Cap´ıtulo 1 Funcões de R em : limites e continuidade · 2018. 3. 17. · AB Calculo II – Bioqu´ımica 23-3-2009. 6 §1.1 Breves noçoes de topologia em Rn A figura seguinte

Capıtulo 1

Funcoes de Rn em Rm: limites e

continuidade

Porque estudar este tipo de funcoes numa licenciatura em Bioquımica? Para respon-dermos a esta questao, consideremos a equacao dos gases raros dada por

PV = nRT,

onde P e a pressao do gas, V e o volume que o gas ocupa, n e o numero de moles do gas,R e uma constante e T e a temperatura. Se quisermos calcular a pressao de um gas rarotemos de usar a formula

P =nRT

V

e, desta forma, a pressao depende da temperatura e do volume. Assim, P e uma funcaode duas variaveis (T e V ) com valores em R, ou seja,

P = f(T, V ) =nRT

V.

O exemplo anterior da-nos um dos motivos para estudar funcoes com mais do que umavariavel numa licenciatura em Bioquımica.

§1.1 Breves nocoes de topologia em Rn

§1.1.1 Os espacos Rn

Recordemos que se identifica o conjunto R dos numeros reais com a recta

0 a

que os elementos do conjunto

R2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R}

podem ser representados no plano da seguinte forma

23-3-2009

2 §1.1 Breves nocoes de topologia em Rn

x1

x2

b P (a, b)

a

b

Figura 1.1: Representacao geometrica de um ponto de R2

e que os elementos do conjunto

R3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R}

podem ser representados no espaco da seguinte forma

x2

x1

x3

bP (a, b, c)

a

b

c

Figura 1.2: Representacao geometrica de um ponto de R3

Podemos generalizar este genero de conjuntos para qualquer numero natural n. Assim,definimos o conjunto Rn utilizando o produto cartesiano, ou seja,

Rn = R×R× · · · ×R

︸︷︷︸

n vezes

e o conjunto formado por todos os elementos da forma

x = (x1, . . . , xn)

onde xi e um numero real para i = 1, . . . , n. A cada elemento xi chamamos i-esimacoordenada de x.

Em Rn vamos considerar duas operacoes, a adicao (entre elementos de Rn) e a multi-

plicacao de um numero real por um elemento de Rn, definidas, para cada x = (x1, . . . , xn)e y = (y1, . . . , yn) em Rn e para cada λ ∈ R, da seguinte forma:

x + y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

e

λx = λ (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn) .

23-3-2009 Calculo II – Bioquımica AB

§1.1 Breves nocoes de topologia em Rn 3

A adicao e a multiplicacao verificam, para cada x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ez = (z1, . . . , zn) em R

n e para cada λ, µ em R, as seguintes propriedades:

a) x + y = y + x;

b) x + (y + z) = (x + y) + z;

c) (0, . . . , 0) ∈ Rn e o elemento neutro da adicao;

d) −x = (−x1, . . . ,−xn) e o simetrico de x = (x1, . . . , xn), ja que x+(−x) = (0, . . . , 0);

e) λ (µx) = (λµ)x;

f) λ (x + y) = λx + λy;

g) (λ + µ)x = λx + µx;

h) 1x = x.

Por se verificarem estas propriedades, e costume dizer que Rn e um espaco vectorial.Associada a estas operacoes esta uma outra operacao, a subtraccao, que e definida,

para cada x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, por

x − y = (x1, . . . , xn) − (y1, . . . , yn) = (x1 − y1, . . . , xn − yn).

Sempre que nao haja perigo de confusao, representaremos um elemento generico deR

2 por (x, y) em vez de (x1, x2). Da mesma forma, um elemento generico de R3 sera porvezes representado por (x, y, z) em vez de (x1, x2, x3).

§1.1.2 Distancias e normas

Em R, observando a figura que se segue

x y

|x − y|

Figura 1.3: Distancia entre dois numeros reais x e y

verificamos que a distancia entre dois numeros reais x e y e dada por

d(x, y) = |x − y| .

Vejamos como calcular a distancia entre dois elementos de R2. Para isso consideremosdois pontos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) e facamos a sua representacao geometrica.

y1

y2

x1

x2

x1 − y1

d(x,

y)

b

b

x2 − y2

Figura 1.4: Distancia entre dois pontos de R2

AB Calculo II – Bioquımica 23-3-2009


Pelo teorema de Pitagoras concluımos que a distancia entre x e y e dada por

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

Do mesmo modo, a distancia entre dois pontos x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) e dadapor

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.

b

b

x = (x1, x2, x3)

y = (y1, y2, y3)

Figura 1.5: Distancia entre dois pontos de R3

De um modo geral, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, a distancia entre

x e y calcula-se usando a seguinte formula:

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2.

