Capítulo 5 DINÂMICA (CINÉTICA) DE UM SISTEMA DE …civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano2/mec2/aulas_teoricas/elementos_apoio/... · Capítulo 5 153 Como o princípio de D’Alembert é

151

Capítulo 5

DINÂMICA (CINÉTICA) DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

5.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo estudar-se-á a cinética de corpos rígidos, isto é, as relações que existem entre as forças que actuam num corpo, a sua forma e massa, e o movimento resultante. No capítulo anterior estudaram-se relações semelhantes, admitindo então que o corpo podia ser considerado uma partícula, ou seja, que a sua massa podia ser concentrada num ponto e que todas as forças actuavam nesse ponto. A forma do corpo e a localização exacta dos pontos de aplicação das forças vão ser agora tidas em devida conta. O objectivo é o estudo do movimento do corpo como um todo, bem assim como o seu movimento em torno do seu centro de massa.

Nos sistemas de partículas abordados, considera-se que a distância entre duas quaisquer partículas permanece inalterável (noção de corpo rígido). Os corpos rígidos podem ser classificados em:

– Conjuntos discretos (finitos): consistem em sistemas de partículas isoladas rigidamente ligadas entre si.

– Conjuntos contínuos (infinitos): trata-se de sistemas contínuos, isto é, as partículas não são numeráveis.

– Conjuntos mistos: consistem numa associação dos dois anteriores.

Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas

152

5.2 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

A abordagem a efectuar neste capítulo assenta no princípio de que os corpos rígidos não são mais do que conjuntos de várias partículas e, por essa razão, pode-se utilizar os resultados obtidos no capítulo anterior para o movimento de uma partícula sujeita a um campo de forças, fazendo o somatório (ou o integral) estendido a todas as partículas.

As forças actuantes num sistema de partículas podem ser classificadas em:

– Forças interiores – são forças que ocorrem entre as partes constituintes do sistema de partículas, as quais, pelo princípio de igualdade da acção e da reacção, constituem pares de forças auto-equilibradas por serem iguais e directamente opostas ( jiij FF

rr−= ).

– Forças exteriores – são forças cuja origem ou causa é exterior ao sistema de partículas.

Figura 5.1 – Forças interiores e exteriores.

No estudo da dinâmica dos sistemas de partículas irá ser utilizada uma notação específica para as forças. Assim, as forças com um só índice designarão forças exteriores ao sistema de partículas, actuando sobre a parte ou partição com a designação do índice. As forças interiores às partes constituintes são designadas por dois índices, um indica de onde vêm e o outro indica para onde vão:

iFr

– resultante das forças exteriores aplicadas sobre mi;

ijFr

– força interior devida à interacção entre as massas mi e mj, estando auto-equilibrada com jiF

r, isto é, 0

rrr=+ jiij FF .

Do princípio da força de D’Alembert ou da 2ª lei de Newton aplicada à partícula i do sistema de partículas, resulta:

2

2

1 dtrdmamFF i

iii

n

ijj

jii

rrrr

⋅=⋅=+ ∑≠=

(5.1)

Capítulo 5

153

Como o princípio de D’Alembert é válido para todas as partículas ou partes constituintes do sistema de partículas, isto é, para i = 1, 2, ..., n, ter-se-á o seguinte sistema de equações:

⋅=+

⋅=+

⋅=+

∑

∑

∑

−

=

≠=

≠=

2

2

1

1

1

22

2

1

21

22

21

2

1

11

11

...

dtrdmFF

dtrdmFF

dtrdmFF

nn

jjnn

n

jj

j

n

jj

j

rrr

rrr

rrr

(5.2)

Ter-se-á assim um sistema de n equações diferenciais do movimento das partículas constituintes do sistema de partículas. A solução deste sistema pode ser obtida por integração directa (se for integrável) ou por integração numérica (por exemplo, o método de Euler, o método de Runge-Kutta, etc.) a partir das condições fronteira temporais apropriadas, também designadas por condições iniciais.

Note-se que enquanto o referido sistema de equações diferenciais do movimento constitui uma condição necessária e suficiente do equilíbrio dinâmico do sistema de partículas, a soma vectorial das referidas equações, membro a membro, resulta numa condição necessária mas não suficiente. De facto,

∑∑ ∑∑==

≠==

⋅=

+

n

iii

n

i

n

ijj

ji

n

ii amFF

11 11

rrr ⇒

⇒ ∑∑==

⋅=n

iii

n

ii amF

11

rr (5.3)

Esta é uma condição necessária de equilíbrio mas não é condição suficiente, pois não garante que o sistema rode em torno de si próprio.

O somatório de forças auto-equilibradas é nulo.


154

Representando por irr o vector posição da partícula de massa mi que faz parte de um

sistema de partículas materiais e tomando os momentos em relação ao ponto O das várias forças actuando em mi, vem:

)(1

iii

n

ijj

jiiii amrFrFr rrrrrr⋅×=×+× ∑

≠=

(5.4)

Figura 5.2 – Equilíbrio de um sistema de partículas.

Repetindo este procedimento para cada partícula mi do sistema, obtém-se n equações idênticas à anterior. A soma vectorial dessas equações resulta também numa condição necessária alternativa à anterior:

∑∑ ∑∑==

≠==

⋅×=

×+×

n

iiii

n

i

n

ijj

jii

n

iii amrFrFr

11 11)( rrrrrr ⇒

⇒ ∑∑==

×⋅=×n

iiii

n

iii armFr

11)( rrrr

(5.5)

As equações (5.3) e (5.5) representam somente condições necessárias de equilíbrio, para as quais o efeito das forças internas, jiF

r, é nulo. Note-se porém, que

isto não significa que as forças internas não tenham efeito sobre as partículas do sistema. Por exemplo, as forças de atracção gravítica que o Sol e os planetas exercem entre si consideram-se internas relativamente ao sistema solar, e, por essa razão equipolentes a zero. No entanto, estas forças são as responsáveis pelo movimento dos planetas em redor do Sol.

Analogamente, não se pode concluir das duas equações referidas que dois sistemas de forças externas, que possuem a mesma resultante e o mesmo momento

resultante, produzem o mesmo efeito sobre um sistema de partículas.

Os dois sistemas mostrados na figura 5.3 têm a mesma resultante e o mesmo momento resultante;

Figura 5.3 – Sistemas de forças equivalentes.

O somatório de momentos de forças auto-equilibradas é nulo.

Capítulo 5

155

no entanto, o primeiro sistema acelera a partícula A e deixa intacta a partícula B, enquanto o segundo sistema acelera B e não afecta A.

5.3 CENTRO DE MASSA. TEOREMA DO CENTRO DE MASSA

A equação (5.3) pode escrever-se de outra forma se for considerado o centro de massa do sistema de partículas. Como já se viu no capítulo 3 (Geometria de Massas), o centro de massa do sistema é o ponto G definido pelo seguinte vector posição Gr

r :

– Sistema de partículas discreto,

⇒⋅⋅=⋅

== ∑∑

∑=

=

=n

iiin

ii

n

iii

GGGG rmMm

rmzyxr

1

1

1 1),,( rr

r

⋅=

⋅=

⋅=

⇒

∑

∑

∑

=

=

=

M

zmz

M

ymy

M

xmx

n

iii

G

n

iii

G

n

iii

G

1

1

1

(5.6)

Figura 5.4 – Centro de massa de um sistema discreto.

– Sistema de partículas contínuo,

⇒⋅=== ∫∫

∫M

M

MGGGG dmr

Mdm

dmrzyxr r

r

r 1),,(


156

=

=

=

⇒

∫

∫

∫

M

dmzz

M

dmyy

M

dmxx

MG

MG

MG

(5.7)

Figura 5.5 – Centro de massa de um sistema contínuo.

Apenas por simplicidade de notação serão inferidos os princípios da dinâmica a sistemas de partículas discretos, utilizando, por isso, a notação de somatório e não de integral. Portanto, o centro de massa é:

∑∑

=

= ⋅=⋅⇒⋅

=n

iiiG

n

iii

G rmrMM

rmr

1

1 rrr

r (5.8)

Derivando sucessivamente esta expressão em relação ao tempo, vem:

( ) ⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅ ∑∑==

n

i

ii

Gn

iiiG dt

rdmdtrdMrm

dtdrM

dtd

11

rrrr

∑=

⋅=⋅⇒n

iii

G vmdtrdM

1

rr

(5.9)

⇒⋅=⋅⇒

⋅=

⋅ ∑∑

==

n

i

ii

Gn

iii

G

dtvdm

dtrdMvm

dtd

dtrdM

dtd

12

2

1

rrr

r

∑=

⋅=⋅⇒n

iiiG amaM

1

rr (5.10)

como,

FFamn

ii

n

iii

rrr==⋅ ∑∑

== 11 (5.11)

então, substituindo em (5.10) vem:

GaMF rr⋅= (5.12)

Capítulo 5

157

A expressão (5.12) define o movimento do centro de massa G de um sistema de partículas, traduzindo assim o teorema do centro de massa:

“O centro de massa de um sistema de partículas desloca-se como se toda a massa do sistema e todas as forças externas estivessem concentradas nesse ponto”.

