UNIVERSIDADE DE BRASLIA

FACULDADE UnB PLANALTINA

MESTRADO EM CINCIA DE MATERIAIS

Classes de universalidade na equao de

Edwards-Wilkinson com memria

por

Diogo Pereira Almeida

Julho 2014

1

UNIVERSIDADE DE BRASLIA

FACULDADE UnB PLANALTINA

Classes de universalidade na equao de

Edwards-Wilkinson com memria

por

Diogo Pereira Almeida

Orientador: Professor Ismael Victor de Lucena Costa

Dissertao de Mestrado apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Ci-

ncia de Materiais da Universidade de Braslia, como requisito parcial para

obteno do ttulo de Mestre em Cincia de Materiais.

Julho 2014

Dedico a meu pai,

Jos Enes de Almeida,

minha me,

Matildes de Jesus Souza Almeida,

e minha esposa,

Aline Gonalves de Siqueira.

Agradecimentos

Agradeo primeiramente a Deus por abrir portas na minha vida, fornecendo-

me sade e sabedoria nas minhas escolhas e desaos. Ao meu orientador

Professor Ismael Costa, pelo apoio e ensinamentos prestados, sempre com

muita dedicao e demonstrando muito amor no que faz. Aos meus colegas de

mestrado, onde vivenciei grandes momentos de alegria e compartilhamento de

saber, destes, destaco meu amigo Washington, sempre solcito e prestativo.

Aos professores do programa de ps-graduao que sempre demonstraram

grande disponibilidade em ensinar. A secretaria de Educao do Distrito

Federal que concedeu-me afastamento para estudos. minha esposa Aline,

que sempre me incentivou com sbias palavras, sabendo me levantar nos

momentos mais difceis dando-me grande motivo para continuar esta jornada.

E, por m, aos meus familiares, que de algum modo me ajudaram neste

percurso.

Resumo

No presente trabalho, apresentamos um estudo da equao de Edwards-

Wilkinson (EEW) que uma equao de crescimento linear e estocstica [1].

Apresentamos uma metodologia de resoluo da EEW mais simples do que

a resoluo apresentada no trabalho clssico de Nattermann [2]. Propuse-

mos uma generalizao da EEW para incluir os casos de crescimento com

memria, ou seja, crescimentos cujas variaes de altura sofrem inuncias

explcitas de informaes do passado. Denominamos esta nova equao de

Edwards-Wilkinson com memria (EEWM). Em seguida, estudamos como

diversas funes memrias repercutem nos expoentes crticos de crescimento.

Obtivemos tambm uma resoluo analtica que descreve a evoluo da ru-

gosidade para a EEWM e utilizando esta equao da rugosidade, analisamos

outras funes memrias e como elas possibilitam um mudana de suas clas-

ses de universalidade.

Abstract

In this work we study the Edwards-Wilkinson equation (EWE) for growth

[1]. The EWE is a linear equation which contains diusion and stochastic

noise. We present a methodology for solve the EWE which is simpler than

that presented in the classical work of Nattermann [2]. We propose a genera-

lization of the EWE to include the so-called memory. I.e. a growth dynamics

where remote events of the past are important to dynamic events in the pre-

sent time. We call this new equation the Edwards-Wilkinson equation with

memory (EWEM). We investigate how the memories can change the critical

growth exponents. Moreover, we obtain an analytical solution to describe the

roughness evolution, and to determine how memories change the exponents

and its universality class.

Sumrio

1 Introduo 11

2 Crescimento 13

2.1 Crescimento de interfaces rugosas e seus modelos . . . . . . . 13

2.1.1 Rugosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Relao de escalas e lei de Family-Vicsek . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Modelo discreto e a equao de crescimento estocstico . . . . 20

2.3.1 Modelo de deposio aleatria com relaxao super-

cial - DARS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2 Equao de crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Equao de Edwards-Wilkinson - EEW e resoluo por rees-

calas 27

3.1 Reescalas no domnio real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Reescalas no domnio das frequncias . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 Relaes de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.3 Obteno dos expoentes de crescimento . . . . . . . . . 37

4 Equao de Edwards-Wilkinson com memria - EEWM e

resoluo por reescala 38

4.1 Equao de Edwards-Wilkinson com memria - EEWM . . . . 38

4.2 Expoentes de crescimento de EEWM para funes memrias

reescalveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Parmetro gama e classe de universalidade de KPZ . . 42

4.2.2 Propostas de algumas funes memrias reescalveis . . 43

5 Resoluo analtica da Equao de Edwards-Wilkinson 48

5.1 Soluo da Equao de Edwards-Wilkinson . . . . . . . . . . . 48

5.2 Rugosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 Na EEW, a mdia das alturas. . . . . . . . . . . . . . . 50

7

5.3 Clculo da rugosidade usando o espao de frequncias . . . . . 51

5.3.1 Recapitulao dos conceitos de convoluo e transfor-

mada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3.2 Funo de correlao da altura . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.3 Funo de correlao do rudo . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Rugosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Resoluo analtica da Equao de Edwards-Wilkinson com

memria - EEWM 61

6.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Resoluo da EEWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Funo de correlao da altura . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.2 Rugosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Discusses e casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Concluso 72

8

Lista de Figuras

2.1 Altura h(t) em funo do tempo t, para uma superfcie de crescimentogenrico de tamanho L e dimenso 1 + 1. Para tal instante, a altura

mdia do substrato se localiza na altura h = 4. . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Rugosidade w(t) em funo do tempo. Mostra-se claramente dois in-tervalos distintos do crescimento. Primeiramente ocorre um crescimento

descrito por uma lei de potncia. Depois ocorre o que chamamos de

saturao. A rugosidade de saturao a rugosidade um tempo longo. . 16

2.3 Percebe-se uma clara dependncia da rugosidade de saturao e do tempo

de saturao, com o tamanho L do substrato. Utilizamos neste grco

valores de crescimento de KPZ [16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Esquema que mostra a dependncia da rugosidade em relao ao tempo

para diferente valores de L. Na segunda e terceira guras h uma reescala

nas grandezas da rugosidade e do tempo respectivamente, de tal maneira

que observamos o colapso das curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Figura esquemtica onde mostra as seis possibilidades de deposio para

um modelo aleatrio com relaxao supercial - DARS . . . . . . . . . 21

2.6 Efeito da tenso supercial sobre a interface. Extrado de [17] . . . . . 26

4.1 Algumas possibilidades para a funo memria, para todas quando t!1 o termo ! 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Grco da funo memria (t) =

1

tn, com 3 possveis valores de n. . . 45

4.3 Mostra-se a evoluo dos expoentes e z em relao a varivel n da

funo memria (t) =1

tn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1 Grco com a evoluo no tempo da rugosidade w(L; t) de um substratode tamanhos L=512, 1024, 2048, 4096, 8192 e 16384: . . . . . . . . . . 686.2 Grco com a evoluo no tempo da rugosidade w(L; t) de um substratode tamanho L=16384, juntamente com a curva de ajuste que fornece o

valor do expoente : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Grco que representa ajuste de curva realizado com os wsat0s, paraobteno do expoente de saturao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9

Lista dos smbolos

EW - Edwards-Wilkinson.KPZ - Kardar-Parisi-Zhang.EEW - Equao de Edwards-Wilkinson.EEWM - Equao de Edwards-Wilkinson com memria.DARS - Deposio aleatria com relaxao supercial.TF - Transformada de Fourier.TFI - Transformada de Fourier Inversa.TL - Transformada de Laplace .TLI - Transformada de Laplace Inversa.wsat - Rugosidade de saturao.tsat - Tempo de saturao.z - Expoente dinmico. - Expoente de saturao. - Expoente de crescimento.(t) - Funo memria. - Rudo.

10

Captulo 1

Introduo

O crescimento de interfaces objeto de estudo comum nas mais variadas

reas e campos de pesquisa. Um dos aspectos que torna esta rea complexa

e atraente justamente a quantidade de elementos interagentes envolvidos.

Existem inmeros processos de crescimentos, podemos citar alguns: corroso

[3, 4], propagao de fogo [5, 6], deposio atmica [7], evoluo de uma

colnia de bactrias [8, 9], modelos de autmatos celulares [10], crescimentos

epitaxiais [11].

Um papel primordial no estudo de interfaces a classicao dada a gru-

pos de crescimentos. Grupos estes chamados classes de universalidade, que

so rotulados de acordo com seus expoentes crticos do crescimento, possibi-

litando que crescimentos aparentemente distintos pertenam a mesma classe,

isto acontece quando possuem os mesmos expoentes, o que signica possurem

caractersticas fsicas comuns, como, simetrias e interaes entre partculas

vizinhas. Ou seja, mesmo que tenham origens e morfologias completamente

distintas, os crescimentos de mesma classe de universalidade, compartilham

de semelhanas na sua formao e dinmica. Dentre as classes existentes,

duas se destacam pela relevncia e ateno dada rea cientca. A classe

de Edwards-Wilkinson - EW e a classe de Kardar-Parisi_Zhang - KPZ

Existem trs modos em se analisar um crescimento: mtodo experimental,

simulao computacional (mtodo discreto) e mtodo analtico. O mtodo

experimental consiste em observaes laboratoriais ou de campo, j a simu-

lao computacional, na elaborao de algoritmos que simulem crescimentos

realsticos, e por ltimo, o mtodo analtico, que baseia-se na elaborao

de modelos representados por equaes matemticas que descrevam certos

crescimentos, em geral, equaes diferenciais estocsticas.

Muitos sistemas fsicos mencionados esto bem descritos por modelos dis-

cretos, por exemplo, um tomo se junta ao agregado, uma rvore pega fogo,

uma bactria nasce. Tais modelos so bem adaptados s simulaes numri-

11

cas, e podem comear a partir de uma descrio muito simplicada na escala

elementar. Mas nem todos sistemas podem ser representados por estes mode-

los, ento, busca-se matematicamente equaes diferenciais estocsticas que

descrevam o processo de crescimento desejado. Devido ao seu carter alea-

trio, estas equaes descrevem as utuaes e variaes de um crescimento

de superfcie e podem ser equaes lineares ou no-lineares. Neste trabalho

focaremos na equao linear de difuso, acrescida de um termo estocstico,

tambm chamada de Equao de Edwards-Wilkinson (EEW). Atravs do cl-

culo de seus expoentes de crescimento, deniremos sua respectiva classe de

universalidade (EW ) e as caractersticas dinmicas da interface. Este clculo

ser realizado de duas formas: pela teoria de reescalas e por transformadas

de Fourier.

O principal objetivo deste estudo, inserir uma funo memria a EEW,

com o propsito de observarmos a dinmica do crescimento e eventuais mu-

danas em seus expoentes crticos. E assim, propor novos modelos contnuos

(equaes) para classes de universalidades j conhecidas. Dentre estas clas-

ses, pretendemos a KPZ. E o motivo de tal pretenso, est em dois fatos:

primeiro, apesar de KPZ j possuir uma equao bastante difundida e co-

nhecida, a mesma de difcil manipulao algbrica, pois trata-se de uma

equao diferencial no-linear e estocstica, e segundo, KPZ uma classe de

universalidade com aplicaes bastante conhecidas, como por exemplo, em

crescimento de corroso e materiais semicondutores nanoestruturados.

