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Curso de Circuitos Eltricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3

Escola Politcnica Universidade de So Paulo

Curso de Circuitos Eltricos Volume 1 Captulo 3

Anlise Nodal e suas Variantes; Anlise de Malhas

L. Q. Orsini e D. Consonni

Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres


ANLISE DE REDES

ANLISE NODAL 1a. Lei de Kirchhoff em NS

ANLISE DE MALHAS 2a. Lei de Kirchhoff MALHAS

ANLISE DE CORTES 1a. Lei Kirchhoff CORTES FUNDAMENTAIS

ANLISE DE LAOS 2a. Lei Kirchhoff LAOS FUNDAMENTAIS


Etapas da Anlise Nodal

1.Definir ramos e ns

2.Escolher n de referncia (terra) 3.Definir tenses nodais

4.Aplicar a 1a. Lei de Kirchhoff a cada n,

exceto o de referncia

5.Exprimir as correntes de ramo em

funo das tenses nodais

6.Ordenar as equaes em relao s

tenses nodais

7.Compor a equao matricial

relacionando tenses nodais e excitaes


ANLISE NODAL

N Genrico i:

1. Lei de Kirchhoff:

j1 + j2 + jk = is1 is2

Relaes Constitutivas j / v (Lei de Ohm):

G1v1 + G2v2 + Gkvk = is1 is2

Relaes tenses de ramo / tenses nodais:

G1(e1 ei) + G2(ei e2) + Gk(ek ei) = is1 is2

Resultado:

G1e1 G2e2 + (G1 + G2 + + Gk)ei + Gkek = is1 is2

e1

j2 G2 v2 j1 G1

v1

GK

vk

jk

is1 is2

ei

e2

ek

. .

.


Sentidos de Referncias (Flechas) de Correntes e Tenses nos Bipolos

So regras para Ligar Ampermetros e Voltmetros:

i v

B

A B

V

+

+ -

-

v

i


Exemplo de Anlise Nodal

1. Lei de Kirchhoff nos ns: N 1 : j1 + j2 is1 = 0 N 2: j2 + j3 + is2 = 0

Relaes Constitutivas j / v e relaes tenso de ramo / tenses nodais:

j1 = G1v1 = G1e1 j2 = G2v2 = G2 (e1 e2) j3 = G3v3 = G3e2

Resultado: N 1 : G1e1 + G2e1 G2e2 is1 = 0

N 2 : G2e1 + G2e2 + G3e2 + is2 = 0 Matricialmente: ( )

( )G G G

G G Ge

e

ii

s

s

1 2 2

2 2 3

1

2

1

2

+

+

LNM

OQPLNMOQP

=

LNMOQP

G e t in sn. ( )~

~

=

is1

1 j2 G2 j1

G1 G3 is2 j3

2

0

v1

v2

v3


ANLISE NODAL DE REDES RESISTIVAS LINEARES

Equao Geral

Gn - Matriz das condutncias nodais

- vetor das tenses nodais

- vetor das fontes de corrente

Sistema Algbrico Linear

G e t i tn sn. ( ) ( )~

~

=

e t~

( )

i tsn~

( )


Exemplo de Anlise Nodal

Equao matricial de anlise nodal:

is1 is2

is3

G1 G2 G6

G3 G4 G5 e3 e1 e2

( )( )

( )

G G G G GG G G G GG G G G G

e

e

e

i i

i i

s s

s s

1 3 4 4 3

4 4 5 6 5

3 5 2 3 5

1

2

3

1 3

2 3

0

+ +

+ +

+ +

L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMM

O

Q

PPP

=

+

L

N

MMM

O

Q

PPP


ANLISE NODAL

r tenses e r correntes desconhecidas

Exprimir r tenses de ramos em funo das (n-1) tenses nodais 2a Lei de Kirchhoff

(n-1) tenses e r correntes desconhecidas

Exprimir r correntes de ramos em funo das (n-1) tenses nodais Lei de Ohm

(n-1) tenses desconhecidas

Escrever (n-1) equaes independentes e resolver 1a Lei de Kirchhoff

Quando ramo = fonte de corrente

r tenses e (r-1) correntes desconhecidas

RESPOSTA


ANLISE NODAL EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL

- Matriz de admitncias nodais

Admitncias:

- vetor dos fasores das tenses nodais

- vetor dos fasores das fontes de corrente nodais

Sistema de Equaes Algbricas Complexas

Y j E In sn( ). $ $~

~

=

$

~

E

$

~

Isn

Y jn ( )

Y IV

=

$

$ j C

1j L G


Exemplo de Anlise Nodal em RPS

i t t

Is

o

s

o

( ) cos ( )$

= +

=

10 2 4510 45

1 2 22 0 5 2 0 25 0

1

2

+

+

LNM

OQPLNMOQP =LNMOQP

j jj j j

EE

I s, ,

$

$

$

$,

$,

E

E

o

o

1

2

6 22 496 83 65

=

=

is(t)

1 1S

2 0,5S

1F j2

2H 1/j4

E1^

E2^


ANLISE NODAL MODIFICADA

Incgnitas:

1 - Tenses nodais 2 - Correntes nos ramos

tipo impedncia: - indutores - geradores ideais de tenso, independentes ou vinculados - correntes controladoras de geradores vinculados

Equaes:

