Comprimento, Área e Volume

MEDIDAS DE COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, VOLUME, CAPACIDADE, MASSA E TEMPO. SISTEMA LEGAL DE UNIDADES DE MEDIDA.

Medir uma quantidade é compará-la com uma unidade de medida para se saber quantas vezes a quantidade contém a unidade.

Sistema Métrico decimal: é o sistema de medidas cujas unidades guardam entre si a relação que têm as potências de 10.

UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

Sua unidade fundamental é o Metro Linear, cujo símbolo é m, que possui múltiplos (unidades maiores que o metro) e submúltiplos (unidades menores que o metro), cujos nomes, símbolos e valores são:

Nomes Símbolos Valores

MúltiplosQuilômetro km 1.000 mHectômetro hm 100 mDecâmetro dam 10 m

Unidade Fundamental Metro m 1 m

SubmúltiplosDecímetro dm 0,1 mCentímetro cm 0,01 mMilímetro mm 0,001 m

Observe que qualquer das unidades é sempre 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 10 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADEPassagem para unidade menor: como os múltiplos e submúltiplos do metro marcam de 10 em 10, para se

passar de uma certa unidade para outra que lhe seja menor, desloca-se a vírgula para a direita, tantas casas decimais quantos são os espaços que separam as duas unidades na escala:

Reduzir 45,891 hm em m

Devemos deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita.Então: 45,892 hm = 4.589,2 m

Passagem para unidade maior: a passagem de uma unidade menor para outra maior é feita deslocando-se a vírgula para a esquerda. Exemplo:

Reduzir 67,8 dm em hm

1

km hm dam m dm cm mm

4 5, 8 9 24 5 8 9, 2

km hm dam m dm cm mm

6 7, 80, 0 6 7 8

4 cm1 cm

2 cm 2 cm

5 cm

Altura = h

Base = b

Altura = h

Base = b

Devemos deslocar a vírgula três casas decimais para a esquerda, tomando o cuidado de completar, com zero, as casas vazias.

Então: 67,8 dm = 0,0678 hm

PERÍMETRO DE UMA FIGURA (POLÍGONO QUALQUER)

É igual à soma das medidas de todos os seus lados e é indicado pela letra P.Então, o perímetro do polígono ao lado é:

P = 5 cm + 2 cm + 1 cm + 4 cm + 2 cm = 14 cm

PERÍMETRO DO RETÂNGULO

É igual a soma dos produtos das bases e das alturas.

PERÍMETRO DE POLÍGONOS REGULARES

Um polígono é regular quando todos os seus lados são iguais. Chamando de l a medida de cada um de seus lados. Temos:

Exemplos:

1) Num retângulo, a base mede 24 cm e a altura é igual a 2/3 da base. Calcular o perímetro.

Dados:

Altura = Base = 24 cm

2) Um octógono regular tem 3,8 m de lado. Qual é seu perímetro?

Dados:

2

A BO

L = 3,8 m

3) O perímetro de um pentágono regular é 1,4m. Quanto mede o seu lado?

Dados:P = 1,4 m

COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Vamos destacar os seguintes elementos da circunferência:

Indicando por “r” a medida do raio e por “d” a medida do diâmetro, é fácil observar que:Medida do diâmetro = 2 x medida do raio

Como uma circunferência não tem lados, o seu perímetro é chamado comprimento da circunferência, que é indicado pela letra C e pode ser calculado assim:

Dividindo-se o comprimento C da circunferência pela medida do seu diâmetro “d”, obtém-se sempre como quociente aproximado e constante o número 3,14.

Então temos que:

Costuma-se representar o número 3,14 pela letra grega (lê-se pi).

Logo, podemos escrever que: , e como , vem: (fórmula que nos permite calcular o comprimento de uma circunferência, sendo conhecido o seu raio). Exemplos:

1) Qual é a medida do contorno de um aquário de forma circular, cujo diâmetro mede 8 m?

Dados:d = 8m

2) O comprimento de uma circunferência é 0,628 m. Calcule, em cm, a medida do seu raio.

Dados:C = 0,628 m

3

A B

EXERCÍCIOS

Transformar em m:

Transformar em dam:

Transformar em mm:

Calcular o valor das expressões, dando o resultado em m:

Resolver:

18) um retângulo tem 100 cm de perímetro. Sua base mede o triplo da medida da altura. Qual é a medida da altura desse retângulo?

19) Um triângulo eqüilátero tem 42 dm de lado. Qual é seu perímetro?

