Capítulo 14 (montgomery) - DE/UFPBluiz/CEQ/Aula7.pdf · Serve de ferramenta de verificação para garantir que ... O teste for destrutivo; ... ≤c2 aceita-se o lote, e se (d1 +

Controle Estatístico de Qualidade

Capítulo 14 (montgomery)

Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos

� Introdução– A Amostragem pode ser definida como a técnica

estatística usada para o cálculo de estimativas deuma ou mais características de uma população combase na observação de uma fração dessapopulação – a amostra – escolhida com esseobjetivo.

– Estudaremos os seguintes planos de amostragemde aceitação para atributos:

� Amostragem única, dupla, múltipla e sequencial;


� Motivação– Suponha que uma indústria recebe um carregamento de

um fornecedor como, por exemplo, uma determinadamatéria-prima usada no processo de produção.

– Selecionando-se uma amostra de um lote,inspecionamos alguma característica da qualidade.

– De posse dessa informação toma-se uma decisão comrelação a aceitação ou rejeição do lote

– Os lotes aceitos são enviados para processamentoposterior, e os lotes rejeitados são retrabalhados ousucateados. Algumas vezes denominam essa decisãode Sentenciamento do Lote.

Problema da Amostragem de Aceitação

Aspectos importantes:

1. O objetivo é decidir sobre o lote, e não estimar sua qualidade.

2. Não fornece qualquer forma direta de controle de qualidade. Simplesmente aceita ou rejeita lotes.

3. Serve de ferramenta de verificação para garantir que a saída do processo esteja de acordo com as especificações.


� Diferentes Abordagens

– Aceitar sem inspeção – Útil em situações em que o processo é muito bom (capacidade do processo 3 ou 4) ou quando há necessidade de conter despesas;

– Inspeção 100% -. Há inspeção de todos os itens do lote. Remove-se todas as unidades que apresentaram defeito. Utilizada em situações onde é extremamente critico a passagem de itens defeituosos ou quando a capacidade é duvidosa;


� Diferentes Abordagens

– Amostragem de aceitação – Útil nas seguintes situações:

� O teste for destrutivo;� Quando o custo da inspeção 100% for muito alto;� Quando há muitos itens a serem inspecionados;� Quando houver bom histórico da qualidade;� Quando houver sérios riscos potenciais para a

credibilidade do produto, sendo necessário um programade monitoramento contínuo.

Amostragem de Aceitação versus inspeção 100%

Vantagens Desvantagens� Usualmente é menos dispendiosa,

pois há menos inspeção;� Há menos manuseio do produto, logo

menos avarias;� Aplica-se a testes destrutivos;� Menos pessoas são envolvidas nas

atividades de inspeção;� Em geral, reduz enormemente a

quantidade de erros de inspeção;� A rejeição de lotes inteiros em lugar

do simples retorno de defeituosos, emgeral, fornece uma motivação maisforte ao vendedor em relação amelhorias na qualidade

� Há riscos de aceitação de lotes“ruins” e rejeição de lotes “bons”;

� Em geral, gera-se menosinformação sobre o produto ousobre o seu processo demanufatura;

� A amostragem de aceitação exigeplanejamento e documentação doprocedimento de amostragem, aocontrário da inspeção 100%.

Tipos de Planos de Amostragem

– Plano de Amostragem Única – Selecionam-se n itens do lote econta-se a quantidade de defeitos d. Fixado o número deaceitação c, aceitamos o lote se d ≤ c e rejeitamos se d > c;

– Planos de Amostragem Dupla – Toma-se a decisão deaceitação ou rejeição, baseado em mais de uma amostra. A partirda informação da amostra inicial toma-se uma decisão paraaceitar o lote, rejeitá-lo ou extrair uma nova amostra. A informaçãode ambas as amostras serão combinadas para se chegar a umadecisão;

– Plano de Amostragem Múltipla – Extensão da amostragemdupla para mais de duas amostras;

– Plano de Amostragem Sequencial - unidades do lote sãoselecionadas uma de cada vez. Uma decisão é tomada no sentidode aceitar o lote, rejeitá-lo ou selecionar uma outra amostra

Formação dos Lotes

– A maneira como o lote é formado pode influenciarna eficiência do plano de amostragem de aceitação

– Aspectos Importantes:� Os lotes devem ser homogêneos;� Lotes maiores são preferíveis a lotes menores

(economicamente);� Deve ser fácil o acesso ao lote para escolha dos itens que

irão fazer parte da amostra.

– As unidades de um lote devem ser escolhidasaleatoriamente, e devem ser representativas detodos os itens do lote.

