139

6. Radiação

Radiação diferentemente da condução e convecção é o mecanismo de troca de energia

entre sistemas à distância, sem fazer contato direto. Uma transferência líquida de calor por

radiação pode ocorrer mesmo que o espaço entre duas superfícies esteja evacuado.

O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela

definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Ω de uma quantidade Iν , a

intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da

distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem

massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem

energia νhe = , onde 346,625 10h x Js−= é a constante de Planck.

Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um campo de radiação pelos seguintes processos:

- emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de

vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa

(de fótons);

- absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.

Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meios:

- meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas

transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;

- meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente ( iI ) que pode ser absorvida

( aI ) ou refletida ( rI ). O meio opaco também pode emitir a radiação ( eI );

- meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite

em distâncias finitas.

140

Figura 6.1 Radiação em meios transparente e opaco

A análise de transferência radiativa é complicada pelo fato que a propagação de

radiação em qualquer ponto em um meio não pode ser representada por um único vetor como

no caso da condução de calor. Para especificar a radiação incidente em um dado ponto, é

necessário conhecer a radiação de todas as direções porque os feixes de radiação de todas as

direções são independentes uns dos outros. Portanto a quantidade fundamental

freqüentemente usada em estudos de transferência radiativa para descrever a quantidade de

energia de radiação transmitida pelo raio em qualquer dada direção por unidade de tempo é a

intensidade de radiação monocromática (ou espectral). Para definir esta quantidade considere

um elemento de superfície dA , sobre um espaço de coordenadas r , caracterizada por uma

direção cuja normal é o vetor n como ilustrado na Figura 6.2. Seja dEν a quantidade de

energia radiativa no intervalo de freqüência entre ν e dν ν+ , confinada em um elemento de

ângulo sólido dΩ ao redor da direção de propagação Ω escoando através do elemento de

superfície dA (i.e., transmitida através ou emitida pela e/ou refletida da superfície) durante o

intervalo de tempo entre t e t dt+ . Seja θ o ângulo polar entre a direção normal n e a

direção de propagação Ω . A intensidade de radiação monocromática ( ), ,I r tν Ω é definida

como

( ), ,cos

dEI r tdA d d dt

νν θ ν

Ω =Ω

(6.1)

141

Figura 6.2 – Símbolos para definição de intensidade

Na equação (6.1) cosdA θ é a projeção da superfície dA sobre um plano

perpendicular à direção dΩ ; daí a intensidade é definida com base na área projetada. De

acordo com a Eq. (6.1) a intensidade monocromática é a quantidade de energia radiativa (em

unidades apropriadas de energia) escoando através da unidade de área perpendicular à direção

de propagação Ω , por unidade de ângulo sólido em torno da direção Ω , por unidade de

freqüência sobre a freqüência ν , e por unidade de tempo sobre o tempo t .

Se a intensidade de radiação para ou de um elemento de superfície é considerada na

faixa de freqüência entre 1ν e 2ν e através do ângulo sólido entre 1Ω e 2Ω , então a

quantidade por metro quadrado

( )2 2 2

1 1 12 , , , cosE I r t sen d d d

mν φ θν

νν φ θθ φ θ θ θ φ ν= ∫ ∫ ∫ (6.2)

é o total de energia radiativa para ou da superfície por unidade de área e por unidade de tempo

na faixa de freqüência entre 1ν e 2ν e através do ângulo sólido entre 1Ω e 2Ω . Um elemento

de ângulo sólido em coordenadas esféricas é representado por

d sen d dθ θ φΩ = (6.3)

na qual θ é o ângulo polar entre a direção normal n à superfície e a direção da intensidade e

φ é o ângulo lateral como mostrado na Figura 6.3

142

Figura 6.3 Cálculo do ângulo sólido

6.1 Radiação em corpo negro

A superfície de um sistema que participa em uma troca de calor por radiação pode ser

classificada de acordo com sua habilidade de absorver a radiação que nela incide. O termo

corpo negro é usado para denotar um corpo que possui a propriedade de permitir que toda a

radiação incidente entre no meio sem reflexão pela superfície e sem permitir que ele deixe o

meio novamente. Portanto um corpo negro deve possuir uma superfície que permite que a

radiação incidente entre sem reflexão. Durante a propagação de radiação em um meio cada

raio sofre certo enfraquecimento por causa da absorção; portanto um corpo negro deve ter

espessura suficiente, dependendo do seu poder absorsivo, para assegurar que os raios não

deixarão o meio. Um feixe viajando em um meio é desviado de seu caminho original e

espalhado em todas as direções por causa da presença de pequenas impurezas e não

homogeneidades. Embora no processo de espalhamento de radiação térmica a energia não seja

nem criada nem destruída, um corpo negro não deve ter nenhuma ou ser desprezível suas

propriedades de espalhamento para assegurar que a radiação entrando no meio não será

espalhada para fora. Estas propriedades referem-se aos feixes de radiação vindos de todas as

direções e para todos os comprimentos de onda. Daí um corpo negro absorve toda radiação

incidente de todas as direções e em todas as freqüências, sem refletir, transmitir e espalhar os

raios incidentes.

143

Da discussão anterior, conclui-se que um corpo negro é um perfeito absorvedor de

radiação de todas as direções em todas as freqüências. Considere agora um corpo negro dentro

de uma cavidade isotérmica cujas paredes absorvem e emitem radiação, e assuma que após

um período de tempo o corpo negro e a cavidade alcancem o equilíbrio térmico e atinjam

alguma temperatura uniforme. Enquanto em equilíbrio térmico um corpo emite tanta energia

quanto absorve, e para um corpo negro a emissão de radiação deve ser máxima visto que ele

absorve a máxima radiação possível de todas as direções e em todas as freqüências. Portanto a

radiação emitida em qualquer dada temperatura T é um máximo para um corpo negro.

Por considerar um corpo negro em equilíbrio térmico dentro de uma cavidade cujas

paredes emitem e absorvem apenas em um intervalo de freqüência dν em torno de ν , e por

um argumento similar, pode ser concluído que a radiação emitida por um corpo negro em uma

dada temperatura T e freqüência ν é um máximo. Além do mais a radiação emitida por um

corpo negro é isotrópica.

A intensidade de radiação espectral ou monocromática emitida por um corpo negro em

uma dada temperatura T no vácuo foi determinada por Planck e é dada por

( )( )

3

, 20

2exp / 1b vac

hvI Tc h kTν ν

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(6.4)

na qual h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, 0c é a

velocidade da luz no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência.

Em muitas aplicações de engenharia se usa mais o comprimento de onda do que a

freqüência para caracterizar a intensidade monocromática. Para se escrever a Equação (6.4)

em função do comprimento de onda considera-se que a radiação emitida no intervalo dν em

torno de ν deveria ser igual àquela no comprimento de onda 0dλ em torno de 0λ , isto é,

0 0I d I dν λν λ= − (6.5)

Desde que o comprimento de onda depende do meio em que a radiação está viajando, usa-se o

subscrito 0 para denotar que o meio é um vácuo. A freqüência, entretanto, não depende do

tipo de meio. A freqüência e comprimento de onda estão relacionados por

0

0

cνλ

= (6.6a)

Por diferenciação de (6.4) resulta

002

0

cd dν λλ

= − e 00 2

cd dλ νν

= − (6.6b)

144

Pela utilização de (6.7) em (6.5) pode-se escrever

( ) ( ) ( )0

2

, , ,0 0

b vac b vac b vacd vI T I T I Td cλ ν ννλ

= − = (6.7a)

De (6.4) e (6.7a) obtém-se a intensidade de radiação de Planck em função do comprimento de

onda:

( )( )0

20

, 50 0 0

2exp / 1b vac

hcI Thc kTλ λ λ

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(6.7b)

que representa a intensidade de radiação emitida por um corpo negro em um vácuo puro. Ou

seja, ela representa a energia radiativa por unidade de área projetada, por unidade de tempo,

por unidade de ângulo sólido, por unidade de comprimento de onda sobre 0λ . Por exemplo,

em watts (joule por segundo), por metro quadrado, por esterorradiano, por mícron tem-se 2/W m sr mμ⋅ ⋅ .

Quando energia radiante é emitida por um corpo negro em um meio que não seja

vácuo, a Eq. (6.4) deverá ser substituída por

( )( )

3

2

2exp / 1b

hvI Tc h kTν ν

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(6.8a)

na qual c é a velocidade de propagação de radiação no meio em questão. Para um meio

dielétrico (meio com condutividade específica nula, ou perfeitamente não condutor elétrico),

0 /c c n= , a Eq. (6.8) fica na forma:

( )( )

( )3 2

2,2

0

2exp / 1b b vac

hv nI T n I Tc h kTν νν

= =⎡ ⎤−⎣ ⎦

(6.8b)

na qual n é o índice de refração do meio. Com 0 /c nν λ= e por um procedimento similar ao

de obtenção da eq. (6.7b) pode-se mostrar que em função do comprimento de onda num meio

que não seja vácuo, tem-se

( )( )

20

2 50

2exp / 1b

hcI Tn hc n kTλ λ λ

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(6.9)

na qual λ é o comprimento de onda no meio em questão.