Este princípio pode ser melhor ilustrado pela análise do movimento de uma granada que entretanto explode. Sabe-se de antemão que, se a resistência do ar for desprezável, o movimento da granada segue uma trajectória parabólica. Após a granada ter explodido, o centro de massa G dos fragmentos resultantes continua a descrever a mesma trajectória. Na verdade, o ponto G deve mover-se como se a massa e o peso de todos os fragmentos estivessem aí concentrados; devem, por isso, deslocar-se como se a granada não tivesse explodido.

Do que foi referido, destacam-se três pontos que traduzem a importância do teorema do centro de massa:

1º Ponto) Redução do sistema de partículas a um único ponto

O teorema do centro de massa permite aplicar certas leis da mecânica quando se supõe o sistema de partículas com massa concentrada num único ponto – o centro de massa.

Por exemplo, se um sistema de partículas executa um movimento de translação, este pode ser caracterizado completamente pelo movimento de translação de um único ponto identificado com o centro de massa, com massa igual à massa total do sistema e movendo-se com velocidade e aceleração, Gvr e Gar , iguais às do centro de massa.

2º Ponto) Permite ignorar as forças interiores do sistema

O teorema do centro de massa torna possível desenvolver as equações de movimento do sistema de partículas ignorando ou desconhecendo as forças interiores ao sistema. Note-se que o seguinte duplo somatório é nulo:


158

01 1

rr=∑∑

=≠=

n

i

n

ijj

jiF (5.13)

Isto significa que as forças interiores ao sistema de partículas não influenciam o movimento do centro de massa, qualquer que seja o sistema.

No entanto, as forças interiores influenciam o movimento de cada partícula individualmente, conforme se infere do princípio das forças de D’Alembert, constituindo uma equação diferencial do movimento de cada partícula de massa mi. Veja-se, por exemplo, o movimento de uma granada que entretanto explode, como foi abordado anteriormente.

3º Ponto) Descrição do movimento numa perspectiva global

Como se verificou no 2º ponto, o movimento do centro de massa caracteriza o movimento do sistema de partículasnuma perspectiva global, isto é, no seu conjunto; mas não caracteriza o movimento do sistema de partículas no seu aspecto local.

Exemplo de aplicação

Capítulo 5

159

5.4 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA

Como se viu na expressão (5.12), e de acordo com o princípio da força de D’Alembert, o anulamento da resultante das forças exteriores aplicada ao ponto fictício de centro de massa do sistema de partículas garante apenas que o centro de massa está em equilíbrio. Mas para assegurar o equilíbrio de um sistema de partículas não basta que esteja em equilíbrio o seu ponto fictício, isto é, o centro de massa. Por isso é que a equação anterior constitui uma condição necessária de equilíbrio de um sistema de partículas, pois nem sempre quando é nula a resultante das forças exteriores o sistema estará em equilíbrio. É, então, necessário encontrar a equação suficiente de equilíbrio, recorrendo a outros conceitos e princípios de dinâmica do sistema de partículas.


160

O princípio de força de D’Alembert, na sua versão translação, pode ser expresso por:

amFFn

ii

rrr⋅== ∑

=1 (5.14)

Daqui se conclui que a massa de uma partícula é a constante de proporcionalidade entre a resultante das forças exteriores aplicadas numa direcção e a correspondente aceleração vectorial linear nessa direcção:

aFm = (5.15)

Assim se compreende a definição alternativa de massa como sendo uma característica da inércia da translação dos corpos.

Existe outra grandeza que caracteriza a inércia de rotação dos corpos. Como se sabe, a massa de um corpo e a posição do centro de massa não permitem, por si sós, descrever de maneira única a distribuição da massa do corpo.

Figura 5.6 – Distribuição da massa de diferentes corpos.

Como se verifica na figura 5.6, a localização do centro de massa é independente da localização e grandeza das massas parcelares, ou seja, é independente da distribuição das massas. É, por isso, necessário fazer intervir outro conceito que traduza a distribuição das massas do corpo. Este conceito tem em conta as características da rotação do sistema de partículas.

Figura 5.7 – Características de rotação de um sistema de partículas.

Capítulo 5

161

Como se viu, a massa m é definida como a seguinte constante de proporcionalidade:

aF

a

Fm

n

ii

==∑

=1 (5.16)

Se a massa se encontra em movimento de rotação, então verifica-se a seguinte relação para as componentes tangenciais:

t

t

aF

aFm == ; com Rat ⋅= α (5.17)

O momento, M F, da força F em relação ao eixo ∆ tem a grandeza da componente tangencial dessa força multiplicada pelo raio do círculo (dado que a componente normal não produz momento). Então, esse momento é igual a:

tF

tF FR

MRFM =⇒⋅= (5.18)

Considerando a expressão (5.17) e substituindo em (5.18) vem:

⇒⋅

=⇒⋅⋅

= 2RMm

RRMm FF

αα ∆=⋅= IRmM F 2

α (5.19)

Esta quantidade mecânica, identificada por I∆, é designada de momento de inércia de massa de uma partícula de massa m relativamente ao eixo ∆ e é dado pelo produto da massa pelo quadrado da distância da partícula a esse eixo.

Considerando as definições de momento de inércia abordadas no capítulo 3 sobre geometria de massas, define-se:

– Momento de inércia de massa de sistemas de partículas discretos

∑

∑

=∆∆

=∆

×⋅=

⋅=

n

iii

n

iii

urmI

dmI

1

2

1

2

ou

rr

(5.20)

Figura 5.8 – Momento de inércia de massa de um sistema discreto.

( )iiiii rurur θθ sensen ⋅=⋅⋅=× ∆∆

rrrrr1 di


162

– Momento de inércia de massa de sistemas de partículas contínuo

∫

∫

∆∆

∆

×=

=

M

M

dmurI

dmdI

2

2

ou

rr

(5.20)

Figura 5.9 – Momento de inércia de massa de um sistema contínuo.

5.5 RAIO DE GIRAÇÃO

O raio de giração, rG, representa uma distância fictícia (relativamente a um ponto, a um eixo ou a um plano) onde se poderia supor concentrada a massa total de um sistema de partículas, sem alterar o seu momento de inércia de massa (relativamente ao ponto, ao eixo ou ao plano).

Figura 5.10 – Raio de giração.

Para um sistema de partículas contínuo tem-se:

M

dmrrrMdmrI M

GGM

∫∫ =⇒⋅== ∆∆∆

2

22 )()( (5.21)

Enquanto que para um sistema de partículas discreto se tem:

M

dmrrMdmI

n

iii

GG

n

iii

∑∑ =

∆∆=

∆

⋅=⇒⋅=⋅= 1

2

2

1

2 )()( (5.22)

ou seja,

MIrG

∆∆ =)( (5.23)

Capítulo 5

163

Note-se que esta distância rG caracteriza não um único ponto, mas uma infinidade de pontos, situados sobre a superfície cilíndrica de eixo de revolução coincidente com o eixo ∆. Ou seja, existe simetria de revolução axial, esférica ou plana, em relação à caracterização do raio de giração, consoante o momento de inércia a que se refere seja relativamente a um ponto, eixo ou plano.

Nota: O raio de giração é o análogo mecânico do desvio padrão estatístico.

5.6 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS. TEOREMA DE STEINER

Como se viu no capítulo 3, uma vez conhecido o momento de inércia em relação a um eixo ∆, é possível obter rapidamente o momento de inércia relativamente a qualquer eixo ∆' paralelo ao anterior e que se situe à distância d, considerando o teorema dos eixos paralelos:

Figura 5.11 – Teorema dos eixos paralelos.

sendo ∫=∆M

dmlI 2 e ∫∫ +==∆MM

dmdldmlI 22' )(' (5.24)

então ∫∫∫ ⋅⋅++=∆MMM

dmlddmddmlI 222' (5.25)

ou seja, ∆∆∆ ⋅⋅+⋅+= SddMII 22' (5.26)

Quando o eixo ∆ é baricêntrico (∆≡∆G), o teorema dos eixos paralelos assume a versão do teorema de Steiner (S∆=0):

2' dMII ⋅+= ∆∆ (5.27)


164

5.7 QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE

PARTÍCULAS

A quantidade de movimento de um sistema de partículas corresponde à soma vectorial (ou integral, se o sistema for contínuo) das quantidades de movimento das partículas constituintes, ou das massas elementares em movimento.

