Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1).pdf

5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf

1/97

t68

Captulo

6:

Variveis

Aleatras

Contnuas

ruxilia na atribuio

de

probabilidades.

Assim, paa

a

varivel

aleatria

contnua

X representando

a profundidade

do lenol

de

gua,

a

funo

densidade

f

dada

)0r

r(,)

:

{

tt:',

para2}


2/97

170

Captulo

6:

Variveis

Aleatriqs

&t

Introduao

,

rssim,

temos

que

P(C

J).{,,..

.

t

b.

p(l.

;

0l-r.

s).'

tr.

C"'irlcute

A4d(X),

E(X)

e

Vor(X)

.2 Prncipais

Modelos

Contnuos

5.

Numa

certa

regio,

fsseis

de pequenos

animais

so

freqentemente

encontrados

e

um

arquelogo

estabeleceu

o

seguinte

modelo

de probabilidade

para

o

comprimento,

em

centmetros,

desses

fsseis.

41 r

18:

8(z(10;

10(r(11;

(

h",

(*):J

i"

*

*'

[

il,'

a.

Faa

um grfico

da

funo

densidad;

''-

b.

Para

um

fssil

encontrado

nessa

regio,

determine

a probabilidade

do

comprimento

ser

inferior

a 6 centmetros?

E

de

ser

superioi

a

5 mas inferigr

a 10,5

cm?

(

c.

Encontre

o valor

esperado

para

o

comprirnento

dos

fsseis

da regio.

6.2

Principais

Modelos

Contnuos

Apresentamos,

nesta

seo,

os

principais

modelos

tericos

para

variveis

ttlcatrias

contnuas.

Vimos

que,

para

caracterizar

completamente

uma

varivel

ttlcatria

contnua,

precisamos

fornecer

sua

funo

denidade

de

probabilidade

11rrc,

segundo

sua

definio,

uma

funo

positiva

e

com

integral

igut

a

t.

DcfiniQo

6.4: Modelo

Uniforme

Contnuo

uma

varivel

aleatria

x

tem

distribuio

(Iniforme

contnua

no

irrtcrvalo

fa,bl,

a

< b, se

sua

funo

densidade

de

prbabiliooe

o dada

por:

caso

contrrio.

a1r1

caso

contrrio.

f

(")

:{

b-a'

0,

Usaremos

a

notao

X

-

[J[a,b]

para

t

lrriforme

Contnuo

no intervalo

considerado.

queXsegueomodelo

Note

que

no

h restrio

de

valores

paa

cL

e b,

exceto

o

fato

de a

0.

tr


6/97

t78

Captulo

6: Variveis

Aleatrias

Figura

6.7: Densidade

Ilnifurme

Contnua.

o modelo

uniforme

pressupe

que

os valores

possveis

para

a varil

aleatria tm todos a

mesma

probabilidade de ocorrncia.

seu vlor

esperado

sua

varincia

so

obtidos

atravs

do

clculo

de integrais,

de tal

forma

que:

f---_.

b2+ab+a2

-t

e}

logo,

b2+ab+a2

o2

:

E(xz)

-

p,

:

-(+)'

Exemplo

.5.'

com

o

objetivo

de

verificar

a

resistncia

presso

de

gua,

oi

tcnicos

de

qualidade

de

uma

empresa

inspecionam

os tubos

e

pvc

produzidos

os

tubos

inspecionados

tm

6

metros

de comprimento

e so

submetidos

a

presses

at,

o

aparecimento

do primeiro

vazamento,

cuja

distncia

a

uma

dag

extremidades

(fixada

priori)

anotada para

fins

de

anlise posterior.

Escolhe-se

um

tubo

ao

acaso para

ser

inspecionado.

Queremos

calcular

a

probabilidade

de

que

o

vazamento

esteja,

no mximo,

a

I

metro

das extremidades.

vamos

denotar

por

x

a varivel

areatria

que

indica

a distncie

correspondente

ao

vazamento.

Admitindo

igual

probabilidade

de

ocorrncia

em

,2

Principais

Modelos

Contnuos

179

torlos

os

pontos, temos

que X

-

U[0,6],

com

funo

densidade

de

probabilidade

clncla

por

r@)

:

{',3;

l,=*,.1;

Para

calcular

a probabilidade de

X

e {[0,1]U [5,6]],

podemos

obter

as

dras

dos

dois

retngulos

hachuriados

na

figura

a

seguir.

l@)

segrrc,

sem

maiores

dificuldades,

que a

probabilidade

desejada

113.

Esse

mesmo

clculo

poderia ser

feito atravs

de

integrais da seguinte

P(x

e

{[0,1]

u

[5,6]])

:

Note

que

os

intervaloj

[0,

1]

e

[5,6]

so

disjuntos

e,

portanto,

a

P(0


7/97

Definio

6.5:

fuIodelo

Exponencial

Uma

varivel

aleatria

contnua

X,

segue

o

modelo

Exponencial

"o_

puram.tro

,

180

A

densidade

est

X

-

Exp(a)

para

Captulo

6:

Varitiveis

Alecttrias

o

assumindo

valores

no

)

0

se

sua

densidade

)

0:

negati

representada

graficamente

na

Figura

6.2

e

adotaremos

a

not

ndicar

que

X

tem

distribui"

;;;;ju,

o"

parmerro

c.

r@):

f

ae-o*,

r

I

o,

",

aso

contrrio.

Fgura

6.2

:

Densdade

Exponencial.

(x)

.

para

calcular

probabilidades

com

a

integrll

correspondente,

j

qu"

no-t".1o.

exenrplos considerados

at

aqui.

arri.,

-'^'

Exponencial,

precisamos

resolver

g

as

figuras

geomtricas simples

doJ

Note

que

a

incluso

acirna.

Para

obter

a

;rnros,

porm,

no

P(n

7)

--+

P(x>st

-

.t"q

e-o''d,r

-7--

J"

ae-''"4,

_

-

r-"'ln._

e-a(i+")

-a-zl&

-

-

.

-

1."

e-4"

:0,67

.

e-1'4

:-

e-7

por

ou,.o

lado'

p(x

>

2)

pode

ser

carcurada

pero

comprementar

(x

+s)

-

PrxE)-

:e-at:p(X>t).

t^uP:ldo

que

X

represenra

o

tempo

de

vidz

seguinte'int"ror"u"

o nar^

4

6r^6-: ,t 9"

u3

equipamento,

podemog

'azer

a

seguinte

int

--rrvuv'r.

"

""t:.-Ylo

9"

um

equipamento,

podemog

p.ouauiriJae;;

"*,lfij:"r,l"ii^l,j1,'hoide

da

ri'

o"

memria:

a

robabilidade

do

equ'

--5*v

rqr4

4

Pr'opfledade

da

falta

de

memria:

a

l';;;'

ili

;:iffi;j:fi

ff'

:J::'*

","

,,

;r;i;"

",

;

:::,

j'

iguat

a

i,',iu"uirl;;

;"":'"'

t

+

s

anos,

sabendo-se

qu"

j

itnos'

Em

o.u.

puluurur.

"

;r*.-*:"::'ll:"to

novo

durar

pelo

rn*or'j

ii]_".'

P3

outras

palavras,

a

informaa-

"YurParrento novo

durar

pelo

meos-

csquecida

"

;

q*'ioor,u,

Dara

o

.ta,tn 1l_:ll3::.do

equipam".

p"J"-i,

il:ffii]#

Sue.imnorta,

para

o

"arc"r"

ai.ffi;'.ff"::1

ucremos

que

dure.

uantos

anos

a

mais

6,2

Principais Modelos

Contnuos

Dentre todos os

modelos tericos, sejam contnuos

ou

discretos,

o

mais

lmportante

o

modelo Normal.