De incio, fazemos um apanhado terico, com conceitos e denies ne-

cessrias para a continuidade do estudo e para o posterior desenvolvimento

matemtico do processo. Denimos os expoentes de crescimento, e mostra-

mos as relaes possveis de se estabelecerem entre estes, permitindo conexes

entre diferentes interfaces e estabelecendo ligaes entre reas distintas. Par-

timos de um modelo discreto e o associamos a uma equao de crescimento

estocstica, no caso a equao de Edwards-Wilkinson (EEW).

Ao nal, atravs da equao de Edwards-Wilkinson commemria (EEWM)

e utilizando a mesma metodologia dos captulos anteriores, identicaremos

um caso particular e obtemos uma generalizao da soluo da EEWM, ci-

tando exemplos de funes memrias que modiquem o processo de cresci-

mento. No caso particular, mesclando transformadas de Fourier e Laplace,

formulamos uma soluo mais simplicada para crescimentos de Edwards-

Wilkinson. Encontramos a soluo da equao para algumas funes mem-

rias e mostramos o comportamento existente da rugosidade para cada uma

destas.

12

Captulo 2

Crescimento

2.1 Crescimento de interfaces rugosas e seus

modelos

Superfcies rugosas so rotineiramente encontradas na natureza, ou em

simulaes computacionais. O estudo do crescimento de tais superfcies e

suas interfaces feito atravs da analogia entre o fenmeno real e modelos

tericos, buscando mtodos e ferramentas que descrevam as dinmicas dessas

superfcies.

Um dos entraves na formulao de um modelo que represente uma su-

perfcie de crescimento, saber qual geometria utilizar em sua representao

morfolgica. comum encontrarmos estruturas e interfaces complexas, que

fogem dos padres da geometria euclidiana. Recentemente, a cincia avanou

bastante nesta rea, com uma contribuio fundamental de Benoit Mandel-

brot [12], em 1975. Mandelbrot criou o conceito de fractal, contribuindo na

elaborao da geometria fractal, com conceitos capazes de descrever macro-

estruturas, como uma cordilheira de montanhas, com a mesma ecincia e

detalhes que descreve pequenas estruturas, como por exemplo, um polmero.

A concepo da geometria fractal nos permite trabalhar com conceitos de

escalas, fundamental na construo dos modelos de crescimento. Neste tra-

balho, usaremos estruturas que no se modicam com a mudana da escala

de observao, mais especicamente com superfcies auto-ans, ou seja, com

estruturas invariantes sob transformaes anisotrpicas.

Mostraremos dois modos de representao de um crescimento: O modo

discreto, representado por modelos de deposies, com a qual nos permitir

enxergar as caractersticas e analisar o crescimento, e o modo contnuo, onde

as equaes estocsticas representaro os modelos discretos propostos anteri-

ormente, focando em duas classes de universalidades especcas, EW e KPZ

13

(detalhadas mais adiante).

Trabalhamos num processo de deposio de partculas idnticas sobre um

substrato unidimensional (ou sistema de dimenso 1+1), onde se utiliza a

posio e altura do substrato. Alguns exemplos de crescimentos que traba-

lham com estas dimenses como a queima de uma folha de papel [13] e o

crescimento de uma colnia de bactria em placas ou lminas [8, 9]. Nestes

casos, a espessura da folha ou da colnia sobre a lmina desprezvel.

Estes substratos unidimensionais so simulados com tamanho de L stiosonde ocorrem deposies de partculas, cada uma destas ocupa um nico

stio, podendo uma sobrepor-se a outra. Assumimos tambm que a cada

intervalo de tempo, h exatamente L deposies. A Fig. 2.1 indica ummodelo simples de deposio de partculas.

Figura 2.1: Altura h(t) em funo do tempo t, para uma superfcie de crescimentogenrico de tamanho L e dimenso 1 + 1. Para tal instante, a altura mdia do substrato

se localiza na altura h = 4.

Na g. 2.1 mostramos um modelo simples de deposio. Nela retrata-

mos a altura h(t) em funo do tempo t. O sistema tem dimenso 1+1 ecomprimento L. Denimos a unidade do tempo como t = 1

h, de modo que

t = 1 signica que foram feitas h deposies. Utilizamos as coordenadas car-tesianas, com a origem no ponto inicial do substrato. O eixo das ordenadas

equivale a altura do substrato, que denida por h(x; t) correspondente aaltura na posio x no instante t. J a altura mdia do substrato denidado seguinte modo

14

h(t) =1

L

LXx=1

h(x; t): (2.1)

Para facilitar os desenvolvimentos posteriores, a altura mdia ser uti-

lizada como referncia para o clculo da altura h(x; t). Ou seja, valoresnegativos de h(x; t) signicam alturas abaixo desse referencial.

2.1.1 Rugosidade

A altura mdia insuciente para obtermos informaes importantes

a respeito das superfcies. Duas interfaces de mesma altura mdia podem

possuir rugosidades diferentes, uma pode ter uma superfcie mais lisa e ou-

tra mais spera. As utuaes das amplitudes da interface em relao ao

comprimento L do sistema e o tempo de deposio das partculas, caracte-riza a rugosidade da superfcie, onde matematicamente esta denida pela

expresso que se segue[14]:

w(L; t) =

vuut 1L

LXx=1

(h(x; t) h(t))2: (2.2)

A rugosidade uma das grandezas de maior interesse, pois fornece uma

medida de disperso de alturas em torno de uma altura mdia. Elaborando

um grco da evoluo temporal da largura da superfcie, possvel observar

duas regies separadas por um cruzamento no tempo tsat (Figura 2.2) [15]Na g. 2.2 e 2.3. mostramos a evoluo da rugosidade w(L; t) paradiversos comprimentos L. Observamos que a rugosidade cresce inicialmentecom uma lei de potncia

w(L; t) t para t

Figura 2.2: Rugosidade w(t) em funo do tempo. Mostra-se claramente dois intervalosdistintos do crescimento. Primeiramente ocorre um crescimento descrito por uma lei de

potncia. Depois ocorre o que chamamos de saturao. A rugosidade de saturao a

rugosidade um tempo longo.

A rugosidade de saturao, denida por wsat, obedece a seguinte relao

wsat L para t >> tsat; (2.4)onde chamado expoente de saturao ou de rugosidade. O tempo desaturao denido pela regio onde a equao 2.3 cruza com w = wsat, verg. 2.2 e obedece a seguinte lei de escala

tsat Lz; (2.5)em que z chamado expoente dinmico.Classe de universalidade uma forma de se distinguir modelos de cresci-

mento com diferentes expoentes ; e z, sendo assim, um modelo colocadodentro de uma classe de universalidade de acordo com os valores de seus ex-

poentes crticos de crescimento, ou seja, modelos pertencentes a mesma classe

de universalidade possuem os mesmos expoentes. Isso permite fazer com que

diferentes crescimentos, que a princpio paream desconexos, possam estar

16

Figura 2.3: Percebe-se uma clara dependncia da rugosidade de saturao e do tempo de

saturao, com o tamanho L do substrato. Utilizamos neste grco valores de crescimento

de KPZ [16].

relacionados de alguma forma, isto , possuam elementos que mantenham

um carter de anidade, e dessa forma podem ser trabalhados em conjunto

[17]. Dentre as classes de universalidades existentes, duas se destacam pela

relevncia e ateno dada na rea cientca, Edwards-Wilkinson - EW e

Kardar-Parisi-Zhang - KPZ, abaixo temos uma tabela com os valores dos

expoentes de crescimento respectivos a EW e KPZ.

rugosidade crescimento zdinmicoEW 1

214

2

KPZ 12

13

32

Tabela 2.1: Expoentes de crescimento das classes de universalidade de EW e KPZ.

17

2.2 Relao de escalas e lei de Family-Vicsek

Os expoentes so responsveis por identicar em qual classe de univer-

salidade se insere uma determinada dinmica de crescimento, estes podem

ser obtidos por dois processos distintos: experimentais ou tericos. Os mto-

dos tericos so os mais variados possveis, indo das simulaes aos diversos

mtodos analticos. Nos processos que envolvem as simulaes, gera-se a evo-

luo temporal dos dados da rugosidade (w (x; t)), e aps esse procedimento realizado a plotagem dos respectivos dados na forma de um grco, como

pode ser observado na g. 2.3. Atravs de ajustes de curvas no grco obtm-

se os valores dos expoentes crticos, isto , consegue-se chegar aos expoentes

de rugosidade , de crescimento e dinmico z, no necessariamente nessaordem. Um fato importante, descoberto por Family e Vicsek em 1985 [18]

que estes expoentes no so totalmente independentes, usando as relaes

(2.4), (2.5) e (2.3) possvel obter uma nova relao, que descreveremos a

seguir.

No grco da g. 2.3, temos as curvas obtidas de (w x t), para diferentesvalores de L. J na g. 2.4, mostra-se um colapso destas curvas em umanica funo f(u), chamada funo de escala.

Figura 2.4: Esquema que mostra a dependncia da rugosidade em relao ao tempo

para diferente valores de L. Na segunda e terceira guras h uma reescala nas grandezas

da rugosidade e do tempo respectivamente, de tal maneira que observamos o colapso das

curvas.

Nesta gura esquematiza-se os procedimentos que permitem escrever uma

funo de escala para a rugosidade. Na primeira parte da gura temos rugo-

sidades diferentes para cada valor de L. Conforme observamos na segunda

parte da gura, ao utilizarmos a reescala w wwsat, todas as curvas passam a

se saturar em um mesmo ponto do eixo da rugosidade, mas em tempos dife-

18

rentes. J em seguida, utilizando uma reescala do tipo t ttsat, gerado um

deslocamento horizontal das curvas, provocando um colapso das mesmas,

conforme pode ser observado na terceira parte da gura.

A curva da rugosidade no grco da g. 2.3 est em funo do tempo,

ou seja,

w (L; t) f (t) : (2.6)Posteriormente realizando reescalas em w w

wsate t t

tsat, temos

w (L; t)

wsat f

t

tsat

: (2.7)

Agora, utilizando as relaes (2.4) e (2.5),

w (L; t) Lf

t

Lz

; (2.8)

que chamada de relao de escala de Family-Vicsek.

Como visto anteriormente, observando o grco 2.4 ca claro a existncia

de dois momentos diferentes para a funo f (t), onde cada momento forneceuma relao de escala diferente um do outro. O primeiro para [t > tsat]. Isto signica dizer que o tempo de saturao tsatdivide estes dois momentos da rugosidade w, ou seja, podemos nos aproxi-mar do valor da rugosidade w(tsat) pela esquerda (t > tsat), onde obteremos exatamente as relaes (2:4) e (2:3), de ondetem-se:

L t: (2.9)E agora utilizando a relao (2.5), obtemos:

L (Lz) :De onde obtemos a Lei de Family-Vicsek,

z =

: (2.10)

Esta equao mostra a dependncia existente entre os coecientes , e z: Mas importante notar que a eq. 2.10 s vale para crescimentos queobedeam a relao de Family-Vicsek mostrada em (2.8).

19

2.3 Modelo discreto e a equao de crescimento

estocstico

De um modo geral a natureza discreta, embora at o incio do sc.

XX tenha predominado a descrio contnua de natureza. Mesmo em uma

escala microscpica muitos sistemas fsicos so bem descritos por modelos

discretos, por exemplo, tomo se juntando em um agregado, rvores em

chamas transferindo o fogo para vizinhas, bactrias que nascem em meio

a uma colnia. Tais modelos so bem adaptados s simulaes numricas,

pois podem comear a partir de uma descrio muito simplicada na escala

elementar [19].