Associado a definicao de distancia temos o conceito de norma. Dado x = (x1, . . . , xn) ∈R

n, dizemos que a norma de x e dada por

‖x‖ =√

x21 + x2

2 + · · · + x2n.

Repare-se que se representarmos por 0 o vector nulo (0, . . . , 0) temos

‖x‖ = ‖x − 0‖ = d(x, 0)

pelo que a norma de x = (x1, . . . , xn) e apenas o comprimento do vector x, tal como ilustraa figura seguinte no caso particular de R2:

x1

x2

x = (x1, x2)

Alem disso, dados dois pontos x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, temos

d(x, y) = ‖x − y‖.



A norma satisfaz as seguintes propriedades:

a) ‖x‖ > 0 para qualquer x ∈ Rn;

b) ‖x‖ = 0 se e so se x = 0;

c) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para cada x ∈ Rn e para cada λ ∈ R;

d) ‖x + y‖ 6 ‖x‖ + ‖y‖ para cada x, y ∈ Rn. (desigualdade triangular)

As tres primeiras propriedades apresentadas anteriormente sao faceis de verificar. Ja aultima propriedade e mais difıcil de provar.

§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados

Seja a = (a1, . . . , an) um ponto de Rn. Chama-se bola aberta de centro a e raio r > 0ao conjunto

Br(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}= {x ∈ Rn : ‖x − a‖ < r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r}

={x ∈ Rn : (x1 − a1)

2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r2

}

e bola fechada de centro a e raio r > 0 ao conjunto

Br[a] = {x ∈ Rn : d(x, a) 6 r}= {x ∈ Rn : ‖x − a‖ 6 r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 6 r}

={x ∈ Rn : (x1 − a1)

2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 6 r2

}.

O conjunto

Sr(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}= {x ∈ Rn : ‖x − a‖ = r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r}

={x ∈ Rn : (x1 − a1)

2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r2

}

designa-se por esfera de centro a e raio r > 0.Em R a distancia entre dois elementos e dada pelo modulo da diferenca e, por conse-

guinte, as bolas sao intervalos e as esferas conjuntos com dois pontos

a − r a a + ra − r a a + r a − r a a + r

Figura 1.6: Bola aberta, bola fechada e esfera de centro a ∈ R e raio r



A figura seguinte ilustra, em R2 os tres conjuntos definidos anteriormente:

b

a1

a2

r

b

a1

a2

r

b

a1

a2

r

Figura 1.7: Bola aberta, bola fechada e esfera de centro (a1, a2) e raio r

Em R3 a bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r pode ser representada por

rba

Figura 1.8: Representacao geometrica em R3 da bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r

Um subconjunto A de Rn diz-se limitado se estiver contido em alguma bola centradana origem, isto e,

A ⊆ Br[0] para algum r > 0,

ou seja, se existir r > 0 tal que

‖x‖ 6 r para cada x ∈ A.

Os subconjuntos de Rn que nao sao limitados dizem-se ilimitados.

§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderencia e derivado de um conjunto

Seja A um subconjunto nao vazio de Rn. Um ponto a ∈ Rn diz-se interior a A se

existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.

O ponto a diz-se exterior a A se

existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ Rn \ A.

Um ponto a ∈ Rn diz-se fronteiro a A se

para cada ε > 0, Bε(a) ∩ A 6= ∅ e Bε(a) ∩ (Rn \ A) 6= ∅.



A figura que se segue ilustra estes tres conceitos. O ponto a e um ponto interior aoconjunto, o ponto b e um ponto exterior ao conjunto e o ponto c e um ponto fronteiro aoconjunto.

a c

b

Figura 1.9: Pontos interiores, pontos exteriores e pontos fronteiros

O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A e representa-se porint A ou A◦, o conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext A e o conjunto dos pontos fronteiros a A designa-se por fronteira de A erepresenta-se por frA.

Observacoes 1.1.1.

1) Da definicao resulta imediatamente que int A, ext A e frA sao conjuntos disjuntos dois

a dois e que

Rn = intA ∪ extA ∪ frA.