A intensidade de radiação emitida por um corpo negro sobre todas as freqüências (ou

comprimentos de onda) é chamada de intensidade total de radiação do corpo negro e é obtida

pela integração da intensidade monocromática de radiação do corpo negro sobre o espectro

inteiro de energia:

145

( ) ( )0b bv

I T I T dν ν∞

== ∫ (6.10a)

Pela substituição de (6.8b) em (6.10a) obtém-se

( )3 2

2 /00

2e 1b h kT

h v nI T dc νν

ν∞

==

−∫ (6.10b)

e se o índice refrativo n é assumido ser independente da freqüência, a Eq. (6.10b) pode ser

rearranjada como

( ) ( )342

2 /00

/2e 1b h kT

vh kThn kT hI T dc h kTνν

ν∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (6.10c)

ou

( ) ( ) ( )4 3 4 4

2 4 2 42 3 2 300 0

2 2e 1 15b x

k x kI T n T dx n Tc h c hν

π∞

== =

−∫ (6.10c)

A Eq. (6.10c) pode ser rearranjada como

( )5 4 4 4

2 22 30

215b

k T TI T n nc hπ σ

π π= = (6.10d)

na qual 5 4

2 30

215

kc hπσ = (6.10e)

é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é 8 2 45,67 10 W/m K srxσ −= ⋅ ⋅ .

Em muitas aplicações de engenharia uma quantidade física de interesse é o fluxo

emissivo monocromático (ou espectral) ou poder emissivo do corpo negro ( )bE Tλ definido

como

( ) ( )

( )( )

2 / 2

0 0

2 1

0 0

cosb b

b

b

E T I T sen d d

I T d d

I T

π π

λ λφ θ

π

λφ μ

λ

θ θ θ φ

μ μ φ

π

= =

= =

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫ (6.11a)

Substituindo a Eq. (6.9) em (6.11) resulta

( )( )

12 5

2exp / 1bcE T

n c n Tλ λ λ=

⎡ ⎤−⎣ ⎦ (6.11b)

na qual foram definidos

21 02c hcπ= e 0

2hcck

= (6.11c)

146

O fluxo emissivo monocromático ( )bE Tλ representa a quantidade de energia radiativa

emitida por um corpo negro na temperatura T por unidade de área, por unidade de tempo, por

unidade de comprimento de onda em todas as direções do espaço hemisférico. Em unidades

SI, 2/W m mμ⋅ .

A integração de ( )bE Tλ sobre todos os comprimentos de onda de 0λ = até infinito

leva ao fluxo emissivo total ou poder emissivo total do corpo negro ( )bE T :

( ) ( ) ( ) ( ) 2 4

0 0b b b bE T E T d I T d I T n Tλ λλ λλ π λ π σ

∞ ∞

= == = = =∫ ∫ (6.12)

O local de máximo do fluxo emissivo monocromático é determinado analiticamente

pela regra de deslocamento de Wien, que é dada como

( ),max

3bq

T cλ

λ = (6.13)

Em unidades SI, a terceira constante é: 33 2,8978 10c m K−= × ⋅ .

6.2 Transferência de calor entre superfícies negras

6.2.1 O Fator de Forma Geométrico

Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor

( )1 2q W− entre duas superfícies negras isotérmicas ( )1 1,A T e ( )2 2,A T mostradas na Figura 6.4.

Esta análise pode ser feita nos seguintes passos:

1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 1dA e interceptada (absorvida

totalmente) pelo elemento de área 2dA ;

2. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 2dA e interceptada (absorvida

totalmente) pelo elemento de área 1dA ;

3. A taxa de transferência líquida de 1dA para 2dA , isto é, a diferença entre as respostas

da parte 1. e 2. e finalmente,

4. A taxa de transferência líquida de 1A para 2A , que é entre as duas áreas finitas

isotérmicas.

147

Figura 6.4 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma

Se r é a distância entre os elementos de áreas 1dA e 2dA , então o ângulo sólido

através do qual 2dA é visto por um observador estacionado em 1dA é igual a 22 2cos /dA rφ .

Note que 2 2cosdA φ é a dimensão de 2dA após ele ter sido projetado na direção da linha

1 2dA dA− .

