UNIVERSIDADE DE RIO VERDE

CENTRO DE GRAVIDADE

Professor: Rodrigo Borges

Resistência dos Materiais I

Alunos:

GETULIO SOUSA GUIMARAES FILHO

GUSTAVO TOMASI

MATHEUS NASIMENTO

RODOLFO DE CASTRO BERNARDES

O centro de gravidade

A definição do conceito de centro de gravidade é atribuída a Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.), embora este conceito não apareça definido explicitamente em nenhum de seus trabalhos ainda existentes. Por outro lado, Heron (primeiro século d.C.), Papus (terceiro século d.C.) e Simplicio (sexto século d.C.), que tiveram acesso às obras de Arquimedes hoje perdidas, apresentam em seus trabalhos que chegaram até nós algumas informações sobre como Arquimedes pode ter definido este conceito, (HEATH, 1921, págs. 24, 302, 350-351 e 430), (HEATH, 2002, págs. clxxxi-clxxxii), (DIJKSTERHUIS, 1987, págs. 17, 47-48, 289-304, 315-316, 321-322 e 435-436), (ASSIS, 2008a, págs. 90-91) e (ASSIS, 2008b, págs. 69-74 e 97-105). Em termos modernos este conceito pode ser definido com as seguintes palavras:

“O centro de gravidade de um corpo rígido é o ponto tal que, se imaginarmos o corpo suspenso por este ponto e com liberdade para girar em todos os sentidos ao redor deste ponto, o corpo assim sustentado permanecerá em repouso e preservará sua posição original, qualquer que seja a orientação do corpo em relação à Terra.”

Quando este ponto se localiza no espaço vazio (o centro de uma arruela, por exemplo) é necessário supor uma conexão rígida ligando o centro de Ciência & Ensino, vol. 2, n. 2, junho de 2008 gravidade ao corpo para imaginá-lo sustentado por este ponto.

A origem deste conceito é experimental. A idéia da existência do centro de gravidade pode ser obtida a partir do equilíbrio de corpos rígidos que podem girar ao redor de pontos, de eixos ou de hastes fixas em relação à Terra. No que diz respeito ao centro de gravidade, em geral define-se que um corpo está em equilíbrio quando suas partes permanecem em repouso em relação à Terra. A própria etimologia da palavra “equilíbrio” traz em si a idéia de centro de gravidade, pois a raiz latina combina as palavras “igual” com “peso”. Para obter a localização do centro de gravidade experimentalmente utiliza-se essencialmente um resultado já conhecido por Arquimedes e que ele expressou com as seguintes palavras em seu trabalho “Sobre a Quadratura da Parábola”, (MUGLER, 1971a, pág. 171) e (DUHEM, 1991, pág. 463): “Todo corpo, suspenso por qualquer ponto, assume um estado de equilíbrio tal que o ponto de suspensão e o centro de gravidade do corpo estejam ao longo de uma mesma linha vertical; pois esta proposição já foi demonstrada”. Infelizmente a prova teórica que Arquimedes forneceu para este resultado fundamental também não aparece em nenhum de seus trabalhos que chegaram até nós. Mas é utilizando este resultado que se encontra experimentalmente o centro de gravidade de qualquer corpo rígido. O procedimento é o seguinte:

Suspende-se o corpo por um ponto A tal que o corpo tenha liberdade para girar em qualquer direção e aguarda-se que atinja o equilíbrio em relação à Terra. Traça-se uma primeira vertical a partir deste ponto A quando o corpo está em equilíbrio. A vertical é obtida como sendo a reta ao longo de um fio de prumo em repouso em relação à Terra. Depois se escolhe um outro ponto B do corpo que não esteja ao longo desta primeira vertical. Suspende-se o corpo por este segundo ponto B e aguarda-se o novo equilíbrio.

Traça-se uma segunda vertical passando por este segundo ponto B. O cruzamento das duas verticais é o centro de gravidade G do corpo.