2) Outra consequencia imediata da definicao e a seguinte

int A = ext (Rn \ A) e frA = fr (Rn \ A) .

Exemplos 1.1.2.

a) Consideremos os conjuntos

A ={(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2

}

B ={(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2

}

C ={(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 < y < 2

}

Estes conjuntos estao representados na figura seguinte

1

2

1 2 3 4 5 6

A B C

x

y



Entao o interior destes tres conjuntos e dado por

int A ={(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2

}

int B ={(x, y) ∈ R2 : 3 < x < 4 ∧ 1 < y < 2

}

int C ={(x, y) ∈ R2 : 5 < x < 6 ∧ 1 < y < 2

},

o exterior e dado por

ext A ={(x, y) ∈ R2 : x < 1 ∨ x > 2 ∨ y < 1 ∨ y > 2

}

ext B ={(x, y) ∈ R2 : x < 3 ∨ x > 4 ∨ y < 1 ∨ y > 2

}

ext C ={(x, y) ∈ R2 : x < 5 ∨ x > 6 ∨ y < 1 ∨ y > 2

},

e a fronteira e dada por

frA ={(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 1 6 x 6 2) ∨ ((x = 1 ∨ x = 2) ∧ 1 6 y 6 2)

}

fr B ={(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 3 6 x 6 4) ∨ ((x = 3 ∨ x = 4) ∧ 1 6 y 6 2)

}

fr C ={(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 5 6 x 6 6) ∨ ((x = 5 ∨ x = 6) ∧ 1 6 y 6 2)

}.

b) Dada a bola aberta Br(a) de centro a e raio r > 0 tem-se

int (Br(a)) = Br(a), ext (Br(a)) = Rn \ Br[a] e fr (Br(a)) = Sr(a).

O interior, o exterior e a fronteira da bola fechada Br[a] de centro a e raio r > 0coincidem, respectivamente, com o interior, o exterior e a fronteira de Br(a).

c) E obvio que intRn = Rn, extRn = ∅ e frRn = ∅.

d) Tambem temos int ∅ = ∅, ext ∅ = Rn e fr ∅ = ∅.

Um ponto a ∈ Rn diz-se aderente a um subconjunto A ⊆ Rn se

para cada ε > 0, Bε(a) ∩ A 6= ∅.

O conjunto dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se por aderencia ou fechode A e representa-se por A.

Exemplos 1.1.3.

a) Sejam A, B e C os conjuntos da alınea a) dos Exemplos 1.1.2. Entao

A ={(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2 ∧ 1 6 y 6 2

}

B ={(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2

}

C ={(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 6 y 6 2

}

b) Seja Br(a) a bola aberta de centro a e raio r > 0. Entao

Br(a) = Br[a].



c) Tambem se tem Rn = Rn e ∅ = ∅.

E evidente que para qualquer subconjunto A de Rn se tem

A = int A ∪ fr A

eint A ⊆ A ⊆ A.

Sejam A um subconjunto de Rn e a ∈ Rn. Diz-se que a e um ponto de acumulacaode A

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩ (A \ {a}) 6= ∅.

O conjunto dos pontos de acumulacao de um conjunto A representa-se por A′ e designa-sepor derivado. Os pontos de A que nao sao pontos de acumulacao de A designam-se porpontos isolados.

Exemplos 1.1.4.

a) Seja

A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1

}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} .

O conjunto A tem a seguinte representacao geometrica

2

2

-2 1x

y

Entao

int A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1

},

ext A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1

}\ {(2, 2) , (−2, 2)} ,

fr A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,

A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2

6 1}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,

A′ ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2

6 1}

.

Os pontos (2, 2) e (−2, 2) sao pontos isolados de A. Alem disso o conjunto A e limitado

porque

A ⊆ B3[0].

b) E obvio que (Rn)′ = Rn e que (∅)′ = ∅.


10 §1.2 Funcoes de Rn em Rm

§1.1.5 Conjuntos abertos e conjuntos fechados

Um subconjunto A de Rn diz-se aberto se A = int A e diz-se fechado se A = A.

a

conjunto aberto

b

conjunto fechado

Figura 1.10: Conjuntos abertos e conjuntos fechados

§1.2 Funcoes de Rn em Rm

§1.2.1 Definicao e exemplos

Seja D um subconjunto nao vazio de Rn. Uma funcao f : D ⊆ Rn → R

m associa acada elemento x = (x1, . . . , xn) de D um e um so elemento de Rm que representaremospor f(x). Como f(x) ∈ Rm, tem-se

f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))

onde

f1 : D ⊆ Rn → R

f2 : D ⊆ Rn → R

...

fm : D ⊆ Rn → R,

ou seja, cada funcao f : D ⊆ Rn → Rm pode ser definida por m funcoes fi : D ⊆ Rn → R,

i = 1, 2, . . . ,m, funcoes essas que se designam por funcoes coordenadas de f . Nestascondicoes escreve-se

f = (f1, f2, . . . , fm) .

