Clase de Barbosa

MEM977 Prof. Jos Maria 1

Programa de Ps Graduao em Engenharia Mecnica - DEMEC/UFPE

Sistemas de numerao e Erros

Mtodos Numricos e Instroduo aos Mtodos Numricos

Prof. Jos Maria Andrade

SISTEMAS DE NUMERAO

Objetivos

Relembrar conceitos do sistema decimal de numerao.

Trabalhar com o sistema binrio.

Converter informaes de um sistema para outro.

Estudar os tipos de erros numricos e suas consequncias.

TIPOS PRINCIPAIS DE SISTEMAS

Decimal

Este o sistema que trabalhamos desde os primeiros anos escolares. Usa dez caracteres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), tambm chamados de dgitos, para representar uma informao qualquer.

Parte Inteira e Fracionria de um numero decimal

Exemplo 1.1 Representao do nmero decimal 581 na forma polinomial.

Exemplo 1.2 Representao do nmero 135,23 da base 6 na forma polinomial (FP) e obteno do decimal equivalente.

Exemplos

Sistema Binrio

Exemplo 1.3 - Representao do binrio 1110 na forma polinomial (FP) e obteno do decimal equivalente.

O sistema binrio usa apenas os caracteres 0 e 1 (base 2) para representar uma informao qualquer.

Exemplo 1.4 - Representao do binrio 101,11 na forma polinomial (FP) e obteno do decimal equivalente.

Exemplo


Outras bases de numeraoNumbers we use are DECIMAL (or base 10):

Digits: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9123 = 1*102 + 2*101 + 3*100

But we can always use other bases:Octal (base 8):

Digits: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7123 = 1*82 + 2*81 + 3*801238 = 64+16+3 = 8310

Binary (base 2):Digits: 0, 11011 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*2010112 = 8+0+2+1 = 11101238 = 001 010 011 = 10100112

Hexadecimal (base 16):Digits: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F123 = 1*162 + 2*161 + 3*16012316 = 256 + 32 + 3 = 2911012316 = 0001 0010 0011 = 1001000112

CONVERSES ENTRE BASES

Decimal inteiro N para a base r

Dr = (Qn Rn Rn-1 Rn-2 ... R1)r

Exemplo 1.5 - Converso do decimal 350 para binrio.

Exemplo

Nmero com parte inteira e fracionria

Exemplo 1.6 - Converso do decimal 350,233 para binrio.


Conhecendo o Byte A byte is the smallest memory allocation available. A byte contains 8 bits so that:

Smallest: 0 0 0 0 0 0 0 0 = 010 Largest: 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1*27+1*26+1*25+1*24+1*23+1*22+1*21+1*20 = 25510 (or 28-1)

Result: a single byte can be used to store an integer number ranging from 0 to 255 (256 different numbers)

If negative numbers are included, one bit must be dedicated to the sign, leaving only 7 bits for the numberSmallest: 0Largest: +12710 or -12810


Magnitude com sinal

Example of signed magnitude: 000001012 => + 5 100001012 => - 5

Notice also that signed-magnitude gives plus and minus zero! 000000002 => + 0 100000002 => - 0


Preciso de nmeros em bytes

28- 1 (255) is not a very big number, so computers generally use multiple bytes to represent numbers:

Here is some new vocabulary: byte = 8 bits short (precision) = 2 bytes single (precision) = 4 bytes double (precision) = 8 bytes quad (precision) = 16 bytes char = 2 bytes (used to be 1 byte)

Note: A word is the basic size of the CPU registers and for Pentium chips it is 4 bytes or 32 bits; it is 8 bytes for the new Itanium and some unix chipsets. It was 2 bytes for early Intel chips; some new game consoles use 16 byte words.

Java and other languages use

different names!


Aritimtica de ponto Flutuante

How are fractional numbers (called real or floating point numbers) stored in a computer?

The IEEE 754 double format consists of three fields: a 52-bit fraction, f (also called the mantissa) an 11-bit based exponent, e and a 1-bit sign, s

These fields are stored contiguously in 8 bytes (or 2 successively addressed 4-byte words = 64 bits):


Padro IEEE de ponto flutuante


Representao dos nmeros

Because only a finite number of bits are used for each part of the number, not all possible real numbers can be represented in a computer using IEEE 754

0

Positive numbers smaller than 2-1022 (positive underflow, Matlab realmin)

Positive numbers greater than (2-2-52) x 21023 (positive overflow, Matlab realmax)

Negative numbers less than -(2-2-52) x 21023 (negative overflow)

Negative numbers greater than -2-1022(negative underflow)

