0Sumrio:

6. Intervalos de Confiana .......................................................................................016.1. A estimao por intervalos.........................................................................016.2. Intervalo de confiana para a mdia..........................................................02

6.2.1. Intervalo de confiana para a mdia com varincia conhecida.....026.2.2. Intervalo de confiana para a mdia com varincia

desconhecida .................................................................................066.2.3. Intervalo de confiana para a proporo .......................................09

6.3. Intervalo de confiana para a diferena entre duas mdias de populaes independentes............................................................................................156.3.1. Intervalo de confiana para a diferena entre duas mdias de

populaes independentes com varincias conhecidas ...............166.3.2. Intervalo de confiana para a diferena entre duas mdias de

populaes independentes com varincias iguais edesconhecidas ...............................................................................18

6.3.3. Intervalo de confiana para a diferena entre duas mdias de populaes independentes com varincias diferentes edesconhecidas ...............................................................................22

6.3.4. Intervalo de confiana para a diferena entre duas proporesem populaes independentes ......................................................25

6.4. Intervalo de confiana para a varincia de uma populao normal..........276.5. Intervalo de confiana para a razo entre as varincias de duas

populaes normais ...................................................................................306.6. Exerccios...................................................................................................34

1Intervalos de confiana

6.1. A estimao por intervalo

Normalmente, no processo de investigao de um parmetro , necessitamos ir alm da sua estimativa pontual . O fato de no se conhecer o valor de pode causar uma insegurana e levar a um questionamento:

Quo prximo estamos do valor real de quando obtemos sua estimativa?

A resposta depende da preciso (ou varincia) do estimador e, tambm, do valor real do parmetro.

Uma maneira de contornar esse problema consiste em se encontrar um intervalo em torno de que tenha alta probabilidade de englobar .

P( do intervalo ],[ ba englobar ) =

O intervalo ],[ ba , na prtica, ser construdo com a amostra, ou seja, a partir dos dados e da distribuio amostral associada a .

Logo, os valores a e b sero aleatrios, variando de uma amostra para outra.

26.2. Intervalo de confiana para a mdia

6.2.1. Intervalo de confiana para a mdia com varincia conhecida

Seja uma aa X1, X2, . . . , Xn, com mdia e varincia 2conhecida. Para construir um intervalo de confiana para a mdia deve-se considerar a distribuio da mdia amostral X ,

X

nN

2

, n

X/

)1,0(N

Intervalo de confiana (1 )100% para

Para construir um I.C. para a temos que obter constantes a e b tal que )1( baP .

A probabilidade (1 ) chamada de nvel de confiana do intervalo e de nvel de significncia.

Ento, da distribuio de n

X/

, temos:

)1(/ 2/12/

znXzP

3)1(2/12/

n

zXn

zP

)1(2/2/1

n

zXn

zXP

Como 2/2/1 zz , teremos:

)1(2/2/1

n

zXn

zXP

a b

nzxa 2/ e n

zxb 2/ .

Nota: observe que, nessa notao, 02/ z .

Portanto, um intervalo de confiana (1 )100% para , com 2 conhecido, dado por:

n

zx 2/ ; n

zx 2/ .

Se = 0.05, 025.02/ e 96.1025.0 z , logo, um I.C. 95% para , com 2 conhecido, dado por:

nx 96.1 ;

n

x 96.1 .

4Exemplo 1: Testes de compresso foram aplicados na marca A de cimento para avaliar sua resistncia em concretos. Foram produzidos 13corpos de prova e os testes foram aplicados no Laboratrio de testes do Departamento de Engenharia Civil da UFSCar. (O corpo de prova padro brasileiro, normatizado pela ABNT, o cilndrico,com 15 cm de dimetro, 30 cm de altura e a idade de referncia 28 dias)

Foi registrada a resistncia compresso simples (fc), para cada corpo de prova com o intuito de calcular a resistncia caracterstica do concreto compresso (fck).

Um concreto concreto classe C30, por exemplo, corresponde a um concreto com fck = 30 Mpa (Mpa = 106Pa).

Pascal (unidade)O Pascal (smbolo: Pa) a unidade padro de presso e tenso no

SI. Equivale a fora de 1N aplicada uniformemente sobre uma superfcie de 1m2 (fonte: Wikipdia).

Dados (MPa):31.04 31.11 39.56 24.83 36.97 34.86 29.44 Ax = 33.7639.15 27.82 34.96 35.19 39.68 34.27 sA = 4.665

A empresa afirma que o processo tem variabilidade 2A = 25MPa2. Construir um intervalo de confiana 95% (nvel de significncia = 0.05) para a resistncia compresso mdia.