Ele muito utilizado m

aplicaes

e

tambm

Eerve

como aproximao

para

muitas outras

distribuies.

Dcfinio

6.6: Modelo

Normal

Dizemos

que

uma varivel aleatria contnua

X

tem

distribuio

Normal

corn

parmetros

p

e 02, se

sua

funo densidade

dada

por:

f(n):+"-

,r'"P

lpata

-oo


9/97

fnpftub

6;

Vrtridvri,y

Alertttjrius

Ct

,.;+:i:=:'fii*.l,

l,',fj

n:,

oo

r:i,?:

interessado

poue

consu

rrar

imediatame

n^T1i,"

ilo

I

:

,

"

,rrer)

:

:;:o'tomos

que

x^-

u

1"-'oi\','r'),

N;ffiriveis"";;,r;_

a

rnregratda

funo

densidade

n;;;##;re

inreresse,

isro

,

P(o


10/97

7',

186

I

L

i,

Jr'

I

r''

Cup

tu

lo

;

Vl1

yi1lyt6,

i,1

A

I ett

t

riu;t

apresentar

tempo

d

il

t

t

l

I

,

n'.,

(

|

""s"ti,J,"li;"1*

:i',:?'

as.

probabilidades

de

intervlos

com

recurs

o

imporranre

"

"

::

"t::jl^",id,e

n tes.

.i

n

teruot

o.

n

o

0"."'

"r,,,

*

ecu

rs

o

i

mp

orran

re

n o

u

s o

a

u

t

aa

"r

i

.

affi

,

#

i

;:

i

;

."#

P(X>s):pX-tr,3-2,

-/

q

3

):P(Z>1/3)

.r,

i

:0,5_p(0

Szq7,

A

rabera

tu,,'ue-

^^r"

::

- '

.t'

:

0'5

-

0'7293

:0'3707'

cerra

probabiria"aa

lPt

pode

ser

utilizada

13^s1nti{o

inverso,

isro

,

dado

u

I", : :

o,

"

;"

(:,

i

;.5?;,

?;"1ffi

j:

1.:i

"."_o

r

o,

qu

i

iJ;'ro:1i1,,110,"_qu"

r,,

se

aproxima

de

0.4

o ?oo7.

^^__.,

p:

ou^

tob

ser

o

uutora"ll-'ror

e

aproxrma

de

0,4

0,3997;

""rr"r;;;;J;"t:r

Suponha,

ar

l

jt:"ffi

::x,;i;#l:fi

'lfr

,;::,:^P^,:,

probabiridade

0,8.

pera.

simet);

;,"u";;

f,Ji:

J*2,

g,$,

,m:X

::;:::^::,''l^:i::"':;;;il:o,u0"*;:';:-0,84

xemplo

.8..

Doente" cnfro-r^ r

"'v

wPurtanto

d:

-0184,

traram-ento;";;;,;r":,

sofrendo

o"

":11u

molsria,

so

submetidos

a

u

a"

- o-i'"'J::;H;:t*::

.'

'""a"r'"a"il,.

uu

*,idade

Normc

P(x>rT):11x-15

'

\/4-

77-

5

/4"J

-

P

(

A.probabilidade

de

ur

"\uct'-

((

u'

50)

-

P(Y

>

50,5)

=

P(Z

>

)

:0,9292.

Note

que,

com relao

a Y e Z,

indiferente se

a

desigualdade

inclui

ou no

o

sinal

de

igual.

Para

calcular

a

igualdade

a um valor,

digamos

X

:

50, criamos

um

intcrvalo

artificial, pois

com variveis contnuas

essa

probabilidade

seria

zero.

189

:::

r:

fl.';

:'1,:',":?,

ilj;.::

::'.'""

i

mp

ortan

re

s

em

Es

tars

ti

ca

M

;",i""1:ii:,,q"""'''''HJ'-iiJ;,"ffi

il';"r:H';;i

se

refere

c,,o ,,,,,1::

da

mdia.

Uma

outra

razo

daimnorn^i.

r^

r_

e_refere

sua

util'

""'"::l:u

razoda

importnciad;No;

prximo

"*;;;;,

"ffi:Xff,,fi|f'*ao

para

outras

-

disrribuies.

Exemnln

t

o,

,.-t-_:-

ara

aproximar

o

modelo

Bin;;;.

lxeryrto

6.9.' Estudo

do

sindicato

oo,

n-.n;;:;;

:,ooelo

smomial'

F':.',:*:'#:if

#ffi

"

j#l':',**fi

:,"":il::;

menos

50

com

"rru

o"nu

?

's'

Qual

seria

a

probabilidaJ"

";

Admitindo

o,ro

"."oo

ho-^:_i_

i:r:ii:$rnrrlJr*i'',

tr*#::r

;l:#,Tlt":*'il*l"

r":

.'r'":

ub1,:,i?que

conra

o

nmero

torar

r

;ifffrliil""""l:::;;;;;;;;J:::;;:,ff

:::;i:r:

1,ffJ[i:,i,il,;J,i']i1H"l

f#,"11;"'::i,?fi;

indicando

que

a

so,uo

ada

pela

distribuio

N;;;d

;

##X;

sera

u'e484;

indicando

que

a

soluo

histograma

d"

Bi;;iul

e

a

densirran.

n.

^1oi1"l'

Na.Figura

6.4,

representamos

o

istograma

da

Binmiar

"

"""rr;';""'"""e1'

Na

Figura

6.4,

representamo

o

basea

no

r"or",u

entral

do

Lmite

,,,''1o*l_:1r. zaaa,1a

aproxma";;;;

aseada

no

Teorema

;

*

-

_

uwrrrudue

oa

lorma

utili

flo

Canrrrt^

? E* _

Central

do

Lmite,

um

impo.tanie

P(x>50):f1zoo\

'tn\

n

)o'sro'7200-t'

P(x

>5o)

-

P(Y

>

4s,s)

:

P(z

>

W,

:

o,e4l4;

50,5

-

60

----------

\/

42

n

o

c

apru

r

o

7

.

Em

g"'ur,

q,

*'il

:

ffi ,'ftn"r;"i

r::

ilHf,ffi

:

;


12/97

FT

ap u o

6:

Vartdvels

Alearrlas

t9l

Assim,

P(X

:50)

-

p(4g,5

2).

b.

P(x

>

2).

c.P(1


14/97

5.

Sendo

X

-

Exp(I),

derermine:

a.P(0 312)

e

P(X

>

312)'

cl.

Obtenha

P(312

< X

p.r}.

Para

a:

0,03;

os

valores

pc1

tr

p",

so

calculados

atravs

de

P(

.

12}

'ir

uma

amostra

de

iamanho

25.

Deteimine

as

probabilidades

dos

erros

tipo I

oIL

..

urn

estudo

foi

desenvolvido

para

avaliar

o

salrio

de

empregadas

domsticas

ntr

cidade

de

so

p"rl;.

rorn

sorteadas

e

entrevistadas

200

trabalhadoras.

Admitaqueooesviopadrodessavarivelnacidadede0,8salrios

mnimos'

^

iotrh.icn rlo

el

'

possvel

fazgr

n.

Voc

conhece

a

distribuio

do

estimador

X?

Se

no

alguma

suPosio?

b.

Deseja_s"

tesi

se

a

mdia

igual

a

3

salrios

mnimos

ou

menor.

Formule

as

hiPteses

adequadas'

c.Paraumnveldesignificnciade3Eo,constfl]aareg|ocrtica.

d.

