COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DO DISPOSITIVO FACTS … · Figura 3.9 – Sistema Elétrico com um STATCOM (Modelo Detalhado) em Operação. . . . . 58 ... Qkm – Fluxo de potência

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DO DISPOSITIVO

FACTS STATCOM PARA O ESTUDO DA

ESTABILIDADE A PEQUENAS PERTURBAÇÕES

Aline Petean Pina

Orientador: Prof. Dr. Percival Bueno de Araujo

Ilha Solteira – SP, Maio de 2010

Campus de Ilha Solteira

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

“Comparação entre Modelos do Dispositivo FACTS STATCOM para o Estudo da Estabilidade a Pequenas Perturbações”

ALINE PETEAN PINA

Orientador : Prof. Dr. Percival Bueno de Araujo

Dissertação apresentada à Faculdade de

Engenharia - UNESP – Campus de Ilha

Solteira, para obtenção do título de

Mestre em Engenharia Elétrica.

Área de Conhecimento: Automação.

Ilha Solteira – SP maio/2010

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.

Pina, Aline Petean. P645c Comparação entre modelos do dispositivo FACTS STATCOM para o estudo da estabilidade a pequenas perturbações / Aline Petean Pina. Ilha Solteira : [s.n.], 2010 100 f. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2010 Orientador: Percival Bueno de Araujo 1. Sistemas de energia elétrica - Estabilidade. 2. Modelo de sensibilidade de potência. 3. FACTS. 4. STATCOM.

Aos meus avôs Pedro e Walter e minhas avós Annete e Luzia

Agradecimentos

Desejo agradecer a todos com quem convivi nos anos de graduação e mestrado.

Principalmente gostaria de agradecer:

Ao meu orientador, professor Percival Bueno de Araujo por sua excelente orientação

no desenvolvimento desta dissertação, aos ensinamentos passados e, principalmente, pela

amizade compartilhada durante minha vida acadêmica.

Aos professores: Dionízio Paschoareli Júnior, Anna Diva Plasencia Lotufo e Laurence

Duarte Colvara pelas sugestões e ensinamentos dados, todos decisivos na conclusão deste

trabalho.

Aos amigos da pós-graduação e em especial aos do grupo de estudo: Carlos Pupin,

Marcos, André, Ricardo, Maxwell, Naryanne e João com quem tive o prazer de conviver e

tiveram grande participação no desenvolvimento deste trabalho.

Aos grandes amigos com quem convivo há longa data: Suzana, Ana Claudia, Graziele,

Felipe, Thiago e Ary.

À minha grande família, que sempre me apoiou e aconselhou em todos os momentos

de minha vida. Aos meus tios Carlos e Rose por todo o carinho e cuidado, tia Marilene pela

amizade.

À minha irmã Ticiana, pelo apoio e confiança que deposita em todos os meus atos, à

minhas irmãs Fabiana e Gabriela pelo amor e Letícia e Igor pelo carinho.

À minha querida mãe Magda por todo amor, carinho e dedicação oferecidos a mim,

mesmo que em espírito.

À meu pai Lázaro, por todo o amor e suporte fornecido, serei grata pela eternidade.

Á meu companheiro Augusto pelo apoio, ajuda e carinho.

A UNESP pela excelente qualidade no ensino oferecido, em especial ao Departamento

de Engenharia Elétrica, e ao CNPq pelo apoio financeiro.

RReessuummoo

Resumo

Este trabalho apresenta estudos referentes à modelagem do dispositivo FACTS

STATCOM para posterior inclusão nas equações do Modelo de Sensibilidade de Potência

multimáquinas. O objetivo final da modelagem é o estudo da estabilidade a pequenas

perturbações de sistemas elétricos de potência.

São considerados dois modelos para o dispositivo: um primeiro modelo permite

apenas a compensação de potência reativa, enquanto que num segundo modelo é possível a

compensação tanto de potência ativa como de potência reativa.

Também são sugeridos controladores para o dispositivo FACTS STATCOM e, neste

trabalho, estes controladores são descritos por blocos de primeira ordem.

Com o equacionamento do sistema elétrico realizado, seu modelo é implementado

computacionalmente para se efetuar simulações para se avaliar a estabilidade a pequenas

perturbações.

As simulações estão baseadas na análise no domínio do tempo e no domínio da

frequência, utilizando os dois modelos desenvolvidos para o STATCOM.

A partir dos resultados obtidos pelas simulações, análises são realizadas, e discutidos

os principais aspectos referentes à estabilidade a pequenas perturbações de sistemas elétricos

de potência.

Palavras-chave: Estabilidade a Pequenas Perturbações, Sistemas Elétricos de Potência,

Oscilações Eletromecânicas, Modelo de Sensibilidade de Potência, FACTS, STATCOM.

AAbbssttrraacctt

Abstract

This work presents studies referred to the modeling of the FACTS STATCOM device

to include in multi-machine Power Sensitivity Model equations. The aim is to study electrical

system stability under small perturbations.

Two models are considered for the device: the first one allows only the reactive power

compensation, while the other one allows the reactive or active compensation.

Controllers for the FACTS STATCOM device are also suggested, and in this work

they are described by first order blocks.

As the electrical system equations are finalized, the model is computationally

implemented to effectuate simulations and evaluate the stability under small perturbations.

The simulations are based on the time and frequency domain using the two models

developed for the FACTS STATCOM device.

Considering the results obtained by the simulations the analysis are realized and

discussed the principal aspects referred to the electrical Power system stability under small

perturbations.

Keywords – Electric Power Systems, Small-Signal Stability, Electromechanical Oscillations,

Power Sensitivity Model, FACTS, STATCOM.

LLiissttaa ddee FFiigguurraass

Lista de Figuras

Página

Capítulo 2

Figura 2.1 – Enrolamentos do Gerador Síncrono Trifásico – 2 Pólos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 2.2 – Diagrama Unifilar do Gerador Síncrono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 2.3 – Diagrama Unifilar : Gerador genérico k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Figura 2.4 – Balanço Nodal de Potência: Barra genérica k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 2.5 – MSP Multimáquinas: Representação no Domínio da Freqüência . . . . . . . . . . . .41

Capítulo 3

Figura 3.1 – Configuração Básica do Dispositivo FACTS STATCOM . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 3.2 – Curva Característica V x I do STATCOM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Figura 3.3 – Representação Simplificada do Dispositivo FACTS STATCOM. . . . . . . . . . . .47

Figura 3.4 – Modelo do Controlador Simplificado do Dispositivo FACTS STATCOM. . . . 48

Figura 3.5 – Sistema Elétrico com um STATCOM (Modelo Simplificado) em Operação. . .51

Figura 3.6 – Sistema Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 3.7 – Representação Detalhada do Dispositivo FACTS STATCOM. . . . . . . . . . . . . .57

Figura 3.8 – Diagrama Fasorial: Tensões kV e sV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 3.9 – Sistema Elétrico com um STATCOM (Modelo Detalhado) em Operação. . . . . 58

Figura 3.10 – Modelo do Controlador Detalhado do Dispositivo FACTS STATCOM . . . . . 62

Capítulo 4

Figura 4.1 – Diagrama Unifilar: Sistema Simétrico de Duas Áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 4.2 – Variações da Velocidade Angular – Caso Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 4.3 – Variações do Ângulo Interno – Caso Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 4.4 – Variações dos Ângulos Internos – STATCOM: Modelo Simplificado . . . . . . . . 76

Figura 4.5 – Variações dos Ângulos Internos – STATCOM: Modelo Detalhado . . . . . . . . . . 77

Figura 4.6 – Fluxo de Potência Ativa- STATCOM : Modelo Detalhado . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 4.7 – Defasagem Angular (∆δ2 – ∆δ1): STATCOM Simplificado e Detalhado . . . . . . 80

LLiissttaa ddee FFiigguurraass

Figura 4.8 – Defasagem Angular (∆δ3 – ∆δ1): STATCOM Simplificado e Detalhado . . . . . . 80

Figura 4.9 – Variação da Tensão: Barra 8: STATCOM Simplificado e Detalhado. . . . . . . . . 81

Figura 4.10 – Variação do Fluxo de Potência Ativa entre as Barras 7 e 8: STATCOM

Simplificado e Detalhado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Apêndice I

Figura I.1 – Sistemas de coordenadas r,m e d,q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Apêndice II

Figura II.1 – Diagrama Unifilar – Sistema de 2 Áreas, 4 Geradores e 10 Barras. . . . . . . . . 97

LLiissttaa ddee TTaabbeellaass

Lista de Tabelas

Página

Capítulo 4

Tabela 4.1 – Autovalores Dominantes, Frequência Natural Não Amortecida e Coeficientes de

Amortecimento – Caso Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


Amortecimento – STATCOM: Modelo Simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75


Amortecimento – STATCOM: Modelo Detalhado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77


Amortecimento – STATCOM: Modelo Detalhado (apenas compensação de

reativos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Tabela 4.5 – Valores de Regime Permanente: Tensão da Barra 8, Ângulo Interno das

Máquinas e Fluxo de Potência Ativa: STATCOM Simplificado e Detalhado . . 82

Apêndice II

Tabela II.1 – Dados das Máquinas Geradoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Tabela II.2 – Dados dos Reguladores Automáticos de Tensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Tabela II.3 – Dados das Linhas de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Tabela II.4 – Dados das Barras – Caso Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Tabela II.5 – Dados dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

LLiissttaa ddee SSíímmbboollooss ee AAbbrreevviiaattuurraass

Lista de Símbolos e Abreviaturas

FACTS – Flexible Alternating Current Transmission Systems

ONS – Operador Nacional do Sistema Elétrico

SIN – Sistema Interligado Nacional

RAT – Regulador Automático de Tensão

MHP – Modelo de Heffron & Phillips

MSP – Modelo de Sensibilidade de Potência

PSS – Power System Stabilizer

CA – Corrente Alternada

CC – Corrente Contínua

GTO – Gate Turn-Off Thyristor

TCSC – Thyristor Controlled Series Capacitor

SVC – Static Var Compensator

PS – Phase Shifter (Transformador defasador)

STATCOM – Static Synchronous Compensator

SSSC – Static Synchronous Series Compensator

UPFC – Unified Power Flow Controller

SVS – Synchronous Voltage Source

POD – Power Oscillation Damping

VSC – Voltage Source Converter

REF – Referência Adotada para o Sistema Elétrico

L.T. – Linha de Transmissão

A1Gk, A2Gk, A3Gk – Coeficientes de sensibilidade da potência ativa do gerador k

A1km, A2km, A3km – Coeficientes de sensibilidade da potência ativa da L.T. k-m

Ak, ADC, Ac, AΨ – Coeficientes de sensibilidade da potência ativa do STATCOM


c – Variável de controle do STATCOM

Ccc – Capacitância do STATCOM

Dk – Coeficiente de amortecimento inerente do gerador k

Eak – Tensão de definição da posição do sistema de coordenadas rotativo

Efdk – Tensão no enrolamento de campo do gerador k

E'dk – Tensão interna em eixo direto do gerador k

E'qk – Tensão interna em quadratura do gerador k

IDC – Corrente elétrica do lado cc do STATCOM

Idk – Componente de eixo direto da corrente da barra k

Ik – Corrente elétrica do gerador k

IS – Corrente elétrica fornecida ou absorvida com o STATCOM

Iqk – Componente de eixo em quadratura da corrente da barra k

J1, J2, J3, J4, J11, J12, J21, J22, B1, B2 – Matrizes jacobianas do MSP

J12STATCOM, J21STATCOM, J22STATCOM – Matrizes jacobianas do MSP com STATCOM

KAk, KVk – Coeficientes da reação de armadura do gerador k no MSP

KS, KP, KC, KΨ – Ganhos dos controladores de primeira ordem

Kc1, Kc2, Kc3, Kc4, Kc5, Kc6 – Coeficientes da variável de controle c

Ks1, Ks2, Ks3, Ks4, Ks5, Ks6 – Coeficientes da variável de controle Is

KΨ1, KΨ2, KΨ3– Coeficientes da variável de controle Ψ

Krk – Ganho do RAT

Mk = 2Hk – Constante de Inércia do gerador k

Px'dk – Potência ativa pela reatância de eixo direto k

PGk – Potência ativa gerada pelo gerador k

Pkm – Fluxo de potência ativa entre as barras k e m

PLk – Carga ativa da barra k


PMeck – Potencia mecânica de entrada do gerador k

PS – Potência ativa do STATCOM

Qx'dk – Potência reativa pela reatância de eixo direto k

QGk – Potência reativa gerada pelo gerador k

Qkm – Fluxo de potência reativa entre as barras k e m

QLk – Carga reativa da barra k

QS – Potência ativa do STATCOM

R1Gk, R2Gk, R3Gk – Coeficientes de potência reativa do gerador k

R1km, R2km, R3km – Coeficientes de potência reativa da linha de transmissão k-m

Rk, RDC, Rc, RΨ – Coeficientes de sensibilidade da potência reativa do STATCOM

Rkm – Resistência da linha de transmissão entre as barras k e m

Skm – Potência complexa que sai da barra k em direção a barra m

s – Operador de Laplace

T – Matriz de Transformação de Coordenadas

T'd0k – Constante de tempo transitória de eixo direto do gerador k

TMk – Torque mecânico de entrada do gerador k

Trk – Constante de tempo do RAT

TC – Constante de Tempo do controlador

TΨ – Constante de tempo do controlador

Vdk – Componente de eixo direto da tensão da barra k

Vk – Magnitude da tensão da barra k

VS – Magnitude da tensão da barra de instalação do STATCOM

VAC – Tensão do terminal ac do STATCOM

VDC – Tensão do terminal cc do STATCOM

Vqk – Componente de eixo em quadratura da tensão da barra k.


Vref k – Tensão de referência para o RAT

VS0 – Tensão de referência do STATCOM

x~ – Fasor da variável x

xsdt – Reatância do transformador de acoplamento do STATCOM

xdk – Reatância síncrona de eixo direto do gerador k

x'dk – Reatância transitória de eixo direto do gerador k

Xkm – Reatância da linha de transmissão entre as barras k e m

xqk – Reatância síncrona de eixo em quadratura do gerador k

Zkm – Impedância da linha de transmissão entre as barras k e m

θS – Ângulo da tensão do STATCOM

δk – Ângulo interno do gerador k

θk – Ângulo da tensão da barra k

θkm – Diferença entre os ângulos das tensões da barra k e m (θkm = θk - θm)

Ωk – Conjunto de barras vizinhas à barra k

ωk – Velocidade Angular do gerador k

ω0 – Velocidade Angular síncrona – 377 rad/s

ωn – frequência natural do laço eletromecânico

ξ – Amortecimento relacionado a uma oscilação

ψ –Variável de controle do STATCOM

•

X – Representa a derivada da variável X

=•

dt

dXX

∆ – Representa pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio

(r,m) – Sistema de coordenadas fixo, eixos real e imaginário

(d,q) – Sistema de coordenadas rotativo, eixos direto e em quadratura

SSuummáárr iioo

Sumário

Introdução ...................................................................................................................17

Modelo de Sensibilidade de Potência (MSP) Multimáquinas...................25 2.1 Introdução................................................................................................................. 25 2.2 Equações Básicas do Sistema Multimáquinas.......................................................... 25 2.3 Coeficientes dos Geradores ...................................................................................... 28 2.4 Coeficientes das Linhas de Transmissão.................................................................. 30 2.5 Equações de Movimento do Gerador Síncrono........................................................ 32 2.6 Circuito de Campo e Sistema de Excitação do Gerador Síncrono ........................... 32 2.7 Balanço Nodal de Potências ..................................................................................... 33 2.8 Representação do MSP-multimáquinas no Domínio do Tempo .............................. 34 2.9 Representação do MSP-multimáquinas no Domínio da Frequência ........................ 39 2.10 Conclusões.............................................................................................................. 42

Modelos do Dispositivo FACTS STATCOM..................................................44 3.1 Introdução................................................................................................................. 44 3.2 Configuração Básica e Princípio de Funcionamento do STACOM......................... 44 3.3 Modelo Dinâmico Simplificado do Dispositivo FACTS STATCOM ..................... 47 3.4 Modelo Dinâmico Detalhado do Dispositivo FACTS STATCOM ......................... 57 3.5 Conclusões................................................................................................................ 69

Resultados e Simulações.........................................................................................71 4.1 Introdução................................................................................................................. 71 4.2 Sistema Simétrico de Duas Áreas – Caso Base........................................................ 71 4.3 Simulações: Dispositivo FACTS STATCOM: Modelo Simplificado ..................... 74 4.4 Simulações: Dispositivo FACTS STATCOM: Modelo Detalhado.......................... 76 4.5 Simulações: Comparação entre as modelagens do Dispositivo FACTS STATCOM: Modelo Simplificado e Modelo Detalhado............................ 78 4.6 Conclusões................................................................................................................ 82

Conclusões...................................................................................................................84

Referências..................................................................................................................87

Apêndice I. Matriz de Transformação de Coordenadas............................95

SSuummáárr iioo

Apêndice II. Dados do Sistema Multimáquinas Utilizado.........................97

Anexo. Artigos Publicados e Submetido........................................................100

CCaappííttuulloo 11

17

Capítulo 1

Introdução

Atualmente a produção de energia elétrica vem se tornando cada vez mais

problemática. Um dos motivos é o fato dos limites exploratórios das fontes energéticas

viáveis comercialmente estão próximos, e, em muitos casos, sem possibilidade de ampliação

dessa oferta. Outro motivo, não menos importante, é que a exploração dessas fontes de

energia causaria, de maneira geral, inúmeros problemas ambientais e que não são mais

tolerados pela sociedade, como acontecia no passado.