Para sistemas de partículas discretos tem-se:

∑∑==

⋅==n

iii

n

ii tvmtptP

11)()()( rrr

(5.28)

Enquanto que para um sistema de partículas contínuo se tem:

∫∫ ==MP

dmtvpdtP )()( rrr (5.29)

Considerando a definição para sistemas de partículas discretos (o que vem a seguir também é válido para sistemas de partículas contínuos), então:

⋅=⋅=⋅= ∑∑∑

===

n

iii

n

i

ii

n

iii trm

dtd

dttrdmtvmtP

111)()()()( r

rrr

(5.30)

Tendo em conta a definição de centro de massa,

M

trmtr

n

iii

G

∑=

⋅= 1

)()(

rr (5.31)

Substituindo na expressão (5.30) vem:

[ ] )()()()()()(1

tvMdt

trdMtPMtrdtdtrm

dtdtP G

GG

n

iii

rrrrrr

⋅=⋅=⇒⋅=

⋅= ∑

=

(5.32)

ou seja,

)()()(1

tvMtvmtP G

n

iii

rrr⋅=⋅= ∑

= (5.33)

Esta expressão mostra que a quantidade de movimento de um sistema de partículas é a mesma que teria uma partícula única de massa igual à massa total,

Capítulo 5

165

localizada no centro de massa, e movendo-se com uma velocidade igual à do centro de massa.

Fica assim justificado que para o estudo da dinâmica de translação de sistemas de partículas rígidos quaisquer, poder-se-á substituir a dinâmica do todo, pela dinâmica do seu centro de massa, no qual se supõe concentrada a massa total.

5.8 TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA

DE PARTÍCULAS. PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Derivando a quantidade de movimento em ordem ao tempo vem:

∑∑∑===

⋅=⋅=

⋅=

n

iii

n

i

ii

n

iii tam

dttvdmtvm

dtd

dttPd

111)()()()( r

rr

r

(5.34)

como,

∑∑==

⋅==n

iii

n

ii tamFtF

11)()( rrr (5.35)

então, associando as expressões (5.34) e (5.35), vem:

)()( tFdt

tPd rr

= (5.36)

Esta expressão está associada ao teorema da quantidade de movimento.

Foi também já visto, na expressão (5.33), que a quantidade de movimento de movimento P

r e a velocidade associada ao centro de massa Gvr se encontram

relacionadas por )()( tvMtP Grr

⋅= . Assim, é possível também obter a seguinte relação:

[ ] )()()()( taMdt

tvdMtvMdtd

dttPd

GG

Gr

rr

r

⋅=⋅=⋅= (5.37)

Tendo em conta a expressão (5.36) e substituindo em (5.37), vem:


166

)(taMF Grr

⋅= (5.38)

sendo Fr

a resultante das forças aplicadas ao sistema de partículas.

Assim, de acordo com o teorema da quantidade de movimento, em qualquer instante, a derivada da quantidade de movimento total em ordem ao tempo é igual à resultante das forças exteriores actuantes nesse instante no sistema de partículas.

Se a resultante das forças exteriores for nula, isto é, se o sistema for isolado, ou não actuado por forças exteriores, então:

constante00)( =⇒=⇒= PdtPdtF

rrr

rr (5.39)

Isto traduz o princípio da conservação da quantidade de movimento, segundo o qual, num sistema isolado, a quantidade de movimento total permanece constante.

5.9 CHOQUE

5.9.1 Definição de choque

A colisão entre dois corpos que ocorre num intervalo de tempo muito curto, e durante o qual os corpos exercem entre si forças de interacção relativamente elevadas; é designado por choque.

Estas forças de interacção são forças interiores ao sistema de partículas e, sendo elevadas, significa que a elas vão estar associados grandes gradientes temporais de velocidades (porque o intervalo de tempo de choque é pequeno) o que significa variações apreciáveis das velocidades instantâneas, antes e após o choque. As leis da mecânica newtoniana permitem deduzir propriedades das trajectórias e das velocidades após o choque, conhecendo as suas características antes do choque, sem ser necessário conhecer as enormes forças de interacção.

A normal comum à superfície de contacto durante o choque designa-se linha de choque. Consoante as posições dos centros de massa dos dois corpos durante o choque, distingue-se os seguintes tipos de choques:

Capítulo 5

167

– Choque central: Os centros de massa dos corpos que colidem situam-se na linha de choque. Neste tipo de choque ainda se distinguem dois sub-tipos de choque:

• Choque directo ou frontal – As velocidades dos centros de massa dos corpos que colidem têm a direcção da linha de choque.

• Choque oblíquo – Pelo menos uma das velocidades dos centros de massa dos corpos que colidem não têm a direcção da linha de choque.

– Choque excêntrico: Se algum dos corpos, ou ambos, têm um centro de massa que, antes ou após o choque, não pertence à linha de choque, então o choque é excêntrico.

choque central directo choque central oblíquo choque excêntrico Figura 5.12 – Tipos de choque.

Neste capítulo só irão ser analisados os choques centrais.

5.9.2 Princípios da conservação aplicados ao choque central

No estudo do choque admite-se que os corpos antes e após o choque são rígidos e que o fenómeno de choque ocorre em dois períodos distintos:

– um período inicial de compressão desde o instante de contacto inicial pontual até ao instante de contacto máximo;

– um período final de restituição entre o instante de contacto máximo e o instante de contacto final (pontual).


168

Figura 5.13 – Fases de choque.

O objectivo do estudo do choque é determinar as velocidades após o choque, conhecidas as velocidades antes do choque.

Admite-se que o choque ocorre num plano horizontal no qual a energia potencial de posição é a mesma para todas as massas envolvidas. Admite-se ainda que, antes e após o choque, não são aplicadas aos corpos nenhumas forças exteriores (para além dos pesos verticais, os quais, como se sabe, não realizam trabalho no plano horizontal) nem mesmo eventuais atritos de contacto com as superfícies.

Na ausência de forças exteriores, as velocidades antes e após o choque serão forçosamente constantes, isto é, o movimento antes e após o choque será rectilíneo e uniforme (ou seja, movimento teórico correspondente a aceleração nula porque as forças exteriores são nulas).

Assim, o sistema “corpos em colisão” comporta-se antes e após o choque como um sistema isolado (isto é, sem forças exteriores aplicadas), relativamente ao qual são válidos os princípios da conservação da mecânica newtoniana, nomeadamente:

– princípio da conservação da quantidade de movimento;

– princípio da conservação da energia total (não apenas mecânica);

– princípio da conservação do momento cinético (o qual deverá ser aplicado no caso do choque excêntrico, que não irá ser estudado).

Capítulo 5

169

Neste capítulo limita-se o estudo do choque à aplicação dos dois primeiros princípios:

→ o princípio da conservação da quantidade de movimento que corresponde a uma equação vectorial no plano de choque:

finalou

choque do depois1inicialou choque do antes1

'

⋅=

⋅ ∑∑

==

n

iii

n

iii vmvm rr (5.40)

→ o princípio da conservação da energia total, que é um princípio escalar que traduz a conservação da energia total de todas as origens:

⇒= finalinicial EE

etc.) atrito, (calor, dissipadasou perdidas Energias++=+⇒ ffii UTUT (5.41)

Como se pressupõe que o choque se dá sobre um plano horizontal, então fi UU = , logo:

ETT fi ∆+= (5.42)

Consoante o valor da parcela de energia dissipada, ∆E, distingue-se:

– Choque elástico (ex.: bolas de bilhar) – A parcela de energia dissipada, ∆E, é nula. Isto é, não há dissipação de energia, logo, a energia cinética inicial antes do choque é elasticamente restituída pelo fenómeno do choque na cinética final das massas que colidiram.

– Choque inelástico ou dissipativo (ex.: colisão de automóveis) – A parcela de energia dissipada, ∆E, é não nula.

No choque elástico, os corpos mantêm invariável o seu estado físico, enquanto que no choque inelástico há alteração do estado físico, isto é, há deformação.

5.9.3 Choque central directo ou frontal

Considere-se as duas partículas A e B, com massas mA e mB, ilustradas na figura 5.14, que se deslocam na mesma linha recta e para a direita com velocidades

Avr e Bvr conhecidas.


170

Se a velocidade da partícula A for superior à velocidade da partícula B, a partícula A irá colidir com a partícula B. Sob o efeito do choque, as duas partículas deformar-se-ão e, no fim do período de deformação, elas possuirão a mesma velocidade ur . Seguidamente, tem lugar um período de restituição, no fim do qual, e dependendo da intensidade das forças de choque e dos materiais em jogo, as duas partículas recuperarão a sua forma original ou permanecerão deformadas.

Figura 5.14 – Choque frontal.

O objectivo é a determinação das velocidades Av 'r e Bv 'r das partículas no fim do período de restituição. Como não existem forças exteriores, a quantidade de movimento total das duas partículas mantém-se constante, logo:

BBAABBAA vmvmvmvm '' rrrr⋅+⋅=⋅+⋅ (5.43)

Uma vez que as velocidades estão dirigidas segundo o mesmo eixo (linha de choque), pode-se substituir a equação acima, considerando apenas as componentes escalares:

BBAABBAA vmvmvmvm '' ⋅+⋅=⋅+⋅ (5.44)

Para obter as velocidades Av 'r e Bv 'r torna-se necessário estabelecer uma segunda relação entre as componentes escalares Av' e Bv' . Com este propósito considere-se agora o princípio da conservação da energia total:

ETT fi ∆+= ⇒

Evmvmvmvm BBAABBAA ∆+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ 2222 '21'

21

21

21 ⇒

( ) ( ) Evvmvvm BBBAAA ∆⋅+−⋅=−⋅ 2'' 2222 ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) Evvvvmvvvvm BBBBBAAAAA ∆⋅++⋅−⋅=+⋅−⋅ 2'''' (5.45)

Capítulo 5

171

Aplicando nesta expressão o princípio da conservação da quantidade de movimento, ( ) ( )BBBAAA vvmvvm −⋅=−⋅ '' , vem:

( ) ( )BBBAAABBAA vvmvvmEvvvv −⋅=−⋅=∆⋅

++=+ '';2'' αα

( ) ⇒=−⋅

∆⋅−=

−− e

vvE

vvvv

BABA

AB

α21''

( )BAAB vvevv −⋅=− '' (5.46)

Nesta expressão e designa o coeficiente de restituição. Uma vez que AB vv '' − representa a velocidade relativa das duas partículas depois do choque, e ( )BA vv − representa a velocidade relativa das duas partículas antes do choque. A expressão anterior significa que: “a velocidade relativa das duas partículas depois do choque pode obter-se pela multiplicação da velocidade relativa antes do choque pelo coeficiente de restituição”.