Se

u

u*orr.u

fo"""u

mdia

de

2'5 salrios

mnimos'

qual seria a

concluso?

4.oconsumomdiodegasolinanumcertotipodeautomvelde15km/litro,

segundo

ir.,ror-uo*

"da

montadora.

uma

revista

especializada

verificou

o

"oro-o

em

25

"..",

veculos,

escolhidos

ao acaso,

e

constatou

consumo

mdio

de

14,3

km/litro.

Admita

que

o

consumo

siga

o

modelo

Normal

com

varincia

igual

9

(km/litro)2'

a.

Teste,

uo

niu"i-J"

signficnciade

6vo,

a

afirmao

da

montadora

de

que

o

mdia

o"

"onrrr-o

iiguut

a 15

km/litro,

contra

a

alternativa

de

ser

igu^l

'

14

km/litro.

b.

Determine

a

probabilidade

do

erro

tipo

II'

5.Avidamdiadeumaamostradel00lmpadasdecertamarca1615horas.

por

similaridade

com

outros

processos

de

fabricao,

supomos

o

desvio

padro

igual

a 120

horas.

ilizando

a:57o,

desejamos

testar

se

a durao

mdia

de

todas

as

lmpadas

dessa

marca

igual

oo

dif"t"nte

de 1600

horas'

Qual

a

concluso?

o"t".rrrin"

tambm

u

puuuitiaade

do erro

tipo

II,

se a

mdia

fosse

1620

horas'

6.Umcriadortemconstatadoumaproporodelr}vodorebanhocomverminosc,

O

veterinrio

uri"

a

dieta

dos

animir

e

acredita

que

a

doena

diminuiu de

intensidade.Umexameeml00cabeasdorebanho,escolhidasaoacaso'

indicousdelas"o-u"''ninose'AonveldeZo,hindciosdequea

proPoro

diminuiu?

258 Capltulo

8:

l4ferncia

E$nt,ttlcet;

Te,rtes

rle

Iliprte

ll.

|

'l\'ste

l,(tftt

(t

Mfulirt

utttt

Vttri{lncit

Dcst.orthcte:itkt

.

259


46/97

8'3

Teste

para

a

Mdia

com

varincia

Desconhecida

os

testes

de

hipteses

e

intervalos

de

confiana

para

mdia,

q

:::"r'":T'^:j: iq":

pressupem

.qu:

o

valor

da

uurin"iu

popuru.ionai

conhecido'

Apesar

de

ser

um

caso

particular,

existem

vrias

,tr.ilr;

;i.:: :3:i:,: Tll"]..lly

exe3nro,

nump.rocesso

indusrriar,

se

puder

assegurar

que

uma

certa

mquina

fornece

*"idu,

"o-

fr""iro

const

:i:"1:,,:T1l11iL1gconhecida..

uma

ourra

situao sria aquela

em

odemos

utirizar

resultados

enconrrados

em

outros

trabarhos,

;:"ff#li

::ff:,:: :'-,.1,::1":.:l:",1*:,

que

manrenham

alguma

similaridade

com

o

roblema

de

interesse.

Entretanto,

'no

caso

mais

g"rul,

q#i;'#;

::ilol

nformao

sobre

a

varincia

da

varivel

.

areatria

q,r"

;J;

sendo

estudada,

precisamos

contornar

essa

dificurdade.

nicialmente,

ryanterqnos

a

suposio

do

ue

a varivel

aleatria

de

interesse

tem

distribuio

rmal.b."e "

no

Normal

er

comentado

no

final

da

seo.

--

--5*"

^

rvrr'*r'

v-

i;;] *s'V"lo.,l*:

1"'*"hecido,

ele

precisa

ser

estimado.

supondo

::

""'y

in1^:l :?r:r::"ju.r:p.r"::ntada

pero

veror

de

variveis

aleatriag

ffi:;;::#:

filizqt n

ri-oll^^*tr

^^.:,-,

r

-

,ilJ;'l',"i

Captulo

7

,

,

a

vafincia amosrra(

S,

: iXl

_

nX211n_

lt)

Definindo

agora

avarivel

ouA.onj

padroniZda

T:

X-l'

-X-'p

{-Lr

x-,

/S'/,

t

S/Jd

q;lt

vemos

que

T

tambm

uma

variver

ur"t-,:riu.

Entretanto,

apesar

de

x

ter

istribuio

Normar,

o

denominador

envolve

a

variver

areatriL's2,

que

far

com

ue

a

funo

densidade

de

?

seja

diferente

da

Normal.

Esta

nva

densidade,

que

ode

ser

deduzida

teoricamente,

denomi

\gjq

t

de

stqde4t

er*

pura-"tro

tem

o

\e\?de-slqusdcJiher4qde-nest{aso""pono""i"r;;;;;:-

1'

A

notao

utlizqda

Le -4

1,-1,e,

devido

a

"ompte*ia""

au

sua

funo

densidade,

as

probabilidades

so

ouiiau,

de

taberas

consrudas

numericamente.

A

xemplo

da

Normal,

o

modelo

t-student

tem

densidade

em

forma

de

sino,

gnlrqtaItto

as-cau-das

tem

4narol

mq$,s3

qUe

A_ry(0,

f)

(veja

a

fig"r"

S.Zl.

^^-..^_^Y,11"

x911f--99r

se

o

tamanho

4a [qrostra

aqruenta.,

a

dp1.1s-idadJ.sndent

orvgJge

par-?

a

Noirnal

p4dro.

porsia

raz,o,

as

taberas

conriruioa,

se

limitam

a valores

de

gr-auTel-iueraae

menores

ou

iguais

a

r20.p;;;

graus

superiores

a

120,

as

probabilidades

so

obtidas

da

tabela

da

distriio

Normal

e

-

reprcsentados

por

"oo"

na tabela

do

Apndice

A.

Tal

fato

r:rirrsistncia

do

estimador

52

para

o2,

que faz

com

que a

rrlrltrxime

de

Z

medida

que aumenta

o tamanho

da

amostra'

conseqncia

da

quantidade

?

se

Figura

8.7:

Densidade

t-

Student.

Diferentemente

do

teste

de

hipteses,

construdo

para o caso em

qUC

S

varincia

conhecida,

a regio

crtica

envolver

agora

o

termo,52,

que

umA

quantidade

aleatria.

Dessa

forma,

amostras

diferentes

podem fornecer regies

crticas

distintas

uma

vez

que,

possivelmente'

elas

produziro

estimativas

diferentes

para

o2.

S -Uq,

qguo{q

u

Jqi4fql41gq-dqqqouhesa'

optarmos

por

utilizar na

regio

crtica

valores

da

qlantidade

padronizadaT.

Apresentamos

esse

procedimento

no

prximo exemPlo'

Exemplo

8.5;

Deseja-se

investigar

se uma certa

molstia

que

ataca

o rim altera o

consumo

de

oxignio

desse

rgo. Pata

indivduos

sadios, admite-se

que

esse

consumo

tem

distribuio

Normal

com

mdia

12 cm3lmin'

Os

valores

medidos em

cinco

pacientes

com

a

molstia

foram:

14,4;

12,9;15,0;

I3,7 e 13,5'

Qual

seria

n

concluo,

ao

nvel

de

lvo

de

significncia?