A definição matemática moderna do centro de gravidade é obtida a partir da lei da alavanca. Arquimedes expressou-a com as seguintes palavras na Proposição 6 de seu trabalho “Sobre o Equilíbrio dos Planos,” (DIJKSTERHUIS, 1987, pág. 289): “Grandezas comensuráveis se equilibram em distâncias inversamente proporcionais a seus pesos.” Vamos supor que temos dois pesos P1 e P2 dependurados em uma haste rígida horizontal de peso desprezível. Esta haste pode girar ao redor de um eixo horizontal perpendicular a ela passando pelo fulcro da alavanca. Vamos supor que as distâncias horizontais destes dois corpos à projeção vertical do plano que passa pelo eixo de rotação sejam dadas por 1 d e 2 d , respectivamente. A lei afirma que eles vão permanecer em equilíbrio ao serem soltos do repouso se

Pela condição experimental mencionada anteriormente por Arquimedes (de que todo corpo, suspenso por qualquer ponto, assume um estado de equilíbrio tal que o ponto de suspensão e o centro de gravidade do corpo estejam ao longo de uma mesma linha vertical), vem que o centro de gravidade deste sistema de dois corpos tem de estar ao longo da vertical que passapelo fulcro. Vamos imaginar a haste da alavanca ao longo do eixo x e chamar de CG x à posição do centro de gravidade, com 1 x e 2 x sendo as posições dos corpos 1 e 2 em relação à origem 0 do eixo x . Com isto a equação acima pode ser colocada na forma de uma definição matemática do centro de gravidade, a

saber,

Vamos agora utilizar o princípio de superposição para generalizar a expressão acima para N corpos. Este princípio afirma que os pesos agem de forma independente entre si, tal que podemos somar suas contribuições no sentido de fazer a alavanca girar. Generalizando então a relação acima para as três coordenadas espaciais e utilizando o princípio de superposição vem que o centro de gravidade de um conjunto de N pontos materiais pode ser definido matematicamente como (sendo Pi o peso do corpo i localizado no vetor posição i r em relação à origem 0 do sistema de coordenadas, com sendo o peso total do

Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG).

Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada por uma única força P. Esta força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da superfície. O centro de gravidade de uma superfície plana é, por definição, o ponto de coordenadas:

onde:

xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente;

yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente;

Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x;

My = momento estático da figura em relação ao eixo y;

A = área da Figura.

O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por:

Centro de gravidade de algumas figuras planas

Momento de Inercia

A primeira lei de Newton estabelece que se a força resultante sobre um corpo é nula, os únicos estados de movimento possíveis para o corpo, num referencial inercial, são estados de velocidade constante (inclusive nula). A mudança de um estado a outro, com velocidade diferente, só é possível se o corpo fica sob a ação de uma força resultante não nula.

A segunda lei de Newton estabelece que a velocidade do corpo varia tanto mais rapidamente por efeito de uma força resultante não nula quanto menor for a sua massa. É nesse sentido que dizemos que a massa é a medida da inércia do corpo. Mas, quando consideramos os movimentos de rotação, a medida mais apropriada da inércia de um corpo é o seu momento de inércia.

Vamos considerar que m1, m2, ... mk, ... mN são as massas das N partículas que compõem um corpo extenso e que r1, r2, ... rk, ... rN são as respectivas distâncias a um eixo qualquer (Fig.22, onde mostramos apenas a k-ésima partícula). Definimos o momento de inércia desse corpo, em relação ao eixo considerado, pela ℑexpressão:

O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado.

A unidade do momento de inércia é [L]² ×[L]² =[L]^4 . O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência.

Propriedade: O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe.

Translação de eixos:O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da distância que separa os dois eixos.

onde:

Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x.

Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x.

xCG I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CG x que passa pelo CG da figura.

yCG I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CG y que passa pelo CG da figura.

CG x = distância do eixo y até o eixo CG y .

CG y = distância do eixo x até o eixo CG x .

Referencia

http://coral.ufsm.br/gef/Rotacoes/rotacoes03

http://bourabai.ru/assis/Ciencia-e-Ensino-V2(2008).pdf

http://www.tecnicodepetroleo.ufpr.br/apostilas/engenheiro_do_petroleo/resistencia_de_materiais_II.pdf