Assim, a velocidade das duas partículas depois do choque pode obter-se pela resolução das equações (5.44) e (5.46).

Como se pode verificar, o coeficiente de restituição, e, toma um valor qualquer entre [0, 1]. Existem três casos conceptualmente distintos de choque frontal correspondentes aos seguintes valores do coeficiente de restituição:

→ e = 1 → choque elástico

→ e = 0 → choque plástico

→ 0 < e < 1 → choque inelástico

Existem dois casos particulares de choque frontal com interesse especial:

1. e = 0, choque frontal plástico

Quando e = 0, resulta que AB vv '' rr= , isto é, significa que as massas, após

o choque, se deformam e seguem juntas, com uma velocidade determinada pela equação:

( ) BABABBAA vvvvmmvmvm ''';' ==⋅+=⋅+⋅ (5.47)


172

2. e = 1, choque frontal elástico

Quando e = 1, resulta que:

BBAABAAB vvvvvvvv '''' +=+⇒−=− (5.48)

isto significa que as velocidades relativas antes e depois do choque são iguais, ou seja, a velocidade de aproximação é igual à velocidade de afastamento entre as duas massas.

Considerando o princípio da conservação da quantidade de movimento:

)'()'( BBBAAA vvmvvm −⋅=−⋅ (5.49)

e tendo em conta a expressão (5.48), vem:

⇒+⋅−⋅=+⋅−⋅ )'()'()'()'( BBBBBAAAAA vvvvmvvvvm

2)por (dividindo2222 '' ⇒⋅−⋅=⋅−⋅⇒ BBBBAAAA vmvmvmvm

⇒ 2222 '21'

21

21

21

BBAABBAA vmvmvmvm ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ (5.50)

Que traduz a conservação da energia cinética total das partículas.

5.9.4 Choque central oblíquo

Considere-se duas partículas que colidem e cujas velocidades não estão dirigidas segundo a linha de choque. Está-se, por isso, na presença de choque oblíquo.

Considera-se ainda que são conhecidas as velocidades, vA e vB, antes do choque e as respectivas inclinações αA e αB em relação à linha de choque. Desconhecem-se as velocidades, v'A e v'B, tanto em direcção, α'A e α'B, como em grandeza, após o choque.

Figura 5.15 – Choque central oblíquo.

Capítulo 5

173

Assim, o problema associado ao estudo do choque central oblíquo consiste em determinar v' A, v' B, α' A e α' B, uma vez conhecidos v A, v B, α A e α B.

Tem-se assim quatro incógnitas, sendo, por isso, necessário estabelecer quatro equações independentes para determinar essas incógnitas. No entanto, os princípios de conservação (da quantidade de movimento e da energia total) só permitem estabelecer as seguintes três equações (considerando os eixos coordenados segundo n e t):

– Aplicação do princípio de conservação da quantidade de movimento

BBAABBAA vmvmvmvm '' rrrr⋅+⋅=⋅+⋅ ⇒

+=+

+−=−

→

→

BBBAAABBBAAA

BBBAAABBBAAA

vmvmvmvm

vmvmvmvm

t

n

'sen''sen'sensen

'cos''cos'coscos

direcção na

direcção na

αααα

αααα

rr

rr

(5.51)

– Aplicação do princípio de conservação da energia total

ETTTT BABA ∆++=+ '' ⇒

⇒ Evmvmvmvm BBAABBAA ∆⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 2'' 2222 (5.52)

Portanto, as três equações são:

∆⋅+⋅+⋅=⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅

Evmvmvmvm

vmvmvmvm

vmvmvmvm

BBAABBAA

BBBAAABBBAAA

BBBAAABBBAAA

2''

'sen''sen'sensen

'cos''cos'coscos

2222

αααα

αααα

rr

rr

(5.53)

Verifica-se assim que o sistema é indeterminado, sendo resolúvel em casos particulares mediante a introdução ou conhecimento de algumas características adicionais.


174

1º caso) As superfícies de contacto são perfeitamente lisas e sem atrito

Figura 5.16 – Choque oblíquo com superfícies de contacto lisas e sem atrito.

Na hipótese da superfície de contacto ser perfeitamente lisa e sem atrito, verifica-se que as forças de interacção entre as partículas são dirigidas ao longo da direcção normal à superfície de contacto (isto é, à linha de choque), ou seja, segundo o eixo n. Conclui-se então que:

1. As forças de interacção não têm componente segundo t, logo não há gradientes temporais da velocidade segundo este eixo, isto é, as componentes de velocidade segundo a direcção t não se alteram, ou seja:

⋅=⋅

⋅=⋅⇒

=

=

BBBB

AAAA

tBtB

tAtA

vv

vv

vv

vv

'sen'sen

'sen'sen

)'()(

)'()(

αα

αα (5.54)

2. Ao longo do eixo n, a componente da quantidade de movimento total das duas partículas mantêm-se constantes (princípio da conservação da quantidade de movimento):

BBBAAABBBAAA vmvmvmvm 'cos''cos'coscos αααα rr+−=− (5.55)

3. Pelo princípio da conservação da energia total vem que:

[ ]nBnAnAnB vvevv )()()'()'( −⋅=− (5.56)

As expressões (5.54), (5.55) e (5.56) constituem as quatro equações resolventes deste choque oblíquo.

Capítulo 5

175

2º caso) Choque oblíquo de corpos de massas iguais

Considerando que as duas partículas têm um choque oblíquo e que têm massas iguais a m, então as três equações resultantes dos princípios de conservação vêm:

∆+=

⋅=⋅

⋅=⋅

∑∑

∑∑

==

==

ETT

vmvm

vmvm

fi

n

itii

n

itii

n

inii

n

inii

11

11

)'()(

)'()(

⇒

⇒

( )

−⋅=−

⋅+⋅=⋅+⋅

⋅+⋅−=⋅−⋅

BAAB

BBAABBAA

BBAABBAA

vvevv

vvvv

vvvv

''

'sen''sen'sensen

'cos''cos'coscos

αααα

αααα

rr

rr

(5.57)

Quadrando e somando os dois membros das duas primeiras equações vem:

⇒⋅+⋅+⋅+⋅−=

=⋅+⋅+⋅−⋅

22

22

)'sen''sen'()'cos''cos'(

)sensen()coscos(

BBAABBAA

BBAABBAA

vvvv

vvvv

αααα

ααααrrrr

⇒⋅−⋅⋅⋅⋅+

++⋅++⋅

=⋅−⋅⋅⋅⋅+

++⋅++⋅

)'cos'cos'sen'sen(''2

)'cos'sen(')'cos'sen('

)coscossensen(2

)cossen()cossen(

222222

222222

BABABA

BBBAAA

BABABA

BBBAAA

vv

vv

vv

vv

αααα

αααα

αααα

αααα

)''cos(''2''

)cos(2

22

22

BABABA

BABABA

vvvv

vvvv

αα

αα

+⋅⋅⋅++

=+⋅⋅⋅++⇒ (5.58)

Tendo em conta que a terceira equação resolvente pode ser escrita como:

m

Evvvv BABA∆⋅

++=+2'' 2222 (5.59)


176

Comparando com a equação anterior vem:

m

Evvvv BABABABA∆⋅

=+⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅2)''cos(''2)cos(2 αααα (5.60)

Esta equação forma, conjuntamente com as três equações resolventes anteriores, um sistema determinável para as quatro incógnitas pretendidas. Note-se que esta condição adicional é de origem trigonométrica.

Exemplos de aplicação

Exemplo 1

Capítulo 5

177

Exemplo 2

Exemplo 3


178

Capítulo 5

179

5.10 SISTEMAS MATERIAIS DE MASSA VARIÁVEL

Nos sistemas de partículas até agora estudados tem-se admitido que a massa total do sistema permanece invariável no tempo. Existem, contudo, numerosas aplicações da mecânica newtoniana (não relativista) de sistemas de partículas de massas variáveis no tempo. É o caso do estudo da dinâmica de comboios com entrada e saída de passageiros, propulsão de foguetões, veículos, etc..