Estatstica: 1;0~/

Nn

XAA

AA

Encontrar a e b tais que: 95.0 baP A

595.096.1/

96.1

AA

AA

nXP

95.096.196.1

A

AAA

A

A

nX

nP

95.096.196.1

A

AAA

A

AA n

Xn

XP

Substituindo os valores da mdia amostral e tamanho da amostra

95.013596.176.33

13596.176.33

AP

95.048.3604.31 AP

Ou seja:

04.3113596.176.33 a MPa

48.3613596.176.33 b MPa

Logo, ( 31.04, 36.48 ) um I.C. 95% para A.

Interpretao: o intervalo (31.04 ; 36.48) tem probabilidade 0.95 (95%) de englobar o real valor da mdia A.

66.2.2. Intervalo de confiana para a mdia com varincia desconhecida

Seja uma aa X1, X2, . . . , Xn, com mdia e varincia 2desconhecida. No caso da varincia ser desconhecida devemos utilizar sua estimativa dada pela varincia amostral s2, porm, nesse caso a distribuio associada mdia amostral X no ser mais a normal.

Resultado: a estatsticans

X/

tem distribuio t Student com

)1( n graus de liberdade, ou seja

1~/

ntnsX

Notas:

1) A razo ns

X/

pode ser escrita como:

snX

nsX

//

1

)1,0(

1/)1(

/2

122

n

N

nsnn

X

n

Ou seja, a distribuio t-Student dada pela razo de uma )1,0(Npor 2 uma dividida pelos seus graus de liberdade.

72) Assim com a normal padronizada a distribuio t Student tem formato de sino, ou seja, simtrica em torno do zero, porm, para graus de liberdade pequenos a moderados suas caudas so mais pesadas.

3) Se uma va T tem distribuio t Student com k graus de liberdade, ento:

0)( TE e2

)(

kkTVar

4) Quando os graus de liberdade crescem, a distribuio t Studentse aproxima da )1,0(N .

5) A distribuio t Student com 1 grau de liberdade conhecida como distribuio de Cauchy.

Para construir um I.C. para a quando desconhecida, devemos proceder como nos casos anteriores, porm substituindo a distribuio normal padro pela t-Student, ou seja:

8)1(/ 2/1);1(2/);1(

nn tns

XtP

)1(2/1);1(2/);1(

n

stXn

stP nn

)1(2/);1(2/1);1(

n

stXn

stXP nn

Como 2/);1(2/1);1( nn tt , temos:

)1(2/);1(2/);1(

n

stXn

stXP nn

Logo, um intervalo de confiana (1 )100% para , com 2 desconhecido, dado por

n

stxn

stx nn 2/);1(2/);1( ;

Exemplo 2: No caso dos testes de compresso em amostras de concreto, o gerente da companhia, desconfiando de que a informao a respeito da varincia no seja verdadeira, refez os clculos estimando a varincia do processo por s2.Como o procedimento de clculo o mesmo, basta substituir o valor do quantil da normal (Z0.025 = 1.96) pelo quantil das distribuio t Studentcom (n 1) = 12 graus de liberdade.

Como 13An , ento 1788.2025.0;122/);1( tt n

Com Ax = 33.76 e sA = 4.665 refazendo os clculos temos que

994.3013665.41788.276.33025.0);1(

A

AA A n

stx n MPa

58.3613665.41788.276.33025.0);1(

A

AA A n

stx n MPa

Portanto, ( 30.94 , 36.58 ) um IC 95% para A para o caso em que a varincia desconhecida

Interpretao: mesma do caso anterior, porm, agora a varincia desconhecida.

6.2.3. Intervalo de confiana para a proporo

Como a proporo p de fato a mdia amostral de uma aa cuja vatem distribuio de Bernoulli(p), para se construir intervalos de confiana para p devemos seguir os mesmos procedimentos anteriores.

Considerando que o estimador da proporo p tem valor esperado

p e varincia n

pp )1( , dada a distribuio

npp

pp)1(

)1,0(N ,

um I.C. (1 )100% para a proporo dado por:

n

ppzp )1( 2/ ;

n

ppzp )1( 2/ .

10

Exemplo 3: Nos testes de compresso em amostras de concreto, sea empresa afirma que 90% da produo atende ao valor do fck = 30Mpa, construir um I.C. de 95% ( = 0.05) para a proporo de corpos de provas com fc abaixo de fck.

Dos 13 corpos de prova os valores 24.83, 29.44 e 27.82 so

menores do que o fck de 30Mpa. Ento, 231.0133 p

Considerando que p = 0.10:

0679.013

90.010.096.1231.0)1( 2/

nppzp

3941.013

90.010.096.1231.0)1( 2/

nppzp

Ou seja: 95.03941.00679.0 pP

Portanto, ( 0.0679 ; 0.3941 ) um I.C. 95% para p.

