CF355

Física Moderna

Prof. Dante Mosca

Aulas em http://fisica.ufpr.br/CF355

Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica.

PROGRAMA

EMENTA

Relatividade: O conceito de espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana. O princípio da relatividade de Galileu. Relatividade no esquema de Galileu-Newton. Experiências críticas. Transformações de Lorentz-Einstein. Medidas de comprimento e intervalo de tempo. Cinemática relativística. Dinâmica relativística. Equivalência entre massa e energia. Princípio de equivalência. Mecânia Quântica: Descoberta do elétron. Radiação como partícula. Matéria como onda. Modelos

atômicos. Equação de Schrödinger.

PROGRAMA DE ENSINO

O conceito espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana: Nas mãos de Newton a mecânica foi fundamentada nos conceitos de espaço e tempo absolutos.

O princípio da relatividade de Galileu-Newton: Grandezas relativas e invariantes newtonianos. Transformação das equações da dinâmica de Newton.

Experiências críticas: Experiências relacionadas ao éter luminífero. Experiências sobre a propagação da luz.

Transformações de Lorentz-Einstein: Relatividade de acordo com Einstein e a universalidade da velocidade da luz. Relatividade e simultaneidade. Transformação de coordenadas do espaço-tempo. Diagramas de Minkowski. Um invariante do espaço-tempo.

Medidas de comprimento e intervalo de tempo: Observadores. Pontos eventos e suas transformações. Medidas de tempo. A contração de Lorentz. Dilatação do tempo. Observação da dilatação do tempo com raios cósmicos (mésons). Intervalo espaço-tempo e causalidade.

Cinemática relativística: Transformações de velocidades. Radiações de fontes em movimento rápido. Movimentos acelerados. O problema dos gêmeos.

Equivalência entre massa e energia: A “caixa” de Einstein e a equivalência entre massa e energia. Princípio de Equivalência.

Descoberta do elétron: Experiências de J. J. Thomson e Millikan.

Radiação como partícula: Corpo negro. Efeito fotoelétrico. Espalhamento Compton. Produção de raios X. Produção e aniquilação de pares.

Matéria como onda: difração de elétrons. Princípio da incerteza.

Modelos atômicos: Modelos de Thomson e Rutherford. Modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio.

Equação de Schrödinger: Interpretação de Born. Propriedades matemáticas. Equação independente do tempo. Quantização da energia. Poço infinito. Barreira de potencial. Tunelamento. Discussão elementar do oscilador

Programação das provas (40 % conceitual e 60 % problemas)

1ª PROVA – cinco primeiros tópicos em verde: Data 04/10/13

2ª PROVA – quatro tópicos seguintes em azul : Data 13/11/13

3ª PROVA – três últimos tópicos em vermelho : Data 13/12/13

Exame Final: sobre todo o conteúdo das unidades : Dia 181213

O Núcleo AtômicoO Núcleo Atômico

O Modelo de ThomsonO Modelo de Thomson

Experimento de Rutherford/Geiger-Experimento de Rutherford/Geiger-MarsdenMarsden

Espalhamento de RutherfordEspalhamento de Rutherford

RBS, Quarks, Hadrons ... RBS, Quarks, Hadrons ...

““Pudim de ameixas” de Pudim de ameixas” de ThomsonThomson

Ernest Rutherford (1871-Ernest Rutherford (1871-1937)1937)

Geiger e RutherfordGeiger e Rutherford

Geiger e MarsdenGeiger e Marsden

O que são partículas O que são partículas ? ?

O experimento ...O experimento ...

Detecção de partículas Detecção de partículas ? ?

Qual seria o resultado Qual seria o resultado esperado?esperado?

Proposta de Rutherford ...Proposta de Rutherford ...

Definindo o parâmetro de Definindo o parâmetro de impactoimpacto

O cálculo de Rutherford O cálculo de Rutherford para a relação entre b e para a relação entre b e

2cot

.4

..2

0

221

ovm

eZZb

Estime a distância mínima Estime a distância mínima entre entre e núcleo e núcleo

Dados:Dados:

EEcc=5 MeV=5 MeV

ZZ11=2=2

ZZ22=79=79

=45=45oo

ee22/4/400=1,440 =1,440 eV.nmeV.nm

Secção de choque totalSecção de choque total

tneNN

dtnNdN..

