Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA II

Exame (época normal) – 17/01/2003

NOME: ____________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome

1) (4 VAL.) a) Uma partícula descreve um movimento no espaço definido pelas seguintes trajectória e lei

horária:

⋅==−+

=−+

tsyxyz

2001

012 ( ... e

000

≥=⇒=

yyt

)

Caracterize-o indicando se se trata de um movimento plano ou não plano, rectilíneo ou curvilíneo, uniformemente variado ou não uniformemente variado. Justifique devidamente a resposta.

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A partícula descreve um movimento definido pela intersecção de uma superfície plana ( 01=−+ yz ) com

uma superfície curva cuja projecção no plano oxy representa a equação da parábole ( 012 =−+ yx ). Logo,

a trajectória é plana, i.e. situa-se no plano 01=−+ yz , e curvilínea, dado que a intersecção das duas

equações representa uma linha curva. Quanto à aceleração, como a velocidade linear é constante,

20==dtdsv , a aceleração tangencial é nula; a aceleração normal é diferente de zero e variável no tempo de

modo inverso ao raio de curvatura, que num movimento parabólico não é constante. Logo, o movimento é

não uniformemente variado, i.e. o vector aceleração total não tem norma constante.

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b) Seja ( )tHor

o momento cinético de uma partícula de massa m em relação a um ponto O a descrever uma trajectória no espaço coincidente com a trajectória do centro de gravidade G de um corpo rígido de igual massa m. Nesta hipótese, poderão os momentos cinéticos do corpo rígido e da partícula em relação ao ponto O ser coincidentes? Se sim, diga em que condições. Justifique a resposta.

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O momento cinético da partícula em relação a um ponto O qualquer do espaço é dado por

( ) ( ) ( )tvtrmtH GGorrr⋅⋅= , sendo ( )trG

r o vector posição da partícula em relação ao ponto O e ( )tvG

r a

velocidade da partícula. Tratando-se do corpo rígido o mesmo momento cinético é calculado através da

expressão ( ) ( ) ( ) ( )tvtrmtHtH GGGorrrr⋅⋅+= , sendo ( )tHG

r o valor do momento cinético do corpo em relação

ao seu centro de massa, ( )trGr

o vector posição do centro de massa do corpo em relação ao ponto O e ( )tvGr

a velocidade do centro de massa do corpo. Se, tal como se indica no enunciado, as quantidades ( )trGr

e

( )tvGr

forem iguais para a partícula e para o corpo, então os dois momentos cinéticos poderão ser iguais se

( ) 0=tHGr

, o que se verifica se o corpo possuir apenas movimento de translação, i.e. rotação nula.

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c) Mostre o que acontece no choque central frontal elástico entre duas partículas A e B de igual massa que deslizam sobre uma superfície horizontal sem atrito.

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Se o choque é central os centros das duas massas que

colidem encontram-se na linha de choque; se é

frontal as velocidades das duas partículas têm a

direcção da linha de choque (ver a figura). Nestas

condições, e porque o choque é elástico e ocorre

numa superfície plana sem atrito, existe conservação da quantidade de movimento e da energia cinética do

sistema, i.e. ( ) ( )DepoisBBAAAntesBBAA vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅ e ( )( ) 1==

−

−e

vvvv

AntesBA

DepoisAB , arbitrando para

sentido positivo para as velocidades o indicado na figura. Resolvendo as duas equações conclui-se que se as

massa das duas partículas forem iguais que ( ) ( )AntesADepoisB vv = e ( ) ( )AntesBDepoisA vv = .

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d) Considere o corpo rígido de massa m=10kg indicado, ligado a uma estrutura de rigidez k=100kN/m (constituída por dois pilares de massa desprezável), em vibração livre horizontal imposta por um deslocamento inicial uo. Indique qual o deslocamento máximo que esperaria encontrar na estrutura (=, > ou < a uo) e esboce a variação do deslocamento no tempo para as hipóteses de amortecimento superior (ξ=1.5) ou inferior (ξ=0.1) ao valor crítico ccr. Diga em que condições a estrutura poderia entrar em regime de ressonância para deslocamentos horizontais.

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O deslocamento máximo ocorre no momento inicial de imposição do deslocamento de partida, decrescendo

no tempo, tal como se apresenta na figura anexa. A estrutura entraria em regime de ressonância se fosse

actuada por uma força de variação sinusoidal ( ( ) ( )tptp o ⋅⋅= ωsin ) com uma frequência angular ω

próxima da frequência angular ω natural do sistema, ξ , sendo ξωω −⋅= 1 o amortecimento relativo do

sistema.