Testes:

20) Para cercar um terreno retangular de 10 m de frente por 20 m de fundo com 3 fios de arame, são necessários quantos metros de arame:

a) 180 m b) 120 m c) 90 m d) 60 m

21) Uma circunferência tem 8 m de diâmetro. Então, seu comprimento é:

a) 50,24 m b) 25,12 m c) 12,56 m d) 6,28 m

UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE (ÁREA)

4

Para medir superfícies ou áreas, adota-se como unidade fundamental o metro quadrado que corresponde à área de um quadrado de 1m de lado, cujo símbolo é m² (lê-se metro quadrado). Seus múltiplos, submúltiplos, nomes, símbolos e valores, são:


MúltiplosQuilômetro Quadrado km² 1.000.000 m²Hectômetro Quadrado hm² 10.000 m²Decâmetro Quadrado dam² 100 m²

Unidade Fundamental Metro Quadrado m² 1 m²

SubmúltiplosDecímetro Quadrado dm² 0,01 m²Centímetro Quadrado cm² 0,0001 m²

Milímetro Quadrado mm² 0,000001 m²

Note-se que qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior ou 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADEComo os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado variam de 100 em 100, a mudança de unidade é feita,

deslocando-se a vírgula de duas em duas casas decimais para a direita ou para a esquerda, conforme a mudança seja para uma unidade menor ou maior, e completando com zeros, caso faltem algarismos. Exemplos:

Converter 2,9358 dam² em m²

Como: dam² - m²

Converte 52,36 cm² em dam²

Como: dam² - m² - dm² - cm²

UNIDADES DE MEDIDAS AGRÁRIAS

São usadas para medir a superfície de terrenos como sítios, fazendas, etc. A unidade agrária fundamental é o Are, cujo símbolo é “a” e é igual ao decâmetro quadrado, valendo portanto, 100 metros quadrados. Possui apenas um múltiplo e apenas um submúltiplo, cujos nomes, símbolos e valores são:

Nomes Símbolos ValoresMúltiplo Hectare ha 100 a = 1 hm² = 10.000 m²

5

2

Devemos deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita.Então: 2,9358 dam² = 293,58 m²

Devemos deslocar a vírgula seis casas decimais para a esquerda.Então: 52,36 cm² = 0,00005236 dam²

2

6 4

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

2, 9 3 5 8

2 9 3, 5 8

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

5 2, 3 6

0, 0 0 0 0 5 2 3 6

Base = b

Altura = h

Base = b

Altura = h

Unidade Fundamental Are a 1 a = 1 dam² = 100 m²

Submúltiplos Centiare ca 0,01 a = 1 m² = 1 m²

MUDANÇA DE UNIDADEÉ feita como nas unidade de superfície, observando-se as correspondências constantes do quadro acima, ou

seja, de duas em duas casas decimais para a direita ou esquerda, conforme a mudança seja para uma unidade menor ou maior.

A escala é: ha – a – ca.

Exemplos:

1) Transformar 5 há em m² 5 ha = 50000 ca = 50000 m²

2) Transformar 2500 m² em ha2500 m² = 2500 ca = 0,25 ha

3) Transformar 15, 25 a em m²15,25 a = 1525 ca = 1525 m²

4) Transformar 1348 m² em a1348 m² = 1348 ca = 13, 48 a

ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

A medida de uma superfície é chamada área. Para calculá-la usa-se expressões denominadas fórmulas, que traduzem as regras que devem ser aplicadas na medição indireta das figuras geométricas.

As fórmulas das áreas das principais figuras planas são:

ÁREA DO QUADRADO E DO RETÂNGULO:A área do quadrado é igual ao quadrado do lado e a área do retângulo é igual ao produto da base pela altura.

ÁREA DO PARALELOGRAMO:É o igual ao produto da base pela altura.

ÁREA DO TRIÂNGULO:É igual a metade do produto da base pela altura.

6

l

l

l

Altura = h

Base = b

Base maior = B

Altura = h

Base menor = b

d

D

lado

a

r

ÁREA DO TRAPÉZIO:É igual ao produto da semi-soma das bases pela altura.

ÁREA DO LOSANGO:É igual ao semi-produto das diagonais.

Diagonal maior = DDiagonal menor = d

ÁREA DO POLÍGONO REGULAR:É igual ao produto do semi-perímetro pelo apótema.

Apótema = a

Perímetro: é a soma de todos os lados e é representado por P.Apótema: é a distância perpendicular do centro do polígono a qualquer lado e é representado por a.