H alguns mtodos desenvolvidos para caracterizar quantitativamente ob-

jetos cujas morfologias no dependam da escala de observao. Ou seja, nosso

interesse no estudo de interfaces rugosas autoans, geradas por processos

de deposio de partculas idnticas sobre um substrato inicialmente liso. Fo-

cando no crescimento de Edwards-Wilkinson, exporemos o modelo discreto

com suas ideias e conceitos, e logo aps por princpios de simetria, associa-

remos a estes princpios equaes de crescimento estocsticas (contnuas), e

assim daremos um tratamento analtico, discutindo as classes de universali-

dade e suas possveis mudanas.

2.3.1 Modelo de deposio aleatria com relaxao su-

percial - DARS

Nosso foco ser especco a crescimentos da classe de universalidade

de Edwards-Wilkinson, por este motivo apresentaremos um nico modelo

discreto, chamado de DARS, o qual representa esta classe(mais adiante ex-

plicaremos o interesse em EW).

No modelo de deposio aleatria com relaxao supercial - DARS, a

partcula se move para o stio de menor altura. Dessa forma o processo

produz uma superfcie com uma morfologia.

Embora o processo de crescimento do modelo ser do tipo local, cada

um dos stios do modelo possui capacidade de armazenar informao a

respeito das alturas dos seus primeiros vizinhos, isto , o stio escolhido para

deposio de uma determinada partcula, possui informaes a respeito dos

stios adjacentes. A largura da regio contendo os stios correlacionados,

que chamaremos de comprimento de correlao , cresce lateralmente como tempo. Porm para um determinado sistema de rede nita, no podecrescer indenidamente pois limitado pelo tamanho da rede L. Quando ocomprimento de correlao atinge o tamanho da rede L todo o sistema est

20

correlacionado e o modelo atinge um regime saturado [20].

Portanto neste modelo, ocorre a saturao da rugosidade, ou seja, a ru-

gosidade apresenta um limite de crescimento, o que permite encontrarmos o

valor do expoente de saturao . Este fato ocorre graas a existncia deuma correlao entre os primeiros vizinhos de cada stio da interface.

As deposies ocorrem aleatoriamente, sendo que a partcula a ser agre-

gada ao sistema procura entre seus stios vizinhos, o de menor altura. Se os

stios vizinhos tem a mesma altura do stio escolhido inicialmente, a partcula

permanece no stio atual. Para uma melhor visualizao, esquematizamos na

g. 2.5, o funcionamento do modelo DARS.

Figura 2.5: Figura esquemtica onde mostra as seis possibilidades de deposio para um

modelo aleatrio com relaxao supercial - DARS

Este modelo no apresenta soluo exata para o caso discreto. Barabasi

[15] mostra, por simulao, os valores para os expoentes de crescimento , e z, de onde conclui-se que este modelo de deposio encontra-se na classe deuniversalidade de Edwards-Wilkinson. Queremos associar o modelo discreto

DARS a um modelo analtico, no caso, associamos a uma equao diferen-

cial estocstica. E, partindo da equao podemos encontrar os expoentes

de crescimento associados ao modelo de deposio aleatria com relaxao

supercial. Na prxima seo deniremos esta equao.

21

2.3.2 Equao de crescimento

Existem basicamente duas abordagens para o estabelecimento das equa-

es estocsticas. Podemos tratar um determinado crescimento caracteri-

zando seus mecanismos por expresses apropriadas, por exemplo, pela equa-

o de difuso, ou, conforme faremos adiante, podemos expressar as simetrias

do problema, obtendo as expresses das equaes [21].

H alguns modelos matemticos que descrevem evolues de interfaces,

em nosso caso, devido ao carter aleatrio do crescimento, a melhor aborda-

gem associar o crescimento a uma equao estocstica.

A evoluo do crescimento de uma determinada interface est ligada a

evoluo temporal da altura h(x; t); onde pode ser representada pela seguinteequao diferencial.

@h(x; t)

@t= (x; t); (2.11)

Introduzimos uma equao diferencial com o objetivo de determinar a

variao temporal da altura da interface, onde (x; t) o valor instantneodo nmero de partculas depositadas na posio x da superfcie, por unidadede tempo. Devido ao carter aleatrio do processo, o uxo de partculas

no uniforme, de maneira que podemos decompor (x; t) em dois termos,reescrevendo como

@h(x; t)

@t= F + (x; t): (2.12)

O primeiro termo, F uma constante e representa o uxo mdio departculas incidentes na posio x, por unidade de tempo. O segundo termo um rudo que, para descrever bem as utuaes do processo, deve satisfazer

certas condies, as quais descreveremos com detalhes mais adiante.

til reescrever a eq. 2.12 de maneira que a interface seja descrita a

partir de um referencial que se move com a mesma velocidade da sua altura

mdia.

Para isso, escrevemos

@h(x; t)

@t=@Ft

@t+ (x; t);

em que F est em funo de uma derivada parcial em relao ao tempo t, ouseja,

@Ft@trepresenta a velocidade da altura mdia. E agora, reescrevemos,

@(h(x; t) Ft)@t

= (x; t); (2.13)

simplicando a notao, temos

@h(x; t)

@t= (x; t); (2.14)

22

onde o termo

@h(x;t)@t a velocidade de deslocamento da interface, e medida

em relao a um referencial que se move com a velocidade da a altura m-

dia. E esta velocidade depende exclusivamente do tipo de rudo (x; t) queestamos lidando.

Princpios de simetria

Ao se formular uma equao para descrever um crescimento ou at

mesmo um modelo de deposio, deve-se atentar para certos princpios de

simetria do sistema. Tendo isto posto, buscamos uma equao o mais simples

possvel, que seja compatvel com os argumentos de simetria exigidos para o

crescimento em questo. Queremos generalizar uma equao para qualquer

situao de interfaces de crescimento [15]. E para isso, reescrevemos a eq

2.12 de uma forma mais geral.

@h(x; t)

@t= H(h; x; t) + (x; t) (2.15)

H(h; x; t) uma funo geral que depende da posio, altura e o tempo dainterface. Esta funo representa a dinmica do crescimento, este termo

depende da relao entre as partes, ou seja, depende do meio em que est

inserido o crescimento, por exemplo, a dinmica de crescimento em uma col-

nia de bactrias diferente da dinmica de crescimento de uma populao de

uma cidade. J o segundo termo (x; t) o termo estocstico, chamado derudo do crescimento, responsvel pela utuao ou aleatoriedade do cresci-

mento da interface.

Agora, vejamos algumas simetrias bsicas do crescimento:

1. Invarincia temporal: A equao no deve depender de onde de-

nimos o tempo inicial, ou seja, deve ser invariante sob translao,

T ! t+t, com isso temos que H(h; x; t) = H(h; x).2. Invarincia translacional na direo do crescimento: A equao

no deve depender de onde denimos o valor inicial da altura h0, ouseja, deve ser invariante sob a translao, h! h+h, com isso todos ostermos hn, no devem pertencer a equao de crescimento. J termosrnh satisfazem a simetria e devem estar na equao, e H(h; x; t) =H(x).

3. Invarincia translacional perpendicular a direo do cresci-

mento: A equao no deve depender de onde denimos o valor inicial

de x0, ou seja, deve ser invariante sob a translao, x ! x + x,com isso temos que H(h; x; t) = H, nenhum termo explcito de x devepertencer a equao.

23

4. Simetria de inverso e rotao em torno da direo do cresci-

mento: A equao de crescimento deve ser independente da direo do

eixo da coordenada paralela superfcie, em outras palavras, o sistema

deve ser invariante com relao a inverso de x para x. Esta condi-o exclui qualquer derivada de ordem mpar, ou seja, termos do tipo

r2n+1h: Mas permite termos como, (r2n+1h)2m, com m = 0; 1; 2; 3; :::5. Simetria up/down de h: A equao de crescimento deve ser indepen-

dente de onde denimos o sentido do eixo da coordenada perpendicular

superfcie, em outras palavras, o sistema deve ser invariante com re-

lao a inverso de h para h. Esta condio exclui qualquer derivadado tipo, (rnh)2m, com m = 0; 1; 2; 3; :::

Respeitando todos os princpios de simetria citados, a eq. 2.15 na forma

generalizada passa a ter o seguinte formato:

@h(x; t)

@t=r2h+ :::+r2nh+r2h (rh)2+ :::+r2mh (rh)2l+(x; t)(2.16)

com m;n e l quaisquer inteiros positivos.A utuao ou rudo (x; t) consiste numa funo estocstica com propri-edades especcas, como valor mdio e correlaes espaciais e temporais. Ao

se trabalhar com rudo nas dinmicas de crescimento, podemos classic-los

em dois tipos: rudo difusivo e de deposio [15].

Nesse estudo consideraremos o rudo (x; t) sendo uma funo cuja mdiaem todas as possveis realizaes de simulaes (mdia no ensemble) possui

a propriedade

h(x; t)i = 0: (2.17)Quer dizer que o rudo no correlacionado. E satisfaz tambm

h(x; t)(x0; t0)i = 2D(x x0)(t t0): (2.18)A condio (2.18) mostra que o rudo no tem correlao espao-temporal.

Obedecendo as condies (2.17) e (2.18), signica dizer que (x; t) descor-relacionado e segue uma distribuio gaussiana.

A utuao ou rudo nos trabalhos de crescimento possui as mesmas de-

nies empregadas em estudos de difuso. Assim, um rudo branco consiste

naquele cujas partculas so depositadas descorrelacionadamente, ou seja,

cada deposio no possui relao temporal [17]. Portanto, rudo branco

signica dizer que o nosso (x; t) obedece as condies 2.17 e 2.18.

24

Duas das principais equaes diferenciais estocsticas so a equao de

Edwards-Wilkinson (EEW)[1], equao de crescimento linear, e por isso pos-

sui apenas termos lineares da equao generalizada 2.16, e a equao de

Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) [22], equao de crescimento no-linear.

@h(x; t)

@t= O2h+ (x; t) (EEW ) (2.19)

@h(x; t)

@t= O2h+

2(Oh)2 + (x; t) (KPZ) (2.20)

Dentre as duas equaes acimas, a Equao de EW mais simples de se

manipular, principalmente por sua linearidade, o que no o caso da equao

de KPZ. Estas duas equaes possuem expoentes de crescimento distintos e

representam respectivamente suas prprias classes de universalidade, con-

forme mostrado na tabela 2.1. S que a Classe de KPZ amplamente mais

estudada e debatida pela comunidade acadmica, gerando um maior interesse

e ateno, mas sob o gargalo da complexidade de sua equao. Da surgiu-nos

a proposta deste trabalho, ser possvel obtermos a classe de universalidade

de KPZ atravs de uma equao de Edwards-Wilkinson modicada? Por en-

quanto, no podemos responder a este questionamento, para isto precisamos

conhecer a fundo a EEW e suas formas de soluo. O ponto de partida,

prximo captulo, ser a obteno dos expoentes de escala pelo mtodo mais

simples e mais conhecido, o mtodo das reescalas. Mas antes disso, vamos

conhecer a equao em questo.

Equao de Edwards-Wilkinson - EEW

EEW (2.19) a forma mais simples de uma equao de crescimento es-

tocstico. Carrega este nome porque foi proposta por Edwards e Wilkinson

em 1982 [1], onde buscou-se modelar a evoluo de interfaces rugosas. EEW

obtida da forma generalizada (2.16), e como estamos em um sistema as-

sinttico, consideramos os valores limtrofes (t ! 1 e x ! 1) das funesque caracterizam a superfcie. Neste limite, as derivadas de maior ordem em

2.16 tornam-se menos signicantes que as derivadas de menor ordem, o que

pode ser observado, por argumentos de escala. Isto se verica, porque para o

limite hidrodinmico os termos de derivadas de maior ordem, tendem a zero

mais rapidamente que os de menor ordem. Com isso, a equao 2.16, pos-

sui um nico termo O2h (da parte determinstica) que signicante para aequao. E assim, a equao mais simples, capaz de descrever o crescimento

respeitando os princpios de simetria a EEW.

