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figura 1 ilustra um teste de laboratório em que a diferença de potencial (V4) foi

medida na extremidade de um cabo de sinal si-tuado no interior de um tubo metálico. O valor de (V4) é o chamado ruído de modo comum, apli-cado no cabo, que pode eventualmente queimar os dispositivos terminais ligados ao cabo.

É muito simples o cálculo de (V4), utilizando o circuito equivalente mostrado na figura1, ba-seado na Teoria de Circuitos. Usando essa meto-dologia, é desnecessário o complexo cálculo dos campos elétrico e magnético e a interação dos mesmos, usando cálculo vetorial, como é feito na Teoria Eletromagnética. Outra vantagem é que os cálculos são unívocos e não dependem da escolha de caminho de integração escolhidos pelo calculista.

As impedâncias próprias e mútuas mostra-das na figura1 foram calculadas de maneira sim-ples e unívoca, usando a Lei Circuital de Ampère, conforme descrito na Ref. [4], artigo publicado no IEEE em novembro de 2009.

A EVOLUÇÃO DA METODOLOGIA DECÁLCULO DAS TENSÕES INDUZIDAS

1) Em 1873 o cientista escocês James Clerk Max-well (1831-1879) – ver figura 2 – publicou o livro A Treatise on Electricity & Magnetism, (Ref. [1]) com cerca de 1 000 páginas, em dois volumes, dividido em quatro partes, com um total de 56 capítulos, como segue: Medições, Parte I – Ele-trostática (13 capítulos); Parte II – Eletrocinemá-tica (12 capítulos); Parte III - Magnetismo (oito capítulos); Parte IV - Eletromagnetismo (23 ca-pítulos).

As chamadas Equações de Maxwell foram apresentadas apenas no capítulo XX da Parte IV, com 19 páginas, independente do resto do livro. O título do capítulo é “Electromagnetic Theory of Light”, e explica como a luz pode propagar-se sem um condutor. Essas equações deram origem a indústria das telecomunicações sem fio, tal

CÁLCULO DA TENSÃO INDUZIDA

ASÉRGIO TOLEDO SOBRAL*

em um cabo eletrônico,no interior de um tubo metálico ou de um cabo blindado

como a conhecemos atualmente.2) Por volta de 1883 começou a utilização siste-mática da corrente alternada.3) Em 1887 o alemão naturalizado americano Karl August Rudolf Steinmetz, mais conhecido pelo pseudônimo de Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) – ver figura3 – publicou o livro “Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena” (Ref. [2]).

De toda a tecnologia eletromagnética dis-ponível na época, o livro teve a habilidade de escolher apenas o necessário e o suficiente para calcular, de uma maneira simples e precisa, to-dos os requisitos da nascente indústria elétrica de corrente alternada.

Os procedimentos correspondentes passa-ram a ser conhecidos como Teoria de Circuitos de Steinmetz, que é a linguagem básica da in-dústria elétrica.

À semelhança do que é mostrado na figura 1, os cálculos são feitos relacionando as corren-tes com quedas de tensão próprias e quedas de tensão induzidas, utilizando impedâncias pró-prias e mútuas, sem necessidade de calcular os campos elétricos e magnéticos correspondentes. Os cálculos são simples e unívocos evitando as integrações vetoriais ao longo de trajetos arbi-trados pelo calculista.

Steinmetz foi também um dos principais colaboradores e consultores da General Electric e um dos fundadores dos laboratórios de Sche-nectady, onde foi testada a Teoria das Ondas Trafegantes, destinada a estudar raios, chavea-mentos etc.4) Até 1934, o campo de utilização dessas três teorias complementares era claro e preciso: circuitos com fios (Teoria de Circuitos de Stein-metz); telecomunicações sem fio e física teórica (Teoria Eletromagnética baseada nas equações de Maxwell); raios, manobra, chaveamentos (Teoria das Ondas Trafegantes e aplicações espe-ciais da Teoria de Circuitos).

