Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

Exame de Época de Recurso – 25/07/2003

NOME: ___________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome

1) (3 VAL.) Tempo estimado de resolução – 20 minutos

a) Considere o cabo representado na Figura, suspenso entre os pontos A e B, submetido a uma acção

distribuída variável descendente p(x). Mostre que, independentemente da lei que caracteriza a força

p(x), o esforço axial no cabo é máximo em B.

As componentes de tensão num ponto genérico do cabo são:

∫+⋅=

=⋅=x

AV

AH

dxxpTxT

TxT

0

)(sen)(

constantecos)(

α

α

A componente horizontal do esforço axial num ponto qualquer do

cabo é constante. Por sua vez, a componente vertical é a soma da

componente vertical em A (que é uma constante) com a resultante da

carga e o ponto genérico situado a uma distância x do ponto A.

Assim, para hipótese de α > 0, quanto maior a distância x maior

essa resultante. Portanto, o esforço é máximo em B, que é o ponto

mais afastado de A.

b) Defina ângulo de atrito estático eφ . Relacione-o com o coeficiente de atrito estático eµ entre as

duas superfícies. Justifique a resposta com base na análise das condições de equilíbrio do bloco de

peso P assente numa superfície inclinada caracterizada pelo ângulo α.

O ângulo de atrito estático, eφ , é o ângulo formado pela reacção, R,

e a normal à superfície de contacto, quando o movimento de

translação é iminente. No caso da figura, também corresponde ao

ângulo, α, de inclinação da superfície de contacto para o qual o

deslizamento é iminente.

Considerando as equações de equilíbrio na superfície de contacto:

ea

aa

tgtg

NF

tgNF

senNFφαµ

µ

ααα==⇒

=

=⇒⋅=⋅e

e :definiçãopor como

cos

l

hy

xA

B

p(x)

α

P

TA α

T(x)

β

x

N R

Fa

α

c) Considere o seguinte sistema estrutural. Determine as reacções pelo método do polígono funicular.

B C

E

F

A

D

I

II

F A linha I tem que passar por este ponto.

I

O ponto E está impedido de se mover segundo a direcção vertical.

II

L.F.

L.F.

RB

RE

RB RE

HB

VB

Polígono de forças

Polígono funicular

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RESOLUÇÃO DO EX. 2

a) Determine a tensão máxima no cabo e o valor da força F de interacção nós nós I e O;

Equilíbrio de momentos flectores no nó O: 0=∑ OM

O

2.5 2.5 2.5 2.5

I

L M N 3.0

VI VO

HI HO

8 kN8 kN8 kN

085,280,585,710 =⋅−⋅−⋅−⋅ IV kNVI 12=

Equilíbrio de forças na direcção vertical: 0=∑ VF

0888 =−−−+ OI VV kNVO 12=

Equilíbrio de forças na direcção horizontal: 0=∑ HF

0=− OI HH IO HH =

Equilíbrio de momentos flectores no nó M: 0=∑ MM

2.5 2.5

I

L M 3.0

VI

TM

HI

8 kN8 kN

085,235 =⋅−⋅−⋅ II HV ( )kNHH OI 340==

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Tensão máxima no cabo:

O

2.5 2.5 2.5 2.5

I

L M N 3.0

VI VO

HI HO

8 kN8 kN8 kN

Tmax Tmax

222222max 3,130,12 +=+=+= OOII HVHVT kNT 94,17max =

Força máxima de interacção nos nós I e O:

O

2.5 2.5 2.5 2.5

I

L M N 3.0

V’I V’O

HI HO

8 kN8 kN8 kN

Fint

8 kN 8 kN

Fint

kNVVV OII 208 =′=+=′ 222222int 3,130,20 +=+′=+′= OOII HVHVF

kNF 04,24int =

b) Determine as reacções nos apoios nos nós V e G;

Equilíbrio de forças na direcção vertical: 0=∑ VF

4.0

5.05 kN

R

U V

S NQR

NTU HV

VV

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05 =−VV kNVV 5=

Equilíbrio de momentos flectores no nó P: 0=∑ PM

O

9kN/m

4.0 4.0 2.0 4.0

5.05 kN

Q R

T U

P S

V’O

HO V

HV

VV

HP

VP

( ) 0545634294510 =⋅−′⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅ OOVV HVHV kNHV 13,30−=

Equilíbrio de momentos flectores no nó D: 0=∑ DM

4.0 4.0

15 kN

D G

H I

V’I

HI

VD

HD

VG

5.0

0584 =⋅−′⋅−⋅ IIG HVV kNVG 67,56=

c) Determine o esforço axial na barra bi-articulada [TU].

