Capítulo 4 Resposta em frequência - fenix.tecnico.ulisboa.pt · 4.3 Resposta em frequência dos SLITs –Quando na entrada temos t Reais, x(t)=ejwt –A saída é definida por t

1Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto

Capítulo 4

Resposta em frequência

4.1 Noção do domínio da frequência

4.2 Séries de Fourier e propriedades

4.3 Resposta em frequência dos SLITs


Capítulo 4







– Existem alguns sinais, como fala, música, imagens, para os quais

não é fácil obter uma representação adequada

– Nessas situações representam-se os sinais como composições de

sinais mais simples, que podem ser facilmente modelados

– Vamos introduzir a representação desses sinais no domínio da

frequência

– Vamos mostrar que um sinal arbitrário pode ser descrito como a

soma de sinais sinusoidais



– Frequência é o inverso do Período

• A unidade é o Hertz (Hz) e representa ciclos por segundo

• Frequência angular: w=2pf e representa-se em radianos por segundo



– Um sinal sinusoidal além da frequência possui outra característica

importante que é a fase

– A fase pode ser vista como a definição do ponto inicial do sinal

– Exemplo:

• Usamos a diferença de fase nos nossos dois ouvidos para ajudar a

localizar a origem de um som



– As imagens podem ser igualmente decompostas

– Uma imagem sinusoidal tem uma frequência espacial em vez de

uma frequência temporal



– Um sinal finito de duração p pode ser usado para definir um sinal

periódico com período p

– Dado um sinal finito

y:[a,b]Reais,

podemos definir

y’:Reais Reais

– O sinal periódico é dado por

onde o período p=b-a

casosoutros

batsetytyReaist

0

],[)()(',

m

mptytx )(')(



– Esta propriedade é

denominada por

shift-and-add summation

m

mptytx )(')(


Capítulo 4







– Um sinal periódico x: Reais Reais com período pReais pode ser

descrito como

– Esta representação é denominada de expansão em série de Fourier

– Os valores particulares de Ak e de fk dependem de x(t)

– A frequência w0 é denominada a frequência fundamental e definida

por w0=2pf

– Na maior parte dos sinais os Ak tornam-se pequenos, ou mesmo zero,

para valores elevados do k, podendo-se usar uma aproximação

através de uma soma finita com K termos

1

00 )cos()(k

kk tkAAtx fw



• Exemplo– Onda quadrada

– Fenómeno de Gibb

• Descontinuidade

– Representação no domínio

da frequência

• Amplitude e frequência

de cada componente

sinusoidal

• Necessário também a

representação da fase



– Onda triangular



– A expansão em série de Fourier necessita de obedecer a um

conjunto de condições de convergência

• Convergência uniforme

• Convergência em erro quadrático médio

• Condições de Dirichlet



– Quando falamos do conteúdo em frequência de um sinal, é algo

que é único e bem definido

– A representação em série de Fourier aplica-se a sinais periódicos

ou a sinais finitos

– Um sinal não periódico pode ser seccionado em segmentos finitos,

podendo-se construir uma série de Fourier para cada segmento

– Exemplo:

• Considere um apito




• Aproximação em Série de Fourier para imagens– Suponha que o domínio de uma imagem é

[a,b]x[c,d] Reais x Reais

– Sejam pH=b-a e pV=d-c os “períodos” horizontal e vertical para a

imagem periódica equivalente

– As frequências fundamentais são definidas por

wH=2p/pH e wV=2p/pV

– A representação em série de Fourier da

Imagem: [a,b] x[c,d]Intensidade

é

0

,0

)cos()cos(),(m

mVkHmkk

ymxkAyxImagem fwfw



• Expressão através da exponencial– A série de Fourier é normalmente expressa através de exponenciais

complexas

– As exponenciais complexas são funções próprias (eigenfunctions)

dos SLITs, que ao decompormos um sinal em exponenciais, estas

são apenas escaladas ao serem processadas pelo sistema

– Expressão normalmente usada para a série de Fourier

– Os coeficientes da série de Fourier são simétricos conjugados

– As frequências negativas balançam as positivas de modo que a

soma resultante seja real

k

tjkkeXtxReaist 0)(,

w

*kk XX




• Série de Fourier Discreta– A decomposição dos sinais discretos em componentes sinusoidais

é semelhante ao caso contínuo

– As unidades de frequência são ciclos por amostra ou radianos por

amostra

– Consideremos um sinal discreto x(n) com período p

– A representação em série de Fourier discreta é definida através de

– A soma é finita, dado que os sinais discretos não podem

representar frequências acima de uma dado valor

– Esta representação pode ser calculada de uma forma eficiente

através da Fast Fourier Transform (FFT)

