TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 4.1. Amostragem Periódica 4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo T: Período de amostragem [s] Frequência

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

1

4.1. Amostragem Periódica

4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo

nnTxnx c ,][

Tf s

1

T: Período de amostragem [s]

Frequência de amostragem [Hz]

Ts

2 Frequência de amostragem [rad/s]

C/Dxc(t) x[n]

T

ConversorContínuo/Discreto


2

A implementação de um conversor C/D é um conversor A/DIdeal.

-Precisão infinita – Infinitos números de bits-Quantização em passos lineares-Sem efeitos secundários devido ao circuito de sample&hold-Sem limitações quanto à taxa de amostragem

A operação de amostragem ideal é irreversível:Pois vários sinais contínuos podem dar origem

a um mesmo sinal amostrado.


3

Representação matemática da conversão C/D:

Figura pag 142

x[n] Sinal Discreto xs(t) sinal contínuo


4

4.2. Representação da Amostragem no Domínio Frequência

n

nTtts )()( Trem de impulsos:

ncs

ncs

cs

nTtnTxtx

nTttxtx

tstxtx

)()()(

)()()(

)()()(

Sinal amostrado por trem de impulsos


5

Propriedades da Transformada de Fourier contínua:

k

sF

n

kT

SnTtts )(2

)()()(

Transformada do trem de impulsos é também um trem de impulsos:

Ts

2Onde:

T 2T-T-2T t[s]

......

s(t)S()

[rad/s]

T

2

T

2

s 2s-s-2s


6

Teorema da convolução: )(*)()().( 21 YXtytx F

assim:

kscs k

TXX )(

2*)()( 2

1

)()()( tstxtx cs

Logo:

k

scs kXT

X )(1

)(

Ts

2Onde:


7

p/ sinal xc(t) limitado em frequência:

Nota-se que se:

Ns

NNs

2

Não haverá superposição de espectros.

Distorção por superposição de espectros, ou Recobrimento, ou Efeito Aliasing.

Caso: Ns 2


8

Reconstrução perfeita por filtragem passa-baixas ideal:


9

Ex.: Amostragem de um sinal cossenoidal:


10

Teorema de Nyquist(1928) ou Teorema de Shannon(1949) ou Teorema da Amostragem

“Seja um sinal xc(t) limitado em frequência tal queXc()=0 para ||>N. Então xc(t) é unicamente determinado pelas suas amostras xc(nT), n=0,1,2,… se:

NTs 22 ”


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Relação entre X() e Xs().

Sabemos que:

n

cs nTtnTxtx )().()(

Aplicando a transformada de Fourier:

n

nTjcs enTxX .).()(

Como: )(][ nTxnx c

E sabendo a DTFT:

n

njenxX .].[)(

Logo:

Ts XX

)()(


12

Já vimos que:

k

scs kXT

X )(1

)(

Logo:

k

Tk

TcXT

X 21)(

Ts

2

Pode-se pensar como uma normalização da frequênciaOnde =s é normalizada em =2

Este efeito é diretamente relacionado com a normalizaçãoque ocorre no tempo, onde o período T é normalizado em 1 amostra.


13

Exemplo:

)4000cos()( ttxc Amostrado a fs=6kHz.T=1/6000 s=12000

Frequência analógica 0=4000 rad/s ou f0=2kHz amostradaa fs=6kHz, é equivalente a frequência digital:

amostraradT /3

2

6000

1.400000


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4.3. Reconstrução de sinais limitados em frequência

A partir de x[n] podemos obter xs(t), sinal trem de impulsoscontínuo ponderados por x[n], como:

n

s nTtnxtx )(][)(

Se aplicarmos este sinal à entrada de um filtrocontínuo PB ideal Hr(), com resposta ao impulsohr(t), então teremos:

nrr

nrr

nrr

nTthnxtx

nTtthnxtx

nTtnxthtx

)(][)(

)(*)(][)(

)(][*)()(


15

Filtro de Reconstrução Hr():

•Largura de Banda c entre N e (s-N)•Ganho T

Se o sinal foi amostrado sem aliasing, p/ qualquer sinal de entrada basta:

Ts

c

2

Resposta ao impulso hr(t) será: sin /

( )/r

t Th t

t T

Notar que:...,3,2,1,0)(

1)0(

nnTh

h

r

r


16


17

Logo podemos calcular:

n

r TnTt

TnTtnxtx

/

/sin][)(

n

rr nTthnxtx )(][)(

Assim: se x[n]=xc(nT) xr(mT)=xc(mT) m inteiro

Pontos de amostragem são perfeitamente reconstruídos.

