Ciclos Anuais Complexos

Angie Topp Paredes

Eduardo Marcos de Jesús

Fernando J. Méndez

Francisco das Chagas V. Júnior

Tópicos

• Introdução e background sobre análise harmônica;

• Introdução de ciclo anuais complexos (complicados);

• Análise de ciclo anual simples (Prática);

• Análise de ciclo anual complexo (Prática).

Introdução

● Por que se faz análises harmônicas?Porque os ciclos anuais de algumas quantidades climatológicas não são claramente definidos apenas por um máximo e um mínimo apenas, mas apresenta dois máximos e dois mínimos.

● O que você pretende com tal ferramenta?●Você vai conhecer o comportamento anual da sua variável.

● Quais problemas você pensa em resolver?● Aqueles problemas que podem ser representados como

flutuações ou variações numa série de tempo como sejam derivados da soma de funções seno e cosseno;

● Como seria um exemplo de aplicação?● Ciclo anual e remoção de ciclo anual para variáveis como

temperatura, ROL, precipitação, etc. Dial Harmônica

Introdução

● Dificuldades:

1) O argumento de uma função trigonométrica é um ângulo, enquanto que o conjunto de dados é FUNÇÃO DO TEMPO

2) O argumento das funções seno e cosseno flutua entre 1 e -1, enquanto os limites de dados geralmente variam de diferentes

3) A função de cosseno está no seu valor máximo para a = 0 e um 2p =, e a função seno está no seu valor médio para a = 0 e um 2p =. Tanto o seno e cosseno pode ser colocada de forma arbitrária na direção horizontal em relação aos dados.

Introdução

Resolução

1) Freqüência fundamental:

Tem dimensão física de radianos por unidade de tempo (rad / s ou rad / ho rad / dia, etc ...). O índice 1 indica uma onda que é executado um ciclo completo com o conjunto de dados completo.

𝜔1=2π𝑛

Introdução

Resolução

2) deslocamento de um seno cosseno acima ou abaixo do nível geral de dados e, em seguida, expandir ou comprimir verticalmente até que corresponde ao intervalo de dados. Esticar ou encolher é obtida multiplicando a função cosseno de um C1 constante, conhecida como a amplitude (note que 1 é a de representar a harmónica fundamental ou primeiro). Uma vez que o valor máximo e mínimo de uma função de cosseno são ± 1, os valores máximo e mínimo dos C1cos função (α) = ± C1

)2cos(1 ntCyty

Introdução

Resolução

3)deslocamento lateral da função harmónica é combinar os picos e vales da série de dados.

O Ф1 ângulo chamado ângulo de fase ou mudança de fase.

Nós sabemos o que é o tempo máximo de encontrar a função harmônica quando o argumento é zero cos. Portanto, a equação acima é maximizada no momento t = Ф1n/2p.

)12cos(1

ntCyty

Introdução aos ciclos anuais Complexos

● Existem ciclos anuais, os quais não estão bem definidos;

● Neste caso, serão apresentados como usar um pequeno número de harmônicos para representar um ciclo anual complicado;

● O ciclo na figura 1 é bastante evidente, mas não é uma onda cosseno, mas a curva regular é representada com 3 harmônicos

● Onde

2/

1

2/

1

2sin2cos2cosn

kkk

n

kkkt n

ktBnktAy

nktCyy

Cálculo do ângulo de fase:

●Os máximos dos harmônicosSoma dos harmônicos

● O segundo harmonico faiz 2 ciclos em 365 dias, depois tem 2 tempos de maximo em

● [Ф2/2] e [Ф2/2 + 2π/2 ou Ф2/2+ π]

● O tercero harmonico faiz 3 harmonicos em 365 dias e tem 3 tempos maximos em

● [Ф3/3], [2π/3] + [Ф3/3], [2(2π/3) + Ф3/3]

● O quarto harmônico ele faz 4 ciclos em 365 dias os tempo do máximo são

● [Ф4/4], [ 2π/4 + Ф4/4], [2(2π/4) + Ф4/4], [3(2π/4) + Ф4/4]

Análise Harmônica de ciclo anual simples

Considere o ciclo annual médio de temperatura (oF) durante 1943-1989, em Ithaca, New York.

●Análise harmônica● Primeiro passo: Plotando a série de dados.● Segundo passo: Encontrando a frequência

fundamental e plotando o dado.● Terceiro passo: Adicionando a média à y(t) =

cos(w1*t) e a Amplitude C1.● Quarto passo: Adicionando o ângulo de fase Ф1

Para encontrar o máximo da função definimos: Ф1 = 2*pi*t/n, onde a t é o mês com a temperatura máxima. Assim, Ф1 = 0.583*pi/2.

x100

●Análise harmônica

●Análise harmônica

●Análise harmônica

  frequencia amplitude fase

1 harmonico 0,52 23,40 3,80

2 harmonico 1,05 1,04 4,69

3 harmonico 1,57 0,65 -0,95

Análise harmônica de ciclo anual complexo

Dados de Umidade Relativa oriundos da estação do IAG;

Período: 1930-2011

Passos realizados:1) Removeu-se a tendência linear da série;2) Calculou-se o ciclo anual médio (média de todos os 1 jan, 2 jan etc.), restando 365

valores;3) Com o ciclo anual da série fizemos análise harmônica para esta série.

Ciclo Anual Complexo - Exemplo

Ciclo anual – sem tendência

0 50 100 150 200 250 300 35078

80

82

84

86

88

90

Umidade Relativa

umidade

Dias

%

Ciclo Anual Complexo - Exemplo

0 50 100 150 200 250 300 35078

80

82

84

86

88

90Dados e Primeiro harmônico

umidade

Primeiro Harmonico

Dias

1 harmônico – 47,2% de variância explicada

Ciclo Anual Complexo - Exemplo

0 50 100 150 200 250 300 35078

80

82

84

86

88

90

umidadePrimeiro HarmonicoSegundo harmonico

2 harmônico – 17,44% de variância explicada

Ciclo Anual Complexo - Exemplo

-35 15 65 115 165 215 265 315 36577

79

81

83

85

87

89

umidade

Primeiro Harmonico

Segundo harmonico

1 + 2 harmonico

Somas dos dois primeiros harmônicos - 69,64 % variância explicada