1a. L. K. nos ns independentes

2a. L. K. nos ramos tipo impedncia


ANLISE NODAL MODIFICADA

Obteno das Equaes:

Aplicar a 1a. L.K. aos ns independentes e eliminar as correntes nos ramos tipo admitncia, em funo das tenses nodais

Aplicar a 2a. L.K. aos ramos tipo impedncia, mantendo suas correntes como incgnitas

Ordenar as equaes, nos dois tipos de incgnitas: tenses nodais e correntes dos ramos tipo impedncia


Anlise Nodal Modificada

Redes Resistivas

Equaes de 1a.L.K. :

No. de equaes = No. de ns independentes

Equaes de 2a.L.K. :

No. de equaes = No. de ramos tipo impedncia

G e B i in s. .~ ~

~

+ =

F e R i es. .~ ~

~

+ =

G BF R

e

i

i

en

s

s

LNM

OQPLNMMOQPP

=

L

NMMO

QPP

~

~

~

~

1a. L. K

2a. L. K


Anlise Nodal Modificada (Padro SPICE)

Ramos Tipo Impedncia

Ramos Tipo Admitncia

V +

eS

L L + E

vC

+ H rmic

R R

C C

F ic

G gmvc

I is


Programa Computacional para Anlise de Circuitos

Descrio do Circuito (Entrada)

Montagem da Matriz de ANM

Soluo do Sistema

Sada da Soluo Desejada


Ramos Tpicos para Anlise Computacional C.C. - SPICE

Ramo R

(RK 0)

RK ei ef

jk

ei ef jk IG

Ramo I

+ ei ef jk

VG Ramo V

+

VCONT

Ramo F

ic

ei

ef

jk ic

Ramo G ei

ef

jk gmvc

ec

et

vc

Ramo H

+

VCONT ic

ei

ef

jk rmic +

Ramo E ei

ef

jk vc

ec

et

vc +


Programa PSPICE

Ramos para Anlise C.A.

C

L

ei ef

CK jk LK ik ei ef

Ramo C: Ramo L:

( ik corrente incgnita )

$ ( $ $ )J j C E Ek i f=

$ $ $E E j L Ii f k = 0


Anlise Nodal em Redes No-Lineares

Diodos k=1,2 1a. Lei de Kirchhoff nos trs ns independentes:

iG G1 G2

D1 D2 e3 e2

e1

iD1 iD2 v2 v1

i I eDk skvk

= ( 1)

G e e G e e iG e e I eG e e I e

G

s

e

s

e

1 1 2 2 1 3

1 2 1 1

2 3 1 2

2

3

1 01 0

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

+ =

+ =

+ =


DUALIDADE

Tenso Corrente

Resistncia (R) Condutncia (G)

Indutncia (L) Capacitncia (C)

Carga Eltrica (Q) Fluxo Magntico ()

Aberto Curto

Impedncia (Z) Admitncia (Y)

Srie Paralelo

N Malha


ANLISE NODAL ANLISE DE MALHAS

Ns Malhas

N de Referncia Malha Externa

Incgnitas :

tenses nodais correntes de malha

1a. Lei de K. 2a.Lei de K. aos ns no de s malhas, referncia exceto externa

Relaes i/v Relaes v/i nos ramos nos ramos

Tenses nos Correntes nos ramos ramos tenses nodais correntes de

malhas

Fontes de Fontes de corrente tenso


MALHAS DE REDES PLANARES

Malhas internas so laos que no contm nenhum ramo em seu interior.

- correntes de malha

A cada malha interna se atribui uma corrente de malha.

malhas internas

malha externa


ANLISE DE MALHAS

Grfico Planar

I

II III

1

2 3

4 5

6

iI

iII

iIII

malha I : { 1,4,5 }

malha II : { 2,5,6 }

malha III : { 3,4,6 }

malha externa : { 1,2,3 }

Relaes corrente de ramo/correntes de malha:

j1 = iI j4 = iI - iIII j2 = iII j5 = iII - iI j3 = iIII j6 = iIII - iII


Etapas da Anlise de Malhas

1.Definir as malhas da rede planar

2.Atribuir uma corrente de malha a cada malha independente 4.Aplicar a 2a. Lei de Kirchhoff a cada malha independente 5.Eliminar as tenses, usando relaes constitutivas v/j 6. Exprimir as correntes de ramo em funo das correntes de malha 7.Ordenar as equaes em relao s correntes de malha 8.Compor a equao matricial relacionando correntes de malha e excitaes


ANLISE DE MALHAS DE REDES RESISTIVAS LINEARES

Equao Geral

Rm - Matriz das resistncias de malha

- vetor das correntes de malhas

- - vetor das fontes de tenso

Sistema Algbrico Linear

R i t e tm sm. ( ) ( )~

~

=

~

( )i te tsm

~

( )


ANLISE DE MALHAS RPS Exemplo

Impedncias:

3H

j6

-j0,25 2F 2

1045454545 = 2 2 5 $I1 $I2 $I3

Z VI

=

$

$

j L 1j C

7 5 05 7 0 25 2

0 2 2 6

10 4500

1

2

3

+

L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMM

O

Q

PPP

jj

III

o

,

$

$

$

=

$

$

$

, ,

, ,

, ,

III

o

o

o

1

2

3

2 995 41 762 120 38 81

0 696 32 75

L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMM

O

Q

PPP

=

R

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