Ensino Superior

1.2. Integral Indefinida Integração por Partes

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Técnicas de Integração Integração por partes:

No Cálculo 1, quando calculávamos a derivada do produto de duas funções aplicávamos uma regra: chamávamos uma das

funções de u, a outra função de v e sua derivada era dada por

u’v + uv’. Exemplo: Seja f(x) = ex . senx. Chamamos u = ex, v = senx e

f’(x) = ex . senx + ex . cosx A integração por partes irá se aplicar a esses casos em que a

função é constituída por um produto e também nos casos em que uma das funções pode ser derivada repetidamente e a outra

pode ser integrada repetidamente.

Integral Indefinida

Técnicas de Integração Integração por partes:

Assim, considere f(x) e g(x) duas funções deriváveis. A regra do produto nos diz que:

Ou, dito de outra maneira:

)(').()().(')().( xgxfxgxfxgxfdx

d

''.'. uvvuvu

Integral Indefinida

Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:

)(').()().(')().( xgxfxgxfxgxfdx

d

dxxgxfxgxfdxxgxfdx

d )(').()().(' )().(

dxxgxfdxxgxfdxxgxfdx

d )(').( )().(' )().(

dxxgxfdxxgxfdxxgxfdx

d )(').( )().(' )().(

Integral Indefinida

Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:

'.'.).( vuvuvudx

d

dxvuvudxuvdx

d )'.'.( )(

dxvudxvudxvudx

d '. '. ).(

dxvudxvudxvudx

d'. '. ).(

Integral Indefinida

Rearranjando os termos, temos:

que é a fórmula da integração por partes.

Essa fórmula é mais facilmente lembrada na forma diferencial. Sejam:

u = f(x) du = f’(x)dx; v = g(x) dv = g’(x)dx.

Usando a regra de substituição, a fórmula acima pode ser simplificada para:

dxxgxfxgxfdxxgxf )().(')().()(').(

vduuvudv

Integral Indefinida

, '..'. dxvuvudxvu

Exemplo 1: Usando o método da integração por partes, determine:

Solução Usamos a fórmula simplificada da integração por partes,

fazendo: u = x, du = dx; v = senx, dv = cosxdx.

Então:

xdxx cos.

vduuvudv

dxsenxsenxxdxxx . cos.

cxsenxxdxxx cos. cos.

Integral Indefinida

Observações O objetivo da integração por partes é passar de uma integral

que não sabemos como calcular para uma integral que podemos calcular.

Geralmente, escolhemos dv primeiro sendo a parte do

integrando, incluindo dx, que sabemos integrar de maneira

imediata; u é a parte restante. Lembre-se de que a integração por partes nem sempre

funciona.

udv

vdu

Integral Indefinida

Integral Indefinida

EXEMPLO 02

Calcular dxex x

Solução

A integral dada deve ser escrita na forma . dvu

Seja, portanto:

dxex x

xu dxedv x

Deste modo:

Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx a constante C pode ser incluída apenas no final.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

dxdu

xxx edxevdxedv

Então:

Integral Indefinida

EXEMPLO 03

Calcular dxex x2

Solução

Seja:2xu dxedv x

Assim:

dx2xdu

xxx edxevdxedv Portanto:

2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Integral Indefinida

A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x.

ou:

dxex2exdxex xx2x2 (1)

Outra integração por partes aplicada a

completará o problema.

dxex x

Seja:

xu dxedv x

Integral Indefinida

Assim:

dxdu

xxx edxevdxedv

Portanto:

dx)e(exduvuvdvudxex xxx

ou:

1xxxxx Ceexdxeexdxex (2)

Substituindo (2) em (1) resulta:

Integral Indefinida

1

xxx2

1xxx2

xx2x2

C2e2ex2ex

Ceex2ex

dxex2exdxex

Portanto:

Ce)2x2x(dxex x2x2

Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person

Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.

São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.

Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of

Mathematics. Dover, 1990.

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