Capítulo 6

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões

2ª Edição© Gerson Lachtermacher,2005

Programação Inteira

Capítulo 6

Conteúdos do Capítulo

Programação Inteira Problema Relaxado Solução Gráfica Solução por Enumeração Algoritmo de Branch-And-Bound Solução Excel Solução no Lindo

Caso LCL Tecnologia S.A. Variáveis Binárias e Condições Lógicas Caso LCL Equipamentos S.A.

Capítulo 6

Programação Inteira

São problemas de programação matemática em que a função objetivo, bem como as restrições, são lineares, porém uma ou mais variáveis de decisão podem apenas assumir valores inteiros.

Esse problema pode apresentar dois tipos básicos: Programação Inteira Total - onde todas as variáveis de

decisão são do tipo inteiro. Programação Inteira Mista - onde apenas uma parte das

variáveis são do tipo inteiro, enquanto outras são do tipo real

Capítulo 6

Programação Inteira

A primeira idéia que pode vir à mente é resolver o problema como se fosse um problema de programação linear e arredondar os valores ótimos encontrados para cada uma das variáveis de decisão inteiras.

Para problemas de grande porte, isto geralmente gerará uma solução aceitável (próxima do ótimo real) sem a violação de nenhuma das restrições.

Para problemas menores, esse tipo de procedimento poderá nos levar a soluções inviáveis ou não ótimas.

Capítulo 6

Programação InteiraProblema Relaxado

A todo problema de programação inteira está associado

um problema com a mesma função-objetivo e as

mesmas restrições, com exceção da condição de

variáveis inteiras. A esse problema se dá o nome de

Problema Relaxado

Capítulo 6

Programação InteiraSolução Gráfica

0,

03

1351030

142620

8001008.42

5 ..

618

21

21

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xx

xxts

xxMax

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

e inteiros

Capítulo 6

Programação InteiraSolução Gráfica

Max x x

s t x x

x x

x x

x x

x x

x x

e inteiros

18 6

5

42 8 100 800

20 6 142

30 10 135

3 0

0

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

. .

.

,

x2

x1

(5,28 ; 5,74)

Solução Ótima paraLP Relaxado

Capítulo 6

Programação InteiraSolução Gráfica

Solução Ótima paraLP Relaxado (5,28 ; 5,74)

Solução Ótima para Problema

Inteiro (6 ; 3)

Solução Aproximada doLP Relaxado Ótimo

(5 ; 5)x2

x1

(5,28 ; 5,74)

Capítulo 6

Programação InteiraLP Relaxado

Em um problema de MAXIMIZAÇÃO, o valor ótimo da função-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limite superior ao respectivo Problema Inteiro.

Em um problema de MINIMIZAÇÃO, o valor ótimo da função-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limite inferior ao respectivo Problema Inteiro.

Capítulo 6

Programação InteiraLP Relaxado

Nenhum ponto inteiro vizinho ao ponto ótimo do problema relaxado é necessariamente viável.

Mesmo que um dos vizinhos seja viável.

Não é necessariamente o ponto ótimo inteiro.

Não é obrigatoriamente uma solução aceitável.

x2

x1

Solução Ótima paraProg.Inteira

Solução Ótima para

LP Relaxado

Capítulo 6

Programação InteiraSolução por Enumeração

Uma idéia que pode resultar em uma solução para um

problema de programação inteira é a de se enumerar

todas as possíveis soluções.

De forma exaustiva, o valor da função-objetivo é

calculado para todas as soluções viáveis e é escolhido

aquele que apresente o maior valor (no caso de

maximização) ou o menor valor (no caso de

minimização).

Capítulo 6

O problema com essa tática de solução está no fato de

que ela só consegue ser aplicada a problemas pequenos.

O número de combinações possíveis de soluções cresce

de forma exponencial, isto é de forma muito rápida. Ex.: Um ILP com 100 variáveis de decisão do tipo binárias

(assumem 0 ou 1) terá até 2100 soluções viáveis, isto é, 1,27 x

1030 soluções possíveis.

Programação InteiraSolução por Enumeração

Capítulo 6

Algoritmo de Branch-And-Bound é mais utilizado atualmente para resolução de problemas do tipo ILP ou MILP.

É uma metodologia geral para solução de ILP e MILP, e existem diversas variantes para tratar diversos tipos de problemas específicos.

A idéia geral é a de se dividir o conjunto de soluções viáveis em subconjuntos sem interseções entre si, calculando-se os limites superior e inferior para cada subconjunto, e então eliminando certos subconjuntos de acordo com regras pré estabelecidas.

Programação InteiraAlgoritmo de Branch-And-Bound

Capítulo 6

Comparativamente ao LP correspondente, o IP levará

muito mais tempo para obter um valor ótimo. Isso está

ligado ao fato que diversos problemas de LP são

resolvidos sucessivamente para se obter a solução de

um IP.

Se o problema for interrompido no meio do processo

uma solução aproximada do problema inteiro pode ser

gerada.

Programação InteiraAlgoritmo de Branch-And-Bound

Capítulo 6

A solução obtida num problema IPL ou MIPL Sem análise de sensibilidade.