Abaixo, colocamos algumas caractersticas da EEW:

25

1. Tem-se a mesma forma da equao de difuso, sendo a nica diferena a

presena do termo estocstico (x; t). Se o rudo omitido, assim comona equao de difuso, ela gradualmente elimina as irregularidades na

interface do crescimento.

2. Conserva a altura mdia h(t), e o uxo de partculas do sistema uniforme e constante.

3. O termo , chamado de tenso supercial, uma constante que tendea suavizar a interface do crescimento. A gura 2.6, mostra o compor-

tamento da tenso supercial sobre uma curva h(x; t). Quanto maiorfor , mais rpido ocorre a suavizao do sistema.

Figura 2.6: Efeito da tenso supercial sobre a interface. Extrado de [17]

A tenso supercial suaviza a curva da seguinte forma, quando h for-

mao de um pico este termo tende a traz-la para valores prximos da

altura mdia, e quando h uma formao de vale, o termo tem o mesmo

comportamento, ou seja, quanto maior , mais prximo da mdia ocorrer autuao do crescimento da interface.

A equao pode ser resolvida por transformadas de Fourier (TF) [2] ou

por mtodos de argumentos de escala [15]. No captulo 3, obteremos os

expoentes de crescimento por reescalas e no captulo seguinte reaplicaremos

o mtodo na EEW com memria, com inteno de obtermos uma possvel

mudana na classe de universalidade. Terminado a resoluo por reescalas,

nos captulos seguintes estudaremos a soluo analtica da equao.

26

Captulo 3

Equao de Edwards-Wilkinson -

EEW e resoluo por reescalas

No estudo da morfologia de superfcies e interfaces de crescimento, te-

mos um especial interesse em determinar os expoentes de crescimento que

representam as caractersticas fsicas mais essenciais dos modelos. Outra

abordagem usada o estudo da geometria fractal, por meio da determinao

da dimenso fractal dos agregados, bem como sua relao com os conceitos

de escala e com as leis de potncia usados para descrever a morfologia do

crescimento de superfcies.[12].

Neste captulo, por meio de ajustes de escalas e transformadas de Fourier,

determinaremos os expoentes de crescimento para o modelo aqui proposto,

e consequentemente a classe de universalidade a qual pertence. O mtodo

das reescalas a forma mais simples e conhecida de se obter os expoentes de

crescimento e consequentemente identicar a classe de universalidade. Este

mesmo mtodo ser reutilizado na equao de EW com memria, que ser

apresentada no prximo captulo.

Recomendamos ao leitor interessado em aprofundar e conhecer aplicaes

fsicas do mtodos das reescalas, a leitura de Lara et. al [23], onde apre-

sentado algumas aplicaes fsicas, tanto na fsica clssica como tambm, na

quntica, por exemplo para a obteno da soluo da equao de Schrdinger.

O mtodo ser utilizado de duas formas: primeiro da maneira convenci-

onal, no espao real. Depois reaplicaremos o mtodo, s que neste caso ser

aplicado na EEW no espao de frequncias, de incio faremos a transformada

de Fourier da equao, e a sim aplicaremos as reescalas na equao para

obter os expoentes.

O motivo de utilizarmos este mtodo no espao de frequncia consiste

que, em determinadas ocasies, mais fcil se trabalhar neste espao do que

no espao real, como por exemplo na resoluo da EEW com memria.

27

3.1 Reescalas no domnio real

Nesta seo, realizaremos os clculos para obter os expoentes de cresci-

mento da Equao de Edwards-Wilkinson em 1 dimenso, por reescalas.

Partiremos da equao de EW,

@h(x; t)

@t=

@2h(x; t)

@x2+ (x; t) (EEW ): (3.1)

O primeiro passo determinarmos qual escala e transformaes aplicam-

se ao nosso crescimento. Nossa interface de crescimento auto-am, per-

mitindo transformaes horizontais (em x) e verticais (em h), ou seja, agrandeza x pode ser reescalada como, x0 = bx, sem variaes na EEW. Apartir desta reescala em x, obteremos as reescalas para as grandezas h, t, we para o rudo (x; t) existentes na equao.Como visto no captulo anterior, a rugosidade da superfcie denida

atravs da utuao quadrtica mdia das alturas. O valor da rugosidade

w proporcional a t para tempos curtos e proporcional a L, para tem-pos longos.Utilizaremos a denio da rugosidade de saturao wsat, e suadependncia em relao ao coeciente de saturao , eq. 2.4.

wsat L para t >> tsat;abaixo, relacionamos as reescalas.

Primeiro, realizamos uma mudana de varivel de x para L, adequandoalgumas relaes as denies da interface de crescimento,

x = bx0 ! L = bL0 (3.2)Agora, reescalamos a grandeza L na relao wsat L de tal forma que

wsat L ! wsat = (bL0) = bL0:Da, como w0sat L0 temos,

wsat = bw0sat:

Assim, a nova escala em relao a rugosidade w

w = bw0: (3.3)

Esta nova escala em w ser til para encontrarmos a reescala da varivel h.Esta reescala da altura h, encontrada atravs da equao da rugosidade, eq.2.2 denida no captulo anterior, que depende somente de h, possibilitandoa obteno da reescala para esta grandeza.

28

Inicialmente elevamos ao quadrado os dois lados da eq. 2.2,

w2 =1

N

Xhi h

2: (3.4)

Agora substitumos a eq. 3.3 em 3.4, obtendo:

b2w02=

1

N

Phi h

2Isolando-se a rugosidade w, encontramos

w02=

1

N

Pbhi bh

2Como a eq. 3.4 dever ser invariante na transformao w = bw0, istosignica dizer que bhi = h0i e b

h = h, ou seja,

h = bh0; (3.5)

que a reescala da altura.

Conforme o leitor pode observar, utilizamos para obter as reescalas de we h a relao de dependncia wsat L, esta rugosidade de saturao wsatocorre a partir de um certo instante t; ao qual denominamos tsat, e comovisto na eq. 2.5, tsat tambm possui uma relao de dependncia tx Lz,com a qual obteremos a reescala do tempo t.J sabemos que L = bL0, substituindo devidamente em tx Lz temos

tx Lz ! tx = (bL0)z = bzL0zSem prejuzo expresso acima, podemos usar a relao t0x L0z , ou seja,

tx = bzt0x

e portanto

t = bzt0 (3.6)

Agora, encontraremos a reescala do rudo por sua equao de correlao2.18,

h(x; t)(x; t)i = 2D(x x)(t t)

Utilizando as reescalas de x e t j encontradas em (eqs. 3.2 e 3.6), temos

h(x; t)(x; t)i = 2D(b(x0 x0))(bz(t0 t0))

29

Para o prximo passo usamos a seguinte propriedade da funo delta,

(bx) =1

b(x), assim:

h(x; t)(x; t)i = 2D1b(x0 x0) 1

bz(t0 t0)

bz+1 h(x; t)(x; t)i = 2D(x0 x0)(t0 t0)| {z }h(x0; t0)(x0; t0)i

O lado direito da expresso exatamente a equao de correlao do rudo

(x0; t0), e introduzindo o termo bz+1 na correlao do rudo (x; t) no ladoesquerdo da equao, temos

bz+1 h(x; t)(x; t)i = h(x0; t0)(x0; t0)i*b

z + 1

2 (x; t)b

z + 1

2 (x; t)

+= h(x0; t0)(x0; t0)i :

Aqui podemos vericar a igualdade das correlaes, assim o primeiro

termo do lado esquerdo igual ao primeiro termo do lado direito.

b

z + 1

2 (x; t) = (x0; t0)

e nalmente,

(x; t) = bz + 1

2 (x0; t0) (3.7)

E assim, a eq. 3.7 a reescala do rudo (x; t), que dever ser invarivelna EEW.

E portanto, agora temos as reescalas dos termos x = bx0, h = bh0, t = bzt0

e (x; t) = bz + 1

2 (x0; t0), substitumos a reescala de cada termo na EEW(eq. 3.1), da seguinte maneira:

b

bz@h0(x0; t0)

@t0=

b

b2@2h0(x0; t0)

@x02+ b

z + 1

2 (x0; t0)

A equao acima dever manter-se invarivel em relao a eq. 3.1, por

isso eliminaremos algebricamente o termo

b

bzdo lado esquerdo da equao.

Para isso multiplicamos toda equao por bz

30

@h0(x0; t0)@t0

= bz2@2h0(x0; t0)

@x02+ b

12z 1

2(x0; t0) (3.8)

Independente das mudanas de escalas, as equaes 3.1 e 3.8 devem ser

iguais, comparando-as encontramos os valores dos expoentes z e , pois otermo bz2 = 1, de onde obtemos que z = 2. Da mesma forma o termo

b12z 1

2 = 1, onde obtemos que =1

2.

Utilizando a lei de Family-Vicsek, obtemos tambm o coeciente de cres-

cimento . Portanto,

z = 2; =1

2e =

1

4

Que so os expoentes de crescimento pertencentes a classe de universa-

lidade de Edwards-Wilkinson. Valores encontrados em simulaes computa-

cionais, comparados com estes aqui obtidos, comprovam que a equao de

Edwards-Wilkinson a equao de crescimento estocstico correspondente

ao modelo de deposio aleatria com relaxao supercial - DARS, visto no

captulo anterior.

3.2 Reescalas no domnio das frequncias

Nesta seo aplicaremos o mesmo mtodo da seo anterior, com a di-

ferena que as reescalas sero realizadas no espao das frequncias. Ou seja,

realizaremos as reescalas aps aplicarmos a Transformada de Fourier - TF

na eq. 3.1. Esta maneira bastante til em situaes onde necessitamos

simplicar a equao parcial, como por exemplo, na Equao de Edwards-

Wilkinson com memria - EEWM (captulo seguinte), onde no domnio da

frequncia, conseguimos trabalhar melhor a equao.

3.2.1 Transformada de Fourier

O primeiro passo denirmos a notao que adotaremos para a trans-

formada de Fourier nas funes da equao Edwards-Wilkinson, abaixo:

@h(x; t)

@t=

@2h(x; t)

@x2+ (x; t) EEW (3.9)

Denimos a transformada de Fourier - TF de f , como sendo a funoF que associa a cada funo absolutamente integrvel f : R ! R a funobf : R! C denida pela expresso31

bf(w) = Z 11

f(t)eiwtdt (3.10)

A chamada transformada de Fourier inversa - TFI, a funo F1

que associa a cada funo

bf : R ! C que pertena ao conjunto imagem deF a funo absolutamente integrvel f : R! R denida pela expresso

f(x) =1

2

Z 11

bf(w)eiwtdw (3.11)Assim, isso signica dizer que se f contnua, ento

F1(F (f)) = f

Seguiremos a denio acima, apenas tomando o cuidado de fazermos os

devidos ajustes de notao, substituindo corretamente a funo f por h(x; t)ou (x; t) conforme for o caso.Relacionaremos todas as possveis transformadas e suas respectivas inver-

sas em cada funo da eq. 3.9:

Primeiramente, utilizaremos a funo h(x; t):A transformada de Fourier de h(x; t) e sua respectiva inversa em relaoa varivel x;

bh(k; t) = Z +11

h(x; t)eikxdx

h(x; t) =1

2

Z +11

bh(k; t)eikxdk: (3.12)A mesma TF em relao a varivel t;

bh(x;w) = Z +11

h(x; t)eiwtdt

h(x; t) =1

2

Z +11

bh(x;w)eiwtdw: (3.13)E por ltimo, a transformada em relao a x e t;

bh(k; w) = Z +11

Z +11

h(x; t)ei(kxwt)dtdx

h(x; t) =

1

2

2 Z +11

Z +11

bh(k; w)ei(kxwt)dwdk: (3.14)32

Aplicando a TF, em relao as varveis x e t, em cada termo da eq. 3.9,temos: Z +1

1

Z +11

@h(x; t)

@teiwteikxdtdx =

Z +11

Z +11

@2h(x; t)

@x2eiwteikxdtdx+

Z +11

Z +11

(x; t)ei(kxwt)dtdx:

(3.15)

Deste ponto, resolveremos separadamente cada integral da equao, cal-

cularemos uma a uma utilizando o mtodo da integrao por partes.

