Cássia Inês S. M. SantosCássia Inês S. M. SantosEdina Maria S. BritoEdina Maria S. BritoNilce B. Faria QueirozNilce B. Faria QueirozVera Lucia BombardiVera Lucia BombardiViviane Jara BenedetiViviane Jara BenedetiMarina O. TanakaMarina O. Tanaka (estagiária)

Este trabalho destina-se a subsidiar a ação docente, estabelecendo conteúdo sobre áreas e volume do

paralelepípedo reto retângulo.

Historia da Geometria; Áreas e Volumes; Exemplos de aplicação – relações do tema com conhecimentos de outras áreas; Sugestões de abordagens; Outros tipos de abordagens; Conclusão; Bibliografia.

A geometria é o campo da matemática que estuda o espaço e as figuras que podem ocupar o espaço.

Os homens já praticavam geometria muito antes da

matemática existir como ciência, tal como a entendemos hoje.

Milhares de anos atrás, quando o homem escolhia uma caverna para morar, avaliava o espaço dessa caverna em relação às

proporções de seu próprio corpo. Intuitivamente, estava fazendo

geometria e, portanto, matemática.

Uma medida para a vidaUma medida para a vidaAs origens da Geometria parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às

margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são

algumas das muitas atividades humanas que sempre

dependeram de operações geométricas.

O corpo como unidadeO corpo como unidadeAs primeiras unidades de medida

referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbitopalmo, pé, passo, braça, cúbito.

Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito

começaram a ser construídos os primeiros templos - seus

projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e

precisas.

Para medir superfíciesPara medir superfíciesOs sacerdotes encarregados

de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente

começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe

de vista.Quando deparavam com

uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros

cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício

conhecido como triangulação.

O Paralelepípedo retânguloParalelepípedo retângulo têm as seis faces retangulares e são

inúmeros os objetos que têm sua forma: um tijolo, uma caixa de

fósforos, um livro etc.O paralelepípedo retângulo é

também chamado ortoedroortoedro ou bloco bloco retangularretangular..

As dimensões de um paralelepípedo As dimensões de um paralelepípedo retângulo são chamadas retângulo são chamadas

comprimentocomprimento, larguralargura e e alturaaltura, cujas medidas serão indicadas por aa, , bb e cc,

respectivamente.

ddbb

ddpp

aa

bb

cc

ddbb22 = a = a22 + b + b22

ddpp22 = d = dbb

22 + c + c22

AALL= ac + bc + ac + bc = ac + bc + ac + bc

AALL = 2ac + 2bc = 2ac + 2bc

AALL = 2(ac + bc) = 2(ac + bc)

AATT= 2(ab + ac + bc)= 2(ab + ac + bc)

Medidas de volumeFreqüentemente nos deparamos com

problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e

profundidade. Conhecendo essas medidas podemos calcular o espaço ocupado por um

corpo ou seu volume.   Metro cúbico

A unidade de medida volume é o metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

PARALELEPÍPEDO PARALELEPÍPEDO DIMENSÕES:4,2 E 2DIMENSÕES:4,2 E 2

Unidade de Volume é um Unidade de Volume é um cubo de aresta 1cubo de aresta 1

V = abcV = abcV = 4.2.2 = 16V = 4.2.2 = 16

Um afresco do século XV pintado por Rafael e seus discípulos, encontra-se no Museu do Vaticano. Esta

obra é uma homenagem à cultura grega, e nela

podemos ver em destaque, uma referencia aos

matemáticos gregos.

A partir da esquerda, a Grande Pirâmide A partir da esquerda, a Grande Pirâmide de Quéops,de Quéops,

a pirâmide de Quéfren, e a pirâmide de a pirâmide de Quéfren, e a pirâmide de MiquerinosMiquerinos

Para o cálculo da vazão de um rio em um trecho de margens paralelas, calcula-se a velocidade da correnteza e admite-se o trecho como um

paralelepípedo. Vamos supor que a velocidade da correnteza seja 3 m/s e que o paralelepípedo

tenha dimensões 3 m por 40 m por 10 m. Imagine uma torneira “gigante”, com a mesma

vazão do rio, despejando água num paralelepípedo com essas dimensões, até então vazio. O paralelepípedo ficaria completamente cheio de água em um segundo. Como o volume

do paralelepípedo é 1.200 m3 e cada m3 equivale a 1.000 litros, tem-se que a vazão do

rio é 1.200.000 l/s.

Pense em dois cubos de ferro Pense em dois cubos de ferro maciço, um de aresta 3 cm e o outro maciço, um de aresta 3 cm e o outro

de aresta 6 cm, ambos à de aresta 6 cm, ambos à temperatura 36ºC. temperatura 36ºC. Colocando-os em Colocando-os em um ambiente de temperatura mais um ambiente de temperatura mais baixa, o cubo menor perderá calor baixa, o cubo menor perderá calor mais rapidamente que o maior. Na mais rapidamente que o maior. Na

linguagem do cotidiano dizemos que linguagem do cotidiano dizemos que o menor se esfriará mais o menor se esfriará mais

rapidamente que o maior. rapidamente que o maior.

6 cm6 cm

3 cm3 cm

Isso ocorre porque a razão da área total para o volume do

cubo pequeno (2) é maior que a razão correspondente no cubo grande (1), ou seja a

superfície em contato com o ambiente é relativamente maior no cubo pequeno.

O mesmo acontece com um bebê e um adulto. A razão da área para o volume do corpo

de um bebê é maior que a razão correspondente em um adulto, por isso a criança tem maior dificuldade em manter o calor de seu corpo e, portanto

sente mais frio.

Aluisio Carvão, Claro vermelho 1959

Piet Mondriana Ver Amar Azul 1921

Ligia Clarck – Bicho Ligia Clarck – Bicho Carangueijo Duplo 1966Carangueijo Duplo 1966

PAINEL DE AZULEJOS DE ALUÍSIO CARVÃOPAINEL DE AZULEJOS DE ALUÍSIO CARVÃOBairro do LeblonBairro do Leblon

Rio de Janeiro-RJ.   Rio de Janeiro-RJ.  

Caracterização, construção, utilização da

relação de Pitágoras

Calculando a área Calculando a área do campo de futebol.do campo de futebol.Sabendo que as Sabendo que as dimensões de um dimensões de um

campo de futebol são campo de futebol são 110 m x 75 m calcule 110 m x 75 m calcule

sua áreasua área. .

Revisando área de figuras planas

ÁreaÁrea = Base x Altura ( A= b.h ) = Base x Altura ( A= b.h )Medida do campo = 110m x 75mMedida do campo = 110m x 75mAA = 110 . 75 = 110 . 75AA = 8250 m² = 8250 m² O campo possui 8.250 m².O campo possui 8.250 m².

75 m

110 m

Um campo de futebol tem Um campo de futebol tem 110 m de comprimento e 110 m de comprimento e

80 m de largura qual a 80 m de largura qual a medida da sua diagonal ?medida da sua diagonal ?

Use o Teorema de Use o Teorema de Pitágoras!Pitágoras!

Diagonal do Diagonal do campo de futebolcampo de futebol

““A SOMA DOS QUADRADOS A SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS É IGUAL AO DOS CATETOS É IGUAL AO

QUADRADO DA QUADRADO DA HIPOTENUSA.”HIPOTENUSA.”

a a = diagonal = diagonal bb = base = base cc = largura = larguraa² = b² + c² a² = 100² + 80²a² = b² + c² a² = 100² + 80²a² = 10000 + 6400 a² = 16400a² = 10000 + 6400 a² = 16400a = a = 128,06 m.a = a = 128,06 m.A diagonal mede 128,06 m.A diagonal mede 128,06 m.

80 m

100 m

16400

128,06 m90°

Uma piscina olímpica tem 1.890.000 litros de água (volume: 1.890 m3). Ela mede 50 metros de comprimento e 25 metros de largura. São oito raias, cada

uma com 2,5 metros de largura. A profundidade mínima é de 2 metros. Nas

provas de Olimpíadas, ele é de 2,5 metros. Os melhores qualificados nas

eliminatórias ficam nas raias 4 e 5, pois são as que tem menos turbulência.

Exemplo de cálculo de volumeExemplo de cálculo de volumeUtilizando as medidas da piscina podemos calcular seu volume:

largura = 25 mcomprimento = 50 mprofundidade = 2,5mFórmulaV = A base.hV = A base.hV = 25.50.2,5 mV = 3125 m³

25

50

2,5

Dona Benta é uma confeiteira de mão cheia. No aniversário da Cátia ela fez um delicioso bolo em forma de cubo. Depois de pronto ela enfeitou a parte externa do bolo com cobertura de morango.Por fim, ela cortou o bolo em cubinhos, conforme se pode ver no esquema da figura.

Onde entra a Álgebra?Onde entra a Álgebra?Imagine um bolo, em forma de cubo, que foi Imagine um bolo, em forma de cubo, que foi

decomposto em ndecomposto em n33 pedaços cúbicos iguais. pedaços cúbicos iguais.a) Quantos pedaços têm cobertura em três a) Quantos pedaços têm cobertura em três

faces? faces? b) Quantas têm cobertura em duas faces? b) Quantas têm cobertura em duas faces? 4(n – 2) + 4(n – 2) + 44(n – 2) + 4(n – 2) + 4c) Quantos têm cobertura em apenas uma c) Quantos têm cobertura em apenas uma

face? 5(n – 2)face? 5(n – 2)22 + 4(n –2) + 4(n –2) d) Quantos não têm cobertura em face d) Quantos não têm cobertura em face

alguma? (n – 2 )alguma? (n – 2 )33 + (n – 2) + (n – 2)22.. Verifique que: Verifique que: (n – 2)(n – 2) 3 3+ (n – 2)+ (n – 2) 2 2 + 5(n – 2 ) + 5(n – 2 ) 2 2 + 4 (n – 2)+ 4(n + 4 (n – 2)+ 4(n

– 2) + 4(n – 2) + 4 + 4 = n– 2) + 4(n – 2) + 4 + 4 = n33..

R: a)4; b)20; c)28; d)12.R: a)4; b)20; c)28; d)12.

Considerando que a maioria das bagagens tem o formato de um bloco bloco retangularretangular, que medidas deve ter uma

mala com volume volume máximo? Qual o volume dessa mala?

,

Nos vôos realizados nos aviões tipo Nos vôos realizados nos aviões tipo Boeing 737, a soma Boeing 737, a soma dasdas medidas do medidas do comprimento (A), da largura (B) e comprimento (A), da largura (B) e

da altura (C) da bagagem não deve da altura (C) da bagagem não deve exceder 115 cmexceder 115 cm

Bagagem não pesar mais de 5 kgBagagem não pesar mais de 5 kgA bolsa de volume máximo, nestas A bolsa de volume máximo, nestas condições, é a que tem o formato condições, é a que tem o formato

de um cubo. Portanto suas de um cubo. Portanto suas dimensões (comprimento, largura e dimensões (comprimento, largura e

altura) são iguais.altura) são iguais.A = B = C = 115/3 = 38,3 cmA = B = C = 115/3 = 38,3 cm

V = (115/3)V = (115/3)33 = 56328,7 = 56328,7 cmcm33

Qual das suas mãos tem maior volume?

Para responder à questão, use uma vasilha com água, uma tira de papel e dois elásticos. Trabalhe com parceria

com um colega. Cole a tira de papel na vasilha e marque

o nível da água. Prenda um elástico em cada pulso, na

mesma altura. (Cuidado! O elástico não pode prender a circulação.)

Mergulhe a mão esquerda na água até a altura do elástico e assinale (ou peça ao

companheiro que o faça) o nível da água. Escreva a letra E na marca.

Retire a mão de dentro da vasilha e deixe a água escorrer bem. Se

precisar, coloque mais água para atingir o primeiro nível marcado.Coloque a mão direita na água e

proceda como anteriormente. Agora marque a letra D no novo nível da

água. Qual das suas mãos têm maior

volume? As duas marcas devem estar bem próximas, mas separadas o suficiente para você responder à

pergunta.

A formação continuada do professor se faz necessária. A capacitação de

professores visa uma mudança de postura em sala de aula promovendo métodos de

aprendizado ativo e interativo, pretendendo-se com isso despertar no

aluno o espírito de pesquisa, o desenvolvimento da capacidade de

raciocínio, autonomia e a solidariedade.Para confecção do trabalho do nosso

grupo, o uso da tecnologia foi de grande importância, facilitando a pesquisa,

proporcionando novos conhecimentos e permitindo o aperfeiçoamento

profissional.

“Sem a curiosidade que me move, que me insere na busca não

aprendo, nem ensino.”

“Ninguém ignora tudo, ninguém sabe tudo. Por isso aprendemos

sempre.”

Paulo Freire

http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htmhttp://www.somatematica.com.br/geometria.phphttp://www.tvcultura.com.br/artematematica/home.htmlhttp://geocities.com/geoespacial/http://www.linhadetransmissao.com.br/tecnica/areas1.htmhttp://www.nosachamos.com/educacao/matematica/materias/geom_esp3.htmhttp://www.tvcultura.com.br/artematematica/geometrias.html http://www.educacional.com.br/conversor/comprimento1.asp

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Orientador:Orientador:

Professor Dr. Professor Dr. Anirio Sales FilhoAnirio Sales Filho