New Curso de Especialização sobre NOVA REGULAMENTAÇÃO DE …civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano4/eb1/ficheiros/Transv... · 2002. 10. 24. · Na Figura 2.1a) estão representadas duas

Curso de Especialização sobre

NOVA REGULAMENTAÇÃO DE

ESTRUTURAS DE BETÃO

ESFORÇO TRANSVERSO. TORÇÃO. PUNÇOAMENTO.

Autores:

Rui Manuel Faria Nelson Vila Pouca

Março de 1997

UNIVERSIDADE DO PORTO Faculdade de Engenharia

1. INTRODUÇÃO

Relativamente a outras modalidades de cálculo orgânico, como sejam a flexão simples ou composta, a determinação da segurança de uma peça de betão armado em relação a esforços envolvendo componentes cortantes – transverso, torção e punçoamento – revela-se menos clara, sendo frequente que normas de segurança de diferentes países, bem como livros de texto consagrados, exibam apreciável divergência de critérios na sua abordagem.

Este facto, causador de alguma perplexidade entre parte da comunidade técnica, decorre de o comportamento do betão ser nestas situações significativamente afectado por factores de difícil quantificação. O mais relevante deles será, eventualmente, a definição precisa do funcionamento das peças de betão após fendilhação, já que sob a acção de esforços que introduzem efeitos de corte, e ao contrário do que sucede na flexão, as fendas desempenham um papel importante, consequência dos movimentos relativos que então se observam entre as correspondentes faces rugosas. No caso do esforço transverso são bem conhecidas as fendas de corte-flexão observáveis nas proximidades de apoios de vigas – ver Figura 1.1 –, que começando por se formar a partir da face traccionada, e perpendicularmente aos varões da armadura longitudinal, apresentam depois uma evolução em direcção ao eixo neutro com curvatura visível. A interacção das superfícies de betão ao longo dos dois bordos da fenda resulta de quantificação difícil, não só em virtude da incerteza quanto à aspereza da superfície da fenda, mas também em relação à inclinação média dessa superfície relativamente ao eixo da viga, ou ainda à sua curvatura.

Um outro efeito que afecta o comportamento das peças de betão armado quando submetidas, por exemplo, aos esforços transverso ou de punçoamento, é a influência das armaduras longitudinais. Como é sabido, estas armaduras são quantificadas funda-mentalmente com vista à satisfação da segurança em relação a estados limites últimos de diferente natureza – tracção, compressão e/ou flexão –, ou ainda para controlo do estado limite de fendilhação. No entanto, ao atravessarem as fendas geradas pelos esforços cortante ou de punçoamento estas armaduras longitudi-nais intervêm na resistência transversal da peça, embora determinados modelos de cálculo ignorem a correspondente contribuição, dada a dificuldade de contabilização do seu efeito. Relativamente a este aspecto, refira-se por exemplo a metodologia do Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado (REBAP, 1983) para a verificação da segurança de vigas ou lajes ao esforço transverso, em cujas expressões não figura este efeito da armadura longitudinal.

Relativamente a elementos submetidos a esforços de torção, são bem conhecidas as importantes modificações de comportamento que assinalam a transição do estado não fendilhado para o fendilhado, caracterizada por uma drástica redução da rigidez torsional da peça. A acentuada perda de continuidade do elemento, decorrente de forte fissuração observável já sob níveis de carga substancialmente inferiores aos de rotura, transforma a peça numa ‘estrutura’ muito heterogénea, de complexa modelação.

Neste enquadramento, e não se dispondo de um modelo teórico verdadeiramente estabelecido para explicação do comportamento do betão sob a acção dos esforços transverso,

Figura 1.1 - Fendas numa viga de betão armado

(Nilson e Winter, 1991).

Esforço Transverso. Torção. Punçoamento. - 2

de torção e de punçoamento, torna-se necessário dar a estes assuntos um tratamento específico, tanto mais que algumas inovações são registáveis no Eurocódigo 2, Parte 1 (EC2), relativamente às metodologias de cálculo estipuladas. Com o propósito de clarificação das cláusulas mais importantes do EC2, serão apresentados algumas aplicações práticas. No essencial a notação e simbologia que irá ser usada corresponde à especificada no Eurocódigo 2, o que facilitará a identificação das correspondentes expressões e entidades.

2. ESFORÇO TRANSVERSO

2.1. Introdução

Como foi referido no ponto anterior, a determinação da resistência de um elemento ao esforço transverso carece, ainda hoje, de uma modelação teórica plenamente satisfatória, isto é, pelo menos com uma fiabilidade e aceitação generalizadas comparáveis às conseguidas na modelação do comportamento do betão sob esforços de tracção, compressão ou flexão (simples ou composta). Deste facto resulta uma certa diversificação das metodologias de verificação da segurança ou de dimensionamento dos elementos ao esforço cortante, consoante os códigos ou a bibliografia especializada.

Reflexo desta situação, no Eurocódigo 2 a segurança ao esforço transverso pode ser controlada optando por um de dois métodos – o Método Padrão ou o Método das Bielas de Inclinação Variável –, cujos princípios de cálculo irão ser explicitados. A fim de possibilitar a compreensão dos fundamentos das expressões inerentes a qualquer destes métodos, a sua apresentação será precedida de uma breve discussão dos aspectos mais relevantes do comportamento fenomenológico de um elemento de betão, evidenciado no decurso de ensaios experimentais conduzidos sobre vigas de secção constante, dotadas ou não de armadura transversal. A generalização a outras situações, envolvendo peças de secção variável, sob a acção de esforço axial ou de pré-esforço, ou em que a acção exterior compreende cargas concentradas na proximidade de apoios, será efectuada posteriormente, acompanhando o texto do EC2.

2.2. Comportamento de elementos sem armadura de esforço transverso

2.2.1. Fase não fendilhada

Como é sobejamente reconhecido, o comportamento de um elemento de betão armado evidencia uma clara diferenciação quando se passa de um estado pré-fendilhado para um estado pós-fendilhado.

O primeiro daqueles estados está geralmente relacionado com um nível de carga relativamente baixo, associável a situações de serviço, para o qual se pode assumir como válida a hipótese de comportamento linear e elástico dos materiais (lei de Hooke). A Figura 2.1 descreve a situação de uma viga nestas condições, sendo observável a distribuição linear das tensões normais σ ao longo da altura da correspondente secção transversal rectangular, bem como a distribuição parabólica das tensões de corte τ, em concordância com a Teoria da Elasticidade. Para definição do início da fendilhação do betão tem particular importância o conhecimento das orientações das tensões principais de tracção, pois será perpendicularmente a elas que se observará a formação das primeiras fendas. Na Figura 2.1a) estão representadas duas famílias de linhas curvas, perpendiculares entre si em cada ponto de intersecção, que traduzem as trajectórias das tensões principais referentes ao estado elástico não fendilhado†. De acordo com o critério de fractura usualmente aceite para o betão, a fissuração tenderá a

† Estas trajectórias de tensões principais podem ser interpretadas como ‘linhas de força’ internas, à semelhança

do que ocorre com os músculos do corpo humano.


produzir-se perpendicularmente às direcções principais de tracção, ou seja ao longo das trajectórias de compressão (linhas a tracejado na Figura 2.1a)). Assim, o processo de fendilhação iniciar-se-á na face inferior da viga, e perpendicularmente à armadura longitudinal de flexão aí colocada, em correspondência com a evidência prática.

a) b) c)

Figura 2.1 - Tensões numa viga não fendilhada (Walther e Miehlbradt, 1990).

2.2.2. Fase fendilhada

A interpretação do comportamento da mesma viga para um nível de carga superior ao que dá início ao processo de fendilhação recém descrito não pode ser efectuado com base nas trajectórias de tensões da Figura 2.1a). Na realidade, nas novas condições de carga as tensões σ abaixo do eixo neutro de flexão tenderiam já a ser superiores à resistência à tracção do betão, pelo que será mais realista a distribuição de tensões normais indicada na Figura 2.2b), que compreende exclusivamente as compressões que se desenvolvem na parte activa da secção.

a) b) c)

Figura 2.2 - Tensões numa viga após fendilhação (Walther e Miehlbradt, 1990).

Observe-se ainda que a evolução das tensões τ – ver Figura 2.2c) – regista uma alteração significativa relativamente à documentada na Figura 2.1c), sendo agora uniforme a distribuição das tensões de corte abaixo do eixo neutro. Esta singular ocorrência pode ser explicada com base na Figura 2.3, que ilustra um pequeno troço de uma viga rectangular, de comprimento ∆x, localizado entre duas fendas de flexão consecutivas. Dada a presença do esforço transverso V, o momento flector regista entre as duas fendas uma pequena variação ∆ ∆M V x= . Admitindo constante e igual a z o braço do binário das forças interiores Fc (no betão) e Fs (na armadura longitudinal), facilmente se conclui que ao longo da armadura inferior se regista uma variação de força


∆∆ ∆

FMz

Vx

zs = = (2.1)

A fim de manter o equilíbrio da zona da viga abaixo do eixo neutro, e compreendida entre as duas fendas (zona sombreada), a força horizontal H indicada na Figura 2.3 tem de ser directamente oposta a ∆Fs , ou seja, H V x z= ∆ . Designando por bw a largura da secção transversal, pode assim conceber-se que aquele domínio da viga se encontra submetido a uma tensão de corte uniforme e igual a

τ = =H

b xV

b zw w∆ (2.2)

Retomando a Figura 2.2a), e tomando como válidas as hipóteses a ela subjacentes, a parte inferior da viga encontra-se submetida a um estado de corte puro, que, como é sabido da Teoria da Elasticidade, dá origem em cada ponto a duas tensões principais iguais em valor absoluto, uma de tracção e outra de compressão. As correspondentes direcções principais fazem um ângulo de 45º com o eixo da viga, em concordância com as trajectórias de tracção e de compressão documentadas na Figura 2.2a).

É importante salientar que esta interpretação, mais apropriada para explicação do comportamento de uma viga em fase fendilhada (mas que não está isenta de algumas simplificações), constitui o ponto de partida para a clássica treliça de Mörsch, que intenta modelar o comportamento resistente de um elemento ao esforço transverso com base na idealização de que as fendas de tracção se orientam ao longo daquelas trajectórias de compressão, formando ângulos de 45º com o eixo.

2.2.3. Mecanismo resistente ao esforço transverso de um elemento sem armadura transversal

De acordo com a interpretação mais actual do comportamento de uma viga submetida ao esforço transverso (e também ao momento flector, em virtude da relação de equilíbrio dM dx V= ), o estado limite último de resistência é atingido no final da seguinte conjunto de etapas:

(i) para uma intensidade moderada do carregamento exterior na face traccionada do elemento começam a observar-se fendas normais à armadura longitudinal;

(ii) para um nível de carga superior alguma(s) das fendas de flexão prolongam-se em direcção à face comprimida da viga, curvando-se em relação ao eixo;

(iii) na fase final dá-se o esmagamento do betão no reduto comprimido, assinalando a rotura da viga.

∆x

V

M

z

M+∆M

V

H

Fs

Fc

Fs+∆Fs

Fc+∆Fc

d

Figura 2.3 - Troço de viga entre duas fendas

verticais consecutivas.


Do ponto de vista da interpretação da resistência ao esforço transverso de uma viga sem armadura transversal as duas primeiras fases são as que apresentam maior relevância, correspondendo-lhes a parte mais significativa do intervalo de carga num carregamento até à rotura. A fissuração que lhes está subjacente dá origem a que a parte traccionada da viga se decomponha numa sucessão de pequenas consolas verticais ou dentes, uma das quais se encontra esquematicamente ilustrada na Figura 2.4, bem como as forças que nela se desenvolvem, e de que se destacam: (i) o efeito de engrenagem das faces rugosas das fendas, que dá origem a uma resistência com componentes vertical e horizontal, (ii) o efeito de ferrolho que se desenvolve nas armaduras longitudinais, responsável por uma resistência vertical e (iii) o efeito de consola que equilibra as forças devidas aos efeitos de engrenagem e de ferrolho, bem como as forças que se desenvolvem na armadura longitudinal (desiguais, em resultado da variação do momento flector).

Estes efeitos encontram-se igualmente representados na Figura 2.5, em que se procedeu à representação de um troço de uma viga submetida a esforço transverso constante, compreendido entre um apoio e uma das fendas de corte-flexão. De acordo com a notação da figura, o equilíbrio na direcção vertical requer a satisfação da seguinte condição

V V V Vc a d= + + (2.3)

em que Vc designa a força de corte que se desenvolve no domínio comprimido da secção de betão, Va assinala a componente vertical da força de engrenagem nas faces da fenda e Vd designa a força que devida ao efeito de ferrolho se desenvolve transversalmente na armadura longitudinal.

A contribuição Vc depende muito directamente da própria resistência do betão, sendo em geral quantificada com base num valor nominal relacionado com a classe de resistência do material. Outros efeitos podem eventualmente alterar esta parcela de resistência ao corte, sendo de destacar a eventual presença de esforço axial significativo no elemento, quer de tracção quer de compressão – este último proveniente da acção de pré-esforço ou de efeitos directos das cargas exteriores –, ou a proximidade de apoios, que por efeito de arco permitam o encaminhamento directo de parte do carregamento exterior para os elementos de suporte.

É fácil de intuir, e a experiência comprova-o, que a participação dos efeitos de ferrolho e de engrenagem na resistência ao esforço transverso depende significativamente da continuidade ou integridade que seja possível assegurar para o conjunto da viga, destacando-se a importância assumida pela quantidade de armadura longitudinal utilizada, bem como da sua aderência e eficiente amarração. A deformação ou escorregamento desta

Fs Fs+∆Fs

efeito de ferrolho

efeito de consola efeito de

engrenagem

Figura 2.4 - Forças nas consolas.

Figura 2.5 - Viga sem armadura transversal.


armadura longitudinal conduz a um afastamento das faces das fendas, reduzindo assim a contribuição favorável daqueles efeitos. Este aspecto da amarração das armaduras longitudinais tem ainda de ter em linha de conta que, em virtude da fissuração diagonal produzida pela associação corte-flexão, a força Fs que se desenvolve na armadura longitudinal na secção 2 da Figura 2.5 não se relaciona directamente com o momento flector dessa mesma secção, mas com o momento flector da secção 1. Este facto determina a necessidade de a amarração da armadura longitudinal de flexão ser efectuada considerando um prolongamento adicional al , dando origem à conhecida translação do diagrama de força na armadura longitudinal, a que posteriormente se voltará a fazer referência.

2.3. Efeito da armadura de esforço transverso

No elementos flectidos é prática corrente conduzir o dimensionamento por forma a que a resistência ao esforço transverso não seja a condicionante da carga última. Este critério decorre, por um lado, de argumentos de natureza económica, e por outro lado do senso comum entre os projectistas, aliás plenamente justificado, de que sendo a rotura por flexão em geral mais dúctil do que a associada ao corte, é preferível que aquela ocorra em primeiro lugar (isto é, seja a condicionante), a fim de a aproximação do colapso poder ser denunciada pelos habituais indicadores associados à rotura por flexão: fissuração importante ao nível da armadura longitudinal e deformações muito marcadas do elemento flectido.