Conceito:(Integral por partes)

Da frmula da derivada do produto de duas funes obtemos um mtodo

de integrao muito til, chamado Integrao por Partes, que estabelecido

da seguinte forma.

Se f e g so duas funes diferenciveis, ento

Dx [f(x) g(x)] = f 0(x) g(x) + f(x) g0(x)ou equivalentemente

f(x) g0(x) = Dx [f(x) g(x)] f 0(x) g(x)Integrando ambos os membros em relao a x, obtemosZ

f(x) g0(x)dx =Z

Dx [f(x) g(x)] dxZ

f 0(x) g(x)dx

e escrevemos esta ltima equao da seguinte forma:Zf(x) g0(x)dx = f(x) g(x)

Zf 0(x) g(x)dx

que chamada de frmula de Integrao por Partes. Esta frmula

pode ser simplicada com as seguintes substituies,

u = f(x) dv = g0(x)dxdu = f 0(x)dx v = g(x)

Resultando numa verso simplicada da frmula,Zu dv = u v

Zvdu (3.16)

33

Comearemos a resoluo pela integral

R +11

@h(x;t)@t

eiwtdt que a primeiraintegral do lado esquerdo da eq. 3.15, para o clculo utilizaremos a integrao

por partes, usando as seguintes mudanas de variveis,

u = eiwt; dv = @h(x;t)@t

; du = iweiwt; v = h(x; t)Aplicamos a denio de integral por partes (eq. 3.16):

jeiwth(x; t)j+11 R +11 h(x; t)iwe

iwtdt = 0 iw R +11 h(x; t)eiwtdtPercebemos que de acordo com eq. 3.13, a integral resultante a prpria

transformada de Fourier

bh(x;w). Portanto,Z +11

@h(x; t)

@teiwtdt = iw

Z +11

h(x; t)eiwtdt = iwbh(x;w) (3.17)Repetimos o mtodo de integrao para a integral

R +11

@2h(x;t)@x2

eikxdx,que tambm faz parte da equao 3.15:

u = eikx; dv = @2h(x;t)@x2

; du = ikeikx; v = @h(x;t)@x

Integrando por partes:R +11

@2h(x;t)@x2

eikxdx =eikx @h(x;t)@x +11R +11 @h(x;t)@x (ik)eikxdx = ik R +11 @h(x;t)@x eikxdxReaplicando o mtodo da integrao por partes na integral resultante

temos,

ikR +11

@h(x;t)@t

eikxdx = ik(ik)R +11 h(x; t)e

ikxdx

De acordo com a eq. 3.12, a integral a prpria transformada de Fourierbh(k; t). Portanto,Z +11

@2h(x; t)

@x2eikxdx = ik(ik)

Z +11

h(x; t)eikxdx = k2bh(k; t) (3.18)O ltimo termo da equao 3.15, ao qual encontra-se o rudo (x; t),depende de x e t, aplicaremos a denio da transformada de Fourier duasvezes (em x e t):

R +11

R +11 (x; t)e

i(kxwt)dxdt =R +11 e

iwthR +11 (x; t)e

ikxdxidt.

34

Utilizamos a denio da transformada de Fourier em relao a x:

R +11 e

iwthR +11 (x; t)e

ikxdxidt =

R +11 e

iwtb(k; t)dt,e agora em relao a t,R +11 e

iwtb(k; t)dt = b(k; w):E assim, Z +1

1

Z +11

(x; t)ei(kxwt)dxdt = b(k; w) (3.19)Substituindo (3.17), (3.18) e (3.19) em (3.15), temos:

iwbh(x;w) R +11 eikxdx = k2bh(k; t) R +11 eiwtdt+ b(k; w),rearranjando as integrais:

iwZ +11

bh(x;w)eikxdx| {z } = k2Z +11

bh(k; t)eiwtdt| {z }+b(k; w),bh(k; w) bh(k; w)A primeira integral igual

bh(k; w) que corresponde a TF de bh(x;w) emrelao a x. E a segunda integral tambm igual a bh(k; w) que correspondea TF de

bh(k; t) em relao a t, organizando a equao em funo de bh(k; w),temos:

bh(k; w) = b(k; w)k2 iw (3.20)Esta a equao de EW no domnio das frequncias, e dos momentos.

3.2.2 Relaes de escala

Agora que encontramos a EEW no domnio das frequncias. Faremos as

mudanas de escalas em cada termo da equao 3.20. Para isto utilizaremos

as equaes de reescalas j encontradas na seo anterior, e calcularemos as

reescalas ainda desconhecidas.

Lembrando que para todas as reescalas encontradas, partimos da reescala

x = bx0, deste ponto encontraremos tambm as relaes das variveis e fun-es originadas da equao de EW aps a Transformada de Fourier, no caso,

k, w, bh e b.Iniciaremos pela TF da altura:

35

bh(k; w) = R +11 R +11 h(x; t)eikxeiwtdxdtNosso objetivo encontrar uma reescala para esta funo. Para isto

substitumos as reescalas j conhecidas (eqs. 3.2, 3.6 e 3.5):

bh(k; w) = R +11 R +11 eikbx0eiwbzt0bh0(x0; t0)bdx0bzdt0Retiramos da integral todos os termos que no dependem de x0 e t0,

bh(k; w) = b+z+1 R +11 R +11 eibkx0eibzwt0h0(x0; t0)dx0dt0A funo

bh(k; w) no deve sofrer variaes com as reescalas, para estagarantia devemos encontrar uma reescala para k e w, de tal forma que semantenha a denio da TF, ou seja, k deve ser reescalado como k0 = bk,ou,

k =k0

b(3.21)

e w como w0 = bzw, ou,

w =w0

bz(3.22)

Portanto,

bh(k; w) serbh(k; w) = b+z+1 Z +1

1

Z +11

eik0x0eiw

0t0h0(x0; t0)dx0dt0| {z } :bh0(k0; w0)A integral resultante exatamente a transformada de Fourier de

bh0(k0; w0).Com a devida substituio, temos a reescala da altura no domnio das frequn-

cias: bh(k; w) = b+z+1bh0(k0; w0) (3.23)Para encontrar a reescala do rudo no espao de frequncia b(k; w), se-guiremos os mesmos passos de

bh(k; w). Assim, iniciamos pela TF do rudob(k; w):b(k; w) = R +11 R +11 (x; t)eikxeiwtdxdtSubstitumos as reescalas j conhecidas (eqs. 3.2, 3.6, 3.7, 3.21 e 3.22):

b(k; w) = R +11 R +11 eik0

bbx0eiw0

bzbzt0

bz + 1

2 0(x0; t0)bdx0bzdt0

36

Retiramos da integral todos os termos que no dependem de x0 e t0,

b(k; w) = b z2+ 12 Z +11

Z +11

eik0x0eiw

0t00(x0; t0)dx0dt0| {z }b0(k0; w0)A integral resultante exatamente a TF de b0(k0; w0). Portanto a reescalado termo b(k; w) : b(k; w) = b z2+ 12 b0(k0; w0): (3.24)3.2.3 Obteno dos expoentes de crescimento

Voltamos a equao de crescimento (eq. 3.20),

bh(k; w) = b(k; w)k2 iwSubstitumos as reescalas (eqs. 3.21, 3.22, 3.23 e 3.24), obtendo,

b+z+1bh0(k0; w0) = b z2+ 12 b0(k0; w0) k

02

b2 iw0

bz

Observem que apesar das reescalas a equao deve ser invarivel, e para

que isso acontea o denominador das duas equaes devem ser iguais. Isso s

possvel se z = 2. Desenvolvendo a expresso com o valor de z = 2, temos

b12bh0(k0; w0) = b0(k0; w0)

k02 iw0E agora, comparando novamente com a eq. 3.20, conclumos que b

12 =

1; ou 12= 0, de onde retiramos que = 1

2:E por ltimo, utilizando a lei de Family-Vicsek, obtemos tambm o coe-

ciente de crescimento . E abaixo reescrevemos os coeciente encontrados,

z = 2; =1

2e =

1

4:

Que so os expoentes de crescimento pertencentes a classe de universali-

dade de Edwards-Wilkinson.

Neste captulo, utilizando o mtodo das reescalas de duas maneiras dis-

tintas, obtemos os expoentes crticos do crescimento de EW. Este mtodo

mostrou-se bastante eciente e de simples resoluo, com este mesmo pro-

psito, no captulo seguinte reaplicaremos a metodologia para a equao de

EW com memria. Desta forma poderemos analisar o comportamento dos

coecientes de crescimento com a insero da funo memria a EEW.

37

Captulo 4

Equao de Edwards-Wilkinson

com memria - EEWM e

resoluo por reescala

Sabemos que a equao de Edwards-Wilkinson devido aos seus expoentes

de crescimento pertence a classe de universalidade de EW. Neste captulo,

realizaremos uma pequena mudana na EEW, alterando o termo de derivada

segunda do espao, criando assim uma generalizao da EEW. O objetivo

disso mudarmos a dinmica do crescimento, o que alteraria os coecientes

de escala, migrando assim a equao para novas classes de universalidade,

como por exemplo, para a classe de KPZ. Isto signicaria a obteno de

uma equao linear para a classe de universalidade de KPZ, possibilitando a

abertura de um leque de opes em diversas reas onde so estudados estes

crescimentos, e que encontramos diculdades inerentes da equao atual (eq.

2.20), que no-linear e estocstica.

4.1 Equao de Edwards-Wilkinson com me-

mria - EEWM

Diversos sistemas possuem uma evoluo no tempo utilizando informa-

es de perodos imediatamente anteriores. Esses sistemas so chamados de

sistemas markovianos, e grande parte das equaes da Fsica e seus modelos

so markovianos. A equao de Edwards-Wilkinson uma equao marko-

viana, pois sua dinmica para o tempo t + dt requer informaes de alturase utuaes do instante imediatamente anterior, no caso, do tempo t.Porm, diversos sistemas e fenmenos possuem uma evoluo que necessi-

tam de informaes mais antigas, ou seja, uma variao no tempo t+dt utiliza

38

informaes de conguraes e relaes dos instantes t; tdt; t2dt; t3dt,etc. Esses sistemas so ditos possurem uma memria, onde informaes do

passado continuam a inuenciar explicitamente o comportamento do sistema.