Assim, nesta secção serão analisados sistemas de partículas que, durante o seu movimento, ganham massa pela absorção contínua de partículas ou perdem massa pela expulsão contínua das mesmas.

Em qualquer dos casos, sistemas com ganho ou perda de massa, aplicar-se-á o teorema da quantidade de movimento na sua versão de teorema do impulso, segundo o qual o impulso total de todas as forças exteriores aplicadas ao sistema de partículas num certo intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento do sistema de partículas nesse intervalo de tempo.

5.10.1 Sistemas materiais com absorção de massa

Considere-se o sistema mostrado na figura 5.17. A sua massa, igual a m no instante t, aumenta ∆m no intervalo de tempo ∆t. A velocidade do sistema no instante t representa-se por vr , a velocidade desse sistema no instante t+∆t por vv rr

∆+ e a velocidade das partículas absorvidas por absvr . De modo a ser possível aplicar-se o princípio do impulso e da quantidade de movimento ao sistema em estudo, deve considerar-se no instante t o sistema inicial mais as partículas de massa ∆m, que são absorvidas pelo sistema durante o intervalo de tempo ∆t.

Figura 5.17 – Sistema com absorção de massa.

A quantidade de movimento no instante t é:

)()()( tvmtvmtp absrrr

⋅∆+⋅= (5.61)


180

enquanto que no instante t+∆t é:

[ ]( )ttt

vtvmmttp∆+

∆+⋅∆+=∆+,

)()()( rrr (5.62)

Aplicando o teorema do impulso entre os instantes t e t+∆t, vem:

[ ] )()()(1

, tpttpdttFIn

i

tt

tittt

rrrr−∆+== ∑ ∫

=

∆+

∆+ (5.63)

para valores de ∆t pequenos, tem-se:

ttFdttF i

tt

ti ∆⋅≅∫

∆+

)()(rr

(5.64)

substituindo na equação (5.63) vem:

)()()(1

tpttpttFn

ii

rrr−∆+=∆⋅∑

=

(5.65)

como,

)()()( vvmmttp rrr∆+⋅∆+=∆+ (5.66)

absvmvmtp rrr⋅∆+⋅=)( (5.67)

substituindo as expressões (5.66) e (5.67) em (5.65) fica:

)()()(1

abs

n

ii vmvmvvmmtF rrrrr

⋅∆+⋅−∆+⋅∆+=∆⋅∑=

⇒

⇒ abs

n

ii vmvmvmvmvmvmtF rrrrrrr

⋅∆−⋅−∆⋅∆+⋅∆+∆⋅+⋅=∆⋅∑=1

⇒

⇒ vmvvmvmtF abs

n

ii

rrrrr∆⋅∆+−⋅∆+∆⋅=∆⋅∑

=

)(1

(5.68)

Introduzindo a velocidade relativa das partículas que são absorvidas:

vvv absrrrr

−= (5.69)

e desprezando o último termo da equação (5.68), vm r∆⋅∆ , que é de segunda ordem,

vem:

Capítulo 5

181

r

n

ii vmvmtF rrr

⋅∆−∆⋅=∆⋅∑=1

(5.70)

Dividindo por ∆t e, depois, fazendo ∆t tender para zero, tem-se no limite:

⋅

∆∆

−∆∆

⋅=→∆=

∑ rt

n

ii v

tm

tvmF rrr

01lim ⇒

⇒ r

n

ii v

dtdm

dtvdmF rrr

⋅−⋅=∑=1

⇒

⇒ amvdtdmF r

n

ii

rrr⋅=⋅+∑

=1 (5.71)

Esta expressão mostra que o efeito da absorção de massa é equivalente à actuação de uma força igual a rvdtdm r

⋅ com sentido contrário ao do movimento. Ou seja, a força devida à absorção de massa tende a reduzir a velocidade do sistema. Uma vez que:

vvvvv absrabsrrrrr

−=⇒< (5.72)

então a velocidade relativa das partículas a absorver tem sentido contrário à velocidade do sistema. Por isso, a força adicional rvdtdm r

⋅ conduz à redução da velocidade do sistema.

5.10.2 Sistemas materiais com perda de massa

As equações obtidas no ponto anterior podem também utilizar-se para determinar o movimento de um sistema com perda massa. Neste caso, o caudal mássico e a acção, sobre o sistema das partículas que são expelidas são equivalentes à força de “propulsão” com sentido do movimento, oposto àquele em que as partículas são expelidas. Um foguete representa um caso típico de um sistema que perde continuamente massa.

Assim, neste caso tem-se, respectivamente, as seguintes quantidades de movimento nos instantes t e t+∆t:

vmmtp rr⋅∆+= )()( (5.73)

absvmvvmttp rrrr⋅∆+∆+⋅=∆+ )()( (5.74)


182

substituindo as expressões (5.73) e (5.74) em (5.65) fica:

vmmvmvvmtpttptF abs

n

ii

rrrrrrr⋅∆+−⋅∆+∆+⋅=−∆+=∆⋅∑

=

)()()()(1

⇒

⇒ vmvmvmvmvmtF abs

n

ii

rrrrrr⋅∆−⋅−⋅∆+∆⋅+⋅=∆⋅∑

=1 ⇒

⇒ )(1

vvmvmtF abs

n

ii

rrrr−⋅∆+∆⋅=∆⋅∑

=

(5.75)

Considerando a definição de velocidade relativa das partículas que são expulsas, ver expressão (5.69), e dividindo por ∆t, fazendo depois ∆t tender para zero, tem-se no limite:

⋅

∆∆

+∆∆

⋅=→∆=

∑ rt

n

ii v

tm

tvmF rrr

01lim ⇒

⇒ r

n

ii v

dtdm

dtvdmF rrr

⋅+⋅=∑=1

⇒

⇒ amvdtdmF r

n

ii

rrr⋅=⋅−∑

=1 (5.76)

A expressão (5.76) mostra que o efeito da perda de massa é equivalente à actuação de uma força igual a rvdtdm r

⋅ com o mesmo sentido do movimento.


Capítulo 5

183


184

5.11 MOMENTO CINÉTICO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

MATERIAIS

5.11.1 Definição

O momento cinético de um sistema de partículas materiais em qualquer ponto fixo do espaço é a soma vectorial dos momentos cinéticos nesse ponto de todas as partículas ou massas elementares do sistema nesse instante.

Considerando o ponto fixo identificado por O, tem-se:

– para sistemas discretos:

∑∑∑===

×⋅=×==n

iiii

n

iii

n

iiOO vrmprtHtH

111, )()( rrrrrr

(5.77)

– para sistemas contínuos:

∫∫ ×=×=MP

O dmvrpdrtH rrrrr

r)( (5.78)

5.11.2 Teorema da composição do momento cinético

Considere-se um referencial absoluto em relação ao qual se estuda a dinâmica de um sistema de partículas discreto, e um referencial baricêntrico Gx'y'z' em translação em relação ao referencial absoluto.

O vector posição irr pode ser expresso pela

seguinte soma vectorial: Figura 5.18 – Composição do momento cinético.

)(')()( trtrtr iGirrr

+= (5.79)

em que, Grr é o vector posição do centro de massa e ir 'r é o vector posição da

partícula i em relação ao referencial baricêntrico Gx'y'z'.

Derivando o vector posição irr em ordem ao tempo:

Capítulo 5

185

dtrd

dtrd

dtrd iGi 'rrr

+= ⇒ iGi vvv 'rrr+= (5.80)

onde,

dtrdv G

G

rr

= → é a velocidade do centro de massa em relação ao referencial absoluto newtoniano. Como o sistema de partículas é rígido, é igual à velocidade de qualquer dos seus pontos se o sistema apenas possuísse movimento de translação.

dtrdv i

i''r

r= → é a velocidade da partícula i em relação a um referencial

baricêntrico.

A expressão (5.80) caracteriza instantaneamente o teorema da composição das velocidades, já referido na cinemática de sistemas de partículas, segundo o qual em qualquer instante a velocidade ivr de qualquer partícula i de um sistema de partículas em movimento é a soma vectorial instantânea das suas velocidades vectoriais e instantâneas de transporte (traduzida por Gvr ) e relativa (traduzida por

iv 'r ).

Retomando a definição do momento cinético:

∑=

×⋅=n

iiiiO vrmtH

1)( rrr

(5.81)

ele pode ser escrito, atendendo às (5.79) e (5.80), por:

∑=

+×+⋅=n

iiGiGiO vvrrmtH

1)'()'()( rrrrr ⇒

⇒ ∑∑∑∑====

×⋅+×⋅+×⋅+×⋅=n

iiii

n

iiGi

n

iGii

n

iGGiO vrmvrmvrmvrmtH

1111'''')( rrrrrrrrr

(5.82)

(1) – GG

n

iiGG

n

iGGi vrMmvrvrm rrrrrr

×⋅=⋅×=×⋅ ∑∑== 11

)(

(2) – O centro de massa em relação a um referencial baricêntrico tem coordenadas nulas e é traduzido por:

(1) (2) (3) (4)


186

0'0'

1

1rrr

rr

=⋅⇒=⋅

= ∑∑

=

=n

iii

n

iii

G rmM

rmr

logo 00'1

rrrrr=×=×⋅∑

=GG

n

iii vvrm , ou seja, o segundo termo da soma é nulo.

