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CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
SABRINA LONDERO DA SILVA ROSSATO
ANÁLISE DE ERROS NA DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS POR ALUNOS DO
6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Santa Maria/RS
2014
1
SABRINA LONDERO DA SILVA ROSSATO
ANÁLISE DE ERROS NA DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS POR ALUNOS DO
6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado
Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática
do Centro Universitário Franciscano de Santa Maria,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Matemática.
Orientação: Profª Drª Helena Noronha Cury
Santa Maria/RS
2014
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Ao meu Deus, pai e grande criador,
responsável pela criação da vida, todo meu
amor e gratidão por acordar todas as manhãs
e sentir o dia radiante ao meu redor.
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AGRADECIMENTOS
Aos meus pais e minhas amadas irmãs... poderia escrever um livro e não conseguiria
dizer o quanto sou grata. Eles, que me viram nascer, crescer, dar o primeiro passo, me
cuidaram e alimentaram... e a partir daí caminhamos juntos até o dia de hoje, com a graça do
bom Deus. Eles que dedicaram cada gota de suor para um futuro incerto, mas sempre
depositando esperança e confiança. Minha mãe Tereza Irene e pai Santo Gerônimo, minhas
irmãs, Fabiana e Adriana, vocês são meus verdadeiros amigos, e que, às vezes, ainda distantes
fisicamente, estão sempre presentes em meu coração. Vocês me guiam, me protegem e me
abençoam e me transmitem todo o amor de que preciso para viver. É para vocês e por vocês
que estou aqui para dizer muito obrigada por tudo!
À minha orientadora, Professora e Doutora, Helena Cury. Sua experiência me fez ver
que poderia encontrar o caminho certo, a você que comigo compartilhou conhecimento e
experiências profissionais, que me guiou além das teorias e das técnicas; expresso o meu
agradecimento, o mais profundo agradecimento e a minha admiração, à Professora e a
profissional que és.
Aos meus queridos colegas e amigos com que posso contar. Que me proporcionaram
tantos momentos felizes e gratas experiências ao longo do mestrado. Não temos mais o tempo
que passou, mas temos o que ficou e o que a convivência nos ensinou.
Aos meus amados Três Antônios: Joel Antônio, esposo, e meus filhos Joel Antônio e
Miguel Antônio, meus maiores agradecimentos por toda compreensão e amor, por todos os
momentos que passamos juntos, pelo apoio incondicional, serei eternamente grata. Com
amor!
5
O sucesso nasce do querer, da determinação e
persistência em se chegar a um objetivo.
Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e
vence obstáculos, no mínimo fará coisas
admiráveis.
José de Alencar
6
RESUMO
Este estudo teve como tema a operação divisão no conjunto , com foco nos números
decimais. A análise concentrou-se nos erros de divisão que os alunos cometem ao resolver
questões utilizando o algoritmo usual da divisão com resultados decimais. O estudo foi
embasado nos autores que escrevem sobre análise de erros na Matemática e também na Teoria
da Aprendizagem Significativa de David Ausubel. O trabalho, desenvolvido ao longo de
2013, teve como objetivo analisar os erros apresentados pelos alunos de 6º ano do Ensino
Fundamental ao resolverem exercícios de divisão de números decimais e avaliar uma
estratégia de ensino para construção de significados para a operação de divisão de decimais. A
pesquisa seguiu uma abordagem quanti-qualitativa e, após a análise dos erros, foi
desenvolvida uma oficina empregando técnicas de ensino com apoio de Objetos de
Aprendizagem e Materiais Manipuláveis como Material Dourado e Quadro Valor de Lugar.
Os resultados mostraram que, a partir da análise dos erros cometidos pelos alunos no teste
diagnóstico, a aplicação de uma sequência didática de ensino para ajudar a reduzir os erros
cometidos pelos alunos permitiu uma superação desses erros, pelo menos em parte.
Palavras-chaves: Divisão de decimais. Análise de erros. Aprendizagem significativa.
7
ABSTRACT
This study had as its theme the operation of division in the set Q, focusing on decimal
numbers. The analysis focused on the errors in division that students make when they resolve
issues using the usual division algorithm with decimal results. This study was based in
authors who write about error analysis in mathematics and also in David Ausubel´
Meaningful Learning Theory. The work developed throughout 2013 aimed to analyze the
errors presented by the students of 6th
grade of elementary school to solve exercises of
division of decimal numbers and evaluate teaching strategies to construct meaning for the
operation of division of decimals. The study followed a quantitative-qualitative approach and
after analyzing the errors, we developed a workshop employing teaching techniques with the
support of learning objects and manipulatives as Golden Material and Table of Value Place.
The results showed that, from the analysis of the errors made by students in diagnostic testing,
the application of a didactic teaching sequence to help reduce the errors made by the students,
allowed for overcoming these errors, at least in part.
Keywords: Division of decimals. Error analysis. Meaningful learning.
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 09
2 REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................................................. 12
2.1 SOBRE A ANÁLISE DE ERROS EM MATEMÁTICA ...................................................... 12
2.1.1 A análise de erros nos números decimais ........................................................................ 15
2.2 OS NÚMEROS DECIMAIS E A DIVISÃO ......................................................................... 20
2.2.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais e os Livros Didáticos ...................................... 20
2.2.1.1 Os livros didáticos de Matemática.................................................................................... 23
2.2.2 Algumas pesquisas sobre ensino de decimais .................................................................. 33
2.3 DAVID AUSUBEL E A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA .......................................... 39
2.3.1 Os organizadores prévios de Ausubel .............................................................................. 45
2.4 ALGUNS RECURSOS DIDÁTICOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA .......................... 47
2.4.1 Os Objetos de Aprendizagem ........................................................................................... 47
2.4.2 Os Materiais Manipuláveis ............................................................................................... 48
2.4.2.1 Quadro Valor de Lugar – QVL......................................................................................... 49
2.4.2.2 Material Dourado .............................................................................................................. 50
3 METODOLOGIA .................................................................................................................... 52
3.1 INSTRUMENTOS DE PESQUISA ....................................................................................... 53
3.2 OS SUJEITOS DE PESQUISA E LOCUS DA INVESTIGAÇÃO ...................................... 54
3.3 PROCEDIMENTOS DE PESQUISA .................................................................................... 54
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................................................ 56
4.1 O TESTE DIAGNÓSTICO ................................................................................................... 56
4.1.1 Análise do teste diagnóstico ............................................................................................. 56
4.2 APLICAÇÃO DA OFICINA ................................................................................................. 64
4.2.1 Oficina com Objetos de Aprendizagem ........................................................................... 64
4.2.2 Oficina com Material Dourado e Quadro Valor de Lugar ............................................ 68
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................. 83
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................... 85
APÊNDICES .............................................................................................................................. 90
ANEXOS .................................................................................................................................... 99
9
1 INTRODUÇÃO
Neste estudo, são apresentados os resultados de um trabalho que foi desenvolvido ao
longo do ano de 2013 e procurou analisar os processos de resolução aplicados pelos alunos na
divisão de números decimais.
O tema proposto para este estudo são os números do conjunto dos racionais ( ), que
é aprofundado com alunos no 6º ano do Ensino Fundamental. O ensino do conjunto
objetiva, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998), levar o
aluno a desenvolver e consolidar o pensamento numérico sobre os racionais, vislumbrando a
ampliação e construção de novos significados para a resolução de situações-problemas,
identificando suas diferentes representações e tendo como base as relações: parte/todo,
quociente, razão e operador.
O foco deste estudo é a análise de erros que os alunos cometem na divisão de números
racionais, com destaque para os números decimais, pois, sabe-se que uma das diferenças deste
conjunto para os números inteiros é representada pela operação divisão. Essa operação gera
muitas dúvidas, tendo em vista que representa uma ruptura entre as divisões exatas do
conjunto e uma nova concepção de divisão no conjunto .
A escolha por trabalhar com divisão de números decimais se deu em função de nossa
experiência na sala de aula com alunos de 5º e 6º anos do Ensino Fundamental; tal vivência
mostra que os alunos têm grandes dificuldades ao realizar operações com números decimais,
em especial a operação divisão.
Vazia de significado para nosso aluno, a divisão com números decimais acaba se
tornando algo “chato” e “desmotivador” perante um estudante que faz uso das tecnologias
digitais em quase todas as suas atividades diárias, seja em casa, na escola, ou na praça com os
amigos.
Muitos são os estudos publicados por pesquisadores que abordam esta temática da
divisão de números decimais. Fonseca (2005) e Posselt (2010) são citados aqui a título de
exemplo e, em seus trabalhos, evidenciam que a grande maioria dos professores ainda
trabalha este conteúdo de forma puramente mecânica, sem estarem preocupados com a
construção dos significados dos números depois da vírgula, que representam a quebra da
unidade, ou seja, números formados por uma parte inteira e outra não inteira.
O problema de não saber dividir números com vírgulas está, segundo Cunha (2002),
associado à quebra da unidade. Para a autora, o ensino de números decimais, que se inicia
10
logo após os conteúdos de frações decimais, tem se tornado um percalço no aprendizado dos
alunos em razão de que não há, logo no início da apresentação do conteúdo, uma conexão
com a realidade, como, por exemplo, os sistemas de medidas, que em geral estão na
sequência, nos livros didáticos.
Assim, ao propor ao aluno um problema de divisão como este que segue, “se R$ 4,50
reais pagam os 0,60 kg de alpiste que meu casal de passarinhos come no mês, quanto custa 1
quilo desse alpiste?”, o aluno começa a criar conflitos desde a coleta dos dados, pois não sabe
se é um problema de dividir ou multiplicar. Em seguida surge outro problema: sabendo que é
um exercício de dividir, como dividir 4,50 por 0,60?
Estudos como os de Fonseca (2005) e Posselt (2010) reforçam que é preciso um olhar
especial no ato de ensinar esse conteúdo pelo professor, com elaboração de atividades que
procurem dar significado ao aluno sobre aquilo que ele está resolvendo, trazendo sempre para
nossa realidade, por meio de uma Matemática motivadora, de fácil compreensão.
Dessa forma, esta pesquisa justifica-se pelas dificuldades que os alunos apresentam em
operar com a divisão de decimais e tendo em vista a necessidade de produção de
conhecimento para o ensino desse conteúdo do saber matemático. Mesmo tendo o
conhecimento empírico sobre as dificuldades dos alunos, é necessário analisar os tipos de
erros e as formas como se apresentam nos exercícios e problemas que são, em geral,
propostos em um 6º ano do ensino Fundamental.
Esta pesquisa parte, então, do seguinte problema: Quais os tipos de erros que alunos
do 6º ano do Ensino Fundamental cometem ao resolverem exercícios envolvendo divisão de
decimais com questões contextualizadas e questões rotineiras?
Esse problema se desdobra nas seguintes questões de pesquisa:
- como se desenvolve o processo de resolução de exercícios relacionados à divisão de
números decimais por alunos do 6º ano do Ensino Fundamental?
- que tipos de erros cometem os alunos do 6º ano do Ensino Fundamental ao resolver
exercícios de divisão de decimais?
- quais estratégias os alunos do 6º ano do Ensino Fundamental utilizam para resolver
exercícios rotineiros de divisão decimal e como eles constroem significados para essa
operação?
Para buscar respostas para as questões, a pesquisa foi desenvolvida com o seguinte
objetivo geral: analisar os erros apresentados pelos alunos de 6º ano do Ensino Fundamental
ao resolverem exercícios de divisão de números decimais e avaliar uma estratégia de ensino
para construção de significados para a operação de divisão de decimais.
11
Já os objetivos específicos são:
- investigar como se desenvolve o processo de resolução de exercícios relacionados à divisão
de números decimais por alunos do 6º ano do Ensino Fundamental;
- analisar e classificar os erros que aparecem na resolução dos exercícios sobre divisão de
decimais, propostos a alunos do 6º ano do Ensino Fundamental;
- propor e testar uma estratégia de ensino que permita a consolidação de significados para a
divisão de números decimais.
Seguindo este capítulo introdutório desta dissertação, o Capítulo 2 traz o referencial
teórico escolhido para embasá-la, com uma revisão sobre a abordagem de análise de erros, o
conteúdo matemático escolhido para o trabalho – os números decimais e as dificuldades de
divisão que os alunos possuem diante dos números que representam a quebra da unidade. O
estudo da divisão de decimais, nesta dissertação, está alicerçado nas ideias de Ausubel sobre
Aprendizagem Significativa, além do uso de Materiais Manipuláveis e Objetos de
Aprendizagem para construção do conhecimento junto aos alunos.
O Capítulo 3 indica os procedimentos metodológicos empregados na investigação. Foi
realizado um estudo em uma abordagem quanti-qualitativa, com uso da estatística descritiva e
das análises do processo de aprendizagem dos alunos, segundo os organizadores prévios
ausubelianos.
No Capítulo 4, são apresentados os resultados obtidos neste estudo, com a
apresentação da análise dos erros e dos resultados de uma oficina, realizada para trabalhar a
divisão de decimais, com uso de materiais manipuláveis e objetos virtuais de aprendizagem
que versam sobre ensino de decimais; no caso deste estudo, foram utilizados o Material
Dourado e Quadro Valor de Lugar (QVL) como Materiais Manipuláveis e um programa
computacional que ensina didaticamente as operações com decimais, que foi utilizado como
Objeto de Aprendizagem.
As considerações finais são apresentadas no Capítulo 5, no qual são tecidas reflexões
acerca dos resultados e experiências adquiridas neste estudo.
12
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Em nosso dia a dia como professor, é comum prepararmos as aulas, expormos os
conteúdos, propormos exercícios e logo em seguida avaliarmos nosso aluno; esse processo é
rotineiro e quase sempre passam despercebidas as riquezas de informações que as resoluções
das avaliações dos alunos podem nos trazer, pois somos sabedores de que cada aluno processa
seu raciocínio de forma peculiar, não sendo igual para todos, e isto pode ser perceptível
mediante uma análise criteriosa do modo como ele resolve os problemas em sua avaliação.
Assim, para esta pesquisa, propomos revisar, inicialmente, literatura existente sobre os
temas envolvidos e, em seguida, aprofundar os pressupostos teóricos sob os quais
pretendemos analisar os dados da investigação.
2.1 SOBRE A ANÁLISE DE ERROS EM MATEMÁTICA
De acordo com Cury et al. (2008), os erros que os estudantes cometem durante a
resolução de exercícios/avaliações de Matemática nos propõem uma maneira de como
dimensionar as dificuldades que eles possuem com resoluções de questões na referida
disciplina; ou seja, por meio da análise de erros dos exercícios dos estudantes podemos tirar
importantes conclusões, que podem se refletir em mudanças na metodologia de ensino do
professor, tendo como ponto de partida os resultados obtidos a partir dos erros, objetivando
uma aula mais adequada a esses alunos.
Segundo a pesquisadora:
A análise de erros é uma abordagem de pesquisa com fundamentações teóricas
variadas, objetivos distintos e participação de todos os níveis de ensino nas
amostras, mas também é uma metodologia de ensino, podendo ser empregada
quando se detecta dificuldades na aprendizagem dos alunos e se quer explorá-las em
sala de aula. (CURY, 2007, p. 91).
Berti e Carvalho (2005) reforçam que, numa mesma atividade, o docente pode
perceber distintas maneiras que os alunos constroem para tentar resolver a situação-problema
e, com base nessas informações, pode retirar importantes conclusões acerca dos
conhecimentos dos alunos quando da resolução das atividades, uma vez que os erros revelam
a forma como eles raciocinam durante a resolução:
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Os erros dos alunos em matemática são muitos. Numa única atividade podemos
detectar diversas formas de erro e diferentes caminhos na tentativa de resolver uma
situação-problema. A resolução de uma atividade pelo aluno, de certa forma,
representa o alcance que sua aprendizagem pode atingir ou como ele pensa naquele
momento e naquela situação em que se encontra. Pode acontecer que em um
contexto escolar o aluno apresente uma resposta e fora dele apresente outra, ou,
consiga resolver uma situação num contexto, mas, não em outro. (BERTI;
CARVALHO, 2005, p. 06)
Em termos específicos de avaliação, Cury (2006, p. 02) explica que, entre as
avaliações somativa, diagnóstica e formativa, a que melhor se presta para análise de erros é a
formativa, tendo em vista que “é esse tipo de avaliação que permite observar o aluno no seu
processo de construção do conhecimento matemático”; dessa forma, o docente pesquisador
pode acompanhar o trabalho do aluno durante todo um processo.
A referida autora também salienta que, durante o processo de análise de erros dos
alunos, é importante levar em consideração tanto os aspectos quantitativos, quanto os
qualitativos:
Um trabalho sobre as respostas dos alunos a um determinado teste pode – e, mesmo,
deve – englobar aspectos quantitativos, com a determinação do número de
ocorrências de cada tipo de resposta e aplicação de testes estatísticos para verificar a
consistência interna do teste, etc. Em seguida, é conveniente fazer a análise
qualitativa das respostas e, depois, é sempre interessante conversar com os alunos,
para entender como eles pensaram ao resolver a questão. (CURY, 2006, p. 02).
Além disso, é importante que, na sua análise dos erros, o docente pesquisador tenha o
embasamento teórico mínimo para poder categorizar e classificar os erros que aparecem, pois
eles podem estar associados a um conjunto de fatores. Radatz (1979, p. 165, apud,
CORDEIRO; FRIEDMAN, 2009, p. 04) classifica os erros em:
• erros devido a dificuldades na linguagem: são apresentados na utilização de
conceitos, vocabulário e símbolos matemáticos, e ao efetuar a passagem da
linguagem corrente para linguagem matemática.
• erros devido a dificuldades para obter informação espacial (dificuldades em obter
informação a partir de representações gráficas): aparecem na representação espacial
de uma situação matemática ou um problema geométrico.
• erros devido a uma aprendizagem deficiente de fatos, habilidades e conceitos
prévios (deficiência de pré-requisitos): são os cometidos por deficiências na
manipulação de algoritmos, fatos básicos, procedimentos, símbolos e conceitos
matemáticos.
• erros devido a associações incorretas ou a rigidez de raciocínio: são causados pela
falta de flexibilidade no pensamento para adaptar-se a novas situações;
compreendem os erros por persistência, erros de associação, de interferência e de
assimilação.
• erros devido à aplicação de regras ou estratégias irrelevantes: são produzidas por
aplicação de regras ou estratégias semelhantes em diferentes conteúdos. (tradução de
CORDEIRO; FRIEDMAN, 2009, p. 04)
14
Além disso, em Buriasco (1999, p.86), verifica-se que os erros podem ocorrer em
quatro instâncias:
1) Erros de saber: o aluno não sabe uma definição, uma regra, um algoritmo, etc;
2) Erros de saber-fazer: o aluno não sabe utilizar corretamente uma técnica, um
algoritmo, etc;
3) Erros ligados à utilização adequada ou não dos saberes ou do saber-fazer: por
exemplo, o aluno não reconhece que a utilização da relação de Pitágoras seria
adequada para a resolução de certo problema.