1

0

0)(,p

k

njkkeXnxInteirosn

w



• Coeficientes da série de Fourier– Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourier

para um sinal contínuo periódico

– Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourier

para um sinal discreto periódico

p

tjmm dtetx

pXInteirosm

0

0)(1

,w

1

0

0)(1

,p

m

jmkk emx

pXInteirosk

w



• Exemplo:– Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática

contínua da figura

são dados por



• Exemplo:– Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática

discreta da figura

são dados por


Coeficientes da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos

Coeficientes da Série de Fourier de sinais discretos periódicos


Propriedades da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos Propriedades da Série de Fourier de sinais discretos periódicos



• Exemplos

k

kTttx )()(1 T

ak

1

2||0

||1

)(1

1

2 TtT

Tt

tx

0)sin(

02

10

1

kk

Tk

kT

T

bk

p

w

k

kTTtkTTttx )()()( 113

T

Tkjck

)sin(2 10w

t

x1(t)

1

T -T

t

x2(t)

1

T -T T1 -T1

-T/2 T/2

t

x3(t)

1

T -T T/2 -T/2

T1



• Exercício– Considere os coeficientes da série de Fourier de um sinal contínuo

que é periódico com período 4. Determine o sinal x(t).

a)

b)

0)4/sin(

00

kk

kj

ka kk

p

p

ímpark

parkak

2

1


Capítulo 4







– Modelos de espaço de estados são precisos e concisos, mas não tão

potentes como a resposta em frequência

– Para um SLIT a resposta em frequência revela bastante acerca da

relação entre o sinal de entrada e o sinal de saída

– Os SLITs podem ser descritos por modelos de espaço de estados,

através de equações à diferença e equações diferenciais

– Mas modelos de espaço de estados podem descrever também

sistemas que não são SLITs

– Portanto modelos de espaço de estados são mais poderosos, mas

com inferiores técnicas de desenho e de análise



– Dada uma sinusóide na entrada, a saída do SLIT é uma sinusóide

com a mesma frequência mas possivelmente com uma fase e

amplitude diferentes

– Dado um sinal de entrada que é descrito como uma soma de

sinusóides de certas frequências, a saída pode ser descrita como

uma soma de sinusóides com a mesma frequência mas com a fase e

amplitudes possivelmente modificadas em cada frequência

– Se a entrada para um SLIT contínuo é ejwt então a saída é H(w)ejwt,

onde H(w) é uma constante que depende da frequência w da

exponencial complexa.

– Quando a saída do sistema é apenas uma versão escalada da

entrada, a entrada é denominada de função própria (eigenfunction)



– Quando na entrada temos

tReais, x(t)=ejwt

– A saída é definida por

tReais, y(t)=H(w )ejwt

– A função H:Reais Complexos é denominada resposta em

frequência

– Define a resposta de um SLIT a uma entrada exponencial

complexa numa dada frequência

– Define a ponderação que o sistema impõe nessa exponencial

complexa



– No caso dos sistemas discretos é semelhante

– Quando na entrada temos

nInteiros, x(n)=ejwn

– A saída é definida por

nInteiros, y(n)=H(w )ejwn

– A função H:Reais Complexos é denominada resposta em

frequência

– Existe uma diferença fundamental entre o discreto e o contínuo

ejwn =ej(w+2p)n = ej (w+4p) n

logo

wReais, H(w)= H(w+2Kp)

– Define a resposta em frequência de um SLIT discreto como sendo

periódica com período 2p



• Exemplo:– Considere um sistema discreto definido pela equação às diferenças

nInteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2

– Assumindo que a entrada é dada por

nInteiros, x(n)=ejwn

e que a saída tem a forma

nInteiros, y(n)=H(w )ejwn

obtemos

H(w)ejwn =(ejwn+ ejw(n-1))/2

– Resolvendo em ordem a H(w) obtemos

wReais, H(w)=(1+ e-jw)/2



• Exemplo:– Considere um sistema contínuo com entrada x e saída y

relacionadas pela equação diferencial

tReais, RC dy(t)/dt + y(t)=x(t)

– Assumindo que a entrada é dada por

tReais, x(t)=ejwt

e que a saída tem a forma

tReais, y(t)=H(w )ejwt

obtemos

RCjwH(w )ejwt+H(w )ejwt =ejwt

ou seja,

wReais, H(w)=1/(1+jRCw)



• Equação às diferenças linear – Considere um sistema descrito por uma equação às diferenças linear

nInteiros, a0y(n)+a1y(n-1)+...+aNy(n-N)

=box(n)+b1x(n-1)+...+bMx(n-M)

– Os coeficientes podem ser reais ou complexos

– Assumindo que a entrada é dada por x(n)=ejwn e que a saída tem a

forma y(n)=H(w )ejwn

obtemos

a0 H(w )ejwn+a1 H(w )ejw(n-1)+...+aN H(w )ejw(n-N)

=bo ejwn+b1e

jw(n-1)+...+bMejw(n-M)

ou seja,

ww

ww

wwjN

Nj

jMM

j

eaeaa

ebebbHReais

...