Planos de Amostragem Única para Atributos

� Definição– É definido pelo tamanho amostral n e pelo número de

aceitação c

� Exemplo– Considere o tamanho do lote N = 10.000.– O plano amostral n = 89 e c = 2, significa que, de um

lote de tamanho 10.000, inspeciona-se uma amostraaleatória de n = 89 unidades, observando-se o número d

de itens não-conformes ou defeituosos.– Se d ≤ c = 2, o lote será aceito e se d > c = 2, o lote será

rejeitado.


� Definição

– Note, também, que no problema de aceitação ourejeição de um lote a característica da qualidade édicotômica. Logo a distribuição do número de defeitos d

em uma amostra de n itens será Binomial (N → ∞) eHipergeométrica (N é finito) e p será a fração de itensdefeituosos.


� A Curva Característica de Operação (CO)– Uma medida importante para o plano de amostragem de

aceitação é a Curva Característica de Operação, que plota aprobabilidade de aceitação do lote versus a fração dedefeituosos.

– A curva CO mostra o poder discriminatório do plano amostral.Assim, dado um plano amostral, a probabilidade de aceitaçãode um lote será obtida por

– onde d ~ Binomial (n,p) e p é a fração de itens defeituosos nolote.

( )( ) dnd

c

d

a ppdnd

ncdPP

−

=

= −−

=≤ ∑ 1!!

!)(

0


� Curva Característica de OperaçãoExemplo:

� Se a fração de defeituosos do lote é p = 0,01, n = 89 e c = 2, então

( )( )

9397,0

)99,0()01,0(!87!2

!89

)99,0()01,0(!88!1

!89)99,0()01,0(

!89!0

!89

99,0)01,0(!89!

!89)(

872

881890

892

0

=

+

+=

−=≤=

−

=

∑ dd

d

a

ddcdPP


� Curva Característica de Operação (CO) para n = 89 e c = 2


� Infelizmente a Curva CO Idealquase nunca pode ser obtida naprática. Na teoria, poderia serobtida pela inspeção 100%, seesta fosse livre de erro.

� A forma da curva CO ideal podeser aproximada aumentando otamanho da amostra, mantendoc proporcional a n.

Efeitos de n e c sobre as Curvas CO


� Efeitos de n e c sobre as Curvas CO� Os planos com menores valores de c fornecem discriminação a

níveis mais baixos da fração de defeituosos do lote do que planos com maiores valores de c.


� A Curva CO Tipo A� É utilizada para calcular

probabilidades de aceitaçãoem lotes de tamanho finito.Neste caso, a distribuiçãoserá Hipergeométrica.

� No entanto, a Pa poderá ser calculada a partir da distribuição Binomial (Curva CO tipo B) em lotes, cujo N é grande.

Elaboração de um Plano de Amostragem Única

� Curva CO Especificada– Suponha que desejamos construir um plano amostral, com

probabilidade de aceitação “1- α” para lotes com fração dedefeituosos p1, e com probabilidade de aceitação β paralotes com fração de defeituosos p2.

– Supondo que a distribuição Binomial é adequada (Ngrande), temos que o tamanho de amostra n e o número deaceitação c são as soluções do sistema de equações

( )( )

( )( ) dnd

c

d

dndc

d

ppdnd

n

ppdnd

n

−

=

−

=

−−

=

−−

=−

∑

∑

22

0

11

0

1!!

!

1!!

!1

β

α

Elaboração de um Plano de Amostragem Única

� Curva CO Especificada– As duas equações simultâneas são não-lineares,

e não possuem solução simples– Os valores de “n” e “c” que são a solução desse

sistema de equações são obtidos através doNomograma Binomial (http://pt.wikipedia.org/wiki/Nomograma).

� Exemplo– Suponha um plano amostral para o qual:– p1=0.01, α=0.05, p2=0.06 e β=0.10– A intersecção das retas que ligam (p1=0.01, 1-

α=0.95) e (p2=0.06 e β=0.10) no nomograma,sugere que o planejamento seja n=89 e c=2.

Inspeção de Retificação

� Suponha que os lotes que chegam para a atividade deinspeção tenham fração de defeituosos p0. Alguns desseslotes serão aceitos, e outros rejeitados.

� Os lotes rejeitados sofrerão uma varredura (Inspeção100%), e sua fração de defeituosos final será zero. Noentanto, os lotes aceitos têm fração de defeituosos p0.

� Consequentemente, os lotes que saem da atividade deinspeção são uma mistura desses lotes e a fração dedefeituosos zero, de modo que a fração média dedefeituosos no conjunto será, agora, p1 < p0.


