CLASSES: SÃO INTERVALOS DE VARIAÇÃO DA VARIÁVEL.

LIMITES DE CLASSES: SÃO OS EXTREMOS DE CADA CLASSE.

AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE: É A MEDIDA DO INTERVALO QUE DEFINE A CLASSE.

PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE: É O PONTO QUE DIVIDE O INTERVALO DE CLASSE EM DUAS PARTES IGUAIS.

FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA: É O NÚMERO DE OBSERVAÇÕES CORRESPONDENTES A ESSA CLASSE OU A ESSE VALOR.

FREQÜÊNCIA RELATIVA: SÃO OS VALORES DAS RAZÕES ENTRE AS FREQÜÊNCIAS SIMPLES E A FREQÜÊNCIA TOTAL.

• Amplitude Total → R = L(max) – (Lmin)

• Número de Classes → K ≈ √n

• Amplitude total das classes → h ≈ R/K

Construir uma tabela de ramo e folhas e uma distribuição de freqüência para os dados abaixo.(Itens: intervalo de classe, freqüência, freqüência relativa, freqüência relativa acumulada)

Resistência a compressão de 80 corpos de Prova de Liga Aluminio-Lítio

105 221 183 186 121 181 180 143

97 154 153 174 120 168 167 141

163 228 174 199 181 158 176 110

207 131 154 115 160 208 158 133

134 180 190 193 194 133 156 123

218 178 76 167 184 135 229 146

199 157 101 171 165 172 158 169

160 151 142 163 145 171 148 158

196 175 149 87 160 237 150 135

245 201 200 176 150 170 118 149

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

HISTOGRAMA: É FORMADO POR UM CONJUNTO DE RETÂNGULOS JUSTAPOSTOS, CUJAS BASES SE LOCALIZAM SOBRE O EIXO HORIZONTAL, DE TAL MODO QUE SEUS PONTOS MÉDIOS COINCIDAM COM OS PONTOS MÉDIOS DOS INTERVALOS DE CLASSE.

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA: É UM GRÁFICO EM LINHAS, SENDO AS FREQÜÊNCIAS MARCADAS SOBRE PERPENDICULARES AO EIXO HORIZONTAL, LEVANTADAS PELOS PONTOS MÉDIOS DOS INTERVALOS DE CLASSE.

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA: É TRAÇADO MARCANDO-SE AS FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS SOBRE PERPENDICULARES AO EIXO HORIZONTAL, LEVANTADAS NOS PONTOS CORRESPONDENTES AOS LIMITES SUPERIORES DOS INTERVALOS DE CLASSE.

MEDIDAS DE POSIÇÃO

MÉDIAS

MODA

MEDIANA

QUARTIS

PERCENTIS

MÉDIAS

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES•DADOS NÃO AGRUPADOS, DADOS BRUTOS OU EM ROL.

MÉDIAS

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADAPara uma seqüência numérica X: X1,X2, ...Xn afetada pelos pesos p1, p2, ..., pn

i

ii

P

PXX

.

Considere X= 2,4,5 e os pesos 1,3,2, respectivamente, então, a média ponderada será

4X

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA • Dados não – agrupados em classes.

QUANDO OS DADOS ESTIVEREM AGRUPADOS NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SIMPLES, USAREMOS A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA DOS VALORES x1, x2, ..., xn E SUAS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS (pesos): f1, f2,...,fN. ASSIM:

i

ii

f

fXX

. ou

EXEMPLO 1

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

• Dados agrupados em classes.

QUANDO OS DADOS ESTIVEREM AGRUPADOS EM CLASSES NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA, USAREMOS A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA DOS VALORES MÉDIOS DAS CLASSES, , E SUAS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS (pesos): f1, f2,...,fN. ASSIM:

,..., 21 XXX i

i

ii

f

fXX

.

EXEMPLO 2

EXERCÍCIOCalcule a média aritmética dos dados tabelados.

RESOLUÇÃO

MODA

É O VALOR MAIS FREQÜÊNTE DA DISTRIBUIÇÃO. O NÚMERO QUE MAIS SE REPETE UMA SEQUENCIA DE DADOS.

PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

EXERCÍCIO

DETERMINE A MODA DA DISTRIBUIÇÃO

MEDIANA

COLOCADOS EM ORDEM CRESCENTE, MEDIANA ( ) É O VALOR QUE DIVIDE A AMOSTRA, OU POPULAÇÃO, EM DUAS PARTES IGUAIS. ASSIM:

0 50% 100%

CÁLCULO DA MEDIANA – DADOS AGRUPADOS

1º PASSO: CALCULA-SE A ORDEM n/2.

