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NOÇÕES DE PROBABILIDADE. 1. Espaço Amostral e Evento. Espaço Amostral (E) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um dado experimento. Exemplo: No lançamento de um dado, o espaço amostral é: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - PowerPoint PPT Presentation
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE
1. Espaço Amostral e Evento
Espaço Amostral (E) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um dado experimento.
Exemplo: No lançamento de um dado, o espaço amostral é: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento (A) é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
Exemplo: No lançamento de um dado, o conjunto A = {1, 3, 5} (ocorrência de um número ímpar) é um evento.
2. Definição
Probabilidade é o quociente entre o número de elementos do evento desejado [n(A)] e o número de elementos do espaço amostral [n(E)], desde que as amostras desse espaço amostral possam ocorrer de maneira eqüiprováveis (mesmas chances de ocorrer).
)(
)()(
En
AnAP
1)(0 AP
n(A) é o número de elementos do evento desejado
n(E) é o número de elementos do espaço amostral
a) 0,24b) 0,40c) 0,32d) 0,25e) 0,80
Exercício 1:
( ACAFE ) Num sorteio com número de 1 a 25, a probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de 3 é:
ESPAÇO AMOSTRALE = {1, 2, 3, 4, ….., 23, 24, 25}
n(E) = 25
EVENTO DESEJADOA = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
n(A) = 8
)(
)()(
En
AnAP = 8
25= 0,32
Exercício 2:
Joga-se um dado “honesto” de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter:
ESPAÇO AMOSTRALE = {1, 2, 3, 4, 5,6}
a) EVENTO DESEJADO A = {4 }
n(A) = 1
n(E) = 6
)(
)()(
En
AnAP
P(A) = 1
6= 0,16667..
a) o número 4 b) um número ímpar c) um número maior que 2 d) um número menor que 7 e) um número maior que 6
n(A) = 3
)(
)()(
En
AnAP
P(A) = 3
6= 0,5..
b) EVENTO DESEJADO A = {1, 3, 5}
ESPAÇO AMOSTRALE = {1, 2, 3, 4, 5,6}
c) EVENTO DESEJADO A = {3, 4, 5, 6 }
n(A) = 4
n(E) = 6
)(
)()(
En
AnAP
P(A) = 4
6= 0,6666…. a) o número 4
b) um número ímpar c) um número maior que 2 d) um número menor que 7 e) um número maior que 6
n(A) = 6
)(
)()(
En
AnAP
P(A) = 6
6= 1
d) EVENTO DESEJADO A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO CERTO
e) EVENTO DESEJADO A = { }
n(A) = 0
P(A) = 0
6= 0
)(
)()(
En
AnAP
EVENTO Impossível
Exercício 3:
( METODISTA ) Em um único sorteio envolvendo os números naturais de 1 a 200, a probabilidade de neste sorteio sair um número que seja múltiplo de sete é:
a) 14% b) 15% c) 18% d) 19% e) 20%
ESPAÇO AMOSTRALE = {1, 2, 3, 4, ….., 198, 199, 200}
EVENTO DESEJADOA = {7, 14, 21,……………………196 }
n(A) = ?
n(E) = 200)(
)()(
En
AnAP
n(A) = 28
an = a1 + (n – 1).r
P.A.
196 = 7 + (n – 1).7
196 = 7 + 7n – 7
28 = n
P(A) = 28
200= 0,14
x 100
14%
Exercício 4:
( ACAFE ) Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 pretas.A probabilidade de sortearmos uma bola branca é de:
a) 40% b) 25% c) 80% d) 75% e) 20%
ESPAÇO AMOSTRALE = {B, B, B, B, B, B, P, P, P……..,P}
EVENTO DESEJADOA = {B, B, B, B, B, B }
n(A) = 6
n(E) = 30)(
)()(
En
AnAP
P(A) = 6
30= 0,2
x 100
20%
Exercício 5:
A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é:
a) 40% b) 25% c) 80% d) 33% e) 20%
ESPAÇO AMOSTRALE = {B, B, B, B, V, V, V, A, A, A, A, A}
EVENTO DESEJADOA = {B, B, B, B }
n(E) = 4
n(E) = 12)(
)()(
En
AnAP
P(A) = 4
12= 0,333…
x 100
33%
Exercício 6:
Joga-se dois dados. Qual a probabilidade de obtermos, nas faces voltadas para cima, a soma 7.:
ESPAÇO AMOSTRALE = {(1,1), (1,2), (1, 3)….(3, 5), (3,6) (4, 1),…….(6,2), ….(6,6)}
EVENTO DESEJADOA = {(1,6),(2, 5),(3, 4),(4, 3),(5, 2)(6, 1)}
n(A) = 6
n(E) = 36)(
)()(
En
AnAP
P(A) = 6
36= 0,16…
x 100
16%
Exercício 7:
Uma cidade tem 50000 habitantes possui 3 jornais, A, B e C. Sabe-se que:15 000 lêem o jornal A;10000 lêem o jornal B;8000 lêem o jornal C;6000 lêem os jornais A e B4000 lêem os jornais A e C3000 lêem os jornais B e C1000 lêem os três jornais.
Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que:
a) ela leia pelo menos um jornalb) leia só um jornal
JORNAL A JORNAL B
JORNAL C
100020003000
5000
2000
20006000
29000
50 000
a) 21
50= 0,42
b) 10
50= 0,20
Considerando-se um octógono regular. Tomando-se ao acaso uma das diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é:
Exercício 8:
d = n(n – 3)
2
d = 8(8 – 3)
2
d = 20
n(E) = 20
Se n (número de lados) é parentão:
n
2
diagonais passam pelo centro do polígono
Logo no octógono regular 4 diagonais passam pelo centro.
n(A) = 4)(
)()(
En
AnAP
P(A)= 4
20= 20%
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Observe que se A∩B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então :
p(A U B) = p(A) + p(B).
Exemplo : No lançamento de um dado , qual é a probabilidade de que o número obtido na face superior seja múltiplo de 3 ou de 4 ?
Sejam os eventos :
A : ocorre múltiplo de 3 ⇒ A = { 3,4} B : ocorre múltiplo de 4 ⇒ B = {4} Queremos avaliar p(AUB) Como A ∩ B = Ø , p(A U B ) = p(A) + p(B) = 2/6 + 1/6 = 1/2 = 0,50 = 50%
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B.
Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B.
A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.
Fórmula da probabilidade condicional
Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:
p(A ∩B) = p(A) . p(B)
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.
Exemplo :
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
a)em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução:p(V ∩ B) = p(V) . p(B/V)p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:P(V ∩ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V ∩ B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.
Fim .
Boa prova para todos !!
