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Capítulo 2. Noções básicas de probabilidade
Isabel M. Rodrigues e Conceição Amado
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2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados.Acontecimentos
”Sempre que aplicamos matemática a fim de estudar alguns fenómenos deobservação, devemos essencialmente começar por construir um modelomatemático (determinístico ou não) para esses fenómenos.“ Neyman, J.
Definição: Modelo DeterminísticoAs condições em que a experiência é realizada determinam o resul-tado da experiência.
Exemplos: lei movimento uniforme; lei de Ohm; . . .Definição: Modelo ProbabilísticoA realização de uma experiência irá ter vários resultados possíveis,aos quais, se possível, vamos associar um número (probabilidade).
Exemplos: fenómenos meteorológicos; euromilhões;lançamento de uma moeda; . . .
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2.1 (cont.)
Definição: Experiência Aleatória (E.A.) é a realização de um fenó-meno aleatório.
Características:I os resultados particulares são imprevisíveis mas é possível
descrever o conjunto de todos os resultados possíveis;I apesar dos resultados particulares serem imprevisíveis é
possível observar um padrão de regularidade ao fim deum grande número de realizações.
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2.1 (cont.)
Exemplos de E.A.’s:I jogos de azar:
I lançamento de uma moeda;I lançamento de um dado;I escolha de uma carta num baralho.
I energia consumida numa reação química;I duração de uma chamada telefónica;I característica “defeituosa” ou “não defeituosa” de peças
produzidas em série.
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2.1 (cont.)Definição: Espaço de Resultados/Espaço AmostralTodos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.Representa-se geralmente por Ω ou S.
I A formulação de um modelo probabilístico associado a umaexperiência aleatória inicia-se pela definição do espaço deresultados;
I Os elementos de Ω podem ser números, atributos ou umacombinação de elementos quantitativos e qualitativos;
I Ω pode ser finito, infinito numerável ou infinito nãonumerável.
Classificação de Ω:I Discreto: Se cardinal de Ω (#Ω) é finito ou infinito
numerável;I Contínuo: Se cardinal de Ω (#Ω) é infinito não numerável.
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2.1 (cont.)
Exemplos:
E.A. Ω
EA1 lançamento de moeda Ω1 = cara, coroaEA2 lançamento de dado Ω2 = , , , , , EA3 duração de chamada telefónica Ω3 = [0,+∞[
EA4 classificação de uma peça Ω4 = defeituosa, não defeituosaEA5 lançamento de moeda até sair cara
(F)Ω5 =
F, FF; FFF, . . .
F =’cara’ e F =’coroa’
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2.1 (cont.)
Definição: AcontecimentoQualquer subconjunto de Ω é um acontecimento.Os acontecimentos são, em geral, representados pelas primeiras le-tras maiúsculas do alfabeto latino; A, B, C,...
Definição: Espaço de acontecimentos de uma experiência aleatória,A, é o conjunto de todos os acontecimentos definidos num espaçode resultados.
EA2 =’ Lançamento do dado’A = ∅, , , . . . , ; ( , ), ( , ), . . . ; Ω2
#A=(6
0)+(6
1)+, . . . ,+
(66)= 2#Ω2 = 26
Definição: Ocorrência/Realização do acontecimento ADiz-se que A ocorreu/realizou-se se e só se ao realizar a experiência(uma única vez) o resultado obtido é um elemento de A.
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2.1 (cont.)
Exemplos Acontecimentos:EA1: A1 = caraEA2: A2 = n.ode pontos inferior a 3 = ,
(definição em compreensão) (definição em extensão)EA3: A3 = duração inferior a 30 unidades = [0, 30[
Considere-se EA2,I se o dado for lançado e sair pode dizer-se que A2 ocorreu;I se o dado for lançado e sair pode dizer-se que A2 não
ocorreu (A ou Ac).
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2.1 (cont.)
Mais exemplos...I EA6 = ’Lançamento de dois dados equilibrado, com faces
numeradas de 1 a 6, com o objectivo de registar as facesvoltadas para cima’I Ω6 = ( , ), ( , ), . . . , ( , ) é o espaço de resultados e
#Ω = 36.I O resultado ( , ) é um acontecimento elementar/possível.I O acontecimento A=”ocorrer faces iguais“ é representado por
A = ( , ), ( , ), . . . , ( , ).
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2.1 (cont.)
Alguns Acontecimentos Especiais
I Acontecimento certo - Ω (realiza-se sempre);I Acontecimento impossível - ∅ (não contém nenhum elemento
de Ω, nunca se realiza).I Acontecimento elementar - Ω = ω1, ω2, · · · , ωk, · · ·
(discreto), com #ωi = 1, i = 1, 2, · · · .
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2.1 (cont.)
Operações com acontecimentos (⇔ operações com conjuntos):– complementação (A);– união (A ∪ B);– intersecção (A ∩ B);– diferença (A\B)
Rever:
I diagramas de Venn;I propriedades das operações (comutativas, associativas,
distributivas, elementos neutros, elementos absorventes, leisde De Morgan, dupla negação).
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2.1 (cont.)
Definição: Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente ex-clusivos ou disjuntos se não puderem ocorrer simultaneamente, ouseja, se A ∩ B = ∅.
Ω
A B
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2.2 Noção de probabilidade. Interpretações de Laplace,frequencista e subjetivista. Axiomas e teoremas decorrentes
A probabilidade é uma medida que pretende quantificar a “possibili-dade” de ocorrência de cada acontecimento.
Dado um acontecimento A ∈ Ω representa-se por P(A) a probabi-lidade desse acontecimento se realizar, a qual é traduzida por umnúmero real no intervalo [0, 1].
Interpretação/definição clássica ou de Laplace (à priori):Dado um espaço de resultados com N elementos equiprováveis,P(ωi) = 1/N, ∀i, a probabilidade de qualquer acontecimento Aé dada por
P(A) = #AN =
n.ode casos favoráveis a An.ode casos possíveis
=⇒ Rever cálculo combinatório.13 / 36
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2.2 (cont.)
LimitaçãoA definição clássica não pode ser aplicada quando:I o espaço de resultados tem um número infinito de elementos;I os elementos não são igualmente possíveis.
=⇒ São necessárias outras interpretações de probabilidade!
Definição: Dada uma experiência aleatória que se realizou n vezes, eum acontecimento A, chama-se frequência relativa do acontecimentoA, ao quociente
fn(A) =n(A)
nonde n(A) representa o número de vezes que se observou o aconteci-mento A (ou seja, é a frequência absoluta de A).
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2.2 (cont.)
Exemplo: Imagine-se uma experiência aleatória só com doisresultados possíveis mas que não sejam necessariamenteigualmente possíveis. Pode ser o caso do lançamento de umamoeda em que não se tem a certeza de que a moeda é equilibradaou a experiência EA4 da Secção 2.1 (classificação de peças emdefeituosas ou não defeituosas).
Repetindo a experiência um número muito elevado de vezesobserva-se que a frequência relativa dos acontecimentoselementares (que são só dois, neste caso), tende a estabilizar àmedida que o número de repetições cresce (embora a sequênciaparticular de valores seja imprevisível).
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2.2 (cont.)Interpretação/definição frequencista:A probabilidade do acontecimento A, P(A), é o “limite” dafrequência relativa, fn(A), quando n → ∞.Limitação: A definição frequencista não pode ser aplicada quandoI não é possível repetir a experiência um número muito elevado
de vezes;I não é possível repetir a experiência exatamente nas mesmas
condições.Interpretação/definição subjetivista ou subjectiva:Admite-se que cada pessoa pode atribuir a cada acontecimento umnúmero — a que chama “probabilidade do acontecimento” — eque expressa o seu grau de credibilidade pessoal em relação àocorrência do acontecimento.Limitação: A probabilidade subjectiva de um dado acontecimentopode variar de indivíduo para indivíduo, mas deve ser coerente parao mesmo indivíduo.
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2.2 (cont.)
Definição axiomática (axiomática de Kolmogorov, 1933):As probabilidades dos acontecimentos pertencentes ao conjuntodos acontecimentos definidos em Ω, designado por A (ver Obs. 1),é um número satisfazendo os três Axiomas seguintes:Axioma 1: P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A
Axioma 2: P(Ω) = 1Axioma 3: Probabilidade da união de acontecimentos
mutuamente exclusivos∀A1,A2,...∈A: Ai∩Aj=∅, (i=j); P
(∪+∞i=1 Ai
)=∑+∞
i=1 P(Ai),Obs. 1 Se Ω for discreto A pode conter todos os subconjuntos de Ω,
caso contrário é necessário impor restrições.
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2.2 (cont.)
Teoremas (Resultados) decorrentes dos Axiomas:
Resultado 1: P(A) = 1 − P(A)Demonstração: A ∪ A = Ω, A ∩ A = ∅
pelo Axioma 3, P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A)pelo Axioma 2, P(Ω) = 1
⇔ P(A)+P(A) = 1
Resultado 2: P(∅) = 0Demonstração: consequência do Resultado 1 e do Axioma 1, pois ∅ = Ω
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2.2 (cont.)
Resultado 3: P(B\A) = P(B)− P(A ∩ B)Demonstração: B = (B\A) ∪ (A ∩ B) e como (B\A) ∩ (A ∩ B) = ∅
pelo Axioma 3 tem-se P(B) = P(B\A) + P(A ∩ B).Assim P(B\A) = P(B)− P(A ∩ B).
Resultado 4: Se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B)Demonstração: Se A ⊂ B, pode escrever-se
B = A ∪ (B\A) eA ∩ (B\A) = ∅
pelo Axioma 3, P(B) = P(A) + P(B\A)pelo Axioma 1, P(B\A) ≥ 0logo P(B) ≥ P(A)
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2.2 (cont.)Resultado 5: ∀A,B P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)Demonstração: A ∪ B = A ∪ (B\A) e como A ∩ (B\A) = ∅
Ω
A B
A\B A ∩ BB\A
pelo Axioma 3: P(A ∪ B) = P(A) + P(B\A)e pelo Resultado 3: P(B\A) = P(B)− P(A ∩ B)Assim, obtem-se:P(A ∪ B) = P(A) + P(B\A) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
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2.2 (cont.)Resultado 6: Para três acontecimentos A, B e C, quaisquer domesmo Ω, tem-se
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)−−P(A ∩ B)− P(A ∩ C)− P(B ∩ C) ++P(A ∩ B ∩ C)
Demonstração: A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A∗ ∪ C e aplicar oresultado anterior.Generalização: Para k acontecimentos, A1, A2, …, Ak, quaisquerdo mesmo Ω, tem-se
P (A1 ∪ · · · ∪ Ak) = P( k∪
i=1Ai
)=
k∑i=1
P (Ai)−k∑
i<j=1P (Ai ∩ Aj) + · · ·
· · ·+ (−1)k+1P (A1 ∩ · · · ∩ Ak)
Demonstração: Por indução aplicando o Resultado 5.21 / 36
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Exemplo de aplicação da Axiomática
Numa determinada população 9.8% das pessoas adquirem a revistaA, 22.9% a revista B e 5.1% ambas as revistas. Calcule aprobabilidade de uma pessoa:
a) Adquirir pelo menos uma das revistas;b) Adquirir somente a revista A;c) Não adquirir nenhuma das revistas.
Seja A -’Adquirir revista A’ e B -’Adquirir revista B’Ω = (A,B); (A,B); (A,B); (A,B) mas @ equiprobabilidadeResolução:
a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) =0.098 + 0.229 − 0.051 = 0.276
b) P(A\B) = P(A)− P(A ∩ B) = 0.098 − 0.051 = 0.047c) P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.276 = 0.724
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2.3 Probabilidade condicionadaCálculo de probabilidades quando há alguma informação adicionalsobre o resultado de uma experiência.É importante porque em muitos casos é mais fácil calcularprobabilidades condicionadas do que não condicionadasExemplo: Considere-se o lançamento de um dado equilibrado com6 faces (Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6), e os acontecimentos
A - sai a face 2, A = 2B - sai a face 1, B = 1C - sai face com número ≤ 2, C = 1, 2
dado equilibrado ⇒ P(A) = P(B) = 16, P(C) = 1
3.
Informação adicional: saiu face par (acontecimento D)
D = 2, 4, 6 −→ espaço de resultados reduzido
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2.3 (cont.)
Exemplo (cont.):As probabilidades dos acontecimentos A, B e C, são alteradas emface da informação adicional de que ocorreu o acontecimento D!Notação: representa-se por P(A|D) a probabilidade de A ocorrersabendo que D ocorreu (pode ler-se probabilidade condicionada deA dado D).
É simples verificar que
no espaço reduzido (D) no espaço original (Ω)
P(A|D) = 13 =
P(A ∩ D)P(D)
P(B|D) = 0 =P(B ∩ D)
P(D)
P(C|D) = 13 =
P(C ∩ D)P(D)
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2.3 (cont.)Definição: A probabilidade condicionada do acontecimento A sa-bendo que ocorreu B (tal que P(B) > 0) é
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
A probabilidade condicionada (sendo fixo o acontecimentocondicionante, D, com P(D) > 0) é uma nova medida deprobabilidade que verifica os Axiomas e os Resultados decorrentesdestes.A1. P(A|D) ≥ 0 A2. P(Ω|D) = 1A3. P
(∪+∞i=1 Ai|D
)=∑+∞
i=1 P(Ai|D), ∀A1,A2,...∈A: Ai∩Aj=∅, (i=j)
R1. P(A|D) = 1 − P(A|D)
R5. P ((A ∪ B)|D) = P(A|D) + P(B|D)− P((A ∩ B)|D)etc.
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2.4 Teoremas da probabilidade composta e daprobabilidade total. Teorema de Bayes
Muitas vezes P(A|B) é conhecida ou fácil de obter recorrendo aoespaço de resultados reduzido e a definição de probabilidadecondicionada tem também grande aplicação no cálculo deprobabilidades de intersecções, como é fácil de verificar seobservarmos que:
⇓
Lei das probabilidades compostas(ou regra da multiplicação)dados 2 acontecimentos tais que P(A) > 0 e P(B) > 0
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)
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2.4 (cont.)
Estas relações podem ser generalizadas e apresentadas no teoremaseguinte.
Lei das probabilidades compostas (geral)dados n acontecimentos tais que P(∩n−1
i=1 Ai) > 0
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) · · ·
· · ·P(An|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1)
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2.4 (cont.)
Ω
DA1 A2
A3 A4
Definição:(Partição de Ω) Os subconjuntos não vazios A1, A2, …,Am formam uma partição de Ω se
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = Ω e Ai ∩ Aj = ∅, ∀i =j=1,...m
(ou seja são exaustivos e mutuamente exclusivos)
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2.4 (cont.)
Teorema da probabilidade totalSe A1, A2, …, Am é uma partição de Ω tal que P(Ai) > 0, ∀i, então
P(B) = P(B|A1)P(A1) + · · ·+ P(B|Am)P(Am)
Teorema de BayesSe A1, A2, …, Am é uma partição de Ω tal que P(Ai) > 0, ∀i, entãopara qualquer acontecimento B tal que P(B) > 0
P(Ai|B) =P(B|Ai)P(Ai)
P(B) =P(B|Ai)P(Ai)
P(B|A1)P(A1) + · · ·+ P(B|Am)P(Am)
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2.4 (cont.)