2º PASSO: PELA Fac IDENTIFICA-SE A CLASSE QUE CONTÉM A MEDIANA (CLASSE Md).

3º PASSO: UTILIZA-SE A FÓRMULA:

QUARTIS

OS QUARTIS DIVIDEM UM CONJUNTO DE DADOS EM QUATRO PARTES IGUAIS . ASSIM:

0% 25% 50% 75% 100%

Q1Q2 Q3

Q1= 1º QUARTIL, DEIXA 25% DOS ELEMENTOS.

Q2 = 2º QUARTIL, COINCIDE COM A MEDIANA, DEIXA 50% DOS ELEMENTOS.

Q3 = 3º QUARTIL, DEIXA 75% DOS ELEMENTOS.

CÁLCULO DO 1º E 3º QUATIS

PARA DADOS AGRUPADOS.

DECIS

DECIS SÃO OS VALORES QUE DIVIDEM A SÉRIE EM 10 PARTES IGUAIS.

O CÁLCULO DOS DECIS É DADO POR

PERCENTIS

SÃO MEDIDAS QUE DIVIDEM A AMOSTRA EM 100 PARTES IGUAIS. ASSIM:

MEDIDAS DE DISPERSÃO

AMPLITUDE – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO - COEFICIENTE DE VARIÂNCIA

MEDIDAS DE DISPERSÃOAMPLITUDE TOTAL , VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO.

EXEMPLO:

VARIÂNCIAMEDE AS VARIAÇÕES OCORRIDAS. É CALCULADA A PARTIR DA

DIFERENÇA ENTRE CADA DADO xi e a MÉDIA DO GRUPO.

• PARA DADOS NÃO AGRUPADOS

• PARA DADOS AGRUPADOS

xi= É O PONTO MÉDIO DE CADA CLASSE

EXEMPLO(discrepância)

DESVIO PADRÃO

Caso os dados sejam de uma amostra a fórmula da VARIÂNCIA passa a ser:

... E o DESVIO PADRÃO:

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

MEDIDA DE DISPERSÃO ÚTIL PARA COMPARAÇÃO DO GRAU DE CONCENTRAÇÃO DE DADOS EM TORNO DA MÉDIA DE SÉRIES DISTINTAS. É EXPRESSO EM PORCENTAGEM.

Exemplo:

Numa empresa, o salário médio dos homens é de 4000,00 com σ= 1500,00, e o das mulheres é em média de 3000,00, com σ= 1200,00. Qual o grupo com maior dispersão salarial?

ATIVIDADE DE SALACalcule a média aritmética das distribuições de freqüência abaixo, a variância e o desvio padrão.

a)

b)

Coeficiente de BowleyCoeficiente de Pearson

1) Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente de Pearson.

Xi fi

1 2

2 10

3 6

4 4

5 2

6 1

Exemplos

Coeficiente de Pearson

Mo =2

5456,12 24,1

71,024,1

288,2

As

88,2X

É uma distribuição assimétrica positiva fraca

2) Classifique, quanto a assimetria a distribuição abaixo segundo o coeficiente de

Bowley. Xi fi

0├2 2

2├4 5

4├6 12

6├8 15

8├10 1Total=35

Coeficiente de Bowley

Q1=4,29

Q3=6,97

Md=5,75

09,068,2

24,0

29,497,6

)75,5(229,497,6

As

É uma distribuição assimétrica negativa

Atividade: Usando as medidas de posição:

1) Usando o coeficiente de Bowley Classifique, quanto a simetria, a distribuição abaixo.2) Classifique, quanto a curtose, a distribuição abaixo.

Xi fi

3├5 1

5├7 2

7├9 13

9├11 3

11├13 1

Total=20

1) Considere o seguinte conjunto de dados:

40, 52, 55, 60,70,75,85,90,90,92,94,94,95,98,100,115,125,125.

Faça o Box plots da distribuição.

2) Traçar o box plot e identificar a presença de outliers nos dados a seguir:

5,3 8,2 13,8 74,1 85,3 88,0 90,2 91,5 92,4 92,9 93,6, 94,3 94,8 94,9 95,5 95,9 96,6 97,7 98,1 99,0 101,4 103,7 106,0 113,5

Dados Dadosordenados

Representação gráfica

Distribuição de freqüências

Medidas

2D 3D

Outras medidas

Medidas de dispersão

Medidas de posição central