Contudo, o aumento da geração de energia elétrica se torna cada dia mais necessário e

este tem sido o principal problema enfrentado na área de sistemas de energia elétrica.

Inovações tecnológicas apontam uma saída provisória, como a utilização de dispositivos

FACTS. Estes equipamentos possibilitam um aumento de transmissão de energia elétrica por

uma linha de transmissão, adiando a construção de novas linhas. Fontes alternativas de

geração de energia estão em intensivos planejamento e estudo, tais como o aproveitamento de

energia eólica, energia das marés, geradores de fusão, fontes alternativas para geração de

energia limpa e de menor custo ambiental.

Por outro lado, a geração de nada basta se a energia elétrica não for devidamente

fornecida aos seus mercados consumidores e, para isso, têm-se cada vez mais necessitado de

longas linhas de transmissão, visto que as unidades geradoras com potencial para serem

exploradas, muitas vezes se encontram muito afastadas dos principais centros consumidores.

É nesse contexto que se situa o conceito de estabilidade, que contribui para tornar o

sistema mais confiável e seguro, garantindo que a energia elétrica sempre será entregue em

níveis adequados de tensão e frequência, independente das condições de operação do sistema.

Mais especificamente em sistemas de energia elétrica, a estabilidade se refere ao

comportamento do sistema após este sofrer algum tipo de perturbação (seja esta perturbação

grande ou pequena), deslocando-o do seu ponto de equilíbrio inicial.

Como exemplo de grande perturbação pode-se citar um curto-circuito no sistema

elétrico. A variação normal da carga em torno de uma média histórica exemplifica uma

pequena perturbação.


18

Em função do tipo de perturbação, tem-se então a divisão do estudo da estabilidade em

ramos distintos: a estabilidade transitória (que estuda as primeiras oscilações do sistema após

uma grande perturbação) e a estabilidade dinâmica ou mais recentemente intitulada como

estabilidade a pequenas perturbações ou estabilidade de regime permanente (que se restringe à

restauração da nova condição de regime permanente do sistema após a ocorrência de

pequenos distúrbios) (BRETAS ; ALBERTO, 2000; INSTITUTO DE ENGENHEIROS

ELETRICISTAS E ELETRÔNICOS- IEEE/CONSEIL INTERNATIONAL DES

GRANDS RÉSEAUX ÉLECTRIQUES-CIGRE, 2003).

Quando da ocorrência de uma pequena perturbação, as equações que descrevem o

sistema elétrico de potência, geralmente não lineares, podem ser linearizadas em torno de um

ponto de equilíbrio estável e, desta maneira, todas as propriedades aplicáveis à análise de

sistemas lineares podem ser utilizadas.

Este trabalho trata do estudo da estabilidade a pequenas perturbações e, para se ter

uma idéia da importância destes estudos, dados do ONS (Operador Nacional do Sistema

Elétrico) referentes ao SIN (Sistema Interligado Nacional) mostram uma ocorrência média de

2258 perturbações por ano nos últimos anos. Dentre estas perturbações, 266 foram com corte

de carga (103 com corte de carga superior a 50 MW e 48 com corte de carga superior a 100

MW). Algumas destas perturbações, mesmo sendo consideradas como de pequena

intensidade, poderiam levar o sistema à instabilidade, dependendo de suas condições de

operação (ONS, 2010).

Para o estudo da estabilidade dinâmica é importante a escolha apropriada da

modelagem matemática para uma fiel e correta representação. Até os anos 50 um modelo

muito utilizado era o chamado “Modelo Clássico – Tensão Constante atrás de Reatância

Transitória” (YU, 1983; KUNDUR, 1994; ANDERSON ; FOUAD, 2003). Este modelo

permitia a avaliação do coeficiente de sincronização do gerador, que era o principal fator a ser

considerado no estudo da estabilidade do sistema elétrico.

Com o desenvolvimento tecnológico que permitiu a construção de sistemas elétricos

interligados surgiram também oscilações eletromecânicas de baixa frequência fracamente

amortecidas ou até mesmo instáveis (não amortecidas), que são originadas da interação dos

rotores das inúmeras máquinas do sistema elétrico.

Os modos de oscilação eletromecânicos podem ser classificados segundo sua

frequência. Modos locais de oscilação se encontram na faixa de 0,7 a 2,0 Hz e estão

associados às oscilações dos rotores de um grupo de geradores próximos, fisicamente ou


19

eletricamente. Modos interárea de oscilação localizam-se na faixa de 0,1 a 0,8 Hz e são

relacionados com as oscilações de grupos de geradores de uma área contra outro grupo de

geradores de outra área (LARSEN ; SWAN, 1981; YU, 1983; KUNDUR, 1994; SAUER ;

PAI, 1998; ANDERSON ; FOUAD, 2003).

A partir de então se constatou que em alguns casos, mesmo na ocorrência de grandes

perturbações, os sistemas elétricos não perdiam a estabilidade na primeira oscilação e sim

após um intervalo de tempo. Neste caso a instabilidade ocorria na forma de oscilações de

amplitudes crescentes e era constatada depois de alguns segundos ou até mesmo minutos após

a ocorrência da perturbação.

Um fator que contribuiu para o surgimento dessas oscilações foi a utilização dos

reguladores automáticos de tensão estáticos (caracterizados por altos ganhos e baixas

constantes de tempo) nos geradores síncronos, que vieram para substituir os reguladores

anteriores que eram eletromecânicos e de lenta atuação. Em situações de carga plena, esses

reguladores eletrônicos aumentavam o coeficiente de sincronização dos geradores, mas ao

mesmo tempo causavam um impacto negativo no amortecimento do sistema (DeMELLO ;

CONCORDIA, 1969).

No final da década de 60, as análises realizadas por DeMello e Concordia (DeMELLO

; CONCORDIA, 1969.) esclareceram como os reguladores automáticos de tensão afetavam

prejudicialmente a estabilidade dos sistemas elétricos. Para a realização desses estudos, foi

utilizado o modelo linearizado de Heffron-Phillips (MHP) (HEFFRON ; PHILLIPS, 1952;

DeMELLO ; CONCORDIA, 1969; YU, 1983; KUNDUR, 1994; ANDERSON ; FOUAD,

2003), que considera um gerador síncrono conectado a uma barra infinita através de uma

impedância externa, a qual representa a linha de transmissão (sistema de transmissão externo).

Uma barra infinita é caracterizada por possuir tensão e frequência constantes, ou seja,

qualquer perturbação na máquina geradora não causará distúrbios na barra infinita (YU, 1983;

KUNDUR, 1994; ANDERSON ; FOUAD, 2003; BRETAS ; ALBERTO, 2000).

Em seus estudos DeMello e Concordia levaram em consideração os conceitos de

torque sincronizante (torque elétrico em fase com as variações angulares do rotor) e torque de

amortecimento (torque elétrico em fase com as variações da velocidade angular do rotor),

para esclarecer os efeitos dos reguladores automáticos de tensão.

O bom resultado obtido da utilização do MHP para sistemas do tipo máquina-

barramento infinito motivou novas tentativas para sua ampliação para sistemas multimáquinas

(MHP-multimáquinas), para assim representar as interações entre as diversas unidades


20

geradoras do sistema elétrico, bem como da malha de transmissão e controladores (MOUSSA

; YU, 1974).

Contudo, na análise da estabilidade a pequenas perturbações o MHP-multimáquinas

apresenta limitações, tanto pela exigência de uma referência angular para o sistema elétrico,

como também pela redução do sistema elétrico de potência às barras internas de geração

(onde estão conectados os geradores), o que acarreta a eliminação do sistema de transmissão

externo.

Como alternativa para sanar estas limitações do MHP-multimaquinas, Deckmann e da

Costa propuseram outro modelo, baseado em coeficientes de sensibilidade de potências ativa

e reativa no então denominado “Modelo de Sensibilidade de Potência – MSP” (DECKMANN

; DA COSTA, 1994).

No caso do MSP aplicado a um sistema do tipo “máquina síncrona ligada a uma barra

infinita” também foram realizados estudos similares aos de DeMello e Concordia (DeMELLO

; CONCORDIA, 1969) a respeito dos torques de amortecimento e sincronizante, obtendo-se

resultados compatíveis (DECKMANN ; DA COSTA, 1993).

O modelo desenvolvido para simulação e análise da dinâmica de baixa frequência tem

como característica inerente a sua extensão ao sistema multimáquinas e apresenta como

vantagem a decomposição entre subsistemas ativo e reativo, que permite separar as respostas

do sistema elétrico às solicitações de potência ativa e potência reativa. Outra vantagem é a

decomposição temporal entre as variáveis de estado (de natureza lenta) e as variáveis

algébricas (de natureza rápida) (DA COSTA, 1992).

O MSP apresenta uma grande facilidade de extensão a sistemas multimáquinas por

conservar todas as barras do sistema e, deste modo também facilita a inclusão de novos

dispositivos ao modelo, tais como os dispositivos FACTS (Flexible Alternating Current

Transmission Systems) e controladores adicionais como o PSS (Power System Stabilizer)

(NASSIF, 2004; FURINI, 2008; FURINI ; ARAUJO, 2008; PUPIN et al., 2009; PEREIRA,

2009).

Nos trabalhos desenvolvidos por DeMello e Concórdia foi proposta a utilização de

sinais estabilizantes suplementares na busca de acrescentar torque de amortecimento às

oscilações do rotor da máquina síncrona, utilizando os chamados Estabilizadores de Sistema

de Potência (ESP) (no inglês, Power System Stabilizers – PSSs) (DeMELLO ; CONCORDIA,

1969; LARSEN ; SWANN, 1981). Porém, considerando sistemas multimáquinas, o PSS

geralmente acresce somente torque de amortecimento às oscilações de modo local, não


21

mostrando significativa contribuição às oscilações de modo interárea (MARTINS, 1986;

YANG et al., 1998; MOTA ; NASCIMENTO, 2008).

Com o grande avanço da eletrônica de potência, principalmente a de alta potência,

tornou-se possível a aplicação de dispositivos nas linhas de transmissão que controlassem o

fluxo de potência passante, podendo assim direcionar o fluxo de energia para regiões de baixo

carregamento, aliviando os sistemas de transmissão considerados “fracos”. Surgiu então o

conceito de dispositivos FACTS (Flexible AC Transmission Systems), que foram

desenvolvidos com o objetivo inicial de aumentar a capacidade de transmissão e controle do

fluxo de potência em uma rede, aumentando assim os limites operacionais e de estabilidade

(WATANABE et al., 1998; HINGORANI, 1998; SONG ; JOHNS, 1999; HINGORANI ;

GYUGYI, 2000; MATHUR, 2002).

Os FACTS podem ser divididos em duas categorias, de acordo com sua geração. Os da

primeira geração utilizam chaves tiristoras para aplicar cotas de potência reativa, a segunda

geração aplica semicondutores auto-comutados como, por exemplo, o GTO (Gate Turn-Off).

São da primeira geração os dispositivos FACTS como o TCSC (Thyristor Controlled

Series Capacitor), SVC (Static Var Compensator) e o PS (Phase-Shifter). Todos utilizam

chaves tiristoras para controle de potência reativa provida de bancos de capacitores ou

indutores (GYUGYI, 1988; ARAÚJO ; ARAUJO, 2002; ARAÚJO ; ARAUJO, 2003;

COLMAN ; ARAUJO, 2004; PEREIRA ; ARAUJO, 2006; PEREIRA et al., 2008; FURINI ;

ARAUJO, 2008).

Da segunda geração têm-se o STATCOM (Static Synchronous Compensator), o SSSC

(Static Synchronous Series Compensator), o UPFC (Unified Power Flow Controller) e o IPFC

(Interline Power Flow Controller). Estes dispositivos são capazes de trocar potência ativa e

reativa com o sistema de potência, através de fontes internas de tensão síncrona (SVS – do

inglês Synchronous Voltage Source) com amplitude e ângulo controlados por semicondutores

auto-comutados (GYUGYI, 1994; GYUGYI, 1995; GYUGYI , 1998; CIGRÉ TASK FORCE,

1999; HINGORANI ; GYUGYI, 1999; SONG ; JOHNS, 1999; MATHUR, 2002; NASSIF et

al., 2004; PUPIN et al., 2009).

Com a introdução dos dispositivos FACTS nos sistemas de potência, estes ganharam

melhorias no que diz respeito à estabilidade. Frente a grandes perturbações (estabilidade

transitória), estes dispositivos podem chavear grandes capacitores facilitando o transporte de

grandes blocos de energia.

Além disso, controladores adicionais do tipo ESP podem ser acoplados aos


22

dispositivos FACTS que, quando bem ajustados, podem introduzir amortecimento ao sistema

elétrico de potência, garantindo assim sua estabilidade a pequenas perturbações.

Este procedimento já foi adotado com dispositivos FACTS de primeira geração em

sistemas máquina-barra infinita (WANG et al., 1997 (1); WANG ; SWIFT 1998 (1);

ARAÚJO ; ARAUJO, 2003; COLMAN ; ARAUJO, 2004; PEREIRA et al., 2008) e sistemas

multimáquinas (MARTINS ; LIMA, 1990; WANG et al., 1997; WANG ; SWIFT 1998;

YANG et al., 1998; FEBRES et al, 2008; MOTA ; NASCIMENTO, 2008;

ZARRINGHALAMI ; GOLKAR, 2008).

Controladores do tipo POD (Power Oscillation Damping) também podem

desempenhar o papel de introduzir amortecimento ao sistema elétrico com grande eficácia,

quando acoplados a dispositivos FACTS de primeira ou segunda geração, e também para

sistemas do tipo máquina-barra infinita ou multimáquinas (NASSIF et al., 2004; ABIDO,

2005; FURINI ; ARAUJO, 2008; PEREIRA et al., 2009).

Em comum, em todos os estudos é necessário um modelo que descreva o mais

fielmente possível o sistema elétrico de potência, bem como seus controladores e

compensadores.

Neste trabalho o foco principal é o estudo da estabilidade a pequenas perturbações e,

portanto, os modelos desenvolvidos serão lineares.

O dispositivo FACTS de interesse é o STATCOM (CHUN et al., 1998; CIGRÉ TASK

FORCE, 1999; NASSIF, 2004; LOPES, 2006; PEREIRA, 2009; PEREIRA et al., 2009) e será

tratada de sua modelagem para utilização em estudos da estabilidade a pequenas perturbações.

A literatura apresenta, de maneira geral, dois modelos para o STATCOM que podem

ser utilizados nestes estudos.

Um primeiro modelo, que aqui será chamado de “modelo simplificado”, o STATCOM

é representado por uma fonte de corrente controlável em derivação, sem capacidade de troca

de potência ativa com o sistema elétrico, por não ser representada nenhuma fonte de tensão no

lado CC do dispositivo (CIGRÉ TASK FORCE, 1999; SONG ; JOHNS, 1999; HINGORANI

; GYUGYI, 2000; NASSIF, 2004; PEREIRA, 2009). Dito de outra forma, o STATCOM

representado pelo seu modelo simplificado é capaz de realizar apenas compensação reativa no

sistema elétrico de potência.

Um segundo modelo, que neste trabalho será chamado de “modelo detalhado”, o

STATCOM pode realizar a compensação reativa bem como trocar potência ativa com o

sistema de potência (CIGRÉ TASK FORCE, 1999). Esta característica se torna possível


23

porque o STATCOM, representado pelo modelo detalhado, apresenta duas variáveis de

controle.

A literatura especializada apresenta o STATCOM representado pelo seu modelo

simplificado acoplado ao sistema de potência do tipo máquina-barra infinita, modelado

através do MHP ou MSP (WANG ; SWIFT, 1998; NASSIF, 2004; NASSIF et al., 2004). O

mesmo ocorre para o sistema multimáquinas: está presente na literatura o STATCOM

representado pelo seu modelo simplificado tanto para o sistema elétrico modelado pelo MHP-

multimáquinas como pelo MSP-multimáquinas (ABIDO, 2005; NASSIF, 2004; PEREIRA,

2009; PEREIRA et al., 2009).

Em se tratando do STATCOM representado pelo seu modelo detalhado, encontrou-se

na literatura a sua consideração de atuação apenas quando o sistema de potência era descrito

pelo MHP, tanto para sistema máquina-barra infinita como sistema multimáquinas (WANG,

1999; WANG, 2000; WANG, 2003; KOBAIASHI et al., 2003; RAHIM et al., 2004;

BAMASAKI ; ABIDO, 2005; ZARRINGHALAMI ; GOLKAR, 2008).