Interpretao: o intervalo (0.0679 ; 0.3941) tem probabilidade 0.95 (95%) de englobar o real valor do parmetro p.

Nota: Como normalmente no conhecemos p, podemos construir intervalos de confiana para a proporo substituindo p e (1 p) por p e

)1( p , respectivamente. Neste caso o intervalo fica:

n

ppzp )1( 2/ ;

n

ppzp )1( 2/ .

11

Outra possibilidade seria considerar o fato de 4/1)1( pp e construir um intervalo conservador para p assumindo p = .

Neste caso:

nnpp

41)1(

Logo, o intervalo de confiana conservador para p ser

nzp4

2/ ;

nzp4

2/ .

Considerando = 0.05, ento, I.C.s 95% para p, nos casos acima sero dados por:

i) utilizando p :

nppp )1(96.1 ;

nppp )1(96.1

ii) conservador p :

np

496.1 ;

np

496.1

O procedimento em (ii) fornece intervalos de confiana excessivamente grandes quando p se distancia de ( 0p ou 1p ) (Bussab & Moretin, 2002). Para a utilizao do intervalo conservador, portanto, devemos ter algum conhecimento do valor p, garantindo que seu valor esteja prximo de .

Exemplo: No exemplo do teste de compresso em concretos temos

231.0133 p , logo

12

i) utilizando p :

0019.013

769.0231.096.1231.0)1( 2/

nppzp

4601.013

769.0231.096.1231.0)1( 2/

nppzp

Portanto, ( 0.0019 ; 0.4601 ) um I.C. 95% para p.

ii) conservador p :

0408.05296.1231.0

4 2/

nzp (< 0 !!)

5028.05296.1231.0

4 2/

nzp

Portanto, ( 0.0408 ; 0.5028 ) um I.C. 95% conservador para p.

Note que no intervalo acima o limite inferior negativo, consequncia da utilizao da mxima varincia de p e do fato de que a proporo a ser estimada est longe do valor .

Nota: usualmente, nestes casos, arredondamos o limite inferior para 0 (zero), porm, o mais indicado a utilizao da estimativa p .

13

Forma simplificada de representao:

i) Mdia com varincia conhecida:n

zx 2/

ii) Mdia com varincia desconhecida:n

stx n 2/);1(

iii) Proporo:n

ppzp )1( 2/

Exemplos: 1) Um provedor de acesso internet deseja implantar um plano sem limite

de horas. Para isso, verificou numa amostra de n = 25 usurios os tempos de utilizao mensal, obtendo: mdia amostral 8.26x horas. Sabendo que 2 = 6.25 horas2:

a) Encontre um intervalo de confiana 90% para a mdia.b) De quanto deve ser aumentado o tamanho da amostra para que, mantidas

as demais medidas, o comprimento do intervalo caia pela metade?

2) Observou-se a estatura de 20 recm-nascidos num hospital conforme dados abaixo. Pesquisas anteriores indicam que a estatura mdia das crianas nascidas neste hospital de = 51 cm.Dados: x = 987 e x2 = 48845.25

a) Qual a probabilidade de que a estatura mdia da amostra no ultrapasse 50.20 cm?

b) Construa um I.C. 99% para a mdia.

3) 10 corpos de provas foram submetidos a um teste de corroso onde foram submersos em gua salgada durante 60 segundos/dia. A corroso foi medida pela perda de peso em miligramas/decmetro quadrado/dia (MDD). Os dados obtidos foram: 130.1 124.2 122.0 110.8 113.1 103.9 101.5 92.3 91.4 83.7

14

a) Encontre estimativas para a mdia e varincia para a perda de peso em MDD.

b) Construa um intervalo de 95% de confiana para a mdia.c) Supondo que a verdadeira mdia seja = 110, calcule a probabilidade de

que X seja superior ao mximo valor da amostra considerando:i) desvio padro conhecido = 16; ii) desvio padro desconhecido.

15

6.3. Intervalo de confiana para a diferena entre as mdias de duas populaes independentes

Sejam duas populaes A e B cujas mdias so A e B e varincias 2A e 2B , respectivamente.

Um estimador no viciado para )( BA dado pela estatstica BA XX e sua distribuio amostral obtida conforme trs diferentessituaes:i) Populaes independentes com varincias conhecidas;ii) Populaes independentes com varincias desconhecidas, porm,

iguais;iii) Populaes independentes com varincias diferentes e desconhecidas.

Figura: Populaes normais.