0

...

O que Geiger & Marsden medem O que Geiger & Marsden medem não é a secção de choque total !não é a secção de choque total !

Cada parâmetro de impacto Cada parâmetro de impacto corresponde uma secção de choque corresponde uma secção de choque

diferentediferente

Um anel de área 2Um anel de área 2b.db b.db espalha partículas sobre uma espalha partículas sobre uma “cinta” entre “cinta” entre e e -d-d com com

simetria axial.simetria axial.

Secção de choque Secção de choque diferencialdiferencial

O número de partículas espalhadas que chega ao detector depende: do número de partículas do feixe, do número de espalhadores no alvo, do volume irradiado, da secção de choque diferencial e da área do detector (ângulo sólido!)

d

dtNnN

d

dnV

A

NN

O cálculo ...O cálculo ...

O resultado de Rutherford O resultado de Rutherford para a secção de choque para a secção de choque

diferencialdiferencial

mMmMm

Mm

verdadeNa

vm

ZZ

d

d

.

:

2sen

1

4

.

4

1

4

2

200

21

Resultados experimentaisResultados experimentais

Desvio do resultado de Desvio do resultado de Rutherford para Rutherford para ´́s de de

alta energiaalta energia

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/rutsca3.html#c4

Eisberg, R. M. and Porter, C. E., Rev. Mod. Phys. 33, 190 (1961)

Aplicação moderna:Aplicação moderna:Rutherford Backscattering - RBSRutherford Backscattering - RBS

Um problema ...A Eletrodinâmica prevê irradiação da energia e colapso do átomo !!!!

Núcleo atômicoNúcleo atômicoO “núcleo” de E. Rutherford, 1911 - 1919O “núcleo” de E. Rutherford, 1911 - 1919Reações nucleares, Bothe & Becker, 1930Reações nucleares, Bothe & Becker, 1930

O neutrino, W. Pauli, 1931O neutrino, W. Pauli, 1931O neutron, J. Chadwick, 1932O neutron, J. Chadwick, 1932

Radioatividade induzida, Irène & Joliot Curie, 1932Radioatividade induzida, Irène & Joliot Curie, 1932Fissão nuclear, Hahn-Strassmann-Meitner-Frisch, Fissão nuclear, Hahn-Strassmann-Meitner-Frisch,

19381938A fusão nuclear, H. Bethe & E. Fermi, 1938-1942A fusão nuclear, H. Bethe & E. Fermi, 1938-1942

A Física de Partículas ... A Física de Partículas ...

J. Chadwick, 1932

O Neutron

Quarksparticulas de matéria fundamentais constituintes de prótons e neutrons e outros hadrons

Hadrons n

léptons (elementares)

partículas mésons hádrons (quarks) bárions

Categorias de Partículas

0, 1, 2, 3, … (bósons) s = 1/2, 3/2, 5/2, ... (férmions)

(spin)

L = s h

6 leptons:

* electron, electron neutrino

* muon, muon neutrino

* tau, tau neutrino

6 quarks:

* d (down), u (up)

* s (strange), c (charm)

* b (bottom), t (top)

4 intermediate vector bosons: * gluon (nuclear force)

* photon (electromagnetic force)

* W and Z bosons (weak force)

bóson Higgs

O Átomo de Hidrogênio

N. Bohr

(nm)

Ef - Ei = hf Ei - Ef = hf

Teoria Clássica do Bohr:

Postulado:

ou

Raio de Bohr

Fórmula de Rydberg

Lei de Moseley

efeito de blindagem

constante de Rydberg:

Fórmula de Balmer:

Espectro de átomo de Hidrogênio

Teoria de Schrödinger da

Mecânica Quântica

Partículas elementares agem como se certos

aspectos de seu comportamento fossem

governados por uma onda de de Broglie ou

função de onda.

Schrödinger, 1925

1933 Nobel Laureates in Physics

Erwin Schrödinger

1887-1961

Paul A. M. Dirac 1902-1984

Equação de Schrödinger :

equação que controla o comportamento da função de

onda e a relação entre esse comportamento e o

comportamento da partícula.