Em vista disso, o principal escopo deste trabalho é o estudo e a modelagem do

STATCOM representado pelo seu modelo detalhado, para posterior acoplamento às equações

do sistema elétrico de potência multimáquinas, quando este é descrito pelo MSP-

multimáquinas.

Esta modelagem poderá então ser utilizada para a análise da estabilidade do sistema

elétrico de potência quando este for submetido a uma pequena perturbação.

Em termos de organização do texto, no Capítulo 2 são mostradas as equações do MSP

multimáquinas, bem como suas representações no domínio do tempo e no domínio da

frequência, sem a consideração do dispositivo FACTS STATCOM.

No Capítulo 3 é realizada a apresentação do modelo simplificado e sua modelagem

para a inclusão nas equações do MSP desenvolvido no Capítulo 2. Também é sugerido um

controlador de primeira ordem para modular sua variável de controle.

Também no Capítulo 3 são apresentados os estudos referentes ao modelo detalhado do

STATCOM, resultando nas equações que serão acopladas às do MSP (deduzidas no Capítulo

2), bem como de um controlador para suas variáveis de controle.

As formulações desenvolvidas no Capítulo 3 fornecerão um modelo modificado do

MSP, com a consideração do sistema de potência multimáquinas operando com dispositivos

FACTS STATCOM representados de forma simplificada e forma detalhada.

No Capítulo 4 são apresentados os resultados e as simulações decorrentes da


24

implementação computacional dos modelos desenvolvidos nos Capítulos 2 e 3 para um

sistema teste muito utilizado na literatura (sistema simétrico de duas áreas).

A partir dos resultados obtidos é realizada uma análise preliminar da estabilidade a

pequenas perturbações do sistema elétrico de potência. Esta análise é efetuada nos domínios

do tempo (através de curvas de respostas a distúrbios) e da frequência (através dos

autovalores da matriz de estado).

Seguem as principais conclusões e sugestões para trabalhos futuros (Capítulo 5), as

Referências Bibliográficas, Apêndices e Anexo, necessários para uma melhor compreensão

do trabalho.


25

Capítulo 2

Modelo de Sensibilidade de Potência (MSP) Multimáquinas

2.1 Introdução

O Modelo de Sensibilidade de Potência – MSP (DA COSTA, 1992; DECKMANN ;

DA COSTA, 1994) que pode ser utilizado no estudo das oscilações eletromecânicas de baixa

frequência em sistemas de energia elétrica surge como alternativa ao modelo de Heffron e

Phillips, largamente utilizado na literatura (DeMELLO ; CONCORDIA, 1969; MOUSSA ;

YU, 1974; KUNDUR, 1994; ANDERSON ; FOUAD, 2003). O MSP baseia-se no princípio

de que os balanços de potência ativa e potência reativa devem ser satisfeitos continuamente

em qualquer barra do sistema elétrico durante todo processo dinâmico.

Para o MSP não é necessária a representação de um barramento infinito nem a redução

do sistema externo de transmissão às barras internas dos geradores. Este último fato torna

direta a extensão do MSP para sistemas de potência multimáquinas.

Neste capítulo é apresentado o MSP para o sistema de potência multimáquinas, no

qual são definidas equações algébricas e equações diferenciais que passam a representar o

sistema de potência.

Definidas as equações que representam o sistema elétrico de potência pelo MSP-

multimáquinas, este será representado no domínio do tempo e no domínio da frequência.

2.2 Equações Básicas do Sistema Multimáquinas

Para a dedução do MSP será considerado um gerador síncrono trifásico no qual são

representados os três enrolamentos do estator (enrolamentos das fases a, b e c) e também um

enrolamento do rotor (o enrolamento de campo – fd), conforme o esquema mostrado na

Figura 2.1, para um gerador de dois polos. Os efeitos dos enrolamentos amortecedores não

serão considerados.

Os enrolamentos do estator não se movimentam e suas grandezas são medidas em um

sistema de coordenadas fixo (r,m). O enrolamento de campo localizado sobre o rotor se move


26

com uma velocidade angular ω e suas grandezas são medidas no sistema de coordenadas (d,q)

que gira junto com o rotor.

Figura 2.1: Enrolamentos do Gerador Síncrono Trifásico – 2 Pólos

Têm-se, portanto, dois sistemas de coordenadas atuando ao mesmo tempo e, para

facilidade de manipulação das equações, é realizada uma transformação de coordenadas que

permite referir as grandezas do sistema de coordenadas fixo (r,m) ao sistema de coordenadas

rotativo (d,q) e vice-versa.

A transformação de coordenadas é realizada pela matriz de transformação T (equação

(2.1)), cuja dedução se encontra no Apêndice I.

δδδ−δ

=kk

kk

sencos

cossenT (2.1)

No diagrama unifilar apresentado na Figura 2.2 é mostrado um gerador síncrono

ligado a uma barra genérica k e conectado à barra m através de uma linha de transmissão de

impedância km km kmZ R jX= +ɺ .

Na Figura 2.2, 'kE , kV e mV são respectivamente, a tensão interna do gerador

síncrono k, a tensão na barra k e a tensão na barra m; kI é a corrente que circula na linha de


27

transmissão. A grandeza 'dx representa a reatância transitória de eixo direto do gerador. A

potência complexa gerada internamente pelo gerador síncrono, a potência complexa entregue

à barra k e a potência complexa de saída da barra k são respectivamente, k

.

intGS , kGSɺ e kmSɺ .

kV mV

'dx

kG.S km

.S

k m kintGSɺ

'kE

kI

kmZɺ

Figura 2.2: Diagrama Unifilar: Gerador Genérico k

As expressões da potência complexa kGSɺ , decomposta em PGk e QGk (potências ativa e

reativa, respectivamente) são mostradas no conjunto de equações (2.2), na qual k

'qe é a tensão

interna do eixo de quadratura do gerador genérico k.

k k k k k kG G G intG x 'd intG x 'd intG x 'dS P jQ S S (P P ) j(Q Q )= + = − = − + −ɺ ɺ ɺ (2.2)

[ ]k

k k k

k k k

' 2q k k

G intG x 'd k k k k' 'd q d

e V V 1 1P P P sen(δ θ ) sen 2(δ θ )

x 2 x x

= − = − + − −

(2.2.a)

[ ]k k k

k k k k

' 2 2qk k k k

G intG x 'd k k k k' ' 'd d q d

e V V V 1 1Q Q Q cos(δ θ ) 1 cos 2(δ θ )

x x 2 x x

= − = − − − − − −

(2.2.b)

Para a determinação do fluxo de potência nas linhas de transmissão do sistema

multimáquinas, considere o diagrama unifilar mostrado na Figura 2.3, onde kV e mV são os

valores das tensões nas barras k e m, respectivamente. A corrente na linha de transmissão

(representada pela impedância kmkmkm jXRZ +=ɺ ) é kmI .

A potência complexa transferida entre os terminais k e m, denotada por kmSɺ (fluxo de


28

potência na linha de transmissão que liga as barras k e m), é dada pelo conjunto de equações

(2.3) onde, após manipulações pertinentes, são obtidas as expressões das potências ativa e

reativa transferidas da barra k para a barra m (Pkm e Qkm, respectivamente.).

kmSɺ

kV mV

kmI kmZɺ

k m

Figura 2.3: Diagrama Unifilar: Representação de Duas Barras Genéricas k e m

kmkm k km kmS V (I ) P jQ∗= = +ɺ (2.3)

( ) ( ))mθsen(θVV

Z

X)

mθcos(θVVV

Z

RP kmk2

km

kmkmk

2k2

km

kmkm −+−−=

ɺɺ (2.3.a)

( ) ( ))mθcos(θVV-V

Z

X)

mθsen(θVV

Z

RQ kmk

2k2

km

kmkmk2

km

kmkm −+−−=

ɺɺ (2.3.b)

2.3 Coeficientes dos Geradores

Admitindo-se pequenas variações em torno de um ponto de equilíbrio, a expressão que

representa a injeção de potência ativa na barra de geração (equação (2.2.a)), pode ser

linearizada e expressa como nas equações (2.4).

k

0k

G'q

0k

'q

Gkk

0kk

GG V

V

Pe

e

P)(

)(

PP k

k

kk

k∆

∂∂

+∆

∂∂

+θ−δ∆

θ−δ∂∂

=∆ (2.4)


29

k

kkk

k

Gkk2k'

dq'd

kkkk

'q

0kk

G1A)(2cosV

x

1

x

1

x

)cos(Ve

)(

P=θ−δ

−+

θ−δ=

θ−δ∂∂

(2.4.a)

k

k

k

G'd

kkk

0k

'q

G 2Ax

)(senV

e

P=

θ−δ=

∂∂

(2.4.b)

k

kkk

kk

Gkkk'dq

'd

kk'q

0k

G 3A)(2senVx

1

x

1

x

)(sene

V

P=θ−δ

−+

θ−δ=

∂ (2.4.c)

As constantes kGA1 ,

kGA2 e kGA3 são chamados de “coeficientes de sensibilidade de

potência ativa dos geradores” no MSP-multimáquinas e se referem aos desvios da potência

ativa entregue à barra terminal k.

Utilizando o conjunto de equações (2.4), os desvios da injeção de potência ativa na

barra de geração são dados pela equação (2.5).

kG'qGkkGG V3Ae2A)(1AP

kkkkk∆+∆+θ−δ∆=∆ (2.5)

De maneira análoga, a linearização da expressão que define a potência reativa (QGk)

(equação (2.2.b)), fornece os desvios da potência reativa gerada como mostrados no conjunto

de equações (2.6).

k

0k

G'q

0k

'q

G

kk

0kk

G

G VV

Qe

e

Q)(

)(

QQ k

k

kk

k∆

∂∂

+∆

∂

∂+θ−δ∆

θ−δ∂∂

=∆ (2.6)

k

kkk

kk

Gkk2k'

dq'd

kkk'q

0kk

G 1R)(2senVx

1

x

1

x

)(senVe

)(

Q=θ−δ

−−

θ−δ−=

θ−δ∂∂

(2.6.a)

k

k

k

G'd

k

0k

'q

G2R

x

)cos(V

e

Q=

θ−δ=

∂

∂ (2.6.b)


30

[ ]k

kkkk

kk

Gkk'dq

k'd

k'd

kk'q

0k

G3R)(2cos1

x

1

x

1V

x

V2

x

)cos(e

V

Q=θ−δ−

−−−

θ−δ=

∂∂

(2.6.c)

Desta forma, os desvios da potência reativa podem ser escritos como na equação (2.7),

na qual as constantes kGR1 ,

kGR2 , e kGR3 são os “coeficientes de sensibilidade de potência

reativa dos geradores” no MSP-multimáquinas, referindo-se aos desvios da potência reativa

entregue à barra terminal k.

kG'qGkkGG V3Re2R)(1RQ

kkkkk∆+∆+θ−δ∆=∆ (2.7)

2.4 Coeficientes das Linhas de Transmissão

Para pequenos desvios em torno de um ponto de equilíbrio, a equação do fluxo de

potência ativa da barra k para barra m (equação (2.3.a)), pode ser linearizada, assumindo a

forma dada no conjunto de equações (2.8).

m

0m

kmk

0k

kmmk

0mk

kmkm V

V

PV

V

P)(

)(

PP ∆

∆∂∂+∆

∆∂∂+θ−θ∆

θ−θ∂∂=∆ (2.8)

km km kmk m k m k m k m km2 2

k m 0 km km

P R XV V sen( ) V V cos( ) A1

( ) Z Z

∂ = θ − θ − θ − θ = ∂ θ − θ (2.8.a)

km km km kmk m k m m k m km2 2 2

k 0 km km km

P R R X2V V cos( ) V sen( ) A2

V Z Z Z

∂ = − θ − θ − θ − θ = ∂ (2.8.b)

km km kmk k m k k m km2 2

m 0 km km

P R XV cos( ) V sen( ) A3

V Z Z

∂ = − θ − θ − θ − θ = ∂ (2.8.c)

As derivadas parciais da equação (2.8) definem as constantes A1km, A2km, e A3km, que


31

representam os “coeficientes de sensibilidade de potência ativa das linhas de transmissão” no

MSP-multimáquinas e se referem aos desvios do fluxo de potência ativa entre as barras k e m.

A partir das equações (2.8), os desvios do fluxo de potência ativa na linha de

transmissão entre a barra k e a barra m são dados na equação (2.9).

mkmkkmmkkmkm V3AV2A)(1AP ∆+∆+θ−θ∆=∆ (2.9)

Os desvios do fluxo de potência reativa entre as barras k e m podem ser obtidos

realizando-se um procedimento semelhante ao anterior e com isto, podem ser escritos os

desvios do fluxo de potência reativa (a partir da equação (2.3.b)), como nas equações (2.10).

m

0m

kmk

0k

kmkk

0mk

kmkm V

V

QV

V

Q)(

)(

QQ ∆

∆∂∂

+∆

∆∂∂

+θ−δ∆

θ−θ∂∂

=∆ (2.10)

km km kmk m k m k m k m km2 2

k m 0 km km

Q X RV V sen( ) V V cos( ) R1

( ) Z Z

∂ = − θ − θ − θ − θ = ∂ θ − θ (2.10.a)

km km km kmk m k m m k m km2 2 2

k 0 km km km

Q X X R2V V cos( ) V sen( ) R2

V Z Z Z

∂ = − + θ − θ − θ − θ = ∂

(2.10.b)

km km kmk k m k k m km2 2

m 0 km km

Q X RV cos( ) V sen( ) R3

V Z Z

∂ = θ − θ − θ − θ = ∂ (2.10.c)

As constantes R1km, R2km, e R3km são “coeficientes de sensibilidade de potência

reativa das linhas de transmissão” no MSP-multimáquinas, referentes aos desvios do fluxo de

potência reativa entre as barras k e m.

Com as definições dadas nas equações (2.10), os desvios do fluxo de potência reativa

na linha de transmissão entre a barra k e a barra m são representados como na equação (2.11).

mkmkkmmkkmkm V3RV2R)(1RQ ∆+∆+θ−θ∆=∆ (2.11)


32

2.5 Equações de Movimento do Gerador Síncrono

Para se relacionar as variações do ângulo interno δk e a velocidade angular do rotor ωk

do gerador síncrono conectado a uma barra genérica k, linearizadas em torno de um ponto de

operação, é utilizada a equação de oscilação (“swing”) do gerador síncrono (KUNDUR, 1994;

ANDERSON ; FOUAD, 2003).

A forma linearizada da equação de oscilação do gerador (equação diferencial de grau

dois), decomposta em duas equações diferenciais de primeira ordem são dadas nas equações

(2.12) e (2.13), nas quais ωo é a velocidade síncrona (377 rad/s), M representa a inércia das

massas girantes e D é o amortecimento inerente do sistema elétrico de potência devido à

presença das cargas.

k0k ω∆ω=δ∆ɺ (2.12)

k k k k k

'k k m k G k k G q G kM ∆ω =∆P -D∆ω -A1 ∆(δ -θ )-A2 ∆e -A3 ∆Vɺ (2.13)

2.6 Circuito de Campo e Sistema de Excitação do Gerador Síncrono

Para a inclusão do circuito de campo do gerador síncrono, considere sua forma

linearizada mostrada nas equações (2.14) (KUNDUR, 1994; ANDERSON ; FOUAD, 2003),

onde kdx é a reatância síncrona de eixo direto,

k

'd0T é a constante de tempo transitória de eixo

direto em circuito aberto do gerador síncrono e kfde é a tensão de campo do gerador síncrono.

k

k k k k k k k

k

d' ' 'd0 q fd q V t A k k'

d

xT e e e K V K ( )

x∆ = ∆ − ∆ + ∆ − ∆ δ − θɺ (2.14)

)cos(x

xxK kk'

d

'dd

V

k

kk

kθ−δ

−= (2.14.a)


33

)(senVx

xxK kkk'

d

'dd

A

k

kk

kθ−δ

−= (2.14.b)

As constantes kVK e

kAK são denominadas de “coeficientes de reação de armadura do

gerador síncrono k” no MSP-multimáquinas.

Supondo que o regulador automático de tensão – RAT (sistema de excitação) possa ser

representado por um bloco de primeira ordem de ganho Kr e constante de tempo Tr, os desvios

da tensão de campo do gerador síncrono são dados na equação (2.15), na qual ∆Vrefk é a

tensão de referência do regulador de tensão do gerador k.

k

k

k

k

k

k

k

k refr

rk

r

rfd

rfd V

T

KV

T

KE

T

1E ∆+∆−∆−=∆ ɺ (2.15)

2.7 Balanço Nodal de Potências

O princípio fundamental do MSP é o balanço nodal de potências e para se efetuar a

extensão do MSP para o Sistema Multimáquinas, é necessário escrever as equações de

balanço nodal de potência para cada barra do sistema.