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5) Em 1934 Sergei Alexander Schelkunoff (1897-1992), russo radicado nos Estados Unidos, intro-duziu uma metodologia complexa (ver Ref. [3]), para calcular um caso particular de circuitos com fios, utilizando as equações de Maxwell, embora o caso pudesse ser calculado com muito mais facilidade pela Teoria de Circuitos de Steinmetz. 6) A partir de 1934, alguns engenheiros eletrô-nicos e professores de eletromagnetismo, moti-vados pelo “sucesso” de Schelkunoff, passaram a utilizar equações de Maxwell para resolver os circuitos com fios da indústria elétrica, utilização não prevista nem autorizada pelo mestre escocês.

Essa utilização pode criar resultados dife-rentes da realidade – Ref. [4].

VANTAGENS DA TEORIA DE CIRCUITOS SOBRE A TEORIA ELETROMAGNÉTICA, PARA

CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA1) As grandezas principais, de maior interesse na indústria elétrica são as seguintes (ver figura 4):- Corrente elétrica (I) (em ampères).- Potencial de um ponto (1) para a terra (V1), (em Volts).- “Diferença de potencial própria” (V2-V1), (em Volts), entre dois pontos (1) e (2) de um condutor (A), abreviada geralmente para “d.d.p. própria”. Essa “d.d.p. própria” é causada pela circulação da corrente (I) ao longo do próprio condutor.- “Diferença de potencial induzida” (V4-V3), (em Volts), entre os pontos (3) e (4) de um segundo condutor próximo (B), (em Volts). Essa d.d.p. in-duzida é causada pela circulação da corrente (I) no condutor (A).

Essas são as grandezas principais que afe-tam os projetistas e usuários de um sistema elétrico de geração, transmissão, distribuição e instalações prediais em corrente alternada.2) Grandezas complementares: há ainda a consi-derar grandezas complementares, denominadas campos, que são modificações que ocorrem no espaço, no entorno dos condutores:- Campo magnético (H), associado a corrente elétrica (I).- Campo elétrico (E), associado a d.d.p. (V2-V1).

Na prática da indústria elétrica, só é ne-cessário calcular os campos para verificar se os mesmos ultrapassam valores limites capazes de afetar seres vivos.3) As grandezas principais tem uma variação senoidal, que pode ser representada por vetores girantes.

A corrente (I) tem um valor variável ao longo do tempo, formando uma curva chamada senoi-de (ver figura 5). Para exemplificar, suponha-se que seu valor máximo seja 15,0 ampères.

Pode-se considerar que cada ponto dessa senoide corresponde a uma projeção no eixo dos X da extremidade de um vetor girante, de módu-lo 15,0 ampères, que gira 60 vezes por segundo. A posição do vetor descrevente de (I) na figura 4 é considerada o ângulo inicial, isto é tem-se (I) = 15,0 com ângulo 00, ou seja, (I) = 15,0 /00

4) As grandezas principais são relacionadas en-tre si por operadores simples chamados Impe-dâncias Próprias e Mútuas.A Teoria de Circuitos mostra que (ver figura 4): (V2-V1) = (I). (Z12)(V4-V3) = (I). (ZAB)- Vetor que descreve a senoide da “d.d.p. própria” (V2-V1).

É obtido aplicando-se um operador (Z12) ao vetor que descreve a senoide de corrente (I). Esse operador é chamado Impedância Própria (Z12), em ohms, entre os pontos (1-2) do con-dutor (A).

Suponha-se que tenha o valor: (Z12) = 10,9 /700 ohms.

O operador tem duas funções: - multiplica o módulo do vetor a que é aplicado;- soma o seu ângulo ao ângulo do vetor a que é aplicado.Logo: (V2-V1) = (15,0/00) . (10,9 /700) = (15,0 x 10,9) /00+700 = 163,5/700 Volts- O vetor que descreve a senoide da “d.d.p. induzida” (V4-V3).

É obtido aplicando-se um operador (ZAB) ao vetor que descreve a senoide de corrente (I). Esse operador é chamado Impedância Mútua (ZAB), em ohms, entre o trecho (1-2) do condutor (A) e os pontos (3-4) do condutor (B).

Suponhamos que tenha o valor: (ZAB) = 5,3 /900 ohms.