?t

'u'o

I

:

qti,'\

O

teste

de

interesse

:

Hn

: Amolstia

no altera

a

mdia

de

consumo

renal

de oxignio;

1,

:

Indivduos

portadores

da molstia

tm

mdia

alterada'

260 Capltttlo

8; lttferncia

Esrnrl,rricn;

Trs,te,y

rle

iliyitere,r

.

u..l'l'esle

P(tr(t

(t

Melkt

t'ottt

Varlllnrht

I

)ttctnrltcciiltt

26l,


47/97

1)ea

Em

termos

da

mdia

populacional,

estamos

testando

as

hipteses:

Ho

: p,:12

versLts

Ho

:

pt

f

L2,

e

a

regio

crtica

da

forma

nC:{tRl

{t1ou

1>tz}.

Sendo

o2

desconhecido,

usaremos

o estimador

^g2

: rixr -

rxr,1n

_

quantidade

discutida

anteriormente.

sendo

n,

u"raulu,

t",'o.

x-tz

t:uru-tu)'

Logo,

l\T.

r)

:0,

0r/2

+

tt

:

_

4,604;

P(T

> z)

:

0,005

* tz

-

4,604;

sendo

o

varor

4,604

obtido

da

tabera

da

distribui

o

t-student,

com4

graus

de

iberdade.

Assim,

a

regio crtica.".Ouo

po.

RC

:

{te

Rl

,-E

,hsl

H,, verd.)

:2xp(X>9,11p:g)

:2

x P(Z

>

1,74)

:

0,0818'

Logo,

se

desejarmos

utilizar

um

nvel

de significncia

igual

a

0,05

concluiramos

pela

aceitao

da

hipte se

Ho, ao

passo que

um

nvel de

significncia

igual

a

0,10

nos

levaria a

rejeitar

a hiptese

Ho

(ver

Figura

8.10).

265

. ,n,\'a i^

/

",'1r,,

]

'

,

Se

lo6,

>

p.:

regio

desfavorvel

a ,,

Se

-xo6"

18,5

|

1,

verdadeiro).

As

probabilidades

acima

so

calculadas

da

maneira

usual

atravs

tabela da

Normal

padro.

Por exemplo,

da

P(C


54/97

aleatrias,

podemos

verificar se, para

todos os

possveis

valores

das

variveis,

o

produto

das

probabilidades

marginais

igual

probabilidade

conjunta.

Na situao mais comum

em

que

no

temos informao

sobre

a

ocorrncia conjunta das

variveis aleatrias,

o

procedimento

usual

coletar uma

amostra

anotando

a freqncia

conjunta

da ocorrncia

dos valores

das variveis.

Pode-se,

ento, utllizar

um teste

de hipteses

conhecido

como

Teste

de

Independncia.

Este

teste

ser

apresentado

atravs do

prximo

exemplo.

Exemplo

8.II:

A

tabela abaixo contm

r"-sottatos

obtidos

por

estudantes

do

ensino mdio, em

um

exame

com

questes

nas

disciplinas

de fsica

e

matemtica.

Deseja-se

testar

se

existe

dependncia

e." u\otas

dessas duas

disciplinas

que,

para

efeito de apresentao

na

tabela

e an{ise

de

comportamento,

foram

classificadas

nas categorias

alta, mdia

e

baixa.

\

Fsica

\ Matemtica

Alta

Mdia

Baixa

Total

Alta

56 7I L2

139

Mdia 47

163

38

248

Baixa

I4

42 85 L4L

Total

II7

276

135

528

Iremos testar

as

hipteses:

fI,

:

As notas de

fsica

e

matemtica

so

independentes;

fI"

:

Elas no

so

independentes.

De

modo

anlogo ao

que

fizemos

no

teste

de

aderncia,

vamos

construir

tabela

de

valores

esperados. Para

a

casela

(i,

j),

esse valor

:

uma

Total da

linha

i

x Total

da

coluna

j

T"t"t

C.*t

Note

que

os valores

esperados

so calculados

sob

a

hiptese

Ho de

independncia

e,

por

essa razo,

utilizamos os totais

de linha

e coluna

que

representam

as

freqncias

marginais

das variveis.

Por

exemplo,

para

a

casela

(7,2),

temos:

Total da linha

1

x

Total da

coluna 2

739

x

276

52g

:72'66

'

1 ,:

Total

geral

nula,

ou seja,

as

notas de

fsicn

8.5 Testes

QuQuadrado

275

A

tabela

completa de

valores esperados

Fsica

\

Matemtica Alta Mdia Baixa

Alta

30,80 72,66 35,54

Mdia

54,95 r29,64

63,4r

Baixa 3L,25

73,70 36,05

Para medir

a diferena

entre os

valores esperados

e observados,

usaremos:

n2 5l+-

(or,i

-

ei,)2

\{:..L*,

--

'i:t

i:l

"t'u

com r

e s

representando

o

nmero

de

linhas

e

de colunas,

respectivamente,

A

argumentao

para

sua utilizao

a mesma

j

apresentada

no teste de

aderncin

e,

para

um nmero

grande

de

observaes,

a

distribuio

de

Q2

se

comporta

como

um modelo

Qui-Quadrado

com

("

-

1)

x

(s

-

1)

graus

de

liberdade.

A rcgiio

crticacontm

valores

grandes

de

Q2,

isto

,

RC:{w:u}q,,},

com

qo

sendo determinado

pelo

nvel

de

significncia

do teste, ou

seja,

o:

P(Q2

)

q"lH'

verdadeiro).

Para

a:

0,01 a

tabela da

Qui-Quadrado

com 4

graus

de

liberdade

brnece

g"

:

L3,28.

Obtemos assim,

RC:{w:w>13,28}.

valor

observado de

Q2,

q?t"

Vamos calcular

o

_

(56

-

3o,Bo)2

30,90

(7L

-

72,66)2

(85

-

36,05)2

+.'.+

:

L45,78,

72,66 36,05

Conclumos

pela

rejeio da

hiptese

matemtica no

so

independentes.

e

tr

276

Captulo

8: Inferncia

Estatstica:

Testes

de

Hipteses

277


55/97

Na

construo

da tabela

de valores

esperados,

caso

alguma

casera

tenha

valor

menor

que

5, ser necessrio

agrupar

categorias.

Este

procedimento

visa

garantir

uma

melhor'aproximao para

o

uso do modelo

Qui-euadrado

para

e2

.

consideremos

agora

o

chamado

Teste

de

Homogeneidade.

Esse

testol

consiste em

verificar

se uma varivel

aleatria

se comporta

de modo

similar,

ou

homogneo,

em vrias subpopulaes.

Apesar

da

mecnica

de

realizao

do

testc

ser semelhante

a do Teste

de Independncia,

uma

distino

importante

se

refere

forma como

as amostras

so

coletadas.

No

teste de

homogeneidade,

fixamos

o

tamanho

da amostra

em cada

uma

das

subpo-pulaes'e,

ento,

selecionamos

u

amostra de cada

r

as subpopulaes

uma delas.

Na tabela

apresJiltaqa

a seguir,

as linh

;

e, as

colunas,

os diferentes

valor\s

ou categorias

,

Subpopulaes

Valores

da

varivel

total

de

linha

I

ott

otz

TL1

2

ozt ozz

TL2

total de coluna

total

Geral

delas

as represe

da varivel.

Fara

o clculo dos valores

esperados

(supondo

homogeneidade

entre

at

subpopulaes),

utilizamos, para

a casela

(i,,

j)

,

total da

coluna

j

i,.i

:

Tti

"

,rur

,"rur

O

total

de linha

ni

indica

o

tamanho da

amostra

da subpopulao

i,, ao

passo

qu

o quociente,

total

da

coluna

j

dividido

pelo

total

geral, representa

a

proporo

dc

ocorrncias

do valor

da varivel

correspondente

coluna

j.

caso haje

homogeneidade

de comportamento

da vrivel,

esperamos que

essa p.oporo

seja

a

mesma,

em

todas as subpopulaes.

No

prximo

exemplo,

apresentamog

mais detalhes.

Exemplo

8.12: Estamos

interessados

em

saber

se a

preferncia

por

certo

tipo

de

'ilme se

altera com

o

estado civil.

Selecionamos pessoas

em

cada

uma

dag

subpopulaes:

solteiro, casado,

divorciado

e vivo.

Os

resultados

esto

na tabela

a

seguir:

lJ.

5

Testes

QuQuadrado

Estado

Civil

\

Filme

Policial Comdia

Romance tam. amostra

Solteiro

45

25

30

100

Casado

36

61

43

L40

Divorciado

39 36

35

110

Vivo

I4

19

L7

50

total 134 t41.

t25

400

Na

tabela

anterior,

a

ltima

coluna

representa

o

tamanho

da

amostra

sclecionada

em

cada

subpopulao.

Observe

que

esses

valores

foram

fixados

lntes

da

coleta

ser

realizada.

As

hipteses

a serem

testadas so:

Hu

: Apreferncia

por

certo

tipo

de

filme

igual

para

qualquer estado

civil;

H;

: Apreferncia

muda.

A

proporo

dos

indivduos

que

preferem

filmes

policiais 1341400. Se a

varivel

Filme

for

homognea

entre

as

subpopulaes

de Estado

Civil, devemos

tcr essa

mesma

preferncia

por

filmes

policiais,

para qualquer estado

civil.

Logo,

o

valor

esperado

de

preferncia

pelo

gnero

Policial,

na

subpopulao

dos

solteiros,

deve

ser

I00xL341400.

Para

as

outras

subpopulaes,

multiplicamos

1341400

pelos respectivos

valores

do

tamanho

de

amostra,

que

so diferentes

tcsse

exemplo.

A tabela

de

freqncias

esperadas

apresentada

a

seguir:

Estado

Civil

\

Filme

Policial

Comdia

Romance

tam. amostra

Solteiro

33,50

35,25

37,25

100

Casado

46,90

49,35

43,75

t40

Divorciado

36,85

38,78

34,37

110

Vivo

16,75

L7.62

15,63

50

total

134

741

t25

400

Cirlculamos

a

quantidade

Q2

damesma

forma

como

fizemos

anteriormente,

isto

,

virmos

quantificar

a

"distncia"

entre

os

valores

observados

e

aqueles

esperados,

sC

houvesse

homogeneidade.

Assim,

''

'-

(oi,i

-

ei'.i)2

"-:LL

:r

i:L

et'i

para

um

nmero

grande de

observaes,

a

distribuio

de

Q2

Qui-

Quadrado

com

(r

-

1)

x

(r

-

1)

graus de

liberdade

(r,

nmero

de linhas

e s

de

colunas).

A

regio

crtica

contm

vnlores

grandes de

Q2,

isto

,

Cuptub

8:

InJrncia

Estatstiaa:

Testes

de

Hipteses

27,\

8.5 Testes

279


56/97

RC:{u:w}q"},

corn

q,

sendo

determinado

pelo

nvel

de

significncia

do

teste,

ou

seja,

a:

P(Q2

)

q.lHo

verdadeiro).

Escolhendo

a

:

0,05

obtemos,

da

tabera

da

densidade

eui-euadrado

com

6

graus

de

liberdade,

g"

:

I2,5g.

portanto,

-,,

RC:{w:w>I2,59j.

Para

o

valor

observado

de

2

temos:

--\

Q?,,,.

:(45

-

33,50)2

+

(36

-

46'90)2

+

...

-L

(rL.-

,r,ur;,

Y(,hs

-

33J0

-

--

46p0

-t_

..'f

:

13,29.

conclumos

pela

rejeio

da

hiptese

nula,

ou

seja,

a

preferncia

de

firmes

no

,

a

mesma

nas

diferentes

subpopulaes

definidas

pelo

estado

civil.

tr

Exerccios

da

Seo

8.5:

l.

utilizando

a

tabela

da

distribuio

eui-euadrado

determine

(aproxime

se

necessrio):

a. P(Xl

> 14,70).

b.

P(x],

>

3e).

c. P(Xr2,

0

(o

novo combustvel

aumenta

o

rendimento),

com

LLD

representando

o valor

esperado da

diferena

de

rendimento,

isto

,

po:E(Y-X).

Estaremos

assumindo

que a distribuo

de Di:Yi-X,i,

para'

:

I,

...

,12,

Normal

com mdia

pD

evarincia

o2o.

Com os

dados

observados,

obtemos ,6"

:

2,9

e

estimamos o

por

s2D

ru

:

2

14'

Logo,

sob

f/o'

tubr

:ut'",

P

:'''

.

o'

:

6148.

so,,o,l{n

r,551\/12

Com

a

:

0,05

e

utilizando

a

tabela

da

distribuio

-Student com

I I

graus

de

liberdade, obtemos

,,

resolvendo

a equao

P(T >

,,)

:

0,05.

Obtemos

t,,:

I,796

e como

t,,t*

)

,,,

conclumos

que o

novo

combustvel

eficaz

nA

14

E

5

o

c

.

12

c

o

cc

=-

298

2q9

A

('t,nt (t|(to

dct

lhms

Mllt,t

Captulo t);'ftplrct


66/97

similares.

melhora

do

rendimento,

acafretando

diminuio

do

consumo

pere

o

veculo

considerado

no

experimento.

caso

2.

Amostras

independentes

com

varincias

conhecidas

Consideramos

agora

o teste

relacionado

com

a situao

em quc

ql

::in;1,

T:1t1'^*

jf:

populaes

independ-entes,

quando

o,

.orrrrpu

varincias

so

conhecidas.

A

obteno

d

informa;

;;rp.t;';.

varincia populacional pode ser obtido

de

estudos

anteriores

ou

experimc;

Pol)tllnoes,

:u]tts

varrauvr.

4v

rasqrr

,rrr"

u*

g1g/elo

.-^- 2l

,,,r,,rs;

admitir

que

estas

duas

populaes

se

comportam

confc

ii:.",::iffi, ;;;

;;.

";;;;

t

;,

variveis

areatrias

representando

a

ttrrr.ircterstica

de

interesse'em

"du

o*u

das

populaes.

Segue,

.qotruilo,,

q:,::

comparar

dois

sl

foram

selecionadog

i

,E

E

I

E

)

F-

Exemplo

9.4:

Vimos

no

Exemplo

9.2

que,

para

operacionais,

dois

grupos

independentes

de

estuantes

tempo

necessrio

parurcalizar

a

tarefa

foi

anotado.

Os

dados

obtidos

foram

os

seguintes

(em

minutos):

Grupo

Tempo

182

185

193

175

184

tg2

92 76 76 90 97

90

175

173

I

t78

162

179

t64

182

I

86

93

100

115

85 80 90

86

auxiliar

eco

GruPos

[.)rrir's

medidas

descritivas

podem

ser

calculadas

para

auxiliar

na

comparao'

tr

utilizando

a

motivao

fornecida

pelo

exemplo

anterior,

poderrtot{

a realizer

-';'il;

geral.

Suponitu

.1,,"

desejamos

comparar

.dN

rru-:- llaS-

;

;;;;'n*.,-"'ii"'ra'cias

sao"

i

guais

u um

t

:,*:

iZ

^*:

^1:i1'j:i;

A

inspeo

visual

dos

dados

sugere

que

o

Grupo

B

tende

tarefa

num

tempo

inferior

quele

observdo

puru

o

Grupo

A.

para

anlise-

inicial,

podemos

construir

grficos

bx_ptot

puru'o,

g*po,

lado

a

lado

conforme

a

figura

u,"gui..

Podemos

observar

que'

para

os

alunos

considerados,

o

novo

sisteffi

_:::":1t_:r,::::",i1ior_

facilidade

de

aprendizdo

,

"urlut"rirado

aqui pelo

Note

que

o

valor

da

mediana

do

Grupo

B

inferior

ao

do

Grupo

A,

mas o

intervalo

enrre

o

primeiro.

e

.o.

rerceiro

quaitil

pr;i;;;;;u

o.

dois grupos,

dando

a idia

de

que

a variabilidade

do

tempo

de

aprendizao

semerhante

pare

ambos

os

sistemas

operacionais.

E

importante

ressaltar

que,

para

podermos

concluir

que

o novo

sistema

de

fato

eficaz,

precisamos

"*truplu,

as

concluses

anteriores

para

toda

a

populao

de

crianas

com

idade

entre

g

e

12

anos. Isto

pode

r",

r"ito,

realizando

o

teste

de

hipteses

que

ser

descrito

em

seguida

u.rr"

"*"pr,"-

A

B

tempo

de execo

de

certa

tarefa,

u.u

u",

qu

"

o

Uo*'_pio;;;;;

ensivelmente

mais

baixo.

;:i

lJ::u"

."'."****";

il

9e;:'

;":'"''

a3"'a'11:

1''1'::

l:}Jr""l

ti,

.:;;-i'',

::.,,

"),

representando

amostras

areatri

s,

--^r-^^

r^

^*^stf0

:ffi';:,fi':.i]ul'ou,

populaes.

Deve

ser

noiado

que os

ramanhos

de

amostrit

'il

1

a't72

podem,

eventualmente,

ser

iguais'

Queremos testar

-F1,

: As

mdias

populacionais

so

iguais;

f/"

: As

mdias

populacionais

no

so

iguais'

listas

hipteses

podem

ser

traduzidas

em

termo

s

de

pq e

1t2:

Ho

:

11,1

--

1-tz',

H':

t-tt, *

l.tz.

300

Captulo

9:

Tpicos

Especiais

9.2 Comparao de Duas

Mdias

30t


67/97

Se

a suspeita

sobre

a diferena

entre

as

mdias

de

que

a

mdiade

uma

populao

maior

(ou

menor)

do

que

a

mdia

da

outra,

podemos

reescrever

f/"

como

/-r1

>

ttz

(ou

ltt

5,99}.

J02

Captulo

9: Tpicos

Especiais

9.2 Comparao

de

Duas

Mdias 303


68/97

considerando

os

valores

amostrais

observados,

temos que

a

mdia para

o

grupo

A

L79,73 min

e,

para

o

grupo

B,

de

89,86 min.

Assim,

ob,

:

179,73

-

89,86

:

89,87.

como

or,

RC,rejeitamos

a hiptese

nula,

iy'to

,

a um

nvel

de significncia

de

\vo

conclumos

que,

para

alunos

.o-

/idud"

entre

g

e

12

anos

sem

conhecimento computacional prvio, o

tempo

d{

aprendizado

com

o

novo

sistema

operacional

menor.

consideramos,

agora,

a

situao

em que

as populaes

apresentam

mdias

desconhecidas

e varincias

populacionais

conhecidas, porm

com

valores

diferentes.

Nesse caso,

j

sabemos qu

as2a{ru)a{oes

so

difentes,

uma

vez quo

as

variabilidades

da

caracterstica

de inty'ress"

nui

duu, populaes

so

diferentes.

Ainda assim,

podemos

estar

interessad[s

em

verificar

se

as mdias

tambm

so

diferentes

e utilizar

a

teoria

de teste

de hipteses,

para

embasar

estatisticamente

a

deciso

a

ser tomada.

com

as

suposies

e a notao

j

apresentada

anteriormente,

temos

agora

que

X

-

N(px,

") "V -

N(py, o ,),

com

ox

*

oy.Ento,

N

-

N(p*,"/"r)

e

Y

-

N(tr",o/rz)

.

ParaD

-

X

-Y

eutilizando

a independncia

entre X

e

7,

temos

que

,,

Var(D)

:

Var(X)

+

Var(Y)

-

ok

+

o?,

fl,1

TL2

o, ento, D

-

N1tx

-

lry,o1ry

+

o ,1n2).A partir

daqui,

o teste prossegue

n&

lbrma

usual.

No

prximo

exemplo,

ilustramos

o

procedimento

apresentado,

de

vnrincias

conhecidas

porm

diferentes.

Ilxcntplo 9.6: uma

empresa avaliadora

de

imveis

est estudando

as

regieo

cclrtral

e oeste da cidade

de

So Paulo.

o objetivo

principal

verificar

se o preo

mdio, praticado

para

imveis

comerciais

de

um

dado

tamanho,

o mesm

ns

duas

reas.

De

levantamentos

anteriores,

a

empresa

sabe

que

a rea

oest

apresenta

uma

heterogeneidade

de

preos

imobilirios

(em

UpC-

unidade

padro

de

construo)

maior

do

que

a regio

central,

sendo

os desvios

padres

iguais

a

0,82 uPc para

a regio

oeste

e

0,71

UPC

para

a

regio

central.

para

verificar

sc

os preos

mdios

so

iguais

ou non

duas

amostras,

uma

de

tamanho

20

e

outra

de

turnnnho

18

foram

retiradas

aleatoriamente

de

cada regio.

Os

dados

so

og

segu

irr

tcs:

tr

Regio Central

4L,2

40,6

39,6

39,2

40,5

40,3

39,4 38,9 39,1

40,9

40,6

39,7

40,3

40,9

4L,2 40,4 40,0

39,6

39,7 4L,2

Regio

Oeste

37,2

34,9

38,1

37,4 36,1

35,9

35,4

35,7 37,7

36,9

37,4

37,5

36,4 36,6

36,1

38,0

36,8

36,4

Algumas medidas

resumo

so apresentadas

na

prxima

tabela:

Medidas

Descritivas

Regio

Central

Oeste

Arnbas

n

Mdia

Mediana

Desvio-Padro

Mnimo

Mximo

20

40,2

40,3

0,7

38,9

4L,2

18

36,7

36,7

0,9

34,9

38,0

38

38,5

39,0

1,9

34,9

4L,2

O comportamento

dos

dados

pode

ser visualizado

atravs

de

grficos

tipo

hox-plot, mostrados

a

seguir.

304

Captulo 9:

Tpicos

Especiais

9.2 Comparao

de

Duas

Mdias

305


69/97

Note

que

o

valor do

desvio

padro amostral

sugere, de fato,

que as

varincias

so

diferentes

nas duas

regies;

mais ainda,

a mdia de

preo na regio

central

parcce ser

superior

da

regio

oeste.

Para os dados observados,

a regio

central

tem, aparentemente,

preos

superiores

regio

oeste.

Alm

disso, a

variabilidade

observada

nos

imveis

da regio ogste

maior, o

que,

de certa

forma

confirma

a informao

fornecida

pela empfesa.

Em

resumo, para os

dados

apresentados

nas

duas amostras, temos

um maiof

preo mdio (amostral) para

a

regio

central.

Essas

concluses

so

vlidas aflnas

para

os

valores amostrais

observados.

Para

podermos

extrapolar

esta

conc\rso

para

as

regies como um

todo,

precisaremos

ltilizar

um

procedimento esthtstico

que

controle

os erros,

eventualmente,

cometidos.

Representando

a

informao

dos

preos naYegio

central

pela

varivel

aleatria

X e,

para a

regio oeste,

pela

varivel

aleatria

Y, assumimos

que

os

dados

so obtidos

de duas

populaes Normais

de

tal forma

que

X

-

N(px,ollzo)

e

Y

-

N(try,ol,1ts1.

Nosso

principar

in**'*

;:":"::"'"'

Ho:

Fx

*

ttv.

DefinindoD:X

-Ttemos

v

ar(D)

:

v

ar(X)

+

v

ar(Y)

:

+. Y

:

0,06.

Logo,

para a

:

0,05

vem:

P(rejeitar

H"

I

H,verdadeira)

=

P(D

e

RC

I

pt

-

tt'y

:

O)

:p(2.+ouZ>41:0,05.

/0,06

/0,06

Da

tabela

da

distribuio

Normal

padro

obtemos

os

valores crticos:

Consequentemente,

RC

:

{d

e

R :

d,

0,49}

Como

em nosso caso

u6*:40,2-

36,7:3,50 pertence

regio

crtica,

conclumos

que

os imveis

situados nas

regies

central

e oeste

tm preos

mdios

diferentes, ao

nvel

de

significnciade

57o.

El

caso

3A:

Amostras

independentes

com

varincias

desconhecidas

e iguais

No caso

anterior vimos que

informaes

adicionais

podem

fornecer

subsdios

para

o conhecimento

dos valores

das

varincias

populacionais.

Em

gerI,

contudo,

no temos

informaes

a respeito

do valor

das

varincias,

Entretanto,

os

processos

que geram

os dados podem

nos levar

a

crer que,

apesar

de

desconhecidas,

as

varincias

so

iguais

para

as duas populaes.

Exemplo

9.7: Digitadores

so treinados

em

uma

empresa

em duas

turmas

distintas.

Na

pri'neira,

denominada

Turma

J, utiliza-se

um

mtodo

japons

de

ensino,

ao

passo que

na

segunda

turma,

denominada

Turma

A, utiliza-se

um

mtodo

alemo.

Deseja-se

comparar

os dois

mtodos

e

para

tanto, 16

alunos

de

cada turma

foram

escolhidos

aleatoriamente

e uma

mesma

tarefa

foi

atribuda

a

cada um.

Ao final

do experimento,

o

tempo

gasto

na realizao

da

tarefa,

pam

cada

aluno, foi

anotado.

No

processo,

dois computadores

utilizados pelos

alunos

selecionados

da

turma

J e

trs da

turma A

apresentaram problemas

que

impediram

a

realizao

da tarefa; o

tamanho

da

amostra

foi assim

reduzido

para

14 e

18,

respectivamente,

para

as turmas

J e A.

Os dados

obtidos foram:

Turma

J

A

10139

15 L2 18

Tempos

(min)

10

L4 13

10 15

L2

16 15

L7

L7 15

16

109

1013L4

17

11 77

L4

Apesar

de no

conhecidas,

as varincias populacionais

para

as duas

turmas

so

consideradas

iguais

com

base

em estudos

anteriores.

tr

Para formalizar

a

situao

apresentada,

supomos que

os

dados

para

o

primeiro grupo

so

representados

por

variveis

aleatrias

independentes

Xt,

. . .

,

Xr,,r,

para

o segundo,

Yt,

..

.

,Yrr.

Almdisso,

assumimos

que

Xt

-

N(px,

o2),

i

:

I,...,flri

Yi

-

N(pv,o2),

j :

1,...,p2.

306

Caltulo 9:

Tpcos

Especiais

9.2 Comparao

de

Duas

Mdias

307


70/97

Para ambas

as

populaes, temos

a

mesma varincia o2

(desconhecida).

Suponha

que

nosso

interesse

testar

HoiFX:lJyi

Hu:

Fx

*

t"v.

Novamente,

considerams

o

estimador

D

definido

pela

difeenaX

-Y.

Dada

a

independncia

entre as

amostras,

segue

imediatamente

l6e

/1

1\ ,/

Var(D\:o2I:-+:-lr/

'

\nt

"'/(

Alm

disso, considerando

tambm a

normalidade do, ludor,

segue

que

e consequentemente,

Como

a

varincia

populacional

o2

desconhecida,

precisar

ser estimada. Tendo

em vista

que

S|

e ,5|

so

ambos

estimadores

no viciados dessa varincia,

usaremos

como estimativa

para

o2 umacombinao

deles, dada

por:

'nl

n2

Dx.u-N)'+DVi-T)'

-1 ;-1

,J-

L

D

-

N(p,x

-

py,o21t1n1+ rln2)).

D-(pt-pv)

:

^'

Arln

1\

o

1/Lln1*

If

n2

nL+n2-2

Note

que

S

:uma mdia

ponderada

entre

5|

e,Sfl, com

ponderao

dada

por

nt-I

c nz-

1.

Dessa forma,

estaremos utilizando

para

estimar

o2, toda

a

informao

disponvel

nas duas amostras.

Alm disso,

pode-se

mostrar

que

,9"2

no

viciado para

o2.

Da

mesma

forma

que

na Seo

8.3 do Captulo 8,

o

uso

do estimador

,9ul

nos

leva a

trabalhar

com a

distribuio -Student,

isto

,

D-(pr-pv)

T_

s"\FTTTM

tem, sob

f/,, distribuio

t-Student

com

nr

*

nz

-

2

graus

de

liberdade

Dada a

hiptese

alternativa

apresentada,

procedemos ao teste

bilateral

dn

forma

usual,

isto ,

fixado

a

encontra-se

o

valor , tal

que

a:

P(rejeitar

Ho

I

Il,verdadeira)

:P(7

1-t"ouT>t"lH").

A

quantidade "

ento

obtida da

tabela

da distribuio

-Student, com

nt

I

nz

-

2

graus

de

liberdade.

A

regio crtica

para

o teste

dada

por

RC

:{t

e

m.

: t

1

-

t"

ou t

>

t"}.

Uma

vez

obtidas

as amostras,

substituindo

as estimativas

de

D e S"

na expresSO

de

?, obtemos

o

valor

o6".

Rejeitamos

f/o

se

o6"

pertencer regio

crtica.

Exemplo

9.8:

Para o

Exemplo 9.7,

podemos

escrever

as

hipteses de interesse

como

Ho

i

Fx:

py

(os

dois

mtodos so

equivalentes);

Ho:

Px

*

l.tv,

om

p,y

e

py representando,

respectivamente,

o

tempo

mdio

populacional

pafn

alunos da

turma

J

e

da

turma

. As amostras

forneceram

os seguintes

valOres:

nt:

l4,Totts:11157

e sl"u":

4,L;

n2

:

L3,Tot

"

:15,38

e szy"u"

:

4,3

'

Ento,

ot,"

-2

5,',0"

Como

a

hiptese alternativa

apresentada

bilateral,

a

regio crtica tem a

brma

RC

:

{t

e

m

:t

1.

-t"

ou t)

"}.Logo,

parao-:0,01temos

0,01

:

P(rejeitar

Ho

I

H"verdadeira)

:P(7

1-t.ou

T>t"lH").

l)a

tabela

da distribuio

-Student

com

25

graus

de

liberdade,

obtemos

1,,,

:

2,79.

Conseqentemente,

:olts

-Tot,r:

LIr57

-

15,38

:

(rr-Dt*"*(n,

-t)t*"

6

-3,81

;

_

L3

x 4,I

+_L2

x 4,3

:

4.2

25

.08

Ct plt

tt

I o

g

: 7' pi

uts

Esltet:itt

ltt

, .

Ctttttpuru{lo

de Duets Mrlilt,r

.2

30e)


71/97

RC:

{te

m.:t1_2,7g

out}2,Tg}.

