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Guilherme Guterres Vogtvogtgui@gmail.comCIRCUNFERNCIATEORIAPROPRIEDADES PROBLEMAS RESOLVIDOS

CIRCUNFERNCIA- um lugar geomtrico de um conjunto de infinitos pontos que equidistam de um ponto situado no centro.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERNCIAABMNRetatangenteRetasecanteSeguimento de retaDimetroAB( )CentroTPunto de tangenciaQPRaioArco BQCorda PQ

PROPRIEDADES BSICAS NA CIRCUNFERNCIA01- Raio traado ao ponto de tangncia perpendicular reta tangente.RL

02- Raio ou dimetro perpendicular a uma corda bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).PQMNR

03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes entre as paralelas. ABCD

04- A cordas congruentes em uma mesma circunferncia lhes correspondem arcos congruentes.ABCDCordas congruentesArcos congruentesAs cordas equidistam do centro

1 - Desde um ponto exterior a uma circunferncia se pode traar dois raios tangentes que determinam dois seguimentos congruentes. PROPRIEDADES DAS TANGENTESAP = PBABPRR

TEOREMA DE PITOT - Em todo quadriltero circunscrito a uma circunferncia, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos so iguais. a + c = b + ddabcQuadriltero circunscrito

NGULOSNACIRCUNFERNCIA

1 - MEDIDA DO NGULO CENTRAL - igual medida do arco que se ope.ABCrr = mAB

ACBD2 - MEDIDA DO NGULO INTERIOR - igual semisoma das medidas dos arcos opostos

ABC3 - MEDIDA DO NGULO INSCRITO - a metade da medida do arco oposto.

4 - MEDIDA DO NGULO SEMI-INSRITO - igual medida do arco oposto.ABC

ABC

1 - MEDIDA DO NGULO EX-INSCRITO - igual metade da medida do arco ABC.

ABCO6 - NGULOS EXTERIORES - So trs casos:a - Medida do ngulo formado por duas retas tangentes - igual semidiferena das medidas dos arcos opostos. + mAB = 180

ABCODb - ngulo formado por duas retas secantes - igual semidiferena da medida dos arcos opostos.

ABCOc - Medida do ngulo formado por uma reta tangente e outra secante - igual semidiferena das medidas dos arcos opostos.

PROBLEMASRESOLVIDOS

5070+xXRSQ1402XX + (X+70) + 50 = 180X = 30Pelo ngulo semi-inscrito PQS Problema N 01RESOLUOP

Substituindo:No tringulo PQS:Resolvendo a equao:PSQ = xSe traa a corda SQ

De um ponto P exterior a uma circunferncia se traam a tangente PQ e a secante PRS, se o arco RS mede 140 e o ngulo QPS mede 50. Calcule a medida do ngulo PSQ.

2070XX = 40RQHNo tringulo retngulo RHS140 propriedade, que:140 + X = 180Pelo ngulo inscritoProblema N 02RESOLUOPSm S = 70Resolvendo:PSQ = x

mQR = 140De um ponto P exterior a uma circunferncia se traam as tangentes PQ e PR, logo no maior arco QR se localiza um ponto S, se traa RH perpendicular corda QS, se mHRS = 20; calcule mQPR.

x130ACBDX = 40

50Problema N 03RESOLUOPResolvendo:APD = xMedida do ngulo interiorMedida do ngulo exterior

mBC = 50De um ponto P exterior a uma circunferncia se traam as secantes PBA e PCD tal que as cordas AC e BD sejam perpendiculares entre si; calcule a medida do ngulo APD, se o arco AD mede 130.

xX = 18

MN54xxProblema N 04RESOLUOPABAPN = xSe traaa o raio OM:oDado: OM(raio) = PMLogo tringulo PMO isscelesngulo central igual ao arcoMedida do ngulo exteriorResolvendo:Em uma circunferncia, o dimetro AB se prolonga at um ponto P, desde o qual se traa um raio secante PMN tal que o comprimento de PM seja igual ao raio, se o arco AN mede 54. Calcule a mAPN.

x70Medida do ngulo inscrito:X = 55

AB CPQR110Problema N 05RESOLUOPRQ = xPela propriedade do ngulo exterior formado por duas tangentes:Resolvendo:70 + mPQ = 180mPQ = 110Em um tringulo ABC se inscreve uma circunferncia tangente aos lados AB, BC e AC nos pontos P, Q e R respectivamente, se o ngulo ABC mede 70. Calcule mPRQ.

Calcule a medida do ngulo X.Problema N 0670BAXPResoluo

RESOLUOPela propriedade do ngulo exterior formado por duas tangentes:Medida dol ngulo inscrito:70BAXPC140140 + x = 180Resolvendo: X = 40

mAB=140

Calcular a medida do ngulo xProblema N 07BAXP130Resoluo

RESOLUOBAXP130CMedida do ngulo inscrito:Na circunferncia:260Pela propriedade do ngulo exterior formado por duas tangentes:X = 80

mAB = 260mACB = 100mACB + x = 100260 + mACB = 360

Calcule o permetro do tringulo ABC.Problema N 08255ABCResoluo

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) Logo o permetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 RESOLUO255ABCaba + b = 14 (1)(2)Substituindo (1) em (2) (2p) = 14 + 10

XABORDAGEMQRS80PaaProblema N 09De um ponto P exterior a uma circunferncia se traam a tangente PQ e a secante PRS de modo que os arcos SQ e SR sejam congruentes. Se o arco QR mede 80, calcular mQPR . Resoluo

2a + 80 = 360 a = 140Medida do ngulo exterior:

X = 30Na circunferncia:RESOLUOXQRS80Paa

PQRS 23ABORDAGEMProblema N 10Em um quadriltero ABCD mQ = mS = 90 se traa a diagonal PR. Os raios dos tringulos PQR e PRS medem 3 cm e 2 cm respectivamente. Se o permetro do quadriltero PQRS 22 cm. Calcule o comprimento de PRResoluo

Teorema de Poncelet:abcd PQR a + b = PR+2(3)+ a +b + c + d = 2PR + 10PR = 6 cmDado: a + b + c + d = 22 cmPSR c + d = PR+2(2)22 = 2PR + 10RESOLUOPQRS 23