Vendo o gráfico de:

TnTt

TnTtnx

/

/sin][


18

Fig. Pag 152

Logo o filtro passa-baixas ideal, interpola os impulsosdo sinal xs(t) para obter o sinal contínuo xr(t).

Vimos que xr(mT)=xc(mT), se não houver aliasing: xr(t)=xc(t) como se pode notar pela análise espectral.

Vendo o gráfico de:

n

r TnTt

TnTtnxtx

/

/sin][)(


19

Podemos esquematizar um conversorDiscreto/Contínuo ideal como:

Fig. Pag 152

A partir de:

n

rr nTthnxtx )(][)(

Obtemos:

n

nTjrr eHnxX ).(].[)(

n

Tnjrr enxHX ].[).()(

( ) ( ).r r TX H X

Logo:


20

4.4. Processamento Discreto de Sinais Contínuos

C/D D/CSistemaDiscreto

T T

xc(t) yr(t)

x[n] y[n]

P/ sinal xc(t) limitado em frequência:

)(][ nTxnx c

k

Tk

TcXT

X 21)( F

n

r TnTt

TnTtnyty

/

/sin][)(

F

outros

YTYHY TT

Trr0

,)(.)().()(

Não necessariamente iguais


21

4.4.1. Sistemas Discretos LTI.

Temos a reposta em frequência efetiva do sistematotal dado por:

2

2

||,0

||,)()(

s

s

T

TTeff

HH

Condições:•Sistema discreto LTI•Sinal de entrada limitado em frequência•Respeitado o teorema da amostragem


22

4.4.2. Invariância ao Impulso

hc(t)Hc()

xc(t) yc(t)

C/D D/Ch[n]H()

T T

xc(t) yr(t)= yc(t)

x[n] y[n]

Sistema invariante ao impulso:

||,)(

)(.][

TTc

c

HH

nThTnh


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4.6. Mudança da taxa de amostragem usandoProcessamento Discreto

Modos: • reconstruir xc(t) e re-amostrar a T’ segundos

Problemas: A/D, D/A, filtros• Processar x[n] diretamente

Muitas vezes precisamos:

CD/MD: 44.1kHzDAT: 48kHzBroadcast: 32kHz

)(][ nTxnx c

)'(][' nTxnx c

Tendo:


24

4.6.1. Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro

)(][][ nMTxnMxnx cd

Compressor da taxa de amostragem:

Mx[n] xd[n]=x[nM]

Período de amostragem T

Período de amostragem T’=MT

A redução da taxa de amostragem: downsampling


25

Análise do espectro


26

Análise do espectroCom aliasing e filtro


27

Decimador: sistema que reduz a taxa de amostragem por um fator M

Decimação: Processo de filtragem PB de freq. corte /Mseguida de um compressor

Espectro se expande do fator M.


28

4.6.2. Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro

,...2,,0)/(]/[][ LLnLnTxLnxnx ci

Expansor :

Aumento da taxa de amostragem: upsampling

outros

LLnLnxnxe ,0

,...2,,0,]/[][

k

e kLnkxnx ][].[][ 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

x[n]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

xe[n]

Lx[n] xe[n]

Período de amostragem T

Período de amostragem T’=T/L


29

Análise do espectro


30

Interpolador: sistema que aumenta a taxa de amostragem por um fator L

Interpolação: Processo de expansão seguido de filtragem PB de freq. corte /L

Espectro se replica nas frequências 2/L.Filtrando-se PB apenas o espectro centrado em 2k equivale a interpolar as amostras faltantes.

Interpolação linear, spline, etc... Aproximações p/ PB ideal.


31

4.6.3. Mudando a taxa de amostragem por um fator Não-inteiro.


32

4.7. Processamento Multi taxa.

Os interessados devem dar uma lida e tentar entender.

Aplicação: Codificação em Sub-bandas (MP3) análise por banco de filtros, etc.Base p/ transformada wavelet.


33

4.8. Processamento Digital de Sinais Analógicos

Até então, analisou-se sistemas ideais:•Sinais limitados em freq.•Conversores C/D,D/C•Filtragens PB ideal

Sistema Real:


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4.8.1. Filtro Anti-Aliasing

Geralmente procura-se usar a menor taxa deamostragem possível de modo a minimizaros requerimentos do processador digital.

Logo: Sinal de entrada precisa ser limitado em frequência.Ex.: Voz inteligível : até 4kHzporém possui freq. até da ordem de 20kHz.