4) Erros de lógica ou de raciocínio: o aluno confunde hipótese e conclusão, encadeia
mal os cálculos, tem dificuldade em lidar com os diferentes dados do problema
proposto.
Verifica-se que a pesquisa realizada com análise de erros envolve critérios técnicos
para sua classificação e categorização; saber tais procedimentos constitui passo fundamental
para um estudo consistente e que reflita a realidade do trabalho, tendo em vista que são várias
as categorizações em que se podem enquadrar os erros cometidos pelos alunos.
Nas palavras de Correia (2005, p. 14) “[...] a cultura do erro enquanto fracasso, tem
aos poucos cedido espaço para uma cultura que admite o erro como elemento que pode ajudar
na construção do conhecimento [...]”. O autor deixa claro que os erros são fundamentais para
se compreender o processo de aprendizagem, não mais sendo entendidos como sinônimo de
fracasso do aluno mas como uma poderosa ferramenta de compreensão que explica o porquê
de sua ocorrência.
A importância de saber categorizar um erro encontra respaldo em Barichello (2008),
quando afirma que o aluno resolve o problema, mas desconhece se resolveu errado ou se
acertou; mesmo que ele tenha apresentado uma resposta que diverge daquela que o
pesquisador espera como certa, o estudante aplicou um conhecimento ou uma estratégia que,
para o problema, parecia ser a mais cabível para ele; desta forma, cabe ao professor
pesquisador classificar o erro cometido, para que posteriormente isso seja refletido em
metodologias de ensino que possam solucionar o problema.
Segundo Correia (2005, p. 14):
Os erros envolvem processos de pensamento que precisam ser discutidos e não
apenas uma resposta incorreta, algo falso a ser corrigido. Esses erros são comumente
observados no cotidiano da aprendizagem escolar. Todo raciocínio é lógico mesmo
os que conduzem ao erro, e estes erros precisam ser compreendidos para serem
superados. Muito vem sendo discutido acerca da questão da lógica do erro, pois isso
nos dá indicações sobre o processo de aprendizagem de cada aluno.
15
Rico (1998) reforça as palavras de Correia quando diz que a importância de se estudar
com afinco os erros em um determinado grupo reside no fato de que eles podem contribuir de
maneira positiva para o processo de aprendizagem, pois os erros surgem de um conhecimento
pré-existente no individuo e são consequência de uma tentativa de resolução de algum
problema em que este julgou procedente usar determinada técnica.
Além disso, há que notar que, tomando como base seus próprios erros, o estudante
pode aprender propriedades distintas de um conceito, pois o erro denota caráter incompleto de
um conhecimento e desta forma acaba sendo também um objetivo de investigação para o
aluno ao resolver (tentar) um problema.
A análise de erros em Matemática, então, pode ser entendida como uma metodologia
de pesquisa, um processo que viabiliza conhecimentos sobre o modo como pensam nossos
alunos; as práticas pedagógicas, sob esta concepção de analisar o que o aluno errou, podem
modelar e aperfeiçoar nossa metodologia de sala de aula.
2.1.1 A análise de erros nos números decimais
A análise de erros é uma metodologia de investigação utilizada por muitos
pesquisadores para fins de mostrar a importância de se conhecer o erro do aluno no sentido de
buscar uma metodologia de ensino que objetive minorar tais erros. A título de ilustração, cita-
se nesta dissertação o trabalho do pesquisador Viola dos Santos que trabalhou uma
investigação utilizando a análise de erros.
Nos estudos de Viola dos Santos (2007), este procurou refletir sobre os conhecimentos
que os alunos demonstravam saber, por meio da análise de sua produção escrita em
Matemática. O autor desenvolveu um estudo de natureza qualitativa, no qual analisou 147
avaliações de Matemática, exclusivamente de questões abertas, acompanhando todo o
processo de resolução dos alunos que cursavam a 4ª e 8ª série do Ensino Fundamental e 3º do
Ensino Médio.
Viola dos Santos (2007), em suas argumentações, critica o modo como professores
analisam as avaliações de seus alunos, afirmando que é muito comum um professor atribuir
uma nota zero para o estudante que apresenta apenas a resposta (uma resposta correta); no
imaginário docente, o professor é levado a crer que apenas com a resposta do aluno, sem
apresentar os cálculos, não é possível concluir que os estudantes de fato desenvolveram algum
processo de raciocínio para finalizar a questão:
16
O professor atribui zero à questão, sob a alegação de que sem os cálculos não dá
para saber se o aluno aprendeu ou não o conteúdo. Igualmente usual é atribuir zero a
uma questão na qual o aluno apresenta os cálculos e a resposta, ou seja, resolve toda
a questão, mas utiliza dados retirados erroneamente do enunciado, pois muitas
vezes, o professor só olha o resultado final. Em outras situações, o aluno desenvolve
uma estratégia diferente daquela ensinada pelo professor em sala de aula, fazendo
relações que o próprio professor por vezes nem imaginava, mas, se por um mero
descuido erra algum sinal e sua resposta fica equivocada, toda a resolução é
considerada errada. (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p. 15)
Situações como essas são corriqueiras no nosso cotidiano, transparecendo que o
professor não leva em consideração o modo como o aluno “pensou” no problema,
considerando apenas as respostas esperadas ou a repetição de seu processo de resolução, ora
ensinado de modo mecanizado, caracterizando assim uma educação baseada no “certo/errado”
ou “aprovado/reprovado”.
Viola dos Santos (2007, p. 15) diz que é perfeitamente possível “por meio da produção
escrita dos alunos, compreender como eles lidam com as questões abertas de matemática”,
dessa forma podendo o professor entender como eles interpretam os problemas propostos,
bem como as estratégias e procedimentos adotados para tentar resolver o problema.
Sendo assim, o autor chama a atenção para o fato de que, quando se assume a
avaliação como um instrumento de investigação da aprendizagem dos alunos, é necessário
“um olhar diferenciado” sobre os erros de cálculos que os alunos apresentam no decorrer da
questão, pois os erros desempenham um papel constitutivo no processo de aprendizagem,
fornecendo informações sobre como os estudantes desenvolvem suas linhas de pensamento
para tentar resolver determinada atividade: “Como se pode ver, não é novo o olhar positivo
sobre o ´erro`, mas é antiga a visão dos professores frente à sua significação”. (VIOLA DOS
SANTOS, 2007, p. 23).
A abordagem metodológica desenvolvida por Viola dos Santos (2007) foi de cunho
qualitativo, com foco na análise textual discursiva, que é uma modalidade de estudo
amplamente difundida por Moraes (2003) por ser “uma abordagem de análise de dados que
transita entre duas formas consagradas de análise de pesquisa qualitativa, que são a análise de
conteúdo e a análise de discurso”. (MORAES, 2003, apud VIOLA DOS SANTOS, 2007, p.
45)
Os dados de estudos de Viola dos Santos (2007) foram retirados da Prova de Questões
Abertas de Matemática da Avaliação Estadual de Rendimento Escolar do Paraná – PR, que foi
aplicada no ano de 2002; a amostra correspondia à produção escrita dos alunos que estavam
cursando 4ª e 8ª série do Ensino Fundamental, bem como a 3ª série do Ensino Médio. O autor
comenta como chegou ao cálculo da amostra, por sistematização:
17
Sendo impossível analisar em um prazo de dois anos essa quantidade de provas, foi
realizada uma amostra por conveniência dessas 1047 provas. Para compor essa nova
amostra, foram retiradas as provas dos alunos das três séries que não estavam com a
relação idade/série adequada, aquelas que continham alguma questão sem resolução
- em branco. Com isso, por meio de um processo de amostragem sistemática,
aplicada a cada uma das séries, foram selecionadas 147 provas, sendo 50 provas da
4ª série, 53 da 8ª série do Ensino Fundamental e 44 da 3ª série do Ensino Médio.
(VIOLA DOS SANTOS, 2007, p. 48)
O primeiro passo da análise das resoluções dos alunos estabelecido por Viola dos
Santos (2007) foi a catalogação das provas por resoluções semelhantes, formando seis grupos
de avaliação da produção escrita dos estudantes, por série, levando em conta todos os detalhes
de resolução por eles apresentados “Cada operação, rabisco, observações deixadas pelos
alunos, ou seja, toda a produção escrita dos alunos em cada prova foi detalhadamente
descrita” (p. 49)
O autor acredita que, por meio desta análise, pode ter uma visão mais ampla sobre
como os estudantes interpretam os enunciados das questões e, assim, pode inferir sobre as
informações contidas nas resoluções destes; o pesquisador se preocupa em não caracterizar
“negativamente” a resolução do aluno:
Neste estudo, estamos sempre caracterizando a efetiva produção escrita que foi
encontrada nas provas, e não o que faltou a ela. Tentamos não caracterizar os alunos
pela falta, ou seja, evitamos afirmações tais como esse aluno não sabe tal
procedimento, aquele aluno não interpretou corretamente. Porquanto nossos dados
foram retirados da produção escrita dos alunos, acreditamos que não podemos dizer,
por exemplo, que eles não sabem tal coisa apenas pelo fato de não a termos
encontrado nas provas. O fato de um aluno não usar uma estratégia para resolver o
problema não garante que ele a desconheça. (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p 21)
Para cada grupo de avaliação, o autor estabeleceu os seguintes campos de análise,
denominados por ele de agrupamentos:
a) das estratégias adotadas pelos alunos;
b) do pensamento e da atividade algébrica;
c) dos problemas construídos a partir do enunciado da questão;
d) dos conteúdos matemáticos que os alunos mostram saber.
No agrupamento das estratégias, Viola dos Santos (2007) analisou uma mesma
pergunta que foi aplicada na 4ª, 8ª séries e 3º ano, apresentada a seguir:
- Um carteiro entregou 100 telegramas em 5 dias. A cada dia, a partir do primeiro, entregou
7 telegramas a mais que no dia anterior. Quantos telegramas entregou em cada dia?
Para as provas de 4ª série o pesquisador observou que os alunos apresentaram algumas
falhas na interpretação textual:
18
Nas provas da 4ª série encontramos um número muito elevado de resoluções que
parecem apresentar uma interpretação do enunciado da questão diferente da
considerada correta. Nossa análise indica que o grande problema está na
interpretação da segunda frase. Apenas 6 alunos responderam a questão
corretamente, entretanto muitos alunos construíram uma estratégia de resolução,
diferente da considerada correta, e apresentaram uma resposta. Com isso, inferimos
que provavelmente esses alunos acreditaram que estavam resolvendo a questão da
maneira correta. (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p. 55)
Nas provas de 8ª série, os estudantes conseguiram aumentar a quantidade de
estratégias corretas para resolução da questão proposta:
Já nas provas da 8ª série, percebemos que os alunos tiveram menos variedade de
interpretações para o problema e que o número de estratégias consideradas corretas
para a questão aumentou consideravelmente. Eles também fazem mais conexões
com as informações contidas na segunda frase, o que demonstra interpretações mais
completas. (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p. 75)
E como já era esperado, os alunos do 3º ano do Ensino Médio foram os que mais
acertaram a questão proposta, embora fossem aqueles que apresentaram o menor número de
estratégias pré-estabelecidas para a resolução:
Os alunos da 3ª série do Ensino Médio foram os que tiveram o menor número de
diversidade de interpretações para o enunciado da questão. Eles, como era de se
esperar, foram os que mais acertaram. Temos um grande número de alunos no grupo
7, o qual é caracterizado pelas resoluções consideradas corretas. Entretanto, não há
muitos registros nas provas de conteúdos, que geralmente são trabalhados na 3ª série
do Ensino Médio, utilizados nas estratégias de resolução. (VIOLA DOS SANTOS,
2007, p. 75)
Em suas análises, o autor verificou que “[...] com o aumento da escolaridade dos
alunos a diversidade de suas interpretações, diferentes da considerada correta, vão diminuindo
e, com isso, o número de alunos que constroem resoluções, da maneira considerada correta,
vai aumentando” (p. 75), inferindo desta forma que, ao passarem de uma série a outra mais
adiante, os alunos vão construindo uma cadeia de conhecimentos para usarem na resolução
correta da questão.
Em termos numéricos e do ponto de vista algébrico, os alunos de 4ª série criaram 32
estratégias de resolução, enquanto que os alunos de 8ª série conseguiram 25 estratégias e os
alunos do 3º ano do Ensino Médio produziram 13 estratégias de resolução, mostrando essa
tendência de queda nas estratégias conforme exposta anteriormente, porém, aumentando a
quantidade de questões resolvidas de forma correta.
No agrupamento do pensamento e da atividade algébrica, o autor associa o
pensamento algébrico dos alunos à “[...] expressão de um processo que envolva alguma
19
relação entre estruturas algébricas por meio de ações sintáticas, que sigam regras
procedimentais, formais e semânticas” (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p.79), no sentido de
atribuir sentido lógico na passagem de uma estrutura para outra, a fim de que o estudante
consiga fazer uma interpretação do problema de modo a resolvê-lo.
Assim, o pesquisador escreve, sobre a questão analisada (do carteiro que entregava
telegramas), que sua elaboração oferece um contexto para que o aluno consiga relacionar suas
estruturas algébricas, possa interpretar a questão e resolvê-la:
O enunciado oferece um contexto para os alunos estabelecerem algumas relações
entre estruturas aritméticas para encontrar a resposta. É necessário que os alunos
identifiquem a idéia de recorrência, por meio das informações da segunda frase do
enunciado da questão, para que a resolvam da maneira considerada correta. Assim,
será possível identificar o pensamento algébrico nas produções escritas dos alunos,
de maneira mais sofisticada e gradativa, a medida que as inter-relações entre
estruturas aritméticas forem expressas nas suas resoluções tendo a idéia de
recorrência presente. Iremos apresentar alguns exemplos para ilustrar essas
considerações sobre o pensamento algébrico. (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p. 79)
De modo mais simples, o pesquisador quis dizer que a questão analisada é de fácil
compreensão para quem pretende resolvê-la. Nas observações feitas junto às avaliações dos
alunos, Viola dos Santos verificou que, do total de provas verificadas, 39 delas se
caracterizavam por não apresentar o pensamento algébrico, evidenciando ausência de relação
entre as estruturas algébricas:
Nessas provas os alunos, geralmente, utilizaram o algoritmo da divisão para
encontrar o número de telegramas que o carteiro entregou nos 5 dias. De um
contexto, o enunciado da questão, o aluno identifica uma estrutura, o algoritmo da
divisão, e por meio dela, apresenta uma resposta. Entretanto essa ação, tanto
sintática quanto semântica, origina-se apenas de uma interpretação da primeira frase
do problema. Não há registros de uma inter-relação de interpretações e estruturas
aritméticas nesse grupo, e por isso não se caracteriza a presença do pensamento
algébrico. (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p. 80)
Em relação ao agrupamento do enunciado da questão, o pesquisador Viola dos Santos
observou que, mesmo com um enunciado simples, os alunos foram levados a desenvolver
estratégias que desencadearam um processo de resolução equivocado da questão:
Ao analisarmos a produção escrita, percebemos que muitos alunos construíram
interpretações e elaboraram estratégias a partir do enunciado da questão, diferentes
das consideradas corretas. Como nossa questão exige uma inter-relação entre as
informações contidas em suas frases para resolvê-la, encontramos vários tipos de
resoluções, das quais inferimos que os alunos constituíram uma outra questão. Há
uma interpretação e resolução que é considerada correta, tanto pelas normas da
Língua Portuguesa quanto da Matemática, e acreditamos, obviamente, que nossos
20
alunos devem se apropriar desse modo de resolver à questão. Entretanto, por meio
de nossas análises, inferimos que os alunos não fizeram as mesmas interpretações
para as informações contidas nas frases da questão. Com isso, a questão resolvida
por eles não foi a mesma, pensada pelos organizadores da prova. Assim, se
admitirmos que nossos alunos resolveram uma questão diferente da considerada
correta, não podemos tecer considerações sobre suas resoluções apenas tomando por
base a interpretação e a resolução considerada correta, mas sim segundo aquela que
o aluno interpretou e resolveu.(VIOLA DOS SANTOS, 2007, p. 87)
Em relação aos conteúdos matemáticos que os alunos demonstram saber, os resultados
da pesquisa de Viola dos Santos (2007) apontam que, de maneira geral, os alunos não usam os
conteúdos das suas respectivas séries para resolver os problemas propostos:
Poucos foram os alunos que utilizaram um conteúdo especifico da sua série para
resolver a questão. Entretanto, isso não significa que eles não sabem tais conteúdos,
pois o fato de não encontrarmos registros desses conteúdos na produção escrita, não
implica em um desconhecimento por parte dos alunos. (VIOLA DOS SANTOS,
2007, p. 92)
O autor finaliza seu trabalho falando acerca da importância da análise de questões por
meio de registros escritos nas provas dos alunos:
Por meio dos registros escritos dos alunos é possível inferir sobre seus modos de
interpretar o enunciado da questão, bem como analisar as estratégias elaboradas e os
procedimentos utilizados. Este trabalho mostra que os alunos em sua grande
maioria, interpretam o enunciado da questão linearmente e elaboram suas estratégias
de acordo com essa interpretação, conectando passo a passo alguns procedimentos e
apresentam ao final uma resposta. Será que na escola acontece uma discussão das
interpretações que os alunos fazem e de como se espera que interpretem o enunciado
de uma questão? Os alunos mostram ter algum domínio, com pouquíssimas
exceções, dos procedimentos matemáticos que aprenderam na escola, porém fazem
interpretações diferentes das consideradas corretas para o enunciado da questão.
Com isso, eles constroem problemas diferentes a partir do enunciado da questão
dada e os resolvem de uma maneira considerada correta. (VIOLA DOS SANTOS,
2007, p. 97)
Neste sentido, o estudo deste pesquisador tem relação com a pesquisa proposta nesta
dissertação, uma vez que as análises aprofundadas sobre o modo de resolver uma questão
passam pela produção escrita dos estudantes, que é objeto de estudo deste trabalho, pois o erro
do aluno, ao resolver a questão, nos leva a refletir sobre como ele desenvolveu seu raciocínio
quando em contato com a atividade.
2.2 OS NÚMEROS DECIMAIS E A DIVISÃO
2.2.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais e os Livros Didáticos
21
Uma breve revisão dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para a área da
Matemática (BRASIL, 1998) aponta que o objetivo do trabalho com números decimais no 6º
ano do Ensino Fundamental (antiga 5ª série) é fazer com que o aluno compreenda o nosso
sistema de numeração decimal, além da caracterização dos números decimais, tendo como
base situações-problemas que motivem a investigação dos alunos, operando assim com a
linguagem matemática pertinente, estabelecendo relações com as representações do mundo do
cálculo e a realidade que nos cerca.
Dominar o sistema de numeração decimal é a base fundamental para que o aluno, nas
séries posteriores, seja capaz de aplicar esse conhecimento na resolução dos inúmeros
problemas que envolvem os números decimais, pois estes são elementos da realidade que o
cerca; assim, a resolução de problema constitui, para os PCN, o ponto de partida no sentido de
construir o processo de ensino e aprendizagem dos alunos:
Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de
informações, educadores matemáticos apontam a resolução de problemas como
ponto de partida da atividade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de
que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações
desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.
Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro
papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de
aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. (BRASIL, 1998,
p. 39)
Neste sentido, pode-se verificar que, embora educadores tenham convicção de que o
sucesso do processo de ensino-aprendizagem em Matemática passa obrigatoriamente pela
condução do aluno em um mergulho nas resoluções de problemas, muitos docentes ainda não
conseguiram se livrar das amarras do ensino tradicional e adentrar no mundo contemporâneo,
no qual se vê uma Matemática prática em detrimento da abstrata. Para os PCN:
A prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica
e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar
o que lhes foi ensinado. Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema
significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que
aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o professor explora na atividade
matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições,
técnicas e demonstrações.
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos,
possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para
gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão
oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos
matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática,
do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. (BRASIL, 1998, p.40)
22
No que tange ao Conjunto dos Números Racionais, os PCN (BRASIL, 1998, p. 66)
recomendam que, no 6º ano, o professor trabalhe principalmente a exploração de significados
desse importante conjunto numérico: “O estudo dos números racionais, nas suas
representações fracionária e decimal, merecem especial atenção no terceiro ciclo, partindo da
exploração de seus significados, tais como: a relação parte/todo, quociente, razão e operador”.
Os PCN também orientam que o trabalho com números racionais na forma de
decimais é um facilitador do processo de ensino-aprendizagem junto aos alunos, desde que
estejam vinculadas a situações de sua familiaridade:
O estudo do cálculo com números racionais na forma decimal pode ser facilitado se
os alunos forem levados a compreender que as regras do sistema de numeração
decimal, utilizadas para representar os números naturais, podem ser estendidas para
os números racionais na forma decimal. Além disso, é importante que as atividades
com números decimais estejam vinculadas a situações contextualizadas, de modo
que seja possível fazer uma estimativa ou enquadramento do resultado, utilizando
números naturais mais próximos. Como, ao tentar encontrar o valor da área de uma
figura retangular que mede 7,9 cm por 5,7 cm o aluno pode recorrer à estimativa
calculando mentalmente um resultado aproximado (8 x 6) que lhe pode dar uma
razoável referência para conferir o resultado exato, obtido por um procedimento de
cálculo escrito. (BRASIL, 1998, p.103).
Espinosa (2009) reflete que os PCN orientam para uma construção de conhecimentos
em torno de números decimais com base na agregação de conteúdos do conjunto dos
racionais, a fim de tornar o processo de aprendizado mais simples e significativo para o aluno:
Na perspectiva de relacionar o número racional com número decimal, os PCN’s
consideram um equívoco o tratamento isolado entre esses conteúdos. Observando
que as representações fracionárias são bem menos frequentes no cotidiano do que a
representação decimal, segundo os PCN’s, as representações fracionárias têm suas
vantagens na resolução de problemas e cabe ao aluno saber qual a melhor
representação para utilizar. Por exemplo, as dízimas periódicas, são mais bem
representadas pela forma fracionária, pois a fração representa uma quantidade exata
do número, e se utilizarmos a forma decimal do número com um número infinito de
casas à direita da vírgula, a dízima fica aproximada, não representando a quantidade
exata como na fração (ESPINOSA, 2009, p. 20)
Van de Walle (2009, p. 362, apud PEREIRA, 2011, p. 20) apresenta algumas ideias
acerca dos números decimais:
Os números decimais nada mais são do que outra forma de representar frações;
• O sistema numérico de base dez estende-se infinitamente para valores minúsculos
e também para valores gigantescos;
• A vírgula decimal é uma convenção desenvolvida para indicar a posição das
unidades. Em países de língua inglesa, adota-se o ponto ao invés da vírgula;
• As porcentagens nada mais são que centésimos e, por isso, são um terceiro modo
de escrever frações e decimais;
23
• A adição e subtração de números decimais estão baseadas na adição e subtração de
números inteiros;
• A multiplicação e divisão de números independem da posição da vírgula. Os
cálculos podem ser realizados com números inteiros, posicionando vírgula decimal
por meio de estimativa.
2.2.1.1 Os livros didáticos de Matemática
Em seu apanhado histórico, a história do livro didático de Matemática evidencia que
este acompanhou o pensamento pedagógico brasileiro, conforme verificado em Rosas (2008).
Em tempos mais antigos, como a década de 70, por exemplo, o livro de Matemática estava
atrelado ao ensino tecnicista; conta a pesquisadora que, nesta década, “a matemática do livro
didático não dialogava com a realidade do professor e muito menos do estudante” (p. 47),
assim, o ensino presente nos livros era mecânico e descontextualizado.
Pela década de 80, com o pensamento construtivista de Piaget, Rosas (2008) mostra
que, na Matemática, passou-se a valorizar o raciocínio lógico, embora os livros didáticos
ainda apresentassem influência tecnicista, sendo inclusive taxados por muitos estudiosos da
época como uso desaconselhável para a nova demanda de ensino da Matemática que fazia o
aluno “pensar”.
Nos anos 90, Rosas (2008) escreve que muitos movimentos da área de Matemática,
preocupados com os processos de ensino-aprendizagem desta disciplina, começaram a “notar”
um despreparo docente quando do uso do livro didático; isso motivou um debate maior sobre
a didática da Matemática envolvendo professores, pesquisadores, alunos e os livros didáticos:
Neste momento, dois fatores influenciaram a produção dos livros didáticos. Um
deles foi o movimento da didática da matemática, que tem por eixo principal a
resolução de problemas. Sai de foco a técnica e entra a compreensão da situação-
problema, dos processos de ensino e aprendizagem. Assim, as situações-problemas
devem ser desafiadoras, interessantes e contextualizadas. Os alunos precisam
entender o problema, descobrir que conceitos/saberes serão necessários para resolver
esse problema e efetuar a estratégia de resolução mais adequada. Na concepção
tecnicista, primeiro se explora exaustivamente a técnica para depois aplicá-la na
resolução. Na didática da matemática, se explora no início a compreensão do
problema para em seguida sistematizar a técnica. (ROSAS, 2008, p. 47)
O que temos observado é que os livros didáticos têm continuamente se adaptado às
demandas da atualidade, buscando acompanhar os modelos de ensino que permeiam a
educação contemporânea; além disso, o rigor do MEC no sentido de selecionar livros que
atendessem aos critérios do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) fizeram com que
os novos livros se modernizassem com propostas inovadoras e contextualizadas.
24
Sobre o PNLD, Rosas (2008) escreve que:
O PNLD (Plano Nacional do Livro Didático), criado em 1985 somente com o
objetivo de adquirir e distribuir os livros didáticos para todos os alunos do Ensino
Fundamental das escolas públicas do Brasil, gratuitamente, passou a ter então, a
partir dos anos 1990, papel marcante na análise dos livros didáticos. O PNLD
organizou, assim, uma comissão composta por especialistas de cada área de
conhecimento para avaliar os livros didáticos destinados ao Ensino Fundamental.
Dessa forma, todas as obras foram submetidas a uma avaliação criteriosa que
resultou, em 1996, na publicação do Guia do Livro Didático. Esse guia teve a
finalidade de orientar a escolha do livro didático pelos professores, uma vez que
continha informações sobre as obras avaliadas. Nesse guia os livros foram
classificados em recomendados, recomendados com ressalvas e recomendados com
distinção. Os professores só puderam escolher obras contidas no guia. Atualmente, a
classificação não é explicitada no guia do livro didático. (p. 50)
Uma análise inicial de quatro livros didáticos que apresentam o conteúdo de números
decimais foi realizada pela proponente do presente estudo, tendo sido escolhidos os que são
usados na escola em que a pesquisa foi realizada; o objetivo da análise foi verificar como os
números decimais são apresentados e como é abordada a questão da divisão de decimais
nesses livros.
O primeiro livro analisado foi o “Aplicando a Matemática” dos autores Reis e
Carvalho (2006) indicado pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNDL), com uso entre
os anos de 2008 a 2010. O volume deste livro para o 6º Ano (antiga 5ª série do Ensino
Fundamental) apresenta em seu capítulo 1, “Uma visita ao mundo dos números”, uma
explanação geral sobre a Matemática e tem uma seção especial sobre os números decimais,
abordando as quatro operações fundamentais. A metodologia sugerida para o ensino de
decimais resume-se em trabalhar maciçamente a associação decimais e sistema monetário
nacional, todos os exercícios contextualizados apresentam questões com problemas
envolvendo a moeda nacional.
A metodologia da divisão de decimais, apresentada em Reis e Carvalho (2006), é com
base na multiplicação e divisão por potência de base 10, trabalhando o deslocamento da
vírgula, como segue no exemplo seguinte retirado do livro:
- Silvia combinou que as 10 pessoas dividirão entre si os custos da comida da festa de
aniversário. Para ajudar nas contas, ela fez a seguinte tabela em centavos, e em reais e
centavos:
25
Quadro 01 – Planilha de atividade de divisão de decimais
Item Centavos Reais e centavos
Custo total Custo por pessoa Custo total Custo por pessoa
Brigadeiro 2450 centavos 245 centavos R$ 24,50 R$ 2,45
Sorvete 1520 centavos 152 centavos R$ 15,20 R$ 1,52
Salgadinho 1870 centavos 187 centavos R$ 18,70 R$ 1,87
Fonte: Adaptado de Reis e Carvalho (2006, p. 43)
O livro, de forma didática, motiva os alunos a analisarem o que acontece com as duas
últimas colunas do quadro, esperando que os alunos observem que há um reposicionamento
da vírgula de um valor para o outro. A sequência didática do livro apresenta essa divisão para
10, 100 e 1000 sem, no entanto, associar à formação do algoritmo da divisão. Logo em
seguida o livro traz uma sequência de atividades contextualizadas e com temas que vão de
sistema monetário (amplamente a maioria), sistema de medidas e sistema de numeração.
Os números decimais são novamente trabalhados neste livro no capítulo 3, com as
frações decimais; neste bloco, Reis e Carvalho (2006) de fato trabalham com o algoritmo da
divisão D = pq + r, porém, da forma usual para a série, ensinando inicialmente o passo-a-
passo para os alunos, como segue no exemplo abaixo:
Figura 01 – Algoritmo da divisão
Fonte: Reis e Carvalho (2006, p. 42)
O algoritmo é explicado pelos autores do livro e, para motivar a resolução, a questão
vem precedida de uma situação da vida cotidiana. O livro segue uma sequência de outros
exemplos de divisão e massifica o uso do algoritmo da divisão de decimais nos exercícios
com questões aritméticas e questões contextualizadas.
As operações com decimais voltam a ser discutidas no livro nos capítulos 5, “Medidas
e Funções”, e no 9, “Analisando informações”, trabalhando novamente a divisão em diversas
questões. O livro demonstrou ser didático e procurou valorizar o cotidiano dos alunos com
problemas de situação real.
26
O segundo livro analisado, dos autores Imenes e Lellis (2005), tem como título
“Matemática para Todos” e assim como o livro anterior, este também já foi indicado pelo
PNLD, nos anos de 2006 a 2008.
O livro de Imenes e Lellis (2005) para o 6ª ano do Ensino Fundamental (antiga 5ª
série) aborda os números decimais no seu capítulo 1, “Um panorama da Matemática”, onde
trata o tema apenas com atividades e não faz nenhum aprofundamento sobre a divisão de
decimais, mas recomenda o uso da calculadora de forma didática para o aluno. Nesse capítulo,
introdutório, o livro dá mais importância para a soma e subtração de decimais, em detrimento
da multiplicação e divisão; além disso, não possui sequencia didática motivadora nesse
primeiro capítulo.
Os números decimais são mais aprofundados no capítulo 8, “Medidas e números
decimais”; para explicar a multiplicação e divisão, Imenes e Lellis (2005) também recorrem
ao recurso inicial de se trabalhar com potências de base 10, elaboram uma sequência didática
para explicar a divisão e a passagem da vírgula, sem no entanto utilizarem a motivação
monetária nacional. Os autores recorrem às “tirinhas” (historinhas rápidas em quadrinho) para
aguçar as ideias dos alunos. É possível verificar, na lista dos exercícios, questões de diversos
tipos como: pesos, medidas, temperaturas e sistema monetário. Demonstra ser mais bem
diversificado do que o livro anterior na questão de exercícios, embora não pareça ser tão
didático quando o outro.
Ainda em Imenes e Lellis (2005), os números decimais não são abordados no estudo
de porcentagem e também não o são no conteúdo de Estatística; os autores optaram por
trabalhar com números inteiros nesses dois temas. Em relação ao conteúdo de frações
decimais, o livro não aborda o tema, pois trabalha somente adição e subtração de frações
ordinárias, mostrando ser um livro com poucos e resumidos conteúdos, se comparados ao
livro anterior.
Em geral os livros observados seguem as recomendações dos PCN e apresentam o
conteúdo de números decimais em pelo menos dois capítulos; além disso, foi verificado que
fazem uso constante do sistema monetário nacional para justificar os números com vírgulas e
conexões com alguns sistemas de medidas familiares dos alunos, como metro e centímetro.
Quanto à operação divisão de números decimais, os livros apresentam breve
explicação do algoritmo acompanhado de uma sequência de exercícios de cálculos, além de
problemas envolvendo operações financeiras e outras aplicações, de modo que o aluno possa
resolver problemas de divisões a partir de situações cotidianas.
27
Outro livro analisado foi o do autor Bigode (2000) que também tem suas obras
avaliadas pelo PNLD. Neste livro, da 5ª série (atual 6º ano), observou-se que o conteúdo de
números decimais é apresentado no 12º Capitulo, que vem precedido dos demais temas
correlatos que são pré-requisitos para o ensino de decimais, quais sejam: operações
aritméticas, múltiplos e divisores, números primos e frações.
O autor procura abordar o conteúdo de números decimais de forma mais didática
possível, para tanto começa o capítulo 12 falando sobre a grande utilidade dos números
decimais no cotidiano: “Entre os vários tipos de números que fazem parte do nosso dia-a-dia,
os números escritos com vírgula estão em quase todos os lugares. Veja alguns exemplos: nas
manchetes de jornais, no visor das calculadoras, nos extratos bancários” (BIGODE, 2000, p.
217). O autor mostra as seguintes figuras para ilustrar suas palavras:
Figura 02 – As várias aplicações de decimais no cotidiano
Fonte: Bigode (2000, p. 222)
Na sequência, Bigode (2000) procura fazer a conexão entre os números fracionários e
os números com vírgula, explicando que a notação no formato decimal é outra forma de se
representar tipos especiais de frações, aquelas que possuem denominador que pode ser
representado por potência de base 10.
28
Figura 03 – Conexões entre frações e números com vírgulas
Fonte: Bigode (2000, p. 223)
As frações decimais são de fato o ponto de partida para o autor entrar no conteúdo
propriamente dito. Bigode trabalha inicialmente as frações com transformações básicas de
denominadores 10 e 100 para o formato com vírgula, como, por exemplo, a representação
que, na representação decimal, assume a forma de 0,2 e assim sucessivamente. As explicações
do autor são sucintas e bem didáticas, e também mostra o processo inverso, saindo da
representação decimal para a fracionária, o que deixa o conteúdo bastante simples e de fácil
entendimento.
Continuando a dinâmica de apresentação dos conteúdos, Bigode também faz uso do
recurso geométrico para consolidar as representações de números decimais, como no esquema
seguinte, onde a figura parcialmente pintada (de cor rosa) representa a fração decimal que
possui forma decimal 0,37 e a figura subsequente representa um todo com 100 quadradinhos
pintados e retira-se uma barra com 10 quadradinhos que equivale a cuja forma decimal é
0,1.
29
Figura 04 – Uso da Geometria para explicar os números decimais
Fonte: Bigode (2000, p. 224)
A primeira lista de exercícios do livro de Bigode segue uma sequência de questões
aritméticas sem contextualizações. Após os exercícios, o autor aprofunda o conceito e
representação de decimais utilizando o recurso da geometria. São marcas presentes as figuras
geométricas e os desenhos de personagens explicando o conteúdo. A segunda lista com
exercícios é mais atrativa para o aluno, pois trabalha os decimais do ponto de vista
geométrico, como mostra um exemplo na imagem seguinte:
Figura 05 – Aplicações de decimais na forma geométrica em atividades do livro de Bigode
Fonte: Bigode (2000, p. 227)
30
Para ensinar a comparação de decimais, o autor recorre novamente à geometria e, em
seguida, trabalha com o posicionamento de números decimais na reta numérica. As operações
aritméticas são trabalhadas com personagens explicando os algoritmos e reforçadas com o uso
intensivo da geometria em formas de quadrados e retângulos que representam os decimais.
Figura 06 – Comparação de decimais
Fonte: Bigode (2000, p. 229)
Os exercícios que envolvem as operações de adição e subtração são bastante
diversificados, com questões aritméticas contextualizadas, versando sobre vários temas do
cotidiano tais como: situações-problemas, recortes de jornais e revistas, tabelas estatísticas,
sistema financeiro, etc.
No que tange à multiplicação e divisão, Bigode (2000) trabalha explorando o uso da
calculadora como ferramenta de apoio ao ensino do professor; esse bloco é composto por um
tutorial (explicitado por um personagem) sobre como explorar a calculadora para resolver
problemas do cotidiano, como preços de objetos e alimentos, porém, o livro é pobre em
ensino do algoritmo tanto da multiplicação quanto da divisão.
O último livro analisado pertence ao autor Dante (2010) e também faz parte dos livros
recomendados pelo PNLD. Nessa obra, o autor posiciona o conteúdo de números decimais,
assim como os demais autores, após o estudo das operações aritméticas e frações em gerais; o
31
diferencial, neste caso, é que o autor trabalha o conteúdo de porcentagem junto com frações,
antecedendo aos decimais.
Conforme se verifica no livro, Dante (2010) introduz o tema “decimais” mostrando
como algumas formas numéricas estão presentes em nosso dia e usa a estatística para
exemplificar isso ao aluno; recorrendo à geometria espacial para ensinar as representações
decimais, o autor cita o material dourado:
Figura 07 – Representações decimais na forma geométrica
Fonte: Dante (2010, p. 171)
Dante procura ser dinâmico e exemplifica a representação decimal com aplicações do
dia a dia, como é o caso do uso dos termômetros; o autor explica o funcionamento e o
procedimento para fazer a correta medição da temperatura: “[...] nos termômetros, cada grau é
subdividido em 10 partes iguais, ou seja, cada parte corresponde a um décimo do grau”.
(DANTE, 2010, p. 175)
Figura 08 – Decimais no cotidiano, exemplificado por Dante, o termômetro e os decimais
Fonte: Dante (2010, p. 175)
32
O autor explora o conteúdo de decimais de diversas formas, recorre sempre ao uso de
figuras bem produzidas, imagens do cotidiano, levando o conteúdo para alguma aplicação no
dia a dia do aluno. O uso de moeda financeira corrente também se faz presente nesta obra.
