Integração Numérica

Integral O conceito de integral esta ligado ao problema de

determinar a área de uma figura plana qualquer. Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]

A integral da função f(x) é representada por F(x)

Em determinados casos, F(x) não pode ser calculada

Obter F(x) não é trivial. Nem sempre se tem a forma analítica da função

a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que descreve o comportamento da função

Nestes casos, utilizamos a integração numérica

dxxfxF )()(

Integração Numérica

A solução numérica de uma integral é chamada de quadratura. Há dois métodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma função que são chamadas regras de Newton-Cotes:

– Regra dos trapézios– Regra de Simpson

Regra dos trapézios

substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados

O problema fica resolvido pela integração de um polinômio

Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio interpolador de Lagrange do primeiro grau

onde

Integrando no intervalo [a,b] teremos

O que é a formula da área do trapézio, como mostrado na figura

onde 01 xxh

Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método. Dessa forma, um melhoramento no método consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, calcular a área de cada um deles e em seguida somar todos

)()(2...)(2)(2)(2

))()((2

...))()((2

))()((2

)()(2

1210

12110

1

01

nn

nn

n

iii

xfxfxfxfxfh

I

xfxfh

xfxfh

xfxfh

I

xfxfh

I

Ex:Calcule a integral de no intervalo [0,1] com 10 subintervalos

xexf )(

72,1

)2...2(2

))1()9,0(2...)1,0(2)0((2

1,010

19,01,00

I

eeeeh

I

ffffh

I

abh

Regra 1/3 de Simpson

podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2

Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos:x0 = ax1 = x0 + hx2 = x0 + 2h = b

Regra 1/3 de Simpson

)()()()( 2

1202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxp

)(2

)()(2

)( 210

120

021

2 xfhh

xxxxxf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxp

Resolvendo L0

2

0

2

0

))((2

1

)2)((

))((

))((

))((212

21

2010

21x

x

x

x

xXxXhhh

xXxX

xxxx

xXxX

Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos:

X-x1 =x0+yh-(x0+h)=(y-1)h

X-x2= x0+yh-(x0+2h)=(y-2)h

X=x0->y=0 e X=x2->y=2

2

02

)2()1(2

1hhdyyhy

h

2

0

2 232

dyyyh

33

2

2

hh

30h

w 3

41

hw

32h

w

)]()(4)([3

)( 210

2

0

xfxfxfh

dxxfx

x

Exemplo

Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de Simpson

Regra 1/3 de Simpson Repetida

2

1

2

220

)()()(m

k

x

x

x

x

b

a

k

k

m

dxxfdxxfdxxf

)()(4)(

)()(4)()()(4)(3

12

432210

mmm xfxfxf

xfxfxfxfxfxfh

Exercício

Estimar a integral de e^x no intervalo de zero a um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes