Cálculo das Probabilidades eEstatística I

Profa. Juliana Freitas PiresDepartamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba - UFPBjuliana@de.ufpb.br

Prof. Fernando Batista

Curso de Matemática

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS

fernando@cafematica.com

Introdução a Probabilidade

Existem dois tipos de experimentos:

Determinísticos: Os resultados são sempre os mes-mos e determinados pelas condições sob as quais oprocedimento seja executado.Exemplo: Ponto de ebulição da água, ponto decongelamento da água, Leis da Física.

Não-Determinísticos (Probabilístico ou Alea-tório): Os resultados podem variar, mesmo quandosão executados sob as mesmas condições.

Exemplos de um Experimento Aleatório

E1: Jogar um dado e observar a face acima.E2: Jogar uma moeda quatro vezes e observar o nú-

mero de caras obtidas.E3: Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequên-

cia obtida.E4: Em uma linha de produção contar o número de

peças defeituosas em um período de 8h.E5: Duração de vida de uma lâmpada (em horas).

Característica de um Experimento Aleatório

• O experimento pode ser repetido indefinidamentesob as mesmas condições.

• Embora não sejamos capazes de afirmar o resul-tado que ocorrerá, seremos capazes de descrevero conjunto de todos os possíveis resultados.

• Quando o experimento for repetido um grandenúmero de vezes, uma configuração definida ouregularidade surgirá.

Obs: Essa regularidade torna possível construir mo-delos matemáticos que possibilitam analisar cadatipo de experimento.

Conceitos Iniciais

Espaço Amostral: Para cada experimento E, de-finimos o espaço amostral (S) como o conjunto detodos os possíveis resultados de E.

Exemplo: Considerando o exemplo anterior:

S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.S2 = {0, 1, 2, 3, 4}.S3 = {kk, cc, kc, ck}, em que k = coroa e c = cara.S4 = {0, 1, 2, . . . , N}, onde N é o número máximo

de peças produzidas.S5 = {t|t ≥ 0}, onde t é uma quantidade em horas.

Conceitos Iniciais

Evento: Dado um espaço amostral S, associado aum experimento E qualquer, definimos como eventoqualquer subconjunto desse espaço amostral.

Exemplo: Considerando o exemplo anterior:

A1: um número par ocorre, A1 = {2, 4, 6}.A2: duas caras ocorrem, A2 = {2}.A3: pelo menos uma caras ocorrem, A3 = {cc, kc, ck}.A4: todas as peças são perfeitas, A4 = {0}.A5: a lâmpada queima em menos de, 3h A5 = {t|0 ≤

t ≤ 3}.

Operações Básicas com Eventos

Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral S.• União: A ∪ B é o evento que ocorrerá se e so-mente se A ou B ou ambos ocorrerem.Exemplo:

A = {1, 2, 3}, B = {0}, então A∪B = {0, 1, 2, 3}

• Intersecção: A ∩B é o evento que ocorrerá see somente se A e B ocorrerem simultaneamente.Exemplo:

A = {2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}, então A∩B = {2, 4}

Operações Básicas com Eventos

Complementar: Se Ac é o evento complementarde A, então Ac consiste em todos os resultados doespaço amostral que não estejam incluídos no eventoA.Exemplo: E1: Jogar um dado e observar a face acima.

A = {2, 3, 4}, então Ac = {1, 5, 6}

Leis de De Morgan: (A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Leis Distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Tipos de eventos

Eventos Mutuamente Exclusivos (ou disjun-tos): Dois eventos, A e B, são mutuamente exclu-sivos se não possuem nenhum elemento em comum,ou seja, A ∩B = ∅.Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {1, 3}

Tipos de eventos

Eventos não mutuamente exclusivos: Se doiseventos possuem elementos em comum, eles não sãomutuamente exclusivos, ou seja, A ∩B 6= ∅.Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

Probabilidade

Probabilidade: é uma medida com a qual pode-mos esperar a chance de ocorrência de um deter-minado evento, atribuindo-a um número (valor) en-tre 0 e 1. Assim, se temos a certeza de que umevento ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1(ou 100%), caso contrário (certeza que não ocorrerá)diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%). Se, porexemplo, a probabilidade é 1/4 diremos que existeuma chance de 25% de ocorrência de tal evento.

Obs. Para obtermos o resultado em termos depercentual é só multiplicar a probabilidade por100.

Probabilidade

Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis: quan-do associamos a cada ponto amostral ( cada ele-mento do espaço amostral) a mesma probabilidade,o espaço amostral chama-se equiprovável.

S = {a1, a2, . . . , an}↓ ↓ ↓p1 p2 pn

Obs. p1 = p2 = · · · = pn = 1n

Probabilidade

Definição Clássica: Seja um evento A qualquer.Temos que:

P (A) =Número de elementos no evento A

Número total de elementos no espaço amostral S

Exemplo: A1 = {sair PAR} = {2, 4, 6}

P(A1) =3

6=

1

2= 0, 5 = (50%)

Exemplo

Experimento (E): Dois dados são jogados.Espaço Amostral (S):

Detemine a probabilidade de que:

A = {a soma seja 4} → P(A) =3

36= 0, 083

B = {a soma seja 11} → P(B) =2

36= 0, 056

Probabilidade

Definição axiomática: Seja S um espaço amos-tral associado a E. A cada evento A associaremosum número real, representado por P (A) e denomi-nado probabilidade de A, que satisfaça os seguintesaxiomas.Axiomas:A1. 0 ≤ P(A) ≤ 1;

A2. P(S) = 1;

A3. Se A e B forem mutuamente exclusivos, ouseja, disjuntos (A ∩B = ∅), então

P(A ∪B) = P(A) + P(B).

Probabilidade

Propriedades:

P1. Se ∅ é o conjunto vazio, então P(∅) = 0.P2. Se Ac for o evento complementar de A, então

P(Ac) = 1− P(A).P3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então

P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B).

P4. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).

Exemplo

• Uma carta é tirada de um baralho. Determinea probabilidade de ser um rei OU ser de naipevermelho.

A = {a carta é um rei} B = {a carta é vermelha}

P(A) =4

52P(B) =

26

52P(A ∩B) =

2

52

P(A ∪B) =4

52+

26

52− 2

52=

28

52= 0, 5385.

Exemplo

• Uma carta é tirada de um baralho. Determine aprobabilidade de a carta ser um rei OU um 10.

A = {a carta é um rei} B = {a carta é um 10}

P(A) =4

52P(B) =

4

52P(A ∩B) = 0

P(A ∪B) =4

52+

4

52=

8

52= 0, 054.

Exercício

• Em uma seleção para uma vaga de engenheiromecânico de uma grande empresa verificou-seque dos 100 candidatos 40 tinham experiênciaanterior, 30 possuíam curso de especializaçãoe 20 possuíam tanto experiência como algumcurso de especialização. Escolhendo um candi-dato ao acaso, qual a probabilidade de que:

a) Ele tenha experiência anterior ou algum cursode especialização?

b) Ele não tenha experiência anterior nem curso deespecialização?

Solução

A = {O candidato possui experiência anterior}B = {O candidato possui especialização}

P(A) = 0, 4 P(B) = 0, 3 P(A ∩B) = 0, 2

a) Ele tenha experiência ou algum curso de especialização?

P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0, 4+0, 3−0, 2 = 0, 5.

b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especia-lização?

P(Ac ∩Bc) = P [(A ∪B)c] = 1− P(A ∪B)

= 1− 0, 5 = 0, 5

Tabela de Contingência

• Revela a existência de eventos combinados, e fa-cilita o tratamento probabilístico de tais eventos.

• É uma tabela que disponibiliza informações dire-tamente nas linhas e colunas, e que além dessasinformações é possível visualizar também o nú-mero de casos comuns às interseções de eventos.

Exemplo

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três ci-dades se eles gostavam de um novo suco. Os resul-tados estão a seguir.

Determine a probabilidade de sortear um adulto deNatal ou que tenha gostado do suco.

P(Natal ∪ Sim) = P(Natal) + P(Sim)− P(Natal ∩ Sim)

=250

1000+

400

1000− 150

1000=

500

1000= 0, 5

Probabilidade Condicional

Definição: A probabilidade de um evento A ocor-rer, dado (ou na condição de) que outro evento Bjá ocorreu.

P(A|B) =P(A ∩B)

P(B)

Escrevemos essa situação como P(A|B) e lemos “ aprobabilidade de A, dado B ”.

Exemplo

Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabi-lidade da soma ser igual a 6, dado que o primeirodado saiu número menor que 3.

A = {soma igual a 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}

B = {1odado com no < 3}= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),= (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}

A ∩B = {(1, 5), (2, 4)}

Logo

P (A|B) = 2/3612/36

= 212

= 16

Exercício

Considerando a tabela anterior.

Um adulto é selecionada ao acaso. Determine aprobabilidade do adulto:

1 não ter gostado do suco?2 ser de Natal?3 ter respondido não, sabendo que ele é de natal?

