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Chapter 9Design via Root Locus

Copyright 2011 by John Wiley & Sons, Inc.

Control Systems Engineering

Sixth Edition

Norman S. Nise

9.1 INTRODUO

Problema: quero desempenho B

9.1 INTRODUO

Ajuste de ganho no suficiente

Soluo: compensador

Compensadores: cascata ou retroao

9.2 MELHORANDO O RESPOSTA DE REGIME PERMANENTE

Sistema opera com polo A e tem resposta transitria satisfatria

Problema: diminuir ou eliminar o erro estacionrio

Compensao integral ideal (PI)

Integrador aumenta o tipo do sistema e reduz (ou elimina) o erro

Ponto A no pertence ao novo lugar das razes

Deseja-se o lugar das razes passe por A

Compensador integral ideal (PI)

Zero do compensador cancela o efeito do polo (muito prximos)

Polo em A pertence ao lugar das razes

Finalmente: selecionar o ganho K

Exemplo 9.1 Compensador integral ideal

Sistema no compensado opera com =0,174

Deseja-se eliminar erro ao degrau e manter sistema operando com =0,174


Qual o valor de K para o sistema no compensado?


Sistema no compensado opera com =0,174; K = 164,6

Compensador: zc=0,1.


Qual o valor de K para o sistema compensado?

Compensador integral ideal: PI

Compensao por atraso de fase

K v=Kz1 z2p1 p2

K v ' = ( Kz1 z 2) ( zc )( p1 p2) ( pc )

K v ' = K vz cpc

K v ' > K vzcpc

> 1

Compensao por atraso de fase

O ponto P pertence ao lugar das razes compensado

Exemplo 9.2 Compensador por atraso de fase

Sistema no compensado opera com =0,174

Deseja-se erro estacionrio 10 vezes menor.

Exemplo 9.2 Compensador por atraso de fase

9.3 MELHORANDO A RESPOSTA TRANSITRIA

O sistema opera com K = 23,72 e fator de amortecimento 0,4

Qual o efeito da adio de um zero ao sistema de malha aberta?

Compensao derivativa ideal (PD)

Zero em s=-2 Zero em s=-3


medida que o zero distancia-se dos polos dominantes, esses polos dominantes aproximam-se da origem e dos polos do sistema no compensado.

Zero em s=-4

Exemplo 9.3 - Compensador derivativo ideal (PD)

Sistema opera com sobressinal de 16%. Deseja-se tempo de acomodao trs vezes menor, com mesmo sobressinal.


Lugar das razes do sistema no compensado:


Onde posicionar o zero do compensador?

O zero adicionar a fase ou ngulo de compensao necessrio para que seja satisfeita a condio angular


sD = -3.613+j6.193 Condio angular:

Posio do zero: trigonometria =>

G ( s ) H (s )=(2p+1 )180

G ( sD ) H (sD )=84,6

c=180 84,6 =95,6

s=3


Lugar das razes do sistema compensado:

Compensador derivativo ideal: PD

Derivar rudos pode pode produzir sinais de controle muito grandes (saturao de aturadores)

Compensao por avano de fase

O ngulo de compensao tambm pode ser fornecido por um polo e um zero

Compensao por avano de fase

Onde alocar o zero e o polo do compensador?

Exemplo 9.4 Compensador por avano de fase

Deseja-se: reduzir pela metade o

tempo de estabilizao manter sobressinal de

30%.Soluo: Arbitrar polo ou zero. Determinar ngulo de

compensao. Determinar zero ou polo.


Arbitrando zero em s = -5


A partir do ngulo de compensao, determina-se a posio do polo.

pc = 42,96


Zero (a): -5

Zero (b): -4

Zero (c): -2

Aproximao de segundaordem deteriorada.


Qual o melhor compensador?

Erro estacionrio?

Ganho K?

Aproximao de segunda ordem?

9.4 MELHORANDO O ERRO ESTACIONRIO E A RESPOSTA TRANSITRIA

PID

Avano-atraso

Exemplo 9.5 Controlador PID

Deseja-se: continue operando com sobressinal de 20%sobressinal de 20%; tempo de picotempo de pico cujo valor seja dois teros daquele do

sistema no compensado; erroerro ao degrau nulo.


Passo 1: avaliar sistema sem compensador

TP = 0,297.

MP = 20%

K = 121,5


Passo 2: compensador PD

Tp = (2/3)(0,297) = 0,198

sD = -8,13+j15,87

c = 18,370

zC = -55,92

KPD = 5,34 Lugar das razes

GPD(s) = (s+55,92)


Passo 3: simular a resposta temporal

Passo 4: avaliar a necessidade de reprojetar compensador PD

Compensador PD nos d:

TP = 0,198

MP = 20%Desempenho transitrio

satisfeito.


Passo 5: compensador PI

ZC = -0,5

KPID = 4,6 Lugar das razes

GPI(s) = (s+0,5)/s

GPD(s) = (s+55,92)

GPID(s) = GPD(s)GPI(s)

GPID(s) = 4,6(s2 + 56,42 s + 27,96)/s


Passo 6: Determinar K1, K2, K3K1 = 259,5

K2 = 128,6

K3 = 4,6


Passo 7: simular a resposta temporal.

Passo 8: reprojetar o compensador caso todos os requisitos no tenham sido satisfeitos.

Compensao avano-atraso

Seguir os mesmos passos da compensao PID

PD avano

PI atraso

9.5 COMPENSAO POR RETROAO

Compensador muito comum: tacmetro

Como projetar o compensador?

Abordagem 1

Abordagem 2

Exemplo 9.7 Abordagem 1


Requisitos: reduzir 4 vezes o tempo de estabilizao e continuar operando com 20% de overshoot.

Soluo: projetar compensador PDZero do compensador: -1/Kf

Exemplo 9.7

Sistema no compensado opera com polo -1,809+j3,531.

Polo desejado: sD = ??

Exemplo 9.7

Zero do compensador PD

zc = ??

Kf = ??

Exemplo 9.7

Lugar das razes para encontrar K1.

Exemplo 9.7

Simular resposta ao degrau

Requisitos satisfeitos?


Deseja-se fator de amortecimento:

0,8 para malha interna 0,6 para malha fechada

Exemplo 9.8

Lugar das razes da malha interna

Kf = ??

Exemplo 9.8

Lugar das razes para determinar K

Qual funo de transferncia usar??

9.6 REALIZAO FSICA DA COMPENSAO

Realizao ativa

Realizao passiva

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