MOVIMENTO VIBRATÓRIO DE SISTEMAS DISCRETOS DE 1 …civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano2/mec2/aulas_teoricas/elementos_apoio/... · (Complemento aos acetatos da disciplina de Dinâmica de

Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 1

ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA II

2º ANO / 1º SEMESTRE – 2002/2003

Prof. João Miranda Guedes (DEC)

MOVIMENTO VIBRATÓRIO DE SISTEMAS DISCRETOS DE 1 G.L.

(Complemento aos acetatos da disciplina de Dinâmica de Estruturas, capítulos 3 e 4 disponiveis na web)

1 Introdução

Estudo do movimento vibratório de sistemas discretos cuja estrutura permite que o seu

movimento possa ser caracterizado através da análise apenas do deslocamento de um

ponto numa direcção.

Serão analisados sistemas com e sem amortecimento, entendendo-se por amortecimento

uma caracteristica viscosa do material que impõe ao sistema discreto uma força

proporcional, mas de sinal contrário, à velocidade do sistema.

Finalmente, será estudado o movimento destes sistemas em vibração livre, i.e. o

movimento para além do instante final de actuação de qualquer força exterior sobre o

sistema, e o movimento provocado pela acção de uma força exterior harmónica.

2 Caracterização de Sistemas Discretos de 1 G.L. (SD1)

Um sistema discreto é um sistema tal que o seu movimento pode ser descrito através do

movimento de um número discreto de pontos i, (ui(t), vi(t), wi(t)). A cada função fi(t) que

caracteriza o movimento dum ponto numa direcção, corresponde um grau de liberdade.

Estes sistemas contrapoem-se aos sistemas contínuos cujo movimento é descrito através

de funções contínuas nos pontos do sistema, (u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t)), i.e.

funções contínuas no tempo e no espaço da estrutura.

Um Sistema Discreto de 1 Grau de Liberdade (SD1) é um sistema que, para além de

discreto, o seu movimento é descrito pelo movimento de apenas um ponto numa direcção,

i.e. através apenas de uma função f(t).


3 Formulação das Equações do Movimento de SD1

Seja o seguinte SD1 constituido por um veículo rígido de massa m [kg] ligado ao exterior

por um amortecedor de amortecimento c [kg/s ou Ns/m] e uma mola de rigidez k [kg/s2 ou

N/m], submetido à acção da força f(t) [N ; s] que lhe imprime um movimento de translação

na direcção horizontal u(t) [m ; s]:

u(t)

y

f(t) m

k

c

f(t) fe(t)

fa(t) fi(t)

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0=+++→⋅−=−⋅=⋅−=−⋅=⋅−=−⋅=

tftftftftuktuktftuctvctftumtamtf

eai

e

a

i&

&&

( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&&

Sendo fi, a força de inércia, fa a força do amortecedor ou de amortecimento e fe a força da

mola ou elástica do SD1. Os parametros m, c e k são caracteristicas do sistema, da sua

forma e do seu material. O valor k da rigidez corresponde à força que é necessário impor

de forma estática, i.e. sem velocidade nem aceleração, na direcção do grau de liberdade u

para que o sistema se desloque de uma unidade (u = 1m) nessa direcção. O valor c do

amortecimento corresponde à força que o amortecedor exerce sobre o sistema na direcção

do grau de liberdade u quando o sistema se desloca a uma velocidade de uma unidade (v = 1m/s) nessa direcção.

Determinar o movimento u(t) de um SD1 corresponde, por isso, a resolver uma equação

diferencial linear de 2ª ordem de coeficientes constantes. A sua resolução implica o

conhecimento de dois valores ou constantes de integração, normalmente o deslocamento

e a velocidade no instante t = 0s.

