464 Capítulo 13: IntegraçãoparaCamposVetoriais

y Poderíamos substituir a circunferência C1no Exemplo 6 por uma elipse ouqualquer outra curva fechada simples K que cerque Ch (Figura 13.36). O resul-tado ainda seria

T (M dx + N dy) + f(M dx + N dy) = f f (a: - a::)dy dx = O,K y Rx

o que leva à conclusão surpreendente de que

f(M dx + N dy) = 27TK

FIGURA13.36 A região limitada pelacircunferência Ch e pela curva K.

para qualquer curva K desse tipo. Podemos explicar esse resultado mudandopara coordenadas polares. Com

x = r cos O,

dx = -r sen OdO + cos Odr,

y = r sen O,

dy = r cos OdO + sen Odr,

temos

x dy - y dx = r(COS2 O+ sen2O)dO = dO~+I r '

e Oaumenta em 27Tà medida que percolTemos K uma vez no sentido anti-horário.

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EXERCICIOS 13.4

Verificando o Teorema de GreenNos exercícios 1-4, verifique a conclusão do Teorema de Greencalculando ambos os lados das equações (3) e (4) para o campoF = Mi + Nj. Tome os domínios de integração em cada caso comosendo o disco R: X2 + l :::;:a2 e sua circunferência de fronteira C:r = (a cos t)i + (a sen t)j, 0:5 t:5 27T.

1. F = -yi + xj 2. F = yi

3. F = 2xi - 3yj 4. F = -x2yi + xlj

Circulação no Sentido Anti-Horário e FluxoExteriorNosexercícios5-10, use o TeoremadeGreenparaencontrara cir-culação no sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F ea curva C.

5. F = (x - y)i + (y - x)j

C: O quadrado limitado por x = O,x = 1,y = O,Y = 1

6. F = (X2+ 4y)i + (x + l)j

C: O quadrado limitado por x = O,x = 1,Y = O,Y = 1

7. F = (l- x2)i + (X2 + l)j

C: O triângulo limitado por y = O,x = 3 e y = x

8. F = (x + y)i - (X2 + l)j

C: O triângulo limitado por y = O,x = 1, e y = x

9. F = (x + eXseny)i + (x + é cosy)j

C: O laço do lado direito da lemniscata? = cos 20.

10. ~ ~ (are tg ~)i+ In (x' +.r)jC: A fronteira da região definida pelas desigualdades em

. coordenadas polares 1 :::;:r :::;:2, O :5 O:::;:7T.

11. Encontre a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exteriordo campo F = xyi + lj ao redor e através da fronteira da re-gião limitada pelas curvas y = r e y = x no primeiro qna-drante.

12. Encontre a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exteriordo campo F = (-sen y)i + (x cos y)j ao redor e através doquadradocortadodo primeiroquadrantepelasretasx = 'TrIZey = 7T12.

13. Encontre o fluxo exterior do campo

F = (3XY- ~ )i + (é + arc tg y)j1'+ Y

através da cardióide r = a(1 + cos O),a> O.

14. Encontre a circulação no sentido anti-horário de F = (y + ti +ln y)i + (ély)j ao redor da fronteira da região que é limitadaacima pela curva y = 3 - r e abaixo pela curva y = x4 + 1.

Trabalho

Nos exercícios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por F paramover uma partícula uma vez no sentido anti-horário ao redor dacurva dada.

15. F = 2xy3j + 4x72j

C: A fronteira da região 'triangular' no primeiro quadrantelimitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = X3.

16. F = (4x - 2y)j + (2x - 4y)j

c: A circunferência(x - 2)2 + (y - 2)2 = 4

Calculando Integrais de Linha no PlanoApliqueo Teoremade Greenparacalcularas integraisnos exercí-cios17-20.

17. 1(ldx+X2dY)cc: O triângulo limitado por x = O,x + y = 1,Y = O

18. 1 (3y dx + 2x dy)cc: A fronteiradeO~ x ~7T, O~ Y ~ sen x

19. 1 (6y + x) dx + (y + 2x) dycc: A circunferência (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4

20. 1 (2x + y2) dx + (2xy + 3y) dycC: Qualquer curva fechada simples no plano para a qual oTeorema de Green é válido.

Calculando Áreas com o Teorema de Green

Se uma curva fechada simples C no plano e a região R que ela en-globa satisfazem as hipóteses do Teorema de Green, a área de R édada por

Fórmula da Área do Teorema de Green

~ 11.AreadeR = "2'Jxdy - ydxc

(13)

O motivo é que, pela equação (3), lida ao contrário,

Área de R = f f dy dx = f f (~ + ~) dy dxR R

11 1= 'J"2xdy - "2ydx.c

Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13»para encontrar as áreas das regiões limitadas pelas curvas nos exer-cícios 21-24.

21. A circunferência r(t) = (a cos t)i + (a sen t)j, O ~ t:S 21T

22. A elipse r(t) = (a cos t)i + (b sen t)j, O:S t:S 21T

13.4 OTeorema de Green no Plano 465

23. O astróide (Figura5.30) r(t) = (COS3 t)i + (sen3 t)j, O:S t :S 27T

24. A curva r(t) = t2j + (t3/3) - t)j, - Y3~ t ~ Y3(verfi-guraa seguir).

yA-

I

x

-1

Teoria e Exemplos'

25. Seja C a fronteira de uma região na qual o Teorema de Green éválido. Use o Teorema de Green para calcular

(a) tf(x) dx + g(y) dyc

(b) 1 ky dx + hx dy (com k e h constantes).c

26. Integraldependenteapenasdaárea Mostre que o valor de

txy2 dx + (X2y+ 2x) dyc

ao redor de qualquer quadrado depende apenas da área do qua-drado e não de sua localização no plano.