ÁREA DO POLÍGONO IRREGULAR:A área de um Polígono Irregular é obtida dividindo o polígono dado em figuras de áreas conhecidas. A soma

dessas áreas será a área do polígono procurado.

ÁREA DO CÍRCULO:É igual ao produto de pelo quadrado do raio ( = 3,14).

Raio = r

7

PROBLEMAS DE APLICAÇÃO RESOLVIDOS

1) O perímetro de um quadrado é 60m. Qual é sua área?

Dados:P = 60 m

Resp.: A sua área é de 225 m².

2) Calcular a área de um retângulo sabendo-se que a sua base mede 12 cm e que a sua altura é igual a 1/3 da base.

Dados:b = 12 cm

Resp.: A área do retângulo é de 48 cm².

3) Um paralelogramo tem 1,5 cm de altura. A base é o triplo da altura. Qual é sua área?

Dados:h= 1,5 cm

Resp.: Sua área é de 6,75cm²

4) Num triângulo a área é 12m². A base mede 6m. Qual é sua altura?

Dados:A = 12 m²B = 6 m

Resposta: a altura é de 4m.

5) A base maior de um trapézio é igual ao triplo da base menor, e esta mede 60 cm. Sabendo-se que a altura é 0,75m. Calcular em dm² a sua área

Dados:b = 60 cm = 6 dmB = 3 x 6 dm = 18 dmh = 0,75 m = 7,5 dm

Resposta: a área pedida é de 90 dm².

6) Num losango, a diagonal maior mede 30 dm. A diagonal menor é 2/3 da diagonal maior. Qual é sua área?8

Dados:D = 30 dm

Resposta: A área é de 300 dm².

7) Qual é a área do pentágono regular cujo lado mede 6m e apótema 2,4 m?

Dados:L = 6 ma = 2,4 m

Resposta: a área desse pentágono é de 36 m².

8) O diâmetro de um círculo é 1m. Qual é sua área?

Dados:d = 1mr = 0,5 m = 3.14

Resposta: Sua área é de 0,785 m².

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER

Transformar em m²:

Transformar em cm²:

Transformar em km²:

Transformar em ares:

Calcular o valor das expressões, dando o resultado em m²:

Resolver o problemas:

24) Calcular a base do paralelogramo cuja área é 4,8336 dm² e a altura é 1,52 dm.

25) Qual é a área do triângulo cuja base mede 2,16 m e a altura é 1/3 da base?26) A área de um losango mede 2,565 dm² e uma de suas diagonais tem 2,7 dm. Quanto mede a outra

diagonal?

9

1m1m

1m

27) A base maior de um trapézio mede 2,4 m e a menor é igual a 1/3 da maior. Qual é a sua área, em m², sabendo-se que a altura mede 8,5 dm?

28) Qual é a área do círculo cujo diâmetro mede 3,6 m?

29) O lado de um quadrado mede 2,5 m. qual é, em ares, a sua área?

30) Qual é, em hectares, a área do retângulo cujas dimensões são 17,7 m e 5,2 dam?

31) A base de um paralelogramo mede 60 hm e a altura 7 hm. Qual é, em hectares, a sua área?

32) O comprimento de uma circunferência é 25,12 cm, qual é a área do círculo determinado por essa circunferência?

33) Quantos ladrilhos quadrados de 12 cm de lado são necessários paraa ladrilhar uma cozinha de 3,6 m por 2,4 m?

34) Quantos azulejos de 20 cm por 15 cm são necessários para azulejar uma parede de 3,6 m por 3 m?

Testes:

35) A unidade fundamental de superfície é o:

36) Um hectare é igual a:

37) A área de um círculo é dada pela fórmula?

38) Uma superfície de 2,7 km² é igual a:

39) As diagonais de um losango medem 1,30 m e 80 cm. Sua área é:

40) Um quadrado tem 68 cm de perímetro. Qual é sua área?

UNIDADES DE MEDIDAS DE VOLUME

Para medir o volume que um corpo qualquer ocupa no espaço, usa-se como unidade fundamental o Metro Cúbico, que é o volume de um cubo que tem 1m de aresta, o símbolo é m³ (lê-se: metro cúbico) e seus múltiplos, nomes, símbolos e valores são:

10


MúltiplosQuilômetro Cúbico km³ 1.000.000.000 m³Hectômetro Cúbico hm³ 1000.000 m³Decâmetro Cúbico dam³ 1000 m³

Unidade Fundamental Metro Cúbico m³ 1 m³

SubmúltiplosDecímetro Cúbico dm³ 0,001 m³Centímetro Cúbico cm³ 0,000001 m³

Milímetro Cúbico mm³ 0,000000001 m³

Note-se que, cada unidade de volume é sempre 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior ou 1.000 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADEComo os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico variam de 1.000 em 1.000, a mudança de unidade é feita

deslocando-se a vírgula de três em três casas decimais para a direita ou para a esquerda, conforme se passa para uma unidade menor ou maior, completando com zeros, caso faltem algarismos. Exemplos:

Converter 4,936hm³ em m³

Como: hm³ - dam³ - m³

Converter 15mm³ em dm³

Como: dm³ - cm³ - mm³

VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDO GEOMÉTRICOS

É obtido indiretamente com o auxílio de fórmulas que indicam as operações que devem ser efetuadas em cada caso.

As fórmulas dos volumes dos principais sólidos geométricos são:

VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULOÉ igual ao produto de suas três dimensões, indicando por: a = comprimento, b = largura e c = altura, temos:

11

Deslocamos a vírgula seis casas decimais para a direita.Então: 4,936hm³ = 4.936.000m³

Deslocamos a vírgula seis casas decimais para a esquerda.Então: 15mm³ = 0,000015 dm³

36

63

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

4, 9 3 6

4 9 3 6 0 0 0,

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

1 5

0, 0 0 0 0 1 5

Exemplo: Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é 12 cm: a largura é a terça parte do comprimento e a altura é

o dobro da largura. Qual é o seu volume em m³?

Dados:a= 12 cm

b = c = 2.4cm = 8 cm

VOLUME DO CUBOÉ igual ao cubo de sua aresta x aresta, é a medida do lado do quadrado de cada uma das fazes do cubo e é

representado por a.

Exemplo: Uma caixa cúbica tem 5 m de aresta, internamente. Qual o volume de areia que pode receber?

Dados:A = 5 m

Resposta: pode receber 125 m³ de areia.

VOLUME DOS PRISMAS RETOSÉ igual ao produto da medida da área da base pela medida da altura do prisma.

Exemplo: A base de um prisma reto é um hexágono regular de 4 cm de largura e 2,5 cm de apótema. Se a altura do

prisma é 7 cm, qual é seu volume?Dados da basel = 4 cmP = 6.4cm = 24 cma = 2,5 cm

12

Dados do prisma A base = 30 cm²h = 7 cm

VOLUME DAS PIRÂMIDES RETASÉ igual à terça parte do produto da medida da área da base pela medida da altura da pirâmide.

Exemplo:A base de uma pirâmide reta é um triângulo eqüilátero de lado 10,2cm e de apótema 3 cm. Se a altura da

pirâmide é 5 cm, qual é o seu volume?

Dados da base:l = 10,2cma =3cm

Dados da Pirâmide:A base = 45,9cm²H = 5 cm

VOLUME DO CILINDROÉ igual ao produto da medida da área da base pela medida da altura do cilindro.

Lembre-se que a área da base do cilindro é um círculo, cuja área é .r² e = 3,14.Exemplo: O tanque de gasolina de um automóvel tem a forma cilíndrica, com 20 cm de raio na base e 75 cm

de comprimento (altura). Qual o volume de gasolina que pode conter, quando cheio?

Dados:r = 20 cm = 3,14h = 75 cm

VOLUME DO CONEÉ igual à terça parte do produto da medida da área da base pela medida da altura do cone.

13

Lembre-se que a base do cone também é um circulo, cuja área é .r².

Exemplo: um funil cônico tem um raio de 10 cm e uma altura de 12 cm. Qual o volume de líquido que esse funil pode conter, no máximo?

Dados:R = 10 cm = 3,14H = 12 cm

VOLUME DA ESFERAÉ igual ¾ do produto de “pi” pela medida do cubo do raio da esfera.

Exemplo: Qual é o volume de uma esfera cujo diâmetro é 8 dm?

Dados:d= 8 dmr = 8 dm : 2 = 4 dm = 3,14

Resposta: o volume é de 267,946 dm³, aproximadamente.


Calcule o valor das expressões, dando o resultado em dm³:

Resolva os problemas:

3) O perímetro de uma das faces de um cubo é 1 dam. Calcular, em m³, o seu volume.

4) O diâmetro de uma esfera mede 12 dm. Calcular, em m³, o seu volume.

14

5) A base de um prisma é um trapézio cujas bases medem respectivamente 12 dm e 8 dm e a alturas 5 dm. A altura do prisma é igual a 28 dm. Calcular o seu volume.

6) Determinar o volume de um cone de 10 dm de altura, sabendo-se que a circunferência de sua base mede 28,26 dm.

7) As dimensões de uma árvore jequitibá, de forma cilíndrica, são: altura 15 m e raio de base 0,70 m. sabendo-se que o m³ dessa árvore foi vendido a R$ 90,00 pergunta-se quanto rendeu toda a árvore?

8) Um vagão de estrada de ferro medindo 18 m de comprimento por 3 m de largura e 2,5 m de altura está cheio de areia. Qual o preço total do transporte dessa areia, se o preço do transporte de 1/3 de m³ de areia custa R$ 0,30?

Testes:

9) Qual é o volume de um cilindro de 10 m de altura e 3m de raio?

10) Uma caixa d’água de forma cúbica, tem 0,80 m de aresta. O volume de água que ela conterá quando esti ver com ¾ de sua capacidade total, será:

11) Um aquário tem base quadrada com 30 cm de lado. Colocando-se um objeto no seu interior, a água sobe 2 cm. O volume desse objeto é:

UNIDADES DE MEDIDA DE CAPACIDADE

Quando um líquido é colocado num recipiente qualquer, toma a forma desse recipiente e o volume do espaço interno que pode ser ocupado por líquidos ou grãos, chama-se capacidade.

Para medir capacidade, usa-se como unidade fundamental o litro, cujo símbolo é l, e é a medida do volume de um cubo de 1 dm de aresta, ou seja, 1l = 1 dm³.

Os múltiplos, submúltiplos, nomes, símbolos e valores do litro, são: Nomes Símbolos Valores

MúltiplosQuilolitro kl 1.000 lHectolitro hl 1000 lDecalitro dal 10 l

Unidade Fundamental Litro l 1 l

SubmúltiplosDecilitro dl 0,1 lCentilitro cl 0,01 lMililitro ml 0,001 l

Note-se que cada unidade de medida de capacidade é 10 vezes maior que a que lhe é imediatamente inferior ou 10 vezes menor que a que lhe é imediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADEComo os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que a mudança de unidade é

feita como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se a vírgula de uma em uma casa decimal para a direita ou esquerda.

15

Exemplos:

Converter 3,953 hl em l

Como hl – dal – l Então: 3,953 hl =395,3 l

Converter 43 dl em dal

Como hl – l – dal Então: 43 dl = 0,43 dal

CORRESPONDÊNCIAS ENTRE AS UNIDADES DE VOLUME

1l = 1 dm³1 dal = 10l = 10 dm³1 hl = 100l = 100 dm³1 kl = 1000l = 1000 dm³ = 1 m³1 dl = 0,1l = 0,1 dm³1 cl = 0,01l = 0,01 dm³1 ml = 0,001l = 0,001 dm³ = 1 cm³

PESO E MASSASão termos de conceitos distintos, pois o que habitualmente chamamos peso de um corpo, é, na realidade, a

massa, pois:

PESO DE UM CORPOÉ a força com que esse corpo é atraído para o centro da Terra, e como essa força de atração não é a mesma

para todos os lugares da Terra, então o peso de um corpo varia de acordo com o local da Terra em que ele se encontra. Quando nós pensamos, estamos medindo a massa do nosso corpo e não o peso.

MASSA DE UM CORPOÉ a quantidade de matéria que esse corpo possui e é sempre a mesma em qualquer lugar da Terra, ou fora

dela, portanto a massa de um corpo não varia e a medida da massa é obtida pelas balanças.

UNIDADES DE MEDIDA DE MASSAA unidade fundamental para medir a massa de um corpo é o quilograma, cujo símbolo e kg, que é a massa de

um decímetro cúbico de água destilada à temperatura de 4°C, mas, apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, na prática, usa-se o grama como unidade principal de massa, cujo símbolo é g e é a milésima parte do quilograma, a partir do qual se constroem os múltiplos, submúltiplos, nomes, símbolos e valores, que são:

Nomes Símbolos ValoresQuilograma kg 1.000 g

16

1 2

12

kl hl dal l dl cl ml

3, 9 5 33 9 5, 3

kl hl dal l dl cl ml

4 30, 4 3

MúltiplosHectograma hg 1000 gDecagrama dag 10 g

Unidade Fundamental Grama g 1 g

SubmúltiplosDecigrama dg 0,1 gCentigrama cg 0,01 gMiligrama mg 0,001 g

MUDANÇA DE UNIDADEComo também os múltiplos e submúltiplos do grama variam de 10 em 10, conclui-se que a mudança de

unidade é feita da mesma forma que nas medidas de comprimento.Então, por exemplo: 4,32 dag = 432 dg , 5 mg = 0,005 g

UNIDADES ESPECIAIS DE MASSA

Tonelada (t) = 1.000 kg = 1.000.000 gMegaton = 1.000 t = 1.000.000 kgQuintal = 100 kg = 100.000gQuilate = 0,2 g

As três primeiras são empregadas nas medidas das grandes massas, e a última (quilate) é utilizada nas medidas de metais e pedras preciosas.

RELAÇÃO IMPORTANTEConsiderando as definições de litro e de quilograma, pose-se estabelecer para água destilada à temperatura

de 4°C o seguinte quadro de correspondência entre as unidades de volume, capacidade e massa.


Calcular as expressões, dando o resultado em litros:

Calcular a Expressão, dando o resultado em gramas?

Resolver os problemas:4) Qual é a capacidade, em litros, de um recipiente cúbico de 5 cm de aresta?

5) Na Festa da Cerveja, foram vendidas canecas de forma cilíndrica com as dimensões internas 12 cm de altura 5 cm de diâmetro. Qual é a capacidade de casa caneca?

6) Uma pedra preciosa tem 30 quilates. Qual é o seu preço se cada grama custa R$ 125,00?

7) Um caminhão carregado de açúcar está pesando 28.580 kg. Vazio, ele pesa 8.500 kg. Quantos sacos de 50,2 kg ele está transportando?

17

Volume Capacidade Massa1m³1dm³1cm³

1kl1l

1ml

1t1kg1g

8) Uma tonelada de cana-de-açucar produz 135 kg de açúcar. Para produzir 180 sacos de 50,4 kg de açúcar, quantas toneladas de cana são necessárias?

Testes:

9) Uma piscina tem 12 m de comprimento, 5 m de largura e 1,80 m de profundidade. Sua capacidade é de:

10) 10 m³ de certo produto serão colocados em frascos de 8 cl. Então, quantos frascos serão necessários?

11) Dois quilos equivale a:

SISTEMAS DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS(NÚMEROS COMPLEXOS)

Se num sistema de medir, a unidade fundamental e as unidades secundárias não estão ligadas por relação decimal, o sistema é chamado não decimal ou complexo.

Então, número complexo é aquele que representa a medida de uma grandeza num sistema complexo e é formado de duas ou mais unidades da mesma espécie e que não são ligadas por relações decimais, como por exemplo:

a) 32 graus, 26 minutos e 10 segundos.b) 8 horas, 35 minutos e 20 segundos.

Os números complexos mais comuns são provenientes das medidas de prazos ou intervalos de tempo, das medidas de ângulos e das grandezas referidas ao sistema inglês de pesos e medidas. Trataremos somente das medidas de tempo.

UNIDADES DE MEDIDAS DE TEMPOSua unidade fundamenta é o segundo, cujo símbolo é s ou seg, que corresponde ao intervalo de tempo igual à

fração 1/86.400 do dia solar médio, definido de acordo com as convenções de Astronomia.

As unidades secundárias se apresentam todas como submúltiplos e seus nome, símbolos e valores, são:

Nome Símbolo ValorSegundo s ou seg 1 segMinuto m ou min 60 segHora h 3.600 segDia d 86.400 seg

Mês comercial me 30 dAno comercial a 360 d

As relações entre essas unidades são:

1 a = 12 me = 360 d = 8.640 h1 me = 30 d = 720 h = 43.200 mim1 d = 24 h = 1.440 mim = 86.400 seg1 h = 60 mim = 3.600 seg1 mim = 60 seg

18

24 h x 4 ( 1 )

96 h + 5 h ( 2 )

101 h x 60

6060 min + 25 min ( 3 )

6085 min x 60

365100 seg

+ 10 seg

365110 seg

365110 seg 60 0511 6085 min

310

10 seg

Além das unidades constantes do quadro acima, são também usuais as unidades: semana (7 d); quinzena (15 d); bimestre (2 me); trimestre (3 me); semestre (6 me); lustro (5 a); década (10 a) e século (100 a).

A representação do número complexo que indica unidades de tempo é feita escrevendo-se, em ordem decrescentes do valor, os números correspondentes às diversas unidades. Acompanhadas dos respectivos símbolos.

Exemplo: 8 a 3 me 15 d 13 h 28 mim 16 seg

MUDANÇA DE UNIDADEPodem acontecer dois tipos de problemas:

1.º) Transformação de medida complexa em medida simples (complexo a incomplexo).