(3) – ⇒

=⋅⇒=

⋅⇒=⋅

⋅×=⋅×=×⋅

∑∑∑

∑∑∑

===

===

n

i

iiiiii

n

i

iiG

n

iiiG

n

iiGi

dtrdmrm

dtdrm

dtrdmrvmrvrm

1

n

1i

n

1i

111

0'0'0' viu,se como

'''

rrrrrr

rrrrrr

⇒ 0'1

rrr=×⋅∑

=i

n

iGi vrm , portanto também o terceiro termo da soma é nulo.

(4) – G

n

iiii Hvrm

rrr=×⋅∑

=1'' , ou seja, corresponde ao momento cinético em relação ao

centro de massa.

Portanto, o momento cinético em relação ao ponto O pode ser obtido a partir do momento cinético em relação ao centro de massa, pela seguinte expressão:

)()()()()()( , tvtrMtHtHtHtH GGGGOGOrrrrrr

×⋅+=+= (5.83)

Esta expressão traduz o teorema da composição do momento cinético, segundo o qual, em qualquer instante o momento cinético de um sistema de partículas num ponto fixo qualquer O é igual à soma vectorial do momento cinético do sistema em relação ao centro de massa, GH

r, com o momento cinético em relação ao ponto fixo

de uma partícula de massa igual à massa total M do sistema, localizada no centro de massa e movendo-se com uma velocidade igual à velocidade do centro de massa.

5.11.3 Teorema do momento cinético

Considerando o sistema de partículas definido no ponto anterior e a definição do momento cinético,

∑=

×⋅=n

iiiiO vrmtH

1)( rrr

(5.84)

Capítulo 5

187

derivando em ordem ao tempo vem:

( )

∑

∑∑

=

==

×+×=

=×=

×⋅=

n

i

ii

i

n

iii

n

iiii

O

dtpdrp

dtrd

prdtdvrm

dtd

dtHd

1

11

rrr

r

rrrrr

(5.85)

(1) – os vectores dtrd ir e ipr são colineares, por isso, o seu produto vectorial é

nulo;

(2) – de acordo com a segunda lei de Newton, dtpdF iirr

=

então:

∑=

×=n

iii

O FrdtHd

1

rrr

(5.86)

Esta expressão traduz o teorema do momento cinético, segundo o qual, em qualquer instante a derivada do momento cinético de um sistema de partículas em relação a qualquer ponto fixo O é igual à soma vectorial dos momentos, nesse ponto, de todas as forças exteriores aplicadas ao sistema nesse instante, ou seja, é igual ao momento no ponto fixo do torsor das forças exteriores aplicadas ao sistema de partículas nesse instante.

5.11.4 Princípio da conservação do momento cinético

Num sistema isolado, isto é, se não houverem forças exteriores aplicadas, então a derivada do momento cinético em qualquer ponto e em qualquer instante é nula.

⇒=×=⇒= ∑=

000 Se1

rrrr

rr n

ii

Oi r

dtHdF

constante0 Se =⇒= Oi HFrrr

(5.87)

(1) (2)


188

Isto traduz o princípio da conservação do momento cinético, segundo o qual, num sistema isolado (não actuado por forças exteriores) o momento cinético do sistema calculado em qualquer ponto do espaço permanece constante no tempo.

A esta invariabilidade temporal do momento cinético em sistemas isolados poderá estar associado um valor constante diferente de zero. A estas duas hipóteses correspondem duas situações distintas de movimento de um sistema de partículas, conforme se verá a seguir.

5.12 CONDIÇÕES GERAIS DE EQUILÍBRIO DE UM SISTEMA DE

PARTÍCULAS

Nos sub-capítulos anteriores viu-se que se for nula a resultante das forças exteriores aplicadas a um sistema de partículas, o seu movimento será tal que o centro de massa estará em equilíbrio.

Como se viu, pelo teorema do centro de massa tem-se:

G

n

ii aMFtF rrr

⋅== ∑=1

)( (5.88)

Se 0rr

=F ⇒ 0rr

=Ga , então:

– o centro de massa está em repouso; ou,

– o centro de massa tem um movimento rectilíneo e uniforme.

Tal como foi referido anteriormente, a equação

01

rrr=⋅=∑

=G

n

ii aMF (5.89)

representa apenas uma condição necessária de equilíbrio de um sistema de partículas, pois que do anulamento das forças exteriores (ou da sua resultante) apenas fica assegurado o equilíbrio do ponto fictício centro de massa.

Capítulo 5

189

Note-se que o centro de massa, G, poderá estar em equilíbrio sem que o sistema de partículas esteja em equilíbrio, pois ele poderá ter ainda movimento de rotação em torno de qualquer eixo que passa pelo centro de massa.

Por definição de equilíbrio, é condição necessária e suficiente para que um sistema de partículas materiais esteja em equilíbrio, que todas as partes constituintes (ou seja, todas as partículas) estejam em equilíbrio. Portanto, a condição necessária e suficiente de equilíbrio implica que todas as partículas estejam em repouso ou em movimento rectilíneo e uniforme.

Portanto, um sistema está em equilíbrio nas seguintes duas situações:

1ª) Todas as partículas estão em repouso:

– condição necessária de equilíbrio:

0001

rrrrrrrr=⋅==⇒=⇒=∀ ∑

=G

n

iiii aMFFavi (5.90)

– condição suficiente de equilíbrio:

0)(

00)(0

1

11

rrrr

rrrrrrrr

=×=⇒

⇒=×⋅=×⋅=⇒=∀

∑

∑∑

=

==

n

iii

O

n

iii

n

iiiiOi

Frdt

tHd

rmvrmtHvi

(5.91)

2ª) Todas as partículas estão em movimento rectilíneo e uniforme:

– condição necessária de equilíbrio:

0001

rrrrrrrr=⋅==⇒=⇒=∀ ∑

=G

n

iiii aMFFavi (5.92)

– condição suficiente de equilíbrio:

0)(constante)(01

rr

rrrrr=⇒=×⋅=⇒=∀ ∑

= dttHdvrmtHvi O

n

iiiiOi (5.93)


190

Em resumo:

→ 0rrr

=⋅= GaMF – representa a condição necessária de equilíbrio e significa ausência de translação do centro de massa, isto é, o centro de massa está em equilíbrio.

→ 0)(1

rrrr

=×= ∑=

n

iii

O Frdt

tHd –

representa a condição suficiente de equilíbrio e significa ausência de rotação do sistema de partículas materiais em torno de qualquer ponto O.

5.13 ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

A energia cinética T de um sistema de partículas define-se como a soma das energias cinéticas das várias partículas do sistema:

∑=

⋅⋅=n

iii vmT

1

2

21

(5.94)

Figura 5.19 – Energia cinética de um sistema de partículas.

Para o cálculo da energia cinética de um sistema compreendendo um vasto número de partículas (como é o caso de um corpo rígido) torna-se, muitas vezes, conveniente considerar o movimento do centro de massa, G, do sistema separadamente do movimento relativo ao sistema de referência (baricêntrico) ligado a G.

Conforme se viu na secção 5.11.2, a velocidade ivr da partícula Pi relativamente a um referencial newtoniano Oxyz, pode ser obtido pela soma vectorial da velocidade de translação Gvr do centro de massa do sistema e da velocidade iv 'r relativamente ao referencial baricêntrico Gx'y'z':

iGi vvv 'rrr+= (5.95)

Atendendo a que iii vvv rr⋅=2 , então:

Capítulo 5

191

⇒⋅⋅⋅= ∑=

n

iiii vvmT

1)(

21 rr

⇒+⋅+⋅⋅=⇒ ∑=

n

iiGiGi vvvvmT

1)'()'(

21 rrrr

∑∑∑===

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⇒n

iii

n

iiGi

n

iGi vmvvmvmT

1

2

11

2 '21'2

21

21 rrr (5.96)

Como,

∑∑==

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅n

iiiG

n

iiGi vmvvvm

11''2

21 rrrr (5.97)

mas,

2

1'' G

n

iii vMvm rr

⋅=⋅∑=

(5.98)

em que Gv 'r é a velocidade de G relativamente ao referencial baricêntrico Gx'y'z', que é nula (a velocidade relativa de G em relação ao referencial que se move com velocidade Gvr é nula). Logo,

00''11

=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ∑∑==

rrrrrrG

n

iiiG

n

iiGi vvmvvvm (5.99)

então a energia cinética, definida na expressão (5.96), vem:

⇒⋅⋅+⋅⋅= ∑∑==

n

iii

n

iiG vmmvT

1

2

1

2 '21

21 r

⇒ ∑=

⋅⋅+⋅⋅=n

iiiG vmvMT

1

22 '21

21 r

(5.100)

Esta equação mostra que a energia cinética T de um sistema de partículas pode obter-se adicionando a energia cinética do centro de massa G (supondo que toda a massa está concentrada em G) com a energia cinética do sistema durante o seu movimento em relação ao referencial baricêntrico Gx'y'z'.