Os exercícios que o autor trabalha também são de formas variadas, de questões
aritméticas rotineiras até o uso de questões aplicadas, como mostra a figura seguinte, em que
Dante trabalha números decimais com notação científica:
Figura 09 – Exercícios de Dante com aplicações para decimais
Fonte: Dante (2010, p. 185)
No que tange à divisão de decimais, Dante (2010) trabalha esta operação explicando
primeiramente o algoritmo da divisão, dividindo números naturais que tenham como resultado
um número decimal. Na sequência, o autor ensina a fazer transformação de frações em
números decimais, além disso, faz comentários sobre a questão da divisão decimal exata e o
surgimento de uma dízima periódica.
Figura 10 – Divisão de natural por natural com resultado decimal
Fonte: Dante (2010, p. 193)
33
Dante completa o ciclo de ensino de divisão de decimais explicando, sempre de forma
didática, sobre os processos que envolvem divisão de número natural por número decimal e
número decimal por número decimal, mostrando as regras práticas e dinamizando o ensino
com figuras, aplicações e uma vasta sequência de exercícios.
Em geral, os livros aqui analisados estão em consonância com os resultados dos
estudos de Rosas (2008), que também analisou vários livros, verificando que,
fundamentalmente, para serem considerados didáticos, tais livros devem conter “definições,
tabelas e explicações que podem auxiliar na compreensão dos conceitos matemáticos, além de
situações problemas, exercícios e leituras que podem estimular a reflexão dos conceitos” (p.
55). Cabe ressaltar que o livro é um recurso didático a mais que o professor vai utilizar no
desenvolvimento de suas aulas; obviamente o docente deve usá-lo de forma habilidosa,
explorando todo o potencial deste material e instigando os alunos a mergulhar nos conteúdos
que o livro apresenta.
2.2.2 Algumas pesquisas sobre ensino de decimais
As dificuldades que os alunos evidenciam ao efetuarem a divisão de números decimais
se confundem com a própria dificuldade que eles têm de fazer as demais operações desse
grupo especial dos racionais; assim, basta que tenha uma vírgula e alguns dígitos depois dela
para que se crie um mundo de confusão na cabeça de nossos alunos.
A esse respeito, Sá e Jucá (2006) nos dizem que estudos vêm sendo desenvolvidos no
Brasil com o objetivo de analisar o processo de compreensão e execução das operações
envolvendo decimais por parte dos alunos. A esse respeito, Cunha (2002, p. 14, apud SÁ;
JUCÁ, 2006, p. 1) comenta que “[...] um dos obstáculos é que o aluno visualiza os números
decimais como justaposição de números naturais separados por vírgulas, portanto constituem
obstáculos epistemológicos na aprendizagem dos números decimais”, e neste caso
percebemos que o aluno não aceita a quebra da unidade.
Na opinião de Sá e Jucá (2006, p. 02),
A nossa experiência leva a crer que talvez um dos fatores que dificulte a
aprendizagem dos números decimais esteja relacionado à falta de uma metodologia
adequada que permita ao aluno compreender o significado do que é um número
decimal assim como operar com os mesmos
34
Uma reflexão que podemos fazer sobre a citação acima é que o processo de construção
de significados dos números decimais e suas operações, principalmente a divisão, dependem
muito mais do docente atuando em sala de aula; se ele estiver motivado e disposto a construir
uma metodologia simplificada, porém, de fácil compreensão pelo aluno, as operações
decimais terão um significo rico para os estudantes.
Esteves (2009) reforça que os números decimais, por estarem relacionados com os
sistemas de medidas e o sistema monetário, já fazem parte da vida cotidiana do aluno bem
antes de conhecê-los de forma oficial pela escola; entretanto, ao se depararem com o conteúdo
materializado na disciplina de Matemática, os estudantes apontam certa limitação em operá-
los.
Como justificativa para essa limitação, a pesquisadora argumenta que a maneira como
os alunos trabalham com os números decimais não lhes delega a autonomia de reconhecerem
os conceitos e relações que esse conjunto representa na vida cotidiana. Neste caso, há um
prejuízo no processo de ensino-aprendizagem devido ao fato de o aluno não conseguir
assimilar o conteúdo, relacionando-o a algum conhecimento da vida cotidiana, como o
sistema monetário, por exemplo.
Na opinião dessa pesquisadora, o resgate dos conceitos dos números decimais, dada
sua complexidade em relação ao significado, pode ser obtido, por exemplo, pela simples
relação deles com a moeda corrente usada em nosso país, que cotidianamente é operada pelo
aluno em seu dia a dia:
[...] a formulação de situações de aprendizagem que tivessem como ponto de partida
o conhecimento extraescolar que os alunos possuem em relação ao dinheiro, o
estabelecimento de relações entre a utilização dos decimais no sistema monetário e
seu emprego no sistema de medidas, a discussão das relações entre o sistema de
numeração decimal e os números decimais, a compreensão das relações entre
décimos, centésimos, milésimos e também do zero nas escritas decimais, além da
percepção dos decimais como um tipo particular de frações, vinculando suas
diferentes notações (decimal e fracionária), possibilitariam a reconstrução do
significado dos decimais. Logo, seu estudo propõe mudanças nas práticas
pedagógicas para o ensino dos decimais, mostrando que essas práticas não têm
contribuído para uma aprendizagem efetiva deste conteúdo. (ESTEVES, 2009, p.
48)
Nesse sentido, a pesquisadora reflete que uma aprendizagem significativa no âmbito
dos números decimais requer do docente competência pedagógica para que este possa ser
capaz de romper com o “ensino mecânico”, tendo como referências as três dimensões
seguintes pensadas para o ato pedagógico:
35
[...] um grande desafio é lançado aos professores: promover aprendizagens mais
significativas, o que requer um alto grau de competência pedagógica para que se
possa romper com o modelo tradicional de ensino “memorístico”. Elas assinalam
que o ensino de conceitos matemáticos, particularmente dos números decimais,
envolve três dimensões que precisam ser consideradas ao se analisar a complexidade
do ato pedagógico: a primeira, o saber matemático específico e socialmente
construído (no caso dos sistemas de representação numérico e de medição, é preciso
considerar as particularidades de cada um e suas relações com os números decimais,
por exemplo, o conceito de unidade, fundamental para a compreensão desse
conteúdo, assume natureza diversa, ora numérica, ora de medição); a segunda,
vinculada à anterior, identifica como o professor reorganiza ou reestrutura os
conhecimentos a partir das aprendizagens características de seus alunos; e, por fim, a
terceira dimensão, que envolve a compreensão que os alunos desenvolvem em
situações de aprendizagem específicas. (ESTEVES, 2009, p. 49)
Segundo o que informa a pesquisadora, o ensino de decimais não consegue se
descaracterizar do ensino tradicional mecanizado; por algum motivo, que carece de
investigação científica, o docente demonstra não obter êxito quando da aplicação do processo
de ensino do conjunto dos números racionais, gerando grande insucesso no rendimento dos
alunos, daí a importância de se aplicar uma metodologia pela qual o aprendiz possa de fato
não somente assimilar, mas também utilizar em seu dia a dia.
Outro importante estudo foi desenvolvido por Fonseca (2005), que pesquisou a divisão
com números decimais em alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, que é exatamente o foco
de nosso trabalho. O autor, em seu planejamento de estudo, traçou para seu estudo o seguinte
objetivo: investigar a compreensão que os alunos têm sobre a divisão de números decimais.
A partir do objetivo geral delineado, o pesquisador focou a pesquisa em três pontos
chaves, quais sejam: saber se os alunos conhecem a técnica da divisão de números racionais;
compreender como os alunos utilizam a operação de divisão para resolver questões
contextualizadas; e entender quais as relações que os alunos estabelecem entre dividendo,
divisor e quociente e quais os significados que compreendem sobre os restos parciais na
operação divisão.
Para o teste diagnóstico, Fonseca (2005) utilizou nove questões, sendo quatro delas as
chamadas atividades formais (operações aritméticas), diretamente apresentadas e com
objetivo de saber se o aluno sabe operar com o algoritmo da divisão; e as outras cinco são
questões contextualizadas, com o objetivo de saber se os estudantes utilizam a divisão como
recurso para solucionar os problemas propostos.
As atividades formais que Fonseca propôs foram as seguintes:
36
Figura 11 – Problemas de questões aritméticas propostas por Fonseca (2005)
Fonte: Fonseca (2005, p. 80)
Em um bloco de questões aritméticas, como esse proposto pelo pesquisador, é
esperado que os alunos possam começar a divisão igualando as casas decimais do dividendo e
do divisor e, a partir de então, proceder com as demais passagens que o algoritmo exige que
se faça.
A respeito dos erros dos alunos, queremos aferir se há problema no momento da
colocação tanto da vírgula como do zero no quociente. Por exemplo, na primeira
divisão (item a) podem surgir as respostas: 3,405 ou 3,045, ao invés da resposta
correta 3,45. O fato poderá indicar um processo mecânico de resolução ou a falta de
reflexão por parte do aluno sobre suas ações no momento da resolução. Em relação
ao item “b”, conjeturamos que aparecerão respostas como 2 ao invés de 20.
Levamos tal conjetura diante da pesquisa de Cunha (1997), na qual se apreende que
os alunos transferem suas concepções de divisão dos naturais aos racionais na forma
decimal; no caso, a concepção de que a divisão, deverá resultar em um quociente
menor que o dividendo; o mesmo poderá acontecer no item “c”, acarretando uma
resposta do tipo 0,4. A questão “d” refere-se à divisão de dois números inteiros. A
formulação desta questão tem como propósito investigar como o aluno procede na
resolução dessa divisão: resultados como 1,08 poderão surgir, ao invés de 10,8 – o
resultado correto. O fato pode ocorrer, já que a maioria dos alunos confunde-se
quanto ao momento de colocar a vírgula ou o zero no quociente da divisão.
(FONSECA, 2005, p. 39)
Como exemplo ilustrativo das questões contextualizadas, a figura 03 mostra a questão
de número 02 utilizada por Fonseca na sua linha de estudo; todas as questões contextualizadas
seguem um padrão semelhante, para poder cumprir com os objetivos específicos de sua
pesquisa:
Figura 12 – exemplo de questão contextualizada utilizada por Fonseca (2005)
Fonte: Fonseca (2005, p. 80)
Cada questão contextualizada proposta por Fonseca tem relação com as questões
aritméticas, sendo assim há duas maneiras diferentes de fazer com que o aluno supostamente
use o algoritmo da divisão:
37
Essa questão corresponde ao item “c” da primeira. Esperamos encontrar confusões
quanto à escolha da operação, ou seja, a troca da operação de divisão pela de
multiplicação. O fato revelou-se nas pesquisas de Bell e Greer, citados por Greer
(1992, p. 287) e de Cunha (1997), relatadas neste trabalho. Enquanto aquele levanta
resultados sobre operações escolhidas pelos alunos com base nas grandezas dos
números, esta investiga a concepção de que “divisão sempre diminui”, mesmo
quando os sujeitos trabalham no conjunto dos racionais na forma decimal.
(FONSECA, 2005, p. 39)
Entre os principais resultados da pesquisa, em relação ao primeiro questionamento de
sua investigação, Fonseca (2005) verificou que:
Em relação às dificuldades, constatamos que o erro mais comum foi quanto à
colocação da vírgula no quociente obtido. Se considerarmos o total de 51 erros das
quatro divisões da questão 1, teremos 31 respostas com problemas de
posicionamento ou ausência de vírgula no quociente. Este fato ocorreu pela razão de
que a maioria dos alunos trabalha com divisores como se fossem inteiros, isto é,
ignoram a vírgula dos números decimais. (FONSECA, 2005, p. 82)
Outros erros analisados por Fonseca (2005) emergiram de situações como: dificuldade
de continuar a divisão até obter o resto zero, 13 respostas foram apresentadas como quociente
10 e resto 4 ao invés de quociente 10,8 e resto 0. Logo, sobre o primeiro questionamento, se
os alunos usam o algoritmo da divisão para efetuar contas, o pesquisador conclui:
Dos 24 sujeitos pesquisados, temos 22 alunos que se enquadram nesse critério.
Destes 22 sujeitos: 4 utilizaram a operação de divisão em todas as 5 questões
contextualizadas; 2 sujeitos usaram divisão em 4 questões; 5 alunos usaram esta
operação em 3 questões; 8 alunos o fizeram em 2 questões; 3 usaram divisão apenas
em 1 questão. Dos sujeitos que consideramos que conhecem as técnicas do
algoritmo da divisão (10 alunos), segundo o critério adotado por nós, todos
utilizaram divisão pelo menos em uma questão contextualizada; assim, todos os
alunos que conhecem a técnica utilizam a operação de divisão para resolver questões
contextualizadas. Dentre eles, destacamos: 4 destes alunos utilizaram divisão em
exatamente 2 questões contextualizadas. Tivemos apenas 1 aluno que utilizou
divisão em todas as questões contextualizadas. As questões em que encontramos um
bom número de alunos que recorreram à divisão são: a questão 5, com 17 alunos; a
questão 3, com 13 sujeitos. Essas questões correspondem a problemas partitivos.
Observamos que alguns alunos recorreram a outras operações que não a divisão
como somas ou multiplicações. (FONSECA, 2005, p. 83)
Em relação ao segundo questionamento de pesquisa, sobre como os alunos utilizam a
operação de divisão para resolver questões contextualizadas, o pesquisador inferiu que os
alunos têm uma tendência a resolver as questões igualitárias de valor monetário:
Salientamos ainda que nossa população teve maior êxito nas questões
contextualizadas 5 e 8. Este fato ocorreu provavelmente porque o problema 5
explicita uma divisão igualitária de valor monetário; enquanto à questão 8, embora
38
classificada como divisão quotitiva, trata-se de um problema comum na vida
cotidiana: parcelamento de uma dívida. (FONSECA, 2005, p. 83)
Sobre o segundo questionamento, que se refere ao conhecimento que os alunos têm
sobre divisor, resto e dividendo, as respostas dos alunos evidenciaram que apenas cinco
sujeitos da investigação conhecem de fato a relação D/q = d e conseguiram com êxito indicar
os elementos na sua posição correta. Além disso, 10 participantes demonstraram conhecer a
relação D = q x d e metade deles conseguiram usá-la para finalizar os cálculos. (FONSECA,
2005)
O último questionamento, sobre os significados dos restos parciais nesta investigação,
apontou que “todos os alunos demonstram conhecer os termos: décimo, centésimo e
milésimo; no entanto, não atribuem significados a eles” (FONSECA, 2005, p. 64), inferindo-
se então que, os alunos usam o algoritmo da divisão para tentar resolver questões, embora não
consigam fazer reflexões sobre seu procedimento.
Posselt (2010) investigou, por meio de resolução de atividades, como se deu o
processo de ensino de operações com números decimais, entre elas a divisão; a autora escreve
que “foi desenvolvido um plano de ensino, cujo objetivo principal foi levar aos alunos a
compreensão da característica dos números decimais e da sua importância no cotidiano” (p.
59). A autora buscou associações reais dos números decimais com eventos de nosso
cotidiano, assim o aluno se aproximava de uma resolução cujo resultado possuía significados,
o que no caso da divisão é fundamental.
Em Agranionih, Enricone e Zatti (2009), observa-se um importante estudo acerca das
dificuldades dos alunos de 5ª série em operar com o algoritmo usual da divisão de decimais.
Para desenvolver a pesquisa, os autores trabalharam com uma amostra de 34 alunos de 17
escolas da rede pública estadual do Rio Grande do Sul; o trabalho teve como por objetivo
realizar a análise de erros dos alunos quando operavam com a divisão.
Entre os principais resultados foram apresentadas as nove categorias de erros,
conforme explicitam os autores:
Os erros identificados no algoritmo da divisão foram agrupados em nove categorias
de análise: erros de tabuada, reprodução errada da proposta, reprodução errada da
resposta, não domínio do algoritmo, erros de subtração durante o cálculo, erros
estranhos, ausência de respostas, desistência e cálculo mental , conforme pode ser
observado no Quadro 1, que também indica a quantidade de erros cometidos em
cada uma delas. (AGRANIONIH et al., 2009, p. 10)
Como conclusão, os autores escreveram que:
39
De modo geral, como referimos anteriormente, a maior parte dos erros de divisão
inseriram-se nas categorias: ausência de respostas (29,8%), reprodução errada da
proposta (26,6%) e não domínio do algoritmo (23,4%). As demais categorias foram
erros de tabuada, reprodução errada da resposta, não domínio do algoritmo, erro de
subtração durante o cálculo, erros estranhos, desistência, e cálculo mental Os erros e
dificuldades que se evidenciaram na pesquisa levam a pensar na importância de criar
estratégias que favoreçam a superação destas dificuldades, uma vez que o domínio e
aplicação de alguns conceitos são fundamentais para que o aluno possa prosseguir
na construção dos conhecimentos matemáticos sem comprometimentos
(AGRANIONIH et al., 2009, p. 10)
Assim, verifica-se que os estudos sobre os erros que os estudantes cometem
evidenciam informações que são estratégicas para que o docente adote uma postura adequada
para a construção de um processo de ensino que objetive sempre o aprendizado do aluno,
criando significados sobre as operações que a ele são ensinadas.
2.3 DAVID AUSUBEL E A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
A teoria educacional que embasa esta proposta de estudo tem fundamento nos estudos
do americano David Ausubel (1918-2008) e sua denominada “Aprendizagem Significativa”,
que tem como alicerce a valorização dos aspectos cognitivos da mente do indivíduo a partir da
integração do conteúdo que foi aprendido de forma articulada e edificada; o maior difusor no
Brasil, das teorias de Ausubel, é o Professor Marco Antonio Moreira, da Universidade Federal
do Rio Grande do Sul.
Ausubel (2003), ao formular sua teoria da “Aprendizagem Significativa”, mostrou que
a aprendizagem, para ser significativa, necessita de material potencialmente significativo para
que o aprendiz desenvolva sua estrutura cognitiva:
A aprendizagem por recepção significativa envolve, principalmente, a aquisição de
novos significados a partir de material de aprendizagem apresentado. Exige quer um
mecanismo de aprendizagem significativa, quer a apresentação de material
potencialmente significativo para o aprendiz. Por sua vez, a última condição
pressupõe (1) que o próprio material de aprendizagem possa estar relacionado de
forma não arbitrária (plausível, sensível e não aleatória) e não literal com qualquer
estrutura cognitiva apropriada e relevante (i.e., que possui significado ‘lógico’) e (2)
que a estrutura cognitiva particular do aprendiz contenha ideias ancoradas
relevantes, com as quais se possa relacionar o novo material. A interação entre
novos significados potenciais e ideias relevantes na estrutura cognitiva do aprendiz
dá origem a significados verdadeiros ou psicológicos. Devido à estrutura cognitiva
de cada aprendiz ser única, todos os novos significados adquiridos são, também eles,
obrigatoriamente únicos. (AUSUBEL, 2003, p. 01)
Tendo como base essa Estrutura Cognitiva que o aprendiz carrega consigo, Ausubel
(2003) salienta que tais estruturas interferem no processo de ensino e aprendizagem, pois, é
40
nelas em que estão contidos os conteúdos pré-armazenados na mente dos aprendizes, base
fundamental para a ancoragem de novos conhecimentos, aglutinando-se aqueles que o
individuo já carrega devido à existência dessas estruturas.