Viajando de 1dA na direção de 2dA (e para todo o resto do espaço) tem-se a

intensidade total de radiação de corpo negro ( ),1 1b bI I T= . O tamanho da área emitente que é

normal à direção r é a área “ 1dA projetada”, 1 1cosdA φ . Portanto, a resposta ao item 1. é:

1 2

2 2,1 1 1 2

coscosdA dA bdAq I dA

rφφ→ = (6.14)

A seta usada no subscrito 1 2dA dA→ é para lembrar que 1 2dA dAq → representa a

transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de 1dA (emissor) para

2dA (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será:

2 1

1 1,2 2 2 2

coscosdA dA bdAq I dA

rφφ→ = (6.15)

O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (6.15) da Eq. (6.14) para

calcular a transferência de calor líquida de 1dA para 2dA :

148

( )1 2 1 2 2 1

1 2,1 ,2 1 22

cos cosdA dA dA dA dA dA b bq q q I I dA dA

rφ φ

− → →= − = − (6.16)

Usando a equação 1(0.10d) para as intensidades de radiação de corpo negro, com 1n = , a Eq.

(6.16) pode ser reescrita como

( )1 2

4 4 1 21 2 1 22

cos cosdA dAq T T dA dA

rφ φσπ− = − (6.17)

Para se calcular ( )1 2q W− deve-se somar as contribuições de todos os elementos de

área de 1A e 2A , ou seja,

( )1 2

4 4 1 21 2 1 2 1 22

cos cosA A

q T T dA dAr

φ φσπ− = − ∫ ∫ (6.18)

No lado esquerdo da Eq. (6.18) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência

( )1 2q W− deixa a superfície 1A e entra (cruza) a superfície 2A .

A unidade da integral dupla na Eq. (6.18) é metro quadrado ( )2m . É conveniente

definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por 1A , denominado de

fator de forma geométrico baseado em 1A :

1 2

1 212 1 22

1

1 cos cosA A

F dA dAA r

φ φπ

= ∫ ∫ (6.19)

A equação (6.18) pode, então, ser reescrita como

( )4 41 2 1 2 1 12q T T A Fσ− = − (6.20)

O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões,

orientações e posições relativas das duas superfícies.

Alternativamente poderia se definir

1 2

1 221 1 22

2

1 cos cosA A

F dA dAA r

φ φπ

= ∫ ∫ (6.21)

de modo que ( )1 2q W− fica na forma

( )4 41 2 1 2 2 21q T T A Fσ− = − (6.22)

Assim para se calcular ( )1 2q W− deve-se calcular ou 12F ou 21F . Ao se integrar a Eq. (6.14)

obtém-se o resultado

1 2

41 21 2 ,1 1 2 1 1 122

cos cosb A A

q I dA dA T A Frφ φ σ→ = =∫ ∫ (6.23)

149

Pela equação (6.12) 41 1 ,1 1bT A E Aσ = que é o número de watts de radiação de corpo negro

emitida pela superfície 1A em todas as direções que os pontos de 1A podem “olhar”. Apenas

uma porção de ,1 1bE A é interceptada e absorvida por 2A (porque, em geral, 1A pode ser

cercada por outras superfícies além de 2A ); aquela porção é 1 2q → ou ,1 1 12bE A F . Em conclusão,

o significado físico do fator de forma é:

1 2 1 212

,1 1 1

radiaçao deixando e sendo interceptada por radiaçao deixando em todas as direçoesb

q A AFq A A

→= = (6.24)

A razão formulada na Eq. (6.24) sugere que o fator de forma está no intervalo entre 0 e

1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma

para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo.

6.2.2 Relações entre fatores de forma

Várias relações permitem estimativas de fatores de forma para diversas configurações.

Estas relações são de reciprocidade, aditividade e invólucro (enclosure). A relação de

reciprocidade pode ser obtida comparando as equações (6.20) e (6.22) sendo da forma:

1 12 2 21A F A F= (Reciprocidade) (6.25)

No caso em que a área 2A é composta de n pedaços (mosaico), 1 22 2 2 2n

A A A A= + + + , o

fator de forma pode ser calculado somando-se os fatores de forma individuais, na forma:

12 121

i

n

iF F

=

= ∑ (Aditividade) (6.26)

em que 12iF é o fator de forma de 1A para cada pedaço da área 2A .