Desta forma, e na impossibilidade de o betão assegurar por si só a resistência pretendida ao esforço transverso, haverá necessidade de incluir no elemento armaduras específicas de esforço transverso, que permitam satisfazer o critério de dimensionamento recém descrito. Aliás, mesmo quando seja possível assegurar a segurança ao esforço transverso exclusivamente com base na expressão (2.3), é conveniente que a viga seja dotada de uma quantidade mínima de armadura específica de esforço transverso, que assegure a substituição da função resistente do betão para o nível de carga que conduza à rotura deste por corte.

2.4. Modelo da treliça de Mörsch

2.4.1. Treliça simples

Pelos motivos acima indicados torna-se necessário dispor de um modelo de cálculo que explique (e permita prever) o comportamento de um elemento dotado de armadura específica de esforço transverso. A influência desta armadura será diminuta até ao início da fissuração diagonal do elemento, em virtude do correspondente nível de deformações ser baixo, mas para níveis de carregamento superiores já a sua participação será importante, contribuindo para uma generalizada melhoria da resistência do elemento ao esforço transverso, mediante a mobilização dos seguintes efeitos:

− atravessamento das fendas diagonais por armaduras, que absorvem uma parte do esforço transversal;

− limitação da abertura das fendas, o que aumenta o efeito de engrenagem e limita a progressão daquelas em direcção ao reduto de compressão;


− envolvimento da armadura longitudinal, gerando uma cintagem que amplifica o efeito de ferrolho.

Tradicionalmente o modelo com base no qual se tem intentado explicar o comportamento de um elemento com armadura específica de esforço transverso é o da treliça clássica de Mörsch. No Eurocódigo 2 (ver cláusula 4.3.2.4.2 P(1)), como aliás no REBAP e na generalidade das metodologias de cálculo usualmente empregues, é ainda neste modelo que se fundamenta o dimensionamento das armaduras transversais, incorporando-lhe algumas correcções inspiradas na observação do comportamento experimental de vigas. Esta situação pode em parte ser explicada por em boa medida se não dispor ainda hoje de um modelo verdadeiramente digno desse nome que assegure uma interpretação científica do comportamento ao corte de uma peça de betão armado.

Neste enquadramento, o modelo de Mörsch tem pelo menos a vantagem de proporcionar uma idealização simples do comportamento de uma viga sob a acção de esforços de flexão e de corte, que assenta na formação de uma treliça plana, como indicado na Figura 2.6. O banzo superior corresponde, como se pode observar, ao betão comprimido localizado acima do eixo neutro, enquanto que o banzo inferior coincide com a armadura longitudinal de flexão; os banzos encontram-se ligados por um sistema de escoras e tirantes, estes últimos identificáveis com a armadura transversal, e aquelas materializadas pelo betão dos ‘dentes’ situados entre as fendas diagonais.

a) estribos verticais b) estribos inclinados de α

Figura 2.6 - Treliças simples de Mörsch (Walther e Miehlbradt, 1990).

Conforme se pode constatar, no estabelecimento da treliça simples de Mörsch é admitida uma inclinação de 45º para as diagonais comprimidas, em correspondência com a direcção das isostáticas de compressão discutida a propósito da Figura 2.2. Observe-se igualmente que subjacente à construção da treliça esteve a pretensão de obter um sistema estrutural estaticamente determinado, o que com relativa facilidade permite obter as expressões dos esforços que se desenvolvem nas bielas.

Recorrendo à Figura 2.7, onde se detalha um pormenor de uma treliça genérica, definida para armaduras transversais de inclinação α e para diagonais comprimidas de inclinação θ, é possível concluir que

F Vsw senα = (2.4) F Vcw sen θ = (2.5)

em que Fsw e Fcw designam, respectivamente, a forças que se desenvolvem na armadura de esforço transverso e na escora comprimida de betão. Tendo ainda em atenção a mesma figura, e designando por z o braço interno associado ao momento flector M (distância média entre a compressão Fc no banzo superior e a tracção Fs na armadura do banzo inferior), geometricamente resulta ainda que


a z= +(cotg cotg )θ α (2.6) c z= +(cotg cotg ) senθ α θ (2.7)

a

Fs

z

Fc

c

Fsw

A

B

Fcw

θαV

M

Figura 2.7 - Forças internas numa treliça.

2.4.2. Treliças múltiplas

De acordo com a própria interpretação de Mörsch, a idealização da treliça simples pode ser generalizada, se se passar a considerar que a força Fsw é materializada em vários varões ou estribos repartidos ao longo da extensão a, tal como exemplificado na Figura 2.8, dando lugar a uma treliça múltipla, que corresponde afinal à sobreposição de várias treliças simples. Designando por s o espaçamento longitudinal de cada varão ou estribo de área Asw e tensão de trabalho σ sw , uma vez que o comprimento de influência da força Fsw é a (ver Figura 2.7), de (2.4) e (2.6) resultará então que

VA

szsw sw= +

σθ α α(cotg cotg ) sen (2.8)

a) estribos verticais b) estribos inclinados

Figura 2.8 - Treliças múltiplas (Walther e Miehlbradt, 1990).

De acordo com a Figura 2.7 cada biela fictícia comprimida tem um comprimento de influência c, facto que se encontra igualmente ilustrado na Figura 2.9, em que se representa uma diagonal comprimida de betão delimitada por duas fendas oblíquas consecutivas, bem como as forças Fcw e Fsw que sobre ela se exercem. A partir da Figura 2.9 torna-se fácil deduzir uma expressão que permite estimar a tensão de compressão média σcw que se desenvolve na biela inclinada de betão, uma vez que a esta pode ser associada uma secção fictícia de área b cw . Desta forma F b ccw cw w= σ , pelo que das expressões (2.5) e (2.7) decorre então que

V b c b zcw w cw w= = +σ θ σ θ α θsen (cotg cotg ) sen2 (2.9)


Fcw

c

Fsw σcw

Figura 2.9 - Tensões na biela fictícia de betão.

V

σsw

Vc

Mörsch

experimental

σsw1

σsw2

V

Figura 2.10 - Modelo de Mörsch versus

resultados experimentais.

2.5. Correcções ao modelo da treliça de Mörsch

2.5.1. Método Padrão

2.5.1.1. Considerações gerais

A simplicidade do modelo da treliça de Mörsch, conveniente do ponto de vista de interpretação e de dimensionamento, decorre no entanto de uma forte idealização relativamente ao verdadeiro comportamento de uma viga submetida ao corte, pelo que conduz a resultados nem sempre satisfatórios.

De uma forma esquemática a Figura 2.10 permite comparar as tensões σ sw nos estribos verticais de uma viga de betão armado, medidas experimentalmente (linha tracejada) ou previstas em função da expressão (2.8) do modelo teórico de Mörsch (linha a cheio), em que se considerou θ = 45º e α = 90º . Observar-se-á que para um dado valor V do esforço transverso aplicado a tensão σ sw2 realmente observada nos estribos é inferior a σ sw1 , prevista pela expressão (2.8). Verifica-se igualmente que: (i) aquela diferença de tensões ocorre para um largo intervalo de valores do esforço transverso, (ii) que para V superior a um certo valor Vc as previsões do modelo de Mörsch dão origem a uma recta aproximadamente paralela à evolução dos resultados experimentais e (iii) que para V Vc≤ é diminuta a contribuição dos estribos.

O termo Vc pode assim ser facilmente interpretado como correspondendo a uma parcela resistente ao esforço cortante atribuível ao betão, que pode ser adicionada à contribuição resistente das armaduras transversais prevista pelo modelo de treliça. A explicação mais directa para uma tal contribuição pode atribuir-se ao facto de o betão localizado no banzo comprimido da treliça se encontrar, para efeito da resistência ao esforço transverso, num estado de tensão favorável†, isento de fendas por se localizar acima do eixo

† O critério de Mohr-Coulomb explica claramente que a resistência ao esforço cortante de um material granular

e/ou coesivo aumenta quando este se encontra submetido a esforços de compressão. O comportamento resistente dos solos representa um exemplo bem conhecido desta situação.


neutro – ver Figura 2.5 –, apresentando assim uma apreciável resistência ao corte. Tal como ilustrado na Figura 2.5, adicionalmente é ainda necessário ter em conta o efeito Va da engrenagem das faces das fendas ou mesmo do efeito de ferrolho Vd ; para efeitos práticos estas contribuições favoráveis podem ser quantificadas em simultâneo com a contabilização do termo resistente Vc , que por comodidade de linguagem se assumirá como representando genericamente uma resistência do betão.

2.5.1.2. Dimensionamento das armaduras transversais

Do que acaba de ser exposto decorre que a resistência de um elemento ao esforço transverso pode ser obtida mediante a associação de um termo resistente atribuível ao betão com a resistência das armaduras transversais fornecida pela expressão (2.8), dando assim origem a uma metodologia de cálculo da resistência ao esforço transverso mais geral e aproximada à realidade do que a da treliça de Mörsch, e que se encontra prevista no EC2 sob a designação de Método Padrão. É importante salientar desde já que este método se aplica considerando exclusivamente θ = 45º , tal como na formulação inicial de Mörsch.

Assim, e tendo em atenção as notações do EC2, a resistência de cálculo ao esforço transverso de uma secção dotada de armadura de esforço transverso, a designar por VRd 3 , deve neste método ser determinada de acordo com a expressão

V V VRd cd wd3 = + (2.10)

em que o índice R se refere a ‘resistência’, d designa ‘de cálculo’ (ou design), e os índices c e w se referem a ‘betão’ (ou concrete) e a ‘armadura transversal’ (ver cláusula 4.3.2.4.3 do EC2). A contribuição do betão Vcd é identificada com uma resistência VRd1 , sendo esta obtida de acordo com a cláusula 4.3.2.3:

( )[ ]V V k b dcd Rd Rd l cp w= = + +1 1 2 40 0 15τ ρ σ, , (2.11)

Nesta expressão, e para além da largura bw e da altura útil d da secção transversal (ver significado na Figura 2.3), é o seguinte o significado dos símbolos:

τ Rd valor de cálculo da tensão de resistência ao corte do betão, definido como 0 25 0 05, ,f ctk cγ (com γ c =1 5, ), e que assume os seguintes valores em função da classe de resistência do betão:

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

τRd (MPa) 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48

k assume o valor 1 nos elementos em que mais de 50% da armadura inferior é interrompida no vão; no caso contrário, k d= − ≥1 6 1, (d em metros)

ρ l sl wA b d= ≤( ) ,0 02 , em que Asl se refere à área da armadura longitudinal de tracção, amarrada pelo menos de d+lb,net para além da secção considerada

σcp Sd cN A= , em que N Sd corresponde ao esforço normal na secção, devido às cargas aplicadas ou ao pré-esforço, sendo tomado como positivo quando de compressão; Ac é a área total da secção de betão


No caso de a largura do elemento ser variável bw deverá corresponder à largura mínima, de acordo com a cláusula 4.3.2.4.2 do EC2, e tal como indicado na Figura 2.11.

Como se pode verificar, o princípio de adição das resistências devidas ao betão e à armadura transversal consagrado na expressão (2.10) estava já previsto no REBAP. No entanto, se bem que no EC2 a particularização do termo resistente do betão com base na expressão (2.11) tenha alguma semelhança formal com a prevista no REBAP, ela passa agora a conter inovações importantes, das quais se destacam: (i) a quantificação do efeito favorável das armaduras longitudinais (nomeadamente do efeito de ferrolho) mediante o termo ρl e (ii) a contabilização de uma forma clara do efeito da ocorrência de esforço axial na secção, mediante o termo σcp

†. Na Figura 2.12 pode ser seguida a evolução de VRd1 com a percentagem de armadura longitudinal para a hipótese de σcp = 0 , constatando-se o apreciável efeito do termo ρl na expressão (2.11).

Figura 2.12 - Influência da armadura longitudinal em VRd1

(Beeby e Narayanan, 1995).

Relativamente à quantificação da resistência das armaduras transversais, é fácil de verificar que as expressões de cálculo indicadas no parágrafo 4.3.2.4.3 do EC2 decorrem directamente da expressão (2.8) aqui deduzida, considerando θ = 45º , substituindo V por Vwd e a tensão nas armaduras transversais σ sw pelo valor de cálculo da correspondente tensão de cedência f ywd , e introduzindo a aproximação z d= 0 9, . Resulta assim que:

• Estribos verticais

VAs

d fwdsw

ywd= 0 9, (2.12)

† A correcção devida à presença de esforço axial estava igualmente contemplada no REBAP, mas através de um

factor 1 0+ M MSd de utilização prática nem sempre pacífica.

Figura 2.11 - Definição de bw .


• Estribos ou varões inclinados

( )VAs

d fwdsw

ywd= +0 9 1, cotg senα α (2.13)

2.5.1.3. Segurança das bielas comprimidas

Do ponto de vista da segurança ao esforço transverso importa ainda garantir que as tensões de compressão nas diagonais da treliça não conduzam à rotura da alma, por esmagamento das bielas comprimidas de betão. Com base na expressão (2.9) foi estabelecida uma importante relação entre o esforço transverso V e a tensão σcw que se desenvolve nas bielas comprimidas da treliça idealizada, a partir da qual se pode deduzir o esforço transverso resistente máximo que conduz ao esmagamento das diagonais de betão, e que no EC2 é designado por VRd 2 .

Para o efeito recorrer-se-á à referida expressão (2.9), na qual se considerará θ = 45º e se substituirá σcw por ν fcd , resultando por fim

V f b dRd cd w212

0 9 1= +ν α, ( cotg ) (2.14)

ficando a segurança relativamente ao esmagamento das bielas comprimidas garantida desde que V VSd Rd≤ 2 (ver ponto 4.3.2.4.3 (4) do EC2). O factor de eficácia ν é introduzido para atender ao facto de a resistência à compressão do betão das bielas vir diminuída em relação ao valor de cálculo fcd , em virtude de os ‘dentes’ ou ‘consolas’ se encontrarem separados por fendas irregulares, submetidos transversalmente a esforços de tracção, induzidos pelo efeito de engrenagem e pelo atravessamento por varões de aço (CSEDH, 1995). A definição preconizada no EC2 para o factor de eficácia é

ν = − ≥0 7200

0 5, ,f ck ( fck em MPa) (2.15)

2.5.2. Método das Bielas de Inclinação Variável

2.5.2.1. Considerações gerais

A partir da relação (2.8) torna-se evidente que mediante uma redução da inclinação θ das diagonais comprimidas da treliça da Figura 2.7, que origina um aumento de cotg θ, se é conduzido a uma diminuição da tensão instalada na armadura transversal, para um dado valor do esforço cortante aplicado. Este facto, conjugado com a evidência experimental de que a inclinação média das fendas num elemento submetido ao esforço cortante é frequentemente caracterizada por ângulos θ inferiores a 45º, aproximando-se por vezes de valores da ordem de 30º, sugere uma forma substancialmente diferenciada da preconizada no Método Padrão para correcção do modelo da treliça de Mörsch.