Assim, considere um sistema genérico, conforme o diagrama unifilar mostrado na

Figura 2.4, para uma barra genérica k.

k m

Pkm, Qkm

PGk, QGk PLk , QLk

Figura 2.4: Balanço Nodal de Potência: Barra Genérica k

Para a barra genérica k mostrada, o balanço de potências ativa e reativa (em sua forma

linearizada) pode ser expresso como nas equações (2.16).


34

∑

∑

Ω∈

Ω∈

=∆−∆−∆

=∆−∆−∆

k

k

mkmLkGk

mkmLkGk

0QQQ

0PPP

(2.16)

Nas equações (2.16), ∆Pkm e ∆Qkm são as variações dos fluxos de potência ativa e

reativa na ligação k-m, ∆PGk e ∆QGk são as variações das potências ativa e reativa geradas no

nó k, ∆PLk e ∆QLk são as variações das potências ativa e reativa de uma possível carga

conectada a barra k e Ωk é o conjunto de barras ligadas à barra k.

A substituição das equações (2.5), (2.7), (2.9) e (2.11) nas equações (2.16), fornecem

as equações que representam o balanço nodal de potências ativa e reativa na barra genérica k

(equações (2.17)).

∑

∑

Ω∈

Ω∈

=∆+∆+θ−θ∆−∆−∆+∆+θ−δ∆

=∆+∆+θ−θ∆−∆−∆+∆+θ−δ∆

k

kkkk

k

kkkk

mmkmkkmmkkmLkkG

'qGkkG

mmkmkkmmkkmLkkG

'qGkkG

0]V3RV2R)(1R[QV3Re2R)(1R

0)]V3AV2A)(1A[PV3Ae2A)(1A

(2.17)

2.8 Representação do MSP-multimáquinas no Domínio do Tempo

Um sistema de potência constituído por “ng” geradores e “nb” barras, onde cada

gerador está equipado com um RAT descrito por um bloco de primeira ordem, pode ser

representado pelo MSP-multimáquinas no domínio do tempo por um conjunto de equações

diferenciais e algébricas.

Com estas considerações, o MSP-multimáquinas assume a forma mostrada nas

equações (2.18), onde ∆x é o vetor das variáveis de estado, ∆z o vetor das variáveis algébricas

e ∆u é o vetor das entradas do sistema elétrico de potência (DECKMANN ; DA COSTA,

1994; FURINI, 2008).


35

uB

B

z

x

JJ

JJ

0

x

2

1

2221

1211 ∆

+

∆∆

=

∆ɺ (2.18)

1 ng 1 ng

t' '

1 ng 1 ng q . q fd fdx [ ... ] [ ... ] [ e ... e ] [ e ... e ] ∆ = ∆ω ∆ω ∆δ ∆δ ∆ ∆ ∆ ∆ (2.18.a)

[ ] t1 nb 1 nbz [ ... ] [ V ... V ]∆ = ∆θ ∆θ ∆ ∆ (2.18.b)

ng ng nb nb

t

m1 m ref1 ref L1 L L1 L∆u= [∆ P ...∆P ] [∆ V ...∆V ] [∆ P ...∆P ] [∆ Q ...∆Q ] (2.18.c)

Para a formação das submatrizes, J11, J12, J21, J22, B1 e B2, considere as definições

dadas no conjunto de equações (2.19) onde os parâmetros do gerador síncrono e os

coeficientes do modelo de sensibilidade de potência são agrupados na forma matricial.

[ ]

=

ngD0

D0

00D

D2

1

⋱⋮

⋯

(2.19.a)

[ ]

=

ngM0

M0

00M

M2

1

⋱⋮

⋯

(2.19.b)

[ ]

ngxngo

o

o

o

0

0

00

ω

ωω

=ω⋱⋮

⋯

(2.19.c)


36

[ ]

′

′′

=′

dngx0

x0

00x

x2d

1d

d ⋱⋮

⋯

(2.19.d)

[ ]

′

′′

=′

dongT0

T0

00T

T2do

1do

do ⋱⋮

⋯

(2.19.e)

[ ]

=

dngx0

x0

00x

x2d

1d

d ⋱⋮

⋯

(2.19.f)

[ ]

=

AngK0

K0

00K

K2A

1A

A⋱⋮

⋯

(2.19.g)

[ ]

=

VngK0

K0

00K

K2V

1V

V⋱⋮

⋯

(2.19.h)

[ ]

=

Gng1A0

1A0

001A

1A2G

1G

G⋱⋮

⋯

(2.19.i)


37

[ ]

=

Gng2A0

2A0

002A

2A2G

1G

G⋱⋮

⋯

(2.19.j)

[ ]

=

Gng3A0

3A0

003A

3A2G

1G

G⋱⋮

⋯

(2.19.k)

[ ]

=

Gng1R0

1R0

001R

1R2G

1G

G⋱⋮

⋯

(2.19.l)

[ ]

=

Gng2R0

2R0

002R

2R2G

1G

G⋱⋮

⋯

(2.19.m)

[ ]

=

Gng3R0

3R0

003R

3R2G

1G

G⋱⋮

⋯

(2.19.n)

Com estas notações as submatrizes J11, J12, J21, J22, B1 e B2 ficam definidas no

conjunto de equações (2.20).


38

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 1

G G ng x ng

0 ng x ng ng x ng ng x ng

1 1 1 111 ' ' ' 'd0 A d0 d d d0ng x ng

1

rng x ng ng x ng ng x ng

M D M A1 M A2 0

0 0 0J

0 T k T x x T

0 0 0 T

− − −

− − − −

−

− − − ω = − −

(2.20.a)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1 1

G Gng x nb ng ng x nb ng

ng x ng ng x nb ng ng x ng ng x nb ng

121 1' '

d0 A d0 Vng x nb ng ng x nb ng

1

r rng x ng ng x nb ng ng x nb ng

M A1 0 M A3 0

0 0 0 0

J

T K 0 T K 0

0 0 K T 0

− −

− −

− −

− −

− −

−

− −

− = −

⋮

⋮

⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯

⋮

⋮

(2.20.b)

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

=

−−−−

−−−−

ngxngnbngxngnbngxngnbngxngnb

ngxngGGngxng

ngxngnbngxngnbngxngnbngxngnb

ngxngGGngxng

21

0000

02R1R0

0000

02A1A0

J ⋯⋯⋯⋯ (2.20.c)

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=

43

21

22

22J22J

22J22J

J ⋯⋯ (2.20.d)

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]

=

−

−

nbxngnbxng1

rrngxng

nbxngnbxngngxngngxng

nbxngnbxngngxngngxng

nbxngnbxngngxng1

1

00TK0

0000

0000

000M

B (2.20.e)

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

−

−=

nbxnbnbxnbngxnbngxnb


2

)1(diag000

0)1(diag00

B ⋯⋯⋯⋯ (2.20.f)

As submatrizes J221, J222, J223 e J224 são definidas nas equações (2.21).


39

[ ]

=

−−==

∑≠

km1km

mkkmGk1kk

1

A1J22

A1A1J22J22 (2.21.a)

[ ]

−=

−==

∑≠

km2km

mkkmGk2kk

2

A3J22

A2A3J22J22 (2.21.b)

[ ] 3kk Gk kmk m

3

3km km

J22 R1 R1J22

J22 R1≠

= − −= =

∑ (2.21.c)

[ ] 4kk Gk kmk m

4

4km km

J22 R3 R2J22

J22 R3≠

= −= = −

∑ (2.21.d)

A eliminação das variáveis algébricas na equação (2.18) fornece uma representação no

espaço de estados do MSP-multimáquinas que assume a forma mostrada nas equações (2.22).

uBxAx ∆+∆=∆ɺ (2.22)

( )-111 12 22 21A= J -J J J (2.22.a)

( )21

22121 BJJBB −−= (2.22.b)

Nas equações (2.22), A é a matriz de estados e B a matriz de entrada, relacionada com

a controlabilidade do Sistema de Potência Multimáquinas.

2.9 Representação do MSP-multimáquinas no Domínio da Frequência

A aplicação da transformada de Laplace no conjunto de equações (2.18) permite

representar o MSP-multimáquinas no domínio na frequência, como mostrado na Figura 2.5.

No diagrama de blocos apresentado na Figura 2.5 pode-se observar que uma das


40

vantagens inerentes ao MSP se deve justamente ao fato de “se ter acesso” às variáveis

algébricas de todas as barras do sistema elétrico (∆Vk e ∆θk). Dito de outra forma, o MSP-

multimáquinas preserva o sistema externo de transmissão. Este fato não ocorre com o modelo

de Heffron e Phillips generalizado para sistemas de potência multimáquinas (MOUSSA ; YU,

1974; MARTINS ; LIMA, 1990; MOTA ; NASCIMENTO, 2008).

A importância desta característica é que ela permite que alguma variável algébrica

possa ser utilizada como entrada de algum controlador que por ventura possa ser adicionado

ao sistema elétrico de potência.

Outra característica inerente que pode ser observada é a decomposição do sistema

elétrico de potência em quatro subsistemas, sendo eles os subsistemas, ativo e reativo

(delimitados pela linha vertical) e subsistemas, rápido e lento (separados pela linha horizontal)

(DA COSTA, 1992; DECKMANN ; DA COSTA, 1994; FURINI, 2008; PEREIRA, 2009).


41

dkxdk

x

k0d

dk

dk

Ts1

x

x

′′+

′

rk

rk

sT1

K

+

kmkm1R θ∆∑

Gk2R AkK AkK

sM

1

k

kD

s0ω

Gk1A

[ ] 1−R Modelo

Reativo da Rede

[ ] 1−A Modelo Ativo da

Rede

VkK

Gk2A

GkA3

)V3A

V2A(

mkm

kkm

∆+

+∆∑

AkK

+

+ + +

+

+

+

+

+

+

+ +

- -

-

-

-

-

- -

mkP∆

refkV∆

fdkE∆

qkE′∆

kδ∆

kθ∆

GkP∆

kV∆ kQ∆ kP∆ kθ∆

kδ∆

Ativo Reativo

Lento

Rápido

LkP∆

- LkQ∆

-

Figura 2.5: MSP-multimáquinas: Representação no Domínio da Frequência

Considerando os subsistemas ativo e reativo pode-se concluir que existe uma ligação

entre as variáveis do subsistema esquerdo (ativo) e subsistema direito (reativo).

Enquanto o subsistema ativo fornece as correções do ângulo do rotor (∆δk) e ângulo da

tensão terminal das barras (∆θk) a partir de solicitações de potência ativa, o subsistema reativo

responde fazendo a correção do valor absoluto da tensão interna de eixo de quadratura do

gerador k (k

'qe∆ ) e dos valores absolutos das tensões das barras do sistema de transmissão

(∆Vk), em resposta às solicitações dos desvios da potência reativa.

Considerando ainda a Figura 2.5, a decomposição do sistema em escalas de tempo

rápida e lenta se deve justamente ao fato de que dinâmicas de diferentes velocidades ocorrem

no sistema elétrico de potência.

Enquanto as variáveis da rede de transmissão (∆Vk e ∆θk) são atualizadas


42

instantaneamente pelo sistema algébrico, as variáveis da máquina síncrona (∆δk e k

'qe∆ ) são

atualizadas lentamente pelo sistema diferencial.

Ainda com relação à Figura 2.5 é possível observar as matrizes de sensibilidade de

potência ([A]) e ([R]) (equação (2.23)) que correspondem à extensão das equações de balanço

nodal para o MSP–multimáquinas. Estas matrizes são similares estruturalmente à matriz

admitância de barra do sistema elétrico de potência utilizada no cálculo do fluxo de potência

pelo método de Newton – Raphson.

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]kkkk

kkkk

V.RQ

.AP

x

x

∆=∆

θ∆=∆

(2.23)

2.10 Conclusões

Neste capítulo foi apresentado o Modelo de Sensibilidade de Potência expandido para

o ambiente multimáquinas (MSP-multimáquinas). Como o objetivo deste trabalho é o estudo

da estabilidade a pequenas perturbações (estabilidade dinâmica), após a dedução do MSP, o

comportamento mecânico e elétrico do sistema elétrico de potência ficou descrito por

equações diferenciais e equações algébricas lineares.

O MSP apresenta como principal característica a preservação do sistema de

transmissão externo, isto é, as barras do sistema elétrico são mantidas na modelagem, o que

facilita a inclusão de novos dispositivos (como os FACTS) no modelo do sistema elétrico de

potência. Além disso, como ficam disponíveis as variáveis algébricas do sistema de

transmissão (módulo e fase das tensões nas barras (∆Vk e ∆θk)), estas grandezas podem ser

utilizadas como sinal de entrada para algum controlador, quando houver interesse.

Após o desenvolvimento do modelo matemático, o MSP-multimáquinas foi

representado no domínio do tempo, no qual o sistema elétrico de potência ficou representado

por equações diferenciais (que definem as variáveis de estado) e equações algébricas (que

definem as variáveis algébricas).

A representação no domínio da frequência também foi realizada e mostrou uma

característica intrínseca deste modelo que é a separação do sistema global em quatro

subsistemas distintos: subsistemas lento e rápido (relativo à separação entre as variáveis de


43

estado e algébricas, respectivamente) e subsistemas, ativo e reativo (referentes à separação

entre potências ativa e reativa).

Nos capítulos seguintes o MSP-multimáquinas será modificado para a inserção de

modelos do dispositivo FACTS STATCOM com a finalidade de se estudar a influência deste

controlador na estabilidade a pequenas perturbações de sistemas elétricos de potência.


44

Capítulo 3

Modelos do Dispositivo FACTS STATCOM

3.1 Introdução

Este capítulo se destina a relatar o estudo e dedução de dois modelos para o

dispositivo FACTS STATCOM, que poderá ser utilizado no estudo da estabilidade a

pequenas perturbações de sistemas elétricos de potência multimáquinas. Estas modelagens

serão após acopladas às equações do MSP-multimáquinas deduzidas no Capítulo 2, resultando

em um MSP-multimáquinas modificado que representará o sistema elétrico de potência com

dispositivos FACTS do tipo STATCOM em operação.

O primeiro modelo a ser apresentado é o aqui chamado de “modelo simplificado”

onde o dispositivo é representado por uma fonte de corrente em derivação com a linha de

transmissão. Também será apresentado um modelo dito “detalhado”, que permitirá observar

outras possibilidades de atuação do dispositivo e, desta forma, apresentá-lo como um

controlador mais robusto, versátil e completo.

Além dessas modelagens, serão abordados seu princípio de funcionamento e sua

influência na estabilidade a pequenas perturbações.

3.2 Configuração Básica e Princípio de Funcionamento do STACOM

De maneira geral, os compensadores estáticos de reativos são responsáveis pela

geração ou absorção de potência reativa controlável por chaveamento sincronizado de

capacitores ou reatores. Na prática, estes dispositivos funcionam como uma impedância shunt

que pode ser ajustada de acordo com a necessidade de compensação da rede de transmissão.

Com os avanços da eletrônica de potência tornou-se possível o desenvolvimento de

dispositivos que geram reativos sem a necessidade de chaveamento de bancos de reatores.

Para isso foram utilizados conversores fonte de tensão (VSC-Voltage Source Converter)

(GYUGYI,1994) que, através de tiristores GTO (Gate Turn-Off), convertem uma tensão CC

de entrada fornecida pelo capacitor em uma tensão trifásica senoidal CA de saída, na mesma


45

frequência fundamental do sistema. Esses conversores são operados como fontes de tensão e

corrente e produzem reativos sem a necessidade de componentes de armazenamento de

energia através da circulação de corrente alternada entre as fases do sistema elétrico (CIGRÉ

TASK FORCE, 1999; PEREIRA, 2009).

Funcionalmente, a partir do ponto de vista da geração de potência reativa, a operação

destes sistemas é similar a uma máquina síncrona ideal cuja saída de potência ativa é variada

por um controle de excitação (PEREIRA, 2009). Devido à similaridade de funcionamento

com o gerador síncrono rotativo, esses dispositivos também são conhecidos como Geradores

Estáticos Síncronos (SSG-Static Synchronous Generators). Estes geradores estáticos podem

ser operados sem uma fonte de energia e com controle apropriado para funcionarem como um

compensador shunt de reativos. Em vista disto, por analogia, também são chamados de

Compensadores Estáticos Síncronos, (STATCOM; STATCON) – Static Synchronous

Compensator (Condenser) (HINGORANI ; GYUGYI, 2000). Quando a operação deste

dispositivo é feita de forma integrada com uma fonte de tensão do lado CC, é possível

compensar tanto a potência ativa como a potência reativa.

Na Figura 3.1 é mostrada uma configuração básica do dispositivo FACTS STATCOM

na qual Vk, VS, Is e CCC são respectivamente, o módulo da tensão da barra onde está

localizado o dispositivo, o módulo da tensão do lado CA do STATCOM, a corrente do lado

CA do STATCOM, e a capacitância no lado CC (CIGRÉ TASK FORCE, 1999).