Em geral nem toda radiação emitida por 1A é interceptada por 2A , porque outras áreas

podem circundar 1A . Sejam as áreas ( )2 3, , , nA A A… que juntamente com 1A formam um

invólucro (enclosure), Figura 6.5. A conservação de energia dentro da cavidade requer que

,1 1 ,1 1 11 ,1 1 12 ,1 1 1b b b b nE A E A F E A F E A F= + + + (6.27a)

ou após dividir por ,1 1bE A resulta

11 12 11 nF F F= + + + (6.27b)

A Eq. (6.27b) pode ser generalizada como

( )1

1 1, 2, ,n

ijj

F i n=

= =∑ … (Invólucro) (6.28)

150

Figura 6.5 – Invólucro formado por n superfícies

6.2.3 Cavidade de duas superfícies

Os casos clássicos de cavidades de duas superfícies são: duas placas paralelas, um

cilindro interno a outro e uma esfera encapsulada por outra, como mostra a Figura 6.6. Nestes

casos, a transferência líquida de calor é dada pela Eq. (6.20) sendo da forma:

( )1 2 ,1 ,2 1 12b bq E E A F− = − (6.29)

na qual ( ) 4,1 1 1b bE E T Tσ= = e ( ) 4

,2 2 2b bE E T Tσ= = . O produto 1 12A F desempenha o papel de

condutância térmica e seu inverso é a resistência térmica de radiação, ou seja,

1 12 2 21

1 1rR

A F A F= = (6.30)

Figura 6.6 – Exemplos de cavidades de apenas duas superfícies e correspondente diagrama de

resistência térmica.

151

6.3 Radiação em corpo cinza

A maioria das superfícies não se comporta como corpos negros, e para analisar a

transferência calor por radiação para superfícies reais é necessário considerar o que acontece

com a irradiação, ou radiação térmica, incidente sobre a superfície. A irradiação incidente iI

ou é absorvida dentro da superfície como aI , ou refletida como rI , ou transmitida como tI .

Dessa forma, pode-se escrever

i a r tI I I I= + + (6.31)

ou na forma de frações

1a tr

i i i

I III I I+ + = (6.32)

Estas frações são definidas como

a

i

II

α= (Absortividade) (6.33a)

r

i

II

ρ= (Refletividade) (6.33b)

t

i

II

τ= (Transmissividade) (6.33c)

e a equação (6.32) pode ser reescrita como

1α ρ τ+ + = (6.34)

Corpos opacos não transmitem radiação, dessa forma

1α ρ+ = (6.35)

Corpos negros não refletem nem transmitem radiação, daí

1α = (6.36)

6.3.1 Emissividade

A intensidade de radiação emitida por uma superfície real de temperatura T é apenas

uma fração da intensidade de um corpo negro. A intensidade de radiação monocromática de

um corpo negro foi designada como ( ), ,bI Tλ λ . Já para uma superfície real esta intensidade

será denominada ( ), , ,I Tλ λ φ θ , pois, depende também da direção ( ),φ θ em que um dado raio

152

aponta. A razão entre ( ), , ,I Tλ λ φ θ e ( ), ,bI Tλ λ é chamada emissividade monocromática

direcional:

( ) ( )( ),

, , ,, , , 1

,b

I TT

I Tλ

λλ

λ φ θε λ φ θ

λ′ = ≤ (6.37)

O fluxo emissivo monocromático de uma superfície real ou poder emissivo

monocromático da superfície se define como

( ) ( )2 / 2

0 0, , , , cosE T I T sen d d

π π

λ λφ θλ λ φ θ θ θ θ φ

= == ∫ ∫ (6.38)

De maneira análoga, pode-se definir a emissividade monocromática hemisférica para uma

superfície real como

( ) ( )( ),

,, 1

,b

E TT

E Tλ

λλ

λε λ

λ= ≤ (6.39)

O fluxo emissivo da superfície é obtido da integração em todos os comprimentos de

onda do fluxo emissivo monocromático, ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ),0 0, , ,bE T E T d T E T dλ λ λλ λ

λ λ ε λ λ λ∞ ∞

= == =∫ ∫ (6.40)

Correspondente a este fluxo emissivo se define a emissividade total hemisférica na forma

( ) ( )( )

1b

E TT

E Tε = ≤ (6.41)

Usando as equações (6.12) e (6.40) se obtém

( ) ( ) ( ) ( ),4 40 0

1 1, , ,bT E T d T E T dT Tλ λ λλ λ

ε λ λ ε λ λ λσ σ

∞ ∞

= == =∫ ∫ (6.42)

Uma superfície cinza ou corpo cinza de temperatura T é a superfície cuja emissividade

monocromática hemisférica é independente do comprimento de onda (i.e. uma constante se T

