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Cálculo Avançado A - Números Complexos

1

LISTA DE EXERCÍCIOS DE NÚMEROS COMPLEXOS

1) Efetue as operações:

a) ( ) ( ) ( ) j1 j2 j1 −−+ b) j13

j1352

j32

j812 ++−

+c)

( )2 j1

j1

−

+

d)( )

( ) jzIm

zRe je)

( )( )

2

j35 j41

34

+−

f) ( )16 j1 −

2) Calcule as seguintes expressões:

a) ( )( )( )3 j2 j6 j43 −++

b) ( )( )

j64

j73 j1

+++

c)

( )( )

j67

1

j24

j24 j76

+−

+−+

3) Calcule as seguintes expressões usando a forma polar:

a) j333 j232 −+ b) j232

j388

+

+

c) ) j33(12

sin j12

cos2 +

π+

πd)

2

j22

j344

++

e) ( ) j j − f)

−−

+− j3

6

1

6

13

2

3 j

2

3g)

23

21 j

1

+−−

4) Calcule:

a)( )53 j44 + b) ( )6 j232 +

c)

6

j10310

j55

+

+d)

3

j66

j636−

++

5) Calcule as seguintes expressões:

a) 3 8z −= b) 3 jz −=

6) Encontre todas as raízes de 0192z3 6 =+ .

7) Encontre todos os valores reais de x de forma que ωseja um número imaginário puro, onde

( ) ( ) ). j43x( jx −+−=ω

8) Se 0a ≠ , b e c são números complexos, mostre, por substituição direta, que a equação

quadrática 0cbzaz 2 =++ é verificada por: .a2

ac4bbz

2 −+−=




2

9) Usando a fórmula acima, resolva a equação:

a) 03zj2z2 =++ , b) 0 j10z3 jz2 =+− ,

c) 016z17z 48 =+− , d) 03z2 jz2 =+− .

10) Encontre o valor de z tal que( )

( ) ( ) ( ).

j3 j2 j1

j22 j5z

−−−+=

11) Sendo22

22 j+ uma das raízes quartas de um número, determine as outras três.

12) Encontre todas as soluções complexas possíveis para as equações abaixo:

a) 0 je5 jz =+ b) ( ) 0 jzz j1z 35 =−−−

c) ( ) 03 jzhsen =+ d) 0z8z7z 47 =−−

e) ( ) ( ) 0z2cosh3z2senh =+ f) 0 j64z3 =+

g) 0 jee zz3 =+ − h) 08z7z 36 =−+

i) 0zsenh2zcosh =+ j) ( 064ze 62z =+−

k) 01e 3z =−− l) 0z729z 7 =+

m) 02z3z 24 =+− n) 0e je zz5 =+ −

o) ( )

( )( )08z jz j2z 32 =−−−+ p) 081z 4 =+

q) 0e2)zcosh( z =+ r) 01e3 1z2 =−−

13) Determine o módulo e o argumento de jzz42

e − .

14) Encontre ( ).zsenhRe

15) Encontre .eIm2z

16) Encontre Re(cosh z).

17) Encontre .eIm z / 1 :

18) Seja x um número real e w um número complexo. Encontre os valores reais de x e os valores

correspondentes de w de forma que ( ) ( )[ ] j43x jxw −+−= seja um número real.

Respostas:

Exercício 1: a) 24 − ; b) 1; c) j2

1

2

1+− ; d) j e) 2 ; f) 256 .

Exercício 2: a) 35; b) 2 ; c) 1.




3

Exercício 3: a) j12312 − ; b) j232 + ; c) ( )3 j123 + ; d) j434 + ; e) 1; f) 1; g) 3 j2

1

2

1+ .

Exercício 4: a) 3 j1638416384 − ; b) –4096; c) j512

1; d) j

4

1

4

1+ .

Exercício 5: a) ;3 j1z,2z,3 j1z 210 −=−=+= b) .2 j

23z,

23z, jz 22

j10 −=−−==

Exercício 6: j3z, j2z, j3z, j3z, j2z, j3z 543210 −=−=−−=+−==+= .

Exercício 7: .4xou1x −==

Exercício 9: a) A solução é: 3zez −== ; b) A solução é: j5ze2z −== ; c) A solução

é: z,1z,2z,2z ±=±=±=±= ; d) j12

6

2

2z, j1

2

6

2

2z

+−

−=

−+= .

Exercício 10: 1z −−= .

Exercício 11: 2

2

j2

2

z,2

2

j2

2

z,2

2

j2

2

z −=−−=+−= .

Exercício 12: a) 5ln jk 22

3z +π+

π= ; b) 1z,

2

2 j

2

2z,0z ±=

−±== ; c) 3k z +π= ;

d)2

3 j

2

1z,1z, j31z,2z,0z ±=−=±−=== ; e)

π

+π

+−=2

k

4 j2ln

4

1z ;

f) j232z, j4z −±== ; g)

π

+π

=2

k

8

3 jz ; h) 3 j1z,2z,

2

3 j

2

1z,1z ±=−=±−== ;

i) jk 3nl2

1z π+−= ; j) j2z, j3z, j3z ±=±−=±= ; k) π+= k 23z ;

l) ( ) ( ) j3z, j32

3z, j3

2

3z,0z ±=±−=±== ; m) 1z,2z ±=±= ; n)

π

+π

=3

k

4 jz ;

o)2

3

2

j1z, j31z,2z ±+−=±−== ; p) ( ) j1

2

23z ±±= ; q) π

+

+−=2

1k 2 j5lnz ;

r) π+−

= jk 2

3ln1z .

Exercício 13: yy4x4 jzz4 222

ee+−− = ; xxy8earg

jzz4 2

−=

− .

Exercício 14: ycosxsenh .

Exercício 15: ( )xy2sene22 yx − .

Exercício 16: ycosxcosh .

Exercício 17:

+

−+22 yx

ysene

2y

2x

x

.

Exercício 18:25

136,

5

3x −=ω−= .

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