Solução

1 não ter gostado do suco?P(Não) = 350

1000

2 ser de Natal?P(Natal) = 250

1000

3 ter respondido não, sabendo que ele é de natal?

P(Não|Natal) =P(Não ∩ Natal)

P(Natal)

=95/1000

250/1000=

95

1000= 0, 38

Teorema do Produto

• O teorema do produto (ou regra da multiplica-ção) é utilizado quando temos o interesse emdeterminar a probabilidade de que dois eventosocorram em sequência.

• SejamA eB dois eventos quaisquer de ummesmoespaço amostral S, então:

P(A ∩B) = P(B)× P(A|B)

P(A ∩B) = P(A)× P(B|A)

• Esse teorema é consequência direta da definiçãode probabilidade condicional.

Exemplo

• Dois carros são selecionados em uma linha deprodução com 12 unidades, 5 delas defeituosas.Determine a probabilidade de ambos os carrosserem defeituosos.A = {O 1◦carro é defeituoso}B = {O 2◦carro é defeituoso}P(A) = 5

12

P(B|A) = 411

P (A ∩B) = 512 ×

411 =

533 = 0, 1515

Teorema do Produto

• O teorema da multiplicação de probabilidadespode ser generalizado para mais de dois eventos.

• Sejam A1, A2, . . . , An eventos quaisquer de ummesmo espaço amostral S, a probabilidade daocorrência simultânea de A1, A2, . . . , An é dadapor:

P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) =P(A1)× P(A2|A1)×· · · × P(An|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1)

Exemplo

• Considerando o exemplo anterior, três carros sãoselecionados aleatoriamente. Determine a pro-babilidade de todos os carros serem defeituosos.A = {O 1◦carro é defeituoso}B = {O 2◦carro é defeituoso}C = {O 3◦carro é defeituoso}P(A) = 5

12

P(B|A) = 411

P(C|A ∩B) = 310

P (A ∩B ∩ C) = 512 ×

411 ×

310 =

122 = 0, 0454

Independência

• Dois eventos A e B são independentes se a pro-babilidade de ocorrência do evento B não é afe-tada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do e-vento A. Isto é,

P(B|A) = P(B).

• Os eventos A e B são independentes se

P(A ∩B) = P(A)× P(B).

• Dois eventos que não são independentes são de-pendentes.

Exemplo

Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têmdefeito e 2 são selecionados ao acaso.

A = {O 1◦carro é defeituoso}

B = {O 2◦carro é defeituoso}A probabilidade de o segundo carro ser defeituosodepende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventossão dependentes.

Exemplo

Exemplo de eventos independentes:

Dois dados são lançados. Determine a probabilidadede sair 4 em ambos.

A = {sair 4 no primeiro} B = {sair 4 no segundo}

P(A) =1

4P(B|A) = 1

4Os eventos são independentes.

Teorema da Probabilidade TotalSejam B1, B2, . . . , Bk uma partição do espaço amos-tral S, ou seja, eventos mutuamente exclusivos e quea união deles formem o espaço amostral. Seja A umevento qualquer associado a S, então:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + · · ·+ P(A|Bk)P(Bk)

=k∑

i=1

P(A|Bi)P(Bi)

Exemplo

Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40% mu-lheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 4% dasmulheres tem menos de 1, 60m. Dado que um estudante foisorteado aleatoriamente, qual a probabilidade dele ter menosde 1, 60m?

H = {Homem}, M = {Mulher}, A = {menos de 1, 60m}

P(H) = 0, 6 P(A|H) = 0, 01

P(M) = 0, 4 P(A|M) = 0, 04

P(A) = P(A|M)P(M) + P(A|H)P(H)

= 0, 04 · 0, 4 + 0, 01 · 0, 6= 0, 022.

Teorema de Bayes

Sejam B1, B2, . . . , Bk uma partição do espaço amos-tral S e seja A um evento qualquer associado a S,então:

P(Bi|A) =P(Bi ∩ A)

P(A)=

P(A|Bi)P(Bi)

P(A|B1)P(B1) + · · ·+ P(A|Bk)P(Bk)

Exemplo

Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40%mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 4% dasmulheres tem menos de 1, 60m. Dado que um estudantecom menos de 1, 60m foi sorteado aleatoriamente, qual aprobabilidade de ser mulher?

H = {Homem}, M = {Mulher}, A = {menos de 1, 60m}

P(M |A) = P(M ∩ A)

P(A)=

P(A|M)P(M)

P(A|M)P(M) + P(A|H)P(H)

=0, 04× 0, 4

(0, 04× 0, 4) + (0, 01× 0, 6)= 0, 727