é fixada), ou seja,

( ) ( ),T Tλ λε λ ε≅ ou ( )funçaoλε λ≠ (6.43)

Além do mais, pode-se mostrar a partir de (6.42) e (6.43) que a emissividade total hemisférica

de um corpo cinza é igual à sua emissividade monocromática hemisférica

( ) ( )T Tλε ε= (6.44)

Um corpo cinza é um meio opaco emissor difuso (emite uniformemente em todas as

direções). Ele também é assumido como absorvedor e refletor difuso. O modelo de corpo

cinza aproxima bem o comportamento de muitas superfícies em transferência de calor na

engenharia, por exemplo, cobre, óxido de alumínio, tintas e papel. Superfícies metálicas

153

limpas e bem polidas são caracterizadas por baixos valores de ε . Superfícies não metálicas,

por outro lado, têm altas emissividades: de fato, algumas destas satisfazem bem o modelo de

corpo negro 1ε = (fuligem, vidro liso, gelo). Superfícies metálicas que se tornam cobertas

por óxidos e outras impurezas também adquirem consideravelmente altos valores de

emissividade.

6.3.2 Absortividade e Refletividade

Da mesma maneira que foram definidas as emissividades pode-se definir as

absortividades. Seja ( ), , ,I Tλ λ φ θ a intensidade de radiação que atinge um elemento de uma

superfície real vindo da direção ( ),φ θ . A quantidade relativa que é absorvida na superfície,

( ), , , ,aI Tλ λ φ θ , é indicada pela absortividade monocromática direcional λα′ :

( ) ( )( )

, , , ,, , ,

, , ,aI T

TI Tλ

λλ

λ φ θα λ φ θ

λ φ θ′ = (6.45)

A absortividade monocromática hemisférica é definida como

( ) ( )( )

, ,,

,aG T

TG T

λλ

λ

λα λ

λ= (6.46)

na qual o denominador ( ),G Tλ λ ( 2/W m m⋅ ) é a irradiação monocromática, ou o número de

watts que atinge a unidade de área de todas as direções por comprimento de onda e é definido

como

( ) ( )2 / 2

0 0, , , , cosG T I T sen d d

π π

λ λφ θλ λ φ θ θ θ θ φ

= == ∫ ∫ (6.47)

O numerador da equação (6.46) é a fração da irradiação que é absorvida pela superfície

definido como

( ) ( )2 / 2

, ,0 0, , , , cosa aG T I T sen d d

π π

λ λφ θλ λ φ θ θ θ θ φ

= == ∫ ∫ (6.48)

Finalmente se define a absortividade total hemisférica como

( ) ( )( )

aG TT

G Tα = (6.49)

na qual a irradiação total ( )G T é obtida pela integração

( ) ( )0

,G T G T dλ λ λ∞

= ∫ (6.50)

154

O total absorvido é calculado como

( ) ( ) ( ) ( ),0 0, , ,a aG T G T d T G T dλ λ λλ λ α λ λ λ

∞ ∞= =∫ ∫ (6.51)

Substituindo (6.51) em (6.49) obtém-se a expressão para a absortividade total hemisférica

( ) ( ) ( ) ( )0

1 , ,T T G T dG T λ λα α λ λ λ

∞= ∫ (6.52)

A diferença entre a irradiação total ( )G T e a absorvida total ( )aG T é a porção

refletida (caso de superfície opaca, 1 ; 0ρ α τ= − = ) ( )rG T . Dessa forma

( )1r aG G G G Gα ρ= − = − = (6.53)

em que ρ é a refletividade da superfície.

6.3.3 Lei de Kirchhoff

A lei de Kirchhoff estabelece que a absortividade monocromática direcional de uma

superfície não negra é sempre igual à sua emissividade monocromática direcional quando a

superfície está em equilíbrio térmico com a radiação que incide sobre ela, ou seja,

( ) ( ), , , , , ,A AT Tλ λα λ φ θ ε λ φ θ′ ′= (Lei de Kirchhoff) (6.54)

A Lei de Kirchhoff pode ser usada para estimar a absortividade de um corpo cinza?