16

6.3.1. Intervalo de confiana para a diferena entre as mdias de duas populaes independentes com varincias conhecidas

Seja uma aa de tamanho An , retirada da populao A e uma aa de tamanho Bn retirada da populao B, independentes. Considerando que as varincias 2A e 2B sejam ambas conhecidas, temos que:

AA

AA

nX

/ e

BB

BB

nX

/ so )1,0(N

Da teoria da probabilidade temos que

BABA XXE e B

B

A

ABA nn

XXVar22

Logo, para o caso em que as varincias 2A e 2B so conhecidas, a distribuio amostral associada estatstica BA XX dada por:

B

B

A

A

ABA B

nn

XX22

)1,0(N

Observe que a varivel padronizada tem expresso similar aos casos anteriores, ou seja, a diferena entre a va e sua mdia, dividida pelo seu desvio padro.

17

Podemos, assim, construir um I.C. para )( BA a partir de

)1(2/1222/

z

nn

XXzP

B

B

A

A

BABA .

Ou seja, um I.C. )1( 100% para )( BA considerando amostras independentes e varincias conhecidas dado por:

B

B

A

ABA nn

zxx22

2/ ;

B

B

A

ABA nn

zxx22

2/ .

Exemplo 4: Considere que no exemplo com os testes de compresso em amostras de concretos, alm da A uma segunda marca B tenha sido avaliada com o intuito de que fossem comparadas.

Dados (MPa):

A31.04 31.11 39.56 24.83 36.97 34.86 29.44 39.15 Ax = 33.7627.82 34.96 35.19 39.68 34.27 As = 4.665

B27.91 40.94 39.25 37.42 32.16 34.29 38.69 21.21 Bx = 33.0829.30 29.21 33.76 32.71 31.91 34.10 33.34 Bs = 5.017

a) Sabendo que as empresas afirmam que ambos os processos tm variabilidade 2 = 25MPa2, construir um I.C. para a diferena entre as mdias das duas marcas.

18

Soluo:a) Como 2522 BA ento:

B

B

A

A

ABA B

nn

XX22

Logo, um I.C. 95% para )( BA dado por:

B

B

A

ABA nn

zxx22

2/ ;

B

B

A

ABA nn

zxx22

2/ .

Ou seja:

B

B

A

ABA nn

zxx22

2/

1525

132596.108.3376.33

Portanto ( 3.034 , 4.394 ) um I.C. 95% para )( BA .

6.3.2. Intervalo de confiana para a diferena entre as mdias de duas populaes independentes com varincias iguais e desconhecidas

Sejam duas populaes A e B cujas mdias so A e B e varincias desconhecidas, porm iguais, ou seja, 222 BA

19

Nesse caso, contudo, tanto 2As como 2Bs estimam a varincia comum, logo, podemos utilizar as informaes de ambas as amostraspara estimar a varincia populacional.

O que se faz, na prtica, combinar as somas de quadrados das duas varincias amostrais e dividir pelos graus de liberdade total, ou seja

22

1)1()( AAAA

A

snxxn

ii

)1( An = g.l. de 2As

22

1)1()( BBBB

B

snxxn

ii

)1( Bn = g.l. de 2Bs

que combinadas, resultam em

2)1()1(

)1()1(

)()(

222

2

1

2

12

BA

BBAA

BA

BBAA

BA

nnsnsns

nn

xxxxs

p

n

ii

n

ii

p

A varincia combinada 2ps (ou pooled), nada mais do que uma varincia ponderada pelos graus de liberdade das duas amostras:

2)1()1( 222

BA

BBAA

nnsnsnsp .

Assim como 2As e 2Bs , 2ps um estimador no viesado para2 .

20

Prova:

2

)1()1( 222

BA

BBAA

nnsEnsEnsE p

2)1()1( 22

BA

BA

nnnn

2

2)11(

BA

BA

nnnn

2

Pelo fato de 2 ser desconhecida, temos que

AA

AA

nsX

/ 1Ant e

BB

BB

nsX

/ 1Bnt .

Como temos um estimador comum para a varincia populacional, podemos derivar uma distribuio de probabilidade para BA XX .

Padronizando a diferena entre as mdias amostrais teremos:

BA

BABA

BA

BABA

nns

XX

ns

ns

XX

ppp 1122

21

Resultado:

BA

BABA

nns

XX

p11

2 BA nnt

Um I.C. (1 )100% para )( BA , quando as varincias so iguais e desconhecidas, dado por:

BA

BA BA nnstxx pnn

112/);2(

Exemplo 5: Construir um I.C. 95% para a diferena entre as resistncias mdias compresso em concretos feitos com cimentos das marcas A e B, considerando varincias iguais e desconhecidas.(voc acha vlida a suposio de varincias iguais?)