192

5.13.1 Energia cinética de um sistema de partículas contínuo

A equação (5.100) traduz a energia cinética de um sistema de partículas. No entanto, para sistemas contínuos, a energia cinética é traduzida por uma expressão alternativa que resulta da interpretação da velocidade relativa iv 'r .

Tratando-se de um sistema em que as partículas estão rigidamente ligadas entre si, a velocidade relativa da partícula Pi pode ser obtida pelo seguinte produto vectorial:

Figura 5.20 – Energia cinética de um sistema contínuo.

ii

i rdtrdv ''' rrr

r×== ω (5.101)

em que ir 'r é o vector posição em relação ao referencial baricêntrico, com grandeza constante, porque o sistema é rígido. Logo, atendendo à equivalência entre os operadores matemático dtd e mecânico ×ωv , quando aplicados a um vector variável no tempo mas de grandeza constante, a igualdade definida em (5.101) é válida.

Desta forma, a energia cinética do sistema pode ser obtida considerando a segunda parcela da soma definida na expressão (5.100) como sendo a energia cinética devida ao movimento em relação ao referencial baricêntrico, definida por:

=×⋅×⋅⋅=⋅⋅ ∑∑==

n

iiii

n

iii rrmvm

11

2 )'()'(21'

21 rrrrr ωω

=×⋅⋅×⋅⋅⋅= ∑=

n

iiii rurum

1)'()'(

21 rrrr ωω

∑=

×⋅×⋅⋅⋅=n

iiii rurum

1

2 )'()'(21 rrrrω

∑=

⋅⋅⋅=n

iGi i

dm1

22

21 ω (5.102)

222 ')'(iGii druru =×=×

rrrr

Capítulo 5

193

como o momento de inércia de massa em relação ao eixo baricêntrico ∆G é dado por:

∑=

∆ ⋅=n

iGi iG

dmI1

2 (5.103)

substituindo na expressão (5.102) vem:

2

1

2

21'

21 ω⋅⋅=⋅⋅ ∆

=∑ G

Ivmn

iii

r (5.104)

Portanto, a energia cinética de um sistema de partículas rigidamente ligadas entre si pode ser definida como:

)(21)(

21)( 22 tItvMtT

GG ω⋅⋅+⋅⋅= ∆ (5.105)

em que,

)(21 2 tvM G⋅⋅ → corresponde à energia cinética de translação do sistema de

partículas, isto é, identifica-se com a energia cinética do seu centro de massa.

)(21 2 tI

Gω⋅⋅ ∆ → corresponde à energia cinética de rotação do sistema de

partículas em relação a um eixo baricêntrico ∆G relativamente ao qual o sistema roda instantaneamente com velocidade angular ω(t).

5.14 TEOREMA DAS FORÇAS VIVAS OU TEOREMA DA VARIAÇÃO

DA ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

No capítulo 4, dinâmica das partículas, viu-se que, de acordo com o teorema das forças vivas, o trabalho realizado pela força iF

r, aplicada à massa mi, para

deslocar do ponto A para o ponto B, é igual à variação da energia cinética da partícula:

( ) ( ) ( )iAiB

B

Aii

BA TTrdFW −=⋅= ∫

rr (5.106)


194

Num sistema de partículas materiais, este princípio pode aplicar-se a cada partícula Pi do sistema, em que ( )i

BAW representa o trabalho realizado pelas forças

internas jifr

e pela resultante das forças externas iFr

que actuam sobre Pi.

Adicionando as energias cinéticas das várias partículas do sistema e considerando o trabalho de todas as forças envolvidas, pode aplicar-se a equação (5.106) a todo o sistema:

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−=⋅== ∑∑∑∫∑====

n

iiA

n

iiB

n

i

B

Ai

n

ii

BAsistema

BA TTrdFWW

1111

rr

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−=−=+⇒ ∑∑==

AB

n

iiA

n

iiB

BAext

BA TTTTWW

11.int.

⇒ ( ) ( ) ABB

AextB

A TTWW −=+ .int. (5.107)

em que,

( ) .extB

AW – trabalho realizado pelas forças exteriores;

( )intB

AW – trabalho realizado pelas forças interiores.

Na mecânica dos corpos rígidos (sólidos indeformáveis), as partículas não se deslocam entre si, logo as forças interiores, jif

r e ijf

r, não realizam trabalho,

portanto, o trabalho realizado pelas forças interiores, ( )intB

AW , é nulo:

Corpos indeformáveis: ( ) ABextB

A TTW −=. (5.108)


Capítulo 5

195


196

5.15 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO

DE UM EIXO FIXO

Quando um corpo rígido é obrigado a rodar em torno de um ponto fixo O, é preferível escrever uma equação que envolva os momentos, em relação a O, das forças aplicadas, uma vez que esta equação não conterá a reacção desconhecida existente em O.

Recorde-se que, de acordo com o teorema do momento cinético (ver 5.11.3), o momento no ponto fixo O do torsor das forças exteriores aplicadas ao sistema num dado instante é igual à derivada temporal do momento cinético:

)()()()(1

tMtFtrdt

tHdO

n

iii

Orrr

r

=×= ∑=

(5.109)

onde )(tM O

r é o momento axial no ponto O devido ao torsor resultante das forças

exteriores aplicadas.

Neste sub-capítulo serão definidas as equações de equilíbrio de um corpo rígido com movimento de rotação em torno de um eixo fixo, tendo em conta o conceito de momento axial de um torsor e a determinação da sua energia cinética.

5.15.1 Movimento de rotação em torno de um eixo fixo qualquer

Considere-se um corpo indeformável efectuando um movimento de rotação em torno de um eixo ∆ que passa pelo ponto O.

Sendo ∆ o eixo de rotação, então qualquer ponto que se encontre sobre esse eixo terá velocidade nula:

∆∈∀= OvO ;0rr (5.110)

Figura 5.21 – Rotação em torno de um eixo qualquer.

A velocidade em qualquer ponto do corpo fora do eixo de rotação pode ser obtida em função da velocidade angular dada por:

Capítulo 5

197

OtPtrtrttv iiii −=×= )()(;)()()( rrrr ω (5.111)

O momento cinético, OHr

, em relação ao ponto fixo O será:

⇒×⋅== ∑∑==

n

iiii

n

iiOO tvtrmtHtH

11, )()()()( rrrr

( ) )(1

∆=

⋅=⇒××⋅=⇒ ∑ urrmHn

iiiiO

rrrrrrωωω

( )∑=

∆ ××⋅⋅=⇒n

iiiiO rurmH

1

rrrrω (5.112)

Projectando o vector momento cinético OHr

na direcção do eixo de rotação vem:

( ) ∆=

∆∆∆ ⋅

××⋅⋅=⋅= ∑ ururmuHH

n

iiiiO

rrrrrr

1ω

)( BACCBArrrrrr

⋅×=⋅× → ( ) ⇒×⋅×⋅⋅= ∑=

∆∆∆

n

iiii rurumH

1

rrrrω

( )∑=

∆∆ ×⋅⋅=⇒n

iii rumH

1

2rrω (5.113)

como,

iiiiii drruru =⋅⋅=⋅⋅=× ∆∆ αα sen1senrrrr (5.114)

em que di é a distância da partícula Pi ao eixo ∆. Figura 5.22 – Distância da partícula

Pi ao eixo ∆.

então,

( ) 22ii dru =×∆

rr (5.115)

logo, substituindo em (5.113) vem:

∑=

∆ ⋅⋅=n

iii dmH

1

2ω (5.116)

tendo em conta que o momento de inércia de massa em relação ao eixo ∆ é:

Ar

Br

Cr


198

∑=

∆ ⋅=n

iii dmI

1

2 (5.117)

então a componente do momento cinético em relação ao ponto O segundo o eixo ∆ é dada por:

∆∆ ⋅= IH ω (5.118)

De acordo com o teorema do momento cinético, o momento axial do torsor em torno do eixo ∆ é igual à derivada temporal do momento cinético em relação a ∆:

( ) 2

2

dtdI

dtdII

dtd

dtdHM θωω ⋅=⋅=⋅== ∆∆∆

∆∆ ⇒

⇒ α⋅= ∆∆ IM (5.119)

Esta é a equação governativa do movimento de rotação dum corpo rígido em torno de um eixo qualquer ∆, que traduz o princípio fundamental da dinâmica escalar da rotação de um corpo rígido.

O correspondente princípio fundamental da dinâmica em termos vectoriais da rotação de um corpo rígido é:

=∆Mv

∆∆∆∆∆∆ ⋅⋅=⋅⋅=⋅ uIudtdIuM rrr αθ

2

2

αr⋅= ∆I (5.120)

Existe uma analogia entre o princípio fundamental da dinâmica vectorial de rotação de um sistema de partículas e o princípio fundamental da dinâmica vectorial de translação, o qual é expresso, como se sabe, pela segunda lei de Newton através de:

2

2

dtrdmamFr

rr⋅=⋅= (5.121)

(Daqui se constata que I∆ é uma medida da inércia de rotação).

