Comecando na Algebra
Matheus Secco
January 16, 2015
1. (IMO 60) Determine o conjunto solucao da inequacao
4x2(11 + 2x)2 < 2x + 9
2. (IMO 65) Encontre todos os conjuntos de quatro numeros reais
x1, x2, x3, x4 tais que a soma dequalquer um destes numeros com o
produto dos outros tres e igual a 2.
3. Resolva o sistema x2 + x 1 = yy2 + y 1 = zz2 + z 1 = x
4. Seja n um inteiro positivo. Prove que o numero 33n
(33n
+ 1) + 33n+1 1 nao e primo.
5. Um inteiro e dito sinistro se pode ser escrito na forma x3
+y3 +z33xyz, onde x, y, z sao inteiros.Determine quantos inteiros
sinistros ha no intervalo [1, 2014].
6. Encontre todos os pares de inteiros (x, y) tais que
xy +x3 + y3
3= 2007.
7. Calcule a parte inteira do numero
A =12
+13
+ + 110000
.
8. Seja n um inteiro positivo. Prove que b(2 +3)nc e um numero
mpar.9. Para cada inteiro positivo n, seja
f(n) =4n +
4n2 1
2n + 1 +
2n 1 .
Calcule f(1) + f(2) + + f(40).10. Prove que para cada inteiro
positivo k, existe um inteiro positivo nk tal que
(
3
2)k
=nk
nk 1.
11. Sejam a e b inteiros nao nulos tais que |a| 100, |b| 100.
Prove que
|a
2 + b
3| 1350
.
1
12. Calcule a soma k=1
6k
(3k 2k)(3k+1 2k+1) .
13. A sequencia (xn) e definida por x1 =12 , xk+1 = xk
2 + xk. Encontre o maior inteiro menor que
1
x1 + 1+
1
x2 + 1+ + 1
x100 + 1.
14. Seja Fn a sequencia de Fibonacci (F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn
+ Fn1). Calcule:
(a)
n=2
FnFn1Fn+1
;
(b)
n=2
1
Fn1Fn+1;
15. Calcule a soma 1 +
1
12+
1
22+
1 +
1
22+
1
32+ +
1 +
1
19992+
1
20002.
16. Dado um inteiro positivo n, seja p(n) o produto dos
algarismos nao nulos de n. Seja
S = p(1) + p(2) + + p(999).Qual e o maior fator primo de S?
17. A sequencia dada por x0 = a, x1 = b e
xn+1 =1
2(xn1 +
1
xn)
e periodica. Prove que ab = 1.
18. Encontre uma tripla de racionais (a, b, c) tal que
3
3
2 1 = 3a + 3b + 3c.
19. (IMO 68) Seja n um inteiro positivo. Calcule, em funcao de
n, a soma
bn + 12c+ bn + 2
4c+ + bn + 2
i
2i+1c+ .
20. Prove que, para todo inteiro nao negativo n, o numero
55n+1
+ 55n
+ 1 nao e primo.
21. Prove que o numero 512515251 nao e primo.
22. Encontre todas as triplas (x, y, z) de reais que satisfazem
o seguinte sistema de equacoes:x3 = 3x 12y + 50,y3 = 12y + 3z 2,z3
= 27z + 27x.
23. Prove que todo inteiro pode ser escrito como soma de cinco
cubos perfeitos.
24. (IMO 76) Defina a sequencia (un) por un+1 = un(u2n1 2) u1,
u0 = 2 e u1 = 52 . Prove que
3 log2 bunc = 2n (1)n.
2