Ax = 33.76 Bx = 33.08

As = 4.665 Bs = 5.017

An = 13 Bn = 15

597.26265307.613

21513)017.5(14)665.4(12 222

ps

8577.4ps

2.0555025.0;262/);2( tt nn BA

22

Logo, um I.C. 95% para )( BA dado por:

BA

BA nnstxx p

11025.0;26

151

1318577.40555.208.3376.33

Portanto ( 3.105 , 4.465 ) um I.C. 95% para )( BA considerando varincias iguais e desconhecidas.

6.3.3. Intervalo de confiana para a diferena entre as mdias de duas populaes independentes com varincias diferentes e desconhecidas

Sejam duas populaes A e B cujas mdias so A e B e varincias diferentes e desconhecidas, 2A e 2B .

Com 2A e 2B diferentes e desconhecidas, devemos utilizar suas estimativas 2As e 2Bs individualmente e, nesse caso, a distribuio da estatstica utilizada, apesar de continuar sendo a t-Student, no tem mais os graus de liberdade obtidos diretamente, como nos casos anteriores, isto

t

ns

ns

XX ~22

B

B

A

A

BABA ,

23

em que os graus de liberdade so dados por:

1

/1

/ 2222

222

B

BB

A

AA

B

B

A

A

nns

nns

ns

ns

Logo, um I.C. )1( 100% para )( BA , quando as varincias so diferentes e desconhecidas, dado por:

B

B

A

ABA n

snstxx

22

2/; .

Exemplo 6: Com os dados de resistncias compresso em concretos com cimentos das marcas A e B, considerando varincias iguais e desconhecidas.

Ax = 33.76 Bx = 33.08

As = 4.6652As = 21.759

Bs = 5.0172Bs = 25.174

An = 13 Bn = 15

43464.023614.11

11515/174.25

11313/759.21

15174.25

13759.21

22

2

2686.25

24

Nota: Os graus de liberdade no precisam ser valores inteiros. De fato, 2.056071025.0;86.25 t (pelo R).

Enfim, um I.C. 95% para )( BA dado por:

B

B

A

ABA n

snstxx

22

025.0;26

15174.25

13759.210555.208.3376.33

Portanto ( 3.084 , 4.444 ) um I.C. 95% para )( BA considerando varincias diferentes e desconhecidas.

Resumindo:

Varincias EstatsticaI.C. 95% p/

)( BA

Varincias conhecidas

B

B

A

A

ABA B

nn

XX22

)1,0(N (3.034 , 4.394)

Varincias desconhecidas e iguais

BA

ABA B

nns

XX

p11

2 BA nnt

(3.105 , 4.465)

Varincias desconhecidas e diferentes

t

ns

ns

XX ~22

B

B

A

A

BABA (3.084 , 4.444)

25

6.3.4. Intervalo de confiana para a diferena entre duas propores em populaes independentes

Considere que se queira estimar a diferena entre duas propores 1p e 2p , associadas a duas populaes independentes. Ento, um

estimador no viesado para a diferena )( 21 pp dado por )( 21 pp .Sabendo que

1p

1

111

)1(,n

pppN e 2p

2

222

)1(,n

pppN

Ento:

)( 21 pp

2

22

1

1121

)1()1(,)(n

ppn

ppppN

Desta forma, um I.C. (1 )100% para )( 21 pp dado por

2

22

1

112/21

)1()1()(n

ppn

ppzpp

Exemplo 7: Um grupo de bilogos interessados em estudar populaes de animais em regies isoladas por longas distncias esto avaliando o desenvolvimento de peixes de uma determinada espcie em duas lagoas separadas por uma grande distncia geogrfica. Numa amostra de 116 peixes da primeira lagoa, 84 so da espcie em questo, enquanto que, de uma amostra de 80 peixes da outra lagoa, 45 so da espcie estudada.

26

Estimar a diferena entre as propores de peixes das duas lagoas e construir um I.C. 90% para a diferena.

As estimativas individuais para 1p e 2p so:

724.0116841 p 575.080

46 2 p

Ento, uma estimativa para a diferena entre 1p e 2p dada por

149.0575.0724.0 21 pp

e, a estimativa do desvio padro da diferena

04777.080

425.0575.0116

276.0724.0

.

Logo, um I.C. 90% para a diferena entre as propores dado por04777.0645.1149.0 ,

ou seja, ( 0.0353 , 0.2627 ) o I.C. 90% para )( 21 pp .

O que se pode concluir?

27

6.4. Intervalo de confiana para a varincia de uma populao normal

Considere uma populao normal com mdia e varincia 2 , ambas desconhecidas. Em muitas aplicaes prticas temos o interesse em avaliar a variabilidade dos fenmenos em estudo. Nessa situao, devemos estimar e, tambm, construir intervalos de confiana para a varincia populacional.