Vk

Vs

Is

conversor

CCC

transformador

terminal CA

terminal CC

Figura 3.1: Configuração Básica do Dispositivo FACTS STATCOM


46

A curva característica V x I do STATCOM é mostrada na Figura 3.2 (SONG ;

JOHNS, 1999; NASSIF, 2004) de onde se pode observar que o STATCOM pode ser operado

com fornecimento de corrente nominal a um nível de tensão do sistema muito pequeno,

tipicamente em torno de 0,2 pu, isto é, a máxima corrente de saída, indutiva ou capacitiva, e a

máxima absorção de reativos, mudam linearmente com a tensão do sistema. Entretanto,

quando o limite do modo de operação capacitivo é atingido, o STATCOM é capaz de manter

em níveis elevados a corrente que ele injeta no sistema, o que lhe confere melhor desempenho

do que o dispositivo FACTS de primeira geração SVC no suporte de reativos, sobretudo

quando o sistema está sujeito a grandes perturbações (SONG ; JOHNS, 1999; NASSIF,

2004).

Figura 3.2: Curva Característica V x I do STATCOM

Se a tensão do capacitor é incrementada a partir de seu valor nominal, o STATCOM

está “sobrexcitado” e gera potência reativa. Se a tensão do capacitor é colocada abaixo de seu

valor nominal, o STATCOM está “subexcitado” e absorve potência reativa do sistema.

Quando comparado aos compensadores síncronos convencionais, o STATCOM pode

responder mais rapidamente às mudanças nas condições do sistema, não contribui com

correntes de curto-circuito e tem a capacidade de manter o sincronismo. O STATCOM

quando comparado aos outros compensadores estáticos que utilizam reatores e capacitores

chaveados ou controlados através de tiristores apresenta significativas vantagens como seu

desempenho em baixa tensão e uma menor produção de harmônicos (SONG ; JOHNS, 1999;

LOPES, 2006).


47

3.3 Modelo Dinâmico Simplificado do Dispositivo FACTS STATCOM

Na dedução de um modelo simplificado típico do dispositivo STATCOM para o

estudo da estabilidade a pequenas perturbações será considerada apenas a troca de potência

reativa com o sistema elétrico. Desta forma, o STATCOM será representado como uma fonte

de corrente controlável, acoplada em derivação a uma barra genérica “s” do sistema elétrico

de potência, conforme o diagrama mostrado na Figura 3.3 (CIGRÉ TASK FORCE, 1999;

SONG ; JOHNS, 1999; NASSIF, 2004; HINGORANI ; GYUGYI, 2000; PEREIRA, 2009).

O princípio básico de geração de potência reativa por um conversor fonte de tensão é

similar ao de uma máquina síncrona rotativa convencional. Variando a tensão de saída, pode-

se controlar a potência reativa de maneira similar ao do condensador síncrono rotativo. Se a

amplitude da tensão de saída for aumentada de forma a superar a tensão do sistema, o

conversor gera potência reativa; se for diminuída abaixo da tensão do sistema, o conversor

absorve potência reativa; se for igual, não haverá fluxo de potência reativa (NASSIF, 2004;

PEREIRA, 2009).

Vs

Is

Qs

Figura 3.3: Representação Simplificada do Dispositivo FACTS STATCOM

Com esta consideração, a expressão da potência reativa Qs trocada com o sistema

elétrico é mostrada na equação (3.1) onde Is é a corrente fornecida ou absorvida pelo

STATCOM do sistema elétrico de potência e Vs o módulo da tensão da barra onde está

localizado o dispositivo (CHUN et al., 1998; NASSIF, 2004; NASSIF et al., 2004; ABIDO,

2005; PEREIRA, 2009).

Sks IVQ = (3.1)


48

Admitindo-se pequenas variações em torno de um ponto de equilíbrio estável, a

equação (3.1) pode ser linearizada, resultando na equação (3.2), que representa o modelo

simplificado do STATCOM.

Skkss IVVIQ ∆+∆=∆ (3.2)

As variações ∆Is e ∆Vs são fornecidas por algum dispositivo de controle acoplado ao

STATCOM como, por exemplo, o controlador mostrado na Figura 3.4.

c

c

K

1 sT+

S∆ I sref V∆

–

+ +

SK

PK

SV∆

y∆

Figura 3.4: Modelo do Controlador Simplificado do Dispositivo FACTS STATCOM

Na Figura 3.4 o controlador é representado por um bloco de primeira ordem

(composto por um ganho estático Kc e constante de tempo Tc) para expressar o

comportamento dinâmico da variável de controle IS. Alem disso, os ganhos KS e KP modulam

os sinais de entrada do controlador (∆Vs e ∆y).

O sinal ∆Vsref são as variações da tensão de referência da barra onde está conectado o

dispositivo FACTS STATCOM. O sinal ∆y é um sinal de entrada para o controlador e, neste

trabalho, será utilizado o fluxo de potência ativa em uma linha de transmissão próxima da

barra onde está instalado o dispositivo.

A justificativa para a escolha deste sinal de entrada é que os modos de oscilação

interárea possuem alta observabilidade neste sinal (YANG et al., 1998). Além disso, trata-se

de um sinal disponível localmente.

Sendo assim, o sinal ∆y é dado pela equação (2.9) deduzida no capítulo 2 e, para

facilidade de compreensão, é repetida na equação (3.3).

mkmkkmmkkmkm V3AV2A)(1AP ∆+∆+θ−θ∆=∆ (3.3)


49

Com esta consideração de sinal de entrada e a partir da Figura 3.4, a equação

diferencial que descreve as variações de ∆Is é mostrada em (3.4).

mkmpc

ckkmp

c

cmkmp

c

c

kkmpc

csrefs

c

css

c

cs

cs

v3AKT

Kv2AK

T

K1AK

T

K

1AKT

KVK

T

KVK

T

KI

T

1I

∆+∆+θ∆−

θ∆+∆+∆−∆−=∆ɺ

(3.4)

Supondo que o sistema multimáquinas esteja equipado com ns dispositivos

STATCOMs, equipados com controladores modelados de acordo com o diagrama de blocos

mostrado na Figura 3.4, a equação (3.4) pode ser generalizada, resultando na forma matricial

mostrada no conjunto de equações (3.5).

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]ms6sks5s

ms4sks4ss3ssref2ss1ss

VKVK

KKVKVKIKI

∆+∆+

+θ∆−θ∆+∆+∆+∆=∆ɺ

(3.5)

[ ] [ ] t

sns1ss III ∆∆=∆ ⋯ (3.5.a)

[ ] [ ] t

srefns1srefsref VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.5.b)

[ ] [ ] t

ns1s VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.5.c)

[ ] [ ] t

kns1kks θ∆θ∆=θ∆ ⋯ (3.5.d)

[ ] [ ] t

mns1mms θ∆θ∆=θ∆ ⋯ (3.5.e)

[ ] [ ] t

kns1kks VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.5.f)

[ ] [ ] t

mns1mms VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.5.g)


50

[ ]c1

c

cns

T

T

T

=

⋱ (3.5.h)

[ ]

=

cns

1c

c

K

K

K ⋱ (3.5.i)

[ ]

=

sns

1s

s

K

K

K ⋱ (3.5.j)

[ ]

=

pns

1p

p

K

K

K ⋱ (3.5.k)

[ ]

=

kmns

1km

kms

1A

1A

1A ⋱ (3.5.l)

[ ]

=

kmns

1km

kms

2A

2A

2A ⋱ (3.5.m)

[ ]

=

kmns

1km

kms

3A

3A

3A ⋱ (3.5.n)

[ ] [ ] 1c1s TK −−= (3.5.o)

[ ] [ ][ ] [ ]s1

cc2s KTKK −= (3.5.p)


51

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]2ss1

cc3s KKTKK −=−= − (3.5.q)

[ ] [ ][ ] [ ][ ]kmsp1

cc4s 1AKTKK −= (3.5.r)

[ ] [ ][ ] [ ][ ]kmsp1

cc5s 2AKTKK −= (3.5.s)

[ ] [ ][ ] [ ][ ]kmsp1

cc6s 3AKTKK −= (3.5.t)

Para a inclusão do modelo dinâmico simplificado do dispositivo FACTS STATCOM

no MSP-multimáquinas apresentado no Capítulo 2, considere as barras genéricas j, k e m de

um sistema elétrico de potência, onde na barra k se encontra conectado um STATCOM

representado por uma fonte de corrente em derivação (ver diagrama na Figura 3.5).

A aplicação do balanço nodal de potência à barra k (em sua forma linearizada) resulta

nas equações (3.6), para balanços de potências ativa e reativa, respectivamente.

0QQQ

0PP

skmjk

kmjk

=∆−∆−∆

=∆−∆

(3.6)

Vk∠θk

Is

Qs

Zkm Zjk

Vm∠θm V j∠θj

Pkm

Qkm

Pjk

Qjk

Figura 3.5: Sistema Elétrico com um STATCOM (Modelo Simplificado) em Operação

A substituição das equações (2.9), (2.11) (Capítulo 2) e (3.2) nas equações (3.6)


52

fornecem as equações algébricas modificadas do MSP-multimáquinas que refletem a inclusão

do dispositivo FACTS STATCOM, representado pelo seu modelo simplificado, no sistema

elétrico de potência (equações (3.7)).

∑

∑

Ω∈

Ω∈

=∆−∆+∆+−∆−

−∆−+∆+−∆

=∆+∆+−∆−∆+∆+−∆

k

k

mskmkmkkmmkkm

ksjkjjkkjjk

mmkmkkmmkkmkjkjjkkjjk

0IV]V3RV2R)(1R[

V)I3R(V2R)(1R

0)]V3AV2A)(1A[V3AV2A)(1A

θθ

θθ

θθθθ

(3.7)

Considerando esta modelagem do STATCOM, o dispositivo não apresenta efeito na

potência ativa, isto é, para a barra de instalação do STATCOM a equação de balanço de

potência ativa é a mesma que a apresentada no capítulo 2, para uma barra sem geração.

As equações (3.5) e (3.7) podem ser acopladas às equações diferenciais do MSP-

multimáquinas original (equações (2.12), (2.13), (2.14) e (2.15) – capítulo 2) para se obter

uma representação no domínio do tempo do MSP-multimáquinas considerando o modelo

dinâmico simplificado do dispositivo FACTS STATCOM, equipado com um controlador

conforme o diagrama mostrado na Figura 3.4.

Para esta representação considere o vetor de variáveis de estado ∆x, variáveis

algébricas ∆z e de entradas ∆u definidos nas equações (3.8), (3.9) e (3.10), respectivamente.

1 ng 1 ng 1 ns

t' '

1 ng 1 ng q q fd fd S Sx [ ... ] [ ... ] [ e ... e ] [ e ... e ] I ... I ∆ = ∆ω ∆ω ∆δ ∆δ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (3.8)

[ ] t1 nb 1 nb∆z = [∆θ ...∆θ ] [∆V ....∆V ] (3.9)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] t

srefLLrefm VQPVPu ∆∆∆∆∆=∆ (3.10)

[ ] [ ] t

mng1mm PPP ∆∆=∆ ⋯ (3.10.a)


53

[ ] [ ] t

refng1refref VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.10.b)

[ ] [ ] t

Lnb1LL PPP ∆∆=∆ ⋯ (3.10.c)

[ ] [ ] t

Lnb1LL QQQ ∆∆=∆ ⋯ (3.10.d)

[ ] [ ] t

srefns1srefsref VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.10.e)

Com estas considerações, a representação no domínio do tempo do MSP-

multimáquinas com o dispositivo FACTS STATCOM em operação, representado pelo seu

modelo simplificado, é dada na equação (3.11).

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ] u

K0

0Bz

J

Jx

K0

0Jx

2s)nbng(2xns

nsxng41

STATCOM12

12

1sng4xns

nsxng411 ∆

+∆

+∆

=∆

+

ɺ (3.11)

Na equação (3.11) a grandeza ∆Is do STATCOM (variável de controle) é uma variável

de estado para o sistema elétrico de potência. As matrizes J11, J12 e B1 são as mesmas

definidas no Capítulo 2 (equações (2.20.a), (2.20.b) e (2.20.e)). A matriz J12STATCOM é

definida, para um caso particular e melhor compreensão, na equação (3.17).

As equações algébricas, que definem o balanço de potências ativa e reativa, em cada

barra do sistema devem ser modificadas de acordo com a equação (3.7). Estas modificações

são mostradas na equação (3.12).

[ ][ ] u0Bz'JxJ0

0nsxnb2222STATCOM21 ∆+∆+∆=

(3.12)

Na equação (3.12) a submatriz B2 é a mesma da equação (2.20.f) (Capítulo 2) e a

submatriz J22’ tem a estrutura mostrada na equação (2.20.d) (Capítulo 2), diferindo apenas a

parcela 422J cuja lei de formação é mostrada na equação (3.13).


54

4kk k

4 4kk k

4km

22 G s kmk¹m

22 22 G kmk¹m

22 km

J =R3 -I - R2 , se k for a barra de instação do STATCOM

J = J =R3 - R2 , se k não for a barra de instação do STATCOM

J =-R3

∑

∑ (3.13)

Para um melhor entendimento das matrizes inseridas pela consideração da operação do

dispositivo FACTS STATCOM (J12STATCOM e J21STATCOM), será utilizado um sistema de

potência composto por 2 geradores e 5 barras cujo diagrama unifilar é mostrado na Figura 3.6

(STAGG ; EL-ABIAB, 1982). Como exemplos serão utilizados dois dispositivos

STATCOMs: o primeiro colocado na Barra 3 e o segundo na Barra 5, equipados com

controladores da forma mostrada na Figura 3.4. Serão consideradas como entradas para os

controladores os fluxos de potência ativa entre as Barras 1 e 3 (para o STATCOM instalado

na Barra 3) e entre as Barras 2 e 5 (para o STATCOM instalado na Barra 5).

1

G

G

2 5

3 4 North

South South Elm

Main Lake

(1) (3) (4) (7)

(5)

(2) (6)

Figura 3.6: Sistema Exemplo

Para este sistema elétrico de potência são definidos os vetores de variáveis de estado,

variáveis algébricas e variáveis de entradas como nas equações (3.14), (315) e (3.16),

respectivamente.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] t

2s1s2fd1fd2q1q2121 IIee'e'ex ∆∆∆∆∆∆δ∆δ∆ω∆ω∆=∆ (3.14)

[ ] [ ][ ] t

5151 vvz ∆∆θ∆θ∆=∆ ⋯⋯ (3.15)


55

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] t

srefLLrefm VQPVPu ∆∆∆∆∆=∆ (3.16)

[ ] [ ] t

2m1mm PPP ∆∆=∆ (3.16.a)

[ ] [ ] t

2ref1refref VVV ∆∆=∆ (3.16.b)

[ ] [ ] t

5L1LL PPP ∆∆=∆ ⋯ (3.16.c)

[ ] [ ] t

5L1LL QQQ ∆∆=∆ ⋯ (3.16.d)

[ ] [ ] t

2sref1srefs VVV ∆∆=∆ (3.16.e)

A submatriz J12STATCOM está representada nas equações (3.17).

=

10,27,25,22,2

8,16,13,11,1STATCOM12 j00j0j00j0

00j0j00j0jJ (3.17)

131p1c

1c1,1 1AK

T

Kj = (3.17.a)

131p1c

1c3,1 1AK

T

Kj −= (3.17.b)

131p1c

1c6,1 2AK

T

Kj = (3.17.c)

( )1s131p1c

1c8,1 K3AK

T

Kj −= (3.17.d)

252p2c

2c2,2 1AK

T

Kj = (3.17.e)

252p2c

2c5,2 1AK

T

Kj −= (3.17.f)

252p2c

2c7,2 2AK

T

Kj = (3.17.g)


56

( )2s252p2c

2c10,2 K3AK

T

Kj −= (3.17.h)

A submatriz J21STATCOM é mostrada na equação (3.18) onde J21 é a mesma matriz da

equação (2.20.c) deduzida no Capítulo 2. A submatriz [Vs0] é definida na equação (3.19).

[ ][ ]

=

nsxnb0s

nsxnb

21STATCOM21 V

0JJ (3.18)

[ ]

=

ns,ns0s

1,01s

0s

v

v

V ⋱ (3.19)

STATCOMinstaladopossuiibarraasese,Vv

STATCOMinstaladopossuinãoibarraase,0v

jise,0v

ij,i0s

i,i0s

j,i0s

−==

≠=

Retomando o equacionamento genérico, as equações (3.11) e (3.12) podem ser

agrupadas, fornecendo a representação no domínio do tempo do MSP-multimáquinas, com a

consideração da operação de dispositivos STATCOMs modelados de forma simplificada,

equipados com controladores de primeira ordem, como na equação (3.20).

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]u

0B

K0

0B

z

x

'JJ

J

J

K0

0J

0

x

nsxnb22

2s)nbng(2xns

nsxng41

22STATCOM21

STATCOM12

12

1sng4xns

nsxng411

∆

+

∆∆

=

∆+

ɺ

(3.20)

A eliminação das variáveis algébricas (vetor ∆z) permite uma representação no espaço

de estados do MSP-multimáquinas com um STATCOM (representado pelo seu modelo

simplificado) em operação similar à representação realizada no Capítulo 2 (equações (2.22)).