Ex.2: Sinal limitado + Ruído de alta frequência.

P/ evitar aliasing é necessário limitar a largura debanda do sinal de entrada.


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Filtro antialiasing ideal: PB ideal de freq. fs/2

Filtros analógicos reais: Corte não é abrupto, precisam começar a atenuarfreqüências menores que fs/2. Filtros com cortes abruptos são mais complexos>n. de componentes, > custo. Geralmente possuem fase extremamente não-linear. (Chebychev e Cauer), principalmentepróximo à freq. corte na banda de passagem.

Possíveis soluções: 1) Usar filtro ativo simples seguido de umfiltro a capacitor chaveado de alta ordem.


36

2) Amostragem em oversampling seguida de filtragemdigital


37

Sinal limitado +Ruído em alta freq.

Filtro analógicosimples

Amostragem em T/MFiltragem digital

Decimação M


38

4.8.2. Conversão Analógico-Digital

C/D : Precisão infinita

A/D: dispositivo que converte tensão ou correnteem um código binário. Conversão tem precisão finita Não é instantânea: Necessita sample&hold


39

Quantização:


40


41

4.8.3. Análise do Erro de Quantização

Passo de quantização: Bm

Bm XX

22

21

Fundo de Escala: Xm

Número de Bits: B+1

Erro de quantização: ][][ˆ][ nxnxne

Segue que: 2/][2/ ne

Erro de quantização pensado como ruído aditivo:


42

P/ se levantar um modelo estatístico do erroAssume-se que:

•A sequência de erro e[n] é uma amostragem de um processo randômico estacionário (suas característicaestatísticas não se alteram como tempo).

•O erro e[n] é descorrelacionado com o sinal x[n]

•As variáveis randômicas do processo de erro sãodescorrelacionadas (o erro é um processo ruído branco)

• A função distribuição de probabilidade do erroé uniforme sobre o range do erro de quantização

Em geral são boas aproximações para sinais x[n] naturais(voz, música, vídeo, etc...), e pequenos passos de quantização.


43

Ex.:

)10/cos(99.0][ nnx

3 bits (B=2)

e[n] /p 3 bits

e[n] /p 8 bits


44

P/ pequeno podemos modelar a probabilidade doSinal de erro como:

Variância:2

/ 22 2

/ 2

1

12e e de

P/ B+1 bits e fundo de escala Xm temos:

12

2 222 m

B

e

X


45

Relação Sinal-Ruído:

x

m

m

xB

e

x

XBSNR

XSNR

10

2

22

102

2

10

log208.1002.6

212log10log10

Logo: a SNR aumenta 6.02 dB p/ cada bit x é o desvio padrão ou o valor RMS de x[n]Assim esta equação não é válida se o sinal x[n] saturaro quantizador, isto é |x[n]|>Xm.

Se a amplitude do sinal x[n] tem uma distribuição gaussianaApenas 0.0064% das amostras terão amplitudes > 4 x .Fazendo: x =Xm/4 consegue-se SNR6.B-1.25Quantos bits são necessários p/ 90dB? Qualidade de CD.


46

4.8.4. Conversão D/A

nDA

nBmDA

nTthnxtx

nTthnxXtx

)(].[ˆ)(

)(].[ˆ.)(

0

0

][][ nenx


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Análise em frequência, fazendo a DTFT de x0(t):

)(.)()(

).(].[)(

00

00

HXX

eHnxX

T

n

nTj

Logo:

n

nTthnxtx )(].[)( 00

n

nTthnete )(].[)( 00

)()()( 00 tetxtxDA


48

Onde: 2/0 .

)2/(.2)( Tje

TsinH

P/ reconstruir o sinal precisamos filtrar PBo sinal X0() com um filtro PB ideal compensado:


49

Voltando a analisar um sistema onde: -Saída do filtro de antialiasing e o de reconstrução são limitada em fs/2 -Sistema é LTI

Então podemos escrever que a saída será: )()(ˆ tetyy aar

Onde:

)().(.)().().(~

)( 0 caaTra XHHHHY

Considerando o ruído de quantização gerado pelo A/DÉ um ruído branco de variância demonstra-se:12/22 e

Espectro de potência do Ruído.

22

0 .)().().(~

)( eTre HHHPa


50

Assim, a resposta em frequência efetiva do sistema é:

)(.)().().(~

)( 0 aaTreff HHHHH

Obs.2: O sistema H() pode inserir ruído dequantização também. Ruído interno ao sistema digital.

Obs.: As compensações podem ser embutidasno processamento digital do sinal, H().

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