Segundo Moreira e Masini (1982), a Aprendizagem Significativa de Ausubel
fundamentalmente passa a existir quando algum conceito trabalhado pelo aluno passa a fazer
sentido para ele, ou seja, as informações que chegam à mente do aluno deverão fazer
conexões com a carga de conhecimento que ele já traz consigo, tendo como produto a
aprendizagem obtida por descoberta e por recepção.
Neste sentido, Postal (2009) reforça que a teoria de Ausubel
[...] é uma profunda reflexão sobre o que é ensinar e aprender, particularmente em
contextos escolares, de sala de aula, em que a aprendizagem verbal é dominante,
mas não exclusiva. Ausubel defende que o principal processo de aprendizagem se dá
por recepção, num processo ativo, que exige ação e reflexão do aprendiz e que é
facilitada pela organização cuidadosa das matérias e das experiências de ensino.
(POSTAL, 2009, p. 07)
Ausubel (2003) também nos diz que o desenvolvimento do conhecimento no aprendiz
tem certo grau de complexidade e que somente pode ser aprendido no longo prazo, porém, de
maneira significativa. Os materiais ora denominados de “potencialmente significativos” são
os responsáveis pela interação do aprendiz para a construção e aquisição de novos conceitos e
significados, assim formando sua estrutura cognitiva.
Ausubel (2003), porém, menciona em sua obra a existência da Aprendizagem
Mecânica (Arbitrária), tipo de aprendizagem que não leva em consideração as informações
prévias existentes na Estrutura Cognitiva dos aprendizes que poderiam de alguma forma
interagir com as novas informações que chegam à mente do indivíduo, se diferenciando por
esta ação, da aprendizagem significativa.
Resumidamente podemos dizer então que, enquanto na Aprendizagem Significativa as
novas informações que chegam à mente dos aprendizes interagem com aquelas em que já se
encontram formadas nas Estruturas Cognitivas, na Aprendizagem Mecânica as novas
informações não interagem com aquelas depositadas nas estruturas, formando assim uma
nova Estrutura Cognitiva sempre que chegam informações novas na mente dos indivíduos.
Neste sentido, Ausubel (2003) apresenta 3 tipos categorias da aprendizagem por
recepção significativa a saber:
41
Quadro 02 – Categorias da Aprendizagem Significativa segundo Ausubel
Categorias da Aprendizagem Características – resumo Aprendizagem Representacional - É o tipo mais fundamental de aprendizagem significativa;
- aprendizagem dos significados de símbolos individuais (não
necessariamente palavras) ou a eventos aos quais eles se referem; - por exemplo, quando as crianças aprendem o significado da
palavra ‘cão’, pessoas mais sofisticadas, em termos verbais, do
mesmo ambiente propõem-lhes que o som da palavra (que é
potencialmente significativa, mas ainda não tem significado para
elas) representa ou é equivalente a um determinado objeto em
forma de cão que observam nesse momento e, logo, que significa a
mesma coisa (uma imagem deste objeto) que o próprio objeto.
Aprendizagem Conceitual - É genérica, abstrata, representa uma aprendizagem
representacional generalizada; - os conceitos (ideias unitárias genéricas ou categóricas) também
são representados por símbolos individuais da mesma forma que
outros referentes unitários; - a maioria das palavras individuais, vulgarmente combinadas em
forma de frases para construírem proposições, representa, na
verdade, conceitos e não objetos ou situações particulares;
Aprendizagem Proposicional - Refere-se aos significados de ideias expressas por grupos de
palavras combinados em proposições ou frases; - a aprendizagem do significado de palavras individuais exige
apreender o que estas representam; - aprendizagem é uma ideia que deriva dos conceitos; - determinados símbolos representam ou possuem um significado
equivalente a determinados referentes; Fonte: Ausubel (2003, p. 64-65)
Assim, Moreira e Masini (1982) explicam que quando uma nova informação interage
com uma estrutura de conhecimento, tem-se um Subsunçor, fazendo com que a aprendizagem
significativa exista a partir da ancoragem dessa nova informação com os conceitos já
existentes no cognitivo do indivíduo:
Para Ausubel, aprendizagem significativa é um processo pelo qual uma nova
informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do
indivíduo. Ou seja, neste processo a nova informação interage com uma estrutura de
conhecimento específica, a qual Ausubel define como conceitos subsunçores ou,
simplesmente, subsunçores, existentes na estrutura cognitiva do indivíduo. A
aprendizagem significativa ocorre quando a nova informação ancora-se em
conceitos relevantes preexistentes na estrutura cognitiva de quem aprende. Ausubel
vê o armazenamento de informações no cérebro humano como sendo altamente
organizado, formando uma hierarquia conceitual na qual elementos mais específicos
de conhecimento são ligados (e assimilados) a conceitos mais gerais, mais
inclusivos. (p. 07)
42
Ausubel (2003) comenta que a aprendizagem por subsunção é característica dos
modelos conceitual e proposicional, fato este evidenciado pela tendência hierárquica de
organização da estrutura cognitiva dos indivíduos:
Quer na aprendizagem conceptual, quer na proposicional, as informações novas e
potencialmente significativas ancoram-se, mais frequentemente, a ideias relevantes
mais gerais e inclusivas na estrutura cognitiva do aprendiz. Tem-se vindo a referir
este processo de relacionamento de novas informações com segmentos
subordinantes relevantes e preexistentes da estrutura cognitiva como aprendizagem
de subsunção. Uma vez que a própria estrutura cognitiva tem tendência a ser
organizada, em termos hierárquicos, no que toca ao nível de abstracção,
generalidade e inclusão de ideias, a emergência de novos significados proposicionais
reflecte, de um modo geral, uma relação subordinada do novo material a ideias mais
subordinantes existentes na estrutura cognitiva. (AUSUBEL, 2003, p.93)
Nota-se que, para o autor, que as estruturas cognitivas, ao construírem uma relação
significativa de aprendizagem, demonstram uma organização que possui caráter
epistemológico e psicológico sempre que se associam a novos conceitos que chegam nestas
estruturas, fazendo com que a aquisição de conhecimentos aconteça pela aglutinação entre
aquilo que já existe e a nova informação que chega ao indivíduo.
Ausubel também fala que se pode atribuir a eficiência e a longevidade da
aprendizagem por subsunção ao fato de que:
1.Têm uma importância extremamente específica, particularizada e directa para
tarefas de aprendizagem posteriores.
2. Possuem um carácter explicativo suficiente para transformar pormenores factuais,
de outro modo arbitrários, em potencialmente significativos.
3. Possuem uma estabilidade inerente suficiente para fornecerem o tipo mais sólido
de ancoragem aos significados recentemente apreendidos e altamente
particularizados.
4. Organizam novos factos relacionados em torno de um tema comum, integrando,
assim, os elementos componentes dos novos conhecimentos quer uns com os outros,
quer com os conhecimentos existentes. (AUSUBEL, 2003, p. 94)
Para Rosa (2011), os conceitos existentes nas estruturas cognitivas partilham de
significados comuns e interagem uns com os outros e estes também interagem com os
organizadores prévios e assim se dá o processo de construção da aprendizagem significativa,
conforme descrito no mapa da figura 13 seguinte:
43
Figura 13 – Mapa de interação de conceitos e subsunçores
Fonte: Rosa (2011, p. 04)
Rosa (2011) explica que a aprendizagem significativa de Ausubel pode ser mostrada
no mapa descrito anteriormente da seguinte forma: nos círculos marcados com a letra C estão
representados os conceitos preexistentes na estrutura cognitiva dos aprendizes, enquanto que a
letra S representa subsunçores; observe que os conceitos C interagem entre si e os
subsunçores S interagem com alguns conceitos C, de modo que sejam aqueles que
mantenham relação com as informações que chegam à estrutura cognitiva dos indivíduos.
Ausubel também explica que há dois tipos de subsunções bem distintas uma da outra,
quais sejam a “subsunção derivativa” e a “subsunção correlativa”:
[...] se entende o novo material de aprendizagem como um exemplar específico de
um conceito ou proposição estabelecidos na estrutura cognitiva, ou como auxiliar ou
ilustrativo de um conceito ou proposição geral anteriormente apreendidos. Em
qualquer dos casos, o novo material de aprendizagem resulta, directa ou
evidentemente, ou está implícito num conceito ou proposição preexistentes, já
estabelecidos, mais inclusivos e ancorados na estrutura cognitiva. Nestas
circunstâncias, o significado do material derivativo surge de forma rápida e
relativamente fácil, mas tende a ser rapidamente esquecido quer porque pode ser
representado, de modo adequado, pelo próprio subsunçor, quer porque se pode
recuperar facilmente um exemplar quando for necessário. (AUSUBEL, 2003, p. 94)
E a segunda forma de subsunção, a correlativa, ocorre quando:
Neste caso, o novo material de aprendizagem é uma extensão, elaboração,
modificação ou qualificação de conceitos ou proposições anteriormente apreendidos.
Também interage com, e é incorporado por, subsunçores mais relevantes e
inclusivos na estrutura cognitiva; porém, o significado do mesmo não está implícito
nem pode ser representado de forma adequada por estes últimos. Assim, ao contrário
da situação da subsunção derivativa, o esquecimento de ideias correlativas não é
inócuo, pois não se podem recuperar a partir das próprias ideias ancoradas..
(AUSUBEL, 2003, p. 94)
44
Segundo Moreira e Masini (1982) a teoria de Ausubel surte efeito na aprendizagem
dos indivíduos quando as relações hierárquicas entre os conteúdos possam ser evidenciadas,
de maneira que os aprendizes consigam estabelecer relações entre aquilo que já conhecem e o
material novo que chega a suas mentes. É importante frisar que, para Ausubel (2003), os
conceitos devem ser trabalhados a partir de noções mais gerais, chegando naqueles
particulares, levando sempre em consideração o estabelecimento de conexões com os
subsunçores, que são os pontos de ancoramento para novos conhecimentos:
Conforme já foi dito, do ponto de vista ausubeliano, o desenvolvimento de conceitos
é facilitado quando os elementos gerais, mais inclusivos de um conceito são
introduzidos em primeiro lugar, e posteriormente, então, esse conceito é
progressivamente diferenciado, em termos de detalhe e especificidade. Segundo
Ausubel, o princípio da “diferenciação progressiva” deve ser levado em conta ao
programar o conteúdo, i.e., as ideias mais gerais e mais inclusivas da disciplina
devem ser apresentadas no início para, somente então, serem progressivamente
diferenciadas. (MOREIRA; MASINI, 1982, p. 45)
Moreira e Masini (1982, p. 40) escrevem ainda que, para Ausubel, o problema em sala
de aula que o professor encontra para ensinar seus alunos reside na “aquisição de um corpo de
conhecimentos e na estabilização de ideias inter-relacionadas que constituem a estrutura da
disciplina”. Assim, é de competência docente a utilização de recursos que possam agir como
facilitadores da aprendizagem, que podem ser de qualquer natureza, desde que façam sentido
quando da construção de conhecimento para o aluno “Um dos maiores trabalhos do professor
consiste, então, em auxiliar o aluno a assimilar a estrutura das disciplinas e a reorganizar sua
própria estrutura cognitiva, mediante a aquisição de novos significados que podem gerar
conceitos e princípios” (Ibid., p. 40).
Neste sentido, Moreira e Masini (1982) consideram que a aprendizagem, sob a luz da
teoria ausubeliana, é levada a efeito de duas formas:
1- Substantivamente: com propósitos “organizacionais” e integrativos, usando os
conceitos e proposições unificadores de uma dada disciplina que têm maior poder
explanatório, inclusividade, generalidade e viabilidade no assunto. É importante
selecionar as ideias básicas, para não sobrecarregar o aluno de informações
desnecessárias, dificultando a aquisição de uma estrutura cognitiva adequada. A
coordenação e integração do assunto em diferentes níveis também é importante.
2- Programaticamente: empregando princípios programáticos adequados à
ordenação da sequência do assunto, partindo do estabelecimento de sua organização
e lógica interna e, sucessivamente, planejando a montagem de exercícios práticos.
(MOREIRA; MASINI, 1982, p. 42)
Verifica-se então que o professor, ao planejar sua aula no modelo teórico ausubeliano,
tem como primeira providência elencar aqueles que serão os conceitos básicos do conteúdo a
45
serem ministrados, observando de que forma eles estão estruturados nos livros ou em outros
materiais e, a partir daí, “pensar” de que forma apresentar esse material aos alunos, pois, para
Ausubel, uma boa apresentação dos conteúdos é um dos passos fundamentais para que os
subsunçores interajam com novos conhecimentos:
Uma vez que o problema organizacional substantivo (identificação dos conceitos
organizadores básicos de uma dada disciplina) é resolvido, a atenção pode ser
dirigida aos problemas organizacionais programáticos envolvidos na apresentação e
no arranjo sequencial das unidades componentes. Aqui, hipotetiza-se, vários
princípios relativos à programação eficiente do conteúdo são aplicáveis
independentemente do campo da matéria do ensino. (AUSUBEL, 1968, p. 152, apud
MOREIRA; MASINI, 1982, p. 50).
As ideias de Ausubel mantém estreita relação com o que se propõe neste estudo, visto
que os conceitos de divisão de números decimais que se apresentam devem ser
compreendidos a partir da carga de informações que o aprendiz já traz consigo, aglutinando
com as novas informações que chegam, para, assim, formar seu pensamento cognitivo a
respeito da operação divisão com decimais; para tanto, essa efetiva aprendizagem pode ser
realizada com a ajuda dos organizadores prévios.
2.3.1 Os organizadores prévios de Ausubel
Ausubel (2003) argumenta que, para facilitar o processo de ensino e o indivíduo
adquirir a aprendizagem significativa, sua estrutura cognitiva pode ser manipulada pelos
chamados “organizadores prévios”, que são entendidos como facilitadores da aprendizagem e
são os responsáveis por construírem a ponte entre o que o indivíduo já possui de carga de
conhecimento e aquilo que ele precisa aprender.
Moreira (2012) explica sobre os organizadores prévios de Ausubel:
Organizadores prévios são materiais introdutórios apresentados antes do material de
aprendizagem em si. Contrariamente a sumários que são, de um modo geral,
apresentados ao mesmo nível de abstração, generalidade e abrangência,
simplesmente destacando certos aspectos do assunto, organizadores são
apresentados em um nível mais alto de abstração, generalidade e inclusividade.
(MOREIRA, 2012, p. 02)
O autor complementa ainda explicando que, para Ausubel, a facilidade no uso de
organizadores prévios reside no fato de eles atuarem como “pontes cognitivas” e, assim,
“podem tanto fornecer ‘ideias âncoras’ relevantes para a aprendizagem significativa do novo
46
material, quanto estabelecer relações entre ideias, proposições e conceitos já existentes na
estrutura cognitiva”. (p. 02)
Cabe também destacar que, os organizadores prévios ausubelianos não podem ser
tratados como simples introdução ao conteúdo a ser ministrado, eles cumprem alguns
objetivos do ponto de vista pedagógico:
1 - identificar o conteúdo relevante na estrutura cognitiva e explicar a relevância
desse conteúdo para a aprendizagem do novo material;
2 - dar uma visão geral do material em um nível mais alto de abstração, salientando
as relações importantes;
3 - prover elementos organizacionais inclusivos que levem em consideração, mais
eficientemente, e ponham em melhor destaque o conteúdo específico do novo
material, ou seja, prover um contexto ideacional que possa ser usado para assimilar
significativamente novos conhecimentos. (MOREIRA, 2012, p. 03)
Assim, os organizadores prévios de Ausubel são materiais que funcionam como
mecanismos pedagógicos capazes de conectar os conhecimentos que os alunos carregam na
estrutura cognitivas e os novos conhecimentos que eles vão adquirir. Nesse sentido, os
organizadores devem dar destaque para o material mais importante a ser trabalhado e
desprezar os menos significantes. Há diversas formas de organizadores prévios: textos,
gravuras, mapas conceituais, filmes, debates, dramatizações e demonstrações em geral.
(MOREIRA, 2006)
Experiências pedagógicas com o uso de organizadores prévios são relatadas na
literatura de forma positiva em vários estudos, como por exemplo, os trabalhos de Ribeiro,
Silva e Koscianski (2012), que utilizaram organizadores para trabalharem conteúdos da Física
conhecidos como “Momento da força” e para isso construíram filmes curtos animados,
denominados de “curta animação” explicando os conteúdos de forma sucinta e didática; no
caso, esse material é o organizador prévio. São as considerações dos autores:
O curta de animação apresentou características relevantes suficientes para validar
sua utilização como organizador prévio. Portanto, cumpriu sua função como um
mecanismo pedagógico que efetivamente auxiliou na ligação entre aquilo que o
aprendiz já sabe e aquilo que precisa saber, ou seja, houve aprendizagem
significativa. Isso foi verificado através da manifestação e disposição dos ao
relacionarem o novo material a ser aprendido, de forma não arbitrária e não literal, à
bestrutura cognitiva idiossincrática. (RIBEIRO; SILVA, KOSCIANSKI, 2012, p.
16)
O trabalho de Ribeiro, Silva e Koscianski evidenciou que os docentes devem ter
afinidades com o material que estão elaborando, para que sua estratégia de usar organizadores
47
prévios possa realmente funcionar; nesse caso, do trabalho com vídeo de curta, um dos
professores tinha domínio pleno da ferramenta tecnológica de montagem de vídeo. Outra
saída é recorrer aos profissionais que trabalham com os materiais com que se queira atuar.
2.4 ALGUNS RECURSOS DIDÁTICOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Segundo os PCN (BRASIL, 1998, p. 42) “conhecer diversas possibilidades de trabalho
em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática”, haja vista que, nem
na Matemática ou em qualquer área do conhecimento existe um caminho que possa ser
descrito como opção única e viável para se trabalhar o processo de ensino e aprendizagem;
assim, o professor deve recorrer a diversos recursos para trabalhar em uma aula que propicie
qualidade ao ensino.
Nesse sentido, e diante de muitas ferramentas de apoio ao ensino da Matemática, este
trabalho optou por destacar aquelas escolhidas para desenvolver a oficina de divisão de
decimais, quais sejam: os Objetos de Aprendizagem e os Materiais Manipuláveis, esses
últimos representados pelo Material Dourado e pelo Quadro Valor de Lugar (QVL).