Deve ser efetuada alterando-se o problema e obtendo-se nova solução.

Não provê informação similar ao preço de sombra. Muitos softwares que realizam programação inteira são parte

integrante de pacotes de programação linear e produzem análise de sensibilidade, independente desta não ter valor no âmbito de programação inteira.

Programação InteiraAlgoritmo de Branch-And-Bound

Capítulo 6

Usando Solver do Excel Definindo Variáveis Inteiras e Binárias

Capítulo 6

LindoVariáveis Inteiras e Binárias

Os comandos adicionais abaixo são colocados após o comando END ao final das restrições:

FREE <Variável> - Remove os limites de não negatividade imposta a todas as variáveis por default.

GIN <Variável> - Faz a <Variável> uma variável inteira geral.

INT <Variável> - Faz a <Variável> uma variável inteira binária.

Capítulo 6

Problema de Orçamento de CapitalCaso LCL Tecnologia S/A

Capital Requerido em mil R$

Proj.NPV(8%)(mil R$) Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

1 $105.99 70 15 0 20 20

2 $128.90 80 20 25 15 10

3 $136.14 90 20 0 30 20

4 $117.38 50 30 40 0 20

Capital Disponível 200 70 70 70 70

A LCL Tecnologia S/A tem que planejar seus gastos em P&D. A empresa pré-selecionou 4 projetos e deve escolher dentre esses quais deve priorizar em função de restrições orçamentárias. Os dados relevantes encontram-se na tabela abaixo.

Capítulo 6

Caso LCL Tecnologia S/A

Variáveis de Decisão

Função Objetivo = Maximizar o somatório NPV

1,2,3,4i oselecionadfor não i projeto o se , 0

oselecionadfor i projeto o se , 1

iX

4321 38.11714.13690.12899.105 XXXXMax

Capítulo 6

Restrições Orçamentárias

5 Ano - 7020201020

4 Ano - 70301520

3 Ano - 704025

2 Ano - 7030202015

1 Ano - 20050908070

4321

321

42

4321

4321

XXXX

XXX

XX

XXXX

XXXX

Caso LCL Tecnologia S/A

Capítulo 6

Caso LCL Tecnologia S/AO Modelo

0;;;

5 Ano - 7020201020

4 Ano - 70301520

3 Ano - 704025

2 Ano - 7030202015

1 Ano - 20050908070

38.11714.13690.12899.105

4321

4321

321

42

4321

4321

4321

XXXX

XXXX

XXX

XX

XXXX

XXXX

st

XXXXMax

Capítulo 6

Caso LCL Tecnologia S/ASolver do Excel

Capítulo 6

Caso LCL Tecnologia S/ASolver do Excel

Capítulo 6

Caso LCL Tecnologia S/ASolver do Excel

Capítulo 6

Variáveis Binárias eCondições Lógicas

As variáveis binárias também se prestam a selecionar alternativas que sejam condicionais.

No exemplo anterior imagine que não mais de um dos projetos 1, 3 e 4 pudesse ser selecionado. Deveríamos então adicionar:

Se apenas um dos projetos e apenas um dos projetos 1, 2 e 4 tivesse que ser escolhido obrigatoriamente, deveríamos incluir:

1431 XXX

1421 XXX

Capítulo 6

Imagine agora que o projeto 1 dependa de uma tecnologia que deve ser desenvolvida pelo projeto 2, isto é, o projeto 1 só pode ser aprovado se e somente se o projeto 2 for aceito. Deveríamos então incluir:

inviável0,1

aceito foi 2 projeto o apenas1,0

aceitos projetos os ambos1,1

aceitos projetos dos nenhum0,0

0

21

21

21

21

21

XX

XX

XX

XX

XX

Variáveis Binárias eCondições Lógicas

Capítulo 6

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Total Disponível

Montagem 2h/unid 3h/unid 2,5h/unid 600h

Pintura 3h/unid 2h/unid 2,5h/unid 500h

Lucro Unitário R$50 R$60 R$65

Preparação R$5.000 R$4.000 R$3.000

A LCL Equipamentos S.A. produz três tipos de furadeiras que necessitam de tempos diferentes na linha de montagem. Para que cada tipo de furadeira seja fabricada, um custo de preparação da fabrica é incorrido. Suponha que todas as furadeiras do mesmo tipo serão produzidas de uma só vez (apenas uma preparação por tipo). Abaixo os dados relevantes à análise do problema.

Caso LCL Equipamentos S.A.

Capítulo 6

Variáveis de Decisão

Função Objetivo

1,2,3i 0 se 0,

0 se 1,

1,2,3)(i i produto do produzidaser a Quantidade

i

ii

i

X

XY

X

321321 300040005000656050 YYYXXXMax

Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias

Capítulo 6

Restrições de Produção

Restrições de ligação de Variáveis

5005,223

6005,232

321

321

XXX

XXX

.suficiente o grande é que nº um é 600 :

600

600

600

33

22

11

Obs

YX

YX

YX

Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias

Capítulo 6

Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias

=B7*B10

Capítulo 6

Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias

Capítulo 6

Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias