NOÇÕES DE PROBABILIDADE CAP6

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ProbabilidadesProbabilidades

Pascal interessou-se por este Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma problema e iniciou uma

correspondência com o seu amigo correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o Essa correspondência marca o

início da Teoria das início da Teoria das Probabilidades.Probabilidades.

PascalPascal

FermatFermat


A importância das probabilidadesA importância das probabilidades

METEREOLOGIAMETEREOLOGIAÉ pouco provável que chova durante esta É pouco provável que chova durante esta

semana.semana.

SEGUROSSEGUROSPorque é que um condutor com pouco tempo Porque é que um condutor com pouco tempo

de habilitação paga mais seguro?de habilitação paga mais seguro?

JOGOSJOGOSPorque é que a megasena tem 60 números e Porque é que a megasena tem 60 números e

não 10 ou 20?não 10 ou 20?

Exemplo: programa de prêmios




O candidato deve trocar de porta ou permanecer O candidato deve trocar de porta ou permanecer com a escolhida?com a escolhida?

Probabilidade como tomada de decisãoProbabilidade como tomada de decisão


Solução: deve trocar, porque se não trocar só ganha se acertar a porta, o que ocorre com probabilidade 1/3.

Problema dos Pontos (Cardano)Dois jogadores de mesma habilidade disputam um prêmio de R$ 2.000,00 em uma série de partidas: o primeiro a obter 10 vitórias ganha o prêmio. O jogo é interrompido quando o jogador A tem 9 vitórias e o jogador B, 7 vitórias. Como o prêmio deve ser dividido?

Problema dos Pontos (Cardano)Uma proposta

olhar para o passado: dividir o prêmio proporcionalmente ao número de vitórias já obtidas (9 e 7)

Uma outra propostaolhar para o futuro: dividir o prêmio proporcionalmente à quantidade de vitórias que cada um obteria se o final do jogo fosse repetido um grande número de vezes.

Probabilidade!

ExemploUma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras e 1 coroa?

Espaço amostral: S = {0, 1, 2, 3} (número de caras)

Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

ExemploUma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?

Espaço amostral: S = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}

Probabilidade de sair 2 caras = P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.

Exemplo: Mega-SenaApostar em 1-2-3-4-5-6 ou 7-16-24-28-41-

52?

A dezena 27 não sai há 33 semanas na Mega-Sena. Como usar para apostar?

Desenvolvimento do espírito crítico.

ExemploPara sortear as vagas em um condomínio, um

papelzinho com o número de cada vaga (a boa é a 7!) é colocado em uma urna. Você prefere ser o primeiro ou o último a sortear um papel?

ExemploDois dados idênticos são lançados ao

mesmo tempo. Todas as somas têm a mesma chance de ocorrer? Qual é a probabilidade de dar soma 7?

ExemploDois dados idênticos são lançados ao

mesmo tempo. Todas as somas têm a mesma chance de ocorrer? Qual é a probabilidade de dar soma 7?Paulinho: Há 11 possibilidades para a soma (2

a 12); a probabilidade é 1/11.Joãozinho: Há 36 possibilidades de resultado,

das quais 6 dão soma 7; a probabilidade é 1/6.Pedrinho: Como os dados são idênticos, há 15

+ 6 = 21 possibilidades de resultado, das quais 3 dão soma 7; a probabilidade é 1/7.

O problema dos pontosA ganhou 9 vezes, B ganhou 7.Quem ganhar 10, leva o prêmio de R$

2000,00.Como dividir?

O problema dos pontosO que significa dizer que a probabilidade de

que A vença o jogo é igual a 7/8?

Usar simulação para construir a idéia intuitiva de probabilidade. Moedas, dados, baralho, urnas, par-ou-ímpar Computador


PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTOPROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO

Lei de LAPLACELei de LAPLACE

1749 - 18271749 - 1827


Lei de LAPLACELei de LAPLACE

EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moedaEXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda

S = { F, V S = { F, V }}

A moeda tem duas faces: F – frente; V - versoA moeda tem duas faces: F – frente; V - verso

Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda?Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda?

possíveis casos de Número

favoráveis casos deNúmeroFP

Nº casos favoráveis = 1Nº casos favoráveis = 1

Nº casos possíveis = 2Nº casos possíveis = 2 %505,0

2

1FP


Cálculo de ProbabilidadesCálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibradoEXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado

6

1

possíveis casos de nº

favoráveis casos denºAP

Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:

A: “ Sair o número 5 “A: “ Sair o número 5 “1)1) Só há Só há uma face uma face

“5”“5”Um dado Um dado

tem 6 tem 6 facesfaces

2)2)B: “ Sair um número maior que 2 “B: “ Sair um número maior que 2 “

Nº casos favoráveis = 4Nº casos favoráveis = 4

Nº casos possíveis = 6Nº casos possíveis = 6

3

2

6

4BP

B = { 3, 4, 5, 6 } B = { 3, 4, 5, 6 }


Cálculo de ProbabilidadesCálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dadosEXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Qual é o espaço de resultados?Qual é o espaço de resultados?

Qual é a Qual é a probabilidadprobabilidad

e de sair e de sair dois dois

números números maiores que maiores que

4?4?

9

1

36

4P

Modelo Probabilístico Simples Espaço amostral (): conjunto de resultados

possíveis para um experimento aleatório.Probabilidade: número não negativo

atribuído a cada um destes resultados, de modo que a soma seja 1. (intuição: freqüência a longo prazo)

Modelo SimplesAdequado para o caso discreto

= {1, 2, ...}

p1 +p2 + ... = 1

Para cada A , P(A) = i A P(i)

eventoevento

Como atribuir probabilidades?Estatística: estimar através de frequência

observada.

Explorar simetria: modelos equiprováveis = {1, 2, ..., n }

p1 = p2 = ... = pn = 1/nMoedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc

ExemploUma moeda “honesta” é lançada 3 vezes.

Qual é a probabilidade de sair 2 caras e 1 coroa?

Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras)

Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplos:1. Resultado no lançamento de um dado;

2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;

3. Condições climáticas do próximo domingo;

4. Taxa de inflação do próximo mês;

5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.

Experimento AleatórioExperimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes

Espaço Amostral (S)Espaço Amostral (S): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

4. Tempo de duração de uma lâmpada. S = {t: t 0}

1. Lançamento de um dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) . S = {A, B, AB, O}

3. Hábito de fumar. S = {Fumante, Não fumante}

Exemplos:

Notação: A, B, C ...

(conjunto vazio): evento impossível

S: evento certo

Alguns eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6} S

B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} SC: sair face 1 C = {1} S

EventosEventos: subconjuntos do espaço amostral S

Exemplo: Lançamento de um dado.

Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

Operações com eventosOperações com eventos

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

A B: união dos eventos A e B.Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B.

O complementar de A é representado por Ac.

• A e B são mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é,

A B =

• A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,

A B = e A B = S

•sair uma face par ou face 1A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

• sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} =

• sair uma face par e maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}

• sair uma face par ou maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo: Lançamento de um dado

• não sair face parAC = {1, 3, 5}

ProbabilidadeProbabilidade

• Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório• Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento

Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral?

Duas abordagens possíveis:1. Freqüências de ocorrências2. Suposições teóricas.

Exemplo: Lançamento de um dado

Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado

P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.

ProbabilidadeProbabilidade

Atribuição da probabilidade:

1. Através das freqüências de ocorrências.• O experimento aleatório é repetido n vezes• Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre.

Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da probabilidade.

2. Através de suposições teóricas.

•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que:

. S

1ii21

i

1 )P(w ...}) , w,({w P )( P

e 1 )P(w 0

No caso discretocaso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilísticomodelo probabilístico especificado quando estabelecemos:

•O espaço amostral S = {w1,w2, ... }

Ainda no caso discreto,

• Se A é um evento, então

Aw

j

j

)(w P (A) P

S de elementos de nº.

A de elementos de nº. (A) P

• Se } w..., , w,{w S N21 e

N

1 )(w P i (pontos equiprováveis), então

Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.

Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos.

SexoAlfabetizado

TotalSim Não

Masc. 39.577 8.672 48.249

Fem. 46.304 7.297 56.601

Total 85.881 15.969 101.850Fonte: IBGE- Censo 1991

S : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos.

Definimos os eventos

M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino;A : jovem sorteado é alfabetizado;N : jovem sorteado não é alfabetizado.

Temos

0,157 101.850

15.969 P(N)0,843

101.850

85.881 P(A)

0,526 101.850

56.601 P(F)0,474

101.850

48.249 P(M)

Sejam A e B eventos de S. Então,

• Para qualquer evento A de S, P(A) = 1 - P(Ac).

Regra da adição de probabilidadesRegra da adição de probabilidades

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Conseqüências:

• Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) = P(A) + P(B).

Probabilidade condicional:Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por

. 0 P(B) ,P(B)

B)P(A B)|P(A

PROBABILIDADE CONDICIONAL E PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIAINDEPENDÊNCIA

Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades

B).|P(A P(B) B)P(A

Analogamente, se P(A) >0,

. A)|P(B P(A) B)P(A

A: 2ª bola sorteada é brancaC: 1ª bola sorteada é brancaP(A) = ???

Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.

Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição.

53

52 B

V

42

42

V

B

43

41

V

B

1Total

V V

VB

BV

BB

ProbabilidadesResultados

20

2

4

1

5

2

20

6

4

3

5

2

20

6

4

2

5

3

20

6

4

2

5

3

e 5

2

20

6

20

2)A(P

Temos

. 4

1)C|A(P

1Total

V V

VB

BV

BB

ProbabilidadeResultados

25

4

5

2

5

2

25

6

5

3

5

2

25

6

5

2

5

3

25

9

5

3

5

3

Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração. Nesta situação, temos

53

52 B

V

53

52

V

B

V

B

53

52

ou seja, o resultado na 2a extração independe do que ocorre na 1a extração.

e 5

2

25

6

25

4P(A) = P(branca na 2ª) =

Neste caso,

P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5

2

)A(P5

2P(A | Cc) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

Independência de eventosIndependência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é,

P(B). P(A) B)P(A

Temos a seguinte forma equivalente:

P(A), B)|P(A 0. P(B)

Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados?

A: Jonas é aprovado

B: Madalena é aprovada

P(A B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9

Qual foi a suposição feita?

ProbabilidadesProbabilidades 9º Ano9º Ano

A. LinharesA. Linhares

Termos e conceitosTermos e conceitos

Espaço de Resultados ou Espaço AmostralEspaço de Resultados ou Espaço Amostral

Espaço AmostralEspaço Amostral é o conjunto de todos os é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência resultados possíveis de uma experiência

aleatória.aleatória.EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dadoEXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebolEXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota } Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota }

EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de TotolotoEXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 } Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

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