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Come¸candona ´ Algebra Matheus Secco January 16, 2015 1. (IMO 60) Determine o conjunto solu¸ ao da inequa¸c˜ ao 4x 2 ( 1 - 1+2x ) 2 < 2x +9 2. (IMO 65) Encontre todos os conjuntos de quatro n´ umeros reais x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 tais que a soma de qualquer um destes n´ umeros com o produto dos outros trˆ es ´ e igual a 2. 3. Resolva o sistema x 2 + x - 1= y y 2 + y - 1= z z 2 + z - 1= x 4. Seja n um inteiro positivo. Prove que o n´ umero 3 3 n (3 3 n + 1) + 3 3 n +1 - 1 n˜ ao ´ e primo. 5. Um inteiro ´ e dito sinistro se pode ser escrito na forma x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz, onde x, y, z ao inteiros. Determine quantos inteiros sinistros h´ a no intervalo [1, 2014]. 6. Encontre todos os pares de inteiros (x, y) tais que xy + x 3 + y 3 3 = 2007. 7. Calcule a parte inteira do n´ umero A = 1 2 + 1 3 + ··· + 1 10000 . 8. Seja n um inteiro positivo. Prove que b(2 + 3) n c ´ e um n´ umero ´ ımpar. 9. Para cada inteiro positivo n, seja f (n)= 4n + 4n 2 - 1 2n +1+ 2n - 1 . Calcule f (1) + f (2) + ··· + f (40). 10. Prove que para cada inteiro positivo k, existe um inteiro positivo n k tal que ( 3 - 2) k = n k - n k - 1. 11. Sejam a e b inteiros n˜ ao nulos tais que |a|≤ 100, |b|≤ 100. Prove que |a 2+ b 3|≥ 1 350 .

Começando Na Álgebra

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  • Comecando na Algebra

    Matheus Secco

    January 16, 2015

    1. (IMO 60) Determine o conjunto solucao da inequacao

    4x2(11 + 2x)2 < 2x + 9

    2. (IMO 65) Encontre todos os conjuntos de quatro numeros reais x1, x2, x3, x4 tais que a soma dequalquer um destes numeros com o produto dos outros tres e igual a 2.

    3. Resolva o sistema x2 + x 1 = yy2 + y 1 = zz2 + z 1 = x

    4. Seja n um inteiro positivo. Prove que o numero 33n

    (33n

    + 1) + 33n+1 1 nao e primo.

    5. Um inteiro e dito sinistro se pode ser escrito na forma x3 +y3 +z33xyz, onde x, y, z sao inteiros.Determine quantos inteiros sinistros ha no intervalo [1, 2014].

    6. Encontre todos os pares de inteiros (x, y) tais que

    xy +x3 + y3

    3= 2007.

    7. Calcule a parte inteira do numero

    A =12

    +13

    + + 110000

    .

    8. Seja n um inteiro positivo. Prove que b(2 +3)nc e um numero mpar.9. Para cada inteiro positivo n, seja

    f(n) =4n +

    4n2 1

    2n + 1 +

    2n 1 .

    Calcule f(1) + f(2) + + f(40).10. Prove que para cada inteiro positivo k, existe um inteiro positivo nk tal que

    (

    3

    2)k

    =nk

    nk 1.

    11. Sejam a e b inteiros nao nulos tais que |a| 100, |b| 100. Prove que

    |a

    2 + b

    3| 1350

    .

    1

  • 12. Calcule a soma k=1

    6k

    (3k 2k)(3k+1 2k+1) .

    13. A sequencia (xn) e definida por x1 =12 , xk+1 = xk

    2 + xk. Encontre o maior inteiro menor que

    1

    x1 + 1+

    1

    x2 + 1+ + 1

    x100 + 1.

    14. Seja Fn a sequencia de Fibonacci (F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn1). Calcule:

    (a)

    n=2

    FnFn1Fn+1

    ;

    (b)

    n=2

    1

    Fn1Fn+1;

    15. Calcule a soma 1 +

    1

    12+

    1

    22+

    1 +

    1

    22+

    1

    32+ +

    1 +

    1

    19992+

    1

    20002.

    16. Dado um inteiro positivo n, seja p(n) o produto dos algarismos nao nulos de n. Seja

    S = p(1) + p(2) + + p(999).Qual e o maior fator primo de S?

    17. A sequencia dada por x0 = a, x1 = b e

    xn+1 =1

    2(xn1 +

    1

    xn)

    e periodica. Prove que ab = 1.

    18. Encontre uma tripla de racionais (a, b, c) tal que

    3

    3

    2 1 = 3a + 3b + 3c.

    19. (IMO 68) Seja n um inteiro positivo. Calcule, em funcao de n, a soma

    bn + 12c+ bn + 2

    4c+ + bn + 2

    i

    2i+1c+ .

    20. Prove que, para todo inteiro nao negativo n, o numero 55n+1

    + 55n

    + 1 nao e primo.

    21. Prove que o numero 512515251 nao e primo.

    22. Encontre todas as triplas (x, y, z) de reais que satisfazem o seguinte sistema de equacoes:x3 = 3x 12y + 50,y3 = 12y + 3z 2,z3 = 27z + 27x.

    23. Prove que todo inteiro pode ser escrito como soma de cinco cubos perfeitos.

    24. (IMO 76) Defina a sequencia (un) por un+1 = un(u2n1 2) u1, u0 = 2 e u1 = 52 . Prove que

    3 log2 bunc = 2n (1)n.

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