2.4.1 Os Objetos de Aprendizagem
Antônio Junior e Barros (2005, p. 04) definem Objetos de Aprendizagem (OA) como
“recursos digitais que são usados, reutilizados e combinados com outros objetos para formar
um ambiente de aprendizado rico e flexível”; portanto, os OA estão relacionados às
Tecnologias de Informação e Comunicação TIC e possuem a característica específica de
serem materiais tecnológicos voltados para a utilização como recurso de apoio ao ensino.
Os objetos de aprendizagem são pequenos instrumentos, na maioria das vezes
digitais, que podem ser utilizados diversas vezes. Podem ser vídeos, imagens,
figuras, gráficos e outros que são disponibilizados para auxiliar na aprendizagem dos
alunos. Uma animação onde um trapezista aparece caindo pode auxiliar o aluno a
entender um pouco melhor os conceitos da física, por exemplo. O aluno utiliza a
animação para calcular e fazer inúmeros testes, como aumentar o peso do atleta,
modificar a altura da queda e, assim, visualizar o resultado. (ANTONIO JUNIOR;
BARROS, 2005, p. 05)
Os OA são importantes recursos didáticos atualmente, principalmente no ensino da
Matemática, uma vez que atuam de forma interativa e o aluno pode manipulá-los com ou sem
auxílio do professor:
48
Atualmente, os objetos de aprendizagem [...] nos fornecem a capacidade de simular
e animar fenômenos, entre outras características, assim como, reutilizá-los em vários
outros ambientes de aprendizagem. Eles podem ser localizados na internet, através
de repositórios, proporcionando entre outras características,a redução de custos de
produção de materiais educacionais. (AUDINO; NASCIMENTO, 2010, p. 03)
O Ministério da Educação possui uma plataforma de repositório nacional de OAs
conhecida como RIVED (Red Internacional Virtual de Educación) que é um projeto de
cooperação internacional entre países da América Latina na elaboração de objetos
educacionais virtuais; porém, no Brasil, algumas universidades de todo país já desenvolvem
projetos de Objetos de Aprendizagens próprios, como é o caso do Grupo de Informática
Educativa – GIED - da Universidade Estadual do Norte do Paraná (UENP), que desenvolve
Objetos de Aprendizagem para muitas áreas do conhecimento, especialmente a Matemática.
2.4.2 Os Materiais Manipuláveis
Outro eficiente recurso didático para o professor trabalhar em sala de aula são os
Materiais Manipuláveis, definidos por Bezerra (1962, apud CALDEIRA, 2009, p. 223) como
“todo e qualquer acessório usado pelo professor para realizar a aprendizagem”. São exemplos
de Materiais Manipuláveis: jogos educativos, cartazes, tabelas, instrumentos educacionais,
computadores, etc. Todo Material Manipulável deve ter um fim educativo para ser
considerado educacional.
Além da finalidade didática, Sarmento (2010) argumenta que os Materiais
Manipuláveis a serem usados em alguma aula devem ser selecionados segundo alguns fatores
quais sejam:
De ordem didática: adequação ao conteúdo, aos objetivos e à metodologia; De
ordem prática: o material está disponível? É possível adquiri-lo? Está em condições
de uso? De ordem metodológica: é coerente com o nível de aprendizagem dos
alunos? Seu manuseio oferece algum tipo de risco para as crianças? Tem domínio
dos procedimentos? (SARMENTO, 2010, p. 03).
Além desses fatores, os docentes devem estar atentos ao tempo que se gastará para
organizar essa aula com uso de materiais concretos, pois se sabe que cada aluno tem sua
maneira de lidar com tais materiais, além de possur ritmo próprio de aprendizagem e nem
sempre o uso de material pode corresponder ao planejamento em decorrência desses fatores.
Assim, é preciso que o professor seja coerente na escolha do material adequado.
49
Desta forma, para este estudo, optou-se pelo uso de dois Materiais Manipulativos, o
Quadro Valor de Lugar e o Material Dourado, pois ambos podem ser aplicados em trabalhos
que envolvam números decimais, estando mais bem explicitados a seguir.
2.4.2.1 Quadro Valor de Lugar – QVL
Conforme Murta, Silva e Cordeiro (2007, p. 37) um Quadro Valor de Lugar (QVL) é
“um recurso que reforça o significado da representação posicional decimal”, é uma tabela em
que estão indicadas as ordens decimais de décimos, centésimos e milésimos, na qual o aluno
pode fazer e refazer os agrupamentos e dar significado aos números que são escritos ou
desenhados na tabela.
QVL deve acompanhar os alunos durante todo o aprendizado do sistema decimal de
numeração e dos algoritmos das operações com números naturais. Ele ainda poderá
voltar a ser utilizado quando este sistema for ampliado no estudo de decimais, para
incluir as ordens menores que a unidade (décimos, centésimos, etc.). Embora você
deva, aos poucos, incentivar seus alunos a não usar sempre materiais concretos, tais
recursos serão úteis toda vez que for introduzida uma nova ordem decimal,.
(MURTA; SILVA; CORDEIRO, 2007, p. 37)
Um exemplo de QVL é encontrado em Freitas (2004, p. 54); no caso, este representa
as casas de unidade, dezena e centena, foi utilizado por este pesquisador no desenvolvimento
de um Material Manipulável. O autor aponta como uma de suas vantagens de uso o baixo
custo, tendo em vista que é produzido com qualquer papel e pode ser construído em qualquer
tamanho conforme o objetivo da aula.
Figura 14 – Modelo de QVL
Fonte: Freitas (2004, p. 54)
50
O QVL é um material muito eficiente para se trabalhar números decimais e seu uso
neste estudo é em concomitância com o uso do Material Dourado.
2.4.2.2 Material Dourado
Conforme Murta, Silva e Cordeiro (2007), o Material Dourado, também conhecido
como Material Montessoriano de Contagem (em homenagem à sua idealizadora, Maria
Montessori) é um conjunto de peças composto de cubos, barras e placas de madeira; cada
peça possui um significado do ponto de vista da representação posicional dos números.
O Material Dourado contribui para:
- Desenvolver na criança a independência, confiança em si mesma, a concentração, a
coordenação e a ordem;
- Gerar e desenvolver experiências concretas estruturadas para conduzir,
gradualmente, a abstrações cada vez maiores; (FREITAS, 2004, p. 59)
Freitas (2004) escreve que, originalmente, o Material Dourado foi concebido para
auxiliar no ensino e aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e, também,
atuar nos algoritmos das operações fundamentais, porém, seu uso foi aprimorado e este
material pode ser empregado também para conteúdo de frações, conceito de áreas e volumes
de figuras e sólidos, raiz quadrada e números decimais.
Figura 15 – Peças do Material Dourado e sua representação matemática
Fonte: Murta, Silva e Cordeiro (2007)
51
O Material Dourado e o QVL são dois dos Materiais Manipuláveis que podem ser
usados para o trabalho com operações com números decimais, pois um complementa o uso do
outro; por esta razão, foram escolhidos para serem utilizados nesta proposta didática.
52
3 METODOLOGIA
Uma pesquisa, dependendo do objetivo que o pesquisador estabeleceu, pode assumir
classificações que vão de uma simples pesquisa bibliográfica até as mais complexas
investigações desenvolvidas em laboratórios. Nesse sentido, Silva e Menezes (2001, p. 20-22)
explicam que, uma pesquisa pode ser classificada:
- quanto à natureza, em pesquisa básica ou pesquisa aplicada;
- quanto à abordagem, em pesquisa qualitativa ou pesquisa quantitativa;
- quanto aos objetivos, em pesquisa exploratória, descritiva ou explicativa;
- quanto aos procedimentos, em pesquisa bibliográfica, documental, experimental,
levantamento, estudo de caso, pesquisa-ação e pesquisa-participante.
Assim, do ponto de vista da natureza, este estudo foi classificado como pesquisa
aplicada, pois este modelo “objetiva gerar conhecimentos para aplicação prática dirigida à
solução de problemas específicos” (SILVA; MENEZES, 2001, p. 20). Esta definição mantém
relação com o que se objetiva nesta pesquisa, tendo em vista que o trabalho com divisão de
decimais gerou conhecimentos para a solução de problemas, no caso, representado aqui pelas
dificuldades que os alunos possuem de fazer cálculos de divisão de decimais.
Com relação à abordagem, este estudo optou por fazer uso dos dois modelos,
quantitativo e qualitativo. A abordagem quantitativa, segundo Silva e Menezes (2001, p. 20),
“considera que tudo pode ser quantificável, o que significa traduzir em números opiniões e
informações para classificá-las e analisá-las” e está ancorado no método estatístico, e a
abordagem qualitativa objetiva fazer a interpretação do fenômeno estudado e “não requer o
uso de métodos e técnicas estatísticas” (p. 20)
A opção pelo uso das duas abordagens se deu pelo fato de a pesquisadora interpretar
os processos de resolução dos alunos (qualitativo) e, ao mesmo tempo, realizar levantamentos
numéricos (estatística descritiva) para observar a ocorrência de acertos e erros dos alunos.
Segundo Neves (1996), a pesquisa qualitativa se “assemelha a procedimentos de
interpretação dos fenômenos que empregamos em nosso dia-a-dia” sendo então um
importante método para tirar conclusões acerca dos fatos estudados; ainda segundo o autor
“há problemas e situações cuja análise pode ser feita sem quantificação” (p. 01).
Com relação aos objetivos, a pesquisa foi classificada como exploratória, pois,
conforme Silva e Menezes (2001, p. 21) esta proporciona “maior familiaridade com o
problema com vistas a torná-lo explícito”. Esta definição está de acordo com esta
investigação, uma vez que o objeto de estudo são os problemas de erros de divisão, fazendo
53
com que o pesquisador se aprofunde no tema, buscando explicitá-lo para a comunidade de
interesse.
Quanto aos procedimentos, esta pesquisa consiste em um estudo de caso, por se tratar
de um estudo com um grupo fechado de pessoas, sobre as quais foram estudadas as
dificuldades com a operação de divisão.
3.1 INSTRUMENTOS DE PESQUISA
Os instrumentos de pesquisa utilizados neste estudo foram: teste diagnóstico;
observação participante; diário de bordo; teste final.
O teste diagnóstico ou pré-teste, sob a ótica de Lakatos e Marconi (2003, p. 203),
“permite a obtenção de uma estimativa sobre os futuros resultados”. Essas autoras escrevem
que o uso do teste diagnóstico é necessário no sentido de o pesquisador conhecer um pouco
mais sobre as variáveis de estudo, como ela se comporta e a que resultados podem chegar.
No caso deste estudo, o teste diagnóstico objetivou verificar quais eram os erros mais
comuns no processo de divisão de números decimais; o teste diagnóstico foi repetido com
outro grupo de alunos para confirmação de resultados e a repetição do teste foi necessária no
sentido de embasar a pesquisadora na elaboração da oficina, de modo que pudesse trabalhar
com foco nos erros de divisão dos alunos, apresentados na aplicação dos testes diagnósticos.
A observação participante também se constitui em importante ferramenta de coleta de
dados, mais especificamente dos dados qualitativos da pesquisa. Lakatos e Marconi (2003, p.
193) a definem como “participação real do pesquisador com a comunidade ou grupo, ele se
incorpora ao grupo, confunde-se com ele, fica tão próximo quanto um membro do grupo que
está estudando e participa das atividades normais deste”.
Foi utilizado esse recurso no desenvolvimento da oficina, uma vez que a pesquisadora
foi a agente ativa no processo, explicando conteúdos, ensinando a operar com os materiais
manipuláveis e Objetos de Aprendizagem e registrando as ações dos alunos no diário de
bordo.
O diário de bordo é também um importante recurso no desenvolvimento de um estudo
qualitativo, é uma das ferramentas de coleta mais usadas em estudos de caso, pois possibilita
as anotações de campo para posterior análise do pesquisador, é o “relato escrito daquilo que o
investigador ouve, vê, experiência e pensa no decurso da recolha e refletindo sobre os dados
de um estudo qualitativo”. (BOGDAN; BILKEN, 1994, p. 150, apud COUTINHO, 2008,
p.14)
54
O diário de bordo foi utilizado à medida que a oficina foi se desenvolvendo; anotações
diárias e relatos das aulas e situações envolvendo o processo de ensino e aprendizagem foram
lançadas no diário, para posterior análise no estudo qualitativo.
O teste final foi aplicado para efeito de verificação da aprendizagem; é importante frisar
que, como o foco do trabalho era os erros de divisão de decimais, o teste final concentrou-se
em observar se os erros puderam ser reduzidos após a aplicação da oficina de números
decimais proposto por esta pesquisadora. Dessa forma, os resultados do teste final puderam
ser comparados com os resultados do teste diagnóstico.
3.2 OS SUJEITOS DE PESQUISA E LOCUS DA INVESTIGAÇÃO
A população selecionada para este estudo constou de alunos do 6º Ano do Ensino
Fundamental de uma escola da rede privada, que já estudaram a divisão de números decimais.
A amostra consistiu em 30 alunos, que formavam a turma com a qual a professora-
pesquisadora trabalha.
O locus da investigação é uma escola da rede privada e a escolha por esta instituição
se deu pelo fato de que a professora-pesquisadora pertencer ao quando docente deste centro
de educação e atuar em turmas de Ensino Fundamental, além de já conhecer o público que
seria envolvido no estudo.
3.3 PROCEDIMENTOS DE PESQUISA
A pesquisa foi desenvolvida seguindo o seguinte roteiro:
1) aplicação do teste diagnóstico: o uso do teste foi o passo inicial para efetivação da oficina
de números decimais; por meio do teste foram verificadas as dificuldades dos alunos no que
tange à operação de divisão de decimais. O teste possibilitou a elaboração das estratégias de
ensino para a oficina, por esta razão foi um passo importante na condução da pesquisa;
2) montagem da oficina: com os resultados expostos pelo teste diagnóstico, foi possível
elaborar a oficina, idealizada com uso de materiais manipuláveis e Objetos de Aprendizagem.
Com vistas a um melhor desenvolvimento da oficina e qualidade das aulas, optou-se por
trabalhar (de maneira geral) todo o conteúdo de números decimais envolvendo conceitos e
operações, obviamente priorizando o foco, que era a divisão de decimais. A justificativa para
se atuar com todo o conteúdo se deu pelo fato de que a teoria ausubeliana leva em conta os
55
organizadores prévios do aluno e estes organizadores têm relação com elementos ligados ao
significado de números decimais e suas operações.
3) aplicação da oficina: esta etapa ocorreu durante as duas primeiras semanas de outubro de
2013. Foram realizadas as seguintes atividades:
a) uso de Objetos de Aprendizagem para explanar sobre sistema de numeração
decimal, conceitos, significados, uso cotidiano e operações (de forma básica). Os
objetos utilizados estão disponíveis no site do Grupo de Informática Educativa –
GIED, da Universidade Estadual do Norte do Paraná e versam sobre os números
decimais;
b) uso do Material Dourado e QVL para trabalhar especificamente a operação de
divisão. O Material Dourado foi adquirido pela professora-pesquisadora e o QVL foi
adaptado para se adequar ao tamanho do Material Dourado.
4) aplicação do teste final: esse teste foi aplicado para fazer uma comparação entre os
resultados do teste diagnóstico e os resultados pós-oficina. O objetivo dessa aplicação foi
saber se os problemas de erros de divisão puderam ser superados ou reduzidos;
5) organização e análise de todo material produzido durante a oficina, que envolveu uso dos
materiais, registros fotográficos, além de análise do teste final.
56
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Neste capítulo, será feita a apresentação e a análise dos dados da pesquisa, conforme já
explanado no capítulo sobre Metodologia, tendo como plano teórico a Teoria da
Aprendizagem ausubeliana, com foco na analise de erros de divisão de decimais.
4.1 O TESTE DIAGNÓSTICO
O teste diagnóstico consistiu da primeira etapa da pesquisa e foi aplicado no dia 10 de
Setembro de 2012. Os alunos resolveram questões contextualizadas, adaptadas de Fonseca
(2005) e Cunha (1997). O objetivo foi diagnosticar os erros de divisão de decimais e obter
dados para a produção da oficina e consequente aplicação. O modelo do teste diagnóstico
encontra-se no apêndice A.
Especificamente falando, o teste diagnóstico foi concebido com o objetivo de fazer um
pré-levantamento sobre as categorias de erros que eventualmente os alunos cometem no
processo de resolução de questões que envolvem divisão de números decimais e suas
aplicações no cotidiano.
Participaram desta etapa 19 alunos; todos os 30 foram convidados a comparecer no dia
da aplicação, porém, somente os 19 citados estiveram presentes. Um novo teste diagnóstico
foi aplicado em agosto de 2013 para confirmar as categorias de erros levantadas na amostra
do primeiro teste.
Como o objetivo do segundo teste era somente confirmar as categorias de erros (para
saber se elas se repetiam e em frequências semelhantes), foi aplicado a um grupo de alunos
que não pertenciam à amostra selecionada, mas que igualmente frequentam a escola em que a
professora-pesquisadora trabalha. Seus resultados foram determinantes, uma vez que
confirmaram as categorias de erros propostas no teste diagnostico principal, possibilitando
então planejar a oficina de forma mais concisa e de acordo com os objetivos traçados no
estudo.
4.1.1 Análise do teste diagnóstico
No teste aplicado, as questões propostas versavam sobre problemas do cotidiano do
aluno e exigiam como pré-requisito que eles soubessem manipular números com casas
decimais após a vírgula. Para analisar as respostas dos estudantes, os testes foram corrigidos e
57
separados em corretos, parcialmente corretos, incorretos e em branco. Os que estavam
parcialmente corretos ou incorretos foram, então, recorrigidos, para que se pudessem
classificar os erros cometidos. Foram identificadas as categorias de erros, apresentadas, a
seguir, no Quadro 03, para cada aluno e questão. Os alunos foram indicados por A, B, etc,
para preservar o anonimato.
Quadro 03 – Erros cometidos pelos alunos na divisão de decimais
ALUNOS QUESTAO 1 QUESTÃO 2 QUESTÃO 3 QUESTÃO 4
A Correta Vírgula Vírgula Tabuada
B Resolveu
corretamente
mas sem
resposta
completa.
Correta Correta Resolveu
corretamente
mas sem
resposta
completa.
C Correta Faltou
interpretação
Correta Correta
D Sem cálculos
mas com
resposta
Vírgula Interpretação Sem cálculos
mas com
resposta
E Passos certos
mas errou na
tabuada
Em branco Em branco Em branco
F Passos certos
mas errou por
não prosseguir
com a divisão
Em branco Em branco Em branco
G Iniciou certo
mas errou nos
passos de
multiplicação
Em branco Em branco Em branco
H Correta Interpretação Em branco Tabuada
I Erro de
interpretação,
não sabe se é
multiplicação ou
divisão
Interpretação Interpretação Em branco
J Começou
corretamente,
errou na tabuada
Em branco Em branco Em branco
K Tabuada Só a resposta,
sem indicação
de cálculos
Em branco Em branco
L Forma correta,
mas não opera
com o algoritmo
Em branco Em branco Vírgula
M Tabuada Interpretação Em branco Tabuada
N Correto Vírgula Sem cálculos
mas com
resposta.