RESULT: about 16 digits of precision in the range 10308

Zero (actually is a special combination of bits)


Fontes de erro em computaoOthers sources of error in computation:

Errors in the input data - measurement errors, errors introduced by the conversion of decimal data to binary, roundoff errors;

Roundoff errors during computation (as discussed);Truncation errors - using approximate calculation is

inevitable when computing quantities involving limits and other infinite processes on a computer Never try to compare two floating point numbers for

equality because all 16+ digits would have to match perfectly


Good Accuracy Good Precision

Good PrecisionPoor Accuracy

Good AccuracyPoor Precision

Poor AccuracyPoor Precision

Low precision: pi = 3.14 High precision: pi = 3.140101011 Low accuracy: pi = 3.10212 High accuracy: pi = 3.14159 High accuracy & precision: pi = 3.141592653

Nmeros: Preciso e Exatido (acurcia)


Descrevendo Erro no MATLAB

Accuracy How close your answer is to the actual or real

answer.Precision The smallest difference that can be represented on

the computer (help eps)Recognize: MATLAB (and other programs that use IEEE

doubles) give you 15-16 good digits MATLAB will also store exact integer values using

only the mantissa (for about 15-16 digits total)Matlab commands: realmin, realmax, eps, bitmax (try with help)


Memory in MATLAB


What it Means

In the previous slide, we see:

What is the size of the variable i What does class represent? How many bytes are used to store the value?

Name Size Bytes Class

i 1x1 8 double array s 1x43 86 char array t 1x200 1600 double array


Back to MATLAB - what does all this mean?

We must pay attention to the math! (on any computer!)

Given a finite (limited) number of bits, almost all computations will result in numbers that cant be represented exactly.

Remember that the result of a floating-point computation must be truncated to fit back into its finite representation.

Always check your results - design programs to allow for independent verification of computations!


Sistema de ponto flutuante


Exerccio: Representao dos Nmeros


Erros numricos e computacionais

Nenhum resultado numrico ou computacional tem valor se no tivermos conhecimento e controle dos possveis erros envolvidos no processo.

Para avaliao da soluo de um problema fundamental conhecer todo o processo de resoluo adotado e as possveis aproximaes inerentes.


Tipos de Erros

Uma soluo numrica nem sempre leva a um nmero exato.

Existe uma diferena entre a soluo numrica e os valores razoveis analticos ou experimentais.

Problema

Fsico

Problema matemtico

Soluo Analtica

Representao dos nmeros na mquina

Soluo Numrica

Algoritimo Computacional


Erro Absoluto e Relativo



Exercicio:Qual a melhor aproximao das indicadas abaixo ?


Fontes de Erros

Erro na ModelagemDevido expresso matemtica que no reflete perfeitamente o fenmeno fsico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatido.

Erro GrosseiroDevido a erro na elaborao ou implementao do algoritmo ou a erro de digitao.


Tipos de Erros Computacionais

Exerccio: Calcular o valor de e1 por meio de uma srie truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos 2,718.


Tipos de Erros Computacionais


Erros Computacionais - Exemplos

Operaes com diviso e multiplicao



Nmeros fora da faixa de abrangncia



Zero de ponto flutuante


Falhas por erros computacionais

Caso 1 - Guerra do Golfo, 25/fev/91 mssil Patriot dos EUA falha na interceptao do missil Scud do Iraque (fonte:http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html)

Causa: Limitao na representao numrica (24 bits)

Consequncia: O Scud atinge acampamento americano e 28 soldados so mortos, ferindo mais umas 100 pessoas.

Erro de 0,34 s no clculo do tempo de lanamento



Caso 2: Guiana Francesa, 04/jun/96 - Exploso do foguete Ariane 5. (fonte:http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html; http://www.around.com/ariane.html)

Causa: Erro de software no sistema de referencia inercial. Um ponto flutuante de de 64 bits relacionado a velocidade horizontal do foguete com respeito plataforma foi convertido para um nmero de 16 bits, ocasionando o desligamento do sistema guia 36,7 s aps o lanamento.

Consequncia: U$7 bilhes de investimentos perdidos.



Caso 3: Mar do Norte/Noruega, 23/ago/91 - Afundamento da Plataforma Martima Sleipner)

Causa: Inexatido no clculo de aproximao pelo de MEF usando um modelo linear elstico (com o software NASTRAN). Erro na anlise apontou que tenses de cisalhamento subestimadas em 47% levando a um projeto deficiente.

Consequncia: Prejuzo de U$700 milhes de investimentos.


Exerccio: Preciso da Mquina


Exerccio: Preciso da Mquina

Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43

Documents

Clase de Barbosa