� Medidas Importantes– Qualidade de Saída Média (QSM) - mede a qualidade no

lote resultante da aplicação da inspeção de retificação, sendodefinida por

– Exemplo:– Suponha N=10.000, n=89 e c=2, e que os lotes que entram sejam

de qualidade p=0,01, obtendo Pa=0,9397. Logo,

– Note que o QMS < p

pN

nNPQMS a

−=

)(

0093,0)01,0(000.10

)89000.10)(9397,0(=

−=QMS


� Medidas Importantes– Inspeção Total Média (ITM) - mede o número médio de itens

inspecionados, devido ao uso de um programa de inspeçãopor retificação.

– Exemplo:

– Note que n < ITM < N.

))(1( nNPnITM a −−+=

687)89000.10)(9397,01(89 =−−+=ITM

Plano de Amostragem Dupla

� É um procedimento no qual, sob certas circunstâncias, exige-seuma segunda amostra antes do lote ser sentenciado.

� O plano de amostragem Dupla é definido por quatro parâmetros:– n1: tamanho da primeira amostra;– c1: número de aceitação da primeira amostra;– n2: tamanho da segunda amostra;– c2: número de aceitação da segunda amostra

� A principal vantagem de um plano de amostragem dupla é queele pode reduzir o total de inspeção exigida.

� Execução: observa-se o número de defeitos d1 na 1ª amostra.Se que d1 ≤ c1 aceita-se o lote e se d1 > c2 rejeita-o. Contudo,se estiver entre c1 < d1 ≤ c2 inspeciona-se uma 2ª amostra. Se(d1 + d2) ≤ c2 aceita-se o lote, e se (d1 + d2) > c2 rejeita-o.

Planos de Amostragem Dupla

� Exemplo: Suponha n1=50, c1=1, n2=100 e c2=3, teremos graficamente


� Curva CO– Um plano de amostragem

Dupla é representado por 3curvas características deoperação� Primária: ilustra a

probabilidade de aceitaçãonas amostra combinadas

� Suplementares: ilustra aprobabilidade de aceitação erejeição do lote na 1a

amostra.

Plano de Amostragem DuplaCO – Curva Primária

� A representação da CO Primária será construída a partir daprobabilidade de aceitação combinada (Pa), sendo definda por

� onde denotam a probabiliade de aceitação na 1a e 2a

amostras, respectivamente.

II

a

I

aa PPP +=II

a

I

a PP e

22211

2

11

12

2

1

111

1

1

)1()1(

),(

)1()!(!

!)(

2

2

1 0 1

1

122211

0 111

111

dnddnc

cd

dc

d

dII

a

II

a

dndc

d

I

a

ppd

npp

d

nP

dcdcdcPP

ppdnd

ncdPP

−−

+=

−

=

−

=

−

×−

=

=−≤≤<=

−−

=≤=

∑ ∑

∑

Plano de Amostragem DuplaCO – Curva Primária

� Exemplo– Considerando o plano de amostragem Dupla com n1=50,

c1=1, n2=100 c2=3 e p =0.05 (fração de def. do lote), temos

[ ]{ } { }

289,0

que temosLogo, .01,0001,0009,0

)0()3()1()0()2(

)95,0(05,0100

)05,0()05,0(50

279,0)95,0()05,0()!50(!

!50

21221

100

2

503

2

3

0 1

501

0 11

221

1

1

2

1

11

1

=+=

=+=

=×=+=+=×==

×

=

=−

=

−−

=

−

=

−

=

∑∑

∑

II

a

I

aa

II

a

II

a

ddd

d

d

d

dII

a

dd

d

I

a

PPP

P

dPdPdPdPdPP

ddP

ddP

Plano de Amostragem DuplaCO – Curvas Secundária

� A representação das CO’s Secundárias será:– A CO referente a probabilidade de aceitação na 1a amostra

será construída de forma idêntica ao caso do Plano deAmostragem Única, através de um gráfico de vs p.

– A CO referente a probabilidade de rejeição na 1a amostraserá construída a partir de um gráfico de vs p.

111

1

1

)1()!(!

!)(

0 111

111

dndc

d

I

a ppdnd

ncdPP

−

=

−−

=≤= ∑

I

aP

−

−−=≤−=>= −

=

∑ 111

2

1

)1()!(!