Equilíbrio de momentos flectores no nó R: 0=∑ RM

4.0

5.05 kN

R

U V

S NQR

NTU HV

VV

05554 =⋅−⋅−⋅ TUV NH kNHV 13,26−=

4 4 kN/m

G

B D

3 kN

20 kNm

E FCA

5 kN

a)

δAδB

θ

VA

3 kN

θδ 4A = e θδ 2B =

0WFext =∑ ⇒ 03V BAA =⋅+⋅− δδ ⇒ kN5.1VA =

b)

θ2θ1

VD

4 kN/m

R1 R2

δD δR1δR2

Esta força distribuída é transformada en duas resultantes R1 e R2 aplicadas nos dois corpos distintos

δE

1.5 m 0.5 m

11R 5.1 θδ = , 1D 2θδ = , 22R 5.0 θδ = , 21E 13 θθδ == ⇒ 213 θθ = kN12R1 = e kN4R2 =

0WFext =∑ ⇒ 0RVR 2R2DD2R1 =⋅+⋅−⋅ δδδ ⇒ kN12VD =

c)

5 kN

20 kNm

θ

δ

MG

θδ 1=

0WFext =∑ ⇒ 0M205 G =⋅−⋅+⋅ θθδ ⇒ kNm25MG =

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NOME: ___________________________________________________________________________

6/8

Não esqueça de escrever o

nome Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .

Nota: Poderão existir nenhuma ou mais do que uma resposta verdadeiras.

5) (3 VAL.)

a) F Um torsor cujos invariantes escalar e vectorial são nulos é equivalente a zero. V Os elementos definidores de um campo de momentos são o vector principal e o vector

momento num ponto qualquer do espaço. V Adicionando a um sistema de forças um vector igual e oposto à sua resultante, aplicado

num ponto qualquer do eixo central, obtém-se um novo sistema de forças equivalente a binário.

b)

F1

F3

F4

F2

F5

F6

F O torsor { }4321 F,F,F,Frrrr

≡τ representado na Figura é equivalente a resultante aplicada no centroíde.

V O polígono funicular associado ao sistema de forças { }4321 F,F,F,Frrrr

≡τ é aberto.

F Adicionando ao torsor τ os vectores 5Fr

e 6Fr

, de magnitude 2, obtém-se um torsor equivalente a zero.

7/8

c)

Figura 1 Figura 2

20 kNGFEDCB45º

10 kNA

4.0m 4.0m2.0m2.0m2.0m2.0m 1.0m

Figura 3

V O sistema estrutural representado na Figura 1 é hipostático. V O sistema estrutural representado na Figura 2 é uma vez hiperestático. F A reacção de apoio em D do sistema estrutural representado na Figura 3 vale 10kN

(ascendente).

d) Considere o sistema estrutural representado na Figura, submetido às forças concentradas

indicadas.

3.0m

4.0m 4.0m 4.0m

10 kN10 kN

10 kN

A B C D

F E

V O esforço axial na barra BF é nulo. V A barra EF está comprimida e as barras AB, BC e CD estão traccionadas. V A barra FC está comprimida e submetida a um esforço axial de 25/6 kN.

8/8

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e) Considere o cabo flexível representado na Figura, de peso próprio desprezável, submetido a uma

força uniformemente distribuída constante por unidade de comprimento na direcção horizontal;

10.0m

4.0m

10º B

A

2 kN/m

V O esforço axial é mínimo em B. V O cabo tem uma configuração geométrica parabólica. V Sendo o esforço axial em B dado por T=45,4kN, então o esforço axial em A vale 52,7kN.

f) O bloco B1, de peso P=20N encontra-se apoiado sobre um bloco B2, de peso Q=40N, de acordo

com a representação da Figura, estando submetido a uma força horizontal H, aplicada de forma

gradual .

0.10

0.15

0.05

0.20

0.10

Q=40kN

P=20kNH B1

2B

F Admitindo que o movimento relativo entre os dois blocos está impedido, sendo os

coeficientes de atrito estático e dinâmico na superfície de contacto de 30.0e =µ e 20.0d =µ , respectivamente, então o movimento do conjunto só é possível mediante a

aplicação de uma força mínima de 12N. F Admitindo agora que o movimento relativo entre os blocos B1 e B2 não está impedido e que

o coeficiente de atrito estático entre as respectivas superfícies de contacto é de 50.0e =µ , então a aplicação de uma força horizontal de 10N leva ao derrube iminente do bloco B1.

V O derrube e deslizamento iminentes do bloco B1 são concomitantes quando o coeficiente de atrito estático entre as superfícies de contacto dos dois blocos é 33.0e =µ .

B1

B2

40N

20N

Não esqueça de escrever o

nome