De acordo com esta estratégia, em que se baseia o Método das Bielas de Inclinação Variável indicado na cláusula 4.3.2.4.4 do EC2, o modelo de treliça subjacente à expressão (2.8) continua a ser adoptado, mas a fim de reduzir o afastamento entre os resultados teóricos e experimentais documentado na Figura 2.10, considera-se que as bielas comprimidas podem


assumir inclinações θ variáveis, e inclusivamente diferentes do valor de referência de 45º sugerido por Mörsch.

2.5.2.2. Dimensionamento das armaduras transversais

De acordo com o articulado do Eurocódigo 2, o valor de cálculo do esforço transverso resistente é assim obtido de acordo com as expressões


V VAs

d fRd wdsw

ywd3 0 9= = , cotgθ (2.16)


( )V VAs

d fRd wdsw

ywd3 0 9= = +, cotg cotg senθ α α (2.17)

que decorrem directamente da relação (2.8) anteriormente deduzida, tendo em conta as transformações referidas a propósito das igualdades (2.12-13) e substituindo V por VRd 3 .

Observe-se que nenhum termo correspondente ao betão é aqui considerado, uma vez que a correcção ao modelo de Mörsch é estritamente introduzida à custa da cotg θ, cuja selecção fica a cargo do projectista, condicionada aos limites

0 4 2 5, cotg ,< <θ em vigas com armadura longitudinal contínua

0 5 2 0, cotg ,< <θ em vigas com dispensa de armadura longitudinal

que não deverão ser violados, salvo justificação especial. A possibilidade de opção por pequenas inclinações das bielas diagonais (conduzindo a dimensionamentos mais económicos das armaduras transversais) fica limitada pela existência de varões longitudinais em quantidade suficiente no banzo traccionado da treliça múltipla, requisito sem o qual esta última não se poderá formar nas condições previstas. De facto, à medida que se diminui a inclinação θ é necessário proceder a prolongamentos adicionais dos varões longitudinais (logo um aumento do custo destas armaduras), como se infere das Figuras 2.7 e 2.9, pelo que o dimensionamento óptimo de uma viga pressupõe um judicioso compromisso das opções referentes às armaduras longitudinais e transversais.

2.5.2.3. Segurança das bielas comprimidas

Um outro condicionamento importante relativo à selecção de cotg θ tem a ver com o facto de a diminuição da inclinação das diagonais comprimidas implicar um aumento das tensões de compressão nas correspondentes bielas fictícias, como se infere da análise da expressão (2.9), podendo tornar-se crítica a possibilidade da rotura da alma por esmagamento.

Nesta situação o correspondente valor de cálculo VRd 2 do esforço transverso resistente máximo pode ser deduzido com base em (2.9), recorrendo aos mesmos procedimentos que conduziram à expressão (2.14) apresentada para o Método Padrão, e tendo em conta que

sen cos (cotg tg )θ θ θ θ= +1

sen ( cotg )2 21 1θ θ= +


resultando então as expressões indicadas no parágrafo 4.3.2.4.4 do EC2:


Vb z f

Rdw cd

2 =+ν

θ θcotg tg (2.18)


V b z fRd w cd2 21=

++

νθ α

θcotg cotg

cotg (2.19)

Uma vez que VRd 2 representa o esforço transverso limite que pode ser aplicado num elemento, da análise das expressões (2.18-19) pode retirar-se a conclusão de que é para cotgθ = 1 ( θ = 45º ) que se maximiza o seu valor. Nestas condições, como terá de ser ainda V VSd Rd≤ 3 , da conjugação de (2.16) com (2.18) resulta

A fb s

fsw ywd

wcd≤

12

ν (2.20)

e procedendo de forma idêntica para as expressões (2.17) e (2.19) conclui-se que

A fb s

fsw ywd

w

cd≤−

12 1

ν αα

sencos

(2.21)

A inequação (2.20) deve assim ser verificada quando se dimensionem estribos verticais, enquanto que a inequação (2.21) se aplicará quando se recorra a estribos ou varões inclinados, o que explica a menção expressa que lhes é feita no parágrafo 4.3.2.4.4 do EC2, a propósito das expressões (2.18) e (2.19), respectivamente.

2.6. Dimensionamento ao esforço transverso de acordo com o EC2

2.6.1. Bases para o dimensionamento

Em 4.3.2.1 P(1) é claramente explicitado que as disposições do EC2 referentes ao esforço transverso se aplicam a vigas e a lajes, bem como a pilares, dimensionados à flexão e/ou ao esforço normal de acordo com as disposições correspondentes do Eurocódigo 2.

De acordo com as designações que foram sendo introduzidas, na verificação ao esforço transverso há então que considerar três valores do esforço transverso resistente (cláusula 4.3.2.2):

VRd1 - valor de cálculo do esforço transverso resistente do elemento sem armadura de esforço transverso

VRd 2 - valor máximo do esforço transverso que pode ser suportado sem esmagamento das bielas fictícias de betão

VRd 3 - valor de cálculo do esforço transverso resistente do elemento com armadura de esforço transverso


Independente de o dimensionamento ao esforço transverso ser efectuado com base no Método Padrão ou no Método das Bielas de Inclinação Variável, nas secções do elemento em que se verifique a condição V VSd Rd≤ 1 considerar-se-á que a segurança ao corte não requer armadura transversal específica; dever-se-á, no entanto, dotar o elemento de uma armadura transversal mínima, tal como se referirá no ponto seguinte. O valor de VRd1 determinar-se-á recorrendo à expressão indicada em 4.3.2.3 (1) do EC2, já apresentada na expressão (2.11) deste texto.

Nos elementos para os quais V VSd Rd≥ 1 será necessário prever uma armadura específica de esforço transverso, que será determinada com base na condição V VSd Rd≤ 3 , em que VRd 3 poderá ser determinado a partir do Método Padrão ou do Método das Bielas de Inclinação Variável, tal como descrito nos parágrafos 2.5.1. e 2.5.2. do presente texto (consultar igualmente as cláusulas 4.3.2.2 (3) e 4.3.2.2 (7) do EC2).

A fim de evitar a rotura por esmagamento das bielas comprimidas de betão impor-se-á que V VSd Rd≤ 2 , sendo VRd 2 determinado de acordo com o mesmo método empregue para o cálculo de VRd 3 . No caso de no elemento o esforço transverso de cálculo ocorrer combinado com um esforço axial de cálculo NSd de compressão, os esforços nas bielas comprimidas de betão agravar-se-ão relativamente aos determinados para a exclusiva actuação do esforço transverso VSd , devendo então atender-se a este efeito reduzindo VRd 2 , substituindo-o pelo VRd red2, estabelecido na cláusula 4.3.2.2 (4):

V Vf

VRd red Rdcp eff

cdRd2 2 21 67 1,

,,= −

≤

σ (2.22)

em que σcp eff, representa a tensão média efectiva no betão devida ao esforço normal. Tendo em consideração a eventual existência de uma armadura As2 na zona de compressão do elemento, poder-se-á então considerar que

σγ

cp effSd yk s s

c

N f AA, =

− 2

em que

f yk é a tensão de cedência da armadura de compressão, sendo que se deverá ainda verificar a condição f yk sγ ≤ 400 MPa

Ac é a área total da secção de betão

2.6.2. Elementos que não necessitam de armadura específica de esforço transverso. Armadura transversal mínima em vigas.

Na verificação dos elementos cujo dimensionamento ao esforço transverso não determine a necessidade explícita de utilização de armadura transversal, a condição V VSd Rd≤ 1 é obviamente verificada na totalidade do vão. Nestas condições a idealização da treliça em que se fundamenta a expressão de VRd 2 – preconizada no EC2 e aqui deduzida analiticamente para os Métodos Padrão e das Bielas de Inclinação Variável – não tem grande aplicabilidade, mesmo teórica, uma vez que a inexistência de armadura transversal de certa


forma inviabiliza a conceptualização dos tirantes (e portanto das escoras inclinadas) tal como previstos por Mörsch.

Para ultrapassar esta dificuldade o EC2 indica claramente na cláusula 4.3.2.3 (3) que nestas condições a verificação da segurança ao esmagamento das bielas fictícias se fará considerando

V f b dRd cd w212

0 9= ν , (2.23)

Conforme já foi referido sumariamente, o bom senso recomenda, e salvo algumas excepções† o próprio EC2 impõe nas cláusulas 4.3.2.2 (3) e 5.4.2.2 (6), a necessidade, ou pelo menos a conveniência, de dotar as vigas de uma armadura transversal mínima. Este procedimento visa por um lado possibilitar que para o valor do esforço transverso que produz a formação de fendas de corte, isto é, para V VSd Rd= 1, se possa ‘materializar’ a treliça, e por outro que quando esta situação ocorra o valor do esforço transverso até então suportado pelo betão possa ser integralmente transferido para a armadura transversal, evitando-se a rotura frágil sem aviso.

A percentagem mínima ρw de armadura transversal a utilizar em vigas, definida como é habitual por ρ αw sw wA sb= / ( sen ) , deverá então ser função não só da classe do próprio aço mas também da classe do betão, uma vez que por intermédio de τ Rd esta condiciona o valor de VRd1 . Nas Disposições Construtivas do Capítulo 5 do EC2, Quadro 5.5 da cláusula 5.4.2.2, aparecem indicadas as seguintes percentagens mínimas ρw a utilizar, de acordo com estes critérios:

Quadro I: Valores mínimos de ρw

S220 S400 S500 C12/15 a C20/25 ρw ≥ 0,0016 ρw ≥ 0,0009 ρw ≥ 0,0007

C25/30 a C35/45 ρw ≥ 0,0024 ρw ≥ 0,0013 ρw ≥ 0,0011

C40/50 a C50/60 ρw ≥ 0,0030 ρw ≥ 0,0016 ρw ≥ 0,0013

Em conformidade com o princípio enunciado de transferência da função resistente VRd1 do betão para armaduras específicas de esforço transverso, cuja resistência pode ser avaliada a partir da expressão (2.13), é instrutivo verificar, para o caso de estribos verticais e supondo k = 1 e σ cp = 0 , que a condição V Vwd Rd= 1 conduz a

( )Asb f

sw

w

Rd

ywdl= +

τρ

0 91 2 40

,,

Atendendo ainda à definição de τ Rd , e que de acordo com o EC2 é

( )[ ]f f fctk ctm ck0 052 3

0 7 0 7 0 30, , , ,= =

† Caso das lajes com suficiente capacidade de distribuição transversal das cargas aplicadas, não submetidas a

esforços de tracção significativos, ou de elementos manifestamente de pequena importância estrutural (cláusula 4.3.2.1 P(2) do EC2).


desprezando a contribuição de ρl pode então concluir-se que

( )Asb

ff

sw

w

ck

ywd= 0 04667

2 3

,

Aplicando esta expressão aos betões C16/20, C30/37 e C45/55, que correspondem às classes centrais dos intervalos indicados no Quadro I, ser-se-ia conduzido às seguintes previsões para a percentagem mínima ρw :

Quadro II: Previsão do valor mínimo de ρw

S220 S400 S500 C16/20 0,0015 0,0009 0,0007 C30/37 0,0024 0,0013 0,0010 C45/55 0,0031 0,0017 0,0014

A concordância destes valores com os especificados pelo EC2 é apreciável, o que demonstra a razoabilidade da fundamentação que foi apontada para o estabelecimento da armadura transversal mínima, pelo menos no que se refere à utilização de estribos verticais.

Para um elemento dotado de armadura transversal mínima sob a forma de estribos verticais pode igualmente depreender-se a razoabilidade da expressão (2.23): ela pode ser directamente deduzida de (2.14), apresentada para a verificação da segurança ao esmagamento das bielas fictícias no Método Padrão, fazendo α = 90º .

2.6.3. Elementos que necessitam de armadura específica de esforço transverso. Disposições construtivas.

No dimensionamento de elementos em que V VSd Rd> 1 será indispensável a determinação de uma armadura específica de esforço transverso, que poderá ser calculada a partir do Método Padrão ou do Método das Bielas de Inclinação Variável, sem prejuízo da verificação da cláusula 5.4.2.2 (Quadro 5.5) relativa à armadura transversal mínima em vigas.

Ao conceder ao projectista a possibilidade de escolha da inclinação θ, o Método das Bielas de Inclinação Variável proporciona-lhe uma grande liberdade no dimensionamento das armaduras específicas de esforço transverso, conduzindo com frequência a soluções mais económicas do que as obtidas por intermédio do Método Padrão, mas deixa em aberto a questão relativa à definição daquele ângulo. Visando-se em geral a adopção de baixos valores de θ, que determinam elevadas resistências VRd 3 mas baixos valores de VRd 2 (ver expressões (2.16-19)), uma possível forma de ultrapassar esta indefinição consiste em seleccionar aquela inclinação estabelecendo primeiramente a condição V VSd Rd= 2 , da qual se extrai a cotg θ máxima compatível com a segurança ao esmagamento (sujeita aos limites referidos em 2.2.2.1.), que é em seguida utilizada na condição V VSd Rd= 3 para determinação de A ssw .

Relativamente ao tipo de armaduras de esforço transverso que podem ser adoptadas, no EC2 são explicitamente previstos os varões inclinados e os estribos (verticais ou inclinados), bem como armaduras sob a forma de gaiolas, ‘ladders’ ou outros dispositivos que


incorporem varões de alta aderência convenientemente amarrados nos banzos traccionado e comprimido da treliça - ver Figura 2.13.

De acordo com a tendência actual de favorecer a utilização de estribos em detrimento dos varões inclinados, por aqueles assegurarem um melhor envolvimento e cintagem do betão e das armaduras longitudinais – contribuindo assim para o aumento dos efeitos de engrenagem e de ferrolho e da resistência ao corte do betão –, e também por conduzirem a uma materialização mais distribuída e regular dos tirantes da treliça fictícia, na cláusula 4.3.2.4.1 P(1) impõe-se explicitamente que no caso de se adoptarem varões inclinados terão igualmente de ser previstos estribos verticais, com função resistente pelo menos igual a 50% de VSd . Igualmente explícita é a cláusula 5.4.2.2 (4), onde se impõe que ‘‘… pelo menos 50% das armaduras de esforço transverso necessárias devem ser constituídas por cintas ou estribos’’. As cintas devem ser eficazmente amarradas, tal como expresso em 5.4.2.2 (3).