57

3.4 Modelo Dinâmico Detalhado do Dispositivo FACTS STATCOM

Para o desenvolvimento do modelo detalhado do STATCOM considere o diagrama

mostrado na Figura 3.7 (CIGRÉ TASK FORCE, 1999), onde são mostradas duas variáveis de

controle (c e Ψ).

kV

conversor

CCC

transformador

terminal CA

VDC

sV

sI

jxSDT

terminal CC IDC

c

Ψ

Figura 3.7: Representação Detalhada do Dispositivo FACTS STATCOM

A variável de controle “c” é responsável pelo ajuste da magnitude da tensão no

terminal CA do STATCOM e, portanto, responsável pela troca de potência reativa com a rede

de transmissão.

A variável de controle “ψ”, ângulo entre a tensão da barra onde está conectado o

STATCOM e a tensão gerada pelo conversor (ver Figura 3.8), torna possível a compensação

da potência ativa, a qual é usada para o controle da tensão VDC no valor de referência.

θk Ψ

r

m

θs

kV

sV

Figura 3.8: Diagrama Fasorial: Tensões kV e sV


58

Para a dedução do modelo detalhado do STATCOM no MSP-multimáquinas considere

que sua instalação no sistema elétrico de potência ocorra em uma barra genérica k como

mostrado no diagrama unifilar da Figura 3.9.

Vk∠θk

Zkm

Vm∠θm

conversor c

Ψ

Ps, Qs

Figura 3.9: Sistema Elétrico com um STATCOM (Modelo Detalhado) em Operação

A tensão no terminal CA (VCA) e a tensão no terminal CC (VDC) do STATCOM bem

como a tensão da barra onde está instalado o dispositivo são dadas pelas equações (3.21),

(3.22) e (3.23), respectivamente.

s s sV =V θ∠ (3.21)

DC DCCC

1V = I dt

C ∫ (3.22)

k kV =V θk∠ (3.23)

A tensão inserida pelo STATCOM (sV ) pode ser controlada em magnitude (através do

parâmetro c) e fase (através do parâmetro Ψ), conforme a definição desta tensão dada na

equação (3.24) (CIGRÉ TASK FORCE, 1999) (ver diagrama fasorial da Figura 3.8).

s s s DC kV =V θ =cV ψ+θ∠ ∠ (3.24)

A partir da Figura 3.7 a corrente que circula pelo STATCOM ( sI ) é dada pela equação

(3.25) onde xSDT é a reatância de acoplamento do transformador.


59

SDT

sks jx

VVI

−= (3.25)

A substituição das equações (3.23) e (3.24) na equação (3.25) fornece a equação

(3.26), que descreve a corrente que circula pelo STATCOM, decomposta em parte real e parte

imaginária.

k k DC k k k DC ks

SDT SDT

V senθ -cV sen(ψ+θ ) V cosθ -cV cos(ψ+θ )I = -j

x x (3.26)

A potência complexa desenvolvida pelo STATCOM é dada pela equação (3.27), onde

as parcelas Ps e Qs são referentes à potência ativa e à potência reativa desenvolvida,

respectivamente.

ss*skk jQPIVS +==ɺ (3.27)

A substituição das equações (3.23) e (3.26) na equação (3.27) permite escrever as

expressões da potência ativa e da potência reativa desenvolvidas pelo STATCOM (equações

(3.28) e (3.29), respectivamente).

k DCs

SDT

V cV senψP =

x (3.28)

2k k DC

sSDT

V -V cV cosψQ =

x (3.29)

A análise das equações (3.28) e (3.29) permite observar que tanto a potência ativa

como a potência reativa desenvolvidas pelo STATCOM não dependem do ângulo da barra k

(ângulo θk), barra esta onde se encontra instalado o dispositivo FACTS. Além disso, também

é possível verificar que tanto a potência ativa como a potência reativa dependem das variáveis

de controle do STATCOM (c e ψ).

Considerando pequenas variações em torno de um ponto de equilíbrio estável, a

equação (3.28) pode ser linearizada, resultando no conjunto de equações (3.30).


60

s k k DC DC c ψ∆P =A ∆V +A ∆V +A ∆c+A ∆ψ (3.30)

s DCk

k SDT

P cV senψA =

V x

∂ =∂

(3.30.a)

s kDC

DC SDT

P V csenψA = =

V x

∂∂

(3.30.b)

s k DCc

SDT

P V V senψA = =

c x

∂∂

(3.30.c)

s k DCψ

SDT

P V cV cosψA = =

ψ x

∂∂

(3.30.d)

Procedimento análogo pode ser realizado com a equação (3.28), o que resultará no

conjunto de equações (3.31).

s k k DC DC c ψ∆Q =R ∆V +R ∆V +R ∆c+R ∆ψ (3.31)

SDT

DCk

k

sk x

coscVV2

V

QR

ψ−=

∂∂

= (3.31.a)

SDT

k2k

DC

sDC x

coscVV

V

QR

ψ−=

∂∂

= (3.31.b)

2s k k DC

cSDT

Q V -V V cosψR = =

c x

∂∂

(3.31.c)

SDT

DCks

x

sencVVQR

ψ=

ψ∂∂

=ψ (3.31.d)

Da equação (3.22) pode ser escrita a equação (3.32), que introduz uma nova variável


61

de estado no modelo detalhado do STATCOM (tensão no lado CC do STATCOM – VDC).

DCCC

DC IC

1V =ɺ (3.32)

Considerando o conversor sem perdas, a potência ativa no terminal CC (PDC) deve ser

igual à potência ativa no terminal CA (PCA) (equação (3.33)).

[ ]*ssCADCDCDC IValRePIVP === (3.33)

Substituindo-se as equações (3.24) e (3.26) na equação (3.33) se obtém a equação

(3.34) que fornece a corrente no lado CC do STATCOM.

SDT

kDC x

sencVI

ψ= (3.34)

Substituindo-se a equação (3.34) na equação (3.32), obtém-se a equação (3.35).

SDT

k

CCDC x

sencV

C

1V

ψ=ɺ (3.35)

A linearização da equação (3.35), em torno de um ponto de equilíbrio estável, fornece

o conjunto de equações (3.36).

ψ∆+∆+∆=∆ CCkCCCCDC 3kV2kc1kVɺ (3.36)

SDT

k

CC

DCCC x

senV

C

1

c

V1k

ψ=

∂∆∂

=ɺ

(3.36.a)

SDTCCk

DCCC x

csen

C

1

V

V2k

ψ=∂∆∂

=ɺ

(3.36.b)


62

SDT

k

CC

DCCC x

coscV

C

1V3k

ψ=

ψ∂∆∂

=ɺ

(3.36.c)

Para a inclusão do dispositivo FACTS STATCOM (representado pelo seu modelo

detalhado) no MSP é necessária a definição de um controlador para os parâmetros “c” e “Ψ”

que neste trabalho assumirá a forma mostrada na Figura 3.10.

c

c

K

1 s T+

K

1 s TΨ

Ψ+

–

+

+

+ –

∆VDCref

∆VDC

∆Ψ

∆c ∆Vkref

∆Vk

∆Pkm

Figura 3.10: Modelo do Controlador Detalhado do Dispositivo FACTS STATCOM

Para a variável Ψ, o bloco de controle é definido pela constante de tempo TΨ,

representando o atraso inerente ao disparo dos tiristores, e o ganho estático KΨ. Para o caso da

variável c, define-se de maneira semelhante uma constante de Tc e um ganho estático Kc, que

utiliza como sinal de entrada as variações do fluxo de potência ativa na linha de transmissão

de instalação do STATCOM (equação (3.3)).

De maneira análoga à realizada para o dispositivo FACTS STATCOM representado

pelo seu modelo simplificado, a partir do diagrama de blocos mostrado na Figura 3.10, podem

ser escritas as equações (3.37) e (3.38), que representam o comportamento dinâmico das

variáveis “c” e “Ψ” de ns dispositivos STATCOMs instalados em um sistema de potência de

nb barras e ng geradores,respectivamente.

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]s6csref5c

ms4cks3cms2cks2c1c

VKVK

VKVKKKcKc

∆+∆+

∆+∆+θ∆−θ∆+∆=∆ɺ (3.37)

[ ] [ ] t

ns1 ccc ∆∆=∆ ⋯ (3.37.a)


63

[ ] [ ] t

kns1kks θ∆θ∆=θ∆ ⋯ (3.37.b)

[ ] [ ] t

mns1mms θ∆θ∆=θ∆ ⋯ (3.37.c)

[ ] [ ] t

kns1kks VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.37.d)

[ ] [ ] t

mns1mms VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.37.e)

[ ] [ ] t

srefns1srefsref VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.37.f)

[ ] [ ] t

ns1s VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.37.g)

[ ]

=

cns

1c

c

T

T

T ⋱ (3.37.h)

[ ]

=

cns

1c

c

K

K

K ⋱ (3.37.i)

[ ]

=

kmns

1km

kms

1A

1A

1A ⋱ (3.37.j)

[ ]

=

kmns

1km

kms

2A

2A

2A ⋱ (3.37.k)

[ ]

=

kmns

1km

kms

3A

3A

3A ⋱ (3.37.l)


64

[ ] [ ] 1c1c TK −−= (3.37.m)

[ ] [ ][ ] [ ]kms1

cc2c 1ATKK −= (3.37.n)

[ ] [ ][ ] [ ]kms1

cc3c 2ATKK −= (3.37.o)

[ ] [ ][ ] [ ]kms1

cc4c 3ATKK −= (3.37.p)

[ ] [ ][ ] 1cc5c TKK −−= (3.37.q)

[ ] [ ][ ] [ ]5c1

cc6c KTKK −== − (3.37.r)

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]ψ∆+∆+∆=ψ∆ ψψψ 3DCref2DC1 KVKVKɺ (3.38)

[ ] [ ] t

ns1 ψ∆ψ∆=ψ∆ ⋯ (3.38.a)

[ ] [ ] t

DCns1DCDC VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.38.b)

[ ] [ ] t

DCrefns1DCrefDCref VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.38.c)

[ ]

=

ψ

ψ

ψ

ns

1

K

K

K ⋱ (3.38.d)

[ ]

=

ψ

ψ

ψ

ns

1

T

T

T ⋱ (3.38.e)

[ ] [ ][ ] [ ]21

1 KTKK ψ−

ψψψ =−= (3.38.f)


65

[ ] [ ] 13 TK −

ψψ −= (3.38.g)

Para a consideração do balanço nodal de potências, as equações (2.16) (Capítulo 2),

são modificadas, assumindo a forma das equações (3.39) e (3.40), referentes à Figura 3.9.

k

Gk Lk km sm ÎΩ

∆P -∆P - (∆P )-∆P =0∑ (3.39)

k

Gk Lk km sm ÎΩ

∆Q -∆Q - (∆Q )-∆Q =0∑ (3.40)

A substituição das equações (2.5), (2.7), (2.9), (2.11) (mostradas no Capítulo 2), (3.30)

e (3.31) nas equações (3.39) e (3.40) fornecem as equações algébricas modificadas do MSP-

multimáquinas que refletem a inclusão do dispositivo FACTS STATCOM, representado pelo

seu modelo detalhado, no sistema elétrico de potência (equações (3.41)).

( )

( )

k

k

jk j k jk j jk k k

km k m km k km m DC DC cm

jk j k jk j jk k k

km k m km k km m DC DC cm

A1 ( ) A2 V (A3 A ) V

[A1 ( ) A2 V A3 V )] A V A c A 0

R1 ( ) R2 V (R3 R ) V

[R1 ( ) R2 V R3 V ] R V R c R 0

Ψ∈Ω

Ψ∈Ω

∆ θ −θ + ∆ + − ∆ −

− ∆ θ −θ + ∆ + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ψ =

∆ θ −θ + ∆ + − ∆ −

− ∆ θ −θ + ∆ + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ψ =

∑

∑

(3.41)

Observe que para esta modelagem do STATCOM tanto as variações da potência ativa

como da potência reativa são modificadas, diferentemente quando da consideração do modelo

simplificado.

Para a representação do MSP-multimáquinas com ng geradores, nb barras e ns

dispositivo STATCOMs modelos de forma detalhada no domínio do tempo, considere o vetor

de variáveis de estado ∆x, o vetor de variáveis algébricas ∆z e o vetor de entradas ∆u

definidos nas equações (3.42), (3.43) e (3.44), respectivamente.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] t

q fd DCx e ' e V c ∆ = ∆ω ∆δ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ψ (3.42)


66

[ ] t1 ng[ ... ]∆ω = ∆ω ∆ω (3.42.a)

[ ] t1 ng[ ... ]∆δ = ∆δ ∆δ (3.42.b)

[ ] t'q.

'qq ]e...e['e

ng1∆∆=∆ (3.42.c)

[ ] t

fdfdfd ]e...e[eng1

∆∆=∆ (3.42.d)

[ ] t

DCns.DCDC ]V...V[V1

∆∆=∆ (3.42.e)

[ ] t

ns.1 ]c...c[c ∆∆=∆ (3.42.f)

[ ] t1. ns[ ... ]∆ψ = ∆ψ ∆ψ (3.42.g)

[ ] t1 nb 1 nb∆z= [∆θ ...∆θ ] [∆V ...∆V ] (3.43)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] t

DCrefsrefLLrefm VVQPVPu ∆∆∆∆∆∆=∆ (3.44)

[ ] [ ] t

mng1mm PPP ∆∆=∆ ⋯ (3.44.a)

[ ] [ ] t

refng1refref VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.44.b)

[ ] [ ] t

Lnb1LL PPP ∆∆=∆ ⋯ (3.10.c)

[ ] [ ] t

Lnb1LL QQQ ∆∆=∆ ⋯ (3.44.d)

[ ] [ ] t

srefns1srefsref VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.44.e)


67

[ ] [ ] t

DCrefDCrefDCref ns1VVV ∆∆=∆ ⋯ (3.44.f)

Com estas considerações, a representação no domínio do tempo do MSP-

multimáquinas com o dispositivo FACTS STATCOM em operação, representado pelo seu

modelo detalhado é dado na equação (3.45).

uB

B

z

x

JJ

JJ

0

x

2

1

2221

1211 ∆

+

∆∆

=

∆ɺ (3.45)

As submatrizes J11, J12, J21 e J22 são mostradas nas equações (3,46), (3.47), (3.48) e

(3.49), lembrando que os coeficientes dos controladores estão organizados de acordo com o

número de dispositivos STATCOM instalados e das características do sistema (números de

barras e máquinas) como foi explicado através do sistema exemplo para o caso do

STATCOM ser representado pelo seu modelo simplificado.

-1 -1 -1-[M] [D] -[M] [A1 ] -[M] [A2 ] [0] [0] [0] [0]G G ng x ng ng x ns ng x ns ng x ns

[ω ] [0] [0] [0] [0] [0] [0]o ng x ng ng x ng ng x ng ng x ns ng x ns ng x ns

-1 -1 -1 -1[0] -[T ] [K ] -[T ] [x ][x ] [T ] [0]ng x ng do A do d d do ng x ns

J =11

′ ′ ′ ′ [0] [0]ng x ns ng x ns

-1[0] [0] [0] -[T ] [0] [0] [0]ng x ng ng x ng ng x ng r ng x ns ng x ns ng x ns

[0] [0] [0] [0] [0] [K ] [K ]ns x ng ns x ng ns x ng ns x ng ns x ns DC1 DC3

[0] [0] [0] [0] [0]ns x ng ns x ng ns x ng ns x ng ns x ns

′

[K ] [0]C1 ns x ns

[0] [0] [0] [0] [K ] [0] [K ]ns x ng ns x ng ns x ng ns x ng Ψ1 ns x ns Ψ3

(3.46)

-1 -1[M] [A1 ] [0] -[M] [A3 ] [0]G ng x nb-ng G ng x nb-ng

[0] [0] [0] [0]ng x ng ng x nb-ng ng x ng ng x nb-ng

-1 -1[T ] [K ] [0] [T ] [K ] [0]do A ng x nb-ng do V ng x nb-ng

-1J = [0] [0] -[K ][T ] [0]12 ng x ng ng x nb-ng r r ng x nb-ng

[0]ns

′ ′

[0] [0] [K ]x ng ns x nb-ng ns x ng DC2

[0] [K ] [0] [K K K ]ns x ng C2 ns x ng C3 C4 C6

[0] [0] [0] [0]ns x ng ns x nb-ng ns x ng ns x nb-ng

(3.47)


68

[0] [A1 ] [A2 ] [0] [0] [0] [0]ng x ng G G ng x ng ng xns ng x ns ng x ns

[0] [0] [0] [0] [-A ] [-A ] [-A ]nb - ng x ng nb - ng x ng nb - ng x ng nb - ng x ng DC C ΨJ =21 [0] [R1 ] [R2 ] [0] [0] [0] [0]ng x ng G G ng x ng ng x ns ng x ns ng x ns

[0] [0] [0] [0] [-R ] [-A ] [-R ]nb - ng x ng nb - ng x ng nb - ng x ng nb - ng x ng DC C Ψ

(3.48)

1 2

3 4

22 22

22

22 22

J J

J

J J

=

⋯ ⋯ (3.49)

1kk k

1

1km

22 G kmk m

22

22 km

J A1 A1J

J A1≠

= − − =

=

∑ (3.49.a)

2kk k

2 2kk k

2km

22 G k kmk m

22 22 G kmk m

22 km

J A3 A A2 , se k for a barra de instalação do STATCOM

J J A3 A2 , se k não for barra de instalação do STATCOM

J A3

≠

≠

= − − = = − = −

∑

∑

(3.49.b)

3kk k

3

3km

22 G kmk m

22

22 km

J R1 R1J

J R1≠

= − − =

=

∑ (3.49.c)

4kk k

4 4kk k

4km

22 G k kmk m

22 22 G kmk m

22 km

J R3 R R2 , se k for a barra de instalação do STATCOM

J J R3 R2 , se k não for barra de instalação do STATCOM

J R3

≠

≠

= − − = = − = −

∑

∑

(3.49.d)

As matrizes que relacionam as entradas do sistema também são modificadas,

resultando nas equações (3.50) e (3.51).