As funcoes f : D ⊆ Rn → R designam-se por funcoes escalares e as funcoes f : D ⊆

Rn → R

m, m > 1, designam-se por funcoes vectoriais.O conjunto D no qual esta definida a funcao designa-se por domınio e o conjunto de

todas as imagens de uma funcao designa-se por contradomınio, ou seja, o contradomıniode uma funcao f : D ⊆ Rn → R

m e o conjunto

f(D) = {f(x) ∈ Rm : x ∈ D} .


§1.2 Funcoes de Rn em Rm 11

Exemplos 1.2.1.

a) Seja f a funcao dada por

f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))

=(

ln(y − x), sen(xy),x

2

)

.

O domınio de f e o conjunto

D ={(x, y) ∈ R2 : y − x > 0

}

={(x, y) ∈ R2 : y > x

}

cuja representacao geometrica e a seguinte

D

x

y

1

1

y = x

Obviamente, f : D ⊆ R2 → R3 e o seu contradomınio e o conjunto

f(D) ={(a, b, c) ∈ R3 : − 1 6 b 6 1

}.

Esta funcao e uma funcao vectorial pois o seu contradomınio e um subconjunto de R3.

b) Consideremos a funcao escalar dada por

f(x, y) = x ln(y2 − x

).

O domınio de f e o conjunto

D ={(x, y) ∈ R2 : y2 − x > 0

}

={(x, y) ∈ R2 : y2 > x

}

cuja representacao geometrica e a seguinte


12 §1.2 Funcoes de Rn em Rm

D

1 2

1

√2

x = y2

x

y

Assim, f : D ⊆ R2 → R e o contradomınio de f e R.

§1.2.2 Grafico, curvas de nıvel e superfıcies de nıvel

Dada uma funcao f : D ⊆ Rn → Rm designa-se por grafico de f o conjunto

G (f) = {(a, f(a)) : a ∈ D} .

Exemplo 1.2.2. Seja f a funcao dada por

f(x, y) = x2 + y2.

O domınio desta funcao e R2 e o seu contradomınio e [0,+∞[. O grafico desta funcao e

o conjunto

G (f) ={(

(x, y), x2 + y2)

: (x, y) ∈ R2}

.

Costuma identificar-se o ponto((x, y), x2 + y2

)de R2 ×R com o ponto

(x, y, x2 + y2

)de

R3. Assim,

G (f) ={(

x, y, x2 + y2)

: (x, y) ∈ R2}

,

cuja representacao geometrica e dada por

x

y

f(x, y)

1

2

5b


§1.2 Funcoes de Rn em Rm 13

Sejam f : D ⊆ Rn → R uma funcao e k ∈ R. O conjunto

Ck = {x ∈ D : f(x) = k}

designa-se por conjunto de nıvel k. EmR2 os conjuntos de nıvel designam-se por curvasde nıvel e em R3 designam-se por superfıcies de nıvel.

Exemplo 1.2.3. Consideremos novamente a funcao f : R2 → R dada por f(x, y) = x2 +y2. As curvas de nıvel desta funcao sao

Ck ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = k

}.

Assim, se k < 0 temos Ck = ∅. Se k = 0 temos C0 = {(0, 0)}. Finalmente, para k > 0 a

curva de nıvel e uma circunferencia centrada em (0, 0) e de raio√

k. As curvas de nıvel

1, 2 e 3 estao representadas na figura seguinte

1√

2√

3 x

y

e podem ajudar a representar geometricamente o grafico da funcao:

x

y

f(x, y)

1

2

3


14 §1.3 Limites

§1.3 Limites

§1.3.1 Definicao, propriedades e exemplos

Sejam D um subconjunto de Rn, f : D → Rm uma funcao, a um ponto de acumulacao

de D e b ∈ Rm. Dizemos que b e o limite de f quando x tende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = b,

se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

‖f(x) − b‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < ‖x − a‖ < δ.