No caso de se utilizarem varões ou estribos inclinados o respectivo ângulo α não deve ser inferior a 45º (ver 4.3.2.4.1 P(2) e 5.4.2.2 (1)). De acordo com as expressões (2.13-14) e (2.17-19), referidas respectivamente para o Método Padrão e para o Método das Bielas de Inclinação Variável, é fácil de concluir ser em princípio vantajosa a adopção de armaduras de esforço transverso inclinadas, pois relativamente à adopção de estribos verticais conduz não só à redução da quantidade de armadura transversal requerida, como ainda ao aumento da resistência ao esmagamento das bielas comprimidas. Neste sentido a opção por estribos a 45º pode revelar-se atractiva, se bem que esta solução apresente dois inconvenientes:

(i) o facto de conferir um carácter ‘unilateral’ à resistência ao esforço transverso, já que os estribos inclinados só funcionam para esforços cortantes de determinado sinal (o correspondente a fendas que possam ser atravessadas pelos estribos);

(ii) a dificuldade de execução e posicionamento das armaduras, que acaba por reduzir o real interesse económico da solução.

Na transformação dos valores de A ssw requeridos pela segurança ao esforço transverso em armaduras reais dever-se-ão ainda ter em linha de conta os condicionamentos relativos aos espaçamentos máximos smax dos ramos dos estribos e dos varões inclinados, tanto longitudinal como transversalmente, que constam da cláusula 5.4.2.2, e que se transcrevem nos Quadros III, IV e V.

Assinala-se a dependência que nos Quadros III e V é feita entre o espaçamento máximo e o valor de VRd 2 : à medida que o esforço transverso de cálculo se aproxima do valor da resistência ao esmagamento mais importância assume o confinamento do betão, pelo que se torna conveniente proceder a reduções nos valores de smax , preocupação que aparece reflectida naquelas disposições construtivas do EC2.

No ponto 5.4.3.3 do EC2 são ainda indicadas algumas disposições construtivas específicas para lajes.

Figura 2.13 - Armaduras de esforço transverso.


Quadro III: Espaçamento longitudinal máximo de estribos (ou armaduras transversais equivalentes)

V VSd Rd≤ 1 5 2 ⇒ s dmax , mm= ≤0 8 300

1 5 2 32 2V V VRd Sd Rd< ≤ ⇒ s dmax , mm= ≤0 6 300

V VSd Rd> 2 3 2 ⇒ s dmax , mm= ≤0 3 200

Quadro IV: Espaçamento longitudinal máximo de varões

inclinados

s dmax , ( cotg )= +0 6 1 α

Quadro V: Espaçamento transversal dos ramos de um

estribo

V VSd Rd≤ 1 5 2 ⇒ s dmax mm= ≤ 800

1 5 2 32 2V V VRd Sd Rd< ≤ ⇒ s dmax , mm= ≤0 6 300

V VSd Rd> 2 3 2 ⇒ s dmax , mm= ≤0 3 200

2.6.4. Cargas na proximidade de apoios

Um grande número de resultados experimentais sustenta a evidência de que na proximidade de apoios a capacidade resistente VRd1 é manifestamente superior à determinada pela expressão (2.11). Como explicitado em Beeby e Narayanan, 1995, este facto decorre de que para secções localizando-se entre o apoio e uma secção crítica definida por uma escora com θ = 1 2 5cotg , uma percentagem elevada da carga concentrada é transferida directamente para o apoio através de uma biela, e não de acordo com os usuais mecanismos de flexão e corte – ver mecanismo na Figura 2.14.

Experimentalmente verifica-se a acentuação deste efeito com a sucessiva aproximação da carga ao elemento de suporte, encontrando-se previsto na cláusula 4.3.2.2 (9) do EC2, mediante a consideração de uma amplificação da resistência VRd1 junto ao apoio através de um coeficiente β dado por

β = 2 5, d x (2.24a) sujeito aos limites

1 0 5 0, ,≤ ≤β (2.24b)

Figura 2.14 - Efeito de apoio directo

(CSEDH, 1995).


em que x d≤ 2 5, é a distância da carga à face do apoio. A Figura 2.15 ilustra a aproximação desta metodologia aos resultados experimentais.

Como decorre das próprias diferenças dos Métodos Padrão e das Bielas de Inclinação Variável, esta metodologia só se aplica ao primeiro daqueles métodos ou quando os elementos não requeiram armadura específica de esforço transverso, situações em que é apropriado invocar a resistência VRd1 , e encarar a possibilidade da sua majoração.

O EC2 refere ainda que quando as cargas se localizem a menos de 2,5 d da face do apoio se deverá adoptar ao longo desta extensão a maior das armaduras transversais determinadas pelos seguintes cálculos: (i) com a majoração referida entre o apoio e a carga e (ii) com β = 1,0 entre a carga e a distância 2,5 d.

Para se poder tirar partido do aumento de resistência correspondente à introdução do factor β o EC2 pressupõe, obviamente, que o efeito de apoio directo é obtido à custa da mobilização de um esforço de compressão na biela determinante para a transferência da carga. Além disso, esta escora só poderá ser assegurada se conveniente ancorada na armadura longitudinal de tracção, pelo que na extensão 2,5 d não se poderá proceder a qualquer interrupção da armadura longitudinal, sendo inclusivamente necessário proceder à sua conveniente amarração no apoio. No caso de um apoio intermédio a armadura de tracção necessária à face do apoio deve prolongar-se no vão de um comprimento superior ou igual a 2 5, ,d lb net+ . Estes condicionamentos estão especificados na cláusula 4.3.2.2 (11).

Devido ao mesmo efeito de aumento de resistência ao esforço transverso por transmissão directa de cargas junto a apoios, no caso de vigas e lajes sujeitas a carregamentos distribuídos a cláusula 4.3.2.2 (10) refere ainda como sendo conservativo o procedimento que consiste na avaliação de VSd não no apoio directo mas à distância d da face deste.

2.6.5. Translação da força de tracção na armadura longitudinal

No parágrafo 2.2.3 foi referido o facto de a fissuração diagonal que se desenvolve numa viga em consequência do esforço transverso produzir um efeito desfavorável ao nível da armadura localizada no banzo traccionado da treliça, deixando de se verificar uma correspondência directa entre o momento flector de uma secção e a correspondente força de tracção na armadura longitudinal. Na armadura longitudinal de flexão tem então de ser previsto um prolongamento adicional al , dando origem à conhecida translação do diagrama de força na armadura longitudinal.

Figura 2.15 - Resistência ao corte

junto a apoios (Beeby e Narayanan, 1995).


Na Figura 2.16 intenta-se ilustrar este fenómeno, mediante uma representação esquemática da treliça em que se fundamenta o mecanismo resistente de um elemento dotado de armaduras longitudinais e transversais. Com o objectivo de deduzir as expressões que o EC2 indica para al , considerou-se um ponto C localizado numa fenda diagonal, à distância

z 2 dos banzos traccionado e comprimido. No ponto A ocorre a intersecção da força da armadura diagonal (inclinação α) com o banzo comprimido, sendo igualmente a este ponto que se reporta o momento flector de cálculo MSd que conduz ao binário das forças interiores Fc e Fs . Conforme se pode constatar, devido à fenda oblíqua que se dispõe ao longo de BC a força Fs manifesta-se sobre a armadura longitudinal em B, deslocado para a esquerda de A de um

comprimento al , que nas condições da Figura 2.16 se pode afirmar ser:

( )az

l = −2

cotg cotgθ α (2.25)

Este resultado coincide com as indicações fornecidas pelo EC2 na cláusula 5.4.2.1.3, onde se acrescenta a condição de al ≥ 0. A aplicação de (2.25) impõe portanto uma

translação horizontal a conferir ao diagrama da força de tracção na armadura longitudinal, por forma a localizar-se exteriormente ao diagrama envolvente determinado para fazer face ao momento flector (e ao esforço axial, se existente), tal como representado na Figura 2.17.

No caso do Método Padrão obviamente dever-se-á considerar cotgθ =1 em (2.25). Nestas condições é ilustrativo verificar que para estribos verticais esta expressão conduz a a zl = 2 , cerca de metade da translação preconizada no REBAP, e que para estribos a 45º se obtém al = 0 , valor substancialmente diferente da translação

de 0,5 d a que em geral se seria conduzido por aplicação do Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado.

2.6.6. Elementos de altura variável

Em elementos que apresentam uma secção variável ao longo do vão, que determine uma modificação do braço z do binário interno das forças interiores resistentes, como ilustrado na Figura 2.18, o valor de cálculo do esforço transverso a considerar na verificação da segurança ao corte deve ser corrigido em relação ao valor Vod determinado com base no

Fc

Fsw

Fs

z/2 α

β

z/2 cotg α

z/2 cotg θ

al

A

B

C

Figura 2.16 - Translação da força Fs .

Figura 2.17 - Regra da translação.


carregamento exterior. Da Figura 2.18 é fácil de concluir que a força de compressão Fc tem uma componente vertical descendente, portanto paralela e no sentido de Vod , de valor

V Fccd c= senδ (2.26)

Nas condições indicadas este efeito reflecte-se favoravelmente no comportamento do elemento ao esforço transverso, uma vez que o dimensionamento poderá ser efectuado para um valor inferior a Vod , pois da equivalência na secção em causa entre as acções exteriores aplicadas e as forças internas paralelas a Vod resulta

V V VSd od ccd= − (2.27)

em que VSd representa o valor de cálculo do esforço transverso para o qual deverá ser efectuado o dimensionamento.

Observe-se que o esforço Vod determinado pelas cargas exteriores não tem necessariamente que ser vertical, tal como por simplificação assumido na Figura 2.18, pois em rigor o esforço cortante teria até de ser perpendicular ao eixo da peça. A aproximação assumida é no entanto comum e perfeitamente aceitável para pequenas inclinações do eixo da peça; em situações especiais que requeiram o abandono desta

simplificação o princípio geral subjacente à expressão (2.27) permanece no entanto perfeitamente válido, havendo então que referenciar as forças VSd e Vccd à direcção real do esforço transverso Vod .

No EC2 este assunto é abordado na cláusula 4.3.2.4.5, em que é apresentada uma expressão idêntica à (2.27), mas generalizada por forma a contemplar igualmente a possibilidade de na armadura de tracção ocorrer uma componente Vtd do tipo da determinada pelo betão na zona de compressão. Nestas condições ocorrerá então

V V V VSd od ccd td= − − (2.28)

sendo que nos termos do EC2 será:

Vod - valor de cálculo do esforço transverso actuante na secção

Vccd - componente da força na zona de compressão, paralela a Vod

Vtd - componente da força na zona de tracção, paralela a Vod

Nas situações usuais em que a variação da altura de uma viga se processa à custa de pequenas inclinações dos banzos superior e inferior, a que respectivamente correspondem ângulos δ s e δi , é habitual assumir que sen tgδ δs s= e que sen tgδ δi i= . Considerando ainda que F F M zc s Sd= = , a expressão (2.28) pode finalmente ser explicitada da seguinte forma, que decorre da generalização de (2.26):

Figura 2.18 - Elementos de altura variável

(Walther e Miehlbradt, 1990).


( )V VM

zSd odSd

s i= − +tg tgδ δ (2.29)

Deve observar-se que tanto Vccd como Vtd serão considerados positivos, e portanto terão um efeito favorável na redução do esforço transverso de dimensionamento, apenas quando tiverem o mesmo sentido que o esforço transverso Vod , determinado directamente a partir das cargas (cláusula 4.3.2.4.5 (1)). De acordo com a Figura 2.18 é fácil de intuir que isto sucederá quando ao longo do eixo do elemento se verificar uma variação de z e de M Sd no mesmo sentido, situações em que na expressão (2.29) tgδ s e tgδi serão tomados como positivos.

A título exemplificativo de uma situação precisamente contrária à que acaba de ser descrita, na Figura 2.19 descreve-se uma situação em que a variação da altura do elemento tem um efeito desfavorável do ponto de vista do dimensionamento ao esforço transverso.

2.6.7. Efeito do pré-esforço

Invocando o mesmo princípio estático que conduziu à correcção do esforço transverso actuante por efeito da variação de altura do elemento, a presença de cabos de pré-esforço inclinados em relação ao eixo da peça dá igualmente origem a forças internas com uma componente paralela ao esforço transverso Vod . Desta forma o EC2 define na cláusula 4.3.2.4.6 a seguinte expressão para determinação do esforço transverso de cálculo, corrigido do efeito de inclinação dos cabos de pré-esforço:

V V VSd od pd= − (2.30)

em que Vpd designa a componente da força dos cabos paralela a Vod , positiva se no mesmo sentido desta.

Invocando os mesmos raciocínios que conduziram ao estabelecimento de (2.29), da Figura 2.20 resulta que

V V PSd od= − tgα (2.31)

em que α corresponde à inclinação do cabo de pré-esforço relativamente ao eixo da viga. Nas condições desta figura tgα > 0 , pelo que o pré-esforço introduz um efeito de ajuda na determinação da resistência ao esforço transverso, que se traduz na possibilidade de o dimensiona-mento ser efectuado para V VSd od< . Além disso, a compressão decorrente do pré-esforço produz ainda um benefício

MSd

Figura 2.19 - Efeito desfavorável da variação da altura de um elemento.

P

Vod

α

Figura 2.20 - Efeito da inclinação do

pré-esforço.


cumulativo em termos da resistência do betão ao corte, que se manifesta na incrementação de VRd1 através do termo σ cp , tal como descrito na expressão (2.11).

Na verificação da segurança ao esforço transverso não pode, contudo, ser ignorada a influência desfavorável da compressão P no que se refere à possibilidade de esmagamento das bielas fictícias de betão, situação que poderá ser acautelada através da determinação de VRd red2, , definido na expressão (2.22). Além disso, no caso de uma viga pré-esforçada com altura variável, e a menos de justificação apropriada, o EC2 proíbe a acumulação dos efeitos de redução decorrentes da aplicação separada das expressões (2.28) e (2.30) (ver cláusula 4.3.2.4.5 (2)).

Relativamente ao valor do pré-esforço a considerar para P, o EC2 fornece indicações em 4.3.2.4.6 (2).

2.6.8. Corte na ligação entre a alma e os banzos de vigas

Em vigas de betão com banzos salientes, como as representadas na Figura 2.21, as abas ao apresentarem-se salientes da alma estão sujeitas a um esforço rasante que deve ser atendido no dimensionamento.

a) Compressão no banzo b) Tracção no banzo

Figura 2.21 - Treliça na alma e nos banzos de vigas.

O EC2 prevê explicitamente a cláusula 4.3.2.5 para o tratamento deste problema, na qual se adopta como modelo de cálculo um sistema de bielas comprimidas de betão e de armaduras transversais traccionadas. Em cada uma das vigas da Figura 2.21, e para as situações em que os respectivos banzos são comprimidos ou traccionados, pode observar-se que este sistema dá origem a uma treliça horizontal, em correspondência com a treliça vertical com a qual se idealiza o funcionamento ao esforço transverso vertical. Pode igualmente observar-se a disposição recomendada para a armadura transversal no banzo, que realiza uma área Asf num espaçamento longitudinal s f .