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u

m

So l u ção d a E q u a ção d e M o v i me n t o

- 1

- 0 , 5

0

0 , 5

1

1, 5

0 5 10 15 2 0 2 5

t [ s ]

ξ = 0,10

So l u ção d a E q u a ção d e M o v i me n t o

0

0 , 0 2

0 , 0 4

0 , 0 6

0 , 0 8

0 , 1

0 , 12

0 2 4 6 8 10 12

t [ s ]

ξ = 1,50

Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA II

Exame (época normal) – 17/01/2003

NOME: ____________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome

Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .

Nota: Poderão existir mais do que uma ou nenhuma respostas verdadeiras.

COTAÇÕES: i. As respostas têm todas a mesma cotação.

ii. As respostas erradas descontam um terço das respectivas cotações.

iii. As respostas com quadrículas em branco não descontam.

5) (3 VAL.)

a) F De acordo com o teorema da composição das velocidades da cinemática do movimento

relativo, a velocidade de Coriólis num corpo móvel resulta da consideração de um referencial móvel em movimento relativamente a um referencial fixo.

V Sabendo que o vector rotação terrestre é dirigido do Pólo Sul para o Pólo Norte ao longo do eixo de rotação, se um veículo se deslocar, no hemisfério norte, ao longo da superfície terrestre a grande velocidade no sentido Norte para Sul sofrerá uma aceleração de Coriólis com uma direcção perpendicular à da trajectória e com um sentido da direita para a esquerda.

F Quando as velocidades em dois pontos quaisquer A e B de um corpo rígido são paralelas, com grandezas diferentes e a direcção AB é perpendicular à direcção comum das velocidades, então esse corpo encontra-se em movimento de translação.

F Se um corpo rígido se encontra em movimento de translação relativamente a um referencial fixo S1, então a aceleração medida em relação ao referencial S1 é igual à aceleração que é medida no referencial móvel S com origem no centro de massa do corpo.

b)

V Num choque central oblíquo entre dois corpos, se esses corpos se encontravam em movimento de translação antes do choque, então permanecem em movimento de translação após o choque.

F Num choque directo e frontal, as velocidades dos centros de massa dos corpos que colidem têm a direcção da linha de choque mas com sentidos contrários após o choque.

F No estudo do choque entre corpos rígidos aplica-se sempre o princípio da conservação da energia mecânica.

F Se o choque entre dois corpos não for elástico (coeficiente de restituição diferente de 1), então a quantidade de movimento dos corpos após o choque é diferente da quantidade de movimento antes do choque.

c)

F Se um corpo rígido estiver em equilíbrio então o momento cinético em qualquer ponto e em qualquer instante é nulo.

F O momento cinético de um corpo rígido num ponto fixo qualquer é igual ao momento cinético em relação a esse ponto de uma partícula de massa igual à massa total do corpo, localizada no centro de massa e movendo-se com uma velocidade igual à velocidade do centro de massa.

V O momento de inércia I∆ de um corpo rígido é uma medida de inércia de rotação desse corpo.

V Se um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo ∆ que passa pelo ponto O, então a projecção do vector momento cinético, oH

r, na direcção do eixo de rotação tem a grandeza

∆∆ ⋅= IH ω , onde ω é a velocidade angular e I∆ é o momento de inércia de massa em relação ao eixo ∆.

d) A figura ilustra uma plataforma mecânica de 4000kg de massa apoiada num sistema de molas, que se destina a suportar veículos pesados. O veículo-tipo pesado possui uma massa de 40000kg e a plataforma só se pode deslocar na direcção vertical:

F A equação u(t)=A·cos(ωt)+B·sen(ωt) é a solução geral do movimento oscilatório do sistema (plataforma+veículo) quando o veículo se encontra a funcionar e, por isso, induz movimento vibratório na plataforma.

V Se a rigidez total das molas for inferior a 1700kN então a frequência natural do sistema carregado pelo veículo-tipo não excede 1 ciclo por segundo.

F Se a frequência de vibração induzida pelo veículo em funcionamento é aproximadamente igual à frequência do sistema carregado e se o coeficiente de amortecimento é inferior a 20%, então o deslocamento vertical que se obtém na plataforma quando o veículo está em funcionamento é idêntico àquele que se obtém quando o veículo está desligado.

V Tendo em conta que o sistema tem amortecimento, a variação (diminuição) da amplitude do movimento oscilatório é menor quando o veículo sai da plataforma do que quando o veículo fica parado e desligado sobre a plataforma.