( ) ( ) ( ) ( )tftukdttduc

dttudm =⋅+⋅+⋅

2

2

4 Movimento de SD1 sem Amortecimento

4.1 Em vibração livre

O movimento em vibração livre de um SD1 sem amortecimento corresponde à resolução

da equação:


( ) ( ) 02

2=⋅+⋅ tuk

dttudm

que apresenta duas soluções:

( ) ( ) ( ) ( )twBtutwAtu ⋅⋅=∧⋅⋅= sincos

sendo a solução geral, designada por solução complementar, a soma das duas:

( ) ( ) ( )twBtwAtu ⋅⋅+⋅⋅= sincos

A substituição de qualquer uma das duas soluções na equação resulta na imposição da

relação:

mkw =

Sendo o valor w [rad/s] designado por frequência angular do sistema. Note-se que a

solução é uma função periódica de período T [s] ou frequência f [Hz]:

( ) ( ) ( ) π⋅=⋅−Τ+⋅→=Τ+ 2twtwtutu

ππ

⋅=

Τ=⇔

⋅=Τ

212 wf

w

Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0cos0sin0

0sin0cos00

⋅⋅+⋅⋅−=⋅+⋅=

→=wBwAu

BAut

&

( ) ( ) ( ) ( ) ( )twwutwutu ⋅⋅+⋅⋅= sin0cos0&

que pode ainda escrever-se com o seguinte aspecto:

( ) ( )α−⋅⋅= twCtu cos

( )( ) ( ) ( )

( )0

0tan00

22

uw

u

wuuC

&&

=∧

+= α

4.2 Solicitado por acções harmónicas

Seja agora o movimento de um SD1 sem amortecimento submetido à acção de uma força

sinusoidal f(t) de amplitude po e frequência angular w :

( ) ( ) ( )twptukdttudm o ⋅⋅=⋅+⋅ sin

2

2


Neste caso, para além da solução em vibração livre ou complementar, existe a solução

particular da equação que resolve o valor não nulo do segundo membro:

( ) ( )twUtu p ⋅⋅= sin

Substituida esta solução na equação do movimento determina-se a constante U:

222 11

1

1r

U

wwk

p

wmk

pU o

oo

−⋅=

−

⋅=⋅−

=

Note-se que Uo representa o deslocamento estático e r a razão das frequências:

wwr

kp

U oo =∧=

A solução final é igual à soma da solução complementar com a solução particular agora

determinada:

( ) ( ) ( ) ( )twr

UtwBtwAtu o ⋅⋅−

⋅+⋅⋅+⋅⋅= sin1

1sincos2


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0cos1

10cos0sin0

0sin1

10sin0cos00

2

2

⋅⋅−

⋅+⋅⋅+⋅⋅−=

⋅−

⋅+⋅+⋅=→=

wr

UwBwAu

rUBAu

t

o

o

&

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )twr

Utww

wr

Uutwutu o

o⋅⋅

−⋅+⋅⋅

⋅−

⋅−+⋅⋅= sin

11sin1

10cos0

2

2&

Se o o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s forem nulos, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )twrtwr

Utwr

UtwrrUtu ooo ⋅⋅−⋅⋅

−⋅=⋅⋅

−⋅+⋅⋅

−⋅−= sinsin

11sin

11sin

1 222

A solução é composta por duas parcelas: a primeira correspondente à resposta em regime

estacionário e a segunda em regime transitório:

( )( )twiaEstacionarParcela

twraTransitoriParcela

⋅→

⋅⋅→

sin

sin

multiplicada pelo produto do deslocamento estático Uo por um factor D designado por

factor de amplificação dinâmica:

211r

D−

=


Quando o sistema entra em ressonância com a acção, i.e. r = 1, a solução particular

apresenta um novo aspecto:

( ) ( ) wwtwtCtu p =∧⋅⋅⋅= cos

que substituida na equação do movimento determina:

wmp

C o

⋅⋅−=

2

A solução final, sendo igual à soma da solução complementar com a solução particular,

resulta na seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( )twtwm

ptwBtwAtu o ⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅= cos

2sincos


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=

−⋅+⋅=

→=00cos

20cos0sin0

00sin0cos00

wmp

wBwAu

BAut o&

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )twtwm

ptw

wwm

pu

twutu o

o

⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅= cos2

sin20

cos0&

Se o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s forem nulos, temos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )twtwwtkp

twtwwtwmp

tu oo ⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅

=⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

= sincos2

sincos2 2

que resulta numa função de amplitude crescente no tempo.

5 Movimento de SD1 com Amortecimento

5.1 Em vibração livre

O movimento em vibração livre de um SD1 com amortecimento corresponde à resolução

da equação:

( ) ( ) ( ) 02

2=⋅+⋅+⋅ tuk

dttduc

dttudm

que apresenta duas soluções:

( ) ( ) tsts eCtueCtu ⋅⋅ ⋅=∧⋅= 21


mk

mc

mcs

mk

mc

mcs −

⋅−

⋅−=∧−

⋅+

⋅−=

2

2

2

1 2222

sendo por isso a solução geral a soma das duas:

( ) tsts eCeCtu ⋅⋅ ⋅+⋅= 2121

5.1.1 Sistema criticamente amortecido

O radicando das soluções s1 e s2 coincidem:

wmmkccmk

mc

cr ⋅⋅=⋅⋅==⇒=−

⋅220

2

2

Neste caso as duas soluções são:

( ) ( )t

mc

tmc crcr

etCtueCtu⋅

⋅

−⋅

⋅

−⋅⋅=∧⋅= 2

22

1

( ) ( )t

mc

tmc

tmc crcrcr

etCCetCeCtu⋅

⋅

−⋅

⋅

−⋅

⋅

−⋅⋅+=⋅⋅+⋅= 2

212

22

1

5.1.2 Sistema com amortecido superior ao crítico

As duas soluções s1 e s2 indicadas anteriormente são reais e a solução geral é:

( ) tsts eCeCtu ⋅⋅ ⋅+⋅= 2121

−−−⋅=∧

−+−⋅= 11 2

22

1 ξξξξ wsws

Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no

instante t = 0s, determina-se o valor das constantes C1 e C2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tsts essusu

essusu

tu ⋅⋅ ⋅−

⋅−−⋅

−⋅−

= 21

21

1

21

2 0000 &&

5.1.3 Sistema com amortecido inferior ao crítico

Neste caso define-se o coeficiente de amortecimento:

12

<⋅⋅

==wm

ccc

crξ

A equação apresenta as duas soluções:

( ) ( ) tsts eCtueCtu ⋅⋅ ⋅=∧⋅= 21

22

21 11 ξξξξ −⋅⋅−⋅−=∧−⋅⋅+⋅−= wiwswiws

aa wiwswiws ⋅−⋅−=∧⋅+⋅−= ξξ 21


sendo 21 ξ−⋅=ww a a frequência angular do sistema amortecido. A solução geral

resulta da soma das duas soluções:

( ) twitwtwitw aa eCeCtu ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅− ⋅+⋅= ξξ21

( ) ( ) ( )( )twBtwAetu aatw ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅⋅− sincosξ


instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅⋅

⋅⋅++⋅⋅⋅= ⋅⋅− tw

wwuutwuetu a

aa

tw sin00cos0 ξξ &

cuja expressão pode ainda escrever-se com o seguinte aspecto:

( ) ( )αξ −⋅⋅⋅= ⋅⋅− tweCtu atw cos

( )( ) ( ) ( )( )

( )0

0tan00

22

uw

wu

wwuuC

⋅⋅=∧

⋅⋅+=

ξα

ξ&

&

5.2 Solicitado por acções harmónicas

5.2.1 Sistema com amortecido inferior ao crítico

Seja agora o movimento de um SD1 com amortecimento inferior ao crítico submetido à

acção de uma força sinusoidal f(t) de amplitude po e frequência angular w :

( ) ( ) ( ) ( )twptukdttduc

dttudm o ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ sin

2

2

Neste caso, para além da solução em vibração livre ou complementar, existe a solução

particular da equação que resolve o valor não nulo do segundo membro:

( ) ( ) ( )twCtwCtu p ⋅⋅+⋅⋅= cossin 43

Substituida esta solução na equação do movimento determinam-se as constantes C3 e

C4:

( ) ( ) ( ) ( )2224222

2

321

2

21

1

rr

rUCrr

rUC oo⋅⋅+−

⋅⋅−⋅=∧

⋅⋅+−

−⋅=

ξ

ξ

ξ

i.e.