...)(,

10

10



• Equação diferencial– Considere um sistema descrito por uma equação diferencial

– Os coeficientes podem ser reais ou complexos

– Assumindo que a entrada é dada por x(t)=ejwt e que a saída tem a

forma y(t)=H(w )ejwt

obtemos

aN(jw)NH(w)ejwt+...+a1(jw)H(w)ejwt+a0H(w)ejwt

=bM(jw)Mejwt+...+b1(jw)ejwt+b0ejwt

ou seja,

01

01

)(...)(

)(...)()(,

ajaja

bjbjbHReais

NN

MM

ww

wwww

)()(...)()()(...)(, 0101 txbtdt

dxbt

dt

xdbtyat

dt

dyat

dt

ydaReaist

M

M

MN

N

N



– Pode-se exprimir uma relação entre sinusóides e a exponencial

complexa

cos(wt)=(ejwt+ e-jwt)/2

– Se for este o sinal de entrada para um SLIT com resposta em

frequência H(w) então a saída será

y(t)=(H(w)ejwt+ H(-w)e-jwt)/2

– Quando a entrada é real normalmente a saída de um SLIT é

também real, o que implica que

H(w)= H*(-w)

– Esta propriedade é denominada de simetria conjugada



– A resposta em frequência de um sistema real (cujos sinais de

entrada e de saída são reais) é simétrica conjugada

– Quando a entrada for x(t)=cos(wt) a saída será

tReais, y(t)=Re{H(w)ejwt}

– Escrevendo H(w) na forma polar

permite-nos obter a saída como

– H(w ) consiste de um ganho |H(w)| e de uma fase H(w) que o

sinal de entrada sinusoidal de frequência w sofre.

)()()( www HjeHH

))(cos()()(, www HtHtyReaist



• Exemplo:– Considere um sistema, que realiza um atraso T, definido como

y(t)=x(t-T)

– Assumindo que a entrada é dada por tReais, x(t)=ejwt

e que a saída tem a forma tReais, y(t)=H(w )ejwt

obtemos

H(w)=e-jwT

em que |H(w)|=1 e H(w)= -wT

– Uma entrada na forma de coseno gera na saída um coseno da

mesma amplitude e com um deslocamento de fase

– Um filtro com uma resposta em amplitude unitária e constante é

denominado filtro passa-tudo



• Exemplo:– Considere o sistema discreto definido pela equação às diferenças

nInteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2

– A resposta em frequência H(w) é dada por

wReais, H(w)=(1+ e-jw)/2

– A resposta de frequência

em amplitude é dada por

|H(w)|=|(1+ e-jw)/2|

– Este sistema tem um

comportamento

de um filtro passa-baixo



– A resposta em frequência diz-nos tudo o que precisamos saber

sobre um sistema

– Podemos passar a representar um SLIT através da sua resposta em

frequência, em lugar da representação entrada/saída, modelo de

espaço de estados, da resposta impulsiva, ...



• Exemplo– Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é

dada por H(w)=cos(2w)

– Consideremos o sinal de entrada

que pode escrito como x(n)=cos(pn)

– A saída é dada por

– Ou seja o sistema não altera a entrada

ímparn

parnnx

1

1)(

)()cos())(cos()()( nxnHnHny pppp






x(n)=5

que pode escrito como x(n)=5cos(0n)


– Ou seja o sistema não altera a entrada

)(5))0(0cos(5)0()( nxHnHny






x(n)=cos(pn/2)


– Ou seja o sistema inverte a entrada

)()2/cos()2/cos())2/(2/cos()2/()( nxnnHnHny pppppp






x(n)=cos(pn/4)


– Ou seja o sistema anula a entrada

0))4/(4/cos()4/()( ppp HnHny



• Resposta em frequência para séries de Fourier– No caso das séries de Fourier representámos o sinal de entrada como

onde w0=2p/p

– A saída do SLIT para a entrada periódica é representada por

– Para um SLIT, se a entrada é dada pela soma de exponenciais

complexas, a saída é dada pela soma das mesmas exponenciais, cada

uma escalada pela resposta em frequência, avaliada na frequência

correspondente

k

tjkkeXtxReaist 0)(,

w

k

tjkkeXkHtyReaist 0)()(, 0

ww



– Todas as componentes de frequência da saída estão na entrada

– A saída consiste das mesmas componentes em frequência da

entrada em que cada componente aparece escalada

– Os SLITs podem ser usados para ampliar ou suprimir certas

componentes de frequência, operação denominada de filtragem

– A resposta em frequência caracteriza quais as frequências que são

ampliadas ou suprimidas e também quais os deslocamentos de fase

impostos pelo sistema nas componentes individuais

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