TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 10. Análise de Fourier usando DFT 10.1. Introdução Análise de Fourier : Avaliação explícita da Transformada

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

1

10. Análise de Fourier usando DFT

10.1. Introdução

Análise de Fourier : Avaliação explícita daTransformada de Fourier (sinais limitados e amostrados)

Na verdade o que se deseja é: TDFTTransformada de Fourier para Sinais Discretos

No entanto o que é realmente realizado é a : DFTTransformada Discreta de Fourier

DFT é uma amostragem da TDFT


2

10.1 Análise de Fourier usando DFT

Diversas aplicações: - Análise, Síntese e Codificação de Voz - Sinais de Radar por efeito Doppler - Avaliação de falhas mecânicas – motores - Análise de harmônicos da rede – cos() - Análise de imagens (bordas, ruídos,etc) - Modulação – Telecomunicações - etc ... ... ...

A análise de Fourier de sinais contínuos envolve:


3

Sinal contínuo a ser analisado.

Filtro de Anti-aliasing

Sinal filtrado – espectro limitado.

Sinal filtrado amostrado.

Resposta em frequência da Janela.

Espectro do Sinal Janelado (convolução periódica) DFT do sinal janelado (amostragem)


4

10.2. DFT de sinais sinusoidais

Como vimos na aula passada:

Se o número de amostras do sinalsinusoidal não for tal que haja umnúmero inteiro de ciclos amostradoshá o efeito de espalhamento espectral


5

10.2.1. Efeito do Janelamento

Consideremos um sinal contínuo composto por duas componentes:

0 0 0 1 1 1( ) cos coscS t A t A t

E sua amostragem ideal (sem aliasing e erros de quantização)

0 0 0 1 1 1[ ] cos cosx n A n A n

Onde : T

A sequência janelada será:

0 0 0 1 1 1[ ] [ ]cos [ ]cosv n A w n n A w n n

Cujo espectro, convolução de W() e X(). É:

0 0

1 1

0 00 0

1 11 1

( )2 2

2 2

j j

j j

A AV e W e W

A Ae W e W


6

Leakage ou Vazamento : redução da amplitude das componentes devido à iteração de fase das duas componentes.

Ex.:10.3


7

A resolução de frequência é definida pela largura do lóbuloprincipal da janela. Ajustar L tamanho da Janela

O leakage é definido pela relação entre as amplitudes dolóbulo principal e os secundários. Tipo da Janela

Exemplo: Janela Kaiser


8

10.2.2. Efeito da Amostragem do Espectro

Ex.10.5:2 2

cos 0.75cos , 0 63[ ] 16 8

0,

n n nv n

outros

v[n] zero-padding


9

Ex.10.6: uso da janela de Kaiser

2 4[ ] [ ]cos 0.75 [ ]cos

14 15K Kv n w n n w n n

=5.48 Escolha: Lóbulo lateral com –40dB

0.401ml

Como:4 2

0,38915 14

Logo a janela aindaconsegue distinguiras 2 componentes

Largura do lóbulo principal


10

Porém, reduzindo para L=32

Já não se consegue perceberos dois picos.

0.815ml

Aumentar a resoluçãoda DFT resolve??


11

Ex.: 10.7 Usando zero-padding no sinal anterior para fazera DFT de 64 pontos.

N=32

N=64


12

N=128

N=1024

DTFT estimadado sinal com L=32


13

DFT N=1024L=32

Ex.:10.8

L=42

L=54

L=64


14

10.3. Transformada de Fourier Dependente do Tempo

Até agora consideramos que os sinais eram estacionáriosno tempo, isto é, as propriedades dos sinais não variavamdo início ao fim da janela.

No entanto a maioria dos sinais naturais não sãoestacionários. Ex.: Voz, música, imagem, vídeo.

Nestes casos as propriedades espectrais dos sinaisvariam com o tempo. Necessitamos de uma ferramentacapaz de fazer esta análise.

Short-Time Fourier Transform: STFTou Transformada de Fourier dependente do tempo.


15

[ , ) [ ] [ ]. j m

m

X n x n m w m e

A transformada de Fourier dependente do tempo de umsinal x[n] é definida como:

Onde:n: amostra temporal (discreta): Frequência (Contínua: análoga ao , porém dependente do tempo)w[n]: Janela

Logo X[n,) é uma função de duas variáveis, 2-D

Pode ser vista como a Transformada de Fourier do sinaldeslocado no tempo x[n+m] janelado por w[m].


16

Ex.: 10.9

20[ ] cosx n n 6

0 2 7.5 10

Espectrograma:


17

10.5. Análise de Fourier de Sinais Não-Estacionários

Sinais Estacionários: Sinais cujas propriedades estatísticas (momentos) não se alteram com o tempo.