Exemplo: exprimir 4 d 5 h 25 mim 10 seg em segundos

1. Transformando 4 dias em horas, temos: 4 x 24 h = 96 h. Essas 96 horas somadas às 5 h do número dado, vem: 96 h + 5 h = 101 h.

2. Transformando 101 h em minutos, termos: 101 h x 60 = 6060 mim. Somando esses 6060 min aos 25 min dados, vem: 6060 min + 25 min = 6085 min.

3. Transformando 6085 min em segundos, temos: 6085 min x 60 = 365100 seg. Finalmente, somando esses 365100 seg aos 10 seg do número dado, temos: 365100 seg + 10 seg = 365110 seg.

Então: 4 d 5 h 25 mim 10 seg = 365110 seg.

Na prática, dispões-se a operação da maneira indicada no quadro:

2.º) Transformação de medida simples em medida complexa (incomplexo a complexo).

Exemplo: exprimir 365.110 seg em número complexo.Extraímos do número dado as unidades imediatamente superiores; destas extraem-se as seguintes, e assim, sucessivamente até a última unidade possível de se extrair.

1. No exemplo dado, para obter a quantidade de minutos (unidade superior contida em 365.110 seg), devemos dividir 365.110 seg por 60 seg (1 mim = 60 seg). Temos então:

19

6085 min 600085 101 h 25 min

101 h 24 05 h 4 d

(1) 365110 seg 60 0511 (2) 6085 min 60 310 0085 (3) 101 h 24 10 seg 25 min 05 h 4d

O quociente intero dessa divisão (6085) dará a quantidade minutos que há em 365.110 seg e o resto (10), representa a quantidade de segundos do número complexo procurado.

2. para transformar 6085 min em horas (unidade superior), basta dividir 6085 min por 60 (1 h = 60 min). Temos então:

O quociente inteiro encontrado (101) é a quantidade de horas contidas em 365.110 seg e o resto (25) representa a quantidade de minutos do número complexo procurado.

3. Para transformar 101 h em dias (unidade superior), dividimos 101 h por 24 (1d = 24 h). Temos então:

O quociente inteiro encontrado (4) é a quantidade de dias contidos em 365.110 seg e o resto (5) representa a quantidade de horas do número complexo procurado.Como de 4 d não se pode extrair a unidade superior (1 me = 30 d), obtemos assim:365.110 seg = 4 d 5 h 25 mim 10 seg.

Na prática, dispõe-se a operação da seguinte maneira:

Tomando-se da direita para a esquerda, o último quociente e os restos das divisões anteriores, teremos: 365.110 seg = 4 d 5 h 25 mim 10 seg.

OPERAÇÃO COM MEDIDAS DE TEMPO

ADIÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPOObserva-se o seguinte critério:

1.º) Escreve-se as parcelas, uma debaixo da outra, de modo que as unidades da mesma espécie, fiquem na mesma coluna vertical e começa-se a operação pelas unidades de espécie menor.

2.º) Se a somo de cada coluna não der para perfazer uma unidade imediatamente superior, escrevem-se somo resultado as unidades achadas.

3.º) Se a soma de cada coluna der para perfazer unidades imediatamente superiores, far-se-á a transformação, escrevendo-se no resultado os restos e adicionando-se às colunas seguintes as unidades extraídas.

Exemplos:Calcular as somas:

20

25 d 15 h 10 min+ 2 h 18 min 10 seg 1 d 5 min 16 seg 26 d 17 h 33 min 26 seg

1 87 seg 6027 seg 1 min

116 min 60 56 min 1 h

41 h 2417 h 1 d

3

2

19 d 15 h 45 min+ 18 h 30 min 52 seg 7 h 40 min 35 seg 19 d 40 h 115 min 87 seg 1 d 1 h 1 min 27 seg 20 d 41 h 116 min 17 h 56 min 20 d 17 h 56 min 27 seg

3 2 1

25 d 17 h 40 min 32 seg 17 d 13 h 25 min 15 seg 8 d 4 h 15 min 17 seg

-

25 d 24 d 24 h 24 d 23 h 60 min 13 d 8 h 45 min 13 d 8 h 45 min 13 d 8 h 45 min 11 d 15 h 15 min

1 d = 24 h 1 h = 60 min

- - -

18 d 3 h 15 min 20 seg 12 d 10 h 32 min 45 seg



17 d 26 h 74 min 80 seg 12 d 10 h 32 min 45 seg 5 d 16 h 42 min 35 seg

-

-

1) (25 d 15 h 10 min) + (2 h 18 min 10 seg) + (1 d 5 min 16 seg)

2) (19 d 15 h 45 min) + (18 h 30 min 52 seg) + (7 h 40 min 35 seg)

SUBTRAÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPOObserva-se o seguinte critério:

1.º) Escreve-se o número menor debaixo do maior, de modo que as unidades da mesma espécie se correspondam na mesma coluna vertical, como na adição.