Diversos fenmenos possuem suas dinmicas dependentes de memria e po-

demos citar sistemas de vidros de spin, plasmas, sistemas biolgicos etc.

O estudo de sistemas com memria em processos difusivos teve um grande

desenvolvimento a partir do trabalho de Hazime Mori, em 1964 [24] e [25].

Mori props uma generalizao da equao de Langevin, e nesta proposta

agregou os casos que existissem relaes no-markovianas, ou seja, os pro-

cessos atuais passariam a no depender apenas de ocorrncias imediatamente

anteriores.

Como diversos crescimentos se desenvolvem em meios cuja dinmica

orientada por memria optamos por estudar algumas propriedades da funo

memria em equaes de crescimento. Inspirando-se na ideia de Mori para

a equao de Langevin, escreveremos a equao de Edwards-Wilkinson com

uma funo memria no termo de tenso supercial. Assim, substitumos

a constante , presente em EEW, por uma funo (t) que chamaremos defuno memria. Abaixo apresentamos a Equao de Edwards-Wilkinson

com memria - EEWM:

@h(x; t)

@t=

Z t0

(t )@h2(x; )

@2xd + (x; t): (4.1)

A equao acima signica que, para diversos instantes, a relao entre os

primeiros vizinhos representada pelo termo

@h2(x;)@2x, continua a inuenciar o

crescimento, porm agora com um peso representado pelo termo de tenso

supercial (t). O termo com a funo memria est descrito por uma inte-gral temporal dependente de uma varivel de transio , limitada de 0 a t.Esta expresso, chamada de convoluo (ver apndice).

A funo memria (t) possui uma grande importncia na evoluo docrescimento, seguindo a propriedade:

limt!1

(t) = 0; (4.2)

Esta propriedade bastante plausvel, pois quanto mais antiga a infor-

mao, menos inuir para o momento atual do crescimento.

Na gura 4.1, temos um grco com um esboo com diferentes possibili-

dades para a funo memria.

39

Figura 4.1: Algumas possibilidades para a funo memria, para todas quando t!1o termo ! 0.

O nosso objetivo neste captulo analisar, por reescalas, a repercusso

da funo memria nos expoentes de crescimento. Ser possvel transitar em

diferentes classes de universalidade apenas alterando esta funo memria?

4.2 Expoentes de crescimento de EEWM para

funes memrias reescalveis

Nesta seo, realizaremos o clculo dos expoentes crticos da equao,

utilizando a ideia e os conceitos de reescalas. Ao invs de utilizar a EEWM

tal como apresentada na eq. 4.1, a utilizaremos com representao no espao

de frequncias. Faremos isto por que ser mais fcil a manipulao mate-

mtica dos termos, j que no haver mais a integral de convoluo. Assim,

realizando a transformada de Fourier na eq. 4.1 obtemos

iwh(k; w) = (w) k2h(k; w)+ (k; w): (4.3)Analisaremos os expoentes de crescimento utilizando uma memria que

seja reescalvel. Supondo que aps a reescala do tempo, t = bt0; seja possvelencontrar uma funo memria que seja reescalvel na seguinte forma:

(t) = b 0(t0): (4.4)

40

onde o expoente de reescala da funo memria. A funo (t) est nodomnio do tempo t; para a utilizarmos na eq. 4.3 necessrio calcular a TFda funo memria (t), conforme abaixo,

(w) =

Z 11

(t)eiwtdt:

Substituindo as respectivas reescalas de t e w, eqs 3.6 e 3.22, juntamentecom a reescala (t) (eq. 4.4), temos

(w) = b+zZ 11

0(t)eiw0tdt;

a integral resultante exatamente a TF da funo 0(t), assim

(w) = b+z 0(w0); (4.5)

que a reescala da funo (w) no domnio de frequncia.Agora que conhecemos as reescalas dos termos k; w; h; e da eq. 4.3apresentadas respectivamente pelas eqs (3.21, 3.22, 3.5, 3.7 e 4.5), podemos

inserir cada nova escala na eq. 4.3 e assim obter

iw0

bzb+z+1h0(k0; w0) = b+z 0(w0)k

02

b2b+z+1h0(k0; w0) + b

z2+ 1

20(k0; w0);

e realizando os devidos clculos e simplicaes,

iw0h0(k0; w0) = b2z2+ 0(w0)k02h0(k0; w0)+ b z2 120(k0; w0): (4.6)Como vimos anteriormente, As reescalas preservam as caractersticas do

crescimento e consequentemente a sua equao, isto signica que o resul-

tado encontrado dever permanecer inalterado em relao a equao 4.3,

fornecendo-nos duas novas equaes a seguir:

b2z2+ = 1 e bz2 1

2 = 1:

De onde temos que

z = 1 2e = 1

4

: (4.7)

E assim temos os expoentes e z; em funo do parmetro da memria.Este resultado mostra que a funo memria inserida na EEW pode modicar

41

os expoentes de crescimento. um resultado at certo ponto poderoso, pois

prova-nos a possibilidade de transitar por classes de universalidade distintas.

Tendo posto este resultado, surge-nos um questionamento. Representada

por uma equao diferencial estocstica no-linear, a classe de universali-

dade de KPZ bastante conhecida e explorada. Isto nos instiga a seguinte

considerao: ser possvel, com uma determinada funo memria na EW

(equao linear), migrarmos para a classe de universalidade de KPZ?

Na prtica o surgimento de uma funo memria pode ocorrer por meio

da incluso de um solvente ou reagente qumico que modica a dinmica

da interface de crescimento, estabelecendo relaes diferenciadas entre os

stios envolvidos no processo. A incluso, por exemplo, de materiais viscosos

e uido magnticos, nos levar a supor que podemos alterar a dinmica do

crescimento de EW, e esta alterao pode est associada a funo memria.

4.2.1 Parmetro gama e classe de universalidade de KPZ

Reetindo a respeito desta questo, vamos refazer nosso questionamento

de outra forma: possvel um valor para , tal que obtenha-se uma funomemria do tipo reescalvel em que a equao de crescimento migre para a

classe de universalidade de KPZ?

Para responder esta pergunta, basta vericar se os expoentes de cresci-

mento de KPZ, esto dentro do conjunto soluo do sistema de equaes a

seguir (z = 1

2 = 1

4

(4.8)

E escrevendo z em funo de , obtemos a seguinte relao,

z = 2 + 1: (4.9)

Sabendo que os coecientes de crescimento de KPZ, =1

2e z =

3

2, no

seguem a relao, conclumos que no existe uma funo memria do tipo

(t) reescalvel, que torne a equao de crescimento (4.1), um crescimento daclasse de universalidade de KPZ. Este fato no prova denitivamente que no

podemos migrar para KPZ, pois a funo memria do tipo (t) est atreladaao fato de ser rescalvel na forma (t) = b 0(t). Assim, podem existir outrasmemrias no abrangidas nesta situao.

42

4.2.2 Propostas de algumas funes memrias reescal-

veis

Analisaremos algumas funes memrias do tipo (t) reescalvel e dis-cutiremos possveis resultados. As possibilidades de funes (t) so bemrestritas, pois alm da propriedade mostrada na eq. 4.2, a funo memria

tambm dever ser suscetvel a reescala da forma b 0(t), restringindo aindamais as opes. Vejamos algumas propostas:

I (t) = (t)Neste caso, a funo memria (t) = (t), sendo uma constante.Esta funo memria chama a ateno por conter a funo delta de Dirac,

(t); uma funo identidade na convoluo (ver apndice B.6). Pelas ca-ractersticas da funo delta de Dirac, a memria atuar instantaneamente,

apresentando valores apenas para t = 0. O peso da memria ser a cons-tante , e ser dada em forma de pulsos. Para elucidar o comportamentoda funo, encontraremos os expoentes da EEWM para este caso. Para isso,

reescalamos (t) = (t), utilizando a j conhecida reescala do tempo,t = bzt0, da seguinte forma:

(t) = (bzt0);por propriedade do delta, tem-se

(t) = bz(t0): (4.10)

Por hiptese, temos que (t) = b 0(t); comparando com a equao acima(eq. 4.10), temos que o parmetro vale z, e consequentemente pelas eqs.(4.8 e 4.9), temos que

z = 2 e =1

2;

ou seja, a funo memria (t) conserva os expoentes crticos do cresci-mento, ento podemos dizer que esta funo uma caso particular para a

EEW sem memria. E com isso, obtemos uma outra forma de encontrarmos

os expoentes crticos da EEW, e mais, mostra-nos que a funo memria

delta de Dirac mantm a mesma correlao entre as partculas vizinhas da

interface de crescimento.

43

I (t) = 1

Agora analisaremos a funo memria unitria: (t) = 1. A funomemria unitria importante, pois nos mostra o comportamento da me-

mria com pesos iguais para perodos imediatamente anteriores e perodos

mais antigos. Memrias antigas atuam com a mesma carga que as memrias

recentes.

Nesta funo, a reescala do tempo t para t0; conserva a escala original de(t); sendo assim, (t) = (t0):Da, encontramos = 0 e utilizando as eqs. (4.8 e 4.9), encontramos osseguintes resultados para z e :

z = 1 e = 0:

De um ponto de vista matemtico, a nica informao que podemos

extrair destes expoentes, sabendo que para tempos longos vale a relao

wsat L, que para = 0 conclui-se que a saturao independe de L.No captulo 6, aps a resoluo analtica, voltaremos a tratar desta funo,

buscando maiores informaes na rugosidade.

I (t) = 1tn

Um outro exemplo de funo memria que se enquadra em nossas condi-

es (t) =1

tn, para 0 < n < 2: Esta funo atende nossos pr-requisitos,

possvel reescal-la e a funo memria tende a zero quando t!1: Abaixo,temos a g. (4.2), que fornece o grco de (t); para n diversos.Utilizando a reescala no tempo t, t = bzt0, reescalamos (t) :

(t) =1

tn=

1

(bzt0)n,

sabendo que (t0) =1

t0n, tem-se,

(t) = bnz(t0):

Por hiptese, temos que (t) = b 0(t). Assim, nosso parmetro = nz,e consequentemente utilizando as eqs. (4.8 e 4.9), temos

z =2

2 n e =n

4 2n: (4.11)Analisando o grco, na g. 4.3, o resultado mostra que a memria

modica a relao existente entre os stios vizinhos de uma interface, ou

44

Figura 4.2: Grco da funo memria (t) =1

tn, com 3 possveis valores de n.

seja, altera a carga de inuncia do termo

@h2(x;)@2xna Equao de Edwards-

Wilkinson com memria, provando que com insero de uma memria,

possvel transitar por diferentes classes de universalidade.

Como os expoentes esto escritos sob a dependncia da varivel n, istopossibilita que realizemos o clculo inverso, por exemplo, qual ser a funo

memria na forma (t) =1

tnque possui o expoente dinmico z igual a 2?

Esta resposta adquirida simplesmente substituindo z na eq. 4.11. Nestecaso obtemos n = 1; e consequentemente pela segunda expresso, = 1

2: e

a respondemos a questo: a funo memria (t) =1

tn; com n = 1, mantm

o expoente dinmico z e o expoente de saturao da EEW inalterados.

A parametrizao de e z da EEWM com funo memria (t) =1

tn;

possibilita-nos inmeras alteraes nos expoentes de crescimento (e, conse-

quentemente na classe de universalidade). Isto nos credencia a navegar por

diferentes pesquisas e estudos na rea de crescimentos de superfcies. Em

um paralelo pesquisas e modelos de crescimentos que possam ser utilizados

por esta equao, nos concentramos na rea de Cincia de Materiais, onde

45

Figura 4.3: Mostra-se a evoluo dos expoentes e z em relao a varivel n da funo

memria (t) =1

tn.

encontra-se aplicao, principalmente em crescimento epitaxial.