69

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

= −

−

2nsxngnbxnsnbxnsngxnsngxns

nsxng5cnbxnsnbxnsngxnsngxns

nsxngnsxngnbxnsnbxnsngxnsngxns

nsxngnsxngnbxngnbxng1

rrngxng

nsxngnsxngnbxngnbxngngxngngxng

nsxngnsxngnbxngnbxngngxngngxng

nsxngnsxngnbxngnbxngngxng1

1

K00000

0K0000

000000

0000TK0

000000

000000

00000M

B

ψ

(3.50)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

−−

=nbxnbnbxnbngxnbngxnb


2 I000

0I00B (3.51)

Na equação (3.51) Inb x nb é a matriz identidade de ordem nb x nb.

Observe que na representação matricial mostrada na equação (3.45) as variáveis de

controle do STATCOM (∆c e ∆ψ) são tratadas como variáveis de estado para o sistema

multimáquinas.

De maneira análoga ao procedimento realizado no Capítulo 2, a eliminação das

variáveis algébricas (vetor ∆z) permite uma representação no espaço de estados do MSP-

multimáquinas com um STATCOM representado pelo seu modelo detalhado, resultando em

equações simulares às equações (2.22).

3.5 Conclusões

Neste capítulo foram apresentados estudos a respeito da modificação do MSP-

multimáquinas para a consideração do dispositivo FACTS STATCOM em operação.

Nestes estudos foram apresentados dois modelos para o dispositivo STATCOM: um

chamado de “simplificado” e outro denominado de “detalhado”.

O STATCOM representado pelo modelo simplificado não permite a troca de potência

ativa com o sistema elétrico de potência, pois seria necessária a adição de uma fonte adicional

de alimentação no lado CC do dispositivo. Diferentemente, considerando o modelo detalhado,

o dispositivo FACTS STATCOM pode trocar potência reativa e também potência ativa com o

sistema elétrico de potência.

Pelo fato de o interesse ser o estudo da estabilidade a pequenas perturbações, os


70

modelos resultantes foram descritos por equações diferenciais e algébricas linearizadas.

Deve ser destacado que para a inclusão do dispositivo FACTS STATCOM

(independente do modelo utilizado: simplificado ou detalhado) no MSP-multimáquinas, foi

necessária apenas a adaptação das equações do MSP-multimáquinas original, pela adição dos

termos referentes ao dispositivo FACTS. Dito de outra forma, os equacionamentos anteriores

não são perdidos quando se deseja introduzir outros modelos de componentes no modelo

original.

Efetuados os modelos, simplificado e detalhado do STATCOM, estes foram

implementados computacionalmente e os resultados obtidos para um sistema teste quando

submetido a pequenas perturbações são mostrados no Capítulo 4.


71

Capítulo 4

Resultados e Simulações

4.1 Introdução

Neste capítulo são efetuados estudos preliminares a respeito da estabilidade a

pequenas perturbações de um sistema teste, aplicando a modelagem desenvolvida nos

capítulos anteriores e assim, estudar a influência da inclusão de dispositivos FACTS

STATCOM na estabilidade do sistema elétrico de potência.

Serão apresentados e discutidos os resultados obtidos de simulações realizadas no

sistema teste, cuja implementação computacional foi realizada utilizando-se o software

MatLab®.

Deve ainda ser salientado que não é do escopo deste trabalho a análise de métodos de

solução de fluxo de potência, porém, para a obtenção da solução do caso base para o sistema

teste foi utilizada a ferramenta MATPOWER®, desenvolvida em linguagem MatLab®

(ZIMMERMAN ; GAN, 2009).

4.2 Sistema Simétrico de Duas Áreas – Caso Base

O sistema multimáquinas hipotético, cujo diagrama unifilar é mostrado na Figura 4.1

foi proposto para se estudar os fatores que influenciam os modos interárea de oscilação

(KLEIN et al., 1991). Trata-se de um sistema simétrico, composto por duas áreas e vem sendo

utilizado com frequência na literatura. Os dados dos geradores, barras, linhas de transmissão e

fluxo de potência para o caso base são mostrados no Apêndice II.

A partir do diagrama unifilar observa-se a existência de duas áreas simétricas, sendo

estas conectadas por três linhas de transmissão paralelas longas, ou seja, com alta reatância

indutiva, constituindo uma interligação eletricamente fraca entre os sistemas, normalmente

designada por “tie-line”. Tal fato contribui para a falta de amortecimento do sistema sob


72

estudo, ocasionando instabilidade (KLEIN et al., 1991; KUNDUR,1994; FURINI, 2008). Na

Tabela 4.1 são mostrados os autovalores dominantes da matriz de estados do sistema, assim

como a frequência natural não amortecida (ωn) e o coeficiente de amortecimento (ξ) a eles

associados, considerando-se o caso base.

1

2 3

4 5

6 7 8 9

10 G1

G2 G3

G4

L7 L8

Área 1 Área 2

Figura 4.1: Diagrama Unifilar: Sistema Simétrico de Duas Áreas

Tabela 4.1: Autovalores Dominantes, Frequência Natural Não Amortecida e

Coeficientes de Amortecimento – Caso Base

Autovalores ωωωωn (Hz) ζζζζ

0,0460 ±4,1382i 0,6587 -0,0111 Interárea

-0,2346 ±6,2953i 1,0026 0,0374 Local 1

-0,1585 ±5,8779i 0,9358 0,0270 Local 2

Na Tabela 4.1 os autovalores foram classificados em Local 1, Local 2 e Interárea, a

partir do valor de sua frequência, bem como na análise dos fatores de participação de cada

variável de estado nestes modos oscilatórios(KLEIN et al., 1991).

Dos dados mostrados na Tabela 4.1 nota-se claramente que o par complexo conjugado

associado ao modo interárea de oscilação é o responsável pela instabilidade do sistema, visto

que este autovalor apresenta parte real positiva, implicando em amortecimento negativo.

Para uma análise no domínio do tempo, foram realizadas simulações utilizando o

conjunto de equações (2.18) deduzidas no Capítulo 2, considerando uma perturbação do tipo

degrau de 0,05 pu no torque mecânico de entrada do gerador 1 (∆Tm1 = 0.05 pu). Os


73

principais resultados são mostrados nas Figuras 4.2 (variações da velocidade angular dos

geradores) e 4.3 (variação do ângulo interno dos geradores), onde o gerador 1 foi adotado

como referência para o sistema de potência multimáquinas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-4

Tempo (s)

Var

iaçã

o da

vel

ocid

ade

angu

lar

(rad

/s)

gerador 2

gerador 3

gerador 4

Figura 4.2: Variações da Velocidade Angular – Caso Base

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to a

ngul

ar (

rad)

gerador 2

gerador 3

gerador 4

Figura 4.3: Variações do Ângulo Interno – Caso Base


74

As Figuras 4.2 e 4.3 demonstram a instabilidade do sistema decorrente da existência

de um par complexo conjugado com parte real positiva, associado ao modo interárea,

expresso na Tabela 4.1. Observa-se que as curvas apresentam oscilações de amplitudes

crescentes, característica da perda de estabilidade por falta de torque de amortecimento (ou a

existência de amortecimento negativo) apresentado pelo sistema.

Para solucionar o problema da instabilidade é proposta a inclusão do dispositivo

FACTS STATCOM ao sistema em questão. Após, será avaliado o desempenho do sistema de

potência quando sujeito a pequenas perturbações com os dois modelos estudados para o

STATCOM.

Como local de instalação do STATCOM foi escolhida a barra 8 (FURINI ; ARAUJO,

2008; PEREIRA et al., 2009), baseado na avaliação dos fatores de participação (MARTINS,

1986; MARTINS ; LIMA, 1999), com a consideração da atuação de controles adicionais

sobre as variáveis de interesse do STATCOM.

Para as simulações serão adotados valores fixos para os parâmetros dos controladores,

sendo Kc = 200, Tc = 0,01, Ks = 1 e Kp=1, referentes ao modelo simplificado. Para o modelo

detalhado foram considerados Kc = 200, Tc = 0,01, KΨ = 150 e TΨ=0,01 .

Os valores dos parâmetros dos controladores foram escolhidos para tornar possível

que tanto a modelagem simplificada como a modelagem detalhada, possuíssem controladores

com parâmetros iguais para se realizar uma posterior comparação entre os resultados obtidos.

Deve ainda ser observado que os valores adotados são valores típicos, retirados da literatura

especializada e não foram submetidos a nenhum processo de refinamento ou de otimização

(WANG, 1999).

4.3 Simulações: Dispositivo FACTS STATCOM: Modelo Simplificado

O modelo simplificado do STATCOM pode ser representado por uma fonte de

corrente em derivação, conforme descrito no Capítulo 3. Sua variável de entrada IS foi

modulada por um controlador de primeira ordem, conforme mostrado na equação (3.4).

Considerando a mesma perturbação em degrau de 0,05 pu no torque mecânico do gerador 1,

novas simulações foram realizadas (a partir da equação (3.20)) e os resultados obtidos para


75

uma análise no domínio da frequência são listados na Tabela 4.2 (autovalores dominantes e

seus respectivos coeficientes de amortecimento e frequências não amortecidas).

Analisando os dados mostrados na Tabela 4.2 pode-se afirmar que a operação do

STATCOM conseguiu tornar o sistema de potência teste estável (observe que o modo

interárea de oscilação, antes com parte real positiva, com a atuação do STATCOM passa a

apresentar parte real negativa e, consequentemente, coeficiente de amortecimento positivo).

Quanto aos autovalores associados aos modos locais de oscilação, estes sofrem

alteração.

Uma comparação entre os valores apresentados nas Tabelas 4.1 e 4.2 dos valores dos

coeficientes de amortecimento a eles associados permite concluir que a atuação do

STATCOM torna o modo Local 1 mais amortecido (o ξ a ele associado apresentado na Tabela

4.2 é maior que o ξ apresentado na Tabela 4.1). Contudo, diminui o amortecimento do modo

Local 2 (o ξ a ele associado apresentado na Tabela 4.2 é menor que o ξ apresentado na Tabela

4.1). Este fato, porém, não compromete a estabilidade do sistema elétrico de potência, visto

que todos os autovalores possuem parte real negativa.


Coeficientes de Amortecimento – STATCOM: Modelo Simplificado


-0,1197 ± 1,3778i 0,2201 0,0866 Interárea

-0,2447 ± 6,2894i 1,0017 0,0389 Local 1

-0,1498 ± 5,8212i 0,9268 0,0257 Local 2

Para uma análise no domínio do tempo, na Figura 4.4 são mostrados os ângulos internos dos

geradores 2, 3 e 4 em relação ao ângulo interno do gerador 1.


76

0 5 10 15 20 25 30-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Tempo (s)

Def

asag

em a

ngul

ar (

rad)

gerador 2

gerador 3

gerador 4

Figura 4.4: Variações dos Ângulos Internos – STATCOM: Modelo Simplificado

Observe que neste caso os comportamentos dinâmicos dos ângulos internos dos

geradores são caracterizados por oscilações de amplitudes decrescentes (amortecidas, apesar

de fracamente amortecidas, como também comprovam os valores dos coeficientes de

amortecimento listados na Tabela 4.2).

4.4 Simulações: Dispositivo FACTS STATCOM: Modelo Detalhado

As simulações do sistema teste considerando a operação do dispositivo STATCOM

representado pelo seu modelo detalhado (descrito no Capítulo 3) são apresentadas nesta seção,

considerando-se o mesmo local de instalação do dispositivo: a Barra 8.

Também neste caso será considerada a atuação de controladores de primeira ordem

sobre as variáveis de controle do STATCOM, que no modelo detalhado se referem à c e à Ψ.

É importante destacar que o modelo detalhado do STATCOM permite a compensação

de potência ativa, além da reativa.

Utilizando o conjunto de equações (3.45) foram obtidos os autovalores dominantes

listados na Tabela 4.3.


77


Coeficientes de Amortecimento – STATCOM: Modelo Detalhado


-0,1341 ±1,2118i 0,1940 0,1100 Interárea

-0,2449 ±6,2892i 1,0017 0,0389 Local 1

-0,1506 ±5,8209i 0,9267 0,0259 Local 2

Analisando-se os dados da Tabela 4.3 pode-se concluir que a atuação do STATCOM

representado pelo seu modelo detalhado conseguiu tornar o sistema teste estável, adicionando

amortecimento ao modo interárea, que se apresentava instável para o caso base.

A análise dos modos locais repete o comportamento obtido com o modelo

simplificado, isto é, aumenta o amortecimento no modo Local 1 e diminui no modo Local 2,

sem contudo comprometer a estabilidade do sistema de potência.

Para a análise no domínio do tempo, na Figura 4.5 é mostrado o comportamento

dinâmico dos ângulos internos dos geradores (também nestes casos, a máquina 1 é referência

para o sistema multimáquinas).

0 5 10 15 20 25 30-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Tempo (s)

Def

asag

em a

ngul

ar (

rad)

gerador 2

gerador 3

gerador4

Figura 4.5: Variações dos Ângulos Internos – STATCOM: Modelo Detalhado


78

0 5 10 15 20 25 30-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Tempo (s)

Flu

xo d

e po

tênc

ia a

tiva

(pu)

com ativo

sem ativo

Figura 4.6: Fluxo de Potência Ativa – STATCOM: Modelo Detalhado

Dos gráficos mostrados conclui-se pela estabilidade do sistema teste para esta

configuração, sendo esta estabilidade caracterizada por curvas com oscilações de amplitudes

decrescentes, indicando aumento no valor do torque de amortecimento.

Para se verificar a compensação de potência ativa realizada pelo dispositivo

STATCOM considere a Figure 4.6, na qual é mostrado o fluxo de potência ativa na linha de

transmissão entre as Barras 7 e 8, lembrando que a Barra 8 é a Barra de instalação do

STATCOM.

Observe na Figura 4.6 a diferença (mesmo que pequena), entre os fluxos de potência

ativa quando se considera a compensação ou não de potência ativa. (a situação de não se

compensar a potência ativa é feita através da equação (3.39), considerando ∆Ps igual a zero).

4.5 Simulações: Comparação entre as modelagens do Dispositivo FACTS

STATCOM: Modelo Simplificado e Modelo Detalhado

Para a comparação entre os dois modelos de STATCOM desenvolvidos no Capítulo 3,

será adotada a compensação apenas de reativos, visto que o modelo simplificado só permite


79

esta situação.

Por este motivo, na Tabela 4.4 são apresentados os autovalores dominantes, bem como

os coeficientes de amortecimento e frequências naturais não amortecidas a eles associados

considerando o dispositivo STATCOM representado pelo seu modelo detalhado, configurado

para a compensação apenas de reativos.

Comparando-se os dados mostrados nas Tabelas 4.2 e 4.4 pode-se afirmar que para o

ponto de operação considerado e para os valores de parâmetros adotados para os

controladores do dispositivo STACOM, o amortecimento introduzido no sistema de potência

é mais evidenciado quando o STATCOM é representado pelo seu modelo detalhado (observe

que o ξ associado ao modo interárea da Tabela 4.4 é maior que o ξ associado ao modo

interárea da Tabela 4.2).

Quanto aos modos locais, estes praticamente não apresentam modificações quando se

altera o modelo do dispositivo (ressalte-se que o STATCOM foi instalado no sistema elétrico

com o propósito de tornar o modo interárea estável). Este fato também pode ser observado na

comparação entre os valores do coeficiente de amortecimento listados nas Tabelas 4.3 e 4.4

(referentes aos STATCOM simplificado e detalhado, respectivamente).


