Esttica dos Fluidos Esforos sobre superfcies curvas

Fora hidrosttica sobre superfcies curvasA fora de presso sempre atua na direo perpendicular superfcie slida, uma vez que no h esforos tangenciais em um fluido em repouso. Os componentes da fora elementar de presso dF sobre a superfcie curva submersa so dFx e dFh . Suas expresses so: dFx = pdAcos = pdAh dFh = pdAsen = pdAx.2-2

Fora hidrosttica sobre superfcies curvasdFx = pdAcos = pdAh e dFh = pdAsen = pdAx Integrando a equao para dFx : e para dFh:

Fhorizontal = dFx = pdAh = hdAh = h Av

Fvertical = dFh = pdAx = hdAx = hdAx = V = W

Onde Av a projeo da superfcie sobre um plano vertical, V o volume do fluido contido entre a superfcie curva e a superfcie livre e W, o peso desse volume.

A componente horizontal da fora obtida calculando-se a fora de presso sobre a projeo da superfcie curva sobre um plano vertical. A componente vertical igual ao peso do volume total de fluido diretamente acima da superfcie curva. Sua linha de ao passa pelo centro de gravidade desse volume de lquido.2- 3

Problema ResolvidoDetermine a intensidade e a linha de ao da fora F que atua sobre a superfcie mostrada ao lado. As condies de equilbrio exigem que:

(

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Problema ResolvidoA linha de ao da fora horizontal

Obtivemos a coordenada do CG,

, , diretamente da figura.

A linha de ao para a fora vertical pode ser calculada utilizandose a equao dos momentos em relao a C ( ou a qualquer outro ponto). onde

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Problema ResolvidoUtilizando-se uma tabela de CG tem-se:

A distncia de C ao CG :

De tal sorte que xcp :

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Problema ResolvidoO resultado completo est resumido no quadro abaixo:

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Mais um Problema ResolvidoDetermine a resultante das foras que atuam sobre a superfcie hemisfrica mostrada Fx = pcgAv , sendo Av a projeo da esfera em um plano vertical (que tem a forma de um crculo). Ento Av = (0,5)2 = 0,785 m2 e Fx = 1000x9,81x2x0,785 = 15.401,7 N e Fv = (V+ - V-) = (Volume da semi-esfera) Fv = 1000x9.81x(1/2)x(4/3)xxR3 = 2.571,77 N Pode-se ento escrever que:F = F x + F y = 15.401,7i + 2.571,77 j[ N ]

e a linha de ao deve passar pelo centro hemisfrio. (??)

do

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Flutuao e estabilidade Princpio de ArquimedesOs mesmos princpios utilizados para calcular foras sobre superfcies podem ser utilizadas para calcular a fora resultante de presso sobre um corpo totalmente ou parcialmente submerso. O seu resultado so duas leis referentes flutuao e estabilidade descobertas por Arquimedes no sculo III A.C. : 1. 2. Um corpo imerso em um fluido experimenta uma fora vertical, denominada empuxo, igual ao peso do lquido que ele desloca. Um corpo flutuante desloca o seu prprio peso no lquido em que flutua.

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Princpios de Arquimedes - Comentrios A fora de presso resultante que atua em um corpo por um fluido esttico que est completamente ou parcialmente submerso chamada de empuxo. A resultante dos esforos de presso horizontais ser sempre zero. As foras verticais, no entanto, que atuam nas partes superior e inferior do corpo sero diferentes. A fora de presso resultante vertical, o empuxo, igual ao peso do volume do lquido deslocado pela imerso do corpo e sua linha de ao passa pelo CG do volume do lquido deslocado . Para um fluido com densidade constante, o empuxo independente da distncia do corpo superfcie livre. tambm independente da densidade do corpo slido.

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Condies de flutuao e estabilidadeCom relao flutuao e estabilidade h trs cenrios possveis: i. o corpo afunda, ii. o corpo fica submerso em qualquer profundidade dentro do fluido e iii. o corpo flutua, ficando apenas parcialmente submerso.

Essas situaes so expressas matematicamente pelas seguintes condies:

corpo > fluido

- corpo afunda-

corpo = fluido

corpo fica imerso em qualquer posio.

corpo< fluido corpo flutua2- 11

O Problema de Arquimedes e Hiero Arquimedes, matemtico, fsico e inventor, 287-212 A.C. Hiero, Rei de Siracusa, 306-215 A.C. Hiero ouviu um boato de que o seu ourives havia substituido parte do ouro na coroa real por prata. Hiero pediu a Arquimedes que verificasse se a coroa era feita de ouro puro ou no. Arquimedes tinha de desenvolver algum mtodo para verificar essa hiptese que fosse no-destrutivo.

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Eureka! Eureka!O peso da coroa e de uma pepita pura de ouro so iguais no ar: Wc = cVc = Wp = pVp. Se a coroa de ouro puro, ento c=p o que significa que os volumes devem ser idnticos, i.e.,Vc=Vp. Na gua, o empuxo E = H2OV. Se a balana ficar desequilibrada, significa que Vc Vp, que por sua vez implica que c p O resultado mostrou que o ourives estava fraudando Hiero!2- 13