!1)(1)(

0 111

12121

dndc

d

I

R ppdnd

ncdPcdPP

I

RP


� Tamanho de Amostrá Médio (TAM)– A fórmula geral para o tamanho amostral médio na

amostragem dupla, supondo inspeção total da segundaamostra, é

– Logo, o TAM equivale ao tamanho de n1 somada ao tamanhode n2, ponderada pela chance de ocorrência de uma 2a

amostra.

)1()1)(()( 21211

I

R

I

a

I

R

I

a

I

R

I

a PPnnPPnnPPnTAM −−+=−−+++=

Elaborando um Plano de Amostragem Dupla

– Sejam (p1,1-α) e (p2 ,β) os dois pontos de interesse na curvaCO. Um procedimento simples que pode ser usado para obtertais planos, através do Nomograma, é restringir que n2 sejaum múltiplo de n1.

– Duncan (1986) apresenta uma discussão detalhada dessastécnicas.

– Por outro lado, é possível “calibrar” a eficiência de um planode amostragem dupla com valores n1, c1, n2 e c2, através dascurvas CO Primária e Secundária.

Planos de Amostragem Dupla –Inspeção de Retificação

� Inspeção de Retificação– A Qualidade de Saída Média será dada por

– A Inspeção Total Média será dada por

[ ]p

N

nnNPnNPQMS

II

a

I

a

−−+−

=)()( 211

)1()( 211 a

II

a

I

a PNPnnPnITM −+++=

Planos de Amostragem Múltipla

� O Plano de Amostragem Múltipla é umaextensão do Plano de Amostragem Dupla nosentido que mais de duas amostras podem sernecessárias para o sentenciamento do Lote.

� O aspecto negativo da Amostragem Múltipla é adificuldade de implantação deste Plano.

� Duncan (1986) apresenta uma discussãodetalhada dessa técnica.

Planos de Amostragem Sequencial

� Plano de amostragem no qual são retiradasunidades de amostra, uma a uma, inspecionadase, com base nos resultados, tomada decisãosobre a aceitação, rejeição do lote, ou inspeçãode nova unidade.

� É baseada no teste sequencial da razão daprobabilidade (TSRP) desenvolvido porWald(1947).


� Operação de um plano de amostragem sequencial item a item

� Considerar o número acumulado de defeituosos (d) � Construir um gráfico onde, no eixo das abscissas temos o número

total de itens selecionados (n) até aquele momento, versus o número total de defeituosos (d).

� Se os pontos plotados permanecem dentro dos limites das retas de aceitação e rejeição, outra amostra deve ser retirada.

� Tão logo um ponto caia sobre ou acima da linha superior, o lote é rejeitado.

� Se o ponto cair sobre ou abaixo da linha inferior, o lote é aceito.


� Equações para as duas retas limite para valores especificados de (p1, 1-α) e (p2, β) são

(reta de aceitação)

(reta de rejeição)

onde,

snhX A +−= 1

snhX R += 2

kh

kh

/1

log

/1

log

2

1

−=

−=

α

β

β

α

[ ] kpps

pp

ppk

/)1()1(log

)1(

)1(log

21

21

12

−−=

−

−=


� Exemplo:– Construa as equações de aceitação e rejeição,

considerando p1 = 0.01, α = 0.05, p2 = 0.06 e β = 0.10.

nX A 028,022,1 1 +−=

nX R 028,057,1 +=57,1/05.0

10.01log

22,1/10.0

05.01log

2

1

=

−=

=

−=

kh

kh

[ ] 028.080066.0/)06.01()01.01(log

80066.0)06.01(01.0

)01.01(06.0log

=−−=

=−

−=

s

k


� Observações:– Os números de aceitação (XA) e rejeição (XB) tem que

ser inteiros.– XA é o inteiro mais próximo menor ou igual.– XR é o inteiro mais próximo maior ou igual. – Assim, para n=45, temos que

– Note que o lote pode não ser aceito a não ser que, pelo menos, n=44 unidades tenham sido testadas (XA < 0).

00,004,0)45(028,022,1 1 →=+−=AX

00,383,2)45(028,057,1 →=+=RX

Exemplo

Desenhe a curva CO tipo B para o plano de amostragem única n=50, c=1.

Exemplo

Desenhe as curvas primária esuplementares para um plano deamostragem dupla com n1=50, c1=2, n2=100e c2=6. Se os lotes que entram têm umafração de não-conformes p=0,05, qual aprobabilidade de aceitação na 1º amostra?Qual a probabilidade de aceitação final?Calcule a probabilidade de rejeição naprimeira amostra?

Exemplo

Deduza um plano de amostragemsequencial item a item para o qual p1=0,01,α=0,05, p2=0,10 e β=0,10.

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