Coeficientes de Amortecimento – STATCOM: Modelo Detalhado (apenas compensação de

reativos)


-0,1334 ±1,2013i 0,1924 0,1104 Interárea

-0,2449 ±6,2892i 1,0017 0,0389 Local 1

-0,1506 ±5,8209i 0,9267 0,0259 Local 2

Nas Figuras 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 são mostradas a defasagem angular na máquina 2

referenciada à máquina 1, a defasagem angular na máquina 3 referenciada à máquina 1, a

variação do módulo da tensão na Barra 8 (barra de instalação do STATCOM) e a variação do

fluxo de potência ativa na linha de transmissão entre as Barras 7 e 8, respectivamente, para o

STATCOM representado pelos modelos simplificado e detalhado.


80

0 5 10 15 20 25 30-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

Tempo (s)

Def

asag

em a

ngul

ar (

rad)

detalhado

simplificado

Figura 4.7: Defasagem Angular (∆δ2 – ∆δ1): STATCOM Simplificado e Detalhado

0 5 10 15 20 25 30-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Tempo (s)

Def

asag

em a

ngul

ar (

rad)

simplificado

detalhado

Figura 4.8: Defasagem Angular (∆δ3 – ∆δ1): STATCOM Simplificado e Detalhado


81

0 5 10 15 20 25 30-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

Tempo (s)

Ten

são

(pu)

simplificado

detalhado

Figura 4.9: Variação da Tensão: Barra 8: STATCOM Simplificado e Detalhado

Pela análise das curvas mostradas nas Figuras 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 e pela comparação

dos coeficientes de amortecimento listados nas Tabelas 4.2 e 4.4, é possível afirmar que o

modelo detalhado apresenta um desempenho melhor no que se refere a introduzir

amortecimento ao sistema elétrico, isto é, está amortecendo mais o sistema teste (novamente é

ressaltado que esta afirmação é correta para o ponto de operação considerado e para ajuste dos

controladores utilizando-se valores típicos da literatura).

0 5 10 15 20 25 30-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Tempo (s)

Var

iaçã

o do

flu

xo d

e po

tênc

ia (

rad)

simplificado

detalhado

Figura 4.10: Variação do Fluxo de Potência Ativa entre as Barras 7 e 8: STATCOM

Simplificado e Detalhado


82

Para se avaliar a influência da modelagem do dispositivo FACTS STATCOM nos

valores finais de algumas grandezas de interesse, considere a Tabela 4.5 onde são

apresentados os valores de regime permanente do módulo da tensão da barra de instalação do

STATCOM (∆V8), do ângulo interno das máquinas 2 e 3 referidas à máquina 1 (∆δ2-∆δ1 e

(∆δ3-∆δ1, respectivamente) e o fluxo de potência ativa na linha de transmissão entre as Barras

7 e 8 (∆P7-8).

Tabela 4.5: Valores de Regime Permanente: Tensão da Barra 8, Ângulo Interno das

Máquinas e Fluxo de Potência Ativa: STATCOM Simplificado e Detalhado

∆∆∆∆V8 (pu) ∆∆∆∆δ2-∆∆∆∆δ1 (rad) ∆∆∆∆δ3-∆∆∆∆δ1 (rad) ∆∆∆∆P8-8 (pu)

Simplificado -0,0456 -0,0160 -0,0698 0,0512

Detalhado -0,0618 -0,0199 -0,0920 0,0607

Analisando-se os dados apresentados, pode-se concluir que a maneira como o

STATCOM é modelado no sistema elétrico, altera os valores finais das grandezas

consideradas. Além disso, o modelo detalhado fornece maiores desvios de regime para as

grandezas sob estudo que o modelo simplificado (observe que em todas as curvas mostradas,

as referentes ao modelo detalhado estão tendendo para valores maiores de regime permanente,

quando comparados com as curvas referentes ao modelo simplificado).

4.6 Conclusões

Este capítulo apresentou as simulações realizadas em um sistema de potência teste

composto por duas áreas simétricas para se avaliar a influência da modelagem do dispositivo

STACOM na estabilidade a pequenas perturbações. Nas simulações foram consideradas três

situações.

Na primeira situação (chamada de caso base), as simulações realizadas no sistema

teste não incluíram o dispositivo FACTS STATCOM e os resultados mostraram instabilidade

para o ponto de operação considerado.

Na segunda situação avaliada considerou-se a atuação do STATCOM representado


83

pelo seu modelo simplificado e equipado com um controlador de primeira ordem para sua

variável de controle “∆Is”. Dos resultados obtidos concluiu-se pela estabilidade do sistema

teste.

Na terceira situação foi considerada a atuação do dispositivo STATCOM representado

pelo seu modelo detalhado, com a compensação de ativos e reativos (controlador de primeira

ordem sobre as variáveis de controle “c” e “Ψ”) e o sistema teste evoluiu também para a

estabilidade.

Finalmente foi realizada a comparação, em termos de introdução de amortecimento do

sistema elétrico de potência, do STATCOM modelado de forma simples e de forma detalhada.

Observou-se que para o ponto de operação simulado e para os controladores ajustados com

parâmetros típicos da literatura, que quando da modelagem detalhada os coeficientes de

amortecimento obtidos eram maiores que os da modelagem simplificada. Concluiu-se também

que a forma como o STATCOM é modelado, também influencia os valores de regime

permanente das grandezas do sistema elétrico de potência.

Da análise geral dos resultados obtidos foi possível uma melhor compreensão da

influência do STATCOM na estabilidade a pequenas perturbações do sistema elétrico de

potência, o que servirá de base para estudos futuros, os quais alguns serão enumerados no

Capítulo 5.


84

Capítulo 5

Conclusões

Este trabalho apresentou dois modelos para o dispositivo FACTS STATCOM: um

chamado de “simplificado” e outro de “detalhado”. Estes modelos diferem tanto no

funcionamento como na composição do dispositivo. Estes modelos foram então utilizados

para se obter resultados preliminares do estudo da estabilidade a pequenas perturbações, o que

permitiu que estes modelos resultassem lineares.

Inicialmente foram apresentados os estudos para a elaboração do Modelo de

Sensibilidade de Potência expandido para o sistema elétrico multimáquinas e foram realizadas

suas representações no domínio do tempo (através de equações diferenciais e equações

algébricas) e no domínio da frequência (através de diagrama de blocos).

Na sequência foi equacionado o dispositivo FACTS STATCOM em sua forma

simplificada. Neste modelo o STATCOM é representado por uma fonte de corrente

controlável ligada em derivação com o sistema elétrico e, por não controlar a fase desta fonte

de corrente, consegue apenas realizar a compensação de potência reativa.

Após a dedução do modelo simplificado, foi modelado um controlador de primeira

ordem para atuação na variável de controle do dispositivo (IS), cujo sinal de entrada escolhido

foi a variação da potência ativa na linha de transmissão entre as barras numa das quais estava

conectado o STATCOM.

De posse deste equacionamento, o MSP-multimáquinas original foi modificado (sendo

a ele acrescidas as equações do modelo simplificado), resultando numa modelagem do

sistema elétrico de potência com a consideração da atuação do dispositivo STATCOM (pelo

menos em sua forma de compensação apenas reativa).

A próxima etapa foi estudar mais o funcionamento e a composição do STATCOM

para se obter o modelo detalhado.

Neste modelo a tensão inserida pelo dispositivo FACTS é controlável em módulo (por

intermédio da variável de controle “c”) e fase (pela variável de controle “Ψ”). Desta forma, o

dispositivo STATCOM pode realizar compensação reativa e também trocar potência ativa


85

com o sistema elétrico de potência.

Após a obtenção de suas equações linearizadas, foi efetuada a modelagem dos

controladores das variáveis de controle “c” e “Ψ” e estas equações foram agrupadas ao MSP-

multimáquinas original, resultando em um modelo mais completo para o sistema elétrico de

potência.

Na realização destas etapas verificou-se a facilidade de inclusão de novos

componentes do sistema elétrico ao Modelo de Sensibilidade de Potência, pois a cada novo

equipamento a ser acrescentado, novas equações dinâmicas e algébricas são incluídas na

modelagem, porém, sem a necessidade de reformulação das equações anteriormente definidas.

Com os modelos desenvolvidos, estes foram implementados computacionalmente

(utilizando-se o software MatLab®) e foram realizadas simulações em um sistema de potência

exemplo para uma primeira avaliação da estabilidade a pequenas perturbações.

O sistema utilizado foi um simétrico, de duas áreas, bastante utilizado na literatura,

que é instável em seu caso base (entenda por caso base, um ponto de operação instável, sem a

atuação do dispositivo FACTS STATCOM), devido a um modo oscilatório classificado como

“interárea”.

Para tornar o sistema estável, foi colocado em operação o dispositivo STATCOM,

modelado de forma simplificada e forma detalhada, equipado com controladores de primeira

ordem, cujos parâmetros foram adotados a partir de valores usuais encontrados na literatura.

Considerando o modelo simplificado do STATCOM, o sistema de potência teste se

tornou estável com a atuação do dispositivo.

Quando se considerou o modelo detalhado para o dispositivo, igualmente foi obtida a

estabilidade do sistema elétrico de potência.

Os resultados obtidos permitiram a comparação entre os dois modelos estudados e

tornou possível concluir que a modelagem que permite tanto a compensação de reativos como

a de ativos (modelagem detalhada) acrescentou não somente uma versatilidade maior ao

dispositivo como também aumentou sua complexidade e melhorou o desempenho do sistema

elétrico de potência frente às pequenas perturbações, injetando maior quantidade de torque de

amortecimento, quando comparada com a modelagem simplificada.

Deve ser dito que em nenhum dos modelos avaliados foi considerada a otimização ou

a atuação de meios que depurassem os parâmetros dos controladores adicionais para se

fornecer amortecimento ao sistema elétrico de potência.

De maneira geral, os estudos realizados mostraram a viabilidade de se utilizar um


86

modelo mais sofisticado para o dispositivo STATCOM, mesmo que se torne mais complicada

a realização de simulações, devido a um número maior de variáveis de controle (no modelo

simplificado existe apenas a variável Is, enquanto que no modelo detalhado, ocorrem as

variáveis “c” e “Ψ”.

Como sugestão para trabalhos futuros pode-se citar a utilização de controladores mais

sofisticados (por exemplo, os do tipo POD (Power Oscillation Damping)) para introdução de

amortecimento adicional ao sistema elétrico de potência.

Decorrência imediata da utilização de controladores mais elaborados é o ajuste de seus

parâmetros, de forma a tornar o seu desempenho mais robusto. Para isto poderiam ser

utilizados métodos de otimização e/ou redes neurais combinadas com lógica fuzzy.

Outra frente de estudos seria o ajuste coordenado de parâmetros de controladores do

tipo PSS (Power System Stabilizer) e POD, quando o sistema elétrico de potência estiver

equipado com dispositivos FACTS STATCOM.

RReeffeerrêênncciiaass

87

Referências

ABIDO, M. A. Analysis and assessment of STATCOM-based damping stabilizers for power

system stability enhancement. International Journal of Electric Power and Energy

Systems, London, v. 73, n. 2, p. 177-185, 2005.

ANDERSON, P.; FOUAD, A. A. Power system control and stability. 2.ed. Iowa: Iowa

State University Press, 2003. 568p. (IEEE Power System Engineering Series).

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AAppêênnddiiccee II

95

Apêndice I

Matriz de Transformação de Coordenadas

Considere dois sistemas de coordenadas distintos, conforme Figura A.I.1, onde tem-se

um sistema fixo, determinado pelos eixos real (r) e imaginário (m), e outro rotativo,

determinado pelos eixos direto (d) e em quadratura (q).

m q qm q δ dr qr r δ dm d d

Figura A.I.1 – Sistemas de coordenadas r,m e d,q

Da Figura A.I.1 pode-se expressar uma grandeza sobre o eixo real (r), como na

expressão (A.I.1).

rqrdr += (A.I.1)

De maneira semelhante para uma grandeza no eixo imaginário (m), tem-se a equação

(A.I.2).

AAppêênnddiiccee II

96

mqmdm +−= (A.I.2)

Da Figura A.I.1 também podem ser obtidas as relações trigonométricas de interesse,

descritas pelas equações (A.I.3).

d

dsen

dmd

cos

q

qsen

qrq

cos

r

m

=δ

=δ

=δ

=δ

(A.I.3)

Através de substituições pertinentes, pode ser escrito o sistema matricial que

transforma uma grandeza representada no sistema de coordenadas (r,m), para o sistema de

coordenadas (d,q) (equação A.I.4).

=

δδ−δδ

=

−

q

dT

q

d

sencos

cossen

m

r 1 (A.I.4)

De maneira similar, obtém-se a transformada inversa entre os sistemas de coordenadas

(d,q) e (r,m) (equação A.I.5).

=

δδδ−δ

=

m

rT

m

r

sencos

cossen

q

d (A.I.5)

AAppêênnddiiccee II II

97

Apêndice II

Dados do Sistema Multimáquinas Utilizado

Sistema Simétrico de Duas Áreas

O diagrama unifilar do sistema simétrico de duas áreas é dado pela Figura A.II.1. Os

dados reproduzidos nas Tabelas A.II.1- A.II.4 podem ser encontrados em (KUNDUR, 1994).

Figura A.II.1 – Sistemas Multimáquinas de Duas Áreas


98

Tabela A.II.1 – Dados das Máquinas Geradoras

G1 G2 G3 G4

x’d (pu) 0,033 0,033 0,033 0,033

xq (pu) 0,19 0,19 0,19 0,19

xd (pu) 0,2 0,2 0,2 0,2

H (s) 54 54 63 63

D (pu) 0,1 0,1 0,1 0,1

T’ do (s) 8 8 8 8

Tabela A.II.2 – Dados dos Reguladores Automáticos de Tensão

Variável G1 G2 G3 G4

Kr (pu) 200 200 200 200

Tr (pu) 0,001 0,001 0,001 0,001

Tabela A.II.3 – Dados das Linhas de Transmissão

Barra Inicial Barra Final R (pu) X (pu) B (pu)

1 5 0,001 0,012 -

2 6 0,001 0,012 -

7 8 0,022 0,22 0,33

7 8 0,022 0,22 0,33

7 8 0,022 0,22 0,33

6 7 0,002 0,02 0,03

6 7 0,002 0,02 0,03

4 10 0,001 0,012 -

3 9 0,001 0,012 -

9 8 0,002 0,02 0,03

9 8 0,002 0,02 0,03

5 6 0,005 0,05 0,075

5 6 0,005 0,05 0,075

10 9 0,005 0,05 0,075

10 9 0,005 0,05 0,075


99

Tabela A.II.4 – Dados das Barras - Caso Base.

Barra V (pu) Ang. (graus) PG (MW) QG (MVAr)

PL (MW) QL

(MVAr)

1 1,0 8,683 700,00 195,97 - -

2 1,0 -2,088 700,00 505,25 - -

3 1,0 -11,92 700,00 601,55 - -

4 1,0 0 743,69 236,08 - -

5 0,973 3,846 - - - -

6 0,936 -6,928 - - - -

7 0,886 -16,16 - - 1159 212

8 0,865 -26,57 - - 1575 288

9 0,924 -16,76 - - - -

10 0,968 -5,149 - - - -

Tabela A.II.5 – Dados dos Controladores.

Is Vs c Ψ Vdc Ccc xsdt Tc Kc Kp Ks K Ψ TΨ

Modelo simplificado

0,5 1,8 - - - - - 200 0,01 1 1 - -

Modelo detalhado

- - 64 10 0,6 1,0 0,9 200 0,01 - - 150 0,01

AAnneexxoo

100

Anexo

Artigos Publicados e Submetido

PUPIN, Carlos Eduardo; PINA, Aline Petean; ARAUJO, Percival Bueno de. Estudo da

Estabilidade a Pequenas Perturbações com a Atuação do Dispositivo FACTS SSSC em

Sistemas Multimáquinas. In: 8TH Brazilian Conference on Dynamics, Control and

Applications (DINCON’09), 2009, Bauru-SP, SP. 2009, p. 1-2, ISBN 978-85-86883-45-3.

PUPIN, Carlos Eduardo; PINA, Aline Petean; ARAUJO, Percival Bueno de. Atuação do

SSSC na Estabilidade a Pequenas Perturbações de Sistemas Multimáquinas. In: VII

Conferência Brasileira sobre Qualidade de Energia Elétrica (VII CBQEEE), Blumenar-SC.

Anais da VII Conferência Brasileira sobre Qualidade de Energia Elétrica (VII CBQEEE)

2009, paper n. 115, p. 01-06. (Cd-rom).

PINA, Aline P.; ARAUJO, Percival B.; MEDINA, Augusto C. R. Small-signal Stability of

Multi-machines Power Systems Using the SSSC FACTS Device. In: REVISTA DE LA

FACULTAD DE MINAS – UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBI A, Sede

Medellín, 2010. (Submetido)

Documents

COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DO DISPOSITIVO FACTS … · Figura 3.9 – Sistema Elétrico com um STATCOM (Modelo Detalhado) em Operação. . . . . 58 ... Qkm – Fluxo de potência