Construção heurística:

- definição clássica para a energia total, i. e., E = p2/2m + V

- hipóteses de de Broglie são verdadeiras:

= h/p e = E/h ( K = 2/ e = 2)

- a função de onda tem a forma:

(x,t) = (Kx - t)

tal que x e t são finitas e continuas.

Caso de uma partícula livre num espaço unidimensional: sendo p = ħK e E = ħ então ħ 2 K2/2m + V(x,t) = ħ logo 2x2 + V = t

tal que ħ2/2m e i ħ

Postulando operadores:

p - i ħ

E i ħ t a validade dessas associações não tem restrição !

Equação da função de onda

ħ2/2m) 2x2 + V = i ħ t

mas qual a interpretação para a função de onda uma vez que inclusive é complexa ?

Max Born, 1926

P(x,t) = (x,t) (x,t)

1882 -1970

é a densidade de probabilidade de que a partícula seja encontrada próxima a coordenada x no instante t.

Portanto

P(x,t)dx = (x,t) (x,t)dx

é a probabilidade de que a partícula seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dx no instante t.

Filosofia :

Previsões da Mecânica Quântica são intrinsecamente estatísticas e

a Física é por natureza indeterminada.

Cabe-nos obter valores esperados

Se f(r,p,t) é uma grandeza dinâmica de uma partícula

associada a função de onda (r,t), então o seu valor esperado f é dado por:

f = (r,t) fop(r, -i ħ r, t) (r,t) d3r

onde fop é um operador obtido por substituição em f da

relação p -i ħ r.

O átomo de Hidrogênio

• Proposição do problema• Solucionando a Equação de

Schrödinger• Funções de onda• Probabilidades• Números quânticos• Níveis de energia

Proposição do problema

Não há modo de separar as

variáveis utilizando

coordenadas cartesianas!!

21

222

2

2

2

2

2

2

22

2

22

2

2

zyx

Ze

zyxm

centralpotencialr

ZerV

rrrVrm

ħ2

ħ2

Coordenadas esféricas polares

cos

sensen

cossen

rz

ry

rx

Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio

em coordenadas esféricas polares

Sempre que o potencial V é função apenas de r, é possível separar as variáveis e a Equação de Schrödinger em três equações diferenciais

ordinárias !

simétriconteesfericamecentralpotencialrRr

rrr

Zer

r

r

rr

rr

rrm

,,

,,,,,,

sen

1,,sen

sen

1,,1

2

2

2

2

2222

2

2ħ2

Rearranjando a Equação de Schrödinger

A separação de variáveis leva à primeira separação da equação!

rVrm

d

d

d

d

dr

rdRr

dr

d

rRd

d

rrr

Zer

r

r

rr

rr

rrm

222

22

2

2

2

2

2

2222

2

2

sen2

sensensen1

,,,,,,

sen

1,,sen

sen

1,,1

2

ħ2

ħ2

A equação azimutal

Espertamente se propõe que a constante de separação seja igual a m2

o que leva a :

22

22

2

21m

d

dm

d

d

solucionando...

Nasce o primeiro número quântico do átomo de hidrogênio (Qualquer potencial central tem esta característica!!)

da equação azimutal:

m : o número quântico magnético

,....3,2,1,0

2020

m

ee

e

imim

im

voltando à equação em r e ...

Temos agora duas equações separadas para r e : a equação radial e a equação da

colatitude (também chamada de polar !!)

22

22

2

2

2

2

2

22

21

sensen

sen

1

:

sensen

1

sen

21

r

rRrRrV

m

dr

rdRr

dr

d

r

e

m

d

d

d

d

Logo

d

d

d

dmrV

mr

dr

rdRr

dr

d

rR

ħ2

ħ2

Fica para a Quântica I a solução desta equação

Surge da equação em o segundo número quântico do átomo de hidrogênio(novamente, esta solução é válida para

qualquer potencial central):

l : o número quântico orbital !!

LegendredeassociadasFunções

mmmlll

ml

cos

,...2,1,1

,

voltando à equação radial ...

Esta equação leva ao último número quântico do átomo de hidrogênio:

n = l+1, l+2,l+3,... o número quântico principal !!!

As soluções da autofunções radiais são as Funções associadas de Laguerre!

0211

:

21

222

2

222

2

rRrVm

r

ll

dr

rdRr

dr

d

r

Vem

r

rRrRrV

m

dr

rdRr

dr

d

r

ħ2

ħ2

Resumindo...