Figura 1 - Redução da tensão induzida no condutor no interior de um tubo metálico bi-aterrado, devido ao efeito da corrente autoneutralizada (IR)

Figura 2 - James Clerk Maxwell, o pai da indústria de telecomunicações sem fio

Figura 3 - Charles Proteus Steinmetz (Karl August Rudolf Steinmetz), o pai da Indústria Elétrica de Corrente Alternada

Figura 4 - O condutor (B), chamado de “induzido”, ou “vítima”, está aterrado no ponto (3), o terminal (4) está aberto,mostra-se: Corrente (I). “Diferença de Potencial Própria” (V2-V1). “Diferença de Potencial Induzida” (V4-V3 =I.ZAB)

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tiva própria)], em ohms. 3,73 é a resistência do condutor (A) entre os pontos (1-2), em ohms.10,24 é a reatância indutiva entre os pontos (1-2) do condutor (A), em ohms. A determinação des-se valor é feita de uma forma simples e unívoca, com base apenas na distância entre o condutor (A) e o condutor de retorno, mostrado na Figura 3. Para isso utiliza-se a Lei Circuital de Ampère, como detalhadamente descrito na Ref. [4]. 6) Determinação Simples e Unívoca da Impedân-cia Mútua entre os trechos (1-2) do condutor (A) e os trechos (3-4) do condutor (B).

(ZAB) = 5,3/900 = (5,3 cos 900 + j5,3 sen 900) = (0,0 + j5,3) em ohms.(5,3 /900) = (módulo /ângulo) em ohms.(0,0 + j5,3) = [0,0 + j (reatância indutiva mútua)], em ohms. 5,3 é a reatância in-dutiva mútua entre os trechos (1-2) do con-dutor A e os trechos (3-4) do condutor (B), em ohms. A deter-minação desse valor se faz de uma forma

Logo: (V3-V4) = (15,0/00) . (5,3 /900) = (15,0 x 5,3) /00+900 = 79,5/900 Volts.5) Determinação simples e unívoca da Impedân-cia Própria de cada trecho do circuito.

O operador (Z12) é a impedância própria do condutor (A), entre os pontos (1) e (2): (Z12) = (10,9/700) = (10,9cos700 + j10,9 sen 700) = (3,73 + j10,24 ), em ohms.

O operador Impedância Própria (Z12) é um número complexo que tem duas formas equiva-lentes de representação:(10,9/700) = (módulo /ângulo), em ohms.(3,73 +j 10,24) = [resistência + j (reatância indu-

simples e unívoca, com base apenas na distância entre os condutores (A) e (B) e o condutor de re-torno, utilizando a Lei Circuital de Ampère, como mostrado na Ref. [4].

PROBLEMAS CAUSADOS PELO USO DATEORIA ELETROMAGNÉTICA PARA

CIRCUITOS METÁLICOS1) O nível de complexidade dos cálculos é muito maior, conseguindo entretanto menor precisão.- Quando se utiliza a Teoria Eletromagnética, parte-se dos valores de corrente e potencial re-ais em alguns pontos do circuito.- Calcula-se então os valores de campos elétricos e magnéticos que existem no espaço, ao longo de todos os condutores do circuito, o que frequen-temente é muito trabalhoso e sujeito a enganos.- Escolhem-se caminhos de integração dos cam-pos ao longo do circuito que permitem determi-nar os valores de corrente e tensão desejados.

“Dependendo dos caminhos de integração escolhidos, pode-se chegar a resultados bastan-te diferentes entre si”. Ao invés de um procedi-mento padronizado que utiliza simplesmente a álgebra de números complexos usada na Teoria de Circuitos, a Teoria Eletromagnética determina as interações de campos elétricos e magnéticos usando operadores do cálculo vetorial (Diver-gente, Rotacional etc.).2) Problemas introduzidos pelo uso de uma das equações de Maxwell, que é específica para transmissão sem condutor.

Uma das equações de Maxwell considera que o campo elétrico e o campo magnético se anulam simultaneamente, o que ocorre sempre na transmissão sem condutor, como na luz e nas telecomunicações (ver figura 6).