Crescimento epitaxial o crescimento de uma camada sobre um subs-

trato cristalino de mesma substncia ou no, gerando um lme no. Estes

lmes so utilizados principalmente na construo de peas e materiais semi-

condutores

1

. O processo de crescimento destes lmes nos, geradores destes

materiais, inuenciam diretamente na qualidade e ecincia do material, exis-

tem diversas tcnicas destes processos, como LPE, VPE, MBE e HWE [27].

H alguns modelos computacionais, discretos e contnuos criados especica-

mente para este tipo de crescimento, dentre alguns, podemos citar o modelo

de Volmer-Weber [28], o de Ferreira e Ferreira [29], e Das Sarma-Tamborenea

[30]. Estes modelos so utilizados para modelar processos de crescimentos de

lmes nos e pertencem a classe de universalidade de Mullins-Herring, que

possui os seguintes expoentes de crescimento(para dimenso 1+1) [15]:

1

Semicondutores so materiais de mdia condutividade eltrica, mas com o aumento

de temperatura torna-se um excelente condutor. [26]

46

=3

2; =

3

8; z = 4:

Observando estes expoentes notamos que conseguimos obt-los, substi-

tuindo n; na equao parametrizada de z e (eq. 4.11), por 32: Este fato

mostra que a equao de Edwards-Wilkinson com memria, (t0) =1

t32

, per-

tence a classe de Mullins-Herring, e a mesma pode ser utilizada, como modelo

contnuo, em estudos de crescimentos epitaxiais.

Neste captulo, mostramos que a funo memria analisada, reescalvel

da forma (t) = b 0(t), pode modicar a dinmica e a classe de univer-salidade do crescimento. Encontramos tambm uma funo memria que

representa um caso particular para a EEW sem memria. Esta informao

nos ser til, como mostraremos mais adiante, pois fornece-nos mais uma

opo para calcularmos a soluo exata da equao de Edwards-Wilkinson.

Abaixo, temos uma tabela, com as trs funes memrias trabalhadas no

mtodo das reescalas, juntamente com seus respesctivos expoentes e classes

de universalidade correspondentes.

Funo memria expoentes Classe/modelo

v(t) = v (t) z = 2 e = 12

EdwardsWilkinsonv(t) = 1 z = 1 e = 0 @

v(t) = 1t32

z = 4 e = 32

MullinsHerring

Tabela 4.1: Funes memrias utilizadas no mtodo das reescalas.

Agora, partiremos para uma anlise analtica da Equao de EW com

memria, uma eventual resoluo da equao, nos possibilitar encontrar

funes memrias sem as restries que tnhamos no mtodo das reescalas.

E para isto, j no captulo seguinte, o primeiro passo ser conhecermos a

resoluo analtica da EEW, para com isso reaplicarmos a mesma soluo

para a equao com memria.

47

Captulo 5

Resoluo analtica da Equao

de Edwards-Wilkinson

Para resolvermos analiticamente a Equao de Edwards-Wilkinson com

memria, primeiro faz-se necessrio entendermos a resoluo da prpria EEW.

E grande parte da bibliograa que trata do assunto cita o artigo do Nater-

mann et. al. [2], onde foi desenvolvida a resoluo por transformadas de

Fourier. Seguimos partes da ideia de Nattermann sem deixar de lado nossa

prpria contribuio e desenvolvimento para o clculo. Mais a frente, este

captulo ser espelho na soluo da equao de EW com memria.

5.1 Soluo da Equao de Edwards-Wilkinson

Aqui, encontraremos os expoentes de crescimento da equao de Edwards-

Wilkinson atravs da sua resoluo analtica. Ao decidirmos estudar os ex-

poentes crticos de equaes de Edwards-Wilkinson generalizadas, como nos

casos de incluso de memria, nos deparamos com a necessidade de conhe-

cer a formulao matemtica para a obteno dos expoentes da EEW de

forma analtica (e no somente por escalas). A tarefa parecia bem simples

e j assimilada pela comunidade. Ao procurarmos os trabalhos mais citados

e conhecidos a respeito da equao de crescimento de Edwards-Wilkinson,

inclusive em clssicos como o livro do Barabasi e Stanley [15], percebemos

que praticamente todos os trabalhos citam o artigo de Nattermann et al [2]

como sendo a fonte para a resoluo analtica da EEW. Ao estudarmos o

trabalho de Nattermann nos deparamos com uma resoluo truncada, resu-

mida, pouco didtica e extremamente complicada. Neste sentido, decidimos

refazer os clculos da resoluo exata da EEW, porm seguindo, em vrios

processos, um caminho original. No prximo captulo, ainda simplicaremos

48

a resoluo da EEW ao incluir a funo memria. Neste captulo apresen-

taremos a nossa formulao de forma detalhada. A partir desta resoluo,

teremos condies de trabalhar em equaes mais generalizadas.

Partindo da equao de Edwards-Wilkinson 2.19,

@h(x; t)

@t=

@2h(x; t)

@2x+ (x; t);

vimos, no cap. 2, que algumas equaes parciais estocsticas, inclusive a

EEW, obedecem a relao de Family-Vicsek (eq. 2.8):

w (L; t) Lf

t

Lz

:

Nosso objetivo aqui encontrar uma relao da rugosidade w (L; t) em

funo de f

t

Lz

e L, para assim, comparar a relao encontrada com a

relao de Family-Vicsek, permitindo-nos encontrar os expoentes de cresci-

mento , e z .O ponto de partida para realizao do clculo ser a denio de rugosi-

dade apresentada no cap. 2.

5.2 Rugosidade

Na eq. 2.2, denimos a rugosidade w (L; t) da seguinte forma,

w(L; t) =

vuut 1L

LXx=1

(h(x; t) h(t))2;

a m de eliminar o radical elevamos ao quadrado os dois lados da equao,

w2(L; t) =1

L

LXx=1

h(x; t) h(t)2 : (5.1)Resolvemos a potncia ao quadrado e distribumos o

Ppara cada termo

da expresso,

w2(L; t) =1

L

LPx=1

h(x; t)2 h(t) 2L

LPx=1

h(x; t) + h(t)21

L

LPx=1

1

49

A altura mdia a soma de todas as alturas h(x; t), em cada stio x emum determinado tempo t, dividido pelo tamanho do substrato L. Por isso

o termo

1

L

LPx=1

h(x; t) exatamente a altura mdia h(t), e sabemos tambm

que

LPx=1

1 = L, portanto

w2(L; t) =1

L

LPx=1

h(x; t)2 h(t)2

w2(L; t) =

h(x; t)2

hh(t)i2 ; (5.2)em que h:::i representa a mdia sobre o ensemble (para todos os x's).

5.2.1 Na EEW, a mdia das alturas.

Mostraremos abaixo que o termo hh(t)i2 nulo, e isto vericado atravsdo clculo da velocidade mdia da altura h. Se a velocidade mdia de h nula, ento hh(t)i tambm o ser.Calculamos a velocidade mdia das alturas h, atravs da equao esto-cstica generalizada, eq. 2.14, para um determinado tempo t.

@h(x; t)

@t

=

@2h(x; t)

@2x

+h(x; t)i = @

2

@2xhh(x; t)i+h(x; t)i = @

2h(t)

@2x+h(x; t)i ;

@h(x; t)

@t

= h(x; t)i ;

o que signica que a velocidade mdia da interface de crescimento depende

exclusivamente da mdia dos rudos (x; t).Usando a propriedade do rudo ; dada pela eq. (2.17),

@h(x; t)

@t

= 0:

A velocidade mdia da altura para uma determinada posio x nula.Denimos a velocidade mdia para toda a interface de tamanho L, como,

v =1

L

Z L0

dx

@h(x; t)

@t

= 0;

e consequentemente hh(t)i2 = 0:

50

Assim, a rugosidade ao quadrado, eq. 5.2, pode ser escrita como

w2(L; t) =

h(x; t)2

;

ou ainda,

w2(L; t) = hh(x; t)h(x; t)i : (5.3)Acima temos uma equao que expressa uma relao entre w e h(x; t).

5.3 Clculo da rugosidade usando o espao de

frequncias

Na seo 3.2, determinamos a EEW para o domnio das frequncias eq.

3.20, conforme a seguir.

bh(k; w) = b(k; w)k2 iw :A altura h nas eqs. 5.3 e 3.20, esto representados em domnios distintos,na primeira a varivel h est no espao real, e na segunda, h se encontrano espao de frequncias. Isto nos possibilita dois caminhos, encontrarmos

a funo correlao das alturas no espao de frequncia ou no espao real.

Trabalharemos no espao de frequncias, pois neste espao a EEW torna-se

mais compacta possibilitando manipul-la com mais facilidade.

Para isso realizamos a transformada de Fourier em relao a x na eq. 5.3,onde obtemos a seguinte expresso,

w2(L; t) =

1

2

2 1Z1

1Z1

Dbh(k; t)bh(k0; t)E ei(k+k0)xdkdk0: (5.4)O prximo passo calcularmos a correlao

Dbh(k; t)bh(k0; t)E para emseguida continuarmos a resoluo de w2(L; t): Antes ser necessrio umarecapitulao dos conceitos de convoluo do produto de Fourier.

5.3.1 Recapitulao dos conceitos de convoluo e trans-

formada de Fourier

Denio: A convoluo de duas funes integrveis, f (t) e g (t), denida por:

51

f (t) g (t) =Z 11

f () g (t ) d: (5.5)

A convoluo segue as algumas propriedades da lgebra. Abaixo, listamos

estas propriedades:

1

1. Comutatividade:

f (t)g (t) = g (t)f (t) ou R11 f () g (t ) d = R11 g () f (t ) d2. Associativa:

f (t) (g (t) h (t)) = (f (t) g (t)) h (t)3. Distributiva com a adio:

f (t) (g (t) + h (t)) = f (t) g (t) + f (t) h (t)4. Identidade:

f (t) = f (t) (t) = R11 f () (t ) dTemos tambm um importante teorema da teoria da convoluo e que

muito utilizaremos neste trabalho.

Teorema da Transformada de Fourier da Convoluo: Se F ff(t)g =F^ (w) e F fg(t)g = G^(w), ento:

F ff (t) g (t)g = F^ (w)G^(w)

ou

F1nF^ (w)G^(w)

o= f (t) g (t) ;onde F1 a transformada de Fourier Inversa (TFI). O teorema til quandoh o produto de duas funes no domnio da frequncia, pois modica a TFI

de um produto em uma convoluo no domnio real.

1

No apndice deste trabalho, detalhamos o conceito de convoluo e demonstramos

suas propriedades e teoremas citados.