Exemplo: Considere uma fábrica de produzir “torneiras” em quehá duas linhas de produção tais que
linha 1 −→ probabilidade de defeituosa = 0.05linha 2 −→ probabilidade de defeituosa = 0.02
sabe-se ainda que a linha 1 produz apenas 1/4 da produção total.Se as duas produções estiverem misturadas e for escolhida umatorneira ao acaso qual é a probabilidade de ela ser defeituosa?Resolução: acontecimentos
D - torneira defeituosaL1 - torneira produzida na linha 1L2 - torneira produzida na linha 2 (= L1)
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2.4 (cont.)
elementos fornecidos:P(L1) = 1/4, P(L2) = P(L1) = 3/4, P(D|L1) = 0.05,P(D|L1) = 0.02Como combiná-los?
D = (D ∩ L1) ∪ (D ∩ L1)
notar que D ∩ L1 e D ∩ L1 são mutuamente exclusivos.
Ω
DL1 L1
P(D) = P(D ∩ L1) + P(D ∩ L2) =
= P(D|L1)P(L1) + P(D|L1)P(L1) =
= 0.05 × 0.25 + 0.02 × 0.75 =
= 0.0275
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2.4 (cont.)
Lei da probabilidade totaldado 1 acontecimento tal que P(A) > 0
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A)
Generalização:e se forem mais do que duas linhas de produção, por exemplo 4?
P(D) = P(D|L1)P(L1)+P(D|L2)P(L2)+P(D|L3)P(L3)+P(D|L4)P(L4)
Cuidado! Para que esta expressão seja válida é necessário queL1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4 = Ω
L1 ∩ L2 = ∅, · · · , L3 ∩ L4 = ∅ ⇔ Li ∩ Lj = ∅, ∀i=j=1,...4
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2.4 (cont.)
Exemplo (cont.): Foi escolhida uma torneira ao acaso everificou-se que era defeituosa. Qual é a probabilidade dessatorneira ter sido produzida na linha 1?
P(L1|D) =P(L1 ∩ D)
P(D)=
P(D|L1)P(L1)
P(D)=
0.05 × 0.250.0275 ≃ 0.4545
E na linha 2?
P(L2|D) = P(L1|D) = 1 − P(L1|D) ≃ 0.5455
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2.5 Acontecimentos independentesDefinição: Dois acontecimentos A e B são independentes (A ⨿ B)se e só seP(A ∩ B) = P(A)P(B).
Observações:I Esta definição é sempre válida.I Se A é tal que P(A) = 0, então A é independente de qualquer
outro acontecimento;I Todo o acontecimento A é independente dos acontecimentos
∅ e de Ω.I se P(A) > 0 e P(B) > 0 e A ∩ B = ∅ (A e B mutuamente
exclusivos), então A e B não são independentes;I Se A ⨿ B então P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B), para A e B
tais que P(A) > 0 e P(B) > 0.I Se A ⨿ B então A ⨿ B, A ⨿ B e A ⨿ B.
Exercício: demonstrar as afirmações anteriores.34 / 36
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2.5 (cont.)Independência de mais do que dois acontecimentos
Definição: A1, A2, …, An são acontecimentos mutuamente ou com-pletamente independentes se para qualquer número inteiro 2 ≤ r ≤ ne qualquer grupo de r acontecimentosAi1 , Ai2 , …, Air
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Air) = P(Ai1)P(Ai2) · · ·P(Air)
Por exemplo:A, B e C são (mutuamente) independentes se
P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)P(A ∩ B) = P(A)P(B)P(A ∩ C) = P(A)P(C)P(B ∩ C) = P(B)P(C)
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2.5 (cont.)
Definição: Dois acontecimentos são A e B são condicionalmenteindependentes em relação a um acontecimento C, com P(C) > 0,se
P((A ∩ B)|C) = P(A|C)P(B|C)
Observar que:Independência entre A, B e C implica independência condicionalmas não o contrário, i.e, a independência condicional não implica aindependência no sentido corrente, a não ser quando C = Ω.
Exercícios (na aula)
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