Simbolicamente, tem-se o seguinte:

limx→a

f(x) = b ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ D (0 < ‖x − a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − b‖ < ε) .

Observando que ‖f(x) − b‖ < ε e equivalente a f(x) ∈ Bε(b) e que 0 < ‖x − a‖ < δe equivalente a x ∈ Bδ(a) \ {a}, podemos dar a seguinte interpretacao geometrica dadefinicao de limite.

δ

ε

a

bx f(x)

f(a)

Rn

DR

m

f(D)

Figura 1.11: Interpretacao geometrica do limite em a de uma funcao f : D ⊆ Rn → Rm

Se a for um ponto isolado do domınio D, entao a definicao dada atras nao se podeaplicar porque, quando a e um ponto isolado de D, e possıvel escolher δ > 0 tal que

0 < ‖x − a‖ < δ

e falso para qualquer x ∈ D. Assim, quando a e ponto isolado de D, por convencao,fazemos

limx→a

f(x) = f(a).


§1.3 Limites 15

Propriedades 1.3.1.

1) O limite de f , no ponto a, quando existe, e unico.

2) Sejam f : D ⊆ Rn → R

m uma funcao tal que f = (f1, . . . , fm), a = (a1, . . . , an) ∈ Dum ponto de acumulacao de D e b = (b1, . . . , bm) ∈ Rm. Entao

limx→a

f(x) = b se e so se limx→a

fi(x) = bi, i = 1, . . . ,m.

3) Sejam D ⊆ Rn, f, g : D → R

m, α : D → R e a um ponto de acumulacao de D.

Suponhamos que existem

limx→a

f(x), limx→a

g(x) e limx→a

α(x).

Entao

i) existe limx→a

[f(x) + g(x)] e

limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x) + limx→a

g(x);

ii) existe limx→a

[α(x)f(x)] e

limx→a

[α(x)f(x)] =[

limx→a

α(x)]

.[

limx→a

f(x)]

;

iii) se limx→a

α(x) 6= 0, existe limx→a

1

α(x)e

limx→a

1

α(x)=

1

limx→a

α(x).

4) Sejam D ⊆ Rn, a um ponto de acumulacao de D e f, g : D ⊆ Rn → R. Suponhamos

que limx→a

f(x) = 0 e g e uma funcao limitada numa bola centrada em a. Entao

limx→a

[f(x).g(x)] = 0.

5) Sejam f : Df ⊆ Rn → Rm, g : Dg ⊆ Rm → R

k duas funcoes tais que que f(Df ) ⊆ Dg.

Suponhamos que a ∈ Rn e um ponto de acumulacao de Df e que b ∈ Dg e um ponto

de acumulacao de Dg. Se

limx→a

f(x) = b e limx→b

g(x) = g(b),

entao

limx→a

(g ◦ f)(x) = limx→a

g(f(x)) = g(b).


16 §1.3 Limites

f g

g ◦ f

Rn

Df

Rm

Dgf (Df )

Rk

g (Dg)

b b ba b g(b)

Figura 1.12: Composicao de funcoes

Exemplos 1.3.2.

a) Seja f : R2 → R3 a funcao definida por

f(x, y) = (x + y, sen(x + 2y), cos x) .

Entao f = (f1, f2, f3) onde f1, f2, f3 : R2 → R sao as funcoes definidas por

f1(x, y) = x + y, f2(x, y) = sen(x + 2y) e f3(x, y) = cos x.

Como

lim(x,y)→(π/2,0)

f1(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

x + y = π/2 + 0 = π/2

lim(x,y)→(π/2,0)

f2(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

sen(x + 2y) = sen(π/2 + 2.0) = sen(π/2) = 1

lim(x,y)→(π/2,0)

f3(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

cos x = cos(π/2) = 0,

temos

lim(x,y)→(π/2,0)

f(x, y) =

(

lim(x,y)→(π/2,0)

f1(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)

f2(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)

f3(x, y)

)

= (π/2, 1, 0) .

b) Seja f : R2 → R a funcao dada por

f(x, y) =

xy2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Esta funcao pode ser escrita, quando (x, y) 6= (0, 0), da seguinte forma

xy2

x2 + y2.


§1.3 Limites 17

Como lim(x,y)→(0,0)

x = 0 ey2

x2 + y2e limitada, pois

0 6y2

x2 + y26 1 para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} ,

podemos concluir que

lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0.

e, consequentemente,

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0.

§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Seja A um subconjunto de D ⊆ Rn e a um ponto de acumulacao de A. Chama-se

limite de f : D → Rm no ponto a relativo a A (ou limite quando x tende para a

no conjunto A) ao limite em a (quando exista) da restricao de f a A e usa-se a notacao

limx→ax∈A

f(x).

E evidente que se existe

limx→a

f(x),

entao tambem existe

limx→ax∈A

f(x)

para qualquer subconjunto A de D tal que a e ponto de acumulacao de A e

limx→ax∈A

f(x) = limx→a

f(x).

Assim, se existirem dois limites relativos distintos, o limite nao existe.Alem disso, se A1 e A2 sao dois subconjuntos de Rn tais que a e ponto de acumulacao

de A1 e de A2, D = A1 ∪ A2 e existem e sao iguais os limites limx→ax∈A1

f(x) e limx→ax∈A2

f(x), entao

tambem existe limx→a

f(x) e

limx→a

f(x) = limx→ax∈A1

f(x) = limx→ax∈A2

f(x).

Para funcoes reais de variavel real, f : D ⊆ R→ R, considerando os conjuntos

D+a = {x ∈ D : x > a} = D∩ ]a,+∞[

e

D−a = {x ∈ D : x < a} = D∩ ] −∞, a[,


18 §1.3 Limites

definem-se os limites laterais a direita e a esquerda da seguinte forma

limx→a+

f(x) = limx→a

x∈D+a

f(x) e limx→a−

f(x) = limx→a

x∈D−

a

f(x),

desde que a seja ponto de acumulacao de D+a e de D−

a , respectivamente.A generalizacao natural dos limites laterais a funcoes f : D ⊆ Rn → R

m e dada peloslimites direccionais. Se a e v sao elementos de Rn, com v 6= 0, entao

{x ∈ Rn : x = a + tv, t ∈ R}

e a recta que passa por a e tem a direccao de v e

{x ∈ Rn : x = a + tv, t ∈ R+

}

e a semi-recta de origem a e com a direccao e o sentido de v. Dada uma funcao f : D ⊆R

n → Rm, supondo que a e um ponto de acumulacao de D e fazendo

A ={x ∈ D : x = a + tv, t ∈ R+

},

chama-se a

limx→ax∈A

f(x)

limite (direccional) de f no ponto a segundo v. Este conceito generaliza o conceitode limite lateral de funcoes reais de variavel real. Este limite obtem-se calculando

limt→0+

f(a + tv).

Exemplo 1.3.3. Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R a funcao definida por

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2.

Fazendo

v = (cos α, sen α) ,

com α ∈ [0, 2π[, temos

limt→0+

f(0 + t cos α, 0 + t sen α) = limt→0+

t2 cos2 α − t2 sen2 α

t2 cos2 α + t2 sen2 α= cos2 α − sen2 α

e, como os limites direccionais dependem do vector v, podemos concluir que nao existe

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).


§1.3 Limites 19

Para funcoes f : D ⊆ R→ R e facil provar que se existem

limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x)

elim

x→a+f(x) = lim

x→a−

f(x),

entao tambem existelimx→a

f(x)

elimx→a

f(x) = limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x).

No entanto, para funcoes f : D ⊆ Rn → Rm, n > 1, e possıvel existirem e serem iguais

todos os limites direccionais, sem que o limite da funcao exista. Vejamos um exemplo emque isso acontece.

Exemplo 1.3.4. No ponto (0, 0) todos os limites direccionais da funcao

f : R2 \ {(0, 0)} → R

definida por

f(x, y) =x2y

x4 + y2

sao iguais a zero. De facto, fazendo

v = (cos α, sen α) ,

com α ∈ [0, 2π[, temos, para α ∈]0, π[∪]π, 2π[,

limt→0+

f((0, 0) + tv) = limt→0+

f(t cos α, t sen α)

= limt→0+

t3 cos2 α sen α

t4 cos4 α + t2 sen2 α

= limt→0+

t cos2 α sen α

t2 cos4 α + sen2 α

=0

0 + sen2 α

= 0.

Se α = 0 vem

limt→0+

f(t, 0) = limt→0+

t20

t4 + 02= lim

t→0+0 = 0.

e se α = π temos

limt→0+

f(−t, 0) = limt→0+

(−t)20

(−t)4 + 02= lim

t→0+0 = 0.