Se o movimento de rotação se der em torno de um eixo qualquer não baricêntrico, então a velocidade do centro de massa será:

)()()( trttv GGrrr

×= ω (5.122)

Capítulo 5

199

e uma aceleração dada por:

dt

trdttrdt

tddt

tvdta GG

GG

)()()()()()(r

rrrr

r×+×== ωω ⇒

⇒ )()()()()( tvttrtta GGGrrrrr

×+×= ωα (5.123)

Isto significa que o centro de massa está em movimento acelerado. E, de acordo, com o teorema do centro de massa, a equação de equilíbrio dinâmico de translação é dada por:

)()()(1

taMtFtF G

n

ii

rrr⋅== ∑

=

(5.124)

sendo )(taGr a aceleração associada ao centro de massa, que é obtida pela expressão

(5.123).

Assim, as equações de equilíbrio dinâmico de um corpo rígido em movimento de rotação em torno de um eixo qualquer não baricêntrico são:

- equilíbrio de translação: )()()(1

taMtFtF G

n

ii

rrr⋅== ∑

=

- equilíbrio de rotação: )()( tItM αrv

⋅= ∆∆

5.15.2 Movimento de rotação em torno de um eixo baricêntrico

Utilizando um raciocínio idêntico ao anterior e considerando que o eixo de rotação passa pelo centro de massa, ∆G, encontrar-se-ia sucessivamente:

GG

IttH ∆∆ ⋅= )()( ωrr

(5.125)

)()()()( 2

2

tIdt

tdIdt

tHdtM

GG

G

Gαθ r

rr

⋅=⋅== ∆∆∆

∆ (5.126)

Neste caso, a velocidade do centro de massa é nula (porque o eixo de rotação é baricêntrico) e, por consequência, a aceleração do centro de massa é nula:

0)()()()()(rrrrrr

=×+×= tvttrtta GGG ωα (5.127) colineares, logo = 0

r= 0r


200

Logo, a resultante das forças exteriores é nula porque:

001

rrrrr=⋅=⋅== ∑

=

MaMFF G

n

ii (5.128)

Todavia, existe um binário resultante expresso por:

)()()( 2

2

tIdt

tdItMGGG

αθ rr⋅=⋅= ∆∆∆ (5.129)

Assim, as equações de equilíbrio dinâmico de um corpo rígido em movimento de rotação em torno de um eixo qualquer baricêntrico são:

- equilíbrio de translação: 0)()(1

rrr== ∑

=

n

ii tFtF

- equilíbrio de rotação: )()( tItMGG

αrv

⋅= ∆∆

5.15.3 Energia cinética do movimento de rotação

Conforme se viu em 5.13, a energia cinética de um sistema de partículas, ou em particular de um corpo rígido, é decomposta na soma da parcela do movimento de translação do seu centro de massa e da parcela do movimento das restantes partículas relativamente ao centro de massa:

22

1

22

21

21'

21

21 ω⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= ∆

=∑ G

IvMvmvMT G

n

iiiG

r (5.130)

Esta expressão evidencia que a dinâmica global do sistema é analisada de modo equivalente pela dinâmica de um sistema com características baricêntricas (vG, I∆G). Portanto, mesmo que o sistema tenha um movimento global não baricêntrico, a sua energia cinética é calculada como a soma das duas referidas parcelas expressas em características baricêntricas.

Mas, se o corpo tiver uma rotação não baricêntrica em torno de um eixo ∆, a velocidade do seu centro de massa Gvr será expresso por:

Figura 5.23 – Rotação não baricêntrica.

Capítulo 5

201

)()()( trttv GGrrr

×= ω (5.131)

em que )(tωr é o vector rotação instantâneo do corpo em torno do eixo ∆ e )(trGr é o

vector posição instantâneo do centro de massa relativamente a qualquer ponto O localizado no eixo de rotação. Assim,

2222 )()()()( GGGGGG drururrv ⋅=×⋅×⋅=×⋅×= ∆∆ ωωωω rrrrrrrr (5.132)

em que dG é a distância do baricentro G ao eixo ∆ ou, alternativamente, a distância dos eixos paralelos ∆ e ∆G.

Portanto, atendendo às expressões (5.130) e (5.132), para qualquer movimento geral de rotação não baricêntrica, a energia cinética é dada por:

222

21

21 ωω ⋅⋅+⋅⋅⋅= ∆G

IdMT G ⇒

⇒ ( ) 22

21 ω⋅+⋅⋅= ∆G

IdMT G (5.133)

Pelo Teorema de Steiner, sabe-se que o momento de inércia de massa I∆ em relação ao eixo de rotação ∆ é obtido a partir do momento de inércia de massa I∆G em relação ao eixo baricêntrico ∆G, paralelo ao eixo ∆, pela seguinte relação:

2GdMII

G⋅+= ∆∆ (5.134)

substituindo na expressão (5.133) vem:

2

21 ω⋅⋅= ∆IT (5.135)

Portanto, para rotações não baricêntricas, a energia cinética do corpo é dada por:

)(21)(

21)(

21)( 222 tItItvMtT

GG ωω ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= ∆∆ (5.136)


202

5.16 EXTENSÃO DO PRINCÍPIO DE D'ALEMBERT AO MOVIMENTO

DE UM CORPO RÍGIDO

No estudo da dinâmica da partícula, visto no capítulo anterior, verificou-se que o Princípio de D'Alembert recorria a uma força fictícia (designada de força de inércia) para estabelecer o equilíbrio dinâmico da partícula em movimento como se tratasse de um equilíbrio estático:

)(;0 inérciainércia1

amFFFn

kk

rrrrr⋅−==+∑

=

(5.137)

Um sistema de partículas materiais tem, geralmente, para além de movimentos de translação, movimentos de rotação. Deste modo, existe, como se viu, um princípio fundamental da dinâmica para a translação do corpo e um princípio fundamental da dinâmica para a rotação do corpo.

De igual modo, existirá o princípio de D'Alembert para formular o equilíbrio dinâmico instantâneo associado à translação e o princípio de D'Alembert para formular o equilíbrio dinâmico instantâneo associado à rotação:

– Princípio de D'Alembert – versão translação

G

n

iii

n

ii aMamF rrr

⋅=⋅= ∑∑== 11

⇒

⇒ )(;0 inérciainércia1

G

n

ii aMFFF rrrrr

⋅−==+∑=

(5.138)

– Princípio de D'Alembert – versão rotação

αrrrr

⋅=×= ∆=

∆ ∑ IFrMn

iii

1 ⇒

⇒ )(;0 inérciainércia αrrrrr

⋅−==+ ∆∆ IMMM (5.139)

Assim, segundo este princípio, em qualquer instante é nulo o momento das forças sobre um corpo em movimento, calculado em qualquer ponto P do espaço, quando nessa soma de momentos está incluído o momento das forças de inércia.

Capítulo 5

203

5.17 CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O TEOREMA DO IMPULSO

Viu-se anteriormente que o teorema do impulso pode ser caracterizado de duas formas diferentes:

1ª forma) O impulso exercido pelas forças aplicadas a um sistema de partículas durante um intervalo de tempo [t1, t2] é igual à diferença entre as quantidades de movimento nos instantes t2 e t1:

[ ] )()()( 12,

2

1

21tptpdttFI

t

ttt

rrrr−== ∫ (5.140)

2ª forma) Quando um sistema se encontra sob a acção de forças durante um certo intervalo de tempo [t1, t2], a quantidade de movimento final,

)( 2tpr , do sistema pode obter-se pela soma vectorial da sua quantidade de movimento inicial, )( 1tpr , com o impulso exercido pelas forças aplicadas durante o intervalo de tempo considerado.

∫+=2

1

)()()( 12

t

t

dttFtptprrr (5.141)

Uma terceira forma corresponde a uma extensão da segunda, aplicável a sistemas de partículas e que permite caracterizar instantaneamente as características do movimento de rotação do sistema de partículas:

[ ]

+= ∫

2

1

)()()( 12

t

tpp dttFtpmtpm

rrr (5.142)

em que mp[...] representa o momento das forças indicadas entre parêntesis recto em relação à origem do sistema de eixos de referência.

Como o momento da quantidade de movimento corresponde ao momento cinético, [ ])()( tpmtH pP

rr= , então:

[ ]( )21 ,12 )()( ttppp ImtHtH

rrr+= (5.143)

que traduz o princípio da conservação da quantidade de movimento – versão rotação.


204

A expressão anterior poderia também ser definida através da consideração da definição de momento ( xrxmP

rrr×=)( ):

se ∫+=2

1

)()()( 12

t

t

dttFtptprrr (5.144)

então

+×=× ∫

2

1

)()()( 12

t

t

dttFtprtprrrrrr ⇒

⇒ [ ]21 ,12 )()( ttIrtprtprrrrrrr

×+×=× (5.145)

Esta expressão é equivalente à expressão (5.143).

Habitualmente, o ponto P é escolhido de modo a anular os momentos das forças impulsivas sobre o sistema de partículas (frequentemente desconhecidos).

Figura 5.24 – Rotação em torno do ponto P.

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