Na Figura 2.22 encontra-se representada uma situação típica, tal como prevista no EC2. Para efeitos da verificação do estado limite último de corte na ligação entre o banzo e a alma considerar-se-á a actuação de um esforço rasante ao longo do comprimento av que


separa as secções onde se verificam os momentos flectores nulo e máximo, tal como indicado naquela figura. O valor desse esforço rasante por unidade de comprimento será definido por

vF

aSdd

v=

∆ (2.32)

em que ∆Fd corresponde à variação da força longitudinal que actua numa secção do banzo, e ao longo do comprimento av , como pode ser observado na viga da Figura 2.22. Na verificação da segurança considerar-se-á a possibilidade de o estado limite último ser condicionado pela resistência à compressão das bielas de betão ou pelo esgotamento da capacidade resistente das armaduras transversais do banzo, situações respectivamente traduzidas pelas condições (ver cláusula 4.3.2.5 (4))

v vSd Rd≤ 2 (2.33a)

v vSd Rd≤ 3 (2.33b)

sendo as seguintes as expressões a considerar para as resistências:

v f hRd cd f2 0 2= , (2.34a)

v hAs

fRd Rd fsf

fyd3 2 5= +, τ (2.34b)

τRd tem o significado já anteriormente referido a respeito de VRd1 , e corresponde a um valor de referência para cálculo do esforço transverso resistente atribuível ao betão. hf corresponde à espessura do banzo, tal como indicado na Figura 2.22; no caso de serem colocados vários varões ao longo da espessura hf dever-se-á considerar para Asf a respectiva área total no espaçamento s f .

Na expressão (2.34a) é reconhecí-vel a influência da resistência à compres-são do betão no condicionamento da re-sistência ao esmagamento das bielas, enquanto que em (2.34b) se assinala uma clara adição das resistências do betão e das armaduras, à semelhança do que sucede com o Método Padrão. Para a situação documentada na Figura 2.21b, em que o banzo está submetido a um esforço longitudinal de tracção, o EC2 recomenda que na expressão (2.34b) não seja considerado o termo 2 5, τRd fh que caracteriza a resistência do betão ao esforço rasante (cláusula 4.3.2.5 (5)). Além disso, numa situação em que transversalmente à viga ocorram momentos flectores significativos, a armadura transversal Asf deverá corresponder ao valor determinado por essa flexão, ou por exigência de (2.34b), consoante o que for mais condicionante (ver cláusula 4.3.2.5 (6)).

Figura 2.22 - Ligação entre o banzo e a alma.


2.7. Exemplo de aplicação

Armaduras transversais: estribos verticais. Comparação EC2 - REBAP.

6.0 m

pSd

Secção transversal

0.25

0.45 0.50

0.15

Asl

Viga simplesmente apoiada: l = 6.0 m, h = 0.50 m, d = 0.45 m, bw = 0.25 m Armadura transversal: estribos verticais

Betão: C20/25, fck = 20 MPa, τRd = 0.26 MPa Aço: S400, fyk = 400 MPa

Situação A: Carga uniformemente distribuída: pSd = 40 kN/m Armadura longitudinal constante: Asl = 14.7 cm2 (3φ25)

EC2 - Método Padrão

( )[ ]V k b dRd Rd l cp w1 12 40 015 57 8= + + =τ ρ σ. . . kN

Vf d b

Rdcd w

20 92

404= =ν .

kN

Secção x = 0 VSd = 120 kN

As

V Vd f

sw sd Rd

ywd=

−=1

0 94 4

.. cm / m2

EC2 - Método das Bielas de Inclinação Variável


V VRd sd1 57 8= <. kN - necessidade de armadura transversal

θ = 21.8º cotgθ = 2.5

Vf d b

VRdcd w

sd20 9

278=+

= >ν

θ θ.

cotg tgkN

As

Vd f

sw sd

ywd= =

0 934

. cotg. cm / m2

θ

REBAP

B25, A400

Secção x = 0 VSd = 120 kN V b dcd w= =τ1 73 1. kN


As

V Vd f

sw sd cd

ywd

=−

=0 9

3 3.

. cm / m2

V b d VRd w sd,max kN= = >τ2 900

Armadura transversal mínima

EC2 ( )A ssw min2. cm / m= 2 25

REBAP ( )A ssw min2. cm / m= 2 50

Situação B: Carga uniformemente distribuída: pSd = 90 kN/m Armadura longitudinal constante: Asl = 29.4 cm2 (6φ25)

EC2 - Método Padrão

( )[ ]V k b dRd Rd l cp w1 12 40 015 67 2= + + =τ ρ σ. . . kN

Vf d b

Rdcd w

20 92

404= =ν .

kN


As

V Vd f

sw sd Rd

ywd

=−

=1

0 914 4

.. cm / m2

EC2 - Método das Bielas de Inclinação Variável


V VRd sd1 67 2= <. kN - necessidade de armadura transversal

θ = 21.8º cotgθ = 2.5

Vf d b

VRdcd w

sd20 9

278=+

= >ν

θ θ.

cotg tgkN

As

Vd f

sw sd

ywd

= =0 9

7 7. cotg

. cm / m2

θ

REBAP


V b dcd w= =τ1 73 1. kN

As

V Vd f

sw sd cd

ywd

=−

=0 9

14 0.

. cm / m2


Situação A pSd = 40 kN/m

EC2 REBAP

Método Padrão θ = 21.8º

VSd (kN) 120 120 120 VRd1 (kN) 57.8 Vcd = 73.1 VRd2 (kN) 404 278 VRd,max = 900

Asw/s (cm2/m) 4.4 3.4 3.3 (Asw/s)min (cm2/m) 2.25 2.25 2.50

% m ín R E B A P

1 .1 7 1 .5 5 3 .0 0

% m ín E C 2

E C 2 , P adrã o

E C 2 , θ= 2 1 .8 º

A sw /s(cm 2/m )

2 .2 52 .5

3 .3

4 .4 1

3 .4

x (m )

R E B A P

Situação A: estribos verticais para pSd = 40 kN/m

Situação B pSd = 90 kN/m

EC2 REBAP

Método Padrão θ = 21.8º

VSd (kN) 270 270 270 VRd1 (kN) 67.2 Vcd = 73.1 VRd2 (kN) 404 278 VRd,max = 900

Asw/s (cm2/m) 14.4 7.7 14.0 (Asw/s)min (cm2/m) 2.25 2.25 2.50


2 .1 8 2 .2 5 3 .0 0

% m ín R E B A P

E C 2 , P ad rão

E C 2 , θ = 2 1 .8 º

R E B A P

A sw /s(cm 2/m )

1 4 .4

7 .7

x (m )

1 4 .0

2 .2 5% m ín

2 .5

Situação B: estribos verticais para pSd = 90 kN/m

3. TORÇÃO

3.1. Introdução

No tratamento da resistência de um elemento de betão ao estado limite último de torção é novamente sentida a carência de um modelo teórico bem fundamentado, que permita efectuar previsões do comportamento das peças sob aquele tipo de esforço com um grau de rigor dentro das expectativas do conhecimento científico moderno. Sendo assim, os códigos e a bibliografia especializada procuram abordar a torção de uma forma algo similar à adoptada para o esforço transverso, combinando uma razoável teorização do comportamento do elemento, à custa da idealização de uma treliça espacial, com procedimentos de natureza empírica, inspirados na observação experimental.

No ponto 4.3.3 do Eurocódigo 2 é tratada apenas a torção de equilíbrio, cuja consideração se revela imprescindível para assegurar a estabilidade e equilíbrio do elemento em que se verifica, tal como nos exemplos bem conhecidos reproduzidos na Figura 3.1. A abordagem da torção de compatibilidade, ou seja aquela que se manifesta em virtude da continuidade de rotações entre diferentes elementos flectidos – como nas situações ilustradas na Figura 3.2 –, não é objecto de tratamento uma vez que não compromete a estabilidade, sendo unicamente responsável por eventual fendilhação num estado limite de serviço, facto que a merecer algum cuidado diz respeito ao controlo da funcionalidade do elemento e não da segurança num cenário de estado limite último de resistência.

Figura 3.1 - Torção de equilíbrio (Beeby e Narayanan, 1995).

Figura 3.2 - Torção de compatibilidade (Beeby e Narayanan, 1995).

Uma outra distinção que importa clarificar no contexto da torção tem por base a relevância do fenómeno de empenamento das secções, que frequentemente surge associado a este esforço. Para secções maciças o efeito de empenamento é em geral pouco relevante – ver Figura 3.3a) –, o mesmo sucedendo para secções fechadas de paredes finas, o que possibilita que nesses casos se possa evitar o seu tratamento específico, tal como referido na cláusula 4.3.3.3 do EC2. Este tipo de torção é geralmente titulado de circular ou de St. Venant.


a) Torção circular b) Torção com empenamento

Figura 3.3 - Torção circular e de empenamento (Walther e Miehlbradt, 1990).

Em secções abertas de parede delgada do tipo da ilustrada na Figura 3.3b), com configurações em U ou H, o impedimento do efeito de empenamento pode ocasionar significativos acréscimos de tensões nos elementos. Para assinalar esta nova situação diz-se que se está então perante uma torção com empenamento, que é objecto de referência explícita na advertência contida no ponto 4.3.3.3 P(1) do EC2. Em 4.3.3.3 (2), no entanto, é afirmado poder em geral considerar-se como do lado da segurança abordar o estado limite último de resistência à torção sem levar em conta as tensões de empenamento; estão nesta situação as secções rectangulares e as secções ôcas usualmente empregues em vigas submetidas a esforços de torção.

Destas considerações iniciais decorre que em continuação se abordará exclusivamente a torção circular de equilíbrio.

3.2. Comportamento de elementos à torção

3.2.1. Fase não fendilhada

Procedendo como em relação à abordagem do esforço transverso, far-se-á em primeiro lugar uma referência sucinta ao comportamento elástico de um elemento de betão não armado submetido à torção. O correspondente momento torsor T terá necessariamente um valor muito moderado, e na ausência de esforços de outra natureza (e de efeitos de empenamento) da Teoria da Elasticidade decorre que no plano da secção transversal da peça se desenvolverão exclusivamente tensões tangenciais τ.

Princípios elementares de equilíbrio permitem concluir que em pontos localizados na periferia da secção, onde as referidas tensões tangenciais assumem valores extremos, estas têm direcções paralelas ao contorno – ver Figura 3.4 –, originando localmente um estado de corte puro. Nestas condições as tensões principais formam ângulos de 45º com o eixo da peça, sendo uma de tracção e outra de compressão, ambas com um valor absoluto igual e coincidente com o próprio valor da tensão tangencial τ. Decorre assim um conjunto de isostáticas como o representado na Figura 3.5 para uma barra de secção transversal rectangular, que permite intuir que as primeiras fendas se produzirão ao longo de linhas

τmáx

T T

τmáx

Figura 3.4 - Tensões τ devidas à torção.


formando ângulos de 45º com o eixo do elemento, orientando-se segundo as helicoidais definidas pelas trajectórias de compressão.

Numa situação como a da Figura 3.5, em que o momento torsor T é constante ao longo da peça e se aceita a aplicabilidade da Teoria das Elasticidade, duas secções colocadas ao

longo do eixo e distando de um comprimento unitário registarão uma rotação relativa ϕ, em radianos, dada por

ϕ =T

G Jt (3.1)

em que Jt é o momento de inércia à torção e G é o módulo de elasticidade transversal (num betão com coeficiente de Poisson 0,2 e módulo de elasticidade E verifica-se que G E= 0 42, ).

Para a situação mais corrente em vigas de betão armado, em que a secção transversal é rectangular, de dimensões b h× (b h≤ ), pode aplicar-se a seguinte definição para Jt :

J k b ht = 13 (3.2)

Nesta secção, e como documentado na Figura 3.4, a tensão de corte máxima ocorre a meio do lado maior, valendo

τma x′ = kT

b h2 2 (3.3)

Os coeficientes k1 e k2 envolvidos em (3.2-3) dependem da relação h b , e encontram-se tabelados no Quadro VI.

Quadro VI

h b 1,5 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 ∞ k1 0,196 0,229 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333

k2 4,33 4,07 3,74 3,55 3,35 3,26 3,20 3,00

3.2.2. Fase fendilhada

A partir da intensidade do momento torsor que determinar para a tensão principal de tracção um valor igual à resistência do betão produzir-se-ão fendas segundo os alinhamentos das trajectórias de compressão, que conduzirão à rotura da peça se esta não for dotada de armaduras.

Na hipótese de o elemento ter sido previamente reforçado através de um conjunto apropriado de varões longitudinais e transversais, o momento torsor correspondente ao início da formação de fendas poderá ser mantido sem perda de equilíbrio, mas registar-se-á uma apreciável redução da rigidez torsional da peça. Esta fase encontra-se representada na Figura

Figura 3.5 - Trajectórias de tensões principais em

regime elástico (Walther e Miehlbradt, 1990).


3.6, na qual são perfeitamente observáveis as fendas de tracção, que se dispõem segundo hélices a 45º, tal como prognosticado a propósito da figura anterior.

Figura 3.6 - Fendas devidas ao momento torsor (Walther e Miehlbradt, 1990).

Figura 3.7 - Armaduras de torção (CSEDH, 1995).

Prosseguindo o carregamento este tipo de fendilhação acentuar-se-á, pelo que a capacidade resistente do elemento terá de ser assegurada mediante o emprego de armaduras, as quais terão de intersectar aquelas fendas formando uma rede de costuras, por forma a substituir a função resistente do betão à tracção e evitar o desconjuntamento da peça. Uma solução possível poderia ser constituída a partir da colocação de varões em hélice, que cortariam as fendas na direcção normal, e portanto seguiriam o alinhamento das trajectórias de tracção indicadas na Figura 3.5. Esta solução é de realização prática manifestamente difícil, e apresenta aliás o inconveniente de não funcionar no caso de inversão do sentido de actuação do momento torsor.

Assim, em geral recorre-se a um tipo de armação diferente, que consiste na associação de um conjunto de varões longitudinais, distribuídos ao longo do contorno da secção, a um conjunto de armaduras transversais, estas últimas formando estribos envolventes daqueles varões e repartindo-se ao longo do eixo – ver Figura 3.7. Está assim constituído um mecanismo resistente no qual estas armaduras podem ser idealizadas como tirantes, e funcionam conjuntamente com bielas comprimidas de betão que se dispõem segundo as trajectórias de compressão indicadas na Figura 3.5. Este mecanismo é susceptível de modelação através de uma treliça espacial, como a indicada na Figura 3.8.

Na apreciação das modificações que acompanham a passagem da fase não fendilhada para a fase fendilhada de uma peça à torção, com particular relevância para vigas de secção transversal rectangular, é interessante verificar na Figura 3.9 a acentuada perda de rigidez torsional registada experimentalmente naquela transição. Este facto sanciona o procedimento usual de desprezar a rigidez à torção ‘de compatibilidade’, mas aponta para a necessidade de algumas disposições construtivas serem previstas, a fim de controlar a fendilhação.