Para responder a esta questão, considere que para um absorvedor difuso

( ) ( ), ,T Tλ λα λ α λ′= (6.55)

Da mesma forma, para um emissor difuso

( ) ( ), ,T Tλ λε λ ε λ′= (6.56)

Em conclusão, para uma superfície que é tanto um absorvedor difuso quanto emissor

difuso, a Lei de Kirchhoff estabelece que

( ) ( ), ,T Tλ λα λ ε λ= (6.57)

Para uma superfície cinza, a emissividade λε independe do comprimento de onda, ou seja,

( )Tλε ε= . Portanto, pode-se se concluir que a absortividade também independe do

comprimento de onda. Então (6.57) fica na forma

( ) ( )T Tλα ε= (6.58)

Substituindo (6.58) em (6.52) pode-se demonstrar que para uma superfície cinza

155

( ) ( )T Tα ε= (6.59)

Portanto, pode-se estimar a absortividade total hemisférica de uma superfície cinza a

partir de tabelas de emissividade total, desde que a superfície tenha a mesma temperatura da

radiação que incide sobre ela.

6.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas

Considere agora o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor

entre duas superfícies cinza que formam uma cavidade, Figura 6.7. As áreas ( )1 2,A A , as

temperaturas ( )1 2,T T e as emissividades totais hemisféricas ( )1 2,ε ε são especificadas.

Assuma que a menor das duas superfícies 1A é não côncava, de modo que 11 0F = .

Figura 6.7 Cavidade definida por duas superfícies cinzas e resistência térmica de 1A para 2A

Seja 1G a irradiação total que chega num elemento de área 1dA . Na direção oposta está

a porção refletida 1 1Gρ mais o fluxo de calor emitido por 1dA em si, 1 ,1bEε . O fluxo de calor

unidirecional que parte de 1dA representa o que se chama radiosidade da superfície

denominada ( )21 /J W m :

1 1 1 1 ,1bJ G Eρ ε= + (6.60)

A diferença entre o fluxo de calor que deixa 1dA , ( )21 /J W m e o fluxo que chega 1G , é o

fluxo líquido que deixa 1dA ,

1 1 1q J G′′ = − (6.61)

156

Eliminando 1G entre (6.60) e (6.61) e lembrando que para uma superfície cinza,

1 1 11 1ρ α ε= − = − , obtém-se

( )1 1 ,1 11 1 ,1 1

1 11b

b

J Eq J E J

ε ερ ε−

′′= − = −−

(6.62)

A taxa líquida que deixa a superfície 1A é simplesmente 1 1 1q q A′′= , então,

( ) ( ),1 11 11 ,1 1

11b

bi

E JAq E JR

εε

−= − =

− (6.63)

Em que o denominador é uma resistência interna que impede a passagem de 1q através de 1A .

A corrente líquida de calor que sai de 1A deve ser provida por um agente externo (um

aquecedor); esta corrente é bombeada através da superfície de 1A , isto é, de suas costas para a

face que está na cavidade. A resistência interna tem a forma genérica

1iR

Aε

ε−

= (6.64)

A corrente total de calor 1 1J A tem todos os aspectos de ,1 1bE A já discutido

anteriormente. Assim pode se calcular a corrente unidirecional 1 1J A como

1 2 1 1 12 1 2 21q J A F J A F→ = = (6.65)

De maneira análoga pode se calcular a corrente unidirecional 2 2J A obtendo-se

2 1 2 2 21 2 1 12q J A F J A F→ = = (6.66)

A corrente líquida de na direção 1 2A A→ é, portanto,

( )1 2 1 2 2 1 1 12 1 2q q q A F J J− → →= − = − (6.67)

Observando o circuito elétrico na Figura 6.7 pode-se verificar que a taxa líquida de calor pode

ser calculada como se fosse um corpo negro na forma:

( )4 41 2

1 21 2

1 1 1 12 2 2

1 1 1T T

q

A A F A

σε ε

ε ε

−

−=

− −+ +

(6.68)

Pela conservação de energia através de 1A pode-se demonstrar que

1 1 2 2q q q−= = − (6.69)

na qual 1q é calculado pela Eq. (6.63) e 2q e definido como

( )2 22 ,2 2

21 bAq E Jεε

= −−

(6.70)

157

Três casos de configurações importantes de cavidades de duas superfícies foram

mostrados na Figura 6.6. Naqueles casos os fluxos líquidos podem ser avaliados como

1) Duas placas paralelas ( )1 2A A A= =

( )4 41 2

1 2

1 2

1 1 1

A T Tq

σ

ε ε

−

−=

+ − (6.71)

2) Espaço anelar entre dois cilindros infinitos ou entre duas esferas (não necessariamente

concêntricos(as))

( )4 41 1 2

1 21

1 2 2

1 1 1

A T Tq

AA

σ

ε ε

−

−=

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(6.72)