Utilizando

as

estimativas

calculadas

temos,

sob I1o,

-3,81

\/4,2(rlL4

+

1/13)

I

I

que

pertence

regio crtica

e,

assim,

conclumos

que os

mtodos

de

fato diferem,

a

um nvel

de

significnciade

LVo.

tr

.

dult"

-:

t?*"(rlu

+

Tlnz)

:

_4,93;

Caso

38:

Amostras

independentes

com

varincias

desnhecidas

e

diferentes

/

o teste para

o

caso

em que

as

varincias

so/esconhecidas

e

desiguais

consideramos

as

mesmas

hipteses

apresentadas

no\

quantidade

a

ser

usada

para

o

teste

ser

o teste para

o

caso

em que

as

varincias

s?dsconhecidas

e

desiguais

teoricamente

mais

envolvente.

Assim,

sem

"nfru.

em

maiores

detalhes,

consideramos

as

mesmas

hipteses

apresentadar

no\cu.o

3A,

s

qu",

ugoru,

4

,\

r:

D-(t"x-ttv)

sk/",

+

sl,ln2

A exemplo

do

caso

anterior,

tambm

tem

distribuio

-student,

mas

os

graus

de

liberdade

z

so

corrigidos

pela

expresso

(s'"1"t

A

seqncia

do

teste

similar

quela

apresentada

nos

casos

anteriores.

Na

Tabela

9.1

mostramos

um

resumo

dos

testes

considerados

nesta

seo.

Encerramos

esta

seo,

considerando

a situao

em

que

a

caracterstica

de

interesse

no

se

comporta

segundo

um

modelo

Normal.

Novmente,

a alternativa

ser

coletar

uma

amostra

de

tamanho

grande

o suficiente,

a

fim

de

utilizar

o

Teorema

Central do

Limite

e

obter

distribuies

amostrais

aproximadamente

Normais.

como

um exemplo

desse procedimento,

vamos

desenvolver

o

teste

para

n igualdade

de duas propores.

'j

Tabela 9.1: Comparao

de

mdias

para

duas

populages,

Exemplo 9.9.'

Num estudo

sobre

doenas

infantis,

desejamos

investigar se

a incidncia

de casos

de

contaminao

por

vermes

afetada

pela

idade.

Dois

grupos de

crianas,

um com

idades

de 2 a

4

anos

(Grupo

I) e outro, com

idades

de

7

a 9 anos

(Grupo

II)

foram

escolhidos

para

serem

examinados

quanto

i

ocorrncia

de vermes. Os

dados so

apresentados a seguir:

3t0

Cttptu\o

g:'l'pit

tts

l ,rpeciuis

- -

t).2

(:(,tnpuriltlo

de Duen

Mdhts

.1u


72/97

Grupo

Amostra

Proporo

comVerJnG

I

720

0,095

II

260

0,103

Para

saber

se

as

duas

faixas

etrias

acima

tm

o

mesmo

comportamento,

quanto

a

ncidncia

dessa

doena,

podemos

rearizar

;

;jJ,r,not"r".

"nutu.noo

ropores.

/

tr

'

Considere

que

desejamos

verificar

o

.o-ponlmento

de

uma

certa

caracterstica

em

duas

popuraes.

se

a

amostra

for

suficientemente

grande

sabemos,

pelo

Teorema

central

do

Limite,

que

a

distribuio

de

probabilidade

da

roporo

amostral

tem

um

comportamento

aproxim

qbamente

igual

ao

modelo

Normal.

Na

comparao

de

proiores

"n.,

;;r/d;s,

usaremos

como

estimador

a

diferena

enrre

as

respectivas

propges

u,norr.uir.

vo

oir"

verificar

que

ela

ser

um

estimadoinao

viesaoo

4Jr*""*

diferena

entre

as

propores

populacionais.

\

populao,

teremos

d'as propores

amostrais

independentes

e

a diferena

entre

elas

tambm

ter

distribui

aproximadamente

Normal.

Assim,

se

o interesse

testar:

Ho :

pt

:

Ih

versus

Ho

i

pt

# h,

ento

o

estimador

a

ser

utilizado

ser

fr,

-

fr,

cuja

distribuio

ser

aproximada

pela

Normal

cujos

parmetros

so

obtiio,

considerando-r"

u,

relaes:

E(6r-fr):pt-pz;

Var(fi

-

fr)

:

Var(f1)

+var(f2)

-

nQ

-

or)

*

m(L

-

m)

.

TL1

D2

Note

que,

para

calcular

a

^varincia,

a

independncia

entre

as

amostras

garantiu

a

independncia

entre

ft

"

fr

e,

portanto,

a

covarincia

entre

eres

se

anulou.

Sendo

a

hiptese

nula

verdadeira,

as

propores

populacionais

so

iguais.

Denotando

seu

valor

comum

por

p,

isto

pr

:

p2:

p,

foO"*os

obter

um

estimador

para

p

atravs

da

ponderao

dos

"rir*ur"r'no

viciad.,

;

,:

essa

forma,

obtemos

^ -ntfr.+n2fr,

p--nrTz'

Srrlrstituindo

os

valores

de

p1

e

Pz Porfl,na

exptesso

da V

ar(f1

-

fr),

podemos

cscrever,

sob

fIo,

Pt

-Pz

-

N(0,1).

F,,(L

-F)Gln,

+

Iln2)

l)irrir

concluir

o teste,

calculamos

a

quantidad zotts,

substituindo

bt

e

i

por

suas

crrrrespondentes estimativas.

Verificamos

se

zobs

peftence

regio crtica,

que

nO

clso

bilateral

dada

por

RC

:{z

e

IR

l,

1

r",

ou

z

>

z"r}.

l)aclo

um

nvel

de significncia

a, os

valores

zct

e zc2

so

obtidos

da tabela

dt

tlistribuio

Normal

padro.

Como

procedimento

alternativo,

podemos

tambm

usr

o nvel

descritivo

para

decidir

sobre

a aceitao

ou no

de Ho.

Ixemplo

9.10:

Parao

Exemplo

9.9,

testaremos

Ho:

pt

-

p2

versus

Ho:

Pt #

Pz,

com

p1

e

p2

representando

as

propores

de

crianas

com

verminosg

nn

populao

dos

grupos

I

e

I

I,

respectivamente.

Pelas

informaes

recebidns,

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I20, nz

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x

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Segue

ento

que

Pt-Pz

-

t/(0,1).

Para

a: 0,08

os

valores

zct

e zc2

so

calculados

atravs

das

expresses

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ltobs

n1

I

n2

Jt2

Captulo

9: Tpicos

Especiais

9.2

Comparao

de

Duas

Mdias

313


73/97

I

xams

escolares,

doze

alunos

pois

do

exame.

10

11

t2

Assim,

RC

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il

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i

roPoultuouap

op

apopJaqtl

ap snDrc


97/97

Apndice

B

Respostas

dos

Exerccios

Observaes:

1.

Nos

exerccios de

seo a

resposta

ser,

na

maioria

das

vezes,

acompanhadA de

indicaes

da

resoluo.

2.

Paru os

exerccios

de

fim

de captulo

exerccios mpares.

3. Os

exerccios

de computao

e

de

apresentadas.

4.

Pequenas diferenas

em algumas

aproximaes

e casas

decimais

utilizadas.

5.

Para no

tornar

muito

extenso esse

omitidos na apresentao

das respostas.

sero

apresentadas

as

respostas

para

os

demonstrao

no

tero

suas respostas

respostas

podero

refletir

diferentes

apndice,

os

grficos solicitados

foram

Documents

Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1).pdf