Assim, todos os limites direccionais sao iguais a zero. No entanto, considerando o conjunto

A ={(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} : y = x2

}


20 §1.4 Continuidade

temos

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) = limt→0

f(t, t2) = limt→0

t2.t2

t4 + (t2)2= lim

t→0

1

2=

1

2

que e diferente dos limites direccionais. Logo nao existe

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2.

§1.4 Continuidade

Sejam D um subconjunto de Rn, f : D → Rm uma funcao e a ∈ D. Diz-se que f e

contınua no ponto a selimx→a

f(x) = f(a).

Tendo em conta que convencionamos que, quando a e um ponto isolado de D, temos

limx→a

f(x) = f(a),

podemos concluir que nos pontos isolados do domınio a funcao e sempre contınua.Se a ∈ D for ponto de acumulacao de D temos que

f e contınua em a ⇔ limx→a

f(x) = f(a)

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < ‖x − a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − f(a)‖ < ε)

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (‖x − a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − f(a)‖ < ε) .

Assim temos a seguinte interpretacao geometrica de continuidade num ponto.

δ

ε

a

f(a)x f(x)

Rn

DR

m

f(D)

Figura 1.13: Funcao de Rn em Rm contınua no ponto a

Dizemos que a ∈ D e um ponto de descontinuidade de f se f nao e contınua ema. Uma funcao f : D → R

m diz-se contınua se for contınua em todos os pontos do seudomınio.


§1.4 Continuidade 21

Exemplos 1.4.1.

1) No Exemplo 1.3.2 consideramos a funcao f : R2 → R3 dada por

f(x, y) = (x + y, sen(x + 2y), cos x)

e vimos que

lim(x,y)→(π/2,0)

f(x, y) = (π/2, 1, 0) .

Como

f(π/2, 0) = (π/2, 1, 0) ,

a funcao e contınua no ponto (π/2, 0).

2) Seja f : R2 → R a funcao definida por

f(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

No Exemplo 1.3.3 vimos que nao existe

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2,

pelo que f nao e contınua no ponto (0, 0).

Propriedades 1.4.2.

1) Sejam f : D ⊆ Rn → Rm uma funcao tal que f = (f1, . . . , fm) e a um elemento de D.

Entao f e contınua em a se e so se todas as suas funcoes coordenadas fi sao contınuas

em a.

2) Sejam f, g : D ⊆ Rn → Rm duas funcoes contınuas em a ∈ D e α : D → R uma funcao

contınua em a. Entao

f + g e αf sao contınuas em a

e se α(a) 6= 0 entao1

αe contınua em a.

3) Sejam f : Df ⊆ Rn → Rm, g : Dg ⊆ Rm → R

k duas funcoes tais que f(Df ) ⊆ Dg. Se

f e contınua em a ∈ Df e g e contınua em f(a), entao

g ◦ f e contınua em a.

Exemplo 1.4.3. Seja f : R2 → R a funcao definida por

f(x, y) =

x2y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).


22 §1.4 Continuidade

No Exemplo 1.3.4 provamos que nao existe

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2.

Logo a funcao nao e contınua em (0, 0). No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta

funcao e contınua porque pode ser escrita como a composicao de funcoes contınuas.

Seja f : D ⊆ Rn → R uma funcao escalar e A um subconjunto nao vazio de D.

Dizemos que f tem um maximo (absoluto) no ponto a ∈ A ou que f(a) e um maximo(absoluto) de f em A se

f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ A.

Quandof(x) > f(a) para todo o x ∈ A,

dizemos que f tem um mınimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou que f(a) e um mınimo(absoluto) de f em A. Os maximos e mınimos (absolutos) de f em a dizem-se extremosabsolutos de f em A.

Teorema 1.4.4 (Teorema de Weierstrass). Seja f : D ⊆ Rn → R uma funcao contınua

num subconjunto nao vazio, fechado e limitado A ⊆ D. Entao f tem maximo e mınimo

em A.

Exemplo 1.4.5. Sejam

A ={(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1

}

e f a funcao dada por

f(x, y) = x + y sen x.

A funcao f e contınua em R2 e, portanto, e contınua em A. Como A e fechado e limitado,

f tem maximo e mınimo no conjunto A.


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Cap´ıtulo 1 Funcões de R em : limites e continuidade · 2018. 3. 17. · AB Calculo II – Bioqu´ımica 23-3-2009. 6 §1.1 Breves noçoes de topologia em Rn A figura seguinte