Considerando que a populao seja normal, temos que

2

2)1( sn 2 1n

Desta forma, a partir da distribuio 2 1n podemos construir I.C.spara 2 a partir de seus quantis:

)1()1( 2 2/1);1(22

22/);1(

nnsnP

28

)1()1(

1)1( 2

22/1);1(

22

22/);1(

snsnP nn

)1()1()1( 22/);1(

22

22/1);1(

2

nn

snsnP

a b

22/1);1(

2)1(

n

sna e 22/);1(

2)1(

n

snb .

Desta forma, um I.C. (1 )100% para 2 dado por:

2

2/1);1(

2)1(n

sn ;

2

2/);1(

2)1(n

sn .

Exemplo 8: O peso de um componente mecnico uma va com distribuio normal com mdia e varincia 2 , desconhecidos. Pretende-se estudar a variabilidade do processo de produo e, para isso, uma amostra com n = 11 componentes foi avaliada. Os pesos (g) so dados

98 97 102 100 98 101 102 105 95 102 100

1100 x e 1100802 x .

Portanto: 10011

1100 x g 810

)100(11110080 22 s g2.

29

Construir um I.C. 95% para a varincia populacional ( = 0.05).

25.32 025.0;10 e 48.202

975.0;10

906.348.20810)1(

22/1);1(

2

n

sna

615.2425.3

810)1(2

2/);1(

2

n

snb

Um I.C. 95% para 2 dado por ( 3.906 , 24.615 ).

30

6.5. Intervalo de confiana para a razo entre as varincias de duas populaes normais

muito comum, em aplicaes estatsticas, precisarmos comparar as varincias de duas populaes, como, por exemplo, quando comparamos a mdia dessas populaes.

A comparao de duas varincias no feita pela diferena entre elas, mas sim pela razo das mesmas.

Resultado:Seja 1W 21k e 2W

22k

, prova-se facilmente que a razo

2

2

1

1

kW

kW

F 21 ;kk

F

A razo de duas va independentes, com distribuio quiquadrado, divididas pelos seus respectivos graus de liberdade (k1 e k2), tem distribuio F de Snedecor, em que k1 so os graus de liberdade do numerados e k2 os graus de liberdade do denominador.

Notas:i) Se X kt , ento 2X kF ,1 .

Prova: Sai direto do resultado (1) da distribuio t-Student.

ii) Existe uma relao entre os quantis das distribuies F, de forma que

1;;;;

12

21

1kk

kk FF

31

Sejam duas populaes normais com varincias 21 e 22 e sejam 21se 22s seus estimadores a partir de amostras de tamanho 1n e 2n , ento

)1(/)1()1(/)1(

2

22

222

1

21

211

nsn

nsn

F 1;1 21 nnF

Mas a razo F acima pode ser simplificada por:

22

21

21

22

22

22

21

21

ss

s

s

F

1;1 21 nnF

Logo, um I.C. para razo entre duas varincias construdo a partir de:

)1(222

21

21

22

1

fssfP

em que: 2/);1();1(1 21 nnFf e 2/1);1();1(2 21 nnFf .

)1(21

22

221

22

21

22

1

ssf

ssfP

32

Portanto, escrevendo o resultado para 22

21

, um I.C. (1 )100%

para a razo de varincias dado por:

)1(221

21

22

21

222

21

sf

ssf

sP

Ou seja, o intervalo para a razo entre duas varincias de populaes normais definido por:

2/1);1();1(22

21

21 nnFs

s ;

2/);1();1(22

21

21 nnFs

s .

Nota: O intervalo construdo de forma que 22

21

ss seja maior do que 1.

Exemplo 9: Construir um I.C. 95% para a razo entre as varincias da resistncia compresso em concretos dos cimentos das marcas A e B.

2As = 21.759

2Bs = 25.174

An = 13 Bn = 15

Com 122

A

B

ss , 3279.0025.0;12;14 F e 2062.3975.0;12;14 F .

3608.02062.3759.21

174.25975.0;12;14

2

2

Fs

sA

B

33

5284.33279.0759.21

174.25025.0;12;14

2

2

Fs

sA

B

Assim, um I.C. 95% para 22

A

B

dado por ( 0.3608 , 3.5284 ).

34

6.6. Exerccios

1. Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas indstrias. Essa qualidade ser definida pela uniformidade com que o produto produzido. Tomaram-se duas amostras, uma de cada indstria, medindo-se o tamanho dos produtos (cm).a) A qualidade das duas fbricas a mesma? Caso a sua resposta seja

negativa, d um intervalo de confiana para indicar a intensidade dessa desigualdade.

b) Construir um I.C. 99% para a diferena entre as mdias, ( BA )Estatsticas Indstria A Indstria BTamanho da Amostra 21 17Mdias 21.15 21.12Varincias 0.0412 0.1734

2. Num estudo comparativo do tempo mdio de adaptao dos empregadosde um grande complexo bancrio, uma amostra aleatria, de 50 homens e 50 mulheres, produziu os seguintes resultados:

Estatsticas Homens MulheresTamanho da Amostra 50 50Mdias 3.2 anos 3.7 anosDesvios-padres 0.8 anos 0.9 anos

Que concluses voc pode tirar para a populao de homens e mulheresdesse banco? (Indique quais as suposies feitas)

3. Suponha que uma associao de defesa de consumidores deseja estimar o consumo mdio um novo modelo de automvel que ser lanado no mercado. Para fazer esta verificao, a associao observa uma amostra de 10 veculos, conduzidos por motoristas treinados, num percurso de 100 milhas. O consumo, em gales, foi registrado com os seguintes resultados:

28.43 x e 4886.1882 x

Assumindo que estes valores representam uma amostra aleatria de uma varivel normalmente distribuda com mdia e varincia 2 .

a) Calcule estimativas pontuais para e 2 .b) Calcule um intervalo de 75 % de confiana para 2 .

35

4. Os dados abaixo so uma amostra aleatria para estimar a proporo estudantes de uma universidade que possuem automvel.Foi construdo o intervalo conservador de 90% de confiana para p :

( 0.5555 ; 0.8845 )Um segundo intervalo foi construdo considerando a normalidade de p :

( 0.4887 ; 0.9513 )a) Qual a estimativa pontual para p ?b) Qual o tamanho da amostra?c) Qual o nvel de confiana do segundo intervalo

5. Da populao X Normal(50; 100) retirou-se uma aa de n = 10 elementos e da populao Y Normal(60; 100) retirou-se uma aa de m = 6 elementos, independente da primeira, obtendo-se as varincias amostrais 21s e

22s , respectivamente.

a) Encontre o valor de a, tal que 95.02221 assPb) Encontre o valor de b, tal que 95.02221 bssP

6. Uma das maneiras de medir o grau de satisfao dos empregados de uma mesma categoria quanto poltica salarial por meio do desvio padro de seus salrios. A Fbrica A diz ser mais coerente na poltica salarial do que a Fbrica B. Para verificar essa afirmao, sorteou-se uma amostra de 10 funcionrios no especializados de A, e 15 de B, obtendo-se os desviospadres 1000As reais e 1600Bs reais. Qual seria a sua concluso?

36

Resoluo:1. Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas indstrias. Essa qualidade ser definida pela uniformidade com que o produto produzido. Tomaram-se duas amostras, uma de cada indstria, medindo-se o tamanho dos produtos (cm).a) A qualidade das duas fbricas a mesma? Caso a sua resposta seja negativa, d um intervalo de confiana para indicar a intensidade dessa desigualdade.

21An 17Bn15.21Ax 12.21Bx

0412.02 As 1734.02 Bs

I.C. 95% para 22

A

B

:

Limite inferior: 652.1547.20412.0

1734.00412.0

1734.0975.0;20;16

F

Como 3731.068.211

975.0;16;20025.0;20;16 F

F

Limite superior: 280.113731.00412.0

1734.00412.0

1734.0025.0;20;16

F

O intervalo ( 1.652 ; 11.283 ) um intervalo de confiana 95% para 22

A

B

.

Como o intervalo no engloba o valor 1, ento, h evidncia suficientepara afirmar que 22 BA .

Logo, a qualidade das duas indstrias no a mesma. A indstria A, com menor variabilidade, tem melhor qualidade.

37

b) I.C. 99% para ( BA ) considerando varincias diferentes.

1

/1

/ 2222

222

B

BB

A

AA

B

B

A

A

nns

nns

ns

ns

221.22

1617/1734.0

2021/0412.0

171734.0

210412.0

22

2

gl

005.02/ 8188.2005.0;22 t

B

B

A

ABA n

snstxx

22

005.0;22)(

171734.0

210412.08188.203.0

( 0.281 ; 0.341 ) o I.C. 99% para a diferena entre as mdias de tamanhos dos produtos das indstrias A e B.

2. Num estudo comparativo do tempo mdio de adaptao dos empregados de um grande complexo bancrio, uma amostra aleatria de 50 homens e 50 mulheres produziu os seguintes resultados:

A qualidade das duas fbricas a mesma? (comparar as varincias)50Hn 50Mn

anosxH 2.3 anosxM 7.3anossH 8.0 anossM 9.0

38

Que concluses voc pode tirar com relao ao tempo de adaptao de homens e mulheres desse banco? (Indique quais suposies foram feitas)

I.C. 95% para 22

H

M

:

Limite inferior: 7182.07622.164.0

81.0)8.0(

)9.0(975.0;49;49

2

2

F

Limite superior: 2302.25675.064.0

81.0)8.0(

)9.0(025.0;49;49

2

2

F

O intervalo ( 0.7182 ; 2.2302 ) um intervalo 95% para 22

H

M

.