Na transmissão com fio, os campos elétricos e magnéticos, têm correspondência com as se-noides da d.d.p. e da corrente respectivamente. Essas senoides geralmente não passam por zero ao mesmo tempo, como pode ser visto na figura 5. Essa simultaneidade só ocorre nos circuitos puramente resistivos, onde tem-se (Z12 = r+j 0,0 = r/00). Há ainda a considerar o caso da corrente “autoneutralizada” analisada no item a seguir. Nesse caso a d.d.p. é sempre nula enquanto a corrente varia senoidalmente.3) A Corrente Autoneutralizada.

A figura 7 é semelhante à figura 4, porém con-sidera que o ponto 3 e o ponto 4 estão aterrados.

Assim sendo os pontos 3 e 4 tem que ter potencial zero. Entretanto, tem que haver simul-taneamente um acréscimo de potencial igual a (I.ZAB), ao longo do trecho (3-4), o que parece contraditório.

Figura 6 - Na transmissão da luz e das telecomunicações sem fio os campos elétricos e magnéticos se anulam ao mesmo tempo

Figura 5 - Mostra 3 senoides: corrente (I), “d.d.p. própria” (V2-V1) e “d.d.p. induzida” (V4-V3). Mostra ainda os “vetores descreventes” correspondentes, que ao girar 60 vezes por segundo, criam cada ponto das 3 senoides

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Para contornar a aparente contradição, a natureza faz com que uma corrente (IR) circule de (4) para (3), na impedância (Z34) do trecho, criando uma queda de tensão (IR.Z34) que com-pensa exatamente a tensão induzida (I.ZAB), evi-tando o paradoxo: (IR.Z34) = -(I.ZAB)Logo: (IR) = -I.(ZAB / (Z34), em ampères.A corrente (IR) circula em um circuito (3-4), que tem potencial nulo em todos os seus pontos.

Em termos de Teoria de Circuitos, a Corrente Autoneutralizada é uma consequência natural, pois decorre da aplicação de uma fonte de tensão (I.ZAB), em um circuito (3-4), fechado pela terra. Em 1976 Endrenyi demonstrou que essa corrente era uma mera aplicação do Teorema de Norton.

O conceito de Corrente Autoneutralizada deu origem ao Método Desacoplado, desen-volvido pelo autor em 1987, juntamente com o profº Dinkar Mukhedkar, da Ecole Politechnique de Montreal (ver Ref. [5]). O autor publicou no IEEE outros sete artigos sobre o assunto.

O Método Desacoplado foi utilizado para o cálculo do sistema de aterramento da subestação da margem direita de Itaipu. Os resultados foram confirmados por meio de medições de campo, re-latadas em artigo publicado no IEEE (ver Ref. [6]).

O autor do presente artigo desenvolveu, há cerca de 23 anos, o programa DECOP, baseado no Método Desacoplado. Foi o primeiro pro-grama brasileiro desenvolvido para o cálculo de interferências de linhas de transmissão com gasodutos e oleodutos. O programa foi ampla-mente utilizado em estudos para a maioria das Concessionárias do Brasil.

A Ref. [4] mostra que no caso das linhas de

transmissão com cabos para-raios CAA o valor da corrente de retor-no que não contribui para queda de tensão ao longo do cabo pode chegar a 64% da corrente de cur-to-circuito circulando nas fases. No caso de cabos de potência com blindagens aterradas nas malhas terminais esse valor pode chegar a 99,5%. Assim sendo, se a corrente autoneutralizada não for adequa-damente considerada, o erro que se comete pode ser intolerável.

DESCONHECIMENTO DOCONCEITO DE CORRENTE

AUTONEUTRALIZADAApesar de mais de 25 anos de

utilização, divulgação internacio-nal e comprovações de campo e de laboratório, uma porcentagem

considerável de engenheiros eletrônicos igno-ram a existência da corrente autoneutralizada, que pode ser medida em um teste de bancada, como mostrado na figura 7. É um teste tão sim-ples que pode ser feito numa garagem.

DIFICULDADES DA TEORIAELETROMAGNÉTICA COM O

CÁLCULO DE TENSÕES INDUZIDASA figura 1 mostra que o valor medido

em laboratório é idêntico ao valor calcula-do, conforme artigo do IEEE, de novembro de 2009, Ref. [4] .