27. Escrevendoparaaprender O que há de especial na integral

f4x3y dx + X4dy?c

Justifique sua resposta.

28. Escrevendo para aprender O que há de especial na integral

1 - y3 dx + X3 dy?c

Justifique sua resposta.

29. Área como uma integral de linha Mostre que, se R for uma regiãono plano limitada por uma curva C fechada, simples e lisa porpartes, então

Áreade R = 1xdy = -1 ydx.c c

466 Capitulo 13: Integraçãopara CamposVetoriais

30. Integral definida como uma integral de linha Suponha que umafunção não negativa y = f(x) tenha uma derivada de primeiraordem contínuaem [a, b]. Seja C a fronteira da região noplano xy que é limitada abaixo pelo eixo x, acima pelo gráficodef e dos lados pelas retas x = a e x = b. Mostre que

fb f(x) dx = -f y dx.a C

31. A áreae o centróide Seja A a área e :xa abscissa do centróide deuma região R limitada por uma curva C fechada, simples e lisapor partes no plano xy. Mostre que

~fX2dY = -fXYdX = tfx2dY - xydx = Ai.c c c

32. Momentodeinércia Seja Iy o momento de inércia em relação aoeixo y na região do Exercício 31. Mostre que

tfx3 dy = -fx2ydx = ifx3 dy - x2ydx= Iy.c c c

33. Teoremade Greene equaçãode LaplaceConsiderando que todasas derivadas necessárias existam e sejam contínuas, mostreque, se f(x, y) satisfizer a equação de Laplace

ay ay-+-=0ax2 ay2 '

então

1 af dx - af dy = Oj ay axc

para todas as curvas C fechadas às quais o Teorema de Greense aplica. (A recíproca também é verdadeira: Se a integral delinha for sempre zero, entãof satisfaz a equação de Laplace.)

34. Maximizandoo trabalhoDentretodas as curvas fechadas,sim-plese lisasnoplano,orientadasno sentidoanti-horário,encon-tre aquela ao longo da qual o trabalho realizado por

F = (lX2y+ ~y3} + xj

é maior. (Dica: Onde (rot F) . k é positivo?)

35. Regiõescommuitos furosO Teorema de Green é válido para umaregião R com qualquer número finito de furos desde que as cur-vas de fronteira sejam lisas, simples e fechadas e que integre-mos sobre cada componente da fronteira no sentido que man-tém R à esquerda à medida que a percorremos (Figura 13.37).

(a) Sejaf(x, y) = ln (r + l) e seja Ca circunferência~ + l= a2.Calcule a integral de fluxo

fVf'nds.c

(b) Seja K uma curva lisa, simples e fechada arbitrária noplano que não passa por (0,0). Use o Teorema de Greenpara mostrar que

fVf'ndSK

tem dois valores possíveis, dependendo de (O, O) estardentro ou fora de K.

FIGURA13.37 O Teorema de Green é válido para regiõescom mais de um furo (Exercício 35).

36. Critériode BendixsonAs linhas de fluxo de um escoamentofluido no plano são as curvas lisas traçadas pelas partículas in-dividuais do fluido. Os vetores F = M(x, y)i + N(x, y)j docampo de velocidades do escoamento são os vetores tangentesdas linhas de fluxo. Mostre que, se o escoamento ocorrer sobreuma região simplesmente conexa R (sem furos nem pontos fal-tando) e se Mx + Ny ::/=O em R, então nenhuma das linhas defluxo em R é fechada. Em outras palavras, nenhuma partículado fluido terá uma trajetória fechada em R. O critério Mx + Ny::/=Oé chamado de critério de Bendixson para a não-existên-

. cia de trajetóriasfechadas.

37. Estabeleça a equação (7) para concluir a prova do caso espe-cial do Teorema de Green.

38. Estabeleça a equação (10) para completar o argumento para aextensão do Teorema de Green.

39. Escrevendopara aprender:componenterotocional de camposcon-servativos Pode-se dizer algo sobre o componente rotacionalde um campo vetorial bidimensional conservativo? Justifiquesua resposta.

40. Escrevendopara aprender:circulação de campos conservativosOTeorema de Green dá alguma informação sobre a circulaçãode um campo conservativo? Isso está de acordo com algumaoutra coisa que você sabe? Justifique sua resposta.

USANDO O COMPUTADOR

Encontrando a CirculaçãoNos exercícios 41-44, use um SAC e o Teorema de Green paraencontrar a circulação no sentido anti-horário do campo F aoredor de uma curva C fechada e simples. Execute os passos a se-guir no SACo

(a) Trace C no plano.:ry.

(b) Determine o integrando (iJNliJx)- (iJMliJy)para a formarotacional do Teorema de Green.

(c) Determine os limites de integração da integral dupla a par-tir de seu gráfico no item (a) e calcule a integral rotacionalpara a circulação.