No caso em que uma superfície extremamente grande ( )2A circunda uma superfície

convexa ( )1 11, 0A F = tem-se

( )4 41 2 1 1 1 2q A T Tσ ε− = − (6.73)

O caso de invólucros de mais de duas superfícies também pode ser analisado de forma

similar ao caso de invólucro de duas superfícies. Considere o caso de um invólucro de n

superfícies cinza, Figura 6.8. Em geral um observador sobre 1A pode ver as radiosidades de

todas as n partes do invólucro. Por exemplo, a corrente de irradiação que emana da j-ésima

superfície jA e atinge 1A é 1j j jJ A F . Segue que a corrente de irradiação que impinge sobre 1A

é

1 1 1 1 11 2 2 21 1

11

1 11

n n nn

j j jj

n

j jj

AG J A F J A F J A F

J A F

J A F

=

=

= + + +

=

=

∑

∑

(6.74)

Figura 6.8 – Invólucro formado por n superfícies cinzas, e resistência associada com iA

158

Do ponto de vista de 1A , a transferência de calor é ainda o cálculo da taxa de

transferência líquida de calor 1q que deve ser suprida nas costas (atrás) de 1A . Esta corrente

de calor pode ser avaliada usando a eq. (6.63) desde que a radiosidade 1J seja conhecida. O

problema se reduz, então, ao cálculo de 1J . Substituindo a eq. (6.60) na eq. (6.74) obtém-se

( ) 41 1 1 1 1

11

n

j jj

J J F Tα ε σ=

= − +∑ (6.75)

A eq. (1075) estabelece que a radiosidade da superfície 1A depende das propriedades

de 1A ( )1 1 1, , Tα ε , das radiosidades de todas as superfícies que formam o invólucro

( ); 1, 2, ,jJ j n= … e dos respectivos fatores de forma através dos quais estas superfícies são

visíveis de 1A . Um sistema de n equações para as n radiosidades pode ser obtido por

escrever para cada superfície i que participa no invólucro:

( ) ( )4

11 1, 2, ,

n

i i j ij i ij

J J F T i nα ε σ=

= − + =∑ … (6.76)

Se a geometria e propriedades de todas as superfícies são especificadas, então o

sistema (6.76) fornece os valores das n radiosidades. Uma equação para a taxa líquida de

calor de cada superfície pode ser escrita como

( ) ( )4 1, 2, ,1

i ii i i

i

Aq T J i nε σε

= − =−

… (6.77)

A seguinte restrição deve ser satisfeita,

10

n

ii

q=

=∑ (6.78)

Alternativamente, a taxa de calor de cada superfície definida como i i i i iq A J AG= −

pode ser calculada como

1

n

i i i j i ijj

q A J J A F=

= −∑ (6.79a)

ou lembrando que 1

1n

ijj

F=

=∑ , tem-se

1 1

n n

i i i ij j i ijj j

q A J F J A F= =

= −∑ ∑ (6.79b)

ou após um rearranjo de (6.79b) resulta

( )1

n

i i ij i jj

q A F J J=

= −∑ (6.79c)

159

Os fatores de forma de um invólucro de n superfícies formam uma matriz n n× num

total de 2n fatores de forma. Nem todos deste número podem ser especificados

independentemente. Existirão ( )2 / 2n n− relações de reciprocidade, porque existirão n fatores

na diagonal e ( )2 / 2n n− fatores em cada lado da diagonal. Adicionalmente, n relações de

invólucro (1

1n

ijj

F=

=∑ ) podem ser escritas. Em conclusão, o número de fatores de forma

independentes é:

( ) ( )2 21 12 2

nn n n n n− − − = − (6.80)

Existem em livros textos tabelas e gráficos de arranjos de várias configurações de

fatores de forma.

160

Bibliografia BEJAN, A., Transferência de Calor, Edgard Blücher, ISBN 8521200269, 1ª edição,

540 p.,1996. INCROPERA, F.P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Editora: LTC,

ISBN 8521613784, 5ª edição, 698 p., 2003. TAINE, J., PETIT, J.P. Heat Transfer, ISBN 0-13-387994-1, Prentice Hall, 584 p.,1993. ÖZISIK, M.N., Transferência de Calor: Um Texto Básico, Editora LTC, ISBN 852770160X,

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1982. BENEDICT, R.P., Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, John

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1975. OBERT, E.F., GYOROG, A.D., Laboratório de Engenharia Mecânica - Projetos e

Equipamentos, UFSC, Departamento de Engenharia Mecânica, 1976.