52

5.3.2 Funo de correlao da altura

Para realizar o clculo de

Dbh(k; t)bh(k0; t)E ; trabalharemos com a eq.3.20

2

reescrita no seguinte formato:

bh(k; w) = 1k2 iwb(k; w) = F^ (k; w)G^(k; w); (5.6)onde F^ (k; w) =

1

k2 iw ; e G^(k; w) = b(k; w). A partir desta equao,aplicaremos a transformada de Fourier inversa (TFI) para obtermos o valor

de

bh (k; t) e utilizaremos a relao da convoluo apresentada anteriormente,pois ela uma poderosa ferramenta para o clculo da TFI. Assim:bh (k; t) = F1 nbh(k; w)o = F1 nF^ (k; w)G^(k; w)o (5.7)

= F1nF^ (k; w)

o F1

nG^(k; w)

o= f^ (k; t) g^ (k; t) :

Sabendo-se que a TFI de uma funo com a forma J^(w) =1

a+ iw; com

a > 0, j(t) = F1nJ^(w)

o= eatu(t), onde u(t) a funo de Heaviside

ou funo degrau unitrio. Ento temos que f^ (k; t) = F1nF^ (k; w)

o=

evk2t u(t): Para bg (k; t) temos que bg (k; t) = b(k; t).Assim a eq. 5.7 car:bh (k; t) = evk2tu(t) b(k; t):Usando a denio da convoluo, eq. 5.5,

bh (k; t) = 1Z1

evk2u()b(k; t )d: (5.8)Agora, substitumos

bh (k; t) na eq. 5.4, e realizando alguns clculos, ob-temos a seguinte expresso para a rugosidade:

w2(L; t) =

1

2

2 1Z1

1Z1

tZ0

tZ0

hb(k; t 0)b(k0; t 00)i| {z } ev(k2 0+k02 00)ei(k+k0)xd 0d 00dkdk0:(5.9)

2

Note que a eq. 5.4, est escrita no espao de frequncia apenas em relao a varivel x.Isto signica que, ao nal, devemos aplicar a transformada inversa de Fourier em relao

a t, para que as expresses estejam no espao de dimenso do tempo.

53

A funo de Heaviside u(), nos possibilitou, sem prejuzos, alterar ointervalo de integrao das integrais de d 0 e d 00.3.Neste momento, para continuarmos a resoluo de w2(L; t), necessitamoscalcular a correlao do rudo hb(k; t 0)b(k0; t 00)i :5.3.3 Funo de correlao do rudo

Para o clculo da correlao, aplicamos a TFI em b(k; t); em relao avarivel x,

b(k; t) = 1Z1

(x; t)eikxdx;

substitumos o valor de b(k; t) na correlao e obtemos uma expresso quedepende do rudo no domnio real, conforme abaixo:

hb(k; t 0)b(k0; t 00)i = 1Z1

1Z1

h(x; t 0)(x0; t 00)i| {z } eikxeik0x0dxdx0:No captulo 2 denimos duas propriedades para o rudo (x; t):

h(x; t)i = 0e

h(x; t)(x0; t0)i = 2D(x x0)(t t0):Usando a segunda propriedade, e com as devidas mudanas de variveis,

temos

hb(k; t 0)b(k0; t 00)i = 1Z1

1Z1

2D(x x0)( 00 0)eikxeik0x0dxdx0:

A quarta propriedade da convoluo de Fourier (ver apndice B.6), nos

garante que

1R1

(x x0)eik0x0dx0 = eik0x, assim

hb(k; t 0)b(k0; t 00)i = 1Z1

2D( 00 0)ei(k+k0)xdx:

3

Para entradas nulas para t < 0, isto , g(t) = g(t) u(t), tem-seh(t) =

R t0f () g (t ) d; t > 0

0 ; t < 0

54

Cabe aqui, utilizarmos a seguinte propriedade da funo delta:

(k + k0) =1

2

1Z1

eix(k+k0)dx:

Assim, multiplicando e dividindo por 2 e utilizando a propriedade dedelta descrita, conseguimos simplicar a expresso da correlao do rudo

para

hb(k; t 0)b(k0; t 00)i = 22D( 00 0)(k + k0): (5.10)Um resultado, onde mostra-se que mesmo no domnio da frequncia, o

rudo permanece descorrelacionado.

5.4 Rugosidade

De posse da correlao do rudo, voltamos a eq. 5.9, substituindo a

correlao encontrada,

w2(L; t) =

1

2

2 1Z1

1Z1

tZ0

tZ0

22D( 00 0)(k + k0)| {z } ev(k2 0+k02 00)ei(k+k0)xd 0d 00dkdk0:Neste ponto ( 00 0) e (k + k0) tem valor nulo para qualquer 00, 0,

k e k0, exceto para 00 = 0 e k = k0, isto possibilita a eliminao de duasintegrais, alm das variveis 0 e k0. Aps estas simplicaes, encontramos

w2(L; t) =D

1Z1

tZ0

e2vk2ddk; (5.11)

e calculando a integral

tR0

e2vk2d , temos

w2(L; t) =D

2v

1Z1

1 e2tvk2k2

dk:

Cabe aqui lembrar que a superfcie de crescimento que estamos calculando

a rugosidade w(L; t) um substrato de tamanho total L e com n stios

com a largura a, ou seja, n =L

a. Como o substrato no innito, pois

possui tamanho L, e como os stios no so innitesimais, pois possuem

55

comprimento a, tem-se que a transformada de Fourier no ser integrada paraos innitos comprimentos de onda, ou melhor, nmero de onda k variando de1 a 1: E ao utilizarmos a TF, estamos trabalhando com uma integraode funes harmnicas com perodo

n

L. O nmero de stios n pode variar

de n = 1 at o valor de n =L

a, ou seja, n pertence ao intervalo 1 n L

a.

Isto nos conduz a ajustar o intervalo de integrao entre

Lat

a: Assim,

podemos reescrever a eq. 5.11 da seguinte forma:

w2(L; t) =D

2v

aZ

L

1

k2

1 e2vk2t

dk: (5.12)

Restando-nos uma integral, onde a resolvemos pelo mtodo de integrao

por partes. Assim, utilizando-se a denio de integrao por partes dada

por

R baUdV = jUV jba

R baV dU , temos que a integral acima ter os seguintesvalores para U; V; dU e dV :

U =1 e2vk2t

; dV =

1

k2; dU = 4vkte2vk

2tdk; V = 1kResolvendo a integral por partes, temos que

aR

L

1

k2

1 e2vk2t

dk =

= 1a+ 1

a

e2(v

2

a2t)+ 1

L 1

L

e2(v

2

L2t)+

aR

L

4vte2vk2tdk

Reescrevendo a eq. (5.12) com o valor recm encontrado para a integral,

tem-se:

w2(L; t) = 122

D

va+

1

22D

vL+

1

22D

vae2v

2

a2t 1

22D

vLe2v

2

L2t+

2Dt

aZ2

L

e2vk2tdk:

(5.13)

56

Nossa expresso possui uma nova integral. A m de encontrarmos fatores

comuns a alguns termos da equao acima, realizamos a seguinte mudana

de varivel na integral da eq. 5.13,

y = 2vk2t) k = y2vt

12 ;

dk = (8vty)1

2 dy;

e consequentemente, alteramos o intervalo de integrao para

k =2

L) y = 8

2vt

L2;

k =

a) y = 2v

2t

a2 1:O intervalo superior da integral se aproxima do innito, pois o termo a;que o tamanho de cada stio no substrato da superfcie de crescimento tende

a zero, portanto y =2v2t

a2 1.Reescrevendo a integral com a substituio proposta, temos:

2Dt

1Z82vt

L2

ey (8vty)1

2 dy =Dt

(2vt)

1

2

1Z82vt

L2

y1

2 eydy:

Colocamos em evidncia o fator

122

DvL, pois o mesmo se repete em outrostermos da eq. 5.13,

1

22D

vL

22vt

L2

12

1Z82vt

L2

y1

2 eydy:

E assim, reescrevendo a eq. 5.13, teremos a seguinte expresso para

w2(L; t):

w2(L; t) = 122

D

va+

1

22D

vL+

1

22D

vae2v

2

a2t 1

22D

vLe2v

2

L2t +

+1

22D

vL

22vt

L2

12

1Z82vt

L2

y1

2 eydy: (5.14)

57

A m de reduzirmos esta equao, realizaremos as seguintes substituies:

O primeiro termo do lado direito ser A = 122

Dva, o terceiro termo do

lado direito da equao ser O(e22

a2vt) = 1

22D

vae2

2

a2vt, pois a exponencial

tende a zero quando t!1 e a muito pequeno.Reescrevemos o 2

, 4

e 5

termos, colocando-se em evidncia o fator

comum

DvL, da seguinte forma,

D

vL

266666641

22

0BBBBBB@1 e2 2

L2vt +

22vt

L2

12

1Z82vt

L2

y1

2 eydy

1CCCCCCA

37777775 =D

vL f(

vt

L2):

De onde, na forma reduzida, temos a seguinte equao da rugosidade ao

quadrado,

w2(L; t) = A+D

vL f

vt

L2

+O(e2

2

a2vt) (5.15)

Neste resultado, o termo signicante o segundo, reescrito para uma fun-

o de f(x) com x =vt

L2. Trataremos da veracidade desta signicncia mais

abaixo. No momento, utilizaremos a relao de Family-Vicsek demonstrada

no captulo 2 para obtermos os expoentes e z.Para compararmos com o resultado encontrado, elevamos ao quadrado os

termos da relao de Family-Vicsek, obtendo

w(L; t)2 L2F

t

Lz

: (5.16)

E comparando a eq. 5.15 com a eq. 5.16, obtemos os seguintes expoentes

de crescimento de EW.

z = 2 e =1

2: (5.17)

A veracidade deste resultado pode ser conrmada por uma anlise da

rugosidade (eq. 5.15) para valores limtrofes de t. Isto tendo em vista quea rugosidade possui dois comportamentos distintos, conforme detalhado na

subseo 2.1.1 e na g. 2.2 do captulo 2, e relacionado abaixo:

w(L; t) t para t! 0 (5.18)

58

e,

w(L; t) L para t!1 (5.19)1

o

) Analisaremos a eq. 5.15 quando t! 0:Analisaremos a relao entre a rugosidade e outras variveis como com-

primento do substrato e tempo. Assim, o primeiro termo A ser omitido daanlise, pois possui valor constante, isto explicado pela primeira relao

acima, eq. 5.18, onde ca claro que termos constantes no inuenciam na

relao do tempo t com seu expoente , e pelo mesmo motivo tambm omiti-

mos o terceiro termo O(e22

a2vt), que tende a um valor constante. Resta-nosapenas o segundo termo, em que o analisamos no limite para t! 0.

limt!0

w2(t) =D

vL f

vt

L2

=

D

vL

266664 1220BBBB@1 e2

2

L2vt +

22vt

L2

12 1R82vt

L2

y1

2 eydy

1CCCCA377775 :

Para valores do tempo prximos de zero, a expresso 1 e2 2

L2vt nula,

j a integral tem no limite o valor de

p. Assim, a expresso da rugosidade,para t! 0, pode ser representada da seguinte forma:

w2(L; t) D (2v) 12 t 12 :Tomando a constante K2 = D (2v)

12e extraindo a raiz quadrada da

expresso temos,

w(L; t) Kt 14 :Comparando esta relao com a relao w(L; t) t para t ! 0, temosque = 1

4. Que exatamente o valor do expoente de crescimento deEdwards-Wilkinson como j apresentado anteriormente.

Obteremos agora o expoente de rugosidade da EEW.

2) Analisaremos a eq. 5.15 quando t!1 :Como no caso anterior, a segunda relao, eq. 5.19, deixa clara, que

termos constantes no inuenciam na relao do tempo t com seu expoente: Assim, o primeiro termo A omitido por ser uma constante. O terceiro

termo, O(e22

a2vt); se aproxima do valor unitrio. Restando-nos o termo

D

vL f

vt

L2

expresso abaixo:

59

DvL f

vt

L2

=D

vL

266664 1220BBBB@1 e2

2

L2vt +

22vt

L2

12 1R82vt

L2