Figura 3.8 - Treliça espacial (Walther e

Miehlbradt, 1990).


3.3. Modelo de treliça espacial

De acordo com os resultados experimentais que esquematicamente se encontram ilustrados na Figura 3.10 pode concluir-se que a parte mais interior de uma secção cheia de betão tem uma influência diminuta na correspondente capacidade resistente última à torção, pelo que o comportamento dessa secção ou da secção ôca correspondente praticamente não se distinguem. Idêntica constatação poderia ser obtida por via teórica, comparando as resistências últimas de ambas as secções e tendo em consideração que, como já foi anteriormente afirmado, nas peças de betão armado a capacidade última à torção é atingida com acentuada fissuração, em resultado da qual as secções cheia e vazada são, para efeitos práticos, equivalentes, dada a diminuta ou nula contribuição do betão traccionado.

Figura 3.9 - Alteração da rigidez torsional em função da carga


Figura 3.10 - Comportamento à torção de uma secção cheia ou vazada


Estes resultados são de facto importantes, pois permitem o estabelecimento de um modelo de cálculo relativamente coerente, suportado por um lado na idealização da treliça espacial da Figura 3.8, e por outro nas bem conhecidas expressões propostas por Bredt para o estudo à torção de peças elásticas de secção ôca de parede fina, das quais se destaca a seguinte, baseada na notação da Figura 3.11:

τ =TA tk2

(3.4)

Nesta expressão τ designa a tensão tangencial que se regista numa zona da secção de espessura t (não necessariamente constante) e Ak corresponde à área delimitada pela linha média das paredes finas.

A Figura 3.12 ilustra uma aplicação deste artifício da secção ôca ou eficaz a uma peça de betão armado submetida à torção, na qual são igualmente visíveis as fendas, as armaduras longitudinais e transversais que sustentam o modelo de treliça espacial e o fluxo de tensões tangenciais τ gerado pelo momento torsor. Considerando uma vista lateral da treliça correspondente a esta peça, nas condições esquematizadas na Figura 3.13, em que se supôs uma inclinação θ genérica para as bielas comprimidas, o sistema de forças internas a considerar compreende: (i) F , em correspondência com a armadura longitudinal do canto,


(ii) Fsw , nos estribos e (iii) Fcw , força de compressão nas bielas fictícias de betão. De acordo com a condição de equilíbrio igualmente esquematizada na figura resulta:

F Fcw sw= senθ (3.5)

F F Fcw sw= =cos cotgθ θ (3.6)

T

τ t

Αk

uk

Figura 3.11 - Secção ôca de Bredt.

Figura 3.12 - Secção eficaz de betão (D’Arga e Lima et al., 1996).

Da Figura 3.13 é ainda possível concluir que a força vertical Fsw é estaticamente igual à resultante do fluxo de tensões τ actuantes na lâmina vertical correspondente à parede

representada da secção ôca. Tendo esta lâmina dimensões l t× resulta assim que F l tsw = τ , pelo que invocando a expressão (3.4) se obtém

FT lAsw

k=

2 (3.7)

Uma vez que o espaçamento teórico dos tirantes verticais é l cotgθ (ver Figura 3.13), materializando-os a partir de estribos

verticais de área Asw (cada ramo) e tensão axial σsw pode ainda concluir-se que

T AA

sksw sw= 2

σθcotg (3.8)

Por sua vez à força Fcw corresponde uma biela fictícia de betão de dimensões ( cos )l tθ × , em que se manifesta uma tensão de compressão média σcw tal que

F l tcw cw= σ θcos (3.9)

Invocando (3.5), (3.7) e (3.9), e tendo em linha de conta a relação trigonométrica

sen cos (cotg tg )θ θ θ θ= +1

obtém-se ainda o seguinte resultado

TAl

Ft Ak

cwcw k= =+

2 2sen

cotg tgθ

σθ θ

(3.10)

Figura 3.13 - Vista lateral da treliça espacial

(D’Arga e Lima et al., 1996).


3.4. Dimensionamento à torção de acordo com o EC2

3.4.1. Bases para o dimensionamento

No ponto 4.3.3.1 (3) o EC2 estabelece que a determinação da resistência à torção de um elemento é efectuada assimilando a respectiva secção transversal a uma secção ôca equivalente de paredes finas e espessura t, tal como tem vindo a ser descrito. Este procedimento aplica-se a secções cheias, e também a secções não maciças, situação em que a espessura da parede equivalente não poderá ser superior à espessura real. O valor da espessura t a considerar, com o limite que acaba de ser referido, é definido na cláusula 4.3.3.1 (6):

uAt ≤ (3.11a) em que A corresponde à área total da secção transversal definida pelo contorno exterior (incluindo vazamentos interiores) e u é o correspondente perímetro. Também terá de verificar-se a condição

t c≥ 2 (3.11b) em que c representa o recobrimento dos varões da armadura longitudinal de torção.

No caso de secções de formas complexas (em ‘T’, em ‘L’, etc.) proceder-se-á à sua decomposição em secções elementares, a cada uma das quais se aplica a referida metodologia de substituição por uma secção ôca equivalente, sendo a resistência de cálculo da secção total obtida a partir da soma das resistências daquelas secções elementares. Em todo o caso o EC2 alerta para a necessidade de nesta repartição de funções resistentes se assegurar que a parcela do momento torsor atribuída a cada secção elementar não se afaste excessivamente em relação ao que seria previsto com base num cálculo elástico não fendilhado, que pressupõe uma repartição daquele momento proporcionalmente à rigidez torsional (elástica) de cada secção elementar. Para este efeito a rigidez à torção de uma secção não rectangular será tomada coincidente com a rigidez à torção de St. Venant, que pode ser calculada procedendo à decomposição da secção num número determinado de rectângulos, e somando em seguida as correspondentes rigidezes torsionais. Em todo este processo dever-se-á considerar como adequada a decomposição da secção que conduzir à maximização da rigidez à torção.

Na verificação da segurança à torção (estado limite último) serão considerados os dois seguintes valores de cálculo do momento torsor resistente (cláusula 4.3.3.1 (5)):

TRd1 - valor máximo que pode ser suportado sem esmagamento das bielas fictícias de betão

TRd 2 - valor máximo que pode ser suportado pelas armaduras de torção

que evidentemente não poderão ser excedidos pelo momento torsor actuante de cálculo TSd .

No estabelecimento de TRd1 e TRd 2 far-se-á uso das expressões deduzidas no parágrafo 3.3, introduzindo-lhes pequenas transformações que serão apresentadas nos pontos seguintes.

3.4.2. Armadura transversal e longitudinal

A partir da expressão (3.8), que relaciona o momento torsor T com as armaduras transversais, é possível deduzir a seguinte expressão, referenciada no parágrafo 4.3.3.1 (7) do EC2


T Af A

sRd kywd sw

2 2= cotgθ (3.12)

De facto é imediato constatar que ambas as expressões têm correspondência directa, sendo que relativamente a (3.8) se procedeu à substituição de T pela resistência de cálculo determinada pelas armaduras, TRd 2 , e na posição correspondente a σsw se passou a considerar f ywd , valor de cálculo da tensão de cedência do aço dos estribos. Ak corresponde à área

delimitada pela linha média das paredes finas da secção ôca equivalente; o correspondente perímetro será designado por uk , estando estas definições em perfeito acordo com a notação considerada na Figura 3.11.

A selecção da inclinação θ das bielas de betão relativamente ao eixo do elemento é efectuada de acordo com procedimentos similares aos apresentados para o Método das Bielas de Inclinação Variável, isto é, condicionada pela segurança ao esmagamento das bielas fictícias, e salvo justificação especial pelo seguinte limite

0 4 2 5, cotg ,< <θ

Relativamente à armadura longitudinal o estabelecimento da expressão que a relaciona com TRd 2 pode ser conduzido com base na relação (3.6). Deve ainda notar-se que em cada canto da secção ôca da Figura 3.12 convergem duas lâminas de betão, das quais na Figura 3.13 só se representou uma, pelo que a força F deduzida em (3.6) na realidade não corresponde à força total na armadura longitudinal localizada na vizinhança de um canto, mas unicamente a contribuição para essa força determinada pela lâmina considerada.

Uma vez que F l tsw = τ pode ser interpretado como a resultante do fluxo de tensões de corte na lâmina que determina a referida força F Fsw= cotgθ , numa secção genérica com um número qualquer de paredes dever-se-á verificar que

( )F l t u tk∑ ∑= =τ θ τ θcotg cotg (3.13)

Designando então por Asl a área correspondente à totalidade da armadura longitudinal a dispor em toda o perímetro uk da secção, e sendo f yld o valor de cálculo da respectiva tensão de cedência, conjugando (3.4) e (3.13) resulta por fim

A fT u

Asl yldRd k

k= 2

2cotgθ (3.14)

que coincide com a expressão definida no EC2 (cláusula 4.3.3.1 (7)).

3.4.3. Segurança das bielas comprimidas

O momento torsor resistente que corresponde à eminência de esmagamento das bielas de betão da treliça espacial pode ser directamente determinado a partir da expressão (3.10), na qual se substituirá T por TRd1 e σcw por ν f cd , resultando assim a expressão indicada no ponto 4.3.3.1 (6) do EC2:

Tf t A

Rdcd k

12

=+

νθ θcotg tg

(3.15)

Para aplicação nesta expressão o factor de eficácia será definido pela igualdade


ν = −

≥0 7 0 7

2000 35, , ,

fck ( fck em MPa) (3.16a)

no caso de haver unicamente estribos na periferia exterior da secção, tal como representado na Figura 3.14a). Quando haja estribos fechados nas duas faces da parede ôca (real ou equivalente) – ver Figura 3.14b) – o efeito favorável decorrente da cintagem do betão permite que a expressão a considerar seja

ν = − ≥0 7200

0 50, ,fck (3.16b)

de aplicação menos gravosa que a anterior.

3.4.4. Disposições construtivas

Na cláusula 5.4.2.3 o EC2 refere um conjunto de disposições aplicáveis às armaduras de torção, das quais se destacam as seguintes:

- As cintas de torção deverão ser perpendiculares ao eixo longitudinal do elemento, e ser fechadas e convenientemente amarradas por meio de sobreposições ou de ganchos. A Figura 3.14 documenta exemplos de aplicação desta disposição.

- As cláusulas 5.3.2.2 (3-6), relativas às disposições construtivas a serem respeitadas na colocação da armadura específica de esforço transverso, e que já foram abordadas no parágrafo 2.7.2. deste texto, aplicam-se igualmente às cintas de torção. Estas deverão assim satisfazer o disposto no Quadro 5.5 do EC2 relativo à percentagem mínima de armadura transversal.

- O espaçamento longitudinal das cintas de torção deve ser tal que satisfaça a condição s uk≤ 8 , e respeite ainda os condicionamentos estabelecidos em 5.4.2.2 (7) para a distância máxima entre ramos sucessivos de estribos.

- Deverá ser colocado pelo menos um varão longitudinal em cada canto da secção transversal, a fim de assegurar a transmissão aos estribos da pressão desenvolvida pelas bielas comprimidas de betão, tal como esquematicamente ilustrado na Figura 3.15. Os restantes varões longitudinais deverão ser uniformemente distribuídos ao longo do contorno interno das cintas (como se observa na Figura 3.14), e por forma a assegurar uma separação não superior a 350 mm.

a) b)

Figura 3.14 - Estribos para torção (CSEDH, 1995).

Figura 3.15 - Secção eficaz de betão



3.4.5. Efeitos combinados de acções

Nas situações em que o momento torsor surge associado a outros esforços, nomeadamente o momento flector, o esforço axial e o esforço transverso, há necessidade de proceder à combinação dos correspondentes efeitos. O EC2 refere duas estratégias para atingir este objectivo: o método geral e o método simplificado.

3.4.5.1. Método geral

Na cláusula 4.3.3.2.1 o EC2 refere como metodologia geral para abordagem destas situações, em que há associação de esforços de diferente natureza, a que decorre da utilização dos princípios convencionais, elásticos ou plásticos, de determinação de tensões. Para tal a idealização da secção ôca de paredes finas pode continuar a ser seguida, procedendo-se à determinação das tensões correspondentes, que permitem calcular as armaduras necessárias e controlar o risco de esmagamento do betão. A compressão máxima no betão decorrente da combinação do esforço transverso com a torção não deve exceder ν f cd , em que o factor de eficácia assumirá os valores expressos em (3.16b) para secções em caixão com armaduras na disposição indicada na Figura 3.14b), ou (3.16b) nas restantes situações.

3.4.5.2. Método simplificado para combinação de torção com flexão e esforço normal

De acordo com as cláusulas 4.3.3.2.2 (1-2) do EC2, nas situações em que a torção surja associada com flexão (simples ou composta) e não se pretenda recorrer ao método geral, a armadura necessária para a actuação conjunta daqueles esforços pode ser determinada a partir dos seguintes procedimentos:

- A armadura longitudinal requerida pela flexão é calculada separadamente da armadura longitudinal requerida pela torção.

- As duas armaduras assim determinadas serão dispostas na secção em obediência aos correspondentes requisitos construtivos e de estabilidade, devendo adicionar-se na zona traccionada de flexão. Se no domínio comprimido de flexão a força (ou tensão) longitudinal determinada pela torção for inferior à força (ou tensão) de compressão determinada pela flexão a correspondente armadura longitudinal de torção pode ser omitida.

Torção Flexão Torção e flexão

Figura 3.16 - Torção combinada com flexão (D’Arga e Lima et al., 1996).


Na Figura 3.16 pode observar-se uma representação esquemática do princípio estático subjacente ao método simplificado referido.

Finalmente nas situações em que o momento flector seja muito elevado dever-se-á assegurar que a máxima tensão principal de compressão decorrente da associação da flexão com a torção não exceda o valor α f cd usualmente assumido para o estado limite último de flexão. A determinação daquela tensão principal far-se-á considerando um estado de tensão plano, em que a tensão normal coincide com a compressão longitudinal média determinada pela flexão, e a tensão tangencial é a decorrente da torção, definida pela fórmula de Bredt:

τSdSd

k

TA t

=2

(3.17)

3.4.5.3. Método simplificado para combinação de torção com esforço transverso

Na combinação de torção com esforço transverso a verificação da segurança ao esmagamento das bielas fictícias de betão far-se-á de acordo com a condição

TT

VV

Sd

Rd

Sd

Rd1

2

2

2

1

+

≤ (3.18)

que o EC2 define em 4.3.3.2.2 (3), e que relaciona TSd e VSd mediante uma curva de interacção circular.

O dimensionamento dos estribos a colocar no elemento será efectuado em separado para a torção e para o esforço transverso, adicionando depois as armaduras assim obtidas. No dimensionamento ao esforço transverso utilizar-se-á unicamente o Método das Bielas de Inclinação Variável, fazendo uso do mesmo ângulo θ que for considerado para a torção, e que servirá igualmente para a determinação de TRd1 e VRd 2 .