2.º) Começa-se a subtração pelas menores unidades, se as subtrações forem possíveis.

3.º) Se uma ou mais subtrações não forem possíveis, tomo-se emprestada uma unidade imediatamente superior e, depois de a reduzir em unidades da espécie seguinte, adiciona-se ao número menor e faz-se a subtração.

Exemplos:

Efetuar as subtrações:

1) (25 d 17 h 40 min 32 seg) – (17 d 13 h 25 min 15 seg)

2) 25 d – (13 d 8 h 45 min)

3) (18 d 3 h 15 min 20 seg) – (12 d 10 h 32 min 45 seg)

21

--

5 d 3 h 12 min 5 seg x 420 d 12 h 48 min 20 seg

15 d 7 h 13 min 45 seg x 8 120 d 56 h 104 min 360 seg 2 d 1 h 6 min 0 122 d 57 h 110 min4 me 2 d 9 h 50 min

122 d 30 57 h 24 110 min 60 360 seg 60 2 d 4 me 9 h 2 d 50 min 1 h 00 6 min

+ ++

MULTIPLICAÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPO POR NÚMERO NATURALObservar o seguinte critério:

1.º) Multiplica-se o número natural por cada uma das partes da medida de tempo.

2.º) Se o produto parcial de cada coluna não der para perfazer uma unidade imediatamente superior, escreve-se como resultado as unidades achadas.

3.º) Se o produto parcial de cada coluna der para perfazer unidades imediatamente superiores, extraem-se desses produtos as unidades superiores, adicionando-se aos produtos parciais seguintes.

Exemplos:Efetuar as multiplicações:

1) (5 d 3 h 12 min 5 seg) x 4

2) 8 x (15 d 7 h 13 min 45 seg)

DIVISÃO DE MEDIDAS DE TEMPO POR NÚMERO NATURALObserva-se o seguinte critério:

1.º) Divide-se cada parte da medida de tempo pelo número natural.

2.º) Transforma-se casa resto da divisão anterior em unidades da espécie imediatamente inferior, somando-se o resultado às unidades desta no dividendo, antes de continuar a divisão.

Exemplo:22

23 h + 17 min + 15 seg 3 2 h 120 min 120 seg 7 h 45 min 45 seg x 60 137 min 135 seg 120 min 17 15 2 min 0 60 120 seg

12 d +3 h + 16 min 5 2 d 48 h 60 min 60 seg 2d 10 h 15 min 12 seg x 24 51 h 76 min 10 48 h 1 h 26 0 X 60 1 min 60 min X 60 60 seg

Efetuar as divisões:

1) (23 h 17 min 15 seg) : 3

2) (12 d 3 h 16 min) : 5

EXERCÍCIOS A RESOLVER

Calcular o que se pede:

1) Quantos segundos tem 1 horas?

2) Quantos minutos tem 1 ano?

3) Quantas horas tem 1 mês?

4) Quantos dias tem 1 semestre?

Transformar na menor unidade empregada:

5) 3 a 10 me

6) 2 h 30 min

7) 2 h 15 min 30 seg

8) 1 a 6 me 20 d

Transformar em medida complexa:

9) 600 d

10) 400 d

11) 34.509 seg

23

x

x

12) 940 d

Calcular o valor de cada operação:

13) (4 h 18 min 45 seg) + (1 h 12 min 45 seg)

14) (25 d 7 h 33 seg) (21 d 9 h 34 seg)

15) (7 d 6 h 18 min 43 seg) 23

16) (6 d 12 h 17 min 5 seg) : 25

17) (4 d 12 h) + (3 d 16 h)

18) (2 a 8 me 20 d) + (3 a 6 me 10 d)

19) (1 a 7 me 10 d) (1 a 2 me 20 d)

20) (3 h 30 min) 2

21) (6 h 31 min 10 seg): 5

Testes:

22) Quantos minutos há em 2 d 12 h 15 min?

23) Decorreram 5/6 do dia. Que horas são?

24) São decorridos 3/8 do ano. Quantos dias já se passaram?

25) Decorreram ¾ da hora. Quantos minutos já se passaram?

24

25

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