Como o intervalo engloba o valor 1, ento, no h evidncia suficientepara afirmar que as varincias so diferentes.

I.C. 90% para a diferena entre os tempos mdios de adaptao entre homens e mulheres, com varincias iguais.

725.098

81.04964.0492

)1()1( 222

HM

HHMMp nn

snsns

05.02/ 6606.105.0;98 t

H

p

M

pHM n

sns

txx22

05.0;98)(

50725.0

50725.06606.1)2.37.3(

( 0.2172 ; 0.7828 ) o I.C. 90% para a diferena entre os tempos mdios de adaptao de entre mulheres e homens.

39

O intervalo no engloba o zero, portanto, h evidncias suficientes para afirmar que os homens tm um tempo de adaptao menor do que as mulheres.

Suposies: Normalidade dos tempos de adaptao de homens e mulheres

3. Uma associao de defesa de consumidores deseja estimar o consumo mdio um novo modelo de automvel que ser lanado no mercado. Para fazer esta verificao, a associao observa uma amostra de 10 veculos, conduzidos por motoristas treinados, num percurso de 100 milhas. Oconsumo, em gales, foi registrado com os seguintes resultados:

28.43 x e 4886.1882 x

Assumindo que estes valores representam uma amostra aleatria de uma varivel normalmente distribuda com mdia e varincia 2 .

a) Calcule estimativas pontuais para e 2 .

328.41028.43 x

13031.09

17276.1)110(

)328.4(104886.1882

22

s

b) Calcule um intervalo de 75% de confiana para 2 . )25.0(

507.4125.0;9 e 926.13875.0;9

Limite inferior: 0842.0926.13

17276.1)1(875.0;9

2

sn

Limite superior: 2602.0507.4

17276.1)1(125.0;9

2

sn

I.C. 75% para a varincia 2 dado por: ( 0.0842 ; 0.2602 )

40

4. Os dados abaixo so uma amostra aleatria para estimar a proporo estudantes de uma universidade que possuem automvel.

Intervalo conservador de 90% de confiana para p : ( 0.5555 ; 0.8845 )

Intervalo considerando a normalidade de p : ( 0.4887 ; 0.9513 )

a) E pontual para p? (ponto mdio dos intervalos)

72.02

9513.04887.02

8845.05555.0 p

b) Qual o tamanho da amostra?

Sabe-se que o tamanho do I.C. 90% conservador dado por:

72.05555.041

05.0 nZ

1645.04645.1

n

an 104 25n

c) Qual o nvel de confiana do segundo intervalo

9513.025

)1(72.0 2/

ppZ

576.228.072.0

)72.09513.0(52/

Z

O nvel de confiana do I.C. 99.0)1( ou 99%.

41

5. Da populao X Normal(50;100) retirou-se uma aa de n = 10 elementos e da populao Y Normal(60;100) retirou-se uma aa de m = 6 elementos, independente da primeira, obtendo-se as varincias amostrais 21s e

22s , respectivamente.

a) Encontre o valor de a, tal que 95.02221 assPObs: 10022

21

22

22

21

21

s

s

1;1 mnF 22

21

ss 5;9F

95.02221 assP 772.495.0;5;9 Fa

b) Encontre o valor de b, tal que 95.02221 bssPDa relao entre as distribuies Fs

2872.0482.311

95.0;9;505.0;5;9 F

F

95.02221 bssP 2872.005.0;5;9 Fb

6. Uma das maneiras de medir o grau de satisfao dos empregados de uma mesma categoria quanto poltica salarial por meio do desvio padro de seus salrios. A Fbrica A diz ser mais coerente na poltica salarial do que a Fbrica B. Para verificar essa afirmao, sorteou-se uma amostra de 10 funcionrios no especializados de A, e 15 de B, obtendo-se os desviospadres 1000As reais e 1600Bs reais. Qual seria a sua concluso?

O grau de satisfao com o salrio o mesmo nas duas fbricas?(comparar as varincias)

42

10An 15Bn1000As 1600Bs

62 101As62 1056.2 Bs

Construir um I.C. 95% para 22

A

B

e verificar se engloba o valor 1:

Limite inferior: 6740.07980.3101

1056.26

6

975.0;9;142

2

Fss

A

B

Como 3116.0209.311

975.0;14;9025.0;9;14 F

F

Limite superior: 2157.83116.0101

1056.26

6

025.0;9;142

2

Fs

sA

B

I.C. 95% para 22

A

B

: ( 0.6740 ; 8.2157 )

O I.C. engloba o valor 1, portanto, no h evidncia para sustentar a afirmao da Fbrica A.