• n o número quântico principal leva a:

• l, o número quântico orbital, tem valores:

• m, o número quântico magnético, por conseqüência, assume valores:

1,...3,2,1,0 nl

llllm ,1,...,0,...1,

,...4,3,2,12 22

42

nn

emZn 2ħ2

Resumindo e reinterpretando

• Números quânticos: n,l,m

• níveis de energia

• momento angular: s,p,d,f,...

• componente z do L

,...4,3,2,12

1

0

22

2

n

a

eZ

nn

lmmLz ,...,2,1,0

,...4,3,2,1,01 22 lllL

ħ2

ħ

Resumindo

iar

ar

ar

ar

eea

r

a

ea

r

a

ea

r

a

ea

rRmln

2

1sen

2

3

23

1112

2

1cos2

323

1012

2

1

2

12

2

1002

2

1

2

12001

0

0

0

0

2

023

0

2

023

0

2

023

0

23

0

Qual será a probabilidade de encontrar um elétron dentro de uma casca esférica de raio r e espessura dr?

É a probabilidade por unidade de comprimento de observação do elétron a uma distância r da origem,

independente de e !!

radialdensidadefunçãoouradialãodistribuiçdefunçãorrrP

drrrdrrP

22

22

4

4

Autofunções radiais: 1s, 2s, 3s

Orbital 1s

Autofunções radiais: 2p, 3p, 3d

Orbitais 2s e 2p

Orbitais 3d

Configurações : m = -2, -1, 0, 1, 2

Orbitais 4f

Configurações : m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Funções complexas e funções reais

Funções reais: particularmente convenientes em aplicações químicas. Muito usadas!! Conseqüência do fato de que as

funções reais tem comportamento cartesiano, muito adequadas para descrever ligações químicas.

Funções complexas: importantes quando o elétron sofre a ação de campo magnético!

m

ou

m

ee

Fazemos

me

imim

im

sen

cos

:

,...2,1,0

Densidade de probabilidade

para as autofunções

l = 2 e l = 6

Comparando função,

densidade de probabilidade e densidade

de probabilidade

radial:

Estado 1s

Isso não faz parecer o problema de um elétron numa caixa de potencial uma brincadeira !

E qual é afinal a contribuição das equações de Maxwell ?

Visualizando os orbitais pela internet

http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/1s/index.html

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html - c2

Partícula livre

ħ2/2m) 2 + V(r,t) = i ħ t

Sendo V(r,t) = 0 e adotando iħ t E

então ħ2/2m) 2 = E

(Kr - t) = ei(Kr - t) = e iKr e- it

ħ2/2m) 2 e iKr = E e iKr

... solucionando para E

Auto-função :

(x) = A sen Kx + B cos Kx

A e B são contantes arbitrárias

Função de onda :

(x,t) = [A sen Kx + B cos Kx] e-iEt/ħ

... solução mais geral

P(x,t) dx = (x,t)(x,t) dx = 1

... normalização

ondadeFunção

eDeCetx

Autofunção

DeCex

tiikxikx

ikxikx

,

ħ

Porque alguém se preocuparia com poços de potencial na Física?

MOTIVAÇÃO

x

Poços e Barreiras

Equação de Schrödinger

Um pouco de matemática ...

Solução geral da equação de Schrödinger :

Operador & autovalor :

=

Valor esperado :

=

=

=

a

Ex.: Partícula numa caixa

0 ax

Ex. : Degrau de potencial

Caso 1

E

Para x < 0

Para x > 0

Condições de contorno :

Solução geral para E < Vo

x

Caso 2 E > Vo

E

Para x < 0

Para x > 0

Condições de contorno :

Para T ( coeficiente de Transmissão ) R ( coeficiente de Reflexão ) I (coeficiente do fluxo Incidente)

R + T = 1

x

Ex. Oscilador harmônico simples

V(x)

x

=

=

=

=

Equação de Hermite

1a derivada 2a derivada

Polinômios de Hermite :

Função Hipergeométrica confluente :

=

=

Enfim, Solução final :

n = 0, 1, 2, 3, ...

= 2f

Energia de ponto zero: Princípio de Incerteza

FIM