Até agora não é do nosso conhecimento que se tenha conseguido calcular o valor de (V4) utilizando Teoria Eletromagnética. O problema

parece estar novamente ligado a utilização de equações de Maxwell para condições diferentes das autorizadas pelo mestre escocês. Mesmo que venha a ser conseguido, a metodologia de cálculo necessária será certamente muito mais complexa do que a mostrada na figura 1.

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕESRecomenda-se que todos os cálculos e simu-

lações referentes a circuitos de corrente alternada sejam feitos utilizando Teoria de Circuitos.

Os cursos básicos de engenharia, mestrado e doutorado, destinados a engenheiros eletricistas, têm dado uma ênfase demasiada à Teoria Eletro-magnética, em detrimento da Teoria de Circuito, que é a linguagem básica para esses profissionais.

A Teoria Eletromagnética deve ser a disciplina bá-sica dos cursos destinados a engenheiros eletrônicos.

AgradecimentoO autor tem um débito de gratidão com o

engº Armando Pereira dos Reis Miranda, que foi o primeiro a mostrar-lhe que as equações de Maxwell estavam sendo utilizadas de uma ma-neira não autorizada por Maxwell.

* Sérgio Toledo Sobral é engenheiro eletricista pela PUC-Rio. Trabalhou nas áreas de estudos e proteção de Furnas e da Light; foi chefe do Departamento de Estudos e depois diretor de Projetos Elétricos da IESA; foi consultor especial do Projeto Itaipu; criou e implantou critérios de projeto de aterramento e compatibilidade eletromagnética para quatro importantes concessionárias (Furnas, Copel, Escelsa e Enersul); desenvolveu um plano de desenvolvimento de tecnologia de aterramento com o profº Dinkar Mukhedkar da Ecole Politechnique de Montreal; e fez estudos de interferências de linhas de transmissão com gasodutos e oleodutos para a maioria das concessionárias do BrasilE-mail: stsobral@terra.com.br

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] MAXWELL, JAMES C. - “A Treatise on Electricity & Magnetism”.[2] STEINMETZ, CHARLES PROTEUS - “Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena”. W.J. Johnston Co. NY, 1898 (book).[3] SCHELKUNOFF, SERGEI A. - “The electromagne-tic theory of coaxial transmission lines and cylindrical shields”. Bell System Technical Journal, vol. 13, 1934, pg. 532-579.[4] SOBRAL, SÉRGIO TOLEDO (ST&SC); PEIXOTO, CARLOS A. O.; AMON, JORGE F. TAVARES (FUR-NAS); MARTINS, GERALDO (UFF); IZYCKI, MAR-COS JOSÉ (FURNAS), RIGUEIRA, ALEXANDRE (UFF) - “Advantages of Steinmetz Circuit Theory Over Schelkunoff Transfer Impedance Theory”. IEEE Tran-sactions on Power Delivery, october 2009, volume 24,

number 4, ITPDE5 (ISSN 0885-8977), pp 1876-1882.[5] SOBRAL, SÉRGIO TOLEDO (IESA); FLEURY, VASCO; VILLALBA, JUAN R. (ITAIPU); MUKHE-DKAR, DINKAR (ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTREAL) - “Decoupled method for studying large interconnected ground systems using microcompu-ters – part I – fundamentals”. Trans. On Power Deli-very, vol. PWRD-3, n04, Oct. 1988, pp. 1536-1544.[6] SOBRAL, SÉRGIO TOLEDO (IESA); PEIXOTO, CARLOS A. O. (FURNAS); FERNANDES, DOUGLAS (FURNAS); MUKHEDKAR, DINKAR (ECOLE POLYTE-CHNIQUE DE MONTREAL) - “Grounding Measure-ments at Itaipu Generation Complex Using the Ex-tended Eleck Method”. Trans. On Power Delivery, vol. PWRD-3, n04, Oct. 1988, pp. 1553-1563 (Este artigo foi incluído como referência no Standard IEEE-81).

Figura 7 - Mostra que um condutor bi-aterrado nos pontos (3) e (4), quando submetido a uma tensão induzida (I.ZAB) é percorrida por uma “corrente autoneutralizada” IR= - I.ZAB / Z34