Em branco
O Vírgula Em branco Em branco Em branco
58
P Tabuada Interpretação Interpretação Em branco
Q Erro de
interpretação
Tabuada Em branco Interpretação
R Errou, utilizou
tentativa, não
visualizou a
divisão
Em branco Em branco Em branco
S Correta Interpretação Multiplicação Em branco
Fonte: Dados da pesquisa
De acordo com o quadro acima, pode-se classificar os erros encontrados nas seguintes
categorias, descritas e exemplificadas:
a) Vírgula: o aluno errou o posicionamento da vírgula, em alguma etapa da resolução. Como
exemplo, temos a resposta do aluno O na questão 1.
Figura 16 – Exemplo de erro por posicionamento da vírgula
Fonte: Dados da pesquisa
O aluno O, ao tentar igualar as casas com o objetivo de cancelar a vírgula, errou
quando multiplicou o dividendo por 100 e o divisor por 10. Analisando o exercício proposto,
o aluno deveria multiplicar ambos os termos por 100, fazendo a vírgula se deslocar para a
direita, tanto no dividendo como no divisor, na busca de transformá-los em números inteiros.
b) Interpretação: o aluno não consegue interpretar o problema, errando o posicionamento de
divisor e dividendo, ou simplesmente monta situações desconexas. Como exemplo, temos a
resposta do aluno H na questão 2.
59
Figura 17 - Exemplo de erro por interpretação
Fonte: Dados da pesquisa
O aluno H fez operações de multiplicação entre o número de pacotes e os quilogramas,
o que mostra a interpretação errônea do problema. Tentou a divisão, mas também errou na
operação.
c) Resposta incompleta; o aluno inicia o algoritmo corretamente, mas não indica a resposta ou
não conclui a divisão. Como exemplo, temos a resposta do aluno F na questão 1:
Figura 18 - Exemplo de erro por resposta incompleta
Fonte: Dados da pesquisa
O aluno F inicia de forma correta a resolução, igualando as casas decimais, e chegou a
fazer a subtração de 975 – 500; a partir daí, não consegue seguir com a divisão e termina com
o valor de 1,0 no quociente.
d) tabuada ou algoritmo: o aluno demonstra não ter conhecimento de tabuada e faz cálculos de
multiplicações errôneos ou, então, erra o uso do algoritmo da multiplicação ou da divisão.
Como exemplo, temos a resposta do aluno P na questão 1:
60
Figura 19 - Exemplo de erro na tabuada ou no algoritmo
Fonte: Dados da pesquisa
O aluno P inicia o processo de forma correta, mesmo sem igualar as casas; trabalhou
considerando 9 unidades divididas por 5, obtendo quociente 1 e restam 4 unidades. Essas 4
unidades são iguais a 40 décimos. Então 40 décimos + 7 décimos = 47 décimos que, divididos
por 5 dão 9 décimos e não 7, como o aluno encontrou.
e) falta de cálculos: o aluno apenas apresenta a resposta, sem indicar os cálculos. Como
exemplo, temos a resposta do aluno D na questão 4:
Figura 20 – Falta de cálculo na divisão
Fonte: Dados da pesquisa
Os erros foram, portanto, divididos em cinco categorias e estão presentes em pelo
menos uma questão de cada aluno que participou do teste diagnóstico. Observou-se também
que 29 respostas, de um total de 76, foram deixadas em branco pelos alunos participantes, o
que representa 38% do universo de respostas que deveriam ser desenvolvidas pelos alunos.
Não há como saber os motivos que levaram os alunos a deixarem em branco tais
questões, visto que não fizemos entrevistas com eles.
De posse das categorias identificadas, pode-se supor que os erros mais comuns que
podemos encontrar com a aplicação de um teste semelhante, com uma amostra maior de
alunos, podem estar relacionados às dificuldades que foram categorizadas neste projeto piloto,
61
quais sejam: vírgula, interpretação, resposta incompleta, tabuada ou algoritmo e falta de
cálculos.
Apresentamos, a seguir, no Quadro 04, a distribuição das respostas dos estudantes
segundo as categorias elencadas:
Quadro 04 – Distribuição das respostas no teste diagnóstico 01
Tipo de resposta N. %
Correta 9 11.8
Erro em vírgula 6 7.9
Erro de interpretação 12 15.8
Resposta incompleta 4 5.3
Erro em tabuada ou algoritmo 12 15.8
Falta de cálculos 4 5.3
Em branco 29 38.1
TOTAL 76 100 Fonte: Dados da Pesquisa
Para efeito de comparação, em agosto de 2013 foi realizado um novo teste diagnóstico
com o intuito de comparar dados e confirmar se as categorias de erros eram as mesmas. O
novo teste (com as mesmas questões) foi aplicado com uma turma de alunos distinta da
amostra, mas que frequentam a mesma escola e cursam a mesma série. Foram convidados a
participar desse novo teste diagnóstico 28 alunos da segunda turma de 6º ano, porém, no dia
do evento compareceram somente 17 alunos.
Os resultados estão indicados no Quadro 05:
Quadro 05 – Distribuição das respostas teste diagnóstico 02
Tipo de resposta N. %
Correta 10 14.7
Erro em vírgula 8 11.7
Erro de interpretação 11 16.1
Resposta incompleta 7 10.4
Erro em tabuada ou algoritmo 10 14.8
Falta de cálculos 6 8.8
Em branco 16 23.5
TOTAL 68 100 Fonte: Dados da Pesquisa
Os resultados dos dois testes foram organizados e descritos no gráfico 01 a seguir, que
evidencia valores muito próximos entre as categorias de erros, que se repetiram e
confirmaram os dados do teste diagnóstico inicial.
62
Gráfico 01 – Distribuição percentual de erros por categoria e por teste diagnóstico
Fonte: Dados de pesquisa
O resultado do teste diagnóstico 01 e o teste diagnóstico 02 mostram que, de forma
geral, as categorias de erros na divisão se mantêm, mesmo possuindo algumas variações
internas, como se verifica, por exemplo, na categoria Erros de Vírgula, que, no primeiro teste,
apresentou um percentual de 7.9% e no segundo teste subiu para 11.7%.
Nos dois casos, as respostas erradas representam um percentual de pelo menos 50% do
total, ou seja, para cada 10 questões propostas, os alunos errariam a resolução em 5 delas.
Logo, pode-se considerar, pelos resultados dos testes, que sejam estas as categorias de erros
que representam as dificuldades na operação de divisão, exigindo, nesse caso, que os
trabalhos desenvolvidos para superar os problemas tivessem como foco essas categorias.
Assim, foram propostas atividades que objetivassem a interpretação de textos em
Matemática, o uso de vírgula e seu posicionamento, as tabuadas e algoritmos de multiplicação
e divisão.
O ponto de vista da teoria ausubeliana da Aprendizagem Significativa concebe o
processo de aprendizagem do aluno a partir de conceitos que estejam claramente disponíveis
na estrutura dos indivíduos, servindo assim como ponto de ancoragem (os conhecidos
subsunçores) para receber novos conhecimentos a partir destes.
Verificou-se, nos resultados evidenciados nos testes diagnósticos desta pesquisa e de
acordo com a teoria de Ausubel (2003), que os subsunçores que puderam ser detectados por
11,8%
7,9%
15,8%
5,3%
15,8%
5,3%
38,1%
14,7% 11,7%
16,1%
10,4%
14,8%
8,8%
23,5%
Teste Diag. 01
Teste Diag. 02
63
meio da aplicação das questões, foram os indicados no Quadro 06, no qual os percentuais
indicam a distribuição de respostas de acordo com os subsunçores:
Quadro 06– Subsunçores detectados no teste diagnóstico principal
Subsunçores Descrição % n=76
Subsunçor 01 –
montagem do algoritmo
O passo fundamental para iniciar os cálculos de divisão é a
correta montagem do algoritmo e a distribuição correta dos
seus elementos, no caso, o divisor, dividendo, quociente e
resto. Essa montagem foi observada, mesmo nos erros
cometidos pelos alunos nas seguintes categorias: vírgula,
tabuada e resposta incompleta. Também foi verificado que
todos os alunos que acertaram os cálculos operam o algoritmo
de forma correta.
32
Subsunçor 02 – casas
decimais iguais
O aluno conhece o algoritmo da divisão e sabe da necessidade
inicial de igualar as casas decimais para começar os cálculos.
Isso foi verificado tanto para quem acertou as questões, como
para quem cometeu erros no uso da vírgula e deixou cálculos
incompletos.
25
Subsunçor 03 – uso da
tabuada
Nas questões corretas e nas questões que mostraram erros
com vírgulas, interpretação e questões incompletas, embora
se evidenciem erros, detectou-se que as operações de
multiplicação e divisão demonstram estar preservadas nas
estruturas cognitivas dos participantes.
41
Fonte: Dados da Pesquisa
Os subsunçores ausubelianos são determinantes para que durante o processo de
aprendizagem o indivíduo possa interagir na aquisição de novos conhecimentos; esse processo
ocorre quando a estrutura cognitiva absorve o novo conhecimento a partir daquele que já
existe nela (na estrutura), assim, o material novo que chega ao indivíduo interage com aquele
que ele já possui, constituindo, assim, a chamada aprendizagem proposicional de Ausubel:
A aprendizagem proposicional pode ser subordinada (de subsunção), subordinante
ou combinatória. A aprendizagem de subsunção ocorre quando uma proposição
‘logicamente’ significativa de uma determinada disciplina (plausível, mas não
necessariamente válida em termos lógicos ou empíricos, no sentido filosófico) se
relaciona de forma significativa com proposições subordinantes específicas na
estrutura cognitiva do aluno. Tal aprendizagem pode denominar-se derivativa, caso
o material de aprendizagem apenas exemplifique ou apoie uma ideia já existente na
estrutura cognitiva. Denomina-se correlativa, se for uma extensão, elaboração,
modificação ou qualificação de proposições anteriormente apreendidas.
(AUSUBEL, 2003, p. 19)
Neste sentido, acredita-se que os subsunçores aqui destacados neste estudo, quais
sejam, o algoritmo e suas estruturas, bem como o conhecimento sobre o processo de igualar as
casas decimais, além do domínio da tabuada, constituem-se no material fundamental que os
indivíduos participantes desta pesquisa carregam em suas estruturas cognitivas, sendo estas,
64
então, o ponto de partida para que possam ser trabalhados os demais conceitos que envolvem
a divisão de números decimais.
4.2 APLICAÇÃO DA OFICINA
Tendo como base os resultados da aplicação dos dois testes, que mostraram os
principais erros dos alunos ao resolverem atividades de divisão de decimais, foi elaborada
uma estratégia de ensino para contemplar o resgate do conhecimento dos alunos, de acordo
com cada categoria estabelecida.
As atividades ocorreram em forma de oficina; para tanto, foi levado em consideração
que, para chegar à divisão de decimais, era necessário consolidar os subsunçores ausubelianos
(AUSUBEL, 2003) presentes na carga de conhecimento dos alunos; o primeiro passo foi
preparar organizadores prévios para trabalhar os conceitos que os alunos já sabiam.
Participaram da oficina os 30 alunos da turma escolhida, sendo que 19 deles já haviam
participado do teste diagnóstico. A oficina durou 16 horas-aula, foi aplicada no período de 7 a
18 de outubro de 2013 e é descrita a seguir.
4.2.1 Oficina com Objetos de Aprendizagem
Esta oficina com Objetos de Aprendizagem (OA) foi necessária para reforçar os
subsunçores, os OA adquiriram a função de organizador prévio dos conteúdos. Por meio dos
OA, puderam ser trabalhados os seguintes conteúdos:
- números com vírgulas e comparação de números decimais;
- décimos, centésimos e milésimos;
- operação adição, subtração e multiplicação com decimais;
- Reforço sobre o algoritmo de divisão de decimais.
Esses conteúdos foram trabalhados com OA desenvolvidos pelo Grupo de Informática
Educativa – GIED, vinculado à Universidade Estadual do Norte do Paraná – UENP, campus
de Luiz Meneghel1. O Grupo GIED tem experiência no ramo de informática educativa desde
2007 e já produziu 38 Objetos de Aprendizagem para a área de educação em geral, sendo que
52,3% deles são objetos voltados para a disciplina de Matemática, com conteúdos aplicados
no Ensino Médio. O conteúdo de números decimais é contemplado com dois objetos de
aprendizagem.
1 http://gied.ffalm.br/
65
Os OA do GIED são de fácil manuseio e bastante didáticos; devido a sua
interatividade, podem ser operados pelos alunos de forma independente do professor, porém,
no caso deste estudo, o manuseio do OA de números decimais foi coordenado pela professora
pesquisadora, que acompanhou todo o processo, sistematicamente, conforme planejamento.
Na figura seguinte, é apresentada a interface inicial do OA.
Figura 21 – Tela de apresentação do OA para introdução aos números decimais
Fonte: Site do GIED
Na Figura 22, a seguir, é mostrado um diálogo dos personagens, em que o menino diz
um valor e o interlocutor avisa que ele leu errado (leu quatrocentos e cinquenta) e o corrige
com o valor certo de R$ 4,50; dessa forma, vão aprofundando alguns conceitos sobre
decimais.
Figura 22 – Diálogo sobre números decimais no OA
Fonte: Site do GIED
66
Todo o conteúdo de números decimais está presente neste OA. Na sequência, é
apresentado o menu de conteúdo do objeto, no qual pode ser visualizada a lista de conteúdos:
Figura 23 – lista de assuntos de decimais no AO/GIED
Fonte: Site do GIED
Na próxima figura consta a tela inicial de entrada para as operações fundamentais com
números decimais, é uma tela animada e bem chamativa, convidando o aluno a ingressar no
programa para interagir com as aulas que nele estão presentes.
Figura 24 – Tela de entrada para as operações com decimais
Fonte: Site do GIED
67
O OA é bastante interativo com o aluno, ele ensina passo-a-passo todos os
procedimentos que o estudante deve fazer para trabalhar com a divisão de decimais (por
exemplo), e prossegue com vários exemplos, um na sequência do outro.
Figura 25 – Operação Divisão realizada no OA
Fonte: Site do GIED
O raciocínio da divisão prossegue na próxima figura, sempre mostrando com
animações os processos que o aluno deve tomar:
Figura 26 – operação divisão no OA
Fonte: Site do GIED
68
Os conteúdos foram explanados para os alunos participantes da oficina com o uso de
computador e projetor multimídia e essa explanação ocorreu durante a primeira semana da
oficina; acredita-se que seu uso possibilitou a consolidação dos subsunçores (estruturas
cognitivas) ausubelianos dos alunos, atuando como organizadores prévios e introduzindo
conceitos, ideias e situações didáticas, de modo que valorizassem o conhecimento prévio do
aluno.
Melo Filho et al (2009), ao dissertarem sobre uso de Objetos de Aprendizagem,
escrevem sobre sua vantagem didática na aprendizagem de conteúdos e como deixa os alunos
mais independentes:
[...] os objetos de aprendizagem são utilizados como instrumento de
interatividade, através da manipulação das simulações interativas,
proporcionando ao aluno independência na construção e modificação do
temas trabalhados, por conseguinte, estabelecendo uma aprendizagem com
significado. (p. 06)
Neste estudo com números decimais, o trabalho com os Objetos de Aprendizagem
atuando como organizadores prévios cumpriu o papel de valorizar os conhecimentos que o
aluno já traz com ele; isso ficou evidente nas observações durante a aplicação da oficina com
OA, evidenciado pela participação sempre ativa dos alunos, respondendo questionamentos,
resolvendo atividades do objeto.
4.2.2 Oficina com Material Dourado e Quadro Valor de Lugar
Após o uso dos organizadores prévios, como Objetos de Aprendizagem, foi realizada a
oficina com Materiais Manipuláveis, na forma de Material Dourado e Quadro Valor de Lugar.
O objetivo foi o de trabalhar a divisão de decimais, de modo a construir significados junto aos
alunos.
Foram trabalhados divisão de número natural por natural com resultado decimal;
natural por decimal com resultado decimal; decimal por natural com resultado decimal; e
decimal por decimal com resultado decimal. As atividades compreenderam as seguintes
etapas:
a) apresentação do QVL para os alunos explicando como se utiliza e sua consequente
manipulação;
b) apresentação do Material Dourado aos alunos e sua consequente manipulação;
69
c) execução da operação divisão com acompanhamento docente;
d) execução da operação divisão feita somente pelos alunos sem interferência
docente.
O QVL é apresentado em Murta, Silva e Cordeiro (2007, p. 37) e definido como “um
recurso que reforça o significado da representação posicional decimal”. Por meio do QVL as
ordens decimais de unidade, dezena, centena, etc., ficaram claramente indicadas e o aluno
pode fazer agrupamentos e compreender significados dos números por ele construídos.
O QVL produzido nesta pesquisa foi adaptado ao Material Dourado conforme figura
seguinte:
Figura 27 – Quadro Valor de Lugar adaptado para Material Dourado
Fonte: Adaptado de Freitas (2004); Murta, Silva e Cordeiro (2007)
Neste QVL, as ordens de unidades ficam assim relacionadas: “cubinho” equivale a um
milésimo; “barra” equivale a um centésimo; “placa” equivale a um décimo e o “cubão”
equivale a um inteiro. A figura seguinte permite uma visualização melhor sobre essas
correspondências:
70
Figura 28 – relação de unidades decimais no QVL
Fonte: Adaptado de Freitas (2004); Murta, Silva e Cordeiro (2007)
Para os alunos, foram entregues essas duas folhas, sendo que aquela que consta na
figura 24 foi impressa em dois tamanhos, 60cm x 70cm, para acomodar as peças do Material
Dourado, e em tamanho A4, para os alunos desenvolverem construções de decimais no
material; já esta da figura 25 foi impressa somente em tamanho A4, para efeito de instrução e
consulta rápida, caso eles esquecessem os valores que correspondiam às peças do Material
Dourado.
Para treinar a correspondência de peças-valores foi entregue aos alunos uma folha com
atividades, em que estes foram estimulados a escrever os valores numéricos decimais
conforme as figuras que eram apresentadas nos desenhos em cada item, sempre tomando
como base as relações das peças “cubão”, “placa”, “barra” e “cubinho” com as unidades
decimais.
