basta mulpela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

MMC entre 5 e 7 é 35.

∴∴∴∴

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação

A comparação entre frações com denominadores diversos valese do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

Conversão entre frações impróprias e mistas

imprópria pode ser convertida para mista e

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominadorquociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o

se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor

se fazer a comparação

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

Conversão entre frações impróprias e mistas

imprópria pode ser convertida para mista e

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o

se que a fração acima, escrita como fração mista,

tiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-

se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.