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )twrtwrrr

Utu op ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+−

⋅= cos2sin121

1 2222

ξξ

que se pode ainda escrever-se com o seguinte aspecto:


( ) ( )α−⋅⋅= twUtu cos

( ) ( )2

222 12tan

21

1rrDU

rrUU oo

−

⋅⋅=∧⋅=

⋅⋅+−⋅=

ξα

ξ

Note-se que Uo representa o deslocamento estático, r a razão das frequências e D o

coeficiente de amplificação dinâmica.


determinada:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )twrtwrrr

UtwBtwAetu oaatw ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅⋅− cos2sin1

21

1sincos 2222

ξξ

ξ


instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B.

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )a

o

o

wrr

rwUAwu

B

rr

rUuA

222

2

222

21

10

21

20

⋅⋅+−

−⋅⋅−⋅⋅+

=

⋅⋅+−

⋅⋅⋅+=

ξξ

ξ

ξ

&

5.2.2 Sistema criticamente amortecido

Se o sistema estiver em ressonância (para ξ de valor pequeno, verdadeiro nos casos

correntes, isso corresponde aproximadamente a r = 1), e supondo o deslocamento e a

velocidade no instante t = 0s nulos, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

⋅−

⋅⋅

−+⋅⋅⋅

⋅⋅= ⋅⋅− twtwtweUtu aa

two cossin

1cos

21

2ξ

ξξ

ξ

A solução é composta por duas parcelas: a primeira correspondente à resposta em

regime estacionário e a segunda em regime transitório:

( ) ( )

( )twiaEstacionarParcela

twtweaTransitoriParcela aatw

⋅→

⋅⋅

−+⋅⋅→ ⋅⋅−

cos

sin1

cos2ξ

ξξ

Como se supõe ξ de valor pequeno:

( ) ( ) ( ) ( )tweUtutw

ww two

a

a ⋅⋅−⋅

⋅≈⇒≈⋅⋅

≈ ⋅⋅− cos12

10sin

ξ

ξξ

que apresenta amplitude crescente no tempo tendendo para duas assimptotas

horizontais: u = + Uo / (2. ξ) e u = - Uo / (2. ξ).


NOTA: O valor r que verdadeiramente corresponde à ressonância do sistema é, no

caso geral, o valor que impõe a quantidade máxima para o coeficiente D de

amplificação do sistema, i.e.

ξ−=⇒=∂∂ 10 rrD

Se o sistema estiver em ressonância e for ξ = 0, a solução é indeterminada. No entanto,

essa indeterminação pode ser levantada:

( ) ( ) ( )( )twtwtwUtu o ⋅⋅⋅−⋅⋅=→ cossin21lim 0ξ

expressão que corresponde à solução já apresentada para a hipótese de SD1 em

ressonância sem amortecimento.

5.2.3 Sistema com amortecido superior ao crítico

Seja agora o movimento de um SD1 com amortecimento superior ao crítico submetido à

acção de uma força sinusoidal f(t) de amplitude po e frequência angular w . Neste caso,

para além da solução em vibração livre ou complementar ja apresentada no ponto 5.1.2,

existe a solução particular da equação que resolve o valor não nulo do segundo

membro da equação do movimento ( ( ) ( ) ( ) ( )twptuktuctum o ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ sin&&& ) e que coincide

com a solução do movimento de um SD1 com amortecimento inferior ao crítico (uma

vez que a equação a resolver é a mesma):

( ) ( ) ( )twCtwCtu p ⋅⋅+⋅⋅= cossin 43

i.e.

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )twrtwrrr

Utu op ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+−

⋅= cos2sin121

1 2222

ξξ

ou ainda,

( ) ( )α−⋅⋅= twUtu cos

( ) ( )2

222 12tan

21

1rrDU

rrUU oo

−

⋅⋅=∧⋅=

⋅⋅+−⋅=

ξα

ξ


determinada:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )twrtwrrr

UeCeCtutu otsts ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅+−⋅+⋅+⋅== ⋅⋅ cos2sin1

21

1 2222

2121 ξ

ξ


−−−⋅=∧

−+−⋅= 11 2

22

1 ξξξξ wsws


instante t = 0s, determina-se o valor das constantes C1 e C2.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )222

12

21

222

22

2

1

21

20

21

1200

rr

rUCuC

ssrr

wrrsUusu

C

o

o

⋅⋅+−

⋅⋅⋅+−=

−⋅⋅+−

⋅−+⋅⋅⋅⋅+⋅−

=

ξ

ξ

ξ

ξ&

6 Exemplos de aplicação

Nas páginas seguintes encontram-se alguns resultados de aplicação dos conceitos

teóricos apresentados a uma estrutura pendular invertida.


ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA II

2º Ano / 1º Semestre – 2002/2003

Prof. João Miranda Guedes (DEC)

SISTEMA DISCRETO COM 1 GRAU DE LIBERDADE

(Pêndulo invertido em movimento oscilatório horizontal)

u(t) – Lei de movimento da massa no topo do pilar (representada nos gráficos)

F(t) = po * sin (W * t) – Lei da acção a impor (ou não) no topo do pilar na direcção do deslocamento

(t)

Massa = 100kg

Rigidez do pilar = 200 N/m Amortecimento relativo do pilar = ξ (variável)

MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO ( ( ) ( ) 0=⋅+⋅ tuktum && )

Dados u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 0 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079

Solução da Equação de Movimento

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]




-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]



-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]


MOVIMENTO FORÇADO NÃO AMORTECIDO

( ( ) ( ) )(tftuktum =⋅+⋅ && )

Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1 u(0) [m] = 0 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 0 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079


-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m] Sol. Complementar

Sol. ParticularSol. Final


-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 5 10 15 20 25

t [s]

u(t)




MOVIMENTO FORÇADO NÃO AMORTECIDO EM RESSONÂNCIA

( ( ) ( ) ( )tftuktum =⋅+⋅ && para 1=r )

Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1,414214 u(0) [m] = 0 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 0 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079


-4-3-2-1012345

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]


-15

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25 30 35

t [s]

u(t)

[m]


Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1,414214 u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]


-10-8-6-4-202468

10

0 5 10 15 20 25 30 35

t [s]

u(t)

[m]


MOVIMENTO LIVRE COM AMORTECIMENTO INFERIOR AO CRÍTICO

( ( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅+⋅ tuktuctum &&& para 1<ξ )

Dados ξ = 0,10 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,407125 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079


-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 5 10 15 20 25

t [s]

u(t)

[m]

Dados ξ = 0,20 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,385641 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079


-0,8-0,6-0,4-0,2

00,20,40,60,8

11,21,4

0 5 10 15 20 25

t [s]

u(t)




MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO INFERIOR AO CRÍTICO

( ( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& para 1<ξ )

Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1 ξ = 0,10 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,407125 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079


-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m] Sol. ComplementarSol. ParticularSol. Final


-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 5 10 15 20 25

t [s]

u(t)




MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO INFERIOR AO CRÍTICO EM

RESSONÂNCIA ( ( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& para 1<ξ e 1=r )

Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1,414214 ξ = 0,10 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,407125 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25

t [s]

u(t)




-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t [s]

u(t)




MOVIMENTO LIVRE COM AMORTECIMENTO SUPERIOR AO CRÍTICO

( ( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅+⋅ tuktuctum &&& para 1>ξ )

Dados ξ (>1) = 1,50 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 s1 = -0,54018 T [s] = 4,442883 s2 = -3,70246 f [Hz] = 0,225079


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]

Dados ξ (>1) = 3,00 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 s1 = -0,24264 T [s] = 4,442883 s2 = -8,24264 f [Hz] = 0,225079


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]


MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO SUPERIOR AO CRÍTICO

( ( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& para 1>ξ )

Acção -> f(t) = po * sin (W * t)

Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1 ξ (>1) = 1,50 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 s1 = -0,54018

T [s] = 4,442883 s2 = -3,70246 f [Hz] = 0,225079


-0,4-0,2

00,20,40,60,8

11,21,41,6

0 2 4 6 8 10 12 14

t [s]

u(t)

[m]


-0,4-0,2

00,20,40,60,8

11,21,41,6

0 5 10 15 20 25

t [s]

u(t)

[m]

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MOVIMENTO VIBRATÓRIO DE SISTEMAS DISCRETOS DE 1 …civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano2/mec2/aulas_teoricas/elementos_apoio/... · (Complemento aos acetatos da disciplina de Dinâmica de