71
Figura 29 – Atividade de construção de valores decimais resolvida por aluno
Fonte: Dados da pesquisa
Essa atividade foi importante no sentido de reforçar os subsunçores ausubelianos, com
o objetivo de atingir a aprendizagem significativa, conforme Moreira e Masini (1982, p. 95):
“a nova informação é ligada a aspectos relevantes preexistentes da estrutura cognitiva (aquilo
que o aprendiz já sabe)”; no caso, a “nova informação” a que Moreira e Masini se referem
seriam as peças do Material Dourado, com seus respectivos valores em unidades decimais, e
72
“aquilo que o aluno já sabe” seriam as próprias unidades decimais presentes em sua estrutura
cognitiva, devido ao fato de já terem estudado tais conteúdos, seja nos números naturais (nas
séries iniciais) ou nos números decimais; portanto, essa estrutura já fazia parte do leque de
conhecimento dos alunos e foi reforçada com a atividade. Na sequência, ilustração de
atividades realizadas no QVL:
Figura 30 – Construção de decimais no QVL e na folha de atividades
Fonte: Dados da Pesquisa
Essa fase de manuseio com o QVL e Material Dourado foi importante no sentido de
deixar os alunos familiarizados com os Materiais Manipuláveis e seu uso está em
concordância com as ideias de Caldeira (2009), ao afirmar que tais materiais, quando são
manipulados pelos alunos, permitem que muitos conceitos sejam facilmente compreendidos
ou construídos por eles, além de que os materiais servem também para aprofundar conceitos
com os quais o aluno já está familiarizado.
Após essa etapa de ambientação do aluno com os Materiais Manipuláveis, foi
realizada uma sequência de atividades envolvendo a divisão de decimais. Assim, para explicar
a divisão de números com resultados decimais procedeu-se da seguinte forma:
73
a) selecionou-se os números para se efetuar a divisão, escolhendo o que vai ser o
divisor e o que vai ser o dividendo;
b) lançou-se as peças do Material Dourado para representar o divisor e procedeu-se
com a divisão. Um exemplo ilustrativo é apresentado a seguir:
Esta atividade foi trabalhada em sala de aula, explicou-se no QVL e Material Dourado
a divisão de 2,7 por 6. É uma divisão de decimal por natural, o resultado é 0,45. Os
procedimentos adotados com os alunos foram os seguintes:
- montando no QVL o dividendo 2,7: o cubão representa a parte inteira 2 e a placa
representa a parte decimal 0,7:
Figura 31 – Valor de 2,7 representado no QVL
Fonte: Dados da Pesquisa
- deseja-se fazer a divisão por 6, para tanto a primeira observação é sobre o valor
inteiro, que é 2. Esse é um valor de referência, instiga-se o aluno a pensar na divisão de 2 por
6 e, de imediato, é difícil conseguir uma resposta deles. Então mostra-se como elaborar um
recurso prático utilizando o QVL. Para iniciai a divisão, toma-se o “cubão”, faz-se a sua
conversão para “placas”. Em seguida, como a divisão é por 6, faz-se no QVL 6 linhas e
distribui-se as placas nas 6 linhas, tantas vezes quanto forem necessárias, de modo que as seis
linhas fiquem preenchidas por completo; caso sobrem placas, estas são convertidas em barras
e assim por diante. O procedimento é mostrado na figura seguinte:
74
Figura 32 – Divisão de 2,7 por 6. O cubão é convertido em placas
Fonte: Dados da Pesquisa
O próximo passo é dividir o QVL em 6 linhas e em seguida distribuir nas 6 linhas as
placas, de modo igual:
Figura 33 – Distribuição das 27 placas no QVL na divisão de 2,7 por 6
Fonte: Dados da Pesquisa
Observa-se que sobraram 3 placas, as demais puderam ser distribuídas em grupos
iguais nas 6 linhas, e novamente temos uma situação de ter que dividir 3 placas para 6. Como
3 é menor do que 6, procede-se como no caso do cubão, que foi convertido para placas; neste
75
caso, converte-se as placas em barras, tendo então um total de 30 barras para serem
distribuídas no QVL:
Figura 34 – Placas e Barras no QVL para a divisão de 2,7 por 6
Fonte: Dados da Pesquisa
Observou-se que a distribuição das barras ocorreu de forma igual e não sobrou
nenhuma para ser convertida em cubinho; isso significa que a divisão encerrou, o próximo
passo é fazer um quadro resumo para que o aluno veja o resultado da divisão:
76
Figura 35 – Resumo da divisão de 2,7 por 6
Fonte: Dados da Pesquisa
Após a montagem do quadro-resumo, pode-se facilmente concluir que o resultado da
divisão de 2,7 por 6 vale 0,45; para tanto, basta tomarmos uma linha:
Figura 36 – Conclusão do valor final da divisão de 2,7 por 6 no QVL e Material Dourado
Fonte: Dados da Pesquisa
Este processo foi repetido com outras atividades de divisão de decimais, sempre
seguindo o passo-a-passo desenhado neste trabalho. No início, o processo parece ser
complexo e cansativo, haja vista a quantidade de procedimentos existentes, porém, após
algumas execuções bem sucedidas, os alunos dominam a técnica de divisão usando o QVL e
77
Material Dourado. Na figura seguinte, pode-se observar os alunos manipulando o Material
Dourado em um QVL adaptado em tamanho maior:
Figura 37 – Alunos manipulando o Material Dourado
Fonte: Dados da Pesquisa
À medida que as atividades com QVL e Material Dourado foram ocorrendo, foram
feitas intervenções para que aluno fosse instigado a resolver as divisões usando o algoritmo
usual; isto ocorreu nos intervalos entre uma atividade e outra com os materiais manipuláveis.
Os alunos receberam fichas com atividades envolvendo o algoritmo usual e eram
solicitados a resolver as atividades de divisão propostas nas fichas. Para tanto, alguns
conceitos foram relembrados para o processo de divisão, como dividendo, divisor, quociente e
resto, que foram trabalhados com os Organizadores Prévios de Ausubel (2003) representados
pelos Objetos de Aprendizagem. A título de exemplo, pode-se verificar uma dessas fichas na
figura seguinte:
78
Figura 38 – Atividade de divisão proposta aos alunos com uso do algoritmo usual
Fonte: Dados da Pesquisa
Esta atividade proposta objetivou saber se, de imediato, os alunos tinham condições de
resolver uma questão de divisão usando o algoritmo, sem utilizar o Material Dourado. O
resultado demonstrou ser positivo e está expresso na forma do gráfico seguinte, em que as
colunas do gráfico indicam o desempenho dos alunos (“errou a questão”, “acertou a questão”
e “não resolveu”).
79
Gráfico 02 – Resultado da Atividade usando o algoritmo da divisão
Fonte: Dados da Pesquisa
Essa atividade demonstra que 16,91% das questões resolvidas pelos alunos
apresentavam algum erro de divisão, 61,97% das questões foram respondidas corretamente
com o emprego do algoritmo da divisão e 21,12% das questões não foram resolvidas.
Esses resultados servem de parâmetro comparativo com o teste diagnóstico, no qual
50,1% das questões respondidas continham erros de divisão, enquanto que nesta atividade em
que os alunos responderam usando o algoritmo, houve 16,91% de respostas erradas.
Obviamente não podemos inferir que houve aprendizagem significativa em razão de que o
teste diagnóstico foi elaborado com questões-problema e esta atividade foi elaborada com
questões meramente aritméticas, mas serve de “termômetro”, uma vez que os alunos estão
operando com o algoritmo da divisão.
Cumpridas essas etapas, os 30 alunos participantes foram submetidos, no final da
oficina, a um teste final. Este teste foi elaborado com questões semelhantes ao teste
diagnóstico e, além disso, foram incluídas questões de divisão meramente aritméticas.
Este teste foi o principal instrumento de comparação com o teste diagnóstico; as três
primeiras questões constavam de situação problema, em que o aluno deveria interpretar e
resolver, e a quarta questão continha quatro itens de divisão com uso direto do algoritmo,
contabilizando assim um total de sete questões neste instrumento de avaliação.
16,91%
61,97%
21,12%
Errou a questão Acertou a questão Não resolveu
80
Os resultados do teste final estão indicados no gráfico 03 e para sua construção foi
considerado o universo total de questões que os alunos resolveram (n = 210), que foi o mesmo
procedimento utilizado no teste diagnostico. Os resultados estão indicados em termos
percentuais:
Gráfico 03 – Resultado do Teste Final (n = 210)
Fonte: Dados da Pesquisa
Pode-se verificar, no gráfico dos resultados do teste final, que os alunos erraram a
divisão em 27,19% das questões, 59,64% das questões foram respondidas de forma correta e
13,15% das questões foram deixadas em branco. Este gráfico pode ser comparado com o do
teste diagnóstico, levando em consideração somente esses três atributos: errou, acertou e não
resolveu. Assim, chegamos ao seguinte gráfico:
Gráfico 04 – Resultado do Teste Final
Fonte: Dados da Pesquisa
27,19%
59,64%
13,15%
Errou a questão Acertou a questão Não resolveu
50,1%
11,8%
38,1%
27,2%
59,6%
13,2%
Errou a questão Acertou a questão Não resolveu
Teste Diagnóstico
Teste Final
81
A comparação entre os dois gráficos evidencia que, do ponto de vista do erro de
resolução, houve queda de 50,1% para 27,2%, o que representa redução nos erros dos alunos
sobre a divisão de decimais. Com relação aos acertos, no teste diagnóstico esses resultados
ficaram em 11,8% e, no teste final, elevaram-se para 59,6%, o que leva a considerar que os
alunos melhoraram seu desempenho. Do ponto de vista das questões em branco, percebe-se
que esse número também diminuiu, de 38,1% para 13,2%.
Com a finalização desta oficina, pontos positivos e pontos negativos puderam ser
elencados.
Dos pontos positivos:
- análise de erros possibilita ao docente conhecer as limitações dos alunos bem como
os conteúdos prévios que eles trazem em sua estrutura cognitiva;
- docente pode planejar suas aulas baseado na análise de erros, tratando dos pontos-
chaves para aprendizagem dos alunos;
- os conceitos existentes na estrutura cognitiva dos alunos (os subsunçores
ausubelianos) puderam ser explorados com o uso dos organizadores prévios, que também
fazem parte da Teoria da Aprendizagem de Ausubel;
- o uso combinado de tecnologias e materiais manipuláveis no ensino de divisão de
decimais mostrou ser um recurso didático eficiente, motivador e dinamizador do processo de
ensino e aprendizagem.
Dos pontos negativos:
- com o uso do Material Durado e QVL ocupa-se muito tempo, quando das suas
manipulações iniciais para domínio das técnicas, principalmente quando de trabalha com a
operação divisão com este recurso, que requer muita movimentação de peças, levando o
operador a cumprir várias etapas;
- o tempo de aplicação da oficina não foi considerado o ideal (16 horas), pois muitas
outras atividades envolvendo divisão de decimais poderiam ser exploradas, aumentando assim
a carga de conhecimentos dos alunos.
Este estudo teve sua sequência de ensino elaborada a partir do levantamento de erros
de resolução apresentado pelos alunos no teste diagnóstico; a importância de saber detectar,
analisar e categorizar os erros, bem como de planejar uma sequência didática que foque
82
nessas categorias de erros, no sentido de reduzi-los ou eliminá-los, foi a estratégia utilizada
neste estudo e evidencia o que Cury (2007, p. 85) afirma: o professor deve elaborar
“atividades que exploram os conteúdos nos quais os alunos têm maiores dificuldades de
aprendizagem ou com os quais desenvolvem habilidades Matemáticas, de maneira geral”.
83
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com relação à análise de erros, verificou-se que este é um recurso potencial que o
professor possui para organizar a sua prática docente, haja vista que os erros que os alunos
apresentam ao resolverem alguma atividade fornecem informações importantes sobre como
eles “enxergam” o problema e como eles adotam estratégias de resolução que levam ao erro
ou ao acerto da questão.
Por meio da análise de erros realizada neste estudo, foi possível identificar quais os
tipos de erros que os alunos estavam cometendo em relação à operação divisão de decimais e
categorizá-los, trabalhando com essas categorias no sentido de preparar uma oficina de ensino
que focasse em tais grupos de erros, com vistas à sua superação.
Neste momento, é importante ressaltar a importância dos recursos didáticos escolhidos
para integrarem essa oficina que, sob a luz da Aprendizagem Significativa de Ausubel,
puderam operar com base nos subsunçores ausubelianos devidamente identificados neste
estudo junto aos alunos, no sentido de consolidar o conhecimento prévio que esses estudantes
já carregavam consigo em suas estruturas cognitivas.
Assim, segundo os pressupostos da teoria ausubeliana, foram selecionados Objetos de
Aprendizagem voltados ao ensino de números decimais, para que atuassem como
organizadores prévios dos conteúdos que os alunos já traziam consigo. O uso dos
organizadores foi fundamental para que se pudessem maximizar esses conhecimentos para a
continuação da oficina.
Assim, retomando o objetivo geral deste estudo, que foi de analisar os erros
apresentados pelos alunos de 6º ano do Ensino Fundamental ao resolverem exercícios de
divisão de números decimais e avaliar uma estratégia de ensino para construção de
significados para a operação de divisão de decimais, consideramos que a análise de erros foi
realizada com êxito, uma vez que esses foram identificados e devidamente classificados.
Quanto à avaliação da estratégia de ensino que foi empregada para superar os erros, esta
contribuiu de forma positiva, uma vez que ajudou a minorar os erros de divisão que os alunos
participantes apresentavam no início da pesquisa.
Ainda sobre a avaliação geral da estratégia de ensino (a oficina), esta seguiu o rigor
metodológico e, embora desenvolvida conforme planejado, não resolveu em sua totalidade os
problemas de erros de divisão dos alunos, porém, reduziu os percentuais, de forma
considerável, de 50,1% para 27,2%. Houve aprendizagem significativa, então?
84
Parece ser uma questão conflituosa, porém, vale lembrar que, para Ausubel, a
aprendizagem é considerada significativa quando uma nova informação interage com o ponto
de ancoragem que já está presente na mente dos indivíduos, ou seja, a aprendizagem é
considerada significativa quando a estrutura preexistente no indivíduo consegue interagir com
a nova estrutura, gerando novos conhecimentos; e no âmbito desta pesquisa verificou-se que
este processo pôde ser observado no momento em que os alunos interagiam com os Objetos
de Aprendizagem e no manuseio do material manipulável, pois, em muitos casos recordavam
dos conceitos trabalhados no objeto para utilizar no manuseio do Material Dourado.
Portanto, observou-se que houve aprendizagem significativa em parte dos alunos
participantes; cabe ressaltar que outras variáveis podem ter interferido para que a
aprendizagem significativa não atingisse um estado pleno, em decorrência, por exemplo, do
tempo de oficina, que durou somente 16 horas e pode não ter sido aproveitado ao máximo por
esta pesquisadora.
Assim, de modo geral, este estudo permitiu um aprofundamento no tema e espera-se
que seus resultados possam gerar desdobramentos, no sentido de manter o debate em torno do
uso da análise de erros como uma metodologia de pesquisa, para que o professor possa
potencializar suas práticas docentes, pois é um importante recurso para que os profissionais da
educação possam organizar suas aulas baseados nas reais necessidades de aprendizagem dos
alunos.
85
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sua produção escrita em matemática. 2007. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e
Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2007.
90
APÊNDICES
91
APÊNDICE A – TESTE DIAGNÓSTICO
CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
METODOLOGIA DA PESQUISA
SABRINA LONDERO DA SILVA ROSSATO
Instruções de prova:
- Você vai participar de uma atividade de matemática composta por 4 (quatro) questões;
- Os conteúdos das questões é sobre Divisão de Números Decimais;
- Você deve responder os exercícios no espaço reservado em cada questão;
- Procure lembrar de suas aulas de Números Decimais para responder com atenção cada
questão;
- Escreva na folha todas as suas observações e ideias que usar para tentar resolver os
exercícios propostos.
Obs: Leia atentamente cada questão e tente resolver o que se pede:
Para a aula de arte, Mario comprou um kit com 5 potes de tintas pagando ao todo R$
9,75. Qual o preço de 1 pote de tinta?
Toninho é embalador, hoje ele embalou 8,5 quilogramas de chocolate em pó em 34
pacotes, pequenos e iguais. Quantos quilogramas Toninho colocou em cada pacote?
01
02
92
A panificadora de João, seus funcionários conseguem produzir, em uma única tarde,
400 doces, utilizando para isso 10 kg de farinha de trigo. Quantos doces a panificadora de
João produzirá com 12,5 kg de trigo?
Julia foi ao posto abastecer seu carro e verificou que a quantidade de gasolina que
entrou no seu tanque de combustível foi de 20,5 litros, que custou um total de R$ 57,40 pagos
em dinheiro. Quanto custou 1 litro de gasolina?
03
04
93
APÊNDICE B – TESTE FINAL
CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
PROJETO DE DISSERTAÇÃO
SABRINA LONDERO DA SILVA ROSSATO
Instruções de prova:
- Você vai participar de uma atividade de matemática composta por 4 (quatro) questões;
- Os conteúdos das questões é sobre Divisão de Números Decimais;
- Você deve responder os exercícios no espaço reservado em cada questão;
- Procure lembrar de suas aulas de Números Decimais para responder com atenção cada
questão;
- Escreva na folha todas as suas observações e ideias que usar para tentar resolver os
exercícios propostos.
Obs: Leia atentamente cada questão e tente resolver o que se pede:
Para a atividade em grupo de Matemática, Antônio comprou um kit com 5 réguas
grande, pagando ao todo R$ 1,75. Qual o preço de 1 régua?
01
94
Vinicius trabalha em frigorífico, hoje ele embalou 15 quilogramas de carne de guisado
em 60 pacotes pequenos e iguais para vender. Quantos quilogramas Vinicius colocou em cada
pacote?
Amanda comprou um aparelho de TV de luzes Led por R$ 865,80 pagos em 6
prestações iguais. Qual o preço de cada prestação?
02
03
95
Calcular as seguintes divisões
04
96
APÊNDICE C – MATERIAL DOURADO NO QVL E SEUS RESPECTIVOS
VALORES
97
APÊNDICE D – MODELO DE QVL UTILIZADO NA PESQUISA
98
APÊNDICE E – ATIVIDADE DE REFORÇO AO ALGORITMO DA DIVISÃO
Mestrado em Ensino de Matemática e Física
Mestranda Sabrina Londero da Silva Rossato
- Fazer as divisões utilizando o algoritmo da divisão:
a) 3 ÷ 4
a) 2,7 ÷ 6
a) 1,35 ÷ 9
99
ANEXOS
100
ANEXO A – TESTE DIAGNÓSTICO RESOLVIDO POR ALUNO
101
ANEXO B – TESTE DIAGNÓSTICO RESOLVIDO POR ALUNO
102
ANEXO C – TESTE FINAL RESOLVIDO POR ALUNO
103
ANEXO D – TESTE FINAL RESOLVIDO POR ALUNO
104
ANEXO E – TESTE FINAL RESOLVIDO POR ALUNO
105
ANEXO F – QVL PREENCHIDO POR ALUNO
106
ANEXO G – ATIVIDADE DE MATERIAL DOURADO RESOLVIDA PELO ALUNO
107
ANEXO H – ATIVIDADE DE ALGORITMO DE DIVISÃO RESOLVIDO POR
ALUNO
108
ANEXO I – ATIVIDADE DE APOIO AO MATERIAL DOURADO
Fonte: Gavanski (2009)
109
ANEXO J – MATERIAL DE APOIO
Fonte: Gavanski (2009)
110
ANEXO K – MATERIAL DE APOIO
Fonte: Gavanski (2009)