Transverso Torção Transverso + Torção

Figura 3.17 - Torção combinada com esforço transverso (Walther e Miehlbradt, 1990).

A Figura 3.17 ilustra um procedimento perfeitamente coerente com o que acaba de ser descrito, e que consiste na substituição do momento torsor por dois binários aplicados às paredes da secção ôca, os quais determinam esforços de corte nas lâminas de betão que são facilmente adicionáveis às componentes do esforço transverso. As forças que integram aqueles binários correspondem às resultantes das tensões tangenciais devidas à torção que se manifestam na parede respectiva, e cuja determinação pode ser efectuada com base na expressão (3.17). A operação ilustrada revela-se engenhosa e de fácil aplicação, sendo extremamente útil para a identificação da lâmina mais esforçada, que será em seguida dimensionada como se exclusivamente submetida a um esforço transverso, resultante da adição das componentes de corte devidas a TSd e VSd .


Na Figura 3.18 pode observar-se uma outra modalidade de representação dos efeitos decorrentes da combinação dos esforços transverso e de torção, sob a forma das correspondentes distribuições das tensões de corte.

Torção Transverso Transverso + Torção

Figura 3.18 - Tensões de corte na associação de torção com esforço transverso (D’Arga e Lima et al., 1996).

Finalmente, na cláusula 4.3.3.2.2 (5) o EC2 refere a possibilidade de em secções maciças aproximadamente rectangulares se dispensar a determinação de armaduras específicas de esforço transverso e de torção, à excepção dos estribos mínimos, nas situações em que sejam cumpridas as seguintes condições:

TV b

SdSd w≤4 5,

(3.19)

VT

V bVSd

Sd

Sd wRd1

4 51+

≤

, (3.20)

3.5. Exemplo de aplicação

TSd = 23kNm

Betão C25/30; c = 2 cm; Secção: 0,40×0,50 m2

u = 1,8 m

t ≤ A/u = 0,111 m (> 2 c = 0,04 m)

Tomando o máximo valor possível t = 0,111 m:

( ) ( )Ak = − × − =0 4 0 111 0 5 0 111 0 1124, , , , , m2

( )uk = − + − × =0 4 0 111 0 5 0 111 2 1 356, , , , , m

( )ν = − =0 7 0 7 25 200 0 4025, , / ,

( ) ( ) ( )TRd1 2 0 4025 25 1 5 0 111 0 112 0 1674= × × × × + = +, / , , , / tg cotg , tg cotgθ θ θ θ

( ) ( )[ ]T A s A uRd s sl k2 2 400 115 0 112 2 400 115 0 112= × × ×Min / / , , cotg ; / / , , tgθ θ

0,50

0,40 m


θ 26,6º 35º 45º 55º 63,4º

tg θ cotg θ

0,5 2

0,70 1,43

1 1

1,43 0,70

2 0,5

TRd1 (kN) 67 78,6 83,7 78,6 67

T TRd Sd2 = → A ssw / 1,47 2,06 2,94 4,20 5,88

A usl k/ ≥ 5,88 4,20 2,94 2,06 1,47

A s A usw sl k/ /+ 7,35 6,26 5,88 6,26 7,35

Logo o valor total de aço é mínimo para θ=45º.

Fixando o valor de θ em 45º, seguidamente proceder-se-á à avaliação da variação da armadura com a espessura da secção ôca equivalente, considerando para t valores dentro dos limites mínimo e máximo acima determinados, isto é, 2 c = 0,04 m e 0,111:

t (m) 0,04 0,0667 0,08 0,10 0,111

TRd1 (kN) 44,4 64,6 72,1 80,5 83,7

A s A usw sl k/ /= 2,00 2,29 2,46 2,76 2,94

A s A usw sl k/ /+ 4,00 4,58 4,92 5,52 5,88

Como se verifica, para a espessura mínima t c= =2 0 04, m foi obtida a solução mais

económica em termos do dispêndio da armadura total, continuando a assegurar-se uma resistência TRd1 superior ao valor do momento torsor actuante.

4. PUNÇOAMENTO

4.1. Introdução

Os esforços de punçoamento ocorrem essencialmente em lajes sem vigas na zona de transmissão de esforços aos pilares (lajes fungiformes), em zonas de cargas concentradas aplicadas directamente em lajes, ou em sapatas de fundação de pilares. Estes esforços estão associados a uma rotura local por corte num contorno da área de carga e são especialmente críticos quando as cargas são excêntricas, estando associadas a momento flectores.

A rotura por punçoamento caracteriza-se por uma rotura frágil essencialmente condicionada pela resistência à tracção e à compressão do betão.

V V V

Laje fungiforme

Laje de transição

V V

V

Fundações directas

Figura 4.1 - Esforços de punçoamento.

4.2. Caracterização da rotura por punçoamento

O estado limite último de punçoamento é normalmente caracterizado pelo aparecimento de um cone de rotura, desenvolvido a partir da área de carga e cuja geratriz faz um ângulo com o plano da laje entre 25° a 35°.

Figura 4.2 - Cone de rotura por punçoamento.

Esforço Transverso. Torção. Punçoamento - 45

4.3. Mecanismo resistente ao punçoamento

Vários autores têm defendido a rotura por punçoamento de formas diversas e nem sempre convergentes, devendo-se este facto à complexidade do problema e aos inúmeros parâmetros envolvidos. De facto não sendo fácil construir modelos matemáticos genéricos e acessíveis para o tratamento de diversas situações têm sido adoptados modelos semi empíricos baseados em resultados experimentais.

Foi possível, através de ensaios levados à rotura, Figura 4.3, identificar um mecanismo resistente ao punçoamento e das suas observações desenvolveram-se modelos que permitem o tratamento de algumas situações particulares surgindo no entanto dificuldades na sua generalização.

Figura 4.3 - Vista de um cone de rotura por punçoamento (Foto EMPA).

Relativamente a um pilar interior de uma laje, carregado simetricamente em qualquer direcção, não havendo armadura de reforço ao punçoamento nem pré-esforço na laje, há uma convergência de ideias relativamente ao comportamento da laje ao punçoamento. A laje divide-se em vários segmentos devido à fissuração radial de flexão Figura 4.4. A parte mais estreita destes segmentos encontra-se junto à área carregada (pilar) onde surge também fissuração circunferêncial de flexão.

Antes do colapso a maior deformação de cada segmento é a rotação em torno de um eixo junto ao perímetro do pilar. Nas zonas comprimidas por flexão as deformações radiais concentram-se numa zona restrita junto ao pilar, enquanto que na zona traccionada surgem fissuras radiais inclinadas que ocorrem entre 1/3 e 2/3 da carga última. A parte exterior dos segmentos rodam como um corpo rígido com deformações radiais substancialmente menores que as deformações tangenciais.


a) Carga de serviço Rser = 0,4 Ru b) Carga de rotura Ru

Figura 4.4 - Fissuração num ensaio (EMPA). Laje circular com carregamento simétrico.

No perímetro do pilar, junto à superfície onde eventualmente venha a ocorrer o colapso, as forças de corte são resistidas pelas compressões radiais inclinadas na zona comprimida, pelas forças de atrito entre fissuras e pelo efeito de “cavilha” das armaduras de flexão, Figura 4.5

Figura 4.5 - Mecanismos de resistência ao punçoamento.


Como foi referido, há vários métodos de abordar o punçoamento, sendo normalmente atribuído a Kinnunen e Nylander o modelo mais completo Figura 4.6

Figura 4.6 - Mecanismo de rotura segundo Kinnunen e Nylander.

Este modelo, apoiado em ensaios, define tensões tangenciais em todas as direcções, definindo ainda as rotações da laje nas várias fases da fissuração até à rotura.

Pela análise do mecanismo proposto evidencia-se que o equilíbrio só é garantido com a contribuição das armaduras de flexão da laje. De facto, diversa regulamentação e em particular o EC2 nos seus parágrafos 4.3.4.1. e 4.3.4.5.3., obrigam à colocação de percentagens mínimas de armadura de flexão para que o modelo resistente assumido no código se possa aplicar.

Em face das dificuldades de aplicação de modelos gerais no tratamento deste problema, diversa regulamentação adopta procedimentos baseados em modelos simples que podem ser aplicados a situações correntes de uma forma simples.

O método utilizado na prática pelos diversos regulamentos é o método da superfície crítica de punçoamento Figura 4.7

Figura 4.7 - Caracterização do punçoamento.

Método da superfície crítica.


Neste método, as tensões de punçoamento actuantes calculam-se pela divisão da carga de punçoamento pela área de uma superfície crítica perpendicular à laje (ou à sua face traccionada) e que contorna a área carregada (pilar). Os valores resistentes ao punçoamento são definidos em conformidade com a superfície crítica adoptada.

A maior parte dos regulamentos adoptando este método diferem no entanto entre eles na definição da superfície crítica, na quantificação dos esforços actuantes e na definição dos esforços resistentes.

O REBAP e também o CEB código modelo 1978 adoptam uma superfície crítica à distância d/2 da face do pilar, sendo d a altura útil da laje, definindo no entanto uma tensão de corte de referência para a quantificação do esforço resistente superior à estabelecida para o esforço transverso.

No EC2 a proposta foi no sentido de se adoptarem os mesmos valores de referência utilizados para o esforço transverso na quantificação do esforço resistente definindo-se a superfície crítica à distância 1,5 d da face do pilar.

Convirá referir que este método é apenas uma aproximação da realidade tratando-se essencialmente de um método semi empírico de fácil abordagem e que dá resultados satisfatórios nas situações correntes.

4.4. Verificação da segurança ao punçoamento de acordo com o EC2

4.4.1. Disposições segundo o EC2

O problema do punçoamento é abordado no EC2 de forma análoga, em termos de metodologia ao preconizado no REBAP. O método utilizado é o já referido método da superfície crítica sendo a verificação da segurança estabelecida por vSd ≤ vRd , com os esforços actuantes e os esforços resistentes definidos na superfície crítica de punçoamento.

As diferenças mais salientes que se verificam em relação às disposições do REBAP surgem na definição da superfície crítica, agora à distância 1,5 d das faces do pilar, e também nos valores da tensão de referência para a determinação dos esforços resistentes.

Quanto ao problema do punçoamento excêntrico, de difícil abordagem, verifica-se que a aplicação do articulado no REBAP aponta para resultados conservadores sendo no entanto omisso nas disposições de armadura para as situações de pilares de canto ou de bordo. O EC2 vem ultrapassar de certa forma as lacunas no que dizem respeito às disposições de armaduras nestas situações de pilares, nomeadamente armaduras de flexão, mas no entanto apresenta um processo expedito para a verificação em relação ao punçoamento excêntrico cuja aplicação nos merece alguma atenção. Comparações efectuadas com as propostas do CEB MC90 que tratam com mais pormenor este aspecto, evidenciam que as indicações do EC2 só serão razoáveis para os casos de pequena excentricidade da carga.


4.4.2. Domínios de aplicação

Os princípios e as regras indicados no EC2 no seu artigo 4.3.4. para o punçoamento são aplicáveis a :

(i) lajes com armadura de flexão superior a 0,5% em duas direcções ortogonais ρlx , ρly ≥ 0,5%

(ii) lajes de fundação. A fundação será considerada como laje se a≥2h

(i) lajes aligeiradas com secção maciça em torno da área carregada, estendendo-se esta zona maciça pelo menos 1,5d para além do contorno crítico.

Devendo ainda ser verificadas as seguintes condições relativas à área carregada:

Áreas carregadas pequenas

(i) áreas carregadas circulares com diâmetro inferior a 3,5 d (d indica a altura útil média da laje)

(i) áreas carregadas rectangulares u ≤ 11 d e a ≤ 2 b

(ii) áreas carregadas com outra forma, as dimensões limites são fixadas por analogia com as formas circular ou rectangular

(iii) áreas carregadas afastadas de outras forças concentradas de modo a que os seus contornos críticos não se intersectem e não se encontrem numa zona de esforços transversos significativos de outra origem

(iv) no caso de apoios de paredes ou pilares que não cumpram as condições expressas em (ii) a verificação ao punçoamento será feita com o contorno crítico definido na Figura 4.9

Figura 4.9 - Contorno crítico para áreas carregadas alongadas.

a

h

Zona maciça

≥ 3d

D ≤ 3.5d

a ≤ 2b

b

u ≤ 11d


4.4.3. Modelo de cálculo

A verificação em relação ao estado limite último de punçoamento é feita a partir de um modelo apropriado ilustrado na Figura 4.10.

A resistência ao punçoamento deve ser verificada ao longo de um perímetro crítico definido. Fora do perímetro crítico a laje tem de satisfazer os requisitos referentes ao esforço transverso, artigo 4.3.2 do EC2.

Figura 4.10 - Modelo de cálculo para o punçoamento.

Estado limite último.

4.4.4. Contorno crítico

4.4.4.1. Em geral

O contorno crítico de uma área carregada circular ou rectangular é definido como um contorno envolvendo a área carregada e afastado desta da distância 1,5 d como ilustrado na Figura 4.11 .Para situações de lajes com capitel poderá ser necessário efectuar a verificação para mais do que um contorno crítico.

Figura 4.11 - Contorno crítico área carregada afastada de bordos livres e aberturas.


4.4.4.2. Área carregada junto a bordos livres

Para áreas carregadas localizadas junto de um bordo livre ou de um canto, o contorno crítico deve ser considerado como ilustrado na Figura 4.12 . Caso resulte mais desfavorável do que a situação geral.

Figura 4.12 - Contorno crítico junto de um bordo livre.

4.4.4.3. Área carregada junto a aberturas

Nos casos de áreas carregadas situadas a uma distância inferior a 6 d de uma abertura, o contorno crítico é definido na Figura 4.13

Figura 4.13 - Contorno crítico: abertura próxima da área de carga.

É de realçar que nos casos de aberturas com dimensões significativas uma parcela importante do contorno crítico é subtraída, a posição do seu centro de gravidade é desviada originando que um caso de punçoamento centrado se torne num caso de punçoamento excêntrico.

4.4.4.4. Área crítica - secção crítica

A área crítica é a área definida pelo contorno crítico.

A secção crítica é a secção que acompanha o contorno crítico de perímetro u e se estende ao longo da altura útil d. Para lajes de espessura constante a secção crítica é perpendicular ao plano da laje. Para lajes de espessura variável (lajes de fundação) considera-se que é perpendicular à face traccionada.


4.4.5. Método de verificação em relação ao punçoamento

O método de verificação ao punçoamento baseia-se em três valores do esforço transverso resistente no contorno crítico

vRd1 valor de cálculo do esforço transverso resistente por unidade de comprimento do contorno crítico, para uma laje sem armadura de esforço transverso.

vRd2 valor de cálculo máximo do esforço transverso resistente por unidade de comprimento do contorno crítico, para uma laje com armadura de esforço transverso.

vRd3 valor de cálculo do esforço transverso resistente por unidade de comprimento do contorno crítico, para uma laje com armadura de esforço transverso.