A magnitude da Transformada de Fourier não se alterano tempo, apenas a fase das componentes.


18

Exemplo de aplicação: Análise de Sinais de Voz

- Sons Vozeados: A E I O U- Sons Fricativos: X, S - Sons Fricativo-Vozeados: V, F, Z- Sons explosivos: B, P

Formantes: Frequências naturais de ressonânciadas cavidades que compõe o trato vocal.

Faixa de frequências: 50 a 15kHz (20kHz mulheres e crianças)Porém: mantém alta inteligibilidade mesmo limitada 3kHzTelefonia: considera-se 300Hz a 3400kHz, usa-se fs=8kHz

O sistema vocal pode ser pensado como um sistema varianteno tempo. E a voz como a resposta desse sistema à uma entradatrem de pulso quase-periódico (vozeados) ou ruído branco (fricativos).

A voz pode ser considerada um sinal estacionário em janelas de15ms a 20ms.


19

Mostrar: SpectroLab


20

10.6. Análise de Fourier de Sinais Randômicos

Sinais randômicos (estocásticos): Sinais que não possuem uma formulação matemática definida, porém podem ser caracterizados por medidas estatísticas (momentos).

1

0

1ˆ [ ]

L

xn

m x nL

Média:

Variância: 1

22'

0

1ˆ ˆ[ ]

L

x xn

x n mL

Estas são estimativas das verdadeiras varáveisbaseados em L amostras. A estimativa tende ao valorverdadeiro a medida que L


21

Problema mais comum: Como estimar a densidade Espectral de Potência de um sinal randômico contínuo ?

Podemos estimar através do Espectro do sinal amostrado e janeladoAtravés da Relação:

( )cs t( )ssP

1

0

[ ] [ ]L

j n

n

V w n x n e

[ ] [ ] [ ]v n x n w n

21( ) ( )I V

LU

Se w[n] é a Janela Retangular I() é dito periodogramaSe w[n] é outra janela I() é dito periodograma modificado

Usando a DFT para calcular o espectro V() temos:

21( ) [ ]kI V k

LU

1

2

0

1[ ]

L

n

U w nL


22

Cuidado no cálculo do periodograma amostrado I(k):

- Se o sinal x[n] possuir um nível DC (média não nula), este deve ser retirado de modo a não obscurecer possíveis baixas frequências existentes, devido ao leakage. No entanto demostra-se que:

2( ) ( )xxVar I P

Não é um estimador consistenteuma vez que a variância não tende a zeroapenas com o incremento da Janela


23

Ex.: Ruido brancodistribuição uniforme.

Idealmente:2( ) 1xx xP

212 (2 / )

0

1 1[ ] ( ) [ ] [ ] [ ].

Ljkn N

kn

I k I V k w n x n eL L

Periodogramascalculados por:


24

Um estimador consistente é a média de K periodogramas:

21( ) ( )xxVar I P

K

Uma vez que a variância tente a zero com o aumento de K


25

Ex.: 0[ ] cos [ ]x n A n e n

e[n] ruído branco de distribuição uniforme com média zero e variância unitária

A=0.5 0=2/21 e fase randômica 0 <2

3 [ ] 3e n


26


27

10.7. Analise espectral de sinais randômicos usando a função de autocorrelação.

Baseia-se no Princípio que:

A Densidade Espectral de Potência de um Sinal podeser calculada como a Transformada de Fourier da função de autocorrelação do sinal.


28

Ex.1: Deseja-se analisar em frequência um sinal estacionáriocuja frequência máxima é 1.25kHz, com resolução de 5Hz. a)Qual a taxa de amostragem mínima a ser utilizada?b)Quantas amostras necessito adquirir?


29

a) Mínima freq. de amostragem:Taxa de NyquistFs>2*1.25kHz Fs>2.5kHzLogo

sk

Ts 4005.2

1

b) P/ resolução de 5Hz

sToTo

2.051

Tamanho da janela:

Logo necessito:

500400

2.0 N

T

ToN

s Uso N=512 p/ Radix-2 FFT


30

Ex.2: Um certo processador de FFT tem uma capacidademáxima de computar FFT 2048 pontos e o tempo requeridopara carregar e computar um espectro é de 200ms. O processador atua em tempo real, e uma memóriaauxiliar é utilizada para fazer a aquisição enquanto a FFTe computada.a) Qual a mais alta frequência que pode ser resolvida?b) Qual a resolução em frequência obtida?


31

Sistema processa/captura 2048 amostras em 200ms, logoO período de amostragem é:

kHzfssm

Ts 24.1065.972048

200

a) Maior frequência resolvível: kHzfs

fh 12.52

b) Resolução em frequência: HzmTo

fo 5200

11

Documents

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 10. Análise de Fourier usando DFT 10.1. Introdução Análise de Fourier : Avaliação explícita da Transformada