A verificação de segurança é efectuada por :

Situação 1

vSd < vRd1 não é necessária armadura de esforço transverso

Situação 2

vRd1 ≤ vSd ≤ vRd2 é necessário utilizar-se uma armadura de esforço transverso ou outro tipo de conector de esforço transverso de modo a que :

vSd ≤ vRd3

Situação 3

vSd > vRd2 é necessário redimensionar a secção aumentando as dimensões do pilar ou a espessura da laje

4.4.5.1. Esforço transverso actuante vSd

No caso de uma carga concentrada ou de uma reacção de apoio, o esforço transverso aplicado por unidade de comprimento é dado por:

vV

uS dS d

=β

em que :

vSd valor de cálculo do esforço transverso actuante. Numa laje este valor é calculado ao longo do perímetro u. Para uma sapata de fundação é calculado ao longo do contorno da base do tronco do cone de punçoamento, considerando como formando-se a 33,7°, desde que esteja contido na fundação;

u perímetro do contorno crítico;

β coeficiente que tem em conta os efeitos de excentricidade das cargas. Este valor pode ser tomado:


β = 1 nos casos em que não existam excentricidades das cargas

Nas situações correntes de lajes fungiformes podem considerar-se os valores aproximados :

β = 1,15 pilares interiores

β = 1,40 pilares de bordo

β = 1,50 pilares de canto

Podem ainda ser adoptados outros valores de β baseados numa análise mais rigorosa desde que estejam associados a métodos adequados que garantam a amarração da armadura no bordo da laje.

4.4.5.2. Punçoamento excêntrico

As situações de punçoamento excêntrico são tratadas de uma forma simplificada pelo EC2 podendo numa análise simplista parecer-nos que o REBAP dá um tratamento mais rigoroso a esta questão. De facto, no REBAP é possível efectuar-se a verificação da segurança nestes casos a partir de uma tensão de corte máxima obtida em função da excentricidade da carga de punçoamento. O EC2 dá-nos unicamente uma indicação de valores de majoração β a aplicar ao esforço transverso actuante para se ter em conta o efeito da excentricidade deste esforço.

Quando uma acção de punçoamento é aplicada com excentricidade, uma parte do momento M (M = V.e) é transmitida através de uma distribuição desigual das tensões verticais de corte, ao longo das secções em volta da área carregada, sendo a parte restante do momento transmitida por flexão e por torção.

A distribuição destes 3 tipos de esforços depende de vários parâmetros, tais como, as dimensões da área carregada, do perímetro crítico de punçoamento e da espessura da laje. Na Figura 4.14 representa-se uma distribuição “típica” dos esforços de flexão, torção e corte numa laje solicitada por um momento de punçoamento obtida a partir de uma análise elástica.

Figura 4.14 - Distribuição de momentos e das tensões de corte (segundo MAST).

Podemos então de uma forma simplificada determinar a força máxima de corte no contorno de referência considerando a excentricidade numa única direcção:


vVu

kMwmax

Sd Sd= +

vmax Valor de cálculo máximo do esforço transverso por unidade de comprimento do contorno crítico.

VSd Valor de cálculo do esforço transverso actuante.

u perímetro do contorno crítico

k percentagem do momento equilibrado por tensões de corte, função das dimensões do pilar

w módulo de flexão do contorno crítico

Considerando constante a força de corte máxima vmax obtemos:

VSd,ef = vmáx .u

V Vk uw

eSd ef Sd,

.= +

1

A consideração do efeito da excentricidade do esforço de punçoamento é feita de uma forma análoga por diversos regulamentos. De facto este problema é considerado através da majoração do esforço de punçoamento com um determinado coeficiente que no entanto não é assumido da mesma forma. Vejamos como o REBAP, EC2 e MC90 consideram este efeito:

REBAP

Considera o contorno crítico à distância d/2 da área carregada

Admite uma distribuição linear das forças de corte ao longo do contorno crítico.

Expressão aproximada para pilares rectangulares :

V Ve e

b bSd ef Sd

x y

x y, ,

.= +

+

1 1 5

sendo:

ex, ey - excentricidades segundo x e y

bx, by - dimensões do contorno crítico segundo as direcções x e y

EC2

VSd,ef = β.VSd

β = 1,15 pilares interiores

β = 1,40 pilares de bordo

β = 1,50 pilares de canto


CEB-FIP MC90

Considera o contorno crítico à distância 2d da área carregada

Admite uma distribuição plástica das forças de corte no contorno crítico.

Expressão aproximada para pilares rectangulares :

V Vk uw

ek uw

eSd ef sdx

xx

y

yy,

. .= + +

1

c1 , c2 dimensões do pilar nas direcções x e y

c1 / c2 0,50 1,00 2,00 3,00

k 0,45 0,60 0,70 0,80

u=2(c1+c2)+4πd

wx=c12/2+c1c2+4c2 d+16 d 2+2π d c1

wy=c22/2+c1c2+4c1 d+16 d 2+2π d c2

Procurando comparar-se os procedimentos apresentados pelo REBAP, EC2 e MC90 fez-se a sua aplicação para o caso de um pilar com a secção 0.50x0.50 m2 e uma laje de 0.25m de espessura obtendo-se o valor de β= VSd,ef / VSd ilustrado na figura 15. Podemos verificar que o REBAP considera este efeito de uma forma muito conservadora, apresentando diferenças de 50% em relação ao MC90 para valores altos da excentricidade. O EC2, com os coeficientes propostos consegue tratar os casos de pequena excentricidade com razoabilidade, mas para valores mais elevados da excentricidade conduz a resultados inseguros. A aplicação dos valores de β propostos no EC2, sendo independentes da excentricidade, reveste-se de alguma dificuldade. De facto mesmo para uma laje fungiforme a existência ou não de acções horizontais reflecte-se directamente na excentricidade do esforço de punçoamento, facto não considerado pelo EC2. Uma forma de se ultrapassar esta dificuldade poderá passar pela aplicação de um coeficiente β obtido de forma análoga à indicada no MC90, mas considerando-se a posição do contorno crítico à distancia 1,5d.


Figura 4.15 - Efeito da excentricidade na verificação ao punçoamento.

Comparação EC2, REBAP, MC90.

4.4.5.2. Resistência ao punçoamento

• Lajes ou sapatas de fundação sem armadura de punçoamento

O esforço resistente de punçoamento por unidade de comprimento de lajes não pré-esforçadas é dado por:

vRd1= τ Rd k.(1,2+40 ρl ).d

em que:

k=(1,6-d)≥ 1,0 (d em metros)

ρ ρ ρl lx ly= ≤. ,0 015

d=(dx+dy )/2 dx e dy são as alturas úteis da laje nos pontos de intersecção da superfície de rotura de cálculo com a armadura longitudinal.

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

τ Rd (MPa) 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48

• Lajes com armaduras de punçoamento

Os esforços resistentes de punçoamento por unidade de comprimento de lajes com armaduras de punçoamento são dados por:

vRd2=1,6vRd1

vRd3=vRd1+∑ Aswƒyd senα / u

em que:


∑ Aswƒyd senα é a soma das componentes das forças de cálculo nas armaduras de esforço transverso na direcção da força aplicada sendo α o ângulo entre a armadura e o plano da laje. Estas armaduras devem ser distribuídas no interior do contorno crítico.

4.4.5.3 Cargas excêntricas na ligação laje-pilar

Para assegurar que a resistência ao punçoamento se pode desenvolver, a laje deve ser dimensionada para valores mínimos de momentos flectores por unidade de largura obtidos por:

mSdx , mSdy ≥ ηVSd

em que:

VSd esforço transverso actuante

η coeficiente de momentos indicado no quadro 4.1

Posição η para mSdx η para mSdy

do pilar Face superior Face inferior Larg. efectiva by Face superior Face inferior Larg. efectiva bx

Pilar interior -0,125 0 0,3 ly -0,125 0 0,3 lx

Pilares de bordo, bordo da laje paralelo ao eixo x

- 0,25 0 0,15 ly -0,125 +0,125 (por m)

Pilares de bordo, bordo da laje paralelo ao eixo y

-0,125 +0,125 (por m) -0,25 0 0,15 lx

Pilar de canto -0,5 +0,5 (por m) +0,5 -0,5 (por m)

Quadro 4.1. Coeficientes η para o momento de cálculo mínimo nas ligações laje-pilar sujeitas a carga excêntrica

Figura 4.16.


As armaduras resistentes aos momentos referidos deverão ser devidamente amarradas para além do contorno crítico Figura 4.17.

Figura 4.17.

4.4.5.4 Disposições construtivas

Nos casos em que há necessidade de colocar armaduras de esforço transverso para se garantir a resistência ao punçoamento devem ser cumpridas as disposições relativas a estas armaduras estipuladas em 5.4.3.3 do EC2.

Figura 4.18 - Disposições de armadura de punçoamento:

a) estribos b) varões inclinados.

Sendo necessário armaduras de punçoamento estas devem ser colocadas entre o contorno crítico e a área carregada devendo ainda ser superiores a uma armadura mínima. O EC2 define esta armadura mínima como sendo a armadura mínima de esforço transverso para lajes.. A percentagem mínima desta armadura corresponde a 60% da indicada para as vigas no quadro 5.5 do EC2.


Assim temos como armadura de punçoamento:

Punçoamento - Valores mínimos de ρw

S220 S400 S500 C12/15 a C20/25 ρw ≥ 0,00096 ρw ≥ 0,00054 ρw ≥ 0,00042

C25/30 a C35/45 ρw ≥ 0,00144 ρw ≥ 0,00078 ρw ≥ 0,00066

C40/50 a C50/60 ρw ≥ 0,00180 ρw ≥ 0,00096 ρw ≥ 0,00078

sendo ρw definido por:

( )ρα

wsw

crit carreg

A sen

A A=

∑

−

Acrit área definida pelo contorno crítico

Acarreg área carregada

4.5. Exemplos de aplicação

EXEMPLO 1

Pretende-se efectuar a segurança em relação ao punçoamento de uma laje maciça de betão armado (C20/25 ; S400) com 0,25 m de espessura que se apoia directamente num pilar interior com a secção de 0,35x0,35 m. A laje transmite ao pilar uma carga vertical com o valor de cálculo Vsd = 450kN e apresenta uma armadura superior constituída por uma malha # ∅ 16 // 0,125.

Teremos :

C20/25 ; f ck = 20 MPa ; τ Rd = 0,26 MPa

S400 ; f yk = 400 MPa

Laje: h = 0,25 m ; VSd = 450 kN ; Asx = Asy = 16 cm2/m

Pilar: c1 = 0,35 m ; c2 = 0,35 m

d = 0,21 m

ρl x= = <

1621 100

0 0076 0 015, ,

( ) ( )( )v k d kN mrd rd1 1 2 40 260 1 6 0 21 1 2 40 0 0076 0 21 114= + = × − + × × =τ ρ. , . , , , , , /


Contorno crítico - 1,5 d afastado das faces do pilar

u=2(c1+c2)+3πd=3,38 m

vV

ukN mSd

Sd=×

=115

153,

/

como vSd > vRd1 é necessário dimensionar armadura de esforço transverso

Para lajes com armadura de punçoamento os esforços resistentes de punçoamento são dados por:

vRd2 = 1,6.vRd1 = 245 kN/m

v vA f sen

uRd Rdsw yd

3 1= +∑ α

como vRd2 > vSd não é necessário introduzir capitel saliente

fazendo vRd3 = vSd obtemos para estribos verticais

( )∑ =

−=A

v v uf

cmswSd Rd

yd

1 23 8, (armadura pouco significativa)

Armadura mínima de esforço transverso

ρw ≥ 0,00054

sendo neste caso ( )ρα

wsw

crit carreg

A sen

A A=

∑

−

( )( )A c d c d d mcrit = + + −−

=1 2

2 23 336 9

40 8752

π. ,

Acarreg = c1.c2 = 0,1225 m2

virá para estribos verticais

(∑Asw)min= (8752-1225).0,00054 = 4,1 cm2

Esta área de armadura será certamente ultrapassada uma vez que é necessário distribuir os estribos na zona do contorno crítico podendo utilizar-se 12 estribos 2 ramos ∅8

EXEMPLO 2

Verificação da segurança ao punçoamento de uma sapata de fundação de um pilar.

Dados:

Pilar: NSd=3000 kN ; c1=0.60m ; c2=0.40m

Sapata: B1=3.50m ; B2=2.40m ; H=0.65m ; d=0.60m ; ρ=0.004

Materiais: Betão C20/25 ; f ck = 20 MPa ; τ Rd = 0,26 MPa

Aço S400 ; f yk = 400 MPa

Definindo o contorno crítico à distancia 1,5d da face do pilar temos:

u=2(c1+c2)+3πd=7,65 m


( )( )A c d c d d mcrit = + + −−

=1 22 23 3

36 94

4 58π

. ,

Para a carga de cálculo NSd=3000 kN temos uma tensão uniforme no solo;

σSd,solo=357 kPa

Valor de cálculo do esforço actuante de punçoamento

vV A

ukN mSd

Sd Sd solo crit=−

=σ , /178

Valor resistente sem armaduras

( )v k d kN mrd rd1 1 2 40 187= + =τ ρ, . /

como vSd< vRd1 a segurança ao punçoamento está garantida sem necessidade de colocação de armaduras de corte.

Apresentam-se no quadro seguinte as alturas úteis da sapata, requeridas na verificação ao punçoamento pelos códigos indicados.

Altura útil REBAP ACI EH80 EC2

d (m) 0.70 0.55 0.60 0.60


REFERÊNCIAS

D’Arga e Lima, J., Monteiro, Vítor e Pipa, Manuel (1996) - Betão Armado. Esforços Transversos, de Torção e de Punçoamento - LNEC, Lisboa.

Nilson, Arthur H. and Winter, George (1991) - Design of Concrete Structures (Eleventh Edition) - McGraw-Hill, Inc., New York.

Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado (1983) - Decreto-Lei nº 349-C/83, de 30 de Julho.

Walther, René et Miehlbradt, Manfred (1990) - Dimensionnement des Structures en Béton. Bases et Technologie - Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne.

Concrete Structures Euro-Design Handbook (1995) - Ernst & Sohn (Editor J. Eibl Karlsruhe), Berlin.

Beeby, A. W and Narayanan, R. S. (1995) - Designer’s Handbook to Eurocode 2. Part 1.1: Design of Concrete Structures - Thomas Telford Services Ltd, London.

Thonier, Henry (1991) - Effort Tranchant, Torsion, Poinçonnement - Annales Nº 490.

CEB-FIP Model Code 1990 (1993) - Desing Code - Thomas Telford Services Ltd, London,.

Documents

New Curso de Especialização sobre NOVA REGULAMENTAÇÃO DE …civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano4/eb1/ficheiros/Transv... · 